第1课时解直角三角形引入
复习引入
教师讲解：上一节我们介绍了直角三角函数．我们知道，一个直角三角形有许多元素的值，各三边的长，三个角的度数，三角的正弦、余弦、正切值．我们现在要研究的是，我们究竟要知道直角三角形中多少值就可以通过公式计算出其他值．
探究新知
概念的引入
教师讲解题目含意：现在我们来看本章引言提出的有关比萨斜塔倾斜的问题．
1 先看1972年的情形：设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如课本图28．2-1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m．
sin=
5.2
54.5
BC
AB
≈0.0954．
所以∠A≈5°08′．
教师要求学生求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角．
2 要想使人完全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°，现有一个长6m的梯子，问：
1．使用这个梯子最高可以完全攀上多高的墙（精确到0.1m）？
2．当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？
教师对问题的解法进行分析：对于问题1，当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．
教师要求学生将上述问题用数学语言表达，学生做完后教师总结并板书：我们可以把问题1归结为：在Rt△ABC 中，已知∠A=75°，斜边AB=6，求∠A的对边BC的长．
图28．2-1
教师讲解问题1的解法：
由sinA=BC
AB
得BC=AB·sinA=6×sin75°．
由计算器求得sin75°≈0.97，
所以BC≈6×0.97≈5.8．
因此使用这个梯子能够完全攀到墙面的最大高度约是5.8m．
教师分析问题2：当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC=2.4，斜边AB=6，求锐角a的度数．
教师解题：由于cosa=AC
AB
=
2.4
6
=0.4，
利用计算器求得a≈66°．因此当梯子底端距离墙面2.4m时，•梯子与地面所成的角大约是66°，由50°<66°<75°可知，这时使用这个梯子是安全的．
随堂练习
如下图，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD．
学生做完此题后教师要讲评：
解题方法分析：由A作一条平行于CD的直线交BD于E，构造出Rt△ABE，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD．设置此题，即使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的．
解：过A作AE∥CD，于是有AC=ED，AE=CD．
在Rt△ABE中，sinA=BE AB
∴BE=AB·sinA=160·sin11°=30.53（米）．
cosA=AE AB
∴AE=AB·cosA=160·cos11°=157.1（米）．
∴BD=BE+ED=BE+AC=30.53+1.5=32.03（米）．
CD=AE=157.1（米）．
答：BD的高及水平距离CD分别是32.03米，157.1米．课时总结
利用三角函数解应用题时，首先要把问题的条件与结论都转化为一个直角三角形内的边和角，然后再运用三角函数知识解题．
教后反思
_________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 第1课时作业设计
课本练习
做课本第92页习题28．2复习巩固第1题、第2题．
双基与中考
1．根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________•其它所有元素的过程，即解直角三角形．
2．Rt △ABC 中，若sinA=45
，AB=10，那么BC=_____，tanB=______． 3．在△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________． 4．（2006年中考题），在△ABC 中，∠C=90°，sinA=
35，则cosA 的值是（ ） A ．35 B ．45 C ．916.2525
D 5．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC ．
（1）求证：AC=BD;（2）若sinC=1213
，BC=12，求AD 的长．
答案:
1．已知两个 2．8 34 3．45
4．B 5．（1）在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，
∴tanB=,cos ;AD AD DAC BD AC
∠= 又∵tanB=cos ∠DAC ．∴BD=AC ．
https://www.doczj.com/doc/9919177013.html, A
（2）∵sinC=12
13
，设AD=12x，AC=13x，•∴CD=•5x，BD=13x，则BC=18x，
又∵BC=12，∴18x=12，即x=2
3
，
∴AD=8．
23.2.1 解直角三角形及方位角的应用 课后作业：方案（B） 一、教材题目：P125练习T2，T3，P128练习T2 1．在Rt△ABC中，根据下列条件，解直角三角形（∠C=90°）； （1）∠A=30°，c=8；（2）a=35，c=352； （3）a=14，∠A=36°；（4）a=30，b=15. 2．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=8，AD=6，∠D=43°.求四边形的面积（精确到0.01）. 3．一船向东航行，上午9：00到达灯塔C的西南60n mile的A处，上午10:00 到达灯塔C的正南的B处. (1)画出示意图； （2）求这船的航行速度（结果保留根号）. 二.补充: 部分题目来源于《点拨》 4．〈山东滨州〉在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝72°，AB＝10，则边AC的长约为(精确到0.1)( ) A．9.1 B．9.5 C．3.1 D．3.5 5．如图所示，小明为了测量其所在位置A到河对岸点B的距离，他沿着与AB 垂直的方向走了m m，到达点C，测得∠ACB＝α，那么AB等于( ) A．m·sin αm B．m·tanαm C．m·cosαm D. m tan α m
6．数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A，B间的距离，他们设计了如图所示的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E 沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同学分别测得三组数据： (1)AC，∠ACB；(2)AD，∠F；(3)CD，∠ACB，∠ADB，其中能根据所测 数据求得A，B两棵树间的距离的有( ) A．0组 B．一组 C．二组 D．三组 7．〈湖北襄阳〉在等腰三角形ABC中，∠A＝30°，AB＝8，则AB边上的高CD的长是____________． 8．如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业的渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50 海里/小时，则A，B之间的距离为__________(取3≈1.7，结果精确到0.1 海里)． 9．〈重庆〉如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形，若AB＝2，求△ABC的周长(结果保留根号)． 10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tan A＝4 3 .点D，E分别是边 BC，AC上的点，且∠EDC＝∠A.将△ABC沿DE所在直线对折，若点C恰
第1课时解直角三角形引入 复习引入 教师讲解：上一节我们介绍了直角三角函数．我们知道，一个直角三角形有许多元素的值，各三边的长，三个角的度数，三角的正弦、余弦、正切值．我们现在要研究的是，我们究竟要知道直角三角形中多少值就可以通过公式计算出其他值． 探究新知 概念的引入 教师讲解题目含意：现在我们来看本章引言提出的有关比萨斜塔倾斜的问题． 1 先看1972年的情形：设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如课本图28．2-1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m． sin= 5.2 54.5 BC AB ≈0.0954． 所以∠A≈5°08′． 教师要求学生求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角． 2 要想使人完全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°，现有一个长6m的梯子，问： 1．使用这个梯子最高可以完全攀上多高的墙（精确到0.1m）？ 2．当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？ 教师对问题的解法进行分析：对于问题1，当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度． 教师要求学生将上述问题用数学语言表达，学生做完后教师总结并板书：我们可以把问题1归结为：在Rt△ABC 中，已知∠A=75°，斜边AB=6，求∠A的对边BC的长． 图28．2-1
教师讲解问题1的解法： 由sinA=BC AB 得BC=AB·sinA=6×sin75°． 由计算器求得sin75°≈0.97， 所以BC≈6×0.97≈5.8． 因此使用这个梯子能够完全攀到墙面的最大高度约是5.8m． 教师分析问题2：当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC=2.4，斜边AB=6，求锐角a的度数． 教师解题：由于cosa=AC AB = 2.4 6 =0.4， 利用计算器求得a≈66°．因此当梯子底端距离墙面2.4m时，•梯子与地面所成的角大约是66°，由50°<66°<75°可知，这时使用这个梯子是安全的． 随堂练习 如下图，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD． 学生做完此题后教师要讲评： 解题方法分析：由A作一条平行于CD的直线交BD于E，构造出Rt△ABE，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD．设置此题，即使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的． 解：过A作AE∥CD，于是有AC=ED，AE=CD． 在Rt△ABE中，sinA=BE AB ∴BE=AB·sinA=160·sin11°=30.53（米）． cosA=AE AB ∴AE=AB·cosA=160·cos11°=157.1（米）． ∴BD=BE+ED=BE+AC=30.53+1.5=32.03（米）． CD=AE=157.1（米）． 答：BD的高及水平距离CD分别是32.03米，157.1米．课时总结
沪科版九年级数学上册第23章解直角三角形知识点 【考点1 锐角三角函数的定义】 【方法点拨】锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,都叫做角A的锐角三角函数。 正弦（sin）等于对边比斜边，余弦（cos）等于邻边比斜边正切（tan）等于对边比邻边. 【例1】（2020?平房区二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，若BC＝m，则AB的长为（） A．m cosα B．m?cosαC．m?sinαD．m?tanα 【考点2 网格中的锐角三角函数值计算】 【方法点拨】解决此类问题的关键在于构造直角三角形，利用勾股定理求解各边的长度，有时还会运用面积法来求解关键边的长度. 【例2】（2020?岳麓区模拟）如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（） 【考点3 锐角三角函数的增减性】 【方法点拨】解决此类问题的关键在于掌握锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时， 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 【例3】（2019秋?新乐市期中）sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（） A．cos28°＜cos58°＜sin58°B．sin58°＜cos28°＜cos58° C．cos58°＜sin58°＜cos28°D．sin58°＜cos58°＜cos28° 【考点5 互余两角三角函数的关系】 【方法点拨】解决此类问题的关键在于掌握互余角的三角函数间的关系：sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα, 【例5】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα＝sin B；②sinβ＝sin C； ③sin B＝cos C；④sinα＝cosβ．其中正确的结论有．【考点6 特殊角的三角函数值的计算】 【方法点拨】解决此类问题的关键在于熟记特殊角三角函数值： 【例6】（2020?灌云县模拟）计算： （1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45° （2） cos230° 1+sin30° +tan260° 【考点8 解直角三角形】 【方法点拨】解决此类问题的关键在于解直角三角形（Rt△ABC,∠C＝90°） ①三边之间的关系：a2+b2=c2；②两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；③边角之间的关系；正弦（sin）等于对边比斜边，余弦（cos）等于邻边比斜边正切（tan）等于对边比邻边.；④解直角三角形中常见类型：①已知一边一锐角．②已知两边． 【例8】（2020秋?沙坪坝区校级月考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，sin B= 4 5．（1）求线段CD的长度； （2）求cos∠C的值． 【考点9 解斜三角形】 【方法点拨】解决此类问题的关键在于作垂线将斜三角形分割成两个直角三角形，进而通过解直角三角形进行求解. 【例9】（2020春?牡丹江期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（） A．6√2B．2√19C．2√13D．9 【考点10 解直角三角形（作垂线）】 【例10】（2019?包头模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝3，CD＝5，∠BCD＝120°，∠ADC+∠ABC＝180°．（1）求△BCD的面积； （2）求cos∠ADB．
第一章直角三角形的边角关系 1 锐角三角函数 第1课时正切与坡度 1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系．2．能用表示直角三角形中两直角边的比来表示物体的倾斜程度和坡度(坡比)等．3．能根据直角三角形的边角关系，用正切进行简单的计算． 重点 理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切关注数学与生活的联系． 难点 理解正切的意义，并用它来表示两边的比． 一、情境导入 师：梯子是我们日常生活中常见的物体．我们经常听人们说这个梯子放得“陡”，那个梯子放得“平缓”，人们是如何判断的？ 课件出示下图，提出问题： (1)甲组中EF和AB哪个梯子比较陡？你是怎么判断的？有几种判断方法？ (2)乙组中AB和EF哪个梯子比较陡？你是怎么判断的？ 甲组乙组 二、探究新知 引导学生阅读教材第2～4页的内容，完成以下问题： 1．比较梯子的倾斜程度
(1)如图，这里摆放的三组梯子，每组梯子中哪一个更陡？梯子的倾斜程度与什么有关？ (2)分别求出每组图中的 AC BC 与ED FD ，想一想它们的比值与梯子的倾斜程度有什么关系？ 2. 如下图，小明想通过测量B 1C 1及 AC 1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B 2C 2及 AC 2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度．你同意小亮的看法吗？ (1)Rt △AB 1C 1和 Rt △AB 2C 2有什么关系？ (2)B 1C 1AC 1和B 2C 2AC 2 有什么关系？ (3)如果改变B 2在梯子上的位置呢？ 由此你得出什么结论？ 3．正切是如何定义的？ 4．梯子的倾斜程度与tan A 的值有什么关系？ 5．坡度是如何定义的？ 三、举例分析 例 如图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？
九年级数学下册《解直角三角形》全章教 案新人教版 九年级数学下册《解直角三角形》全章教案（新人教版） 第一课时：锐角三角函数 教学目标： 知识目标：初步了解正弦、余弦、正切的概念；能正确地用sinA、cosA、___表示直角三角形中两边的比；熟记30°、45°、60°角的三角函数，并能根据这些值说出对应的锐角度数。 能力目标：逐步培养学生观察、比较、分析和概括的思维能力。 情感目标：提高学生对几何图形美的认识。 教学程序：
一、探究活动 1.通过特殊角30°、45°、60°的直角三角形探究直角三角 形的边角关系。 2.归纳三角函数的定义。 sinA = 对边/斜边，cosA = 邻边/斜边，tanA = 对边/邻边 3.例1.求如图所示的直角三角形Rt⊿ABC中的sinA、cosA、___的值。 二、探究活动二 1.让学生画30°、45°、60°的直角三角形，分别求sin30°、cos45°、tan60°，并归纳结果。 sinA cosA ___ 30° 1/2 √3/2 √3/3
45° √2/2 √2/2 1 60°√3/2 1/2 √3 2.求下列各式的值。 1) sin30° + cos30° 2) 2sin45° - cos30° + tan60° - tan30° 三、拓展提高 1.P82例4.（略） 2.如图，在直角三角形ABC中，∠A = 30°，tanB = 1/3，AC = 2√3，求AB。 四、小结 通过本节课的研究，我们初步了解了正弦、余弦、正切的概念，并学会了用sinA、cosA、___表示直角三角形中两边的
比。同时，我们也熟记了30°、45°、60°角的三角函数，并能 根据这些值说出对应的锐角度数。 五、作业 课本p86 2、3、6、7、8、10 第二课时：解直角三角形应用（一） 教学目标： 知识目标：使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。 能力目标：通过综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。
22.1.4 平行线分线段成比例 教学目标 【知识与技能】 1.使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论,并会灵活应用. 2.使学生掌握三角形一边的平行线的判定定理. 【过程与方法】 通过学习定理再次锻炼类比的数学思想,能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形,通过应用锻炼识图能力和推理论证能力. 【情感、态度与价值观】 通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般,并能欣赏数学表达式的对称美,提高学习数学的兴趣. 重点难点 【重点】 平行线分线段成比例定理和推论及其应用. 【难点】 平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用. 教学过程 一、复习引入 教师多媒体课件出示: 1.求下列各式中x∶y的值.
(1)3x=7y; (2)y=x;(3)y∶x=4∶7. 2.已知x∶2=y∶3=z∶6,求(x+y-z)∶(4x+6y+z). 教师找两位学生分别板演1、2题,其余同学在下面做,教师巡视,然后集体订正. 二、共同探究,获取新知 师:平行于三角形一边的直线,在另外两边上截得的线段是怎样的呢? 生:…… 教师多媒体课件出示: 已知:如图,过△ABC的AB边上任意一点D作直线DE平行于BC,交AC 于点E,求证:=. 师:你能证明这个问题吗? 学生思考、讨论. 教师边操作边讲解:我们可以作辅助线,连接BE、CD,再过点E作AB 上的垂线段h. 师:现在你能猜出可以转化为哪两个三角形的面积之比吗?
学生思考后回答:能,可以转化为△ADE和△BDE的面积之比. 师:你是怎样得到的呢? 生:△ADE的面积等于AD与h乘积的一半,△BDE的面积等于BD与h 乘积一半,所以==. 师:你回答得太好了!我们要证的是=,我们把AD与DB的比转化为了两个三角形的面积之比.再证出什么就能得到结论了? 学生思考后回答:再证出=. 师:对,你们太聪明了!你怎么证明这个相等关系呢? 生:过点D向AC边作垂线,与前面同理可证出这个相等关系. 师:很好!这样我们就证出=. 由这个比例式,你能推出哪些线段也是成比例的?还有哪些比例式也是成立的呢? 学生思考,教师提示. 生甲:=. 生乙:=. 师:对!上面的图形,也可看作是直线BC平行于△ADE的一边与另外两边的延长线相交而得到的.于是我们能得到一个定理. 教师提示大家读出书上的推论,并板书: 定理平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的对应线段成比例. 师:这个定理可推广成一般的形式.
23.2 解直角三角形及其应用 一、选择题（共4题） 1．如图，已知一商场自动扶梯的长为10米，该自动扶梯到达的高度h为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tan θ的值等于()． A． B． C． D． 2．如图，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B，取∠ABD ＝145°，BD＝500 m，∠D＝55°，要A，C，E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是()． A．500sin 55° m B．500cos 55° m C．500tan 55° m D． 3.等腰三角形的两条边长分别是4 cm、9 cm，则等腰三角形的底角的余弦值是( ) A. B. C. D. 4.如图，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高度为( ) A.a B.atanα C.a(sinα－cosα) D.a(tanβ－tanα) 二、填空题（共5题） 5．如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6 m，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是__________ m.
6．如图，小明在操场上距离旗杆18 m的C处，用测角仪测得旗杆AB的顶端A的仰角为30°，已知测角仪CD的高为1.4 m，那么旗杆AB的高为________ m．(保留三位有效数字) 7.有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人.小敏想知道校园内一棵大树的高度（如图），他测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮他算出树高AB,约为________________米. （注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2） 三、计算与解答题（共4题） 8. 如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶．在航行到B处时，发现灯塔A在我军舰的正北方向500米处；当该军舰从B处向正西方向行驶至C处时，发现灯塔A在我军舰的北偏东60°的方向．求该军舰行驶的路程(计算过程和结果均不取近似值)． 9．如图，一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达A点时，从地面C处的雷达站测得AC的距离是6 km，仰角是43°.1 s后，火箭到达B点，此时测得BC的距离是6.13 km，仰角为45.54°，解答下列问题：
22.5综合与实践测量与误差 教学目标 【知识与技能】 进一步巩固相似三角形的知识;能够运用三角形相似的知识解决不能直接测量的物体的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题)等一些实际问题. 【过程与方法】 通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型进一步了解数学建模的思想,培养学生分析问题、解决问题的能力. 【情感、态度与价值观】 体会数学在生活中的作用,增强学习数学的兴趣,树立学好数学的信心. 重点难点 【重点】 运用三角形相似的知识计算不能直接测量的物体的长度和高度. 【难点】 灵活运用三角形相似的知识解决实际问题,即如何把实际问题抽象为数学问题. 教学过程 一、问题引入 问:世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家,叫什么金字塔?
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔,被喻为“世界古代七大奇观之一”.塔的4个斜面正对东南西北四个方向,塔基呈正方形,每边长约230多.据考证,为建成大金字塔,共动用了10万人花了20年时间.原高146.59米,但由于经过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀,所以高度有所降低. 在古希腊,有一位伟大的科学家叫泰勒斯.一天,希腊国王阿马西斯对他说:“听说你什么都知道,那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧!”,这在当时的条件下是个大难题,因为是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗? 二、新课教授 【例1】 (测量金字塔高度的问题)根据史料记载,古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成两个相似三角形来测量金字塔的高度. 如图,木杆EF长2m,它的影长FD为3m,测得OA为201m,求金字塔的高度. 分析:根据太阳光的光线是互相平行的特点,可知在同一时刻的阳光下,竖直的两个物体的影子互相平行,从而构造相似三角形,再利用相似三角形的判定定理和性质,根据已知条件求出金字塔的高度. 解法一:∵AB∥DE,
沪科版九年级上册数学第23章解直角 三角形含答案 一、单选题(共15题，共计45分) 1、如图，在等边中，，，分别是，，上的点，，，，则的面积与的面积之比等于（） A.1∶3 B.2∶3 C. ∶2 D. ∶3 2、如图，在□ABCD中，AB∶AD=3∶2，∠ADB=60°，那么cosＡ的值等于 （） A. B. C. D. 3、如图，延长RT△ABC斜边AB到点D，使BD=AB，连接CD，若 tan∠BCD=，则tanA=（） A. B.1 C. D. 4、按科学记算器MODE MODE 1，使显示器显示D后，求sin90°的值，以下按键顺序正确的是（）
A. sin ， 9= B.9， sin= C. sin ， 9，0= D.9，0= 5、sin60°的值为（） A. B. C. D. 6、如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为30度的斜坡铺设管道，若量得水管AB 的长度为80米，那么点B离水平面的高度BC的长为（） A. 米 B. C.40米 D.10米 7、如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B 向A走去 当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3米 , CA=1米, 则树的高度为（） A.4.5米 B.6米 C.3米 D.4米 8、如图，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC= ，点P是AD边上的一个动点， 连结BP，点C关于直线BP的对称点为C 1，当点P运动时，点C 1 页随之运 动。若点P从点A运动到点D，则线段CC 1 扫过的区域面积是A.π B. C. D.
9、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM是BC边上的中线，sin∠CAM=，则tanB的值为（） A. B. C. D. 10、如图，下列正确的是（） A. B. C. D. 11、如图，AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若∠DPB=α，那么 等于（） A.tanα B.sina C.cosα D. 12、在平面直角坐标系中，已知点A（3，0），点B（0，－4），则tan∠OAB 的值为（）． A. B. C. D.
解直角三角形的应用是九年级数学上学期第二章第四小节的内容．本小节的学习重点在于理解仰角、俯角、方向角、坡度、坡角等概念，并能利用其解决实际问题． 1、仰角与俯角 在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角． 【例1】如图，，FB// AC，从A看D的仰角是______；从B看D的俯角是______；从A 看B的______角是______；从D看B的______角是______． 【难度】★
【答案】；；仰；；仰；． 【解析】考查仰角、俯角的基本定义． 【例2】升国旗时，某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼．当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角为30°．若双眼离地面1.5米，则旗杆的高度为______米．（用含根号的式子表示） 【难度】★ 【答案】． 【解析解：如图所示，AB为旗杆，CD为某同学． 则，，， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角的理解． 【例3】如图，两建筑物水平距离为a米，从点A测得点C的俯角为，测得点D的俯角为，则较低建筑物CD的高为（） A．a米B．（）米 C．米D．米 【难度】★ 【答案】D 【解析】过C作CE⊥AB，垂足为E． 由题意有：，，
在中，， ∴ 在中，， ∴ ∴ 【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对俯角的理解． 【例4】如图，河对岸有一座铁塔AB，若在河这边C、D处分别用测角仪器测得顶部A的仰角为30°、45°，已知CD = 30米，求铁塔的高．（结果保留根号） 【难度】★★ 【答案】． 【解析】解：由题意可得：，． 设，则， 在中，， ∴，解得：． 【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角的理解． 【例5】如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为60°，看这栋高楼底部的俯角为30°，热气球与高楼的水平距离为120m，请问：这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m） 【难度】★★ 【答案】277.1米． 【解析】解：由题意可得：，， 在中，， ∴，∴． 在中，， ∴，∴． ∴ 【总结】本题主要考查锐角三角比的实际应用以及对仰角、俯角的理解和运用．
《直角三角形的性质和判定（第1课时）》教学设计 一、教学内容 本节课的主要内容是直角三角形的性质和判定。 二、教学目标 1.知识目标： （1）学习直角三角形的特点； （2）了解直角三角形的性质； （3）学会如何判断一个三角形是否是直角三角形。 3.情感目标： （1）培养学生对三角形的兴趣； （2）锻炼学生的判断力与综合能力。 三、课前准备 1.教师准备：备好教学目标，准备集体游戏、抗旋转弹性竹竿等体现直角三角形特点的教具；准备计算直角三角形特征的题目。 2.学生准备：准备集体游戏、抗旋转弹性竹竿等体现直角三角形特点的工具，准备计算直角三角形特征的练习题。 四、教学过程 （一）热身准备 1.让学生观察抗旋转弹性竹竿，让学生熟悉它所呈现的直角三角形形状； 2.用象形游戏介绍数学有关的直角三角形的概念，如：“拿起你的三角形，我们看谁的三角形最长”、“我们一起竖起来，形成一个大大的三角形”。 （二）新课呈现 1.介绍直角三角形的定义，这是一个有三条边的三角形，其中有一个角是90度； 2.让学生了解直角三角形的三大性质，如簇边性质、锐角性质、正方形性质； 3.利用LOGO 想象游戏，让学生通过编程绘制出直角三角形，并介绍直角三角形的面积公式；
4.探讨直角三角形的关系，引出勾股定理来扩展直角三角形的内容，让学生大胆去推 测直角三角形的各个特征； 5.用实际例题介绍直角三角形的判定方法。例如：一个三角形的边长为3、4、5，求 解是否为直角三角形？ （三）实践活动 1.拓展：让学生结合自己已知的现象和经验，理解和推测“勾股定理”； 2.创新：可延伸勾股定理到三角形的判定中，结果和勾股定理同构； 3.比较：可形象地在纸上用不同长度的边缘拼成三角形，用一字记号表示直角、钝角，并把所有结果总结在一张表格中，熟悉不同的三角形的特征。 （四）检验提高 1.向学生提出问题，让学生计算某个直角三角形的面积； 2.让学生根据直角三角形的性质，判断一些三角形是否为直角三角形； 3.让学生根据一个某个角的三角函数值，求出该角的三角形面积。 五、板书设计 课题：直角三角形的性质和判定 内容： 1.直角三角形的定义：这是一个有三条边的三角形，其中有一个角是90度； 2.直角三角形的三大性质：簇边性质；锐角性质；正方形性质； 3.勾股定理：“任意一条边的平方等于其它两条边的平方之和”； 4.直角三角形的判定：根据三边的长度来判断。
解直角三角形（1） 教学目标 使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角关系解直角三角形. 教学过程 一、引入新课 如图所示，一棵大树在一次强烈的台风中于地面10米处折断倒下，树顶落在离数根24米处.问大树在折断之前高多少米? 显然，我们可以利用勾股定理求出折断倒下的部分 的长度为102＋242＝26 26＋10＝36所以， 大树在折断之前的高为36米. 二、新课 1．解直角三角形的定义. 任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出末知元素的过程，叫做解直角三角形.像上述的就是由两条直角边这两个元素，利用勾股定理求出斜边的长度，我们还可以利用直角三角形的边角关系求出两个锐角，像这样的过程，就是解直角三角形. 2．解直角三角形的所需的工具. (1)两锐角互余∠A＋∠B＝90° (2)三边满足勾股定理a2＋b2＝c2 (3)边与角关系sinA＝cosB＝a c，cosA＝sinB＝ b c，tanA＝cotB＝ a b，cotA＝tanB＝ b a. 3．例题讲解. 例1．如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离(精确到l米). 分析：本题中，已知条件是什么?(AB＝2000米， ∠CAB＝90°－∠CAD＝50°)，那么求AC的长是用 “弦”还是用“切”呢?求BC的长呢?显然， AC是直角三角形的斜边，应该用余弦函数， 而求BC的长可以用正切函数，也可以用余切函数. 讲解后让学生思考以下问题： (1)在求出后，能否用勾股定理求得BC； (2)在这题中，是否可用正弦函数求AC，是否可以用余切函数求得BC. 通过这道例题的分析和挖掘，使学生明确在求解直角三角形时可以根据题目的具体条件选择不同的“工具”以达到目的. 4．从上面的两道题可以看出，若知道两条边利用勾股定理就可以求出第三边，进而求出两个锐角，若知道一条边和一个锐角，可以.利用边角关系求出其他的边与角.所以，解直角三角形无非以下两种情况： (1)已知两条边，求其他边和角. (2)已知一条边和一个锐角，求其他边角. 三、练习
第23章解直角三角形 23.1 锐角的三角函数 1.锐角的三角函数 第1课时正切 教学目标: 1、理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。 2、了解计算一个锐角的正切值的方法。 教学重点： 理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值。 教学难点： 计算一个锐角的正切值的方法。 教学过程： 一、观察回答：如图某体育馆，为了方便不同需求的观众设计了多种形式的台阶。下列图中的两个台阶哪个更陡？你是怎么判断的？ 图（1）图（2） [点拨]可将这两个台阶抽象地看成两个三角形 答：图的台阶更陡，理由 二、探索活动 1、思考与探索一： 除了用台阶的倾斜角度大小外，还可以如何描述Array台阶的倾斜程度呢？ ①可通过测量BC与AC的长度，
A 2 C 1 B B C A 13 1 B A C 3 5 ② 再算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度。 （思考：BC 与AC 长度的比与台 阶的倾斜程度有何关系？）答：_________________. ③ 讨论：你还可以用其它什么方法？ 能说出你的理由吗？答：________________________. 2、思考与探索二： （1）如图，一般地，如果锐角A 的大小已确定， 我们可以作出无数个相似的RtAB 1C 1，RtAB 2C 2， RtAB 3C 3……，那么有：Rt △AB 1C 1∽_____∽____…… 根据相似三角形的性质， 得： 1 11AC C B ＝_________＝_________＝…… （2）由上可知：如果直角三角形的一个锐角的 大小已确定，那么这个锐角的对边与这个角的 邻边的比值也_________。 3、正切的定义 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 分别是∠A 的对边和邻边。我们将∠A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A_______，记作______。 即：tanA ＝________＝__________ （你能写出∠B 的正切表达式吗？）试试看. 4、牛刀小试 根据下列图中所给条件分别求出下列图中∠A 、∠B 的正切值。 （通过上述计算，你有什么发现？___________________.） A C 1 C 2A C 3 B 1 B 2 B 3 A 对边b C 对边a B 斜边c
15 5 《解直角三角形》（第一课时）教案 【教学目标】 （一）知识与技能目标 1、理解直角三角形中五个元素的关系； 2、会运用勾股定理、直角三角形两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形； （二）过程与方法目标 通过综合运用勾股定理、直角三角形两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。 （三）情感态度与价值观目标 渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯。 【教学重点】 直角三角形的解法。 【教学难点】 锐角三角函数在解直角三角形中的灵活运用。 二、教学过程 【情境导入】 1、 在三角形中共有几个元素？ 2、 在直角三角形中ABC 中。∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ （1） 锐角之间关系： （2） 三边之间关系： （3） 边角之间关系： 3、 课前小练： （1） 已知Rt △ABC 中。∠C=90°，∠A=35°，求∠B 。 （2） 已知Rt △ABC 中。∠C=90°，a=4，c=8，求的长。 （3） 已知Rt △ABC 中。∠C=90°，a=1， b=√3，求c ，∠A ，∠B 。 【探究新知】 【问题引入】知道5个元素中的几个，就可以求其余元素？ 1、在直角三角形中，如果已知其中两边长，你能求出这个三角形的其他元素吗？ 【例1】在Rt △ABC 中∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a=√￣ ，b=√￣ ， 求这个三角形的其他元素。
15 5 15 5 20 5 解：在Rt △ABC 中∠C=90°，根据勾股定理：a 2+b 2=c 2 且a=√￣ ，b=√￣ ∴ c 2=(√￣)2+(√￣ )2 =√￣ c =2√￣ sinB== ∴ ∠B=30° ∠A=60° 【学生思考】 我们已知直角三角形的两边长，求出其他未知元素，这个过程叫做什么？ 【概念归纳】 解直角三角形：有直角三角形中已知元素，求出所有未知元素的过程。 2、在直角三角形中，已知两边，我们可以求出其他元素。如果已知直角三角形的一边和一个锐角，你能求出这三个三角形的其他元素吗？ 【例2】在Rt △ABC 中∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b=30，∠B=30°，解这个直角三角形。 【学生练习】请学生用不同方法板演 （∠A=60°、a=30 、b=60） 3、我们已经能够根据直角三角形中的已知条件，求出未知元素，达到解直角三角形的目的，那如果已知两个锐角，能求出值个直角三角形的边长吗？ 【学生讨论并归纳】 ① 已知两边（一直角边，一斜边 或 两条直角边） 解直角三角形的条件可分为两大类： ② 已知一锐角、一边（直角边或斜边） 【教师讲解】解直角三角形除直角外，至少要知道两个元素（这两个元素中至少有一条边） 【反馈练习】 已知在Rt △ABC 中，∠C= 90°，a,b,c 分别是∠A ,∠B, ∠C 的对边， 根据下列条件解直角三角形: (1)c=10 , ∠A =30o （2）a=3，b=3 【课堂小结】1、解直角三角形的定义？ 2、解直角三角形所用到的知识？ 3、解直角三角形必须知道几个元素？ 【能力拓展】 如图，在⊿ABC 中,∠A=30°, tanB=1 ,AC=2 ,求AB. 【作业布置】详见课件
23.2解直角三角形及其应用 第1课时解直角三角形 教学目标 【知识与技能】 在理解解直角三角形的含义、直角三角形五个元素之间关系的基础上,会运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形. 【过程与方法】 通过综合运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力. 【情感态度价值观】 在探究学习的过程中,培养学生合作交流的意识,使学生认识到数与形相结合的意义与作用,体会到学好数学知识的作用,并提高学生将数学知识应用于实际的意识,从而体验“从实践中来,到实践中去”的辩证唯物主义思想,激发学生学习数学的兴趣.让学生在学习过程中感受到成功的喜悦,产生后继学习激情,增强学好数学的信心. 教学重难点 【教学重点】 直角三角形的解法。 【教学难点】 灵活运用勾股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。 课前准备 课件、教具等。 教学过程 一、情境导入 在直角三角形中，除了直角外，一共有五个元素，即三角形的三条边和两个锐角． 尝试探究已知哪些元素能够求出其他元素． 二、合作探究 探究点一：解直角三角形 【类型一】已知斜边和一直角边解直角三角形 李1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝23，a ＝3，解这个直角三角形． 解析：已知一条斜边和一条直角边，可以先利用勾股定理求出另一条直角边的长，再利用正弦或余弦求角的度数． 解：在Rt △ABC 中，b ＝c 2－a 2＝12－9＝ 3. ∵sin A ＝a c ＝323＝32 ，∴∠A ＝60°. ∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－60°＝30°. 方法总结：在解直角三角形时，可以画一个直角三角形的草图，按照题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，进而结合勾股定理、三角形内角和定理、锐角三角函数求解．
2 30°、45°、60°角的三角函数 第1课时 30°、45°、60°角的三角函数值 1．已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=3 5 ，AB=15，则AC 的长是（ ）． A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 2．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ）． A ．2 B 32．1 3．已知∠A 为锐角，且cosA ≤1 2 ，那么（ ） A ．0°<∠A ≤60° B ．60°≤∠A<90° C ．0°<∠A ≤30° D ．30°≤∠A<90° 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA=12 ，cosB= 3 2 ，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能确定 5．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BC=3，AC=4，设∠BCD=a ，则tanA•的值为（ ）． A ．34 B ．43 C ．35 D ．4 5 6．在△ABC 中，三边之比为a ：b ：c=132，则sinA+tanA 等于（ ）． A ． 3231 3331.32 B C D +++ 7．若（ 3 tanA-3）2 +│2cosB- 3 │=0，则△ABC （ ）． A ．是直角三角形 B ．是等边三角形 C ．是含有60°的任意三角形 D ．是顶角为钝角的等腰三角形 三、填空题． 1．已知，等腰△ABC•的腰长为4 3 ，•底为30•°，•则底边上的高为_____，•周长为___． 2．在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知tanB= 5 2 ，则cosA=________． 3．已知：α是锐角，tan α=7 24 ，则sin α=_____，cos α=_______ 四、计算： （ 5 ） sin 45cos3032cos 60︒+︒-︒ -sin60°（1-sin30°）．（6）
沪科版数学九年级上册23.2解直角三角形及其应用 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在下列情况下，可解的直角三角形是( ) A ．已知b=3，∠C=90° B ．已知∠C=90°,∠B=46° C ．已知a=3,b=6,∠C=90° D ．已知∠B=15°,∠A=65° 2．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3cos 5A = ，2a =，则b c +的值为（ ） A ．4 B ．8 C ．1 D ．6 3．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cos A =35 ，BE=2，则tan ∠DBE 的值（ ） A ．12 B ．2 C D 4．如图，在五边形ABCD E 中，A B ∠=∠，90C D E ∠=∠=∠=︒，4DE DC ==， AB =ABCDE 的周长是（ ） A ．16 B ．14+ C ．12+ D ．10 二、填空题 5．△ABC 中，∠C=90°，AB=8，cosA=34 ，则BC 的长 ． 6．如图，在ABC △中，cos A =tan 2 B =，A C =则AB =__________.
7．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3sin 5 A =，36a b c ++=，则a = __________，b =__________，c =__________，tan A =__________. 8．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，斜边AB 上的中线长为3，则斜边上的高长为__________. 9．已知：1ABC S =△，B 是钝角，1AB =，4AC =，则A ∠=__________度. 三、解答题 10．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ，点D 为BC 边上一点，且BD ＝2AD ，∠ADC ＝60°，求△ABC 的周长(结果保留根号)． 11．.如图，已知:在△ABC 中，∠A=60°,∠B=45°,AB=8.求△ABC 的面积（结果可保留根号）． 12．如图，AD 是△ABC 的中线，tan B ＝ 13，cos C ＝2 ，AC .求： （1）BC 的长； （2）sin ∠ADC 的值． 13．如图，在ABC ∆中，D 是AB 的中点，DC AC ⊥，且1tan 3 BCD ∠= ，求tan A 的值.