巧用向量方法求解决最值问题

巧用向量方法求解决最值问题梁常东1蒋晓云2（1钦州师专数学与计算机科学系 广西 钦州 535000 2桂林师专数学与计算机科学系 广西 桂林 541001）在中学数学中，对某些代数式的最值问题通常使用凑配技巧（如配方法）求解，现在高中数学增加了向量内容，我们使用向量方法求解最值问题，特别是一些无理式的最值问题，可以大大简化解题过程，提高解题效率，收到事半功倍的效果。

1 利用向量的数量积求最值设向量),,(y x m = ，),(b a n = 则n m与的数量积为：()by ax n m n m n m +=∠⋅=⋅,cos ，从而有：n m n m⋅≤⋅,当且仅当同向时取等号与n m （1）()22222222)( , b a by ax y x nn m m ++≥+⋅≥即 ,当且仅当同向时取等号与n m （2） 完全类似地，设向量),,(z y x m = ，),,(c b a n = ，则n m与的数量积为：~cz by ax n m ++=⋅，从而也有：n m n m ⋅≤⋅,当且仅当同向时取等号与n m ；()2222222222)(c b a cz by ax x y x nn m m ++++≥++⋅≥即 ，当且仅当同向时取等号与n m 。

在求解某些初等代数最值问题时，根据条件和结论的特点，将其转化为向量形式，利用向量的数量积，往往能避免繁杂的凑配技巧，使解答过程直观又易接受，下面举例说明：例1设y x,∈R +,且102=+y x ,求函数22y x w +=的最小值。

解:设)2,1(),y (x,==n m,由定义有：5,,1022222=+==+=⋅n y x m y x n m从而 ()22222nn m m y x w ⋅≥=+==205102=,当且仅当n m 与同向,即021>=y x 时取等号，所以当5.2,5==y x 时，22y x w +=取得最小值20。

构造平面向量巧解最值问题以《构造平面向量巧解最值问题》为标题，本文讨论的是一种可以用来解决最值问题的有效解决方案构造平面向量法，并分析其优势和存在的问题。

首先，让我们来回顾构造平面向量法的基本概念和步骤。

构造平面向量法是指，先将向量空间中的一个点A视为解空间的起始点，然后搜索另一个或多个点B，使其与点A组成一个平面向量，该平面向量可以满足给定的最值条件。

如果有多个满足给定最值条件的平面向量，那么就可以找到最优的平面向量 (使用最小二乘法等最小化工具)，从而获得最优解。

构造平面向量法包含以下几个重要步骤：首先，选定一个解空间中的起始点，然后，根据等式求解限定条件确定要搜索的下一点，最后，采用最优化技术（如最小二乘法）找出最优解。

构造平面向量法具有许多优点，首先，它是一种非常快速高效的求解方式，避免了极值搜索法可能遇到的局部最小值的问题；其次，它是一种灵活的求解方法，能够快速有效地应用于不同类型的最值问题；此外，它还具有普遍性，能够有效地处理多维最值问题以及各种求解空间的复杂最值问题。

尽管构造平面向量法在解决最值问题方面具有许多优点，但它也存在一些问题。

首先，构造平面向量法是非线性的，它无法解决高纬度最值问题；其次，它也会受到参数设置的影响，当参数设置不合理时可能会得到错误的解决方案；此外，它也受到初始点设置的影响，如果初始点设置不合理，也可能会得到错误的解。

综上所述，构造平面向量法是一种有效的最值解决方案，它在多种最值问题中都可以取得很好的效果，但是，它也有一定的局限性，应当根据实际的情况来合理地使用和调整参数，以获得有效的求解结果。

总之，构造平面向量法作为一种有效的最值解决方案，在多维最值问题中可以取得很好的效果，但在解决高维度最值问题时，需要进行参数设置和初始点设置以获得最佳解决结果。

【向量专题】2.向量中最值（取值范围）问题解题策略
向量题目在高考题中除了最常见的简单运算外，还有另外一种有些难度的题目，即向量题目中的最值问题（取值范围问题），类似于其他专题，最值问题中千年不变的常见方法有利用三角函数有界性和不等式法，这次课除了这两种方法外再给出两种方法，常见的解决向量最值问题的方法有如下四种：、
向量专题中两类向量不等式。

（常被忽略）利用三角函数有界性来解，但是需要注意一下，三角函数有界性是在运算中出现正余弦的形式，所以当题目中出现了三角坐标时，又或者题目中出现了圆，椭圆，半圆的时候，如果需要设其上点的坐标，最好设成三角函数坐标的形式。

利用基本不等式解决最值问题。

利用几何图形法解决最值问题，特别需要注意在给定形状三角形内的情况。

向量中的最值来自曹老师的高中数学课00:00 29:46 注意接下来的转化：
用到了任意性注意这个结论：
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------。

【高考地位】平面向量中的最值和范围问题,是一个热点问题，也是难点问题,这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围,如:向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题. 【方法点评】方法一 利用基本不等式求平面向量的最值使用情景：一般平面向量求最值问题解题模板:第一步 利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系；第二步 运用基本不等式求其最值问题; 第三步 得出结论。

例1.已知点A 在线段BC 上（不含端点），O 是直线BC 外一点,且20OA aOB bOC --=，则221a ba b b+++的最小值是___________ 【答案】222例2 如右图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,N M 两点，且,AM x AB AN y AC ==，则2x y +的最小值为( ）A ．2B ．13C ．3223+ D ．34【答案】C【变式演练1】如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,M N 两点，且,AM x AB AN y AC ==,则x y +的最小值为( ）A ．2B ．13C ．43D ．34【答案】CMNA BGQ考点：向量共线，基本不等式求最值【变式演练2】已知点A（1, 1)，B(4,0），C（2，2）．平面区域D由所有满足AP AB ACλμ=+(1≤≤a，1≤≤b）的点P（x，y)组成的区域．若区域D的面积为8,则a+b的最小值为．【答案】4考点:1、平面向量的线性运算；2、基本不等式． 【变式演练3】平行四边形ABCD 中，60,1,2,BAD AB AD P ∠===为平行四边形内一点,且22AP =，若),(R AD AB AP ∈+=μλμλ,则2u λ+的最大值为 ． 6【解析】试题分析：对),(R AD AB AP ∈+=μλμλ两边平方可得()()22AP AB AD λμ=+可化为222222APAB AB AD ADλλμμ=+⋅⋅+,据已知条件可得22122λμ=+≥,即λμ≤，又()22212223λλμ=++=+≤，则λ+≤. 考点：向量的数量积运算；基本不等式方法二 利用向量的数量积m n m n ⋅≤求最值或取值范围使用情景：涉及数量积求平面向量最值问题解题模板：第一步 运用向量的加减法用已知向量表示未知向量；第二步 运用向量的数量积的性质求解； 第三步 得出结论。

论单位向量的巧用作者：杨国栋来源：《神州·下旬刊》2013年第01期摘要：单位向量是一类特殊的向量，是数学中基本概念之一。

本文首先介绍了单位向量，然后从利用单位向量求有关函数的最值、证明定理、等式、简化几何中轨迹问题、解有关三角问题以及单位向量与角以及在立体几何中的应用几个方面进行了实例的应用分析，从而达到快捷解题的目的，最后做了相关的结语。

关键词：单位向量理解巧用向量是现代教学中一个重要的概念。

它是刻画现实和描述现实世界的重要数学模型，也是沟通数学与物理及其他学科的桥梁。

在中学数学的教学中，向量教学是很有重要研究价值的课题，已经受到人们广泛重视。

向量（vector）又称矢量，即既有大小又有方向的量叫做向量。

单位向量是一种特殊向量，在一些情况下，我们可以利用单位向量的特性来巧妙解决数学中的问题，其方法新颖，运算简捷，是启发学生思维的有效途径之一。

1单位向量的概念单位向量是一种特殊向量，单位向量是指模等于1的向量。

由于是非零向量，单位向量具有确定的方向。

一个非零向量与其模的倒数的乘积，可得与其方向相同的单位向量。

一个单位向量在平面直角坐标系上的坐标可表示为是：■，其中■。

其中■就是原向量在这个坐标系内的所在直线的斜率。

这个向量是它在直线的一个单位方向向量。

2 单位向量应用举例2.1.1 利用单位向量求有关函数的最值例求函数■的最大值与最小值。

分析：本题中函数等号右边的结构很象两个向量数量积的坐标运算，因此通过构造法，将函数■看作两个向量■与单位向量■的数量积，即■；然后利用向量数量积的性质■和当■与■同向时，■；当■与■反向时，■，便可求得函数■的最大值与最小值具体解法如下：解：设■，■，则■。

■所以由向量的性质得■，得■。

（1）当■与■同向时，y有最大值，■；（2）当■与■反向时，y有最小值，■。

大家还可利用前面介绍的两个同向单位向量相等的性质，求出函数■取得最大值与最小值时对应的x的角度（此处不再赘述）。

巧用向量求最值作者：吴孝刚来源：《速读·中旬》2014年第08期函数的最值问题，经常出现在中学各试题中，巧妙利用向量求函数的最大值，最小值等，可以使一些函数的最值问题的思路清晰，解题方法简捷巧妙，并富于规律性，趣味性。

定理 A、B为两个向量，则[A2≥（A· B）2B2]【证明】设两向量的夹角为[A2=A2·B2B2]. 则[A2=A2·B2B2]≥[A2B2cos2θB2=（A· B）2B2].一、巧用向量求未知数满足整式方程的代数式的最值例1 已知：实数[x、y]满足[x2+y2-2x+4y=0]，求[x-2y]的最值.【解】设[A=（x-1，y+2），B=（1，-2）].由[x2+y2-2x+4y=0]，得[5=x2+y2-2x+4y+5][=（x-1）2+（y+2）2=A2]≥[（A· B）2B2][=（x-1-2y-4）212+（-2）2=（x-2y-5）25]，所以0≤[x-2y]≤10.故[x-2y]的最小值是0，最大值是10.二、巧用向量求未知数满足三元一次方程及三元二次方程的最值例2 已知：实数[x1·x2·x3]满足方程[x1]+[x2]+[x3]=1，及[x21]+[x22]+[x23]=3，则[x3]最小值是多少？【解】方程可以化为[x1]+[x2]=1-[x3]，[x21]+[x22]=3-[x23]，巧设向量A=（[x1]，[12][x2]），B=（1，[12]），则3- [x23]=[x21]+ [x22]=│A│2≥ = [x1][x2]= （1-[x3]）2。

解3- [x23]≥（1-[x3]）2，得- ≤[x3]≤3，故[x3]的最小值是.三、巧用向量求未知数满足整式方程的分式的值例3 已知：实数[x]，[y]满足方程（[x]+2）2+[y]2=1，则[y][x]的最小值是多少？【解】设[y][x]=[k]，则[y]-1=[k][x]-2[x]，[y]=[k][x]-2[k]+1.设A=（[x]+2，[k][x]-2[k]+1），B =（[k]，-1）则1=（[x]+2）2+[y]2=（[x]+2）2+（[k][x]-2[k]+1）2=│A│2≥ =[k][x][x][k][x][x][k]= [k]，所以（4[k]-1）2≤[k]2+1，即[k]（15[k]-8）≤0，解得0≤[k]≤.故[y][x]的最小值是0.四、巧用向量求无理函数的值域例4 求函数[y]=[1994-x]+[x-1993]的值域。