平面向量中最值、范围问题解题模板

拔高点突破01 一网打尽平面向量中的范围与最值问题题型九：平行四边形大法1．如图，圆O 是半径为1的圆，12OA =，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC BC ®®×的取值范围是.2．如图，C ，D 在半径为1的O e 上，线段AB 是O e 的直径，则AC BD ×uuu r uuu r的取值范围是.（2024·浙江·模拟预测）3．已知e r 为单位向量，平面向量a r ，b r 满足||||1a e b e +=-=r r r r ，a b ×r r 的取值范围是 .（2024·江西宜春·校联考模拟预测）4．半径为1的两圆M 和圆O 外切于点P ，点C 是圆M 上一点，点B 是圆O 上一点，则PC PB ×uuu r uuu r 的取值范围为.5．设圆M ，圆N 的半径分别为1，2，且两圆外切于点P ，点A ，B 分别是圆M ，圆N 上的两动点，则PA ⋅PB 的取值范围是（ ）A ．18,2éù-êúëûB ．316,4éù-êúëûC ．[]8,1-D ．[]16,1-题型十：向量对角线定理6．已知四边形ABCD ，AB BC ^，2AB BC AD ===，3CD =，AC 与BD 交于点O ，若记a OA OB =×uuu r uuu r，b OB OC =×uuu r uuu r ，c OC OD =×uuu r uuu r，则（ ）A ．a b c<<B ．a c b<<C ．c a b <<D ．b a c <<7．如图，在圆O 中，若弦3AB =，弦5AC =，则AO BC ×uuu r uuu r的值是（ ）A ．8-B ．1-C ．1D ．88．如图，在四边形ABCD 中，AB BC ^，AD DC ^若，AB a =uuu r ，AD b =uuu r ，则AC BD ×uuu r uuu r 等于（ ）A ．22b a -B ．22a b -C ．22a b +D ．22a b ×9．如图，ABC V 的三边长为3,7,5AB BC AC ===，且点,B C 分别在x 轴，y 轴正半轴上移动，点A 在线段BC 的右上方．设(),OA xOB yOC x y =+ÎR uuu r uuu r uuu r ，记,M OA OC N x y =×=+uuu r uuu r，分别考查,M N 的所有可能结果，则（ ）A ．M 有最小值，N 有最大值B ．M 有最大值，N 有最小值C ．M 有最大值，N 有最大值D ．M 有最小值，N 有最小值10．在矩形ABCD 中，2AB =，3AD =，P 为矩形ABCD 所在平面内的动点，且1PA =，则PB PC ×uuu r uuu r的最大值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12（2024·湖北黄冈·二模）11．已知e r 为单位向量，向量a r满足3,1a e e a l ×=-=r r r r ，则a r 的最大值为（ ）A ．9B ．3C D ．1012．已知e r 为单位向量，向量a r满足3,1e a e a l ×=-=r r r r ，则a r 的最大值为（ ）A ．9B ．CD ．813．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，5AB =，4=AD ，1DC =，点E 是线段AB 上一点，且满足4AE EB =，动点P 在以E 为圆心的半径为1的圆上运动，则DP AC ×uuu r uuu r的最大值为（ ）A6B C．6D（2024·四川成都·模拟预测）14．在矩形ABCD中，5,4AB AD==，点E是线段AB上一点，且满足4AE EB=.在平面ABCD中，动点P在以E为圆心，1为半径的圆上运动，则DP AC×uuu r uuu r的最大值为（）A4B6C．4D．6（2024·贵州贵阳·三模）15．已知2|||1,0,||||4,650a b a b c a c a d b d==×=++-=-×+=r r r r rr r r r r r，则||c d-rr的最大值为（）A2B．4C．6D216．已知非零平面向量ar，br的夹角为π3，且1a b-=rr，则(2)a a b×+rr r的最大值为（）A B1C D2+17．如图，在矩形ABCD中，24,AB BC AC==与BD的交点为,M N为边AB上任意一点（包含端点），则MB DN×uuu r uuur的最大值为（）A．2B．4C．10D．1218．如图所示，ABCV中，点D是线段BC的中点，E是线段AD上的动点，若BE xBA yBC=+uuu r uuu r uuu r，则21x y+的最小值（）A．1B．3C．5D．819．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.如图甲是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图乙所示其外框是边长为4的正六边形ABCDEF，内部圆的圆心为该正六边形的中心O ，圆O 的半径为2，点P 在圆O 上运动，则PE OF ×uuu r uuu r的最小值为（ ）A ．-8B ．-4C ．0D ．420．已知点A 、B 在圆224x y +=上，且2AB =，P 为圆O 上任意一点，则AB BP ×uuu r uuu r的最小值为（ ）A ．0B ．4-C ．6-D ．8-21．已知ABC V 是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ×+uuu r uuu r uuu r的最小值是（ ）A ．2-B ．8-C ．3-D ．6-22．已知向量,a b r r 的夹角为2π3，且24a b ==r r ，则()a tb t +ÎR r r 的最小值是（ ）A B ．3C ．D ．23．扇形AOB 的半径为1，120AOB Ð=°，点C 在弧AB 上运动，则CA CB ×uuu r uuu r的最小值为（ ）A ．12-B ．0C ．32-D ．-124．在OAB △中，1,2,120OA OB AOB ==Ð=°，点P 是等边ABC V （点O 与C 在AB 的两侧）边上的一动点，若OP xOA yOB =+uuu r uuu r uuu r，则有（ ）A ．当12x =时，点P 必在线段AB 的中点处B ．x y +的最大值是92C ．OP OA ×uuu r uuu r 的最小值是1-D ．PA PB ×uuu r uuu r 的范围是77,42éù-êúëû25．已知点A 、B 、P 在C e 上，则下列命题中正确的是（ ）A ．1AC =uuu r ，则AC AB ×uuu r uuu r 的值是12B ．1AB =uuu r ，则AC AB ×uuu r uuu r 的值是12C ．1AC AB ==uuu r uuu r ，则AP AB ×uuu r uuu r 的范围是13,22éù-êúëûD ．1AC AB ==uuu r uuu r ，且AP AB AC l m =+uuu r uuu r uuu r ，则l m +的范围是1éêë26．已知圆O 半径为2，弦2AB =，点C 为圆O 上任意一点，则下列说法正确的是（ ）A ．2BA BO ×=uuu r uuu rB ．AB AC ×uuu r uuu r的最大值为6C ．[]0,4OC AB AO --Îuuu r uuu r uuu r D ．满足0AB AC ×=uuu r uuu r的点C 只有一个27．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆O 的半径2，点P 是圆O 内的定点，且OP =，弦AC BD ，均过点P ，则下列说法正确的是（）A ．PA PC ×uuu r uuu r为定值B ．OA OC ×uuu r uuu r的取值范围是[]20-，C ．当AC BD ^时，AB CD ×uuu r uuu r为定值D ．·AC BD uuu r uuu r 的最大值为1628．如图，在梯形ABCD 中，,,2,4,5,,AB CD AD AB CD AD AB E F ^===∥分别在线段,AD AB 上，且线段DE 与线段BF 的长度相等，则（ ）A ．CE CF ×uuu r uuu r的最小值为4-B ．CE CF ×uuu r uuu r的最大值为18C ．CE EF ×uuu r uuu r的最大值为1-D ．CEF △的面积的最大值为418（2024·山东潍坊·二模）29．已知向量a r ，b r ，c r为平面向量，1a =r ，2b =r ，0a b ×=r r ，12c a -=r r ，则（ ）A ．312c ££r B ．()()c a c b -×-r r r r C ．11b c -£×£r rD ．若c a b l m =+r r r，则l m +的最小值为1（2024·甘肃·一模）30．已知单位向量,a b rr 满足34a b m -=r r ，则m 的范围是 .（2024·高三·上海闵行·开学考试）31．阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足2PAPB =，则PA PB ×uuu r uuu r的范围为.32．在ABC V 中，3AB =，2AC =，60BAC °Ð=，点P 是ABC V 内一点（含边界），若23AP AB AC l =+uuu r uuu r uuu r，则AP uuu r 的最大值为.（2024·天津河西·三模）33．如图，动点C 在以AB 为直径的半圆O 上（异于A ，B ），DC BC ^，DC BC =，2AB =，CA BC -=uuu r uuu r ；OC OD ×uuu r uuu r的最大值为 ．34．如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，23AD AC =uuu r uuu r，且点P 在以AD 的中点O为圆心、OA 为半径的半圆上，若BP xBA yBC =+uuu r uuu r uuu r，则下列说法正确的是 ．①1233BD BA BC =+uuu r uuu r uuu r ②x y +的最大值为1③BP BC ×uuu r uuu r最大值为9 ④1BO DO ×=uuu r uuur35．如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，23AD AC =uuu r uuu r，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，则BP BC ×uuu r uuu r的最大值为 ．参考答案：1．1,38éù-êúëû【分析】连接OA ，OB ，设D 是线段BC 的中点，连接OD ，则有OD BC ^.设q 为OA ®和BC®的夹角.求出 211cos 22AC BC BC BC q ®®®®×=-,利用二次函数即得解.【详解】解：连接OA ，OB ，设D 是线段BC 的中点，连接OD ，则有OD BC ^.设q 为OA ®和BC ®的夹角.则AC BC OC OA BC OC BC OA BC ®®®®®®®®®æö×=-×=×-×ç÷èøcos cos OC BC BCO OA BC q ®®®®=××Ð-××211cos 22BC BC q ®®=-，221111cos 2222BC BC BC BC q ®®®®-³-2111228BC æö=--ç÷èøuuur ，（当cos 1q =即0q =时取等）因为[]0,2BC ®Î，所以当12BC ®=时，AC BC ®®×有最小值18-.221111cos +2222BC BC BC BC q ®®®®-£2111228BC æö=+-ç÷èøuuur ，（当cos 1q =-即q p =时取等）当2BC ®=时，211+22BC BC ®®有最大值为3，即AC BC ®®×有最大值3，所以AC BC ®®×的取值范围是1,38éù-êúëû.故答案为：1,38éù-êúëû【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用向量的运算建立函数模型211cos 22AC BC BC BC q ®®®®×=-，再利用二次函数的图象和性质求解.2．14,2éù-êúëû【分析】以点O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设出D 的坐标，求出,AC BD uuu r uuu r，然后化简，即可求解它的范围.【详解】以点O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设点(cos ,sin ),(),(,)D AC a b q q p q p -££=uuu r ，22CAB pp a a æöÐ=-<<ç÷èø，则2tan ,2cos b a aa a ==，2sin cosb a a =，()cos 1,sin BD q q =-uuu v则(,)(cos 1,sin )cos sin )AC BD a b a b a a q q q q q j ×=×-=+-=+-uuu r uuu r，其中tan a bj =，所以AC BD ×uuu r uuu r的最大值为：22cos a a =22112cos 2cos 2cos 22a a a æö=-=--+ç÷èø，则当1cos 2a =时，AC BD ×uuu r uuu r 取得最大值12，最小值为22112cos 2cos 2cos 22a a a a æö=--=-++ç÷èø，则当cos 1a =时，AC BD ×uuu r uuu r取得最小值4-，综上，AC BD ×uuu r uuu r 的取值范围为14,2éù-êúëû.故答案为：14,2éù-êúëû.【点睛】本题考查平面向量的运算、三角恒等变换，适当建立平面直角坐标系将几何问题代数化是解题的关键，是中档题.3．14,2éù-êúëû【解析】建系，不妨设(1,0)e =r ，(,)a x y =r ，(,)b m n =r ，则a b ×rr mx ny =+，再利用柯西不等式将所求mx ny +x x =，利用换元法求出最大值，最小值显然为,a b rr 共线方向时取得.【详解】不妨设(1,0)e =r，(,)a x y =r ，(,)b m n =r ，由已知，得22(1)1x y ++=，22(1)1m n -+=，a b ×rr (1)mx ny m x ny x x =+=-++£+=x ，令[0,2]t =Î221111(1)2222x t t t =-=--+£，又显然当a r ，b r 向量反向时，a b ×r r 最小，即(2,0)a =-r ，(2,0)b =r ，此时4a b ×=-rr ，综上，a b ×r r 的取值范围是14,2éù-êúëû.故答案为：14,2éù-êúëû.【点睛】本题考查向量数量积取值范围的问题，解决中涉及到了柯西不等式，考查学生通过变形利用不等式求解最大值，本题是一道难题.4．14,2éù-êúëû【分析】设点C 关于点P 的对称点为A ，则点A 在圆O 上，计算可得出21122PC PB OA OB OP ×=-+-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，求出OA OB OP +-uuu r uuu r uuu r 的取值范围，即可得出PC PB ×uuu r uuu r的取值范围.【详解】设点C 关于点P 的对称点为A ，则点A 在圆O 上，所以，()()()2PC PB PA PB OA OP OB OP OP OA OB OA OB OP×=-×=--×-=×+-×-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ()1OP OA OB OA OB =×+-×-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，因为()()222222OA OB OPOA OB OP OP OA OB OA OB+-=++-×++×uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r()322OP OA OB OA OB =-×++×uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以，()22111131222PC PB OP OA OB OA OB OA OB OP OA OB OP éù×=×+-×-=-+--=-+-êúëûuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r ，因为03OA OB OP OA OB OP £+-£++=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，当且仅当OA uuu r 、OB uuu r 同向且OA uuu r 、OP uuur 反向时，3OA OB OP +-=uuu r uuu r uuu r ，当OA OB OP +=uuu r uuu r uuu r时，则()22OA OBOP +=uuu r uuu r uuu r ，所以，221OA OB +×=uuu r uuu r，所以，12OA OB ×=-uuu r uuu r ，所以，1cos ,2OA OB OA OB OA OB ×==-×uuu r uuu ruuu r uuu r uuu r uuu r ，因为0,πOA OB ££uuu r uuu r ，则2π,3OA OB =uuu r uuu r ，故当2π3AOB Ð=且四边形OAPB 为菱形时，0OA OB OP +-=uuu r uuu r uuu r ，因此，21114,222PC PB OA OB OP éù×=-+-Î-êúëûuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r .故答案为：14,2éù-êúëû.5．C【分析】连接MN 分别与两圆交于,E F ，连AE ，延长AP 交圆N 与C ，连CF ，可得//AE CF ，2PC PA =，从而有12PA PB PB PC ×=-×uuu r uuu r uuu r uuu r ，先固定PB ，根据向量数量积的定义，求出PC uuu r 在PB上投影的最大值和最小值，再利用||PB uuu r的范围，即可求解.【详解】连接MN 分别与两圆交于,E F ，又两圆外切于点P ，,,P E F \三点共线，连AE ，延长AP 交圆N 与C ，连CF ，,PE PF Q 分别为圆M ，圆N 的直径，,,//PA AE PC CF AE CF \^^\，又2,2PF PE PC PA =\=，12PA PB PB PC ×=-×uuu r uuu r uuur uuu r ，设G 为PB 中点，连GN ，先固定PB ，根据向量数量积的定义，当PC uuu r在PB 同向投影最大值时C 为与GN 平行的圆切线的切点，记为图中的D 点，此时PD uuu r 在PB 投影1||||22PH PB =+1||||||2||2PB PC PB PD PB PH PB PB æö\×£×=×=×+ç÷èø21||2||162PB PB =+£，当且仅当||4PB =，等号成立，min max 1()()82PA PB PB PC \×=-×=-uuu r uuu r uuur uuu r 同理当PC uuu r在PB 投影最小（在PB 反向上）时，C 为与GN 平行的圆切线的切点，记为图中的K 点，此时PK uuu r 在PB 投影12||2PB -，1||2|2PB PC PB PK PB PB æö׳×=-×-ç÷èøuuu r uuu r uuu r uuu r 2211||2||(||2)2222PB PB PB =---=³-，当且仅当||2PB =时，等号成立，max min 11()()(2)122PA PB PB PC \×=-×=-´-=uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以PA ⋅PB 的数量积取值范围是[8,1]-.故选：C.【点睛】本题考查向量数量积的取值范围、向量数量积的几何意义，解题的关键是两圆变一圆，考查数形结合思想，考查直观想象能力，属于较难题.6．C【分析】根据向量形式的余弦定理计算可得0AC DB ×>uuu r uuu r，再利用作差法即可比较,,a b c 的大小关系.【详解】在ADC △中，根据余弦定理有222||||||2||||cos 2CD CA AD CA CD ACD CA CD +-=×Ð=×uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r；在ABC V 中，根据余弦定理有222||||||2||||cos 2CB CA AB CA CB ACB CA CB +-=×Ð=×uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r；两式作差得22222()||||||||CA CD CB AB CD CB AD ×-=+--uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r即2222||||||||5022AB CD CB AD AC DB +--×==>uuu r uuu r uuu r uuu ruuu r uuu r ，所以00b a OB OC OA OB OB AC tDB AC t -=×-×=×=×>>uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r（）.又||||cos 0AC DB AC DB BOC ×=Ð>uuu r uuu r uuu r uuu r，所以cos 0BOC Ð>，则cos 0AOB Ð<，由图易知,OD OA OC OB >>uuu r uuu r uuu r uuu r，所以()cos 0c a OC OD OA OB OC OD OA OB AOB -=×-×=-Ð<uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，所以c a b <<.故选：C ．7．D【分析】过点O 作OD BC ^，交BC 于点D ，连接AD ，则D 为BC 的中点，0OD BC ×=uuu r uuu r，由()12AD AC AB =+uuu r uuu r uuu r ，又,AO AD DO BC AC AB =+=-uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r，即可得出()AO BC AD DO BC ×=+×uuu r uuu r uuu r uuur uuu r AD BC =×uuu r uuu r，进而求出结果.【详解】如图所示，过点O 作OD BC ^，交BC 于点D ，连接AD ，则D 为BC 的中点，0OD BC ×=uuu r uuu r，所以()12AD AC AB =+uuu r uuu r uuu r ，又,AO AD DO BC AC AB =+=-uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r ，则()AO BC AD DO BC×=+×uuu r uuu r uuu r uuur uuu r ()()12AD BC AC AB AC AB=×=+×-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ()()22221153822AC AB =-=-=uuu r uuu r .故选：D 8．A【分析】由对角线向量定理直接求解.【详解】如图所示，由对角线向量定理得22222222()()()()22AD BC AB CD b a BC CD AC BD +-+-+-×==uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r =22222222()()()2b a AC AB AC AD b a -+---=-uuu r uuu r uuu r uuu r ，故选：A 9．B【分析】设π0,,2BCO ACB a b æöÐ=ÎÐ=ç÷èø，用,a b 表示出,M N ，然后利用三角函数的性质求最值.【详解】设π0,,2BCO ACB a b æöÐ=ÎÐ=ç÷èø，由余弦定理得4925913cos ,sin 27514b b +-===´´过A 点作AD y ^轴，设垂足为D ，在BOC V 中，cos 7cos ,sin 7sin OC BC OB BC a a a a ====，所以()()7sin ,0,0,7cos B C a a 在ADC △中，()()sin 5sin ,cos 5cos AD AC ACD CD AC ACD a b a b =Ð=+=Ð=+，所以()()()5sin ,7cos 5cos A a b a a b +-+由OA xOB yOC=+uuu r uuu r uuu r即()()()()()5sin ,7cos 5cos 7sin ,00,7cos x y a b a a b a a +-+=+得()()5sin 7cos 5cos ,7sin 7cos x y a b a a b aa+-+==，所以()()5sin 7cos 5cos 117sin 7cos N x y a b a a b aa+-+=+=+=³+当且仅当π4a =时取最小值，没有最大值．()()33217cos 7cos 5cos sin 242M OA OC a a a b a g éù=×=-+=++ëûuuu r uuu r ，其中11πsin ,cos 0,142g g g æö==Îç÷èø，因为2πg a g g <+<+，所以()()11sin πsin 2114g a g -=+<+£，所以750,4M æùÎçúèû，当且仅当()sin 21a g +=即π42g a =-时取最大值，没有最小值．故选：B.10．B【分析】建立平面直角坐标系，设(,)P x y ，根据条件得到)(2,),(2,3P x C x y B y P ==----uuuuu r uuu r，从而得到2239(2)(24x PB y PC ×=-+--uuu r uuu r ，又221x y +=，结合图形，得PH AH AP =£+，即可求出结果.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设(,)P x y ，BC 中点为H ，因为2AB =，3AD =，所以(0,0)A ,(2,0)B ，(2,3)C ，3(2,)2H ，得到)(2,),(2,3P x C x y B y P ==----uuuuu r uuu r，所以222239(2)3(2)()24x y y x y PB PC =-×+-=-+--uuu r uuu r ，又因为1PA =，所以221x y +=，又712PH AH AP £+=+=，当且仅当,,H A P （P 在HA 的延长线上）三点共线时取等号，所以222239499(2)3(2)()102444PB PC x y y x y =-+-=-+--£-=×uuu r uuu r ，故选：B.【点睛】关键点点晴：设(,)P x y ，利用向量数量积的坐标运算，得到2239(2)(24x PB y PC ×=-+--uuu r uuu r ，再利用圆的几何性质，即可求解.11．C【分析】根据条件得到()222||61(3)10a l l l =---=--+r ，利用二次函数的性质，即可求出结果.【详解】根据条件得22222()|26|1a e a a e a l l l l l -=+-×=-+=r r r r r r ，得到()222||61(3)1010a l l l =---=--+£r ，所以a £r ，即a r 的最大值为，故选：C.12．C【分析】设()1,0e =r ，(),a x y =r ，根据3e a ×=r r求出x ，再根据1e a l -=r r 得到()2213y l =--，最后根据向量模的坐标表示及二次函数的性质计算可得.【详解】依题意设()1,0e =r，(),a x y =r ，由3e a ×=r r，所以3x =，则()3,a y =r ，又()()(),03,3,e a y y l l l -=-=--r r ，且1e a l -=r r，1=，即()2213y l =--，所以a ==£r 3l =时取等号，即a r的最大值为.故选：C.13．A【分析】利用题设条件，建系，求得相关点的坐标，因点P 在圆上，设点(cos ,sin )P q q ，计算DP AC ×uuu r uuu r得三角函数形式，运用辅助角公式将其化成正弦型函数，即可求其最值.【详解】如图，以E由题意，梯形ABCD =(4,0),(1,(2,A C D ---.因为以E 为圆心的半径为1的圆的方程为：221x y +=，可设点(cos ,sin )P q q ，02πq £<.则(cos 2,sin (3,3cos 612DP AC q q q q ×=+-×=++-uuu r uuu r3cos 6)6,q q q j =+-=+-其中，tan j =故当sin()1q j +=时，max ()6DP AC ×=uuu r uuu r.故选：A.14．A【分析】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算即可结合三角函数的性质求解.【详解】以E 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，动点P 在以E 为圆心，1为半径的圆上运动，故设()cos ,sin P q q ，则()()()0,4,4,4,4,1A D C -,()()()()()cos 4,sin 44,54cos 45sin 44DP AC q q q q q j ×=--×-=---=++uuu r uuu r，其中锐角j 满足5tan 4j =，故DP AC ×uuu r uuu r 4,故选：A15．C【分析】由题意首先得出||c d -rr 为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边关系将问题转换为椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可．【详解】如图所示，不妨设a OA ==uuur r ，(0,1)b OB ==uuu r r ，(,)OC m n =uuu r ，(,)OD p q =uuu r ，1(A ，满足||a =r ||1b =r ，0a b ×=rr ，又||||4c a c a ++-=r rr r1422||a c A A ==>==，由椭圆的定义可知点C 在以1A A 为焦点，长轴长为4的椭圆上运动，2a =，c =，1b ===，所以该椭圆方程为2214x y +=，而2650d b d -×+=r r r，即22650p q q +-+=，即22(3)4p q +-=，这表明了点D 在圆22(3)4x y +-=上面运动，其中点(0,3)E 为圆心，2r =为半径，又2c d OC OD CD CE ED CE -=-=£+=+uuu r uuu rr r ，等号成立当且仅当C ，D ，E 三点共线，故只需求||CE 的最大值即可，因为点C 在椭圆2214x y +=上面运动，所以不妨设(2cos ,sin )C q q ，则||CE ==所以当6sin 12(3)q -=-=-´-，且C ，D ，E 三点共线时，||c d -r r 有最大值，max ||226CE +==．故选：C ．【点睛】关键点点睛，本题的关键是转化化归数学思想的灵活应用，比如||||4c a c a ++-=r rr r，转化为动点的轨迹为椭圆，然后再利用转化为CD CE ED £+，三点共线时取最值.最后一个关键点转化，就是求||CE 最大值时，转化为了三角换元，从而求得最值.16．B【分析】利用数量积的定义及运算律可得22||||1a b a b +-=r r r r，再利用数量积的运算律变形(2)a a b ×+r r r，并结合基本不等式求解即得.【详解】由向量a r，b r 的夹角为π3及1a b -=r r ，得2221a b a b +-×=r r r r ，即22||||1a b a b +-=r r r r ，则()222221221ba ab a a a b a a b a b a b b ba a++×+=+×==+-æöç÷-+ç÷èør r r r r r rr r r r r r r r r r r r，令||0||b t a =>r r ，于是22111()31(1)3(1)3(1)312t t a a b t t t t t t++×===-++-++++-++r rr1£，当且仅当311t t +=+，即t =时取等号，由221)||1aa b a b -íï+-=îr r r r r，解得|||a b =r r所以当|||a b ==r r π,3a b áñ=r r 时，(2)a a b ×+rr r 1.故选：B 17．C【分析】利用建系法，将向量运算转化为数量运算求解.【详解】以点A 为坐标原点，,AB AD uuu r uuu r的方向为x 轴，y 轴正方向，建立平面直角坐标系，则()()2,1,4,0M B ，()0,2D ，设()(),004N m m ££，所以()()2,1,,2MB DN m =-=-uuu r uuur ，则22MB DN m ×=+uuu r uuur，因为04m ££，所以210MB DN £×£uuu r uuur，即MB DN ×uuu r uuur 的最大值为10.故答案为：C 18．D【分析】根据题意，由三点共线定理可得()210,0x y x y +=>>，再由基本不等式代入计算，即可求解.【详解】因为点D 是线段BC 的中点，则2BC BD =uuu r uuu r，则2BE xBA yBC xBA yBD =+=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，因为,,A E D 三点共线，所以()210,0x y x y +=>>，则()212142448y x x y x y x y x y æö+=++=++³+=ç÷èø，当且仅当421y xx y x y ì=ïíï+=î时，即11,24x y ==时，等号成立，所以21x y +的最小值为8.故选：D 19．C【分析】通过建系设点，设()()2cos ,2sin 02πP q q q £<利用平面向量的坐标计算转化为正弦型函数的值域问题求解即得.【详解】如图，以O 为坐标原点，BE 所在直线为x 轴，AF 的垂直平分线所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系.设点()()2cos ,2sin 02πP q q q £<，由题意知，()()(4,0,0,0,2,E O F ，则()42cos ,2sin PE q q =--uuu r，(2,OF =uuu r ，所以π84cos 88sin 6PE OF q q q æö×=--=-+ç÷èøuuu r uuu r ，因02π££q ，则ππ13+π666q ££,故当π2π=6q +时，即πsin 16q æö+=ç÷èø时，PE OF ×uuu r uuu r 取最小值0.故选:C.【点睛】方法点睛：本题主要考查圆的参数方程和平面向量的数量积的取值范围问题.在处理已知圆上的动点有关的问题时常通过圆的参数方程设点，利于分析和计算；在处理平面向量的数量积问题时，常通过三种方法解决：（1）定义法：运用向量的数量积定义公式计算分析；（2）基底表示法：通过选设平面的一组基底，将相关向量进行表示，利用基底计算；（3）建系法：通过建系得向量坐标，再计算分析.20．C【分析】由题可设(1,A -、(1,B ，设点()2cos ,2sin P a a ，然后根据向量数量积的坐标表示及三角函数的性质即可得解.【详解】因为点A 、B 在圆22:16O x y +=上，且2AB =，P 为圆O上任意一点，因为2OA OB AB ===，所以，OAB △是等边三角形，则π3AOB Ð=，不妨设(1,A -、(1,B ，设点()2cos ,2sin P a a ，所以()2,0AB =uuu r，(2cos 1,2sin BP a a =-uuu r ，所以()[]22cos 14cos 26,2AB BP a a ×=-=-Î-uuu r uuu r，即AB BP ×uuu r uuu r的最小值为6-.故选：C.21．D【分析】建立平面直角坐标系， 表示出点的坐标， 利用坐标法结合平面向量数量积的定义求最小值即可.【详解】以BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系.则(0,(2,0),(2,0),A B C -设P (x,y )，则()()(),,2,,2,PA x y PB x y PC x y =--=---=--uuu r uuu r uuu r所以()()()()222222PA PB PC x x y y x y×+=-×-+×-=-+uuu r uuu r uuu r222[(3];x y =+-所以当0,x y ==, ()PA PB PC ×+uuu r uuu r uuu r取得最小值为2(3)6´-=-.故选：D.22．C【分析】根据题意结合数量积的运算律可得22()4(1)12a tb t +=-+r r ，进而可得最小值.【详解】因为向量,a b r r 的夹角为2π3，且24a b ==r r ，则2πcos43a b a b ×==-r r r r ，可得222222()248164(1)1212a tb a ta b t b t t t +=+×+=-+=-+³r r r r r r ，当且仅当1t =时，等号成立，所以()a tb t +ÎR r r的最小值是故选：C.23．A【分析】利用三角函数的定义可得(cos ,sin )C q q ，即可根据向量的坐标运算，结合三角恒等变换可得1πsin()26CA CB q ×=-+uuu r uuu r，即可利用三角函数的性质求解.【详解】以O 为原点，以OA 所在直线为x 轴，过O 作OA 的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，设AOC q Ð=，则(cos ,sin )C q q ，其中2π03q ££，(1,0)A ，1(2B -，故(1cos ,sin )CA q q =--uuu r ，1(cos 2CB q =--uuu r sin )q -，\1(cos 1)(cos )sin )(sin )2CA CB q q q q ×=-+--+-uuu r uuu r111πcos sin(2226q q q =-=-+，2π03q ££Q ，\ππ5π666q £+£，\1πsin()126q £+£，11πsin(0226q \-£-+£，\CA CB ×uuu r uuu r 的取值范围为1[2-,0]，故CA CB ×uuu r uuu r 的最小值为12-；故选：A ．24．BCD【分析】A 选项，过OA 中点作OB 的平行线，根据平行线与ABC V 的交的个数判断；B 选项，建系，利用余弦定理得到各点的坐标，然后分点P 在,,AB AC BC 上三种情况考虑；C 选项，根据数量积的几何意义判断；D 选项，将PA PB ×uuu r uuu r转化为274PD -uuu r ，然后求范围即可.【详解】如图，过OA 中点作OB 的平行线与ABC V 的三边有两个交点，所以12x =时，点P 有两种情况，故A 错；在三角形OAB 中由余弦定理得2222141cos120242OA OB AB AB OA OB +-+-°===-××,解得AB =，则222cos2AB OB OA ABO AB OB +-Ð==××，sin ABO Ð=()1cos cos 2CBO ABO CBA Ð=Ð+Ð==以O 为原点，OB为x 轴，过点O 垂直OB 向上的方向为y 轴建系，O (0,0)，12A æ-ççè，()2,0B ，32C æççè，12OA æ=-ççèuuu r ，()2,0OB =uuu r ，(AC =uuu r ，12BCæ=-ççèuuu r ，122xOA yOB x y x æö+=-+ç÷ç÷èøuuu r uuu r ，当点P 在AB 上时，1x y +=，当点P 在AC 上时，设()2AP AC l l ==uuu r uuu r，[]0,1l Î，112222OP OA AP x y xlæöæö=+=-+=-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøuuu r uuu r uuu r，则12x l=+，32y l=，712x y l+=+，所以当1l=时，x y+最大为92，当点P在BC上时，设12BP BCm mæö==-ç÷ç÷èøuuu r uuu r，[]0,1mÎ，112222OP OB BP x ymæöæö=+=-=-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøuuu r uuu r uuu r，则3x m=，112y m=+，712x y m+=+，当1m=时，x y+最大为92，综上可得，当点P在点C处时x y+最大为92，故B正确；根据数量积的几何意义可得，当点P在点B处时OP OA×uuu r uuu r最小，此时1OP OA OB OA×=×=-uuu r uur uuu r uur，故C正确；取AB中点D，则()()22274PA PB PD DA PD DA PD DA PD×=+×-=-=-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，因为PDéÎêëuuu r，所以77,42PA PBéù×Î-êúëûuuu r uuu r，故D正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：数量积的求法：（1）公式法：cos,a b a b a b×=××r r rr r r；（2）坐标法；（3）几何意义法；（4）转化法：将向量利用线性运算转化.25．BCD【分析】由21cos2AC AB AC AB BAC AB×=×Ð=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r可判断AB，由()1cos,2AP AB AC CP AB CP AB×=+×=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r可判断C，设Ce方程为221x y+=，()()[]11,0,,cos ,sin ,0,22A B P q q q p æÎççè，根据坐标运算结合三角恒等式可判断D ．【详解】由21cos 2AC AB AC AB BAC AB×=×Ð=uuu r uuu r uuu r uuu r uuur 当1AB =uuu r 时， 12AC AB ×=uuu r uuu r ，则A 错，B 正确；由()1cos ,2AP AB AC CP AB AC AB CP AB CP AB×=+×=×+×=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 因为[]cos ,1,1CP AB Î-uuu r uuu r ，所以AP AB ×uuu r uuu r 的范围是13,22éù-êúëû，故C 正确；设C e 方程为221x y +=，()()[]11,0,,cos ,sin ,0,22A B P q q q p æÎççè由AP AB AC l m =+uuu r uuu r uuu r 得()()1cos 1,sin 1,02q q l m æ-=-+-ççè则1cos 2sin q l m q ì-ïïíï=ïî，得cos 1l q m q q ì=ïïíï-+ïî所以()cos 111l q q a m q é-+=++Î++êë=，故D 正确．故选：BCD 26．AB【分析】对于A ，根据数量积的定义计算即可判断；对于B ，由投影向量可找出最大值点的位置，计算即可判断；对于C ，作图得到OA BA EA +=uuu r uuu r uuu r，再由OC AB AO OC OA BA --=++uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 可确定最值点的位置，计算判断即可；对于D ，当,C A 重合或者AC AB ^时都可以得到0AB AC ×=uuu r uuu r，从而可判断.【详解】对于A 选项，圆O 半径为2，弦2AB =，故ABO V 为等边三角形，取AB 的中点D ，连接OD ，则OD AB ^，所以2BA BO BA BD ×=×=uuu r uuu r uuu r uuu r，A 正确；对于B 选项，过点O 作OE 平行于AB ，交圆与点E，过点E 作EG AB ^，交AB 延长线于点G ，连接EB ，则四边形OABE 为菱形，由投影向量可知，当点C 与点E 重合时，AB AC ×uuu r uuu r取得最大值，此时123AG AD DG =+=+=，故AB AC ×uuu r uuu r的最大值为236AB AG ×=´=uuu r uuu r ，B 正确；对于C 选项，OC AB AO OC OA BA --=++uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，因为四边形OABE 为菱形，所以OA BA EA +=uuu r uuu r uuu r，且EA =uuu r ，因为2OC =uuu r为定值，故当OC uuu r 与EA uuu r平行且方向相同时，OC AB AO --uuu r uuu r uuu r 取得最大值，最大值为2+当OC uuu r 与EA uuu r平行且方向相反时，OC AB AO --uuu r uuu r uuu r 取得最小值，最小值为2-，故2,2OC AB AO éù--Î-ëûuuu r uuu r uuu r，C 错误；对于D 选项，因为点C 为圆O 上任意一点，故当,C A 重合时，0AB AC ×=uuu r uuu r，又当AC AB ^时，满足0AB AC ×=uuu r uuu r ，故满足0AB AC ×=uuu r uuu r的点C 有2个，D 错误.故选：AB 27．ACD【分析】根据题设中的圆幂定理可判断AC ；取AC 的中点为M ，连接OM ，利用向量的线性运算可判断B ；根据直径的大小可判断D.【详解】对于A ，如图，过O P ，作直径EF ，由题意PA PC PA PC PF PE OF OP OE PO ×=-=-=--+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，所以()PA PC OF OP OF OP OF OP OF OP ×=---+=--+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ()()()222OF OPOF OP OF OP =--+=--=-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 为定值，故A 正确；对于B ，若M 为AC 中点，连接OM ，则()()OA OC OM MA OM MC×=+×+uuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu u r ()()2222424OM OM MA MC MA MC OM OM OM =+×++×=--=-uuuu r uuuu r uuu r uuu u r uuu r uuu u r uuuu r uuuu r uuuu r ，由题意2202OM OP ££=uuuu r uuu r ，则[]40OA OC ×Î-uuu r uuu r ，，故B 错误；对于C ，若AC BD ^，故0PB CP AP PD ×=×=uuu r uuu r uuu r uuu r，则()()AB CD AP PB CP PD AP CP PB CP AP PD PB PD ×=+×+=×+×+×+×uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，又2PA PC ×=-uuu r uuu r ，则2AP CP ×=-uuu r uuu r ，同理可得2PB PD ×=-uuu r uuu r，故4AB CD ×=-uuu r uuu r ，故C 正确；对于D ，因为44AC BD ££uuu r uuu r ，，则当弦AC BD ，均与EF 重合时，此时AC BD ×uuu r uuu r有最大值，为16，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：根据定义及向量线性运算的几何意义，结合数量积的运算律转化各项数量积或乘积关系，再由圆的性质判断各项正误.28．BCD【分析】利用坐标法，以A 为原点建立坐标系，写出相关点坐标，得到相关向量的坐标，利用向量的坐标运算，再求解二次函数最值即可判断各个选项.【详解】如图，以点A 为坐标原点建立平面直角坐标系，设()04DE BF x x ==££，则()()()()()()2,4,0,4,5,0,2,,3,4,5,4C E x F x CE x CF x EF x x --=--=--=--uuu r uuu r uuu r，对于A,B ，[]264666,18CE CF x x x ×=-+=-Î-uuu r uuu r，故A 错误，B 正确；对于C ，()222210461031CE EF x x x x x x ×=--+=-+-=---uuu r uuu r ，当3x =时，CE EF ×uuu r uuu r取得最大值，且最大值为1-，故C 正确；。

问题7平面向量中最值、范围问题一、考情分析平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合． 二、经验分享1.利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题,即只需将问题转化为向量形式,用向量的运算来求解.如果能够建立适当的直角坐标系,用向量的坐标运算往往更为简捷.1.平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略2.几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难)；③建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.3．坐标是向量代数化的媒介,通过向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题来解决,而坐标的获得通常要借助于直角坐标系. 对于某些平面向量问题, 若能建立适当的直角坐标系,可以使图形中复杂的几何关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程,有效地降低思维量,起到事半功倍的效果．上面两题都是通过建立坐标系将向量问题转化为函数与不等式问题求解,体现了向量解题的工具性. 三、知识拓展 1．.2．四、题型分析(一) 平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,把数量cos a b θ⋅⋅叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b ⋅.即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅,规定00a ⋅=,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a·b＝x1x2＋y1y2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算．【例1】【江苏省苏州市2019届高三上学期期末】如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的两个动点，且BM＋DN＝MN，则的最小值是_______．【答案】【分析】由题意，以点A为原点，建立的平面直角坐标系，设点，其中，则向量求得，再由，整理得，利用基本不等式，即可求解.【解析】由题意，以点A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设点，其中，则向量，所以又由，则，整理得，又由，设，整理得，解得，所以，所以的最小值为.【点评】与几何图形有关的平面向量的数量积的运算及应用，常通过建立空间直角坐标系，利用向量的数量积的坐标运算求解【小试牛刀】【江苏省盐城中学2018届高三上学期期末】已知ABC ∆的周长为6,且,,BC CA AB 成等比数列,则BA BC ⋅的取值范围是______． 【答案】【解析】因为,,BC CA AB 成等比数列,所以,从而02b <≤,所以,又,即,解得,故.(二) 平面向量模的取值范围问题 设(,)a x y =,则,向量的模可以利用坐标表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向线段的长度,过可结合平面几何知识求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以将向量用基底向量表示再求．【例2】已知向量,,a b c 满足a 与b 的夹角为4π,,则c a -的最大值为 .【分析】根据已知条件可建立直角坐标系,用坐标表示有关点（向量）,确定变量满足的等式和目标函数的解析式,结合平面几何知识求最值或范围. 【解析】设；以OA 所在直线为x,O 为坐标原点建立平面直角坐标系, ∵a 与b 的夹角为4π,则A （4,0）,B （2,2）,设C （x,y ） ∵,∴x 2+y 2-6x-2y+9=0,即（x-3）2+（y-1）2=1表示以（3,1）为圆心,以1为半径的圆,c a -表示点A,C 的距离即圆上的点与点A （4,0）的距离；∵圆心到B 的距离为,∴c a -的最大值为12+．【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几何意义是解题关键．【小试牛刀】【2018届山东省济南高三上学期期末】已知平面上的两个向量OA 和OB 满足OA a =,OB b =,且221a b +=, 0OA OB ⋅=,若向量,且,则OC 的最大值为__________．【答案】32【解析】因为OA a =, OB b =,且221a b +=, 0OA OB ⋅=,,,如图,取AB 中点D ,则,12OD =, ,由可得, 1DC ∴=, C ∴在以D 为圆心, 1为半径的圆上, ∴当O C ，, D 共线时OC 最大, OC ∴的最大值为312OD +=,故答案为32. (三) 平面向量夹角的取值范围问题设11(,)a x y =,22(,)b x y =,且,a b 的夹角为θ,则．【例3】已知向量→OA 与→OB 的夹角为θ,0t 在时取得最小值,当0105t <<时,夹角θ的取值范围为________________. 【分析】将PQ 表示为变量t 的二次函数PQ ,转化为求二次函数的最小值问题,当时,取最小值,由已知条件0105t <<,得关于夹角θ的不等式,解不等式得解． 【解析】由题意知,,,所以,由二次函数的图像及其性质知,当上式取最小值时,.由题意可得,,求得,所以322πθπ<<. 【点评】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解．【小试牛刀】已知非零向量,a b 满足2a b = ,若函数在R 上存在极值,则a 和b 夹角的取值范围为【答案】,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦【解析】,设a 和b 夹角为θ,因为()f x 有极值,所以,即,即1cos 2θ<,所以,3πθπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． （四）平面向量系数的取值范围问题平面向量中涉及系数的范围问题时,要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系,通过列不等式或等式得系数的不等式,从而求系数的取值范围．【例4】已知()2,λ=a ,()5,3-=b ,且a 与b 的夹角为锐角,则λ的取值范围是 ． 【分析】a 与b 的夹角为锐角等价于0a b ⋅>,且a 与b 不共线同向,所以由0a b ⋅>,得310<λ,再除去a 与b 共线同向的情形．【解析】由于a 与b 的夹角为锐角,0>⋅∴b a ,且a 与b 不共线同向,由,解得310<λ,当向量a 与b 共线时,得65-=λ,得56-=λ,因此λ的取值范围是310<λ且56-≠λ．【点评】注意向量夹角与三角形内角的区别,向量夹角的范围是[0,]π,而三角形内角范围是(0,)π,向量夹角是锐角,则cos 0,θ>且cos 1θ≠,而三角形内角为锐角,则cos 0,θ>． 【小试牛刀】【江苏省泰州中学2018届高三10月月考】如图,在ABC ∆中,.（1）求AB BC ⋅的值；（2）设点P 在以A 为圆心, AB 为半径的圆弧BC 上运动,且,其中,x y R ∈.求xy 的取值范围.【解析】（1）.（2）建立如图所示的平面直角坐标,则.设,由,得.所以.所以..因为,所以,当262ππθ-=时,即3πθ=时, xy 的最大值为1； 当或即0θ=或23πθ=时, xy 的最小值为0.五、迁移运用1．【江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月)模拟】在平面四边形中，，则的最小值为_____．【答案】【解析】如图，以A为原点，建立平面直角坐标系，则A（0,0），B（1,0），因为DA＝DB，可设D（，m），因为，AB＝1，由数量积的几何意义知在方向的投影为3，∴可设C（3，n），又所以，，即，＝＝，当且仅当，即n＝1，m＝时，取等号，故答案为.2．【江苏省无锡市2019届高三上学期期末】已知点 P 在圆 M： (x-a)2 +(y－a+2)2＝1 上， A，B 为圆 C：x2 +(y-4)2＝4 上两动点，且 AB ＝2, 则的最小值是____．【答案】【解析】取AB的中点D，因为AB ＝2，R＝2，CD＝＝1，所以，＝.C（0,4），M（a，a－2）当C、D、P、M在一条直线上时，｜PD｜最小，此时，｜PD｜＝｜CM｜－｜CD｜－｜PM｜＝所以，＝≥19－12，当a＝3时取到最小值19－12.故答案为：.3．【江苏省清江中学2019届高三第二次教学质量调研】在平面直角坐标系中，已知点为圆上的两动点，且若圆上存在点使得则正数的取值范围为________.【答案】【解析】设BD的中点为D,所以所以点D在以原点为圆心，以1为半径的圆上，所以点D的轨迹方程为，因为，所以设所以所以m表示动点到点（1,1）的距离，由于点在圆上运动，所以，所以正数m 的取值范围为.故答案为：4．【江苏省如皋市2018-2019学年高三数学第一学期教学质量调研】在△ABC 中，D 为AB 的中点，若，则的最小值是_______．【答案】．【解析】根据D 为AB 的中点，若，得到，化简整理得，即，根据正弦定理可得，进一步求得，所以，求导可得当时，式子取得最大值，代入求得其结果为，故答案为.5．【江苏省常州2018届高三上学期期末】在ABC ∆中, 5AB =, 7AC =, 3BC =, P 为ABC ∆内一点（含边界）,若满足,则BA BP ⋅的取值范围为________．【答案】525,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由余弦定理,得,因为P 为ABC ∆内一点（含边界）,且满足,所以30,4λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则.6．【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研】如图,已知矩形ABCD 的边长2AB =, 1AD =.点P ,Q 分别在边BC , CD 上,且,则AP AQ ⋅的最小值为_________.【答案】424-【解析】以A 坐标原点,AB,AD 所在直线为x,y 轴建立直角坐标系,设所以AP AQ ⋅因为,所以因为,所以因此7．【江苏省如皋市2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研】已知点P 是边长为23的正三角形ABC 内切圆上的一点,则PA PB ⋅的取值范围为_______.【答案】[]3,1-【解析】以正三角形ABC 的中心为原点,以AB 边上的高为y 轴建立坐标系,则,正三角形ABC 内切圆的方程为221x y +=,所以可设,则,,故答案为[]3,1-.8．【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试】如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点”．若,,,A B C D 四点均位于图中的“晶格点”处,且,A B 的位置所图所示,则AB CD ⋅ 的最大值为________．【答案】24【解析】先建立直角坐标系,由向量投影知AB CD ⋅ 取最大值时,即AB CD ⋅9．【江苏省泰州中学2018届高三12月月考】已知单位向量a , b 的夹角为120︒,那么2a xb -（x R ∈）的最小值是__________． 【答案】3 【解析】∴ 2a xb-的最小值为3.10．【江苏省溧阳市2017-2018学年高三第一学期阶段性调研】扇形AOB 中,弦2AB C =，为劣弧AB 上的动点, AB 与OC 交于点P ,则·OP BP 的最小值是_____________________． 【答案】14-【解析】设弦AB 中点为M,则若,MP BP 同向,则0OP BP ⋅>,若,MP BP 反向,则0OP BP ⋅<,故OP BP ⋅的最小值在,MP BP 反向时取得,此时,则：,当且仅当时取等号,即OP BP ⋅的最小值是14-. 11．已知AB 为圆O 的直径,M 为圆O 的弦CD 上一动点,8AB =,6CD =,则MA MB ⋅的取值范围是 ． 【答案】[9,0]- 【解析】 试题分析：,而,所以MA MB ⋅的取值范围是[9,0]-12．在ABC ∆中, ,则角A 的最大值为_________.【答案】6π 【解析】试题分析:由题设可得,即,也即,故,由于,因此,故,所以,所以6max π=A ,应填答案6π. 13．在平面内,定点,,,A B C D 满足,动点,P M 满足,则BM 的最大值是__________.【答案】321- 【解析】 试题分析:设,则.由题设可知,且.建立如图所示的平面直角坐标系,则,由题意点P 在以A 为圆心的圆上,点M 是线段PC 的中点.故结合图形可知当CP 与圆相切时,BM 的值最大,其最大值是123-.应填答案321-.14．【2018届江苏省泰州中学高三12月月考】在矩形ABCD 中, 3AB =, 1AD =,若M , N 分别在边BC , CD 上运动（包括端点,且满足,则AM AN ⋅的取值范围是__________．【答案】[1,9]【解析】分别以AB,AD 为x,y 轴建立直角坐标系,则,设,因为,所以33xb -=,则,故,所以,故填[1,9].15.在ABC ∆中,点D 在线段BC 的延长线上,且12BC CD =,点O 在线段CD 上（与点,C D 不重合）,若,则x 的取值范围是__________．【答案】()2,0- 【解析】 因为,因为12BC CD =,点O 在线段CD 上, 所以()0,2y ∈,因为,所以()2,0x ∈-.16．已知向量(),2a x =-,(),1b y =,其中x ,y 都是正实数,若a b ⊥,则2t x y =+的最小值是___________． 【答案】4【解析】由a b ⊥,得0=⋅b a ,即,所以2=xy ．又x ,y 都是正实数,所以．当且仅当y x 2=时取得等号,此时2=x ,1=y ,故答案为：4．17．在ABC ∆中,已知3AB =,3C π=,则CA CB ⋅的最大值为 .【答案】32【解析】,由余弦定理得：,所以32CA CB ⋅≤,当且仅当a b =时取等号18．已知△ABC 中,4AB =,2AC =,（R λ∈）的最小值为23,若P 为边AB 上任意一点,则PB PC ⋅的最小值是 ． 【答案】94-【解析】令()f λ＝＝216λ＋24(22)λ-＋＝,当cos 0A =时,()f λ＝,因为2322>,所以2A π=,则建立直角坐标系,(0,0)A , ,设(,0)P x (04)x <<,则,,所以PB PC ⋅＝(4)x x --＝2(2)4x --；当cos 0A ≠时,()f λ＝＋1cos ]2A+≥,解得1cos 2A =,所以3A π=,则建立直角坐标系,(0,0)A , ,设(,0)P x (04)x <<,则, ,所以PB PC ⋅＝＝259()24x --．综上所述,当52x =时,PB PC ⋅取得最小值94-．。

压轴题高分策略之平面向量最值、取值范围问题平面向量中的最值和范围问题,是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时,平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题,其试题难度属中高档题.类型一、平面向量与不等式相结合的最值问题【典例1】【2016河南新乡名校联盟押题】若等边三角形CAB的边长为2，N为AB的中点,且AB上一点M满足C C Cx yM=A+B，则当14x y+取最小值时，C CM⋅N=（）A．6B．5C．4 D．3【答案】D【典例2】【2015高考天津,理14】在等腰梯形ABCD中,已知//,2,1,60===∠=AB DC AB BC CD ABC，动点E和F分别在线段BC和DC上,且,1,,9BE BC DF DCλλ==则AE AF⋅的最小值为。

【答案】29 18【审题指导】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式。

运用向量的几何运算求,AE AF，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积的定义计算AE AF⋅，体现了数学定义的运用,再利用基本不等式求最小值，体现了数学知识的综合应用能力.是思维能力与计算能力的综合体现.第一步：审题,通过读题可以知道,本题中只出现了一个角即60∠=ABC,所以本题应该以AB、BC为基底向量第二步：将题中所给向量，所求向量都用基底向量，AB BC表示第三步：将AE AF ⋅化简，观察最后的解析式的形式，符合均值不等式的用均值不等式求值 【解析】 因为1,9DF DC λ=12DC AB =,119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==，AE AB BE AB BCλ=+=+，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+，()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BCλλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19199421cos1201818λλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒2117172992181818λλ=++≥= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅的最小值为2918.BA【变式训练】【四川省2016年普通高考适应性测试，15】已知()()()1 0 1 1 OA OB x y OA OB λμ===+，，，，，。

第11讲 平面向量中的最值范围问题题型一 利用平面向量基本定理确定参数的值、取值范围问题平面向量基本定理是向量坐标的理论基础,通过建立平面直角坐标系,将点用坐标表示,利用坐标相等列方程,寻找变量的等量关系,进而表示目标函数,转化为函数的最值问题． 【例1】已知1,60,OA OB AOB OC OA OB λμ==∠=︒=+,其中实数,λμ满足12λμ≤+≤,0,0λμ≥≥,则点C 所形成的平面区域的面积为( )A B C ．D 【答案】B 【解析】 由题：1,60,OA OB AOB OC OA OB λμ==∠=︒=+,作2,2OP OA OQ OB ==，OC 与线段AB 交于D ，设OCxOD =，如图：OC OA OB λμ=+，0,0λμ≥≥，所以点C 在图形QOP ∠内部区域，根据平面向量共线定理有,1ODmOA nOB m n =++=，,1OC xOD xmOA xnOB m n ==++=，OC OA OB λμ=+，所以,xm u xn λ==，12λμ≤+≤，即12xm xn ≤+≤，即12x ≤≤，OC xOD =，所以点C 所在区域为梯形APQB 区域，其面积1122sin 6011sin 6022APQB OPQ OAB S S S ︒︒∆∆=-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，故选：B 【玩转跟踪】1.已知RtABC ，3AB =，4BC =，5CA =，P 为ABC △外接圆上的一动点，且AP xAB y AC =+，则x y+的最大值是（ ）A ．54B ．43C ．D ．53【答案】B 【解析】解：以AC 的中点为原点，以AC 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则ABC △外接圆的方程为2225()2xy +=，设P 的坐标为55cos ,sin 22θθ⎛⎫⎪⎝⎭，过点B 作BD 垂直x 轴，∵4sin 5A =，3AB = ∴12sin 5BD AB A ==，39cos 355AD AB A =⋅=⨯=，∴5972510OD AO AD =-=-=，∴712,105B ⎛⎫-⎪⎝⎭，∵5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，5,02C ⎛⎫⎪⎝⎭∴912,55AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()5,0AC =，555cos ,sin 222AP θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵AP xAB y AC =+∴555912cos ,sin ,22255x θθ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()9125,05,55y x y x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭∴559cos 5225x y θ+=+，512sin 25x θ=，∴131cos sin 282y θθ=-+，25sin 24x θ=， ∴()12151cos sin sin 23262x y θθθϕ+=++=++，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，当()sin 1θϕ+=时，x y +有最大值，最大值为514623+=，故选：B ．2.在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为 A ．3 B ．2CD ．2【答案】A【解析】,如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,易得圆的半径r=，即圆C 的方程是()22425x y -+=， ()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x zy =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.3.如图，点C 是半径为1的扇形圆弧AB 上一点，0OA OB ⋅=，1OA OB ==，若OC OA OB x y =+，则2x y+的最小值是（ ）A．B ．1 C ．2D【答案】B 【解析】 由题：OC OA OB x y =+，点C 是半径为1的扇形圆弧AB 上一点，则0,0x y >>，则()22OC xOA yOB=+，即()()2222OC xOA yOBxyOA OB =++⋅，0OA OB ⋅=，1OA OB ==化简得：221xy +=，令cos ,sin ,[0,]2x y θθθπ==∈，2sin 2cos ),sin [0,]2x y θθθϕϕϕϕπ+=+=+==∈因为[0,]2πθ∈，[0,]2πϕ∈，2πϕθϕϕ≤+≤+，sin()θϕ+先增大后减小，所以sin()θϕ+的最小值为sin ,sin()2πϕϕ+较小值，sin()cos 2πϕϕ+==即sin()θϕ+，所以2)x y θϕ+=+的最小值为1.故选：B题型二 平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,把数量cos a b θ⋅⋅叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b ⋅.即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅,规定00a ⋅=,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算．【例2】【2018年天津理科08】如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E为边CD 上的动点，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．3【解答】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，∴AN＝AB cos60°，BN＝AB sin60°，∴DN＝1，∴BM，∴CM＝MB tan30°，∴DC＝DM+MC，∴A（1，0），B（，），C（0，），设E（0，m），∴（﹣1，m），（，m），0≤m，∴m2m＝（m）2（m）2，当m时，取得最小值为．故选：A．【玩转跟踪】1.【2017年新课标2理科12】已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（）的最小值是（）A．﹣2 B．C．D．﹣1【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P （x ，y ），则（﹣x ，y ），（﹣1﹣x ，﹣y ），（1﹣x ，﹣y ），则•（）＝2x 2﹣2y +2y 2＝2[x 2+（y ）2]∴当x ＝0，y 时，取得最小值2×（），故选：B ．2.已知腰长为2的等腰直角ΔABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若2PC =，则()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅的最小值为（ ）A ．24-B ．24+C ．48-D ．48+【答案】C【解析】以,CA CB 为,x y 轴建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),(0,2),(1,1)C A B M ，设(,)P x y ，则(2,),(,2)PA x y PB x y =--=--，(,),(1,1)PC x y PM x y =--=--，(2)(2)PA PB x x y y ⋅=----2222x x y y =-+-，PC PM ⋅=22(1)(1)x x y y x x y y ----=-+-，∵2PC =，∴224x y +=，设2cos ,2sin xy θθ==，则2cos 2sin )4x y πθθθ+=+=+，∴x y -≤+≤()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅2(4224)(4)2(4)x y x y x y =--+--=+-，∴x y +=()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅取得最小值24)48=-故选：C 。

专题2.3 平面向量中范围、最值等综合问题一．方法综述平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数（二次函数、三角函数）的最值或应用基本不等式，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．二．解题策略类型一 与向量的模有关的最值问题【例1】已知向量a ，b ，c 满足4a =，22b =，,4a b π=，()()1c a c b -⋅-=-，则c a -的最大值为（ ）A ．12+B ．122+C ．212+D ．212+ 【来源】浙江省台州市仙居县文元横溪中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题【举一反三】1．平面上的两个向量OA 和OB ，||cos OA α=，||sin OB α=，0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，0OA OB ⋅=若向量OC OA OB λμ=+(,)R λμ∈，且22221(21)cos (21)sin 4λαμα-+-=，则||OC 的最大值为（ ） A ．32 B ．34 C ．35 D ．372.（2020·浙江高考模拟）已知平面向量,a b 不共线，且1a =，1a b ⋅=，记b 与2a b + 的夹角是θ，则θ最大时，a b -=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．23.已知向量,,a b c 满足4,22,a b ==a 与b 的夹角为4π,()()1c a c b -⋅-=-,则c a -的最大值为 .类型二 与向量夹角有关的范围问题 【例2】已知向量→OA 与→OB 的夹角为θ,→→→→→→→-====PQ OB t OQ OA t OP OB OA ,)1(,,1,20t 在时取得最小值,当0105t <<时,夹角θ的取值范围为________________. 【举一反三】 1.已知非零向量,a b 满足2a b = ,若函数3211().132f x x a x a bx =+++ 在R 上存在极值,则a 和b 夹角的取值范围为 2.非零向量b a ,满足b a ⋅2=22b a ，2||||=+b a ，则b a 与的夹角的最小值是 ．3.已知向量与的夹角为，，，，，在时取得最小值若，则夹角的取值范围是______. 类型三 与向量投影有关的最值问题 【例3】（2020天津模拟）设1,2OA OB ==， 0OA OB ⋅=， OP OA OB λμ=+，且1λμ+=，则OA 在OP 上的投影的取值范围( )A. 25⎛⎤ ⎥ ⎝⎦B. 25⎤⎥⎝⎦C. 5⎤⎥⎝⎦D. 5⎛⎤ ⎥ ⎝⎦【举一反三】设2OA =，1OB =，0OA OB ⋅=，OP OA OB λμ=+且1λμ+=，则向量OA 在OP 上的投影的取值范围（ ）A ．452⎛⎤ ⎥ ⎝⎦B ．5,25⎛⎤ ⎥ ⎝⎦C ．252⎛⎤ ⎥ ⎝⎦D ．252⎤⎥⎝⎦【来源】黑龙江省哈尔滨市第一中学2020届高三6月第一次模拟数学（理）试题2．（2020·北京高考模拟）在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且∠BAC=3π，2ACB π∠≠，BC=1，P 为BC 中点．过点P 作PQ ⊥BC 交AC 所在直线于Q ，则AQ 在BC 方向上投影的最大值是（ ） A ．13 B ．12 C ．33 D ．23类型四 与平面向量数量积有关的最值问题【例4】（2020·天津高考模拟）已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足2BE EC =，23AE BD ⋅=-，则AF EF ⋅的最小值为（ ）A ．23-B ．43-C ．15275-D ．7336- 【举一反三】1．（2020·四川高考模拟）已知ABC ∆是边长为23的正三角形，EF 为ABC ∆的外接圆O 的一条直径，M 为ABC ∆的边上的动点，则ME FM ⋅的最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5D ．6 2、（2020辽宁省鞍山市高三一模）中，，，，且，则的最小值等于A ．B ．C ．D ．3．如图，,C D 是以AB 直径的圆O 上的动点，已知2AB =，则•AC BD 的最大值是A ．12B ．53-C ．22D ．31-类型五 平面向量系数的取值范围问题【例5】（2020·河南高考模拟）在ABC ∆中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM mAB =，(0,0)AN nAC m n =>>，则2m n +的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．83D ．103 【举一反三】1．（2020·安徽高考模拟）已知G 是ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 交于点,M N ，且AM xAB =，AN yAC =，(),0x y >，则3x y +的最小值是( )A ．83B ．72C ．52D ．42333+2．在ABC 中，已知9AB AC ⋅=，cos b c A =⋅，ABC 的面积为6，若P 为线段AB 上的点（点P 不与点A ，点B 重合），且CA CB CP x y CA CB =⋅+⋅，则1132x y ++的最小值为（ ） A ．9 B ．34 C ．914 D ．12【来源】福建省仙游第一中学2021届高三上学期期中考试数学试题3.（2020云南省昆明市云南师范大学附属中学）已知正方形ABCD 的边长为1，动点P 满足，若，则的最大值为 A ． B ． C ． D ．类型六 平面向量与三角形四心的结合【例6】（2020·吉林高考模拟）如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,M N 两点，且,AM x AB AN y AC ==,则x y +的最小值为（ ）A ．2B ．13 C ．43 D ．34【举一反三】 1.如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为2．已知O 是ABC ∆所在平面上的一点，若aPA bPB cPC PO a b c++=++（其中P 是ABC ∆所在平面内任意一点），则O 点是ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 3.（2020大连模拟）已知点O 是锐角三角形ABC 的外心，若OC mOA nOB =+（m ， n R ∈），则（ ）MN AB GQA. 2m n +≤-B. 21m n -≤+<-C. 1m n +<-D. 10m n -<+<三．强化训练1．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（ ） A ．2- B ．32- C ．3- D ．6-2．已知向量a 满足||3a =，设{|||2|}X x x x a ==-∣，1,,,22Y y y x x y x X π⎧⎫===∈⎨⎬⎩⎭，若m X ∈，n Y ∈，则||m n -的最大值为（ ）A ．352-B ．352+C ．253-D ．253+3．（2020·山东高考模拟）如图所示，两个不共线向量,OA OB 的夹角为θ，,M N 分别为OA 与OB 的中点，点C 在直线MN 上，且(),OC xOA yOB x y R =+∈，则22x y +的最小值为（ ）A ．24B ．18C ．22D ．124．（2020·河北高考模拟）已知两点(1,0)M -，(1,0)N ，若直线340x y m -+=上存在点P 满足0PM PN ⋅=，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(][),55,-∞-+∞ B ．(][),2525,-∞-+∞C ．[]5,5-D ．[]25,25- 5．（2020·浙江高考模拟）如图，在△ABC 中，点,DE 是线段BC 上两个动点，且AD AE + x AB y AC =+，则14x y+的最小值为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．92 6、（2020宁夏六盘山一模）如图，矩形中边的长为，边的长为，矩形位于第一象限，且顶点分别位于轴、轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值为（ ） A ． B ． C ． D ．7．（2020·山东高考模拟）已知△ABC 中，22BC BA BC =⋅=-，．点P 为BC 边上的动点，则()PC PA PB PC ⋅++的最小值为（ ）A ．2B ．34-C ．2-D ．2512- 8．（2020·四川高考模拟）已知圆1C ：22(5)1x y ++=，2C ：22(5)225x y -+=，动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，若M 为1C 上的动点，且10CM C M ⋅=，则CM 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．（2020·天津市滨海新区高考模拟）已知ABC 是边长为a 的正三角形，且,(,,1)AM AB AN AC R λμλμλμ==∈+=.设函数()f BN CM λ=⋅，当函数()f λ的最大值为2-时，a =（ ）A ．2B ．423C ．43D ．433 10．（2020·黄陵中学高考模拟）如图，在OMN ∆中，A 、B 分别是OM 、ON 的中点，若OP xOA yOB=+（x ，y R ∈），且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），则12y x y +++的取值范围是（ ）A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．已知向量a ，b 满足3a b +=，0a b ⋅=，若(1)()c a b λλλ=+-∈R ，且c a c b ⋅=⋅，则c 的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．12D ．32【来源】2021年新高考测评卷数学（第六模拟）12．若ABC 的外接圆半径为2，且2AB =，则AB AC ⋅的取值范围是（ ）A ．[]2,6-B ．[]2,6C ．[]22-,D ．[]2,4 【来源】江苏省扬州中学2020-2021学年高三上学期12月月考数学试题13．已知ABC 的边2AB =，ABC 的外接圆半径为2，则AB AC ⋅的取值范围是（ ）A ．[]2,6-B ．2,6C ．[]2,2-D ．[]2,4 【来源】2021届全国著名重点中学新高考冲刺数学试题（5）14．12,e e 均为单位向量，且它们的夹角为45°，设a ，b 满足2122||,()4a e b e ke k R +==+∈，则||a b -的最小值为（ ）A 2B ．22C ．24D ．32415．在ABC 中，1AB AC ==，AB AC ⊥，点M ，N 为ABC 所在平面内的一点，且满足2AM AC AB →→→=-，1MN →=，若AN AB AC λμ→→→=+，则λμ+的最大值为（ ）A ．21+B ．21-C ．2D ．1【来源】百师联盟2021届高三一轮复习联考（一） 文科数学全国卷II 试题16．如图，在ABC 中，4BC =，4BA BC ⋅=，点P 为边BC 上的一动点，则PA PC ⋅的最小值为（ ）A ．0B ．2-C ．94-D ．3-【来源】江苏省南通市海门中学2020-2021学年高三上学期10月月考数学试题17．若O 是ABC 垂心，6A π∠=且sin cos sin cos B C AB C BAC +2sin sin m B C AO =，则m =（ ）A ．12B ．32C ．33D ．36【来源】2020届浙江省杭州学军中学高三上学期期中数学模拟试题18．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，60BCD ∠=，150ADC ∠=，3BE EC =，2333CD BE ==，，若点F 为边AD 上的动点，则EF BF ⋅的最小值为（ ）A ．1B ．1516C ．3132D ．219．已知非零平面向量a ，b ，c .满足4a =，2b c =，且()()3a c b c -⋅-=，则a b -的最小值是（ ） A 26 B 35 C ．2 D ．320．在同一平面内，已知A 为动点，B ，C 为定点，且∠BAC=3π，2ACB π∠≠，BC=1，P 为BC 中点．过点P 作PQ ⊥BC 交AC 所在直线于Q ，则AQ 在BC 方向上投影的最大值是（ ）A ．13B ．12C ．33D ．23 【来源】广东省广州、深圳市学调联盟2019-2020学年高三下学期第二次调研数学（理）试题 21．已知1e ，2e ，3e 是空间单位向量，且满足12233112e e e e e e ⋅=⋅=⋅=，若向量()1231,b e e λλλ=+-∈R .则3e 在b 方向上的投影的最大值为（ ）A ．22B ．23C ．32D ．33【来源】浙江省杭州高中2020届高三下学期5月高考质检数学试题22．若4AB =，3AC CB =，平面内一点P ，满足||||PA PC PB PC PA PB ⋅⋅=，sin PAB ∠的最大值是（ ） A ．23 B ．12 C ．13 D ．1623.（2020襄阳模拟）已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC ++=，则向量CA 在向量CB 方向上的投影为24.（2020·天津高考模拟）在ABC ∆中，26AB AC ==，2BA BC BA ⋅=，点P 是ABC ∆所在平面内的一点，则当222PA PB PC ++取得最小值时，AP BC ⋅=25．（2020·浙江高考模拟）已知非零向量,a b 满足2a b =，若函数3211().132f x x a x a bx =+++在R 上存在极值，则a 和b 夹角的取值范围为26．（2020·浙江高考模拟）已知向量,a b 满足：13,1,512a b a b ==-||||||≤，则b 在a 上的投影长度的取值范围是 27.（2020上海市金山区一模）正方形ABCD 的边长为2，对角线AC 、BD 相交于点O ，动点P 满足，若，其中m 、n ∈R ，则的最大值是________28.（2020浙江省湖州三校联考）已知向量，的夹角为，且，则的最小值为29.（2020·安徽高考模拟）已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且6a=，点O为其外接圆的圆心.已知·15BO AC=，则当角C取到最大值时ABC的面积为30．（2020·贵州高考模拟）在ABC∆中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.D、E是线段AB上满足条件1()2CD CB CE=+，1()2CE CA CD=+的点，若2CD CE cλ⋅=，则当角C为钝角时，λ的取值范围是。

一．方法综述平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数（二次函数、三角函数）的最值或应用基本不等式，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．二．解题策略类型一与向量的模有关的最值问题【例1】【安徽省黄山市2019届高三一模】如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，，则三角形的面积为，解得，由，且C，P，D三点共线，可知，即，故.以所在直线为轴，以点为坐标原点，过点作的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，则，，，，则，，，则（当且仅当即时取“=”）.故的最小值为.【指点迷津】三点共线的一个向量性质：已知O、A、B、C是平面内的四点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在一对实数、，使，且.【举一反三】1、【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期二模】如图，矩形中边的长为，边的长为，矩形位于第一象限，且顶点分别位于轴、轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，设，则因为所以则所以的最大值为所以选B2、【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（）A．B．C．5 D．【答案】B【解析】由题意可设,，因此表示直线上一动点到定点距离的和,因为关于直线的对称点为，所以选B.3、【四川省成都外国语学校2019届高三3月月考】在平面直角坐标系中，，若，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于，即，即，所以在以原点为圆心，半径为的圆上.得到三点共线.画出图像如下图所示，由图可知，的最小值等于圆心到直线的距离减去半径，直线的方程为，圆心到直线的距离为，故的最小值是，故选C.类型二与向量夹角有关的范围问题【例2】【四川省成都市实验外国语学校2019届高三10月月考】已知向量与的夹角为，，，，，在时取得最小值若，则夹角的取值范围是______.【答案】【解析】，，，在时取得最小值解可得：则夹角的取值范围本题正确结果：【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解． 【举一反三】1、非零向量b a ,满足b a2=22b a，2|||| b a，则b a 与的夹角的最小值是 ．【答案】3【解析】由题意得2212a b a b r r r r ，24a b r r ，整理得22422a b a b a b r r r r r r ，即1a b r11cos ,22a b a b a b a b r rr r r r r r ，,3a b r r ，夹角的最小值为3 .2、【上海市2019年1月春季高考】在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为____________【答案】【解析】 由题意：，设，，因为，则与结合，又与结合，消去，可得：所以本题正确结果：类型三 与向量投影有关的最值问题【例3】【辽宁省沈阳市郊联体2019届高三一模】若平面向量，满足||=|3|=2，则在方向上的投影的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 因为，所以，在方向上的投影为，其中为，的夹角．又，故．设，则有非负解，故， 故，故，故选A ．【指点迷津】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.另外，的几何意义就是向量在向量的投影与模的乘积，向量在向量的投影为．【举一反三】1、已知ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC u u u v u u u v u u u v v ，则向量CA u u u v 在向量CB u u u v方向上的投影为( ) A. 3 B. 3 C. -3 D. 3 【答案】B本题选择B 选项.2、设1,2OA OB u uu v u u u v ， 0OA OB u u u v u u u v ， OP OA OB u u u v u u u v u u u v ，且1 ，则OA u u u v 在OP uuu v 上的投影的取值范围( ) A. 25-,15B.25,15C. 5,15D. 5-,15【答案】D当λ0 时， 0,x当222215λ8λ4482λ0521x λλλλ，故当λ1 时，1x 取得最小值为1，即1101x x， 当λ0 时， 222215844825215x，即15x 505x综上所述 5( ,1x故答案选D 类型四 与平面向量数量积有关的最值问题 【例4】【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】中，，，，且，则的最小值等于 A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 由题意知，向量，且，可得点D 在边BC 上，，所以，则，即，所以时以C 为直角的直角三角形．如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，，当时，则最小，最小值为．故选：C ．【指点迷津】平面向量数量积的求法有：①定义法；②坐标法；③转化法；其中坐标法是同学们最容易忽视的解题方法，要倍加注视，若有垂直或者容易出现垂直的背景可建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.【举一反三】1、已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE DC u u u r u u u r的最大值为（ ）A. 1B. 12C. 3D. 2【答案】A2、【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】中，，，，且，则的最小值等于 A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 由题意知，向量，且，可得点D 在边BC 上，，所以，则，即，所以时以C 为直角的直角三角形．如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，，当时，则最小，最小值为．故选：C ．3、已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（ ）A. -1B. -2C. -3D. -4 【答案】C类型五 平面向量系数的取值范围问题【例5】在矩形ABCD 中， 12AB AD ，，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP AB AD u u u v u u u v u u u v，则 的最大值为（ ）A. 3B. 22C. 5D. 2【答案】A∴圆的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=45， 设点P 25cosθ+1， 25）， ∵AP AB AD u u u v u u u v u u u v，25， 25sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）， ∴55cosθ+1=λ， 55sinθ+2=2μ， ∴255（θ+φ）+2，其中tanφ=2， ∵﹣1≤sin （θ+φ）≤1， ∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3， 故选：A【指点迷津】（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题； （3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 【举一反三】1、【云南省昆明市云南师范大学附属中学2019届高三上学期第四次月考】已知正方形ABCD 的边长为1，动点P 满足，若，则的最大值为A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】解：以A 为原点建立如图所示的直角坐标系：则，，，，设， ,则由得，化简得：，又，，，，表示圆上的点到原点的距离得平方，其最大值等于圆心到原点的距离加半径的平方，即，故选：C ．2.已知1,3,0OA OB OA OB u u u v u u u v u u u v u u u v ，点C 在AOB 内，且OC u u u v 与OA u u u v 的夹角为030，设,OC mOA nOB m n R u u u v u u u v u u u v ，则mn的值为（ ）A. 2B. 52C. 3D. 4【答案】C 【解析】如图所示，建立直角坐标系．由已知1,3,OA OB u u u v u u u v，，则10033OA OB OC mOA nOB m n u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（，），（，），（，）， 33303n tan m， 3mn． 故选B3.【上海市金山区2019届高三二模】正方形ABCD 的边长为2，对角线AC 、BD 相交于点O ，动点P 满足，若，其中m 、n R ，则的最大值是________【答案】 【解析】建立如图所示的直角坐标系，则A （﹣1，﹣1），B （1，﹣1），D （﹣1，1），P （，），所以（1，sinθ+1），（2，0），（0，2），又，所以，则，其几何意义为过点E （﹣3，﹣2）与点P （sinθ，cosθ）的直线的斜率，设直线方程为y +2k （x +3），点P 的轨迹方程为x 2+y 2＝1，由直线与圆的位置关系有：，解得：，即的最大值是1，故答案为：1类型六 平面向量与三角形四心的结合【例6】已知ABC 的三边垂直平分线交于点O ， ,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且 222c b b ，则AO BC u u u v u u u v的取值范围是__________．【答案】2,23【指点迷津】平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【举一反三】1、如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为（）A. 4B.C.D.【答案】B2.已知点O 是锐角三角形ABC 的外心，若OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v（m ， n R ），则（ ）A. 2m nB. 21m nC. 1m nD. 10m n 【答案】C【解析】∵O 是锐角△ABC 的外心，∴O 在三角形内部，不妨设锐角△ABC 的外接圆的半径为1，又OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v ，∴|OC u u u v |=| mOA nOB u u u v u u u v |，可得2OC u u u v =22m OA u u u v +22n OB u u u v +2mn OA u u u v ⋅OB uuu v ，而OA u u u v ⋅OB uuu v =|OA u u u v|⋅|OB uuu v |cos ∠A 0B <|OA u u u v |⋅|OB uuu v|=1.∴1=2m +2n +2mn OA u u u v ⋅OB uuu v<22m n +2mn ，∴m n <−1或m n >1，如果m n >1则O 在三角形外部，三角形不是锐角三角形， ∴m n <−1， 故选：C.3、在ABC 中， 3AB ， 5AC ，若O 为ABC 外接圆的圆心（即满足OA OB OC ），则·AO BC u u u v u u u v的值为__________. 【答案】8【解析】设BC 的中点为D ，连结OD ,AD ，则OD BC u u u v u u u v，则：222212121538.2AO BC AD DO BC AD BCAB AC AC AB AC ABu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v三．强化训练1.【宁夏平罗中学2019届高三上期中】已知数列是正项等差数列，在中，，若，则的最大值为（）A．1 B．C． D．【答案】C【解析】解：∵，故三点共线，又∵，∴，数列是正项等差数列，故∴，解得：，故选：C．2.【山东省聊城市第一中学2019届高三上期中】已知M是△ABC内的一点，且，，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为1，，，则的最小值是（）A．2 B．8 C．6 D．3【答案】D【解析】∵，，∴，化为．∴．∴．则，而=5+4=9，当且仅当，即时取等号，故的最小值是9，故选：D．3．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟《黄金卷三》】已知是边长为的正三角形，且，，设函数，当函数的最大值为-2时，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,因为是边长为的正三角形，且，所以又因，代入得所以当时，取得最大，最大值为所以，解得，舍去负根.故选D项.4．【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】已知平面向量，，满足，若，则的最小值为A．B．C．D．0【答案】B【解析】因为平面向量，，满足，，，，设，，，，所以的最小值为．故选：B．5.已知直线分别于半径为1的圆O相切于点若点在圆O的内部（不包括边界），则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B6.【河南省南阳市第一中学2019届高三第十四次考试】已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（）A．1 B．2 C．D．【答案】C【解析】解：以所在直线建立平面直角坐标系，设，，，因为所以，即，故，令（为参数），所以，因为，所以，，故选C.7．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊】如图所示，在中，，点在线段上，设，，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：．∵，，三点共线，∴．即．由图可知．∴．令，得，令得或（舍）．当时，，当时，．∴当时， 取得最小值故选：D．8．【安徽省宣城市 2019 届高三第二次调研】在直角三角形中，边 的中线 上，则的最大值为（ ）.，，A．B．C．D．【答案】B 【解析】 解：以 A 为坐标原点，以 AB，AC 方向分别为 x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系， 则 B（2，0），C（0，4），中点 D(1,2)设，所以，，在 斜时，最大值为 ．故选：B． 二、填空题 9.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若对任意 λ∈R，不等式则 的最大值为_____． 【答案】2【解析】由，两边平方得，，则则，又，则，即，由 ，从而，即，从而问题可得解.恒成立， ，，2110.【2019 年 3 月 2019 届高三第一次全国大联考】已知 的内角 所对的边分别为 ，向量，，且，若 ，则 面积的最大值为________．【答案】 【解析】由 ，得，整理得．由余弦定理得，因为，所以．又所以，，当且仅当 时等号成立，所以，即．故答案为： ． 11.【四川省广元市 2019 届高三第二次高考适应】在等腰梯形 ABCD 中，已知，，，，动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且，【答案】【解析】解：等腰梯形 ABCD 中，已知，，，，，，，，，则的最小值为______．，22， ，则当且仅当即 时有最小值故答案为：12.【上海市七宝中学 2019 届高三下学期开学】若边长为 6 的等边三角形 ABC，M 是其外接圆上任一点，则的最大值为______．【答案】【解析】解：是等边三角形， 三角形的外接圆半径为 ，以外接圆圆心 为原点建立平面直角坐标系，设，．设，则，．．23的最大值是．故答案为．13．【天津市第一中学 2019 届高三下学期第四次月考】在线段 以点 为中点，则的最大值为________【答案】0 【解析】中，已知 为直角，，若长为 的即 14．【安徽省黄山市 2019 届高三第二次检测】已知 是锐角，则 的取值范围为________.【答案】 【解析】 设 是 中点，根据垂径定理可知，依题意的最大值为 0. 的外接圆圆心， 是最大角，若，即，利用正弦定理化简得.由于，所以，即.由于 是锐角三角形的最大角，故，故.15．【北京市大兴区 2019 届高三 4 月一模】已知点，，点 在双曲线的取值范围是_________．的右支上，则24【答案】【解析】设点 P(x,y),（x＞1），所以，因为，当 y＞0 时，y=,所以，由于函数在[1，+∞）上都是增函数，所以函数在[1，+∞）上是增函数，所以当 y＞0 时函数 f(x)的最小值=f(1)=1.即 f(x)≥1.当 y≤0 时，y=,所以，由于函数 所以函数在[1，+∞）上都是增函数， 在[1，+∞）上是减函数，所以当 y≤0 时函数 k(x)＞0.综上所述，的取值范围是.16．【上海市青浦区 2019 届高三二模】已知 为的外心，，大值为________【答案】【解析】设的外接圆半径为 1，以外接圆圆心为原点建立坐标系，因为，所以，不妨设，，，则，，，因为，所以，，则 的最25解得，因为 在圆上，所以 即， ，所以，所以，解得或，因为 只能在优弧 上，所以，故26。

平面向量中的最值与范围问题高中数学　会利用向量的定义及运算求解最值与范围问题．导语　平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量的夹角、系数的范围等等，解题思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．一、向量线性运算中的最值与范围问题例1　如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足＝m ＋n (m ，n 均为正实数)，求＋的最小值．AP → AB → AD→ 1m 1n解　因为在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，所以＝＋＝－，AD → AC → CD → AC → 14AB → 所以＝m ＋n AP → AB → AD → ＝m ＋n AB→ (AC → －14AB →)＝＋n ，(m －14n )AB → AC → 由P ，B ，C 三点共线得，m －n ＋n ＝m ＋n ＝1(m ，n >0)，1434所以＋＝1m 1n (1m ＋1n )(m ＋34n )＝＋＋≥＋2743n4m mn 743n 4m ·mn＝＋＝(当且仅当3n 2＝4m 2时取等号)，7437＋434即＋的最小值为.1m 1n 7＋434反思感悟　利用向量的概念及基本运算，将所求问题转化为相应的等式关系，然后用基本不等式求最值．跟踪训练1　如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外一点D .若＝m ＋n ，则m ＋n 的取值范围是________．OC → OA → OB→答案　(－1,0)解析　由点D 是圆O 外一点，可设＝λ(λ>1)，BD → BA→ 则＝＋λ＝λ＋(1－λ).OD → OB → BA → OA → OB → 又因为C ，O ，D 三点共线，令＝－μ(μ>1)，OD → OC→ 则＝－－(λ>1，μ>1)，所以m ＝－，n ＝－，OC → λμOA → 1－λμOB→ λμ1－λμ则m ＋n ＝－－＝－∈(－1,0)．λμ1－λμ1μ二、向量数量积的最值与范围问题例2　在边长为1的正方形ABCD 中，M 为边BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则·EC→ 的取值范围是( )EM→ A. B.[12，2][0，32]C.D ．[0,1][12，32]答案　C解析　将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E (x ，0)，0≤x ≤1.则M，C (1,1)，(1，12)所以＝，＝(1－x ，1)，EM → (1－x ，12)EC → 所以·＝·(1－x ，1)＝(1－x )2＋.EM → EC → (1－x ，12)12因为0≤x ≤1，所以≤(1－x )2＋≤，121232即·的取值范围是.EC → EM → [12，32]反思感悟　建立适当的坐标系，将平面向量数量积的运算坐标化，然后利用二次函数，基本不等式等求最值或范围．跟踪训练2　在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且＝λ，＝，则·的最小值为________．BE → BC → DF → 19λDC → AE→ AF → 答案　2918解析　根据题意，可知DC ＝1，·＝(＋)·(＋)＝(＋λ)·＝AE → AF → AB → BE → AD → DF → AB → BC→ (AD → ＋19λDC → )·＋·＋λ·＋·＝1＋＋－≥1＋2－＝，当且仅当λ＝时，AB → AD → 19λAB → DC → BC → AD → 19BC → DC→ 29λλ211819118291823等号成立．三、向量模的最值问题例3　向量a ，b 满足|a |＝1，a 与b 的夹角为，则|a －b |的最小值为________．π3答案　32解析　|a －b|2＝(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝1－2×1×|b|cos ＋|b|2π3＝|b|2－|b|＋1＝2＋≥，(|b |－12)3434所以|a －b|≥，当|b|＝时取得最小值．3212跟踪训练3　已知|a ＋b |＝2，向量a ，b 的夹角为，则|a |＋|b |的最大值为________．π3答案　433解析　将|a ＋b |＝2两边平方并化简得(|a |＋|b |)2－|a ||b |＝4，由基本不等式得|a ||b |≤2＝(|a |＋|b |2)，故(|a |＋|b |)2≤4，即(|a |＋|b |)2≤，即|a |＋|b |≤，当且仅当|a |＝|b |＝时，(|a |＋|b |)2434163433233等号成立，所以|a |＋|b |的最大值为.433四、向量夹角的最值问题例4　已知|a |＝1，向量b 满足2|b －a |＝b ·a ，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ的最小值为________．答案　255解析　∵|a |＝1，∴设a ＝(1,0)，b ＝(x ，y )，∴b －a ＝(x －1，y )，由2|b －a |＝b ·a 得，2＝x ，则x >0，(x －1)2＋y 2∴4(x －1)2＋4y 2＝x 2，∴y 2＝－x 2＋2x －1，34∴cos θ＝＝＝＝＝a ·b|a ||b |xx 2＋y 2xx 2－34x 2＋2x －1x14x 2＋2x －11－(1x )2＋2x ＋14＝，1－(1x －1)2＋54∴当＝1即x ＝1时，cos θ取最小值.1x 255反思感悟　将向量夹角的大小问题转化为夹角余弦值的大小，利用函数求最值或范围．跟踪训练4　已知向量a ，b 满足a ＝(t ，2－t )，|b |＝1，且(a －b )⊥b ，则a ，b 的夹角的最2小值为( )A.B.π6π4C. D.π3π2答案　C解析　因为(a －b )⊥b ，所以(a －b )·b ＝0，a ·b ＝b 2，cos 〈a ，b 〉＝＝＝＝a ·b |a ||b ||b |2|a ||b ||b ||a |1|a |＝，12t 2－42t ＋8又因为2t 2－4t ＋8＝2[(t －)2＋2]≥2[(－)2＋2]＝4，2222所以0<cos 〈a ，b 〉≤，所以a ，b 的夹角的最小值为.12π3课时对点练1．已知向量m ＝(a －1,1)，n ＝(2－b ，2)(a >0，b >0)，若m ∥n ，则m ·n 的取值范围是( )A ．[2，＋∞) B ．(0，＋∞)C ．[2,4) D ．(2,4)答案　C解析　因为m ∥n ，所以2a －2＝2－b ，所以2a ＋b ＝4，所以b ＝4－2a >0，所以0<a <2，所以m ·n ＝2a ＋b －ab ＝4－ab ＝4－a (4－2a )＝2a 2－4a ＋4＝2(a －1)2＋2∈[2,4)．2．如图，在△ABC 中，点D 是线段BC 上的动点，且＝x＋y ，则＋的最小值为( )AD → AB → AC→ 1x 4y A ．3 B ．4 C ．5 D ．9答案　D解析　由图可知x ，y 均为正，且x ＋y ＝1，∴＋＝(x ＋y )＝5＋＋1x 4y (1x ＋4y )y x 4xy≥5＋2＝9，当且仅当＝，y x ·4x y y x 4x y 即x ＝，y ＝时等号成立，1323则＋的最小值为9.1x 4y3．在△ABC 中，AB ＝，BC ＝2，∠B ＝150°，点D 是AC 边上的一点(包括端点)，点M 3是AC 的中点，则·的取值范围是( )BM→ BD → A. B. C. D ．[0,1](0，12)[0，12][12，1]答案　B解析　因为点M 是AC 的中点，所以＝＋，BM → 12BA → 12BC → 因为点D 是AC 边上的一点(包括端点)，所以＝λ，λ∈[0,1]，CD → CA→ －＝λ－λ，＝λ＋(1－λ)，BD → BC → BA → BC → BD → BA → BC → 则·＝·[λ＋(1－λ)]BM → BD → (12BA → ＋12BC →)BA → BC → ＝λ2＋·＋(1－λ)2.12BA → 12BA → BC → 12BC → 因为AB ＝，BC ＝2，∠B ＝150°，3所以2＝3，·＝－3，2＝4，BA → BA → BC → BC → 所以·＝－λ.BM → BD→ 1212因为0≤λ≤1，则0≤－λ≤.121212故·的取值范围是.BM → BD→ [0，12]4．设O (0,0)，A (1,0)，B (0,1)，点P 是线段AB 上的一个动点，＝λ，AP → AB→ 若·≥·，则实数λ的取值范围是( )OP→ AB → PA → PB → A.≤λ≤1 B ．1－≤λ≤11222C.≤λ≤1＋ D ．1－≤λ≤1＋12222222答案　B解析　∵＝λ，＝(1－λ)＋λ＝(1－λ，λ)，＝λ＝(－λ，λ)，·≥·AP → AB → OP → OA → OB → AP → AB → OP→ AB → PA → ，PB →∴(1－λ，λ)·(－1,1)≥(λ，－λ)·(λ－1,1－λ)，∴2λ2－4λ＋1≤0，解得1－≤λ≤1＋，因为点P 是线段AB 上的一个动点，所以22220≤λ≤1，即满足条件的实数λ的取值范围是1－≤λ≤1.225.如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝，AB ＝2，AD ＝1，若M ，N 分别是边AD ，CD π3上的点，且满足＝＝λ，其中λ∈[0,1]，则·的取值范围是( )MDAD NCDC AN→ BM→ A ．[－3，－1] B ．[－3,1]C ．[－1,1] D ．[1,3]答案　A解析　以A 为原点，AB ，垂直于AB 所在的直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则B (2,0)，A (0,0)，D .(12，32)∵满足＝＝λ，λ∈[0,1]，MDAD NCDC ∴＝＋＝＋(1－λ)＝＋(1－λ)＝＋(1－λ)(2,0)＝，AN → AD → DN → AD → DC → AD → AB → (12，32)(52－2λ，32)＝＋＝－＋(1－λ)＝(－2,0)＋(1－λ)＝，BM → BA → AM → AB → AD → (12，32)(－32－12λ，32(1－λ))·＝·AN → BM → (52－2λ，32)(－32－12λ，32(1－λ))＝＋×(1－λ)(52－2λ)(－32－12λ)3232＝λ2＋λ－3＝2－.(λ＋12)134∵λ∈[0,1]，二次函数的对称轴为λ＝－，12则函数在[0,1]上单调递增，故当λ∈[0,1]时，λ2＋λ－3∈[－3，－1]．6．设0≤θ<2π，已知两个向量＝(cos θ，sin θ)，＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量OP 1→ OP2→长度的最大值是( )P 1P 2——→ A. B. C ．3 D ．22323答案　C解析　∵＝－＝(2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ)，P 1P 2——→ OP2→ OP 1→ ∴||＝＝≤3.P 1P 2——→ (2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)210－8cos θ2当cos θ＝－1时，||有最大值3.P 1P 2——→ 27．已知△ABC 的三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，P 为AB 边上任意一点，则·(－)CP→ BA → BC → 的最大值为________．答案　9解析　根据题意，建立直角坐标系，如图，∴A (0,3)，B (4,0)，C (0,0)，∴＝(4，－3)，AB→ ＝＋＝＋λ＝(0,3)＋(4λ，－3λ)＝(4λ，3－3λ)，λ∈[0,1]，CP → CA → AP → CA → AB→ ∴·(－)＝·＝(4λ，3－3λ)·(0,3)＝9－9λ∈[0,9]，CP→ BA → BC → CP → CA → ∴·(－)的最大值为9.CP→ BA → BC → 8．若a ＝(2,2)，|b |＝1，则|a ＋b |的最大值为________．答案　2＋12解析　因为|b |＝1，设b ＝(cos θ，sin θ)，则a ＋b ＝(2＋cos θ，2＋sin θ)，则|a ＋b|＝＝＝(2＋cos θ)2＋(2＋sin θ)24(cos θ＋sin θ)＋9≤＝＝2＋1，当且仅当sin＝1时取等号．42sin (θ＋π4)＋99＋42(22＋1)22(θ＋π4)9．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·(a ＋b )＝2.求|a －λb |的最小值．解　由|a |＝1，a ·(a ＋b )＝2，可知a ·b ＝1，根据向量求模公式得|a －λb |＝，4λ2－2λ＋1易知，当λ＝时，|a －λb |取得最小值为.143210．△ABC 中，AB ＝2，AC ＝2，∠BAC ＝45°，P 为线段AC 上任意一点，求·的取2PB→ PC → 值范围．解　设＝t (0≤t ≤1)，PC→ AC → 则＝(1－t )，AP → AC → 因为＝－＝－(1－t )，PB → AB → AP → AB → AC → 所以·＝[－(1－t )]·t PB → PC → AB → AC → AC → ＝t ·－t (1－t )2AB → AC → AC → ＝2×2t ·cos 45°－t (1－t )×(2)222＝8t 2－4t ＝82－.(t －14)12因为0≤t ≤1，所以－≤·≤4，12PB→ PC → 所以·的取值范围为.PB → PC→ [－12，4]11．如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝θ，点D 为BC 的三等分点．则·AD→ 的取值范围为( )BC→A. B.(－113，133)(13，73)C.D.(－53，73)(－53，553)答案　C解析　∵＝＋＝＋AD → AB → BD → AB → 13BC→＝＋(－)＝＋，AB → 13AC → AB → 23AB → 13AC → ∴·＝·(－)AD → BC → (23AB → ＋13AC →)AC → AB → ＝－||2＋||2＋·23AB → 13AC → 13AB → AC →＝－×4＋×9＋×2×3cos θ＝2cos θ＋.23131313∵－1<cos θ<1，∴－<2cos θ＋<.531373∴·∈.AD → BC → (－53，73)12.如图，延长线段AB 到点C ，使得＝2，D 点在线段BC 上运动，点O ∉直线AB ，满AB → BC→ 足＝λ＋μ，则λμ的取值范围是( )OD → OA → OB→A.B.[－32，0][－2，23]C.D ．[－1,1][－34，0]答案　C解析　不妨设AB ＝2BC ＝2，BD ＝x ，x ∈[0,1]，由平面向量三点共线可知，＝ ＋ ，OB → 22＋x OD → x2＋x OA→ ∴＝－，OD → 2＋x 2OB → x 2OA → ∴λ＝－，μ＝，x ∈[0,1]，x22＋x2则λμ＝－＝－(x 2＋2x )，(2＋x )x414∴λμ∈.[－34，0]13．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |＝1，若a ·b ＝，则(a ＋b )·(2b －c )的取值范围是( )12A ．[1,2＋]B ．[1,3＋]33C ．[3－，2＋]D ．[3－，3＋]3333答案　D解析　因为a ·b ＝，设a 与b 的夹角为θ，12则a·b ＝|a|·|b|cos θ＝，解得θ＝，而|a|＝|b|＝|c|＝1，则可设a ＝(1,0)，由θ＝可得b ＝12π3π3.(12，32)由|c |＝1，设c ＝(sin α，cos α)，则(a ＋b )·(2b －c )＝2a·b ＋2b 2－a·c －b·c＝1＋2－sin α－(12sin α＋32cos α)＝3－＝3－sin.(32sin α＋32cos α)3(α＋π6)所以当α＝时取得最大值为3＋，当α＝时取得最小值为3－，所以(a ＋b )·(2b －c )的4π33π33取值范围为[3－，3＋]．3314．已知|a |＝|b |＝a ·b ＝2，c ＝(2－4λ)a ＋λb ，则(c －a )·(c －b )的最小值为________．答案　－4952解析　∵c －a ＝(1－4λ)a ＋λb ，c －b ＝(2－4λ)a ＋(λ－1)b ，∴(c －a )·(c －b )＝[(1－4λ)a ＋λb ]·[(2－4λ)a ＋(λ－1)b ]＝(16λ2－12λ＋2)a 2＋(－8λ2＋7λ－1)a ·b ＋(λ2－λ)b 2，代入|a |＝|b |＝a ·b ＝2，原式＝52λ2－38λ＋6，∴当λ＝时，原式取得最小值，为－.1952495215．已知正三角形ABC 按如图所示的方式放置，AB ＝4，点A ，B 分别在x 轴的正半轴和y轴的正半轴上滑动，则·的最大值是________．OA → OC →答案　12解析　设∠OAB ＝θ，θ∈，(0，π2)则A (4cos θ，0)，C ，(4cos θ＋4cos (2π3－θ)，4sin (2π3－θ))所以·＝4cos θ·OA → OC → [4cos θ＋4cos (2π3－θ)]＝4cos θ(2cos θ＋2sin θ)3＝4cos 2θ＋4＋4sin 2θ3＝8sin ＋4，θ∈，(2θ＋π6)(0，π2)故当2θ＋＝，即θ＝时，·有最大值12.π6π2π6OA → OC → 16．已知向量a ＝(，－1)，b ＝.3(12，32)(1)求与a 平行的单位向量c ；(2)设x ＝a ＋(t 3＋3)b ，y ＝－k ·t a ＋b ，若存在t ∈[0,2]，使得x ⊥y 成立，求k 的取值范围．解　(1)设c ＝(x ，y )，根据题意得Error!解得Error!或Error!∴c ＝或c ＝.(32，－12)(－32，12)(2)∵a ＝(，－1)，b ＝，3(12，32)∴a·b ＝0.∵x ⊥y ，∴－kt |a |2＋(t 2＋3)|b |2＝0.∵|a |＝2，|b |＝1，∴t 2－4kt ＋3＝0.问题转化为关于t 的二次方程t 2－4kt ＋3＝0在[0,2]内有解．令f (t )＝t 2－4kt ＋3，则当2k ≤0，即k ≤0时，∵f (0)＝3，∴方程t 2－4kt ＋3＝0在[0,2]内无解．当0<2k ≤2，即0<k ≤1时，由Δ＝16k 2－12≥0，解得k ≤－或k ≥，∴≤k ≤1.323232当2k >2，即k >1时，由f (2)≤0得4－8k ＋3≤0，解得k ≥，∴k >1.78综上，实数k 的取值范围为.[32，＋∞)。

问题15 平面向量中的最值、范围问题一、考情分析平面向量中的范围、最值问题是热点问题,也是难点问题,此类问题综合性强,体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数的最值,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合． 二、经验分享1.利用平面向量的数量积可以解决几何中的垂直、夹角、长度等问题,即只需将问题转化为向量形式,用向量的运算来求解.如果能够建立适当的直角坐标系,用向量的坐标运算往往更为简捷.1.平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略2.几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点,作为一类既能考查向量的线性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识,又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题,实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：①利用已知条件,结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；②将条件通过向量的线性运算进行转化,再利用①求解(较难)；③建系,借助向量的坐标运算,此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.3．坐标是向量代数化的媒介,通过向量的坐标表示可将向量问题转化为代数问题来解决,而坐标的获得通常要借助于直角坐标系. 对于某些平面向量问题, 若能建立适当的直角坐标系,可以使图形中复杂的几何关系转化为简单明朗的代数关系,减少推理过程,有效地降低思维量,起到事半功倍的效果．上面两题都是通过建立坐标系将向量问题转化为函数与不等式问题求解,体现了向量解题的工具性. 三、知识拓展 1．.2．四、题型分析(一) 平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,cos a b θ⋅⋅叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b ⋅.即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅,规定00a ⋅=,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算． 【例1】在边长为2的等边三角形ABC 中,D 是AB 的中点,E 为线段AC 上一动点,则ED EB ⋅的取值范围为【分析】利用向量的加法或减法法则,将向量,EB ED 分别表示,结合已知条件设|AE |x =（02x ≤≤）,将⋅用变量x 表示,进而转化为二次函数的值域问题．c a -表示点A,C 的距离即圆上的点与点A （4,0）的距离；∵圆心到B 的距离为,∴c a -的最大值为12+,故选：D ．【点评】建立直角坐标系的原则是能准确快捷地表示有关向量或点的坐标,正确找到变量间的关系,以及目标函数代表的几何意义是解题关键．【小试牛刀】【浙江省嘉兴市2019届高三第一学期期末】已知向量，满足，，则的取值范围是 A ． B ．C ．[D ．[【答案】D【解析】设点M 为平面中任意一点，点是关于原点对称的两个点，设，根据题意，根据椭圆的定义得到点M 的轨迹是以为焦点的椭圆，方程为. ,即.故答案为D.(三) 平面向量夹角的取值范围问题设11(,)a x y =,22(,)b x y =,且,a b 的夹角为θ,则．【例3】已知向量→OA 与→OB 的夹角为θ,0t 在时取得最小值,当0105t <<时,夹角θ的取值范围为（ ） A.0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.20,3π⎛⎫⎪⎝⎭【分析】将PQ 表示为变量t 的二次函数PQ,转化为求二次函数的最小值问题,当时,取最小值,由已知条件0105t <<,得关于夹角θ的不等式,解不等式得解．【点评】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解．【小试牛刀】已知非零向量,a b 满足2a b = ,若函数在R 上存在极值,则a 和b 夹角的取值范围为（ ） A. 0,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. ,3ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 2,33ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D. ,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】,设a 和b 夹角为θ,因为()f x 有极值,所以,即,即1cos 2θ<,所以,3πθπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．3．【辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019届高三上学期期末】中，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是（）A． B． C． D．【答案】C4．【安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测】如图，在中，，,为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为 ( )A． B． C． D．【答案】B则（当且仅当即时取“=”）.故的最小值为.5．【四川省攀枝花市2019届高三第一次统一考试】在四边形中,已知是边上的点,且, ,若点在线段(端点除外)上运动,则的取值范围是( )A． B． C． D．【答案】C6．【2018届浙江省台州市高三上学期期末】已知m , n 是两个非零向量,且1m =, 23m n +=,则m n n ++的最大值为C. 4D. 5 【答案】B 【解析】,,25n =-,,令,则,令()'0f x =,得x =∴当时, ()'0f x >,当时, ()'0f x <, ∴当x =时, ()f x 取得最大值,故选B.7．【2018届安徽省淮南市高三第一次（2月）模拟】已知G 是ABC 的重心,过点G 作直线MN 与AB , AC 交于点,M N ,且AM xAB =, AN y AC =, (),0x y >,则3x y +的最小值是( )A.83 B. 72 C. 52 D. 43【答案】D【解析】令故故当且仅当等号成立,故选D8.【2018上海市杨浦区高三数学一模】设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点,且满足0AB AC ⋅=,,,用1S 、2S 、3S 分别表示ABC ∆、ACD ∆、ABD ∆的面积,则123S S S ++的最大值是（ ） A.12B. 2C. 4D. 8 【答案】B9．【2018届河北省定州中学高中毕业班上学期期中】设向量,,a b c 满足2a b ==, 2a b ⋅=-,,则c 的最大值等于（ ）D. 1 【答案】A【解析】由2a b ==,2a b ⋅=-, ,可得,如图所示,设则,A,O,B,C 四点共圆,23AB =由三角形的正弦定理得外接圆的直径,当OC 为直径时,它的模c 最大,最大为4,故选A.12.【2018届湖南师范大学附属中学高三上学期月考】已知向量,a b 夹角为3π, 2b =,对任意x R ∈,有,则的最小值是__________．【答案】2【解析】,表示(),0P t 与的距离之和的2倍,当,,M P N 共线时,取得最小值2MN ,即有,故答13．【2018届江苏省泰州中学高三12月月考】在矩形ABCD 中, 3AB =, 1AD =,若M , N 分别在边BC , CD 上运动（包括端点,且满足,则AM AN ⋅的取值范围是__________．【答案】[1,9]14.【2018届安徽省蒙城“五校”联考】在ABC ∆中,点D 在线段BC 的延长线上,且12BC CD =,点O 在线段CD 上（与点,C D 不重合）,若,则x 的取值范围是__________．【答案】()2,0-【解析】 因为,因为12BC CD =,点O 在线段CD 上, 所以()0,2y ∈, 因为,所以()2,0x ∈-.15．【江苏省苏州市2019届高三上学期期末】如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的两个动点，且BM ＋DN ＝MN ，则的最小值是_______．【答案】又由，设，整理得，解得，所以，所以的最小值为.第11页共11页。