(北京版)新攻略大一轮课标通用夯基提能作业本：1-第一章2-第二节 常用逻辑用语 Word版含解析

2018版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语 1.1 集合及其运算教师用书文北师大版1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．(3)集合的常用表示法：列举法和描述法．(4)常见数集的记法2.集合间的基本关系A B(或B A)3.集合的基本运算【知识拓展】1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩∁U A＝∅；A∪∁U A＝U；∁U(∁U A)＝A.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．( ×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( ×)(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( ×)(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( √)(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．( √)(6)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( ×)1．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是( )A．{a}⊆A B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A答案 D解析由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝22，知a∉A.2．(2017·宝鸡市阳中学质检)若集合M＝{y|y＝x－2}，P＝{y|y＝x－1}，那么M∩P等于( ) A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)答案 C解析∵M＝{y|y＝1x2}＝{y|y>0}，P＝{y|y＝x－1}＝{y|y≥0}，∴M∩P＝{y|y>0}＝(0，＋∞)．3．已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B等于( ) A．{－1,0,1,2} B．{－2，－1,0,1}。

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第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件考纲要求考情分析命题趋势1。

理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.2017·天津卷，22017·浙江卷，62017·北京卷，72016·四川卷,22016·山东卷，51.判断命题的真假．2．写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题等．3．常以函数、不等式等知识为载体，考查一个命题是另一个命题的什么条件．4．求一个命题的充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件，或已知充要条件求参数的取值范围等。

分值：5分1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以__判断真假__的陈述句叫做命题，其中__判断为真__的语句叫做真命题，__判断为假__的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系若原命题为:若p，则q，则逆命题为__若q,则p__，否命题为__若¬p,则¬q__,逆否命题为__若¬q，则¬p__.(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题,它们有__相同__的真假性;两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性__没有关系__.3．充分条件与必要条件（1)若p⇒q，则p是q的__充分__条件，q是p的__必要__条件．(2)若p⇒q，且q⇒/ p，则p是q的__充分不必要__条件．（3）若p⇒/ q，且q⇒p，则p是q的__必要不充分__条件．(4)若p⇔q，则p是q的__充要__条件．(5)若p⇒/ q，且q⇒/ p,则p是q的__既不充分也不必要__条件．（6)若p是q的充分不必要条件，则¬q是¬p的__充分不必要__条件．4．用集合关系判断充分条件、必要条件以p:x∈A，q:x∈B的形式出现．(1）若p是q的充分条件,则A__⊆__B．（2）若p是q的必要条件，则B__⊆__A．（3)若p是q的充分不必要条件,则A____B．（4）若p是q的必要不充分条件，则B____A．(5）若p是q的充要条件，则A__＝__B．(6）若p是q的既不充分也不必要条件，则A____B且B____A．1．思维辨析(在括号内打“√"或“×")．（1)语句x2－3x＋2＝0是命题．( ×）(2）一个命题的逆命题与否命题，它们的真假性没有关系．( ×)（3)命题“如果p不成立，则q不成立”等价于“如果q成立，则p成立”．( √）(4）“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q"表达的意义相同．( ×)解析（1）错误．无法判断真假，故不是命题．（2)错误．一个命题的逆命题与否命题互为逆否命题,它们的真假性相同．(3）正确．一个命题与其逆否命题等价．（4）错误．“p是q的充分不必要条件”即为“p⇒q且q⇒/ p”，“p的充分不必要条件是q”即为“q⇒p且p⇒/ q”.2．下列命题为真命题的是( A)A．若错误!＝错误!，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则x＝错误! D．若x〈y,则x2<y2解析由1x＝错误!，得x＝y.故选A．3．命题“若α＝错误!，则tan α＝1”的逆否命题是( C）A．若α≠错误!，则tan α≠1B．若α＝错误!，则tan α≠1C．若tan α≠1,则α≠错误!D．若tan α＝1，则α＝错误!解析以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若tan α≠1,则α≠错误!”．故选C．4．设集合A,B，则“A⊆B"是“A∩B＝A”成立的( C）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析由A⊆B，得A∩B＝A;反过来，由A∩B＝A，且(A∩B)⊆B，得A⊆B，因此“A⊆B”是“A∩B＝A”成立的充要条件．故选C．5．（2017·天津卷)设x∈R，则“2－x≥0”是|x－1｜≤1的（B)A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析由|x－1|≤1，得0≤x≤2，∵0≤x≤2⇒x≤2，x≤2⇒/ 0≤x≤2.故“2－x≥0”是“｜x－1｜≤1”的必要而不充分条件．故选B．一四种命题及其相互关系与四种命题有关的问题的解题策略（1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．（2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题,只需举出反例．(3）根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假"这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．【例1】(1)(2018·山东邹平双语学校月考）已知命题p：若x＜－3,则x2－2x－8＞0,则下列叙述正确的是（D）A．命题p的逆命题是“若x2－2x－8≤0，则x＜－3"B．命题p的否命题是“若x≥－3，则x2－2x－8＞0”C．命题p的否命题是“若x＜－3，则x2－2x－8≤0”D．命题p的逆否命题是真命题（2）命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是（D）A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0B．若x＝y≠0,x，y∈R，则x2＋y2≠0C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0D．若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0（3)下列命题为真命题的是( B）A．命题“若x〉1，则x2>1”的否命题B．命题“若x〉y，则x〉｜y|"的逆命题C．命题“若x＝1,则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题(4)已知命题“若函数f(x）＝e x－mx在(0，＋∞）上是增函数，则m≤1",则下列结论正确的是( D）A．否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0,＋∞）上是减函数，则m〉1”，是真命题B．逆命题是“若m≤1,则函数f(x）＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C．逆否命题是“若m〉1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞）上是减函数”，是真命题D．逆否命题是“若m〉1，则函数f（x）＝e x－mx在（0，＋∞）上不是增函数”，是真命题解析(1）命题p:若x〈－3,则x2－2x－8〉0的逆命题为：若x2－2x－8〉0,则x〈－3,A项错误；命题p：若x〈－3，则x2－2x－8>0的否命题为：若x≥－3，则x2－2x－8≤0,B，C 项错误;命题p：若x〈－3,则x2－2x－8>0是真命题，则命题p的逆否命题是真命题．故选D．(2）将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0。

【高考领航】高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语文北师大版第1课时集合的概念与运算1．集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3．集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合的关系及运算．1．集合与元素(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系①a属于集合A，用符号语言记作a∈A.②a不属于集合A，用符号语言记作a∉A.(3)常见集合的符号表示(4)集合的表示法：列举法、描述法、2．集合间的基本关系A B或B A∅⊆A，∅B(B≠∅) 3.∈A，∈B}∈A，∈B}|x，且x∉A}∪B[基础自测]1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,4}，N＝{1,3,5}，则N∩(∁U M)＝( ) A．{1,3} B．{1,5}C．{3,5} D．{4,5}解析：∵∁U M＝{2,3,5}，∴N∩∁U M＝{1,3,5}∩{2,3,5}＝{3,5}．答案：C2．(教材改编题)设集合A＝{x|2≤x<4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∩B等于( ) A．{x|3≤x<4} B．{x|x≥3}C．{x|x>2} D．{x|x≥2}解析：∵B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|5x≥15}＝{x|x≥3}，∴A∩B＝{x|3≤x<4}，故选A. 答案：A3．已知集合A＝{0,1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为( )A．1 B．4C．1或4 D．36解析：∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，解得x＝1或4，故选C.答案：C4．用符号∈或∉填空：(－1,1)________{y|y＝x2}；(－1,1)________{(x，y)|y＝x2}．解析：∵{y|y＝x2}中元素是数，而(－1,1)表示一组有序实数对或一个点，∴(－1,1)∉{y|y＝x2}．(－1,1)∈{(x，y)|y＝x2}．答案：∉∈5．已知集合A＝{－1,2}，B＝{x|mx＋1＝0}，若A∪B＝A，则m的值为________．解析：A∪B＝A⇔B⊆A，若B＝∅，则m＝0，若B≠∅，则－1m ＝－1或－1m＝2，∴m ＝1或m ＝－12.答案：0,1，－12大一轮复习考点一 集合的基本概念[例1] (1)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5D ．9(2)设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________． 审题视点 (1)令x ∈A ，y ∈A 逐个求解x －y . (2)讨论B 中每个元素分别为3，注意互异性．解析 (1)①当x ＝0时，y ＝0,1,2，此时x －y 的值分别为0，－1，－2； ②当x ＝1时，y ＝0,1,2，此时x －y 的值分别为1,0，－1； ③当x ＝2时，y ＝0,1,2，此时x －y 的值分别为2,1,0. 综上可知，x －y 的值可能为－2，－1,0,1,2，共5个，故选C. (2)∵A ∩B ＝{3}，∴3∈B ，∴当a ＋2＝3即a ＝1时，B ＝{3,5}，满足题意 当a 2＋4＝3时，a 2＝－1无意义，故a ＝1. 答案 (1)C (2)1(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么.(2)利用元素与集合的关系求字母参数时，要注意分类讨论思想的应用．1．(2016·淮北质检)定义集合运算：A ※B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A ※B 的所有元素之和为( ) A ．0 B ．2 C ．3D ．6解析：依题意，A ※B ＝{0,2,4}，∴它的所有元素之和为6.答案：D2．(2015·高考湖北卷)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为( )A．77 B．49C．45 D．30解析：A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}＝{(x，y)|x＝±1，y＝0；或x＝0，y＝±1；或x＝0，y＝0}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}＝{(x，y)|x＝－2，－1,0,1,2；y＝－2，－1,0,1,2}．A⊕B表示点集．由x1＝－1,0,1，x2＝－2，－1,0,1,2，得x1＋x2＝－3，－2，－1,0,1,2,3，共7种取值可能．同理，由y1＝－1,0,1，y2＝－2，－1,0,1,2，得y1＋y2＝－3，－2，－1,0,1,2,3，共7种取值可能．当x1＋x2＝－3或3时，y1＋y2可以为－2，－1,0,1,2中的一个值，分别构成5个不同的点，当x1＋x2＝－2，－1,0,1,2时，y1＋y2可以为－3，－2，－1，0,1,2,3中的一个值，分别构成7个不同的点，故A⊕B共有5×2＋5×7＝45个元素．答案：C考点二 集合间的基本关系[例2] (1)已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________. (2)若集合P ＝{x |3＜x ≤22}，非空集合Q ＝{x |2a ＋1≤x ＜3a －5}，则能使Q ⊆(P ∩Q )成立的所有实数a 的取值范围为( ) A ．(1,9) B ．[1,9] C ．[6,9)D ．(6,9]审题视点 (1)先化简A ，然后根据A ⊆B 借助数轴求解， (2)首先分析P 与Q 的关系，构造集合端点符合的不等式．解析 (1)由log 2x ≤2得0<x ≤4，即A ＝{x |0<x ≤4}，而B ＝(－∞，a )， 由于A ⊆B ，如图所示，则a >4，即c ＝4.(2)依题意，P ∩Q ＝Q ，Q ⊆P ，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1＜3a －5，2a ＋1＞3，3a －5≤22.解得6＜a ≤9，即实数a 的取值范围是(6,9]，选D. 答案 (1)4 (2)D(1)已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系式．解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．(2)①通过集合之间的关系，求参数的取值范围，最终是要通过比较区间端点的大小来实现，因此确定两个集合内的元素，成为解决该类问题的关键．由于元素的属性中含有参数，所以分类讨论成为必然，分类讨论时要注意不重不漏．②对于集合的包含关系，B ⊆A 时，别忘记B ＝∅的情况．对于端点的虚实可单独验证．1．(2016·厦门模拟)已知集合A ＝{}1，2，3，B ∩A ＝{}3，B ∪A ＝{}1，2，3，4，5，则集合B 的子集的个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9解析：由题意知B ＝{}3，4，5，集合B 含有3个元素，则其子集个数为23＝8(个)． 答案：C2．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：利用命题的真假判断充要条件． ∵A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，A ⊆B ， ∴a ∈B 且a ≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．答案：A考点三集合的基本运算[例3] (1)(2014·高考广东卷)已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝( )A．{0,1} B．{－1,0,2}C．{－1,0,1,2} D．{－1,0,1}(2)(2014·高考山东卷)设集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0,2]}，则A∩B＝( )A．[0,2] B．(1,3)C．[1,3) D．(1,4)审题视点(1)用Venn图求并集．(2)先将集合化简，再求交集．解析(1)根据题意画出Venn图，如图所示．故M∪N＝{－1,0,1,2}．(2)由|x－1|<2，解得－1<x<3，由y＝2x，x∈[0,2]，解得1≤y≤4，∴A∩B＝(－1,3)∩[1,4]＝[1,3)．答案(1)C (2)C在进行集合运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍．1．(2015·高考课标卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )A．5 B．4C．3 D．2解析：集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.答案：D2．(2015·高考山东卷)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|(x－1)(x－3)＜0}，则A∩B＝( )A．(1,3) B．(1,4)C．(2,3) D．(2,4)解析：由题意知B＝{x|1＜x＜3}，又因为A＝{x|2＜x＜4}，所以A∩B＝{x|2＜x＜3}，即A∩B＝(2,3)．答案：C以集合为背景的新定义题[典例] 对于数集X＝{－1，x1，x2，…，x n}，其中0＜x1＜x2＜…＜x n，n≥2，定义向量集Y＝{a|a＝(s，t)，s∈X，t∈X}．若对任意a1∈Y，存在a2∈Y，使得a1·a2＝0，则称X具有性质P.例如{－1,1,2}具有性质P.(1)若x＞2，且{－1,1,2，x}具有性质P，求x的值；(2)若X具有性质P，求证：1∈X，且当x n＞1时，x1＝1.解题指南首先借助题目中给的实例理解“性质P”，再选取a1，利用“试解”的方法寻找a2，从而求x.规范解答(1)选取a1＝(x,2)，Y中与a1垂直的元素必有形式(－1，b)，所以x＝2b，从而x＝4.4分(2)证明：取a1＝(x1，x1)∈Y.设a2＝(s，t)∈Y满足a1·a2＝0.由(s＋t)x1＝0得s＋t＝0，所以s，t异号．因为－1是X中唯一的负数，所以s，t之中一为－1，另一为1，故1∈X.6分假设x k＝1，其中1＜k＜n，则0＜x1＜1＜x n.选取a1＝(x1，x n)∈Y并设a2＝(s，t)∈Y满足a1·a2＝0，即sx1＋tx n＝0，则s，t异号，从而s，t之中恰有一个为－1.8分若s＝－1，则x1＝tx n＞t≥x1，矛盾；若t＝－1，则x n＝sx1＜s≤x n，矛盾．所以x1＝1.12分阅卷点评本题读准题意，合理转化是突破该题的关键点．创新点评(1)本题为新定义问题，命题设制新颖．(2)内容创新：以元素与集合的关系为背景，以向量的数量积运算为载体，通过新定义将二者有机地结合起来，考查阅读理解能力和知识迁移运用能力．(3)根据逻辑分析，推理的方法，考查了创新意识和解决问题的能力．备考建议(1)认真阅读，准确提取信息，是解决此问题的前提．(2)剥去新概念、新方法的外表，将陌生转化为熟悉，是解决此问题的关键．◆一个性质要注意应用A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁U A⊇∁U B、A∩(∁U B)＝∅这五个关系式的等价性．◆两种方法Venn图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．如全集U＝R，A＝{x|a≤x≤a＋1}，B＝{x|x<－1}，若A∩(∁U B)＝∅，则a的范围为a<－2.◆三个防范(1)注意区分几种常见集合．研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．(2)注意空集的特殊性．空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A⊆B，则需考虑A＝∅和A≠∅两种可能的情况．(3)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．课时规范训练[A级基础演练]1．(2015·高考天津卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{2,3,5}，集合B＝{1,3,4,6}，则集合A∩(∁U B)＝( )A．{3} B．{2,5}C．{1,4,6} D．{2,3,5}∁U B＝{2,3,5}∩{2,5}＝{2,5}．解析：∁U B＝{2,5}，A∩()答案：B2．(2015·高考课标卷Ⅱ)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝( )A．(－1,3) B．(－1,0)C．(0,2) D．(2,3)解析：将集合A与B在数轴上画出(如图)．由图可知A∪B＝(－1,3)，故选A.答案：A3．(2016·天津河西区训练)设集合P＝{1,2,3,4,5,6}，Q＝{x∈R|2≤x≤6}，那么下列结论正确的是( )A．P∩Q＝P B．P∩Q QC．P∪Q＝Q D．P∩Q P解析：根据集合的定义可知P∩Q＝{2,3,4,5,6}，所以只有D选项正确．答案：D4．(2015·高考江苏卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．解析：∵A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，∴A∪B＝{1,2,3,4,5}，∴A∪B中元素个数为5.答案：55．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x －1≤2}和N ＝{x |x ＝2k －1，k ＝1,2，…}的关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有________个．解析：M ＝{x |－1≤x ≤3}，M ∩N ＝{1,3}． 答案：26．已知集合M ＝{}1，m ，N ＝{}n ，log 2n ，若M ＝N ，则(m －n )2 016＝__________.解析：由M ＝N 知⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝1，log 2n ＝m 或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝m ，log 2n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝2.即(m －n )2 016＝1或0.答案：1或07．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值． (1)9∈(A ∩B )； (2){9}＝A ∩B . 解：(1)∵9∈(A ∩B )， ∴9∈B 且9∈A ， ∴2a －1＝9或a 2＝9， ∴a ＝5或a ＝±3. 检验知：a ＝5或a ＝－3. (2)∵{9}＝A ∩B ， ∴9∈(A ∩B )， ∴a ＝5或a ＝－3.a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}，此时A ∩B ＝{－4,9}与A ∩B ＝{9}矛盾，所以a ＝－3.8．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R }． (1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[1,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝1，m ＋2≥3，得m ＝3.(2)∁R B ＝{x |x ＜m －2或x ＞m ＋2}． ∵A ⊆∁R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1. ∴m ＞5或m ＜－3.[B 级 能力突破]1．(2016·辽宁沈阳期中)已知集合M ＝{x |x >x 2}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝4x 2，x ∈M，则M ∩N ＝( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <12 B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <1C.{}x | 0<x <1D ．{}x | 1<x <2解析：对于集合M ，由x >x 2，解得0<x <1， ∴M ＝{x |0<x <1}．∵0<x <1，∴1<4x<4.∴12<4x 2<2.∴N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪12<y <2. ∴M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <1，故选B. 答案：B2．(2016·广州模拟)对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥－94，B ＝{x |x <0}，则A⊕B ＝( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，0B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－94∪[0，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－94∪(0，＋∞) 解析：∵A －B ＝{x |x ≥0}，B －A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－94， ∴A ⊕B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－94或x ≥0.答案：C3．(2016·合肥模拟)如图，已知R 是实数集，集合A ＝{x |log 12(x －1)>0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x －3x<0，则阴影部分表示的集合是( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(0,1)D ．(0,1]解析：图中阴影部分表示集合B ∩(∁R A )，又A ＝{x |1<x <2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x <32，∴∁R A ＝{x |x ≤1或x ≥2}，B ∩(∁R A )＝{x |0<x ≤1}． 答案：D4．设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪x 24＋y 216＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：∵集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪x 24＋y 216＝1. ∴A 中的元素为椭圆x 24＋y 216＝1上的点，A ∩B 中的元素为椭圆和指数函数y ＝3x图像的交点，如图，可知其有两个不同交点，记为A 1，A 2，则A ∩B 的子集应为∅，{A 1}，{A 2}，{A 1，A 2}，共4个，故选A.答案：A5．(2016·宁夏银川一中模拟)已知集合A ＝{a ，b,2}，B ＝{2，b 2,2a }，且A ∩B ＝A ∪B ，则a ＝________.解析：因为A ∩B ＝A ∪B ，所以A ＝B ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a ，b ＝b 2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1.，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.所以a 的值为0或14.答案：0或146．(2016·河南郑州质检)已知集合A ，B ，定义集合A 与B 的一种运算A ⊕B ，其结果如下表所示：A {1,2,3,4} {－1,1} {－4,8} {－1,0,1}B {2,3,6} {－1,1} {－4，－2,0,2} {－2，－1,0,1}A ⊕B{1,4,6}∅{－2,0,2,8}{－2}按照上述定义，若解析：由给出的定义知，集合A ⊕B 的元素是由所有属于集合A 但不属于集合B 和属于集合B 但不属于集合A 的元素构成的，即A ⊕B ＝{x |x ∈A 且x ∉B ，或x ∈B 且x ∉A }．故M ⊕N ＝{－2 014,2 015，－2 015,2 016}．答案：{－2 014,2 015，－2 015,2 016}7．设函数f (x )＝x 2－4x ＋3，g (x )＝3x－2，集合M ＝{x ∈R |f (g (x ))＞0}，N ＝{x ∈R |g (x )＜2}，则M ∩N 为______． 解析：函数f (g (x ))＝(3x－2)2－4(3x－2)＋3＝(3x)2－8·3x＋15＝(3x－3)(3x－5)．由f(g(x))＞0得(3x－3)(3x－5)＞0，所以3x＞5或3x＜3，所以x＞log35或x＜1，所以M＝{x|x＞log35或x＜1}．由g(x)＜2得3x－2＜2，即3x＜4，解得x＜log34，所以N＝{x|x＜log34}．所以M∩N＝{x|x＞log35或x＜1}∩(x|x＜log34)＝{x|x＜1}．答案：{x|x＜1}第2课时命题及其关系、充分条件与必要条件1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．1．命题(1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．(2)特点：能判断真假、陈述句．(3)分类：真命题、假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件前提：条件为p，结论为q.定义：(1)若p⇒q，称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若p⇔q，称p是q的充要条件，q也是p的充要条件．(3)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．[基础自测]1．(教材改编题)给出命题：“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题． 答案：A2．“x >2”是“1x <12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若x >2则1x <12，但1x <12x >2.如当x ＝－1时，1x ＝－1<12，但x 不大于2.答案：A3．命题“若a <b ，则a －1<b －1”的逆否命题是( ) A ．若a －1≥b －1，则a ≥b B ．若a >b ，则a －1>b －1 C ．若a －1>b －1，则a >bD ．若a ≥b ，则a －1≥b －1解析：“若p ，则q ”的逆否命题为“若綈q ，则綈p ”，故选A. 答案：A4．若集合A ＝{1，m 2}，B ＝{2,4}，则“m ＝2”是“A ∩B ＝{4}”的________条件． 解析：m ＝2⇒A ∩B ＝{4}，但A ∩B ＝4 m ＝2.答案：充分不必要5．(教材改编题)下列命题中所有真命题的序号是________． ①“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件； ②“|a |>|b |”是“a 2>b 2”的必要条件； ③“a >b ”是“a ＋c >b ＋c ”的充要条件． 解析：①a >ba 2>b 2，为假．②a 2>b 2⇒|a |>|b |，为真．③a >b ⇔a ＋c >b ＋c ，为真． 答案：②③考点一 四种命题及其关系[例1] (1)命题“若a ＞b ，则2a＞2b”的否命题是( ) A ．若a ＞b ，则2a≤2bB ．若2a ＞2b，则a ＞b C ．若a ≤b ，则2a≤2bD ．若2a≤2b，则a ≤b(2)(2014·高考辽宁卷)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )A．p∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)审题视点(1)根据否命题的定义改写．(2)先判断命题的真假，再利用含逻辑联结词命题真假的判断进行求解．解析(1)否命题为“若a≤b，则2a≤2b”．(2)法一：取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)，显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题．a，b，c是非零向量，由a∥b知a＝x b，由b∥c知b＝y c，∴a＝xy c，∴a∥c，∴q是真命题．综上知p∨q是真命题，p∧q是假命题．又∵綈p为真命题，綈q为假命题，∴(綈p)∧(綈q)，p∨(綈q)都是假命题．法二：由于a，b，c都是非零向量，∵a·b＝0，∴a⊥b.∵b·c＝0，∴b⊥c.如图，则可能a∥c，∴a·c≠0，∴命题p是假命题，∴綈p 是真命题．命题q中，a∥b，则a与b方向相同或相反；b∥c，则b与c方向相同或相反．故a与c方向相同或相反，∴a∥c，即q是真命题，则綈q是假命题，故p∨q是真命题，p∧q，(綈p)∧(綈q)，p∨(綈q)都是假命题．答案(1)C (2)A在根据给出的命题构造其逆命题、否命题、逆否命题时，首先要把原命题的条件和结论弄清楚，这样逆命题就是把原命题的条件和结论交换了的命题，否命题就是把原命题中否定了的条件作条件、否定了的结论作结论的命题，逆否命题就是把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论的命题．在这四种命题中原命题和逆否命题等价、否命题和逆命题互为逆否命题也是等价的．1．(2014·高考陕西卷)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假解析：原命题正确，所以逆否命题正确．模相等的两复数不一定互为共轭复数，同时因为逆命题与否命题互为逆否命题，所以逆命题和否命题错误．故选B.答案：B2．(2016·菏泽模拟)有以下命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的两个三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题． 其中正确的命题为( ) A ．①② B ．②③ C ．④D ．①②③解析：①“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”是真命题；②“面积不相等的三角形一定不全等”是真命题；③若m ≤1，Δ＝4－4m ≥0，所以原命题为真命题，故其逆否命题也是真命题；④由A ∩B ＝B ，得B ⊆A ，所以原命题为假命题，故其逆否命题也是假命题．故选D.答案：D考点二 充分条件与必要条件的判断[例2] (1)(2014·高考安徽卷)“x ＜0”是“ln(x ＋1)＜0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)已知p ：|x －10|＋|9－x |≥a 的解集为R ，q ：1a＜1，则綈p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件审题视点 (1)根据ln(x ＋1)＜0求出x 的范围后判断． (2)利用集合的包含关系判断．解析 (1)∵ln(x ＋1)＜0，∴0＜x ＋1＜1，∴－1＜x ＜0.∵x ＜0是－1＜x ＜0的必要不充分条件，故选B. (2)∵|x －10|＋|9－x |≥1，∴当|x －10|＋|9－x |≥a 的解集为R 时，a ≤1，∴綈p 是a ＞1， 由1a<1，得a ＞1或a ＜0，∴綈p q .答案 (1)B (2)A判断p 是q 的什么条件，基本方法是利用定义，即①若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件；②若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件；③若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；④若p ⇒q ，但qp ，则p 是q 的充分不必要条件；⑤若pq ，但q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；⑥若pq ，且qp ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，而大范围不能推出小范围．1．(2015·高考湖南卷)设A ，B 是两个集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，∴“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的充要条件．答案：C2．(2016·广西南宁测试)已知p：|x|<2；q：x2－x－2<0，则p是q的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：p：由|x|<2，得－2<x<2.q：由x2－x－2<0，得－1<x<2.∵{x|－1<x<2}{x|－2<x<2}，∴p是q的必要而不充分条件，故选B.答案：B考点三 充分条件、必要条件的应用[例3] 已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且綈p 是綈q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围． 审题视点 (1)先求出两命题的解集，即将命题化为最简．(2)再利用命题间的关系列出关于m 的不等式或不等式组，得出结论． 解 法一：由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0， 得1－m ≤x ≤1＋m ，∴綈q ：A ＝{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}， 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， ∴綈p ：B ＝{x |x >10或x <－2}． ∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件．∴A B ，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，即m ≥9或m >9.∴m ≥9.法二：∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件， ∴p 是q 的充分而不必要条件，由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m ， ∴q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }， 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， ∴p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}． ∵p 是q 的充分而不必要条件，∴P Q ，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧m >01－m ≤－21＋m >10，即m ≥9或m >9. ∴m ≥9.本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．1．已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2＋x <a 2－a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[－1,2]D ．⎝⎛⎦⎥⎤－2，12∪[2，＋∞) 解析：由4x －1≤－1，即4x －1＋1≤0， 化简，得x ＋3x －1≤0，解得－3≤x <1； 由x 2＋x <a 2－a ，得x 2＋x －a 2＋a <0，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，即p 是q 的必要不充分条，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集．设f (x )＝x 2＋x －a 2＋a ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧f －3＝－a 2＋a ＋6≥0，f 1＝－a 2＋a ＋2≥0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ≤3，－1≤a ≤2.解得－1≤a ≤2，故选C.答案：C2．已知集合M ＝{x |x <－3或x >5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}． (1)求实数a 的取值范围，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件；(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件．解：(1)由M ∩P ＝{x |5<x ≤8}，得－3≤a ≤5，因此M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件是{a |－3≤a ≤5}．(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a |－3≤a ≤5}中取一个值，如取a ＝0，此时必有M ∩P ＝{x |5<x ≤8}；反之，M ∩P ＝{x |5<x ≤8}未必有a ＝0，故a ＝0是M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分不必要条件．因考虑充分必要条件不全面致误[典例] 设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解题指南①弄清题目中谁是条件，谁是结论：条件是“|a·b|＝|a||b|”，结论是“a∥b”．解题目标是什么？判定|a·b|＝|a||b|⇒a∥b还是a∥b⇒|a·b|＝|a||b|.②探究转化关系一方面：由|a·b|＝|a||b|，讨论零向量与非零向量，结合数量积定义探究a与b的关系．另一方面：由a∥b，计算|a·b|.解析若|a·b|＝|a||b|，若a，b中有零向量，显然a∥b；若a，b均不为零向量，则|a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|，∴|cos〈a，b〉|＝1，∴〈a，b〉＝π或0，∴a∥b，即|a·b|＝|a||b|⇒a∥b.若a∥b，则〈a，b〉＝0或π，∴|a·b|＝||a||b|cos〈a，b〉|＝|a||b|，其中，若a，b有零向量也成立，即a∥b⇒|a·b|＝|a||b|.综上知，“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件．答案 C【回顾反思】①此题在推导过程中易忽略零向量的存在，导致解答不全面．②此类题务必要从两方面探究关系：即探究|a·b|＝|a|·|b|⇒a∥b后，还要探究a∥b⇒|a·b|＝|a||b|，结合充要条件的概念，才能正确作答．◆一个等价由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”．◆三种方法命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．(2)等价法：利用A⇒B与綈B⇒綈A，B⇒A与綈A⇒綈B，A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．课时规范训练[A 级 基础演练]1．(2015·高考重庆卷)“x >1”是“log 12(x ＋2)<0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵x >1⇒log 12(x ＋2)<0，log 12(x ＋2)<0⇒x ＋2>1⇒x >－1，∴“x >1”是“log 12(x ＋2)<0”的充分而不必要条件．答案：B2．(2016·安徽马鞍山一模)已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( ) A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3 B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3 C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3 D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3解析：否命题是原命题的条件和结论同时否定，故选A. 答案：A3．(2015·高考福建卷)“对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，k sin x cos x <x ”是“k <1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：借助函数的导数证明必要性成立，举反例说明充分性不成立．令f (t )＝sin t －t ，则f ′(t )＝cos t －1≤0恒成立，所以f (t )＝sin t －t 在[0，π]上是减函数，f (t )≤f (0)＝0，所以sin t <t (0<t <π)．令t ＝2x ，则sin 2x <2x ⎝⎛⎭⎪⎫0<x <π2，所以2sin x cos x <2x ，所以sin x cos x <x .当k <1时，k sin x cos x <x ，故必要性成立；当x ＝π3时，k sin 2x <2x可化为k <2×π3sin2π3＝4 3 π9，而43π9>43，取k ＝43，不等式成立，但此时k >1，故充分性不成立．答案：B4．有三个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题；③“若x ≤－3，则x 2＋x －6>0”的否命题． 其中真命题的个数为________．解析：命题①为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”是真命题；因为命题“若a >b ，则a 2>b 2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若x >－3，则x 2＋x －6≤0”，因为x 2＋x －6≤0⇔－3≤x ≤2，故命题③是假命题，综上知真命题只有1个．答案：15．(2016·随州模拟)若“x 2－2x －8>0”是“x <m ”的必要不充分条件，则m 的最大值为________． 解析：由x 2－2x －8>0得x >4或x <－2，由条件可知m ≤－2，∴m 的最大值为－2. 答案：－2 6．下列命题： ①若ac 2>bc 2，则a >b ；②若sin α＝sin β，则α＝β；③“实数a ＝0”是“直线x －2ay ＝1和直线2x －2ay ＝1平行”的充要条件； ④若f (x )＝log 2x ，则f (|x |)是偶函数． 其中正确命题的序号是__________．解析：对于①，ac 2>bc 2，c 2>0，则a >b 正确；对于②，sin 30°＝sin 150°⇒/ 30°＝150°，所以②错误；对于③，l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1，即－2a ＝－4a ⇒a ＝0且A 1C 2≠A 2C 1，所以③正确；④显然正确．答案：①③④7．(2016·开封调研)已知命题P ：“若ac ≥0，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”． (1)写出命题P 的否命题；(2)判断命题P 的否命题的真假，并证明你的结论．解：(1)命题P 的否命题为：“若ac ＜0，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”． (2)命题P 的否命题是真命题．证明如下： ∵ac ＜0，∴－ac ＞0⇒Δ＝b 2－4ac ＞0⇒一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根． ∴该命题是真命题．8．已知“|x －a |<1”是“x 2－6x <0”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解：∵|x －a |<1， ∴a －1<x <a ＋1. ∵x 2－6x <0，∴0<x <6.又∵|x －a |<1是x 2－6x <0的充分不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥0，a ＋1≤6，∴1≤a ≤5.经检验，当1≤a ≤5时，由x 2－6x <0不能推出|x －a |<1.所以所求实数a 的取值范围为[1,5]．[B 级 能力突破]1．(2015·高考湖北卷)设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3.若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；q ：(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2，则( )A ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：利用充分条件和必要条件的概念，结合特殊值进行推理判断．若p 成立，设a 1，a 2，…，a n 的公比为q ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝a 21(1＋q 2＋…＋q 2n －4)·a 22(1＋q 2＋…＋q2n －4)＝a 21a 22(1＋q2＋…＋q2n －4)2，(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2＝(a 1a 2)2(1＋q 2＋…＋q 2n －4)2，故q 成立，所以p 是q 的充分条件．取a 1＝a 2＝…＝a n ＝0，则q 成立，而p 不成立，所以p 不是q 的必要条件，故选B.答案：B2．(2015·高考四川卷)设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a >3b>3”是“log a 3<log b 3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．即不充分也不必要条件解析：∵3a >3b >3，∴a >b >1，此时log a 3<log b 3正确；反之，若log a 3<log b 3，则不一定得到3a >3b>3，例如当a ＝12，b ＝13时，log a 3<log b 3成立，但推不出a >b >1.故“3a>3b>3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件．答案：B3．(2015·陕西五校联考)已知p ：2x －1≤1，q ：(x －a )(x －a －1)≤0.若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：令A ＝{x |2x －1≤1}，得A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1，令B ＝{x |(x －a )(x －a －1)≤0}，得B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若p 是q 的充分不必要条件，则A B ，需⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ＋1≥1⇒0≤a ≤12，故选A.答案：A4．已知条件p ：(1－x )(x ＋1)>0，条件q ：lg(1＋x ＋1－x 2)有意义，则綈p 是綈q 的________条件． 解析：由(1－x )(x ＋1)>0，得－1<x <1，即条件p ：－1<x <1，则綈p ：x ≤－1或x ≥1.由⎩⎨⎧1＋x ≥0，1－x 2≥0，1＋x ＋1－x 2>0.得－1<x ≤1.即条件q ：－1<x ≤1，则綈q ：x ≤－1或x >1. ∴綈p綈q ，但綈q ⇒綈p .∴綈p 是綈q 的必要不充分条件． 答案：必要不充分5．以下关于命题的说法正确的有__________(填写所有正确命题的序号)．①“若log 2a >0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数”是真命题； ②命题“若a ＝0，则ab ＝0”的否命题是“若a ≠0，则ab ≠0”； ③命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆命题为真命题； ④命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”等价．解析：对于①，若log 2a >0＝log 21，则a >1，所以函数f (x )＝log a x 在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，该命题的逆命题是“若x ＋y 是偶数，则x 、y 都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a ∈M ，则b ∉M ”与命题“若b ∈M ，则a ∉M ”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.答案：②④6．(2016·长沙模拟)若方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3，另一根小于3的充要条件是________． 解析：方程x 2－mx ＋2m ＝0对应的二次函数f (x )＝x 2－mx ＋2m ，∵方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3，∴f (3)<0，解得m >9，即：方程x 2－mx ＋2m ＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是m >9.答案：m >97．已知条件p ：|5x －1|>a ，条件q ：12x 2－3x ＋1>0，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A ，B 构造命题：“若A ，则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．解：条件p ：即5x －1<－a 或5x －1>a ， ∴x <1－a 5或x >1＋a 5，条件q ：2x 2－3x ＋1>0， ∴x <12或x >1.令a ＝4，即p ：x <－35或x >1.此时必有p ⇒q 成立，反之不然，故可以选取的一个实数是a＝4，A为p，B为q.对应的命题是若p则q.(答案不唯一)第3课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．2．理解全称量词与存在量词的意义．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．全称量词、存在量词与全称命题、特称命题2．全称命题与特称命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．要说明一个全称命题是错误的，只要举出一个反例即可，要说明特称命题是错误的，只要说明这个特称命题的否定是正确的即可．3．逻辑联结词(1)逻辑联结词通常是指“或”“且”“非”．(2)命题p且q，p或q，綈p的真假判断.[基础自测]1．已知命题p：任意x∈R，sin x≤1，则( )A．綈p：存在x∈R，sin x≥1B．綈p：任意x∈R，sin x≥1C．綈p：存在x∈R，sin x>1 D．綈p：任意x∈R，sin x>1解析：全称量词的否定应为存在量词．答案：C2．已知命题：p：3≥3；q：3>4，则下列选项正确的是( )A．p∨q为假，p∧q为假，綈p为真B．p∨q为真，p∧q为假，綈p为真C．p∨q为假，p∧q为假，綈p为假D．p∨q为真，p∧q为假，綈p为假解析：∵命题p：3≥3是真命题，q：3>4是假命题，∴p∨q为真，p∧q为假，綈p为假．答案：D3．如果命题“p或q”是真命题，命题“p且q”是假命题，那么( )A．命题p和q都是假命题B．命题p和q都是真命题C．命题p和q真假不相同D．以上答案都不对解析：据“p或q”一真则真，“p且q”一假则假知p和q一真一假．答案：C4．命题：“存在x∈R，使得e x＋2x－3＝0”的否定是________．解析：“存在量词”的否定是“全称量词”，“＝”的否定是“≠”．答案：任意x∈R，e x＋2x－3≠05．(教材改编题)命题“方程x2－2x－3＝0有且只有一个根是奇数”的否定是________．解析：一元二次方程最多有两个根，所以“有且只有一个”的否定是“有两个或没有”．答案：方程x2－2x－3＝0有两个根是奇数或没有奇数根考点一含有逻辑联结词的命题的真假判断[例1] (2014·高考湖南卷)已知命题p：若x＞y，则－x＜－y；命题q：若x＞y，则x2＞y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是( )A．①③B．①④C．②③D．②④审题视点先判定p与q的真假，再根据真值表求解．解析当x＞y时，－x＜－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．当x＞y时，x2＞y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨q为真命题，③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题．故选C.答案 C。

2018版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语 1.1 集合及其运算教师用书文北师大版1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．(3)集合的常用表示法：列举法和描述法．(4)常见数集的记法2.集合间的基本关系A B(或B A)3.集合的基本运算【知识拓展】1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩∁U A＝∅；A∪∁U A＝U；∁U(∁U A)＝A.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．( × )(2){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．( × ) (3)若{x 2,1}＝{0,1}，则x ＝0,1.( × ) (4){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( √ )(5)对于任意两个集合A ，B ，关系(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立．( √ ) (6)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( × )1．(教材改编)若集合A ＝{x ∈N |x ≤10}，a ＝22，则下列结论正确的是( ) A ．{a }⊆A B ．a ⊆A C ．{a }∈A D ．a ∉A 答案 D解析 由题意知A ＝{0,1,2,3}，由a ＝22，知a ∉A .2．(2017·宝鸡市阳中学质检)若集合M ＝{y |y ＝x －2}，P ＝{y |y ＝x －1}，那么M ∩P 等于( ) A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．[0，＋∞)答案 C解析 ∵M ＝{y |y ＝1x2}＝{y |y >0}，P ＝{y |y ＝x －1}＝{y |y ≥0}，∴M ∩P ＝{y |y >0}＝(0，＋∞)．3．已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B 等于( ) A ．{－1,0,1,2} B ．{－2，－1,0,1} C ．{0,1} D ．{－1,0}答案 A解析 因为A ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，又因为集合B 为整数集，所以集合A ∩B ＝{－1,0,1,2}，故选A.4．(2017·西安一中月考)已知集合A ＝{x ||x ＋1|<1}，B ＝{x |(12)x－2≥0}，则A ∩(∁R B )等于( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．[－1,0)D ．(－2，－1]答案 B解析 ∵A ＝{x |－2<x <0}，B ＝{x |x ≤－1}， ∴∁R B ＝{x |x >－1}， ∴A ∩∁R B ＝{x |－1<x <0}．5．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{3,4}，A ∪B ＝{1,2,3,4}，则m ＝________. 答案 2解析 ∵A ∪B ＝{1,3，m }∪{3,4}＝{1,2,3,4}， ∴2∈{1,3，m }，∴m ＝2. 题型一 集合的含义例1 (1)(2016·江西南昌二中高二期末)下列命题正确的是( ) A ．空集是任何集合的子集B ．集合{y |y ＝x 2－1}与集合{(x ，y )|y ＝x 2－1}是同一个集合 C ．自然数集N 中最小的数是1 D ．很小的实数可以构成集合(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 答案 (1)A (2)0或98解析 (1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故A 正确；集合{y |y ＝x 2－1}是一个数集，集合{(x ，y )}|y ＝x 2－1}是一个点集，故不是同一个集合，故B 错误；自然数集N 中最小的数是0，不是1，故C 错误；很小的实数不具备确定性，不可以构成集合，故D 错误，故选A.(2)若a ＝0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，符合题意；若a ≠0，则由题意得Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98.综上，a 的值为0或98.思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．(1)(2016·临沂模拟)已知A ＝{x |x ＝3k －1，k ∈Z }，则下列表示正确的是( ) A ．－1∉AB ．－11∈AC ．3k 2－1∈A (k ∈Z )D ．－34∉A(2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，则b －a ＝________.答案 (1)C (2)2解析 (1)∵k ∈Z ，∴k 2∈Z ，∴3k 2－1∈A . (2)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，得b a＝－1， 所以a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2. 题型二 集合的基本关系例2 (1)(2016·唐山一模)设A ，B 是全集I ＝{1,2,3,4}的子集，A ＝{1,2}，则满足A ⊆B 的B 的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2(2)已知集合A ＝{x |x 2－2 017x ＋2 016<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__________________． 答案 (1)B (2)[2 016，＋∞) 解析 (1)∵{1,2}⊆B ，I ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的集合B 有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个． (2)由x 2－2 017x ＋2 016<0，解得1<x <2 016，故A＝{x|1<x<2 016}，又B＝{x|x<a}，A⊆B，如图所示，可得a≥2 016.引申探究本例(2)中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是____________．答案(－∞，1]解析A＝{x|1<x<2 016}，B＝{x|x≥a}，A⊆B，如图所示，可得a≤1.思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．(1)已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为( )A.13或－12B．－13或12C.13或－12或0 D．－13或12或0(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是____________．答案(1)D (2)(－∞，4]解析(1)由题意知A＝{2，－3}．当a ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A ； 当a ≠0时，ax －1＝0的解为x ＝1a，由B ⊆A ，可得1a ＝－3或1a＝2，∴a ＝－13或a ＝12.综上，a 的值为－13或12或0.(2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2； 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为(－∞，4]． 题型三 集合的基本运算 命题点1 集合的运算例3 (1)(2016·全国乙卷)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B 等于( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－3，－32B.⎝⎛⎭⎪⎫－3，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 (2)(2017·九江武宁一中月考)设集合A ＝{x ∈N |14≤2x≤16}，B ＝{x |y ＝ln(x 2－3x )}，则A ∩B中元素的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 (1)D (2)A解析 (1)由A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2x －3>0}＝{x |x >32}，得A ∩B ＝{x |32<x <3}＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，故选D. (2)∵A ＝{x ∈N |－2≤x ≤4}，B ＝{x |x >3或x <0}， ∴A ∩B ＝{4}，A ∩B 中有1个元素． 命题点2 利用集合的运算求参数例4 (1)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是( ) A．－1<a≤2 B．a>2C．a≥－1 D．a>－1(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )A．0 B．1 C．2 D．4答案(1)D (2)D解析(1)因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.(2)由题意可得{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.思维升华(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．(1)(2016·山东)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B等于( )A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)(2)已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1<x<m＋1}，且A∩B＝B，则实数m的取值范围为( )A．[－1,2) B．[－1,3]C．[2，＋∞) D．[－1，＋∞)答案(1)C (2)D解析(1)∵A＝{y|y>0}，B＝{x|－1<x<1}，∴A ∪B ＝(－1，＋∞)，故选C.(2)由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0，即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}．又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)． 题型四 集合的新定义问题例5 若对任意的x ∈A ，1x ∈A ，则称A 是“伙伴关系集合”，则集合M ＝{－1,0，12，1,2}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________． 答案 7解析 具有伙伴关系的元素组有－1；1；2和12共三组，它们中任一组、两组、三组均可组成非空伙伴关系集合，所以非空伙伴关系集合分别为{1}，{－1}，{12，2}，{－1,1}，{－1，12，2}，{1，12，2}，{－1,1，12，2}，共7个．思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．(2016·江西新余一中联考)定义一种集合运算A ⊗B ＝{x |x ∈(A ∪B )且x ∉(A ∩B )}，设M ＝{x |－2<x <2}，N ＝{x |1<x <3}，则M ⊗N 所表示的集合是________________． 答案 {x |－2<x ≤1或2≤x <3}解析 由M ＝{x |－2<x <2}，N ＝{x |1<x <3}，可得M ∪N ＝{x |－2<x <3}，M ∩N ＝{x |1<x <2}，由定义的集合运算可知，M ⊗N 所表示的集合由M ∪N ＝{x |－2<x <3}中的元素去掉M ∩N ＝{x |1<x <2}中的元素，剩余的元素组成的集合，所以M ⊗N ＝{x |－2<x ≤1或2≤x <3}．1．集合关系及运算典例 (1)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3D ．1或3或0(2)设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是________． 错解展示解析 (1)由A ∪B ＝A ，得B ⊆A ，∴m ＝3或m ＝m ， 故m ＝3或m ＝0或m ＝1. (2)∵B ⊆A ，讨论如下：①当B ＝A ＝{0，－4}时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a ＋12－4a 2－1>0，－2a ＋1＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1.②当B A 时，由Δ＝0得a ＝－1， 此时B ＝{0}满足题意，综上，实数a 的取值范围是{1，－1}． 答案 (1)D (2){1，－1} 现场纠错解析 (1)A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，故B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，其中m ＝1不符合题意，所以m ＝0或m ＝3，故选B.(2)因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a ＋12－4a 2－1>0，－2a ＋1＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意； ③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}． 答案 (1)B (2)(－∞，－1]∪{1}纠错心得 (1)集合的元素具有互异性，参数的取值要代入检验． (2)当两个集合之间具有包含关系时，不要忽略空集的情况．1．(2017·西安一中月考)已知集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,3,5}，B ＝{3,4,5}，则∁U (A ∪B )等于( ) A ．{1,2,4,6} B ．{1,3,4,5} C ．{3,6} D ．{2,6}答案 D解析 ∵A ∪B ＝{1,3,4,5}， ∴∁U (A ∪B )＝{2,6}．2．(2016·四川)设集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C解析 由题意可知，A ∩Z ＝{－2，－1,0,1,2}，则A ∩Z 中的元素的个数为5.故选C.3．已知集合A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2m <x <1－m }，若A ∩B ＝∅，则实数m 的取值范围是( )A ．[13，＋∞)B ．[0，13)C ．(－∞，0]D ．[0，＋∞)答案 D解析 ∵A ∩B ＝∅，①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m <1－m ，即m <13时，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3，解得0≤m <13或∅，即0≤m <13.综上，实数m 的取值范围为[0，＋∞)．4．(2017·北师大附中月考)设集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |x 2－4<0}，则下列结论正确的是() A ．N ⊆M B ．M ∩N ＝∅C ．M ⊆ND ．M ∪N ＝R答案 C解析 集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |x 2－4<0}＝{x |－2<x <2}，可得M ⊆N .5．若集合A ＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A 的真子集的个数是( )A ．16B ．8C ．4D ．3答案 D解析 集合A 中有两个元素，则集合A 的真子集的个数是22－1＝3.6．已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |－1<x <1}，则( )A ．AB B ．B AC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅答案 B解析 因为A ＝{x |x 2－x －2<0}＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |－1<x <1}，所以B A .7．(2016·宁夏银川二中考试)已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)答案 B解析 由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.8．(2015·浙江)已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥0}，Q ＝{x |1＜x ≤2}，则(∁R P )∩Q 等于( )A ．[0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．[1,2]答案 C解析 ∵P ＝{x |x ≥2或x ≤0}，∁R P ＝{x |0＜x ＜2}，∴(∁R P )∩Q ＝{x |1＜x ＜2}，故选C.9．设集合Q ＝{x |2x 2－5x ≤0，x ∈N }，且P ⊆Q ，则满足条件的集合P 的个数是( )A ．3B ．4C ．7D ．8答案 D解析 因为Q ＝{x |2x 2－5x ≤0，x ∈N }＝{x |0≤x ≤52，x ∈N }＝{0,1,2}， 所以满足P ⊆Q 的集合P 的个数是23＝8，故选D. 10.设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |n －13≤x ≤n ，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫作集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是( )A.13B.23C.112D.512答案 C解析 由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥0，m ＋34≤1，即0≤m ≤14； ⎩⎪⎨⎪⎧ n －13≥0，n ≤1，即13≤n ≤1， 取m 的最小值0，n 的最大值1，可得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，所以M ∩N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34，此时集合M ∩N 的“长度”的最小值为34－23＝112，故选C. 11．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为__________．答案 －32解析 ∵3∈A ，∴m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，不符合集合的互异性，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)， 当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3，符合题意， ∴m ＝－32. 12．(2016·南阳模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝x 2－2x －3}，B ＝{y |y ＝e x＋1}，则A ∪B ＝__________.答案 (－∞，－1]∪(1，＋∞)解析 因为A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{y |y >1}，所以A ∪B ＝{x |x >1或x ≤－1}．13．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是__________． 答案 (－∞，1]解析 ∵1∉{x |x 2－2x ＋a >0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1.14．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是________．答案 5解析当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5个．15．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________．答案(－∞，－2]解析集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是(－∞，－2]．。

第一章第二节常用逻辑用语基础夯实练1．若b＝10a，且a为整数，则“b能被5整除”是“a能被5整除”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B若a能被5整除，则b＝10a必能被5整除；若b能被5整除，则a＝b10未必能被5整除．故选B.2．已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin α＝sin β”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C(1)若k为偶数，设k＝2n(n∈Z)，则α＝2nπ＋β，有sin α＝sin(2nπ＋β)＝sin β；若k为奇数，设k＝2n＋1(n∈Z)，则α＝(2n＋1)π－β，有sin α＝sin[(2n＋1)π－β]＝sin(2nπ＋π－β)＝sin(π－β)＝sin β.充分性成立．(2)若sin α＝sin β，则α＝2kπ＋β或α＝2kπ＋π－β，即α＝2kπ＋β或α＝(2k＋1)π－β，故α＝kπ＋(－1)kβ.必要性成立．故应为充分必要条件．故选C.3．(2021·山西大同摸底测试)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，则“m∥β”是“α∥β”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由m ⊂α，m ∥β得不到α∥β.由α∥β，m ⊂α，得m 和β没有公共点，所以m ∥β，即由α∥β能得到m ∥β.所以“m ∥β ”是“α∥β ”的必要而不充分条件．故选B.4．设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由⎪⎪⎪⎪x －12<12，得－12<x －12<12，所以0<x <1.由x 3<1，得x <1.据此可知“⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的充分而不必要条件．故选A. 5．(2021·江苏杨州高邮第一中学月考)已知p ：|x －a |<2，q ：1x －2≥1.若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4]B ．[1,4]C ．(1,4]D ．(1,4)解析：选C 解不等式|x －a |<2，即－2<x －a <2，得a －2<x <a ＋2.解不等式1x －2≥1，即1－1x －2＝x －3x －2≤0，得2<x ≤3.由于p 是q 的必要不充分条件，因此(2,3](a －2，a ＋2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤2，a ＋2>3，解得1<a ≤4.因此实数a 的取值范围是(1,4]．故选C. 6．(2021·四川绵阳中学月考)对于实数a ，b ，m ，有下列说法：①若a >b ，则am 2>bm 2；②若a >b ，则a |a |>b |b |；③若b >a >0，m >0，则a ＋m b ＋m >a b ；④若a >b >0，且|ln a |＝|ln b |，则2a＋b 的最小值为2 2.其中是真命题的为( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：选B 对于①，当m ＝0时，am 2＝bm 2＝0，所以①是假命题．对于②，当a >0时，a |a |>b |b |成立；当a <0时，因为b <a <0，所以a 2<b 2，所以a |a |>b |b |成立；当a ＝0时，b <0，所以a |a |>b |b |成立．所以②是真命题．对于③，因为b >a >0，m >0，所以a ＋mb ＋m －a b＝(a ＋m )b －(b ＋m )a (b ＋m )b ＝(b －a )m (b ＋m )b >0，所以a ＋m b ＋m >ab ，所以③是真命题．对于④，因为a >b >0，且|ln a |＝|ln b |，所以a >1>b >0，且ln a ＝－ln b ，所以ab ＝1.所以2a ＋b ＝2a ＋1a ≥22，当且仅当2a ＝1a ，即a ＝22时取等号．因为22<1，不合题意，所以2a ＋b 的最小值不是2 2.因为⎝⎛⎭⎫2a ＋1a ′＝2－1a 2，a >1，所以⎝⎛⎭⎫2a ＋1a ′＝2－1a 2>0，所以y ＝2a ＋1a 是关于a 的增函数，所以2a ＋1a在a >1时没有最小值．所以④是假命题．故选B.7．下列命题，正确的个数是( )①“若α＝β，则tan α＝tan β ”为真命题；②已知m 为直线，α，β为平面，若m ⊂α，则“m ⊥β ”是“α⊥β ”的充分不必要条件；③“∀x >1，x 2>1”的否定为“∃x ≤1，x 2≤1”；④对于两个分类变量X ，Y ，随机变量χ2的观测值越大，则认为这两个变量有关系的把握越大．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中，若α＝β＝π2，则tan α，tan β无意义．③中，“∀x >1，x 2>1”的否定应为“∃x >1，x 2≤1”．故选B.8．(2021·河北张家口期末)已知命题：p ：∃x ∈(－1,3)，x 2－a －2≤0.若p 为假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(－∞，7)D ．(－∞，0)解析：选A 本题考查根据存在量词命题的真假求参数的取值范围．已知命题p ：∃x ∈(－1,3)，x 2－a －2≤0为假命题，则綈p ：∀x ∈(－1,3)，x 2－a －2>0为真命题，所以a <x 2－2在x ∈(－1,3)时恒成立，即a <(x 2－2)min ＝－2.故选A.9．(2021·北京丰台一模)已知非零向量a ，b ，c 共面，那么“存在实数λ，使得a ＝λc 成立”是“(a ·b )c ＝a (b ·c )”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 本题考查平面向量数量积的定义及应用，充分、必要条件的判断．假设存在实数λ，使得a ＝λc 成立，所以(a ·b )c ＝(λc ·b )c ＝λ|c ||b |cos 〈c ，b 〉c ， a (b ·c )＝λc ·|b ||c |cos 〈b ，c 〉， 所以(a ·b )c ＝a (b ·c )，故充分性成立． 若(a ·b )c ＝a (b ·c )， 则|(a ·b )c |＝|a (b ·c )|，即|a ||b ||cos 〈a ，b 〉||c |＝|a ||b ||c ||cos 〈b ，c 〉|， 所以|cos 〈a ，b 〉|＝|cos 〈b ，c 〉|. 因为〈a ，b 〉，〈b ，c 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉或〈a ，b 〉＋〈b ，c 〉＝π， 所以a ，c 方向相同或相反，所以存在实数λ，使得a ＝λc 成立，故必要性成立．故选C.10．若“x >3”是“x >m ”的必要不充分条件，则m 的取值范围是________.解析：因为“x >3”是“x >m ”的必要不充分条件，所以(m ，＋∞)是(3，＋∞)的真子集，所以m >3.答案：(3，＋∞)综合提升练11．(2021·江苏南通一中抽测)已知不等式|x －m |<1成立的一个充分不必要条件是13≤x ≤12，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，43B.⎝⎛⎭⎫－12，43 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 D.⎣⎡⎭⎫43，＋∞解析：选B 本题考查绝对值不等式的求解，利用充分不必要条件求解参数．由题意，不等式|x －m |<1，解得m －1<x <m ＋1.因为不等式|x －m |<1成立的一个充分不必要条件是13≤x ≤12，则⎩⎨⎧m －1<13，m ＋1>12，解得－12<m <43，即实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，43.故选B. 12．(2021·江苏淮安期中)设x ∈R ，则“x 3>8”是“|x |>2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 本题考查充分条件、必要条件的判定．由x 3>8，得x >2，则|x |>2；反之，由|x |>2，得x <－2或x >2，则x 3<－8或x 3>8.即“x 3>8”是“|x |>2”的充分不必要条件．故选A.13．(多选题)下列命题是“∃x ∈R ，x 2>3”的表述方法的是( ) A ．有一个x ∈R ，使得x 2>3成立 B ．对有些x ∈R ，使得x 2>3成立 C ．任选一个x ∈R ，都有x 2>3成立 D ．至少有一个x ∈R ，使得x 2>3成立解析：选ABD 原命题为存在量词命题，A 、B 、D 选项均为对应的存在量词命题，C 为全称量词命题，∴A 、B 、D 是原命题的表述方法，故选ABD.14．(多选题)下列式子，可以作为x 2<1的一个充分条件的是( ) A ．x <1 B ．0<x <1 C ．－1<x <1D ．－1<x <0解析：选BCD ∵x 2<1，∴－1<x <1，∴只要选项能推出－1<x <1即可，结合选项知选BCD.15．(多选题)命题p ：存在实数x ∈R ，使得数据1,2,3，x,6的中位数为3.若命题p 为真命题，则实数x 的取值集合可以为( )A ．{3,4,5}B ．{x |x >3}C ．{x |x ≥2}D ．{x |3≤x ≤6}解析：选ABD 根据中位数的定义可知，只需x ≥3，则1,2,3，x,6的中位数必为3，选项A 、B 、D 中的取值集合均满足x ≥3，故选ABD.16．(多选题)下列四个命题中，属于真命题的是( ) A ．若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18B ．若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等C ．直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切D ．∀x ∈R ，都有2x >x 2解析：选AC 对于A ，设球的半径为R ，则43π⎝⎛⎭⎫R 23＝18×43πR 3，故体积缩小到原来的18，命题正确；对于B ，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于C ，圆x 2＋y 2＝12的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确；对于D ，当x ＝4时2x ＝x 2，命题不正确．17．(2021·山东济南实验中学月考)已知p ：x －a <0，q ：向量a ＝(2，－1)，b ＝(3，x )的夹角为锐角．若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为________.解析：本题考查向量的夹角，充分条件、必要条件的判断． 由x －a <0，得x <a .由向量a ＝(2，－1)，b ＝(3，x )的夹角为锐角，得a ·b >0且向量a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧6－x >0，2x ＋3≠0，解得x <6且x ≠－32.因为p 是q 的充分不必要条件，所以{x |x <a }是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <6且x ≠－32的真子集，所以a ≤－32. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－32 18．若命题“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，则k 的取值范围是________. 解析：“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题， 当k ＝0时，则有－1<0，满足题意；当k≠0时，则有k<0且Δ＝(－k)2－4×k×(－1)＝k2＋4k<0，解得－4<k<0. 综上所述，实数k的取值范围是(－4,0]．答案：(－4,0]。

第五节指数与指数函数A组基础题组1.函数y=a x+2-1(a>0且a≠1)的图象恒过的点是( )A.(0,0)B.(0,-1)C.(-2,0)D.(-2,-1)答案 C 解法一:因为函数y=a x(a>0且a≠1)的图象恒过点(0,1),将该图象向左平移2个单位,再向下平移1个单位得到y=a x+2-1(a>0且a≠1)的图象,所以y=a x+2-1(a>0且a≠1)的图象恒过点(-2,0),选项C正确.解法二:令x+2=0,得x=-2,此时y=a0-1=0,所以y=a x+2-1(a>0且a≠1)的图象恒过点(-2,0),选项C正确.2.已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a答案 A 由0.2<0.6,0.4<1,并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6,即b>c;因为a=20.2>1,b=0.40.2<1,所以a>b.综上,a>b>c.3.(2018北京丰台一模,3)已知a<b<0,则下列不等式中恒成立的是( )A. >B.<C.2a>2bD.a3>b3答案 A 构造函数y=,在(-∞,0)上是减函数,已知a<b<0,则>,故A正确;>,故B不正确;C.构造函数y=2x,在(-∞,+∞)上是增函数,故2a<2b,故C不正确;D.构造函数y=x3,在(-∞,+∞)上是增函数,故a3<b3,所以D不正确.4.已知奇函数y=如果f(x)=a x(a>0,且a≠1)的图象如图所示,那么g(x)=( )A. B.- C.2-x D.-2x答案 D 由题图知f(1)=,∴a=, f(x)=,由题意得g(x)=-f(-x)=-=-2x,故选D.5.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( )A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]答案 B 由f(1)=得a2=,又a>0,所以a=,因此f(x)=.根据复合函数的单调性可知f(x)的单调递减区间是[2,+∞).6.函数f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域为[1,+∞),则f(-4)与f(1)的大小关系是( )A.f(-4)>f(1)B.f(-4)=f(1)C.f(-4)<f(1)D.不能确定答案 A 由题意知a>1. f(-4)=a3, f(1)=a2,由y=a x(a>1)的单调性知a3>a2,所以f(-4)>f(1).7.函数y=|2x-1|在区间(k-1,k+1)上不单调,则k的取值范围是( )A.(-1,+∞)B.(-∞,1)C.(-1,1)D.(0,2)答案 C 由于函数y=|2x-1|在(-∞,0)上递减,在(0,+∞)上递增,而函数在区间(k-1,k+1)上不单调,所以有0∈(k-1,k+1),则k-1<0<k+1,解得-1<k<1.8.已知函数f(x)=则函数f(x)是( )A.偶函数,在[0,+∞)上单调递增B.偶函数,在[0,+∞)上单调递减C.奇函数,且单调递增D.奇函数,且单调递减答案 C 易知f(0)=0,当x>0时, f(x)=1-2-x,-f(x)=2-x-1,而-x<0,则f(-x)=2-x-1=-f(x);当x<0时,f(x)=2x-1,-f(x)=1-2x,而-x>0,则f(-x)=1-2-(-x)=1-2x=-f(x).综上,函数f(x)是奇函数,又易知其单调递增,故选C.9.化简a·+()5+= .答案-解析由题意可知a<0,故原式=-+a+(-a)=-.10.定义区间[x1,x2]的长度为x2-x1,已知函数f(x)=3|x|的定义域为[a,b],值域为[1,9],则区间[a,b]的长度的最大值为,最小值为.答案4;2解析由3|x|=1得x=0,由3|x|=9得x=±2,易知f(x)=3|x|在(-∞,0)上递减,在(0,+∞)上递增,故满足题意的定义域可以为[-2,m](0≤m≤2)或[n,2](-2≤n≤0),故区间[a, b]的长度的最大值为4,最小值为2.11.化简下列各式:(1)+0.1-2+-3π0+;(2)÷.解析(1)原式=++-3+=+100+-3+=100.(2)原式=÷=÷=÷==.12.已知函数f(x)=b·a x(其中a,b为常数,a>0,且a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).(1)求f(x)的表达式;(2)若不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,求实数m的取值范围.解析(1)因为f(x)的图象过点A(1,6),B(3,24),所以解得a2=4,又a>0,所以a=2,则b=3.所以f(x)=3×2x.(2)由(1)知a=2,b=3,则当x∈(-∞,1]时,+-m≥0恒成立,即m≤+在x∈(-∞,1]时恒成立.因为y=与y=均为减函数,所以y=+也是减函数,所以当x=1时,y=+在(-∞,1]上取得最小值,且最小值为,所以m≤,即实数m的取值范围是.B组提升题组13.如图,平行四边形OABC 的面积为8,对角线AC⊥CO,AC 与BO 交于点E,某指数函数y=a x (a>0,且a≠1)的图象经过点E,B,则a=( )A.B.C.2D.3答案 A 设点E(t,a t ),则点B 的坐标为(2t,2a t ).∵点B 在函数y=a x的图象上,∴2a t=a 2t,∴a t=2. ∴平行四边形OABC 的面积=OC·AC=a t ·2t=4t. 又平行四边形OABC 的面积为8,∴4t=8,∴t=2,∴a=(负值舍去).故选A.14.(2017北京海淀期中)如图,A 是函数f(x)=2x 的图象上的动点,过点A 作直线平行于x 轴,交函数g(x)=的图象于点B,若函数f(x)=2x 的图象上存在点C 使得△A BC 为等边三角形,则称A 为函数f(x)=2x 图象上的好位置点.则函数f(x)=2x 的图象上的好位置点的个数为( )A.0B.1C.2D.大于2答案 B 设A,B 的纵坐标为m(m>0),则A(log 2m,m),B(log 2m-2,m), ∴|AB|=log 2m-log 2m+2=2, 设C(x 0,),∵△ABC 是等边三角形,且|AB|=2,∴点C 到直线AB 的距离为,∴|m-2x |=.易得C 的横坐标等于线段AB 中点的横坐标,即x0= (log2m+log2m-2)=log2m-1=log2,∴C, ∴m-=,解得m=2,∴x0=log2.因此,函数f(x)=2x图象上的好位置点的个数为1.故选B.15.已知函数f(x)=设a>b≥0,若f(a)=f(b),则b·f(a)的取值范围是.答案解析函数的图象如图所示.因为a>b≥0,f(a)=f(b),所以≤b<1且≤f(a)<2.所以≤b·f(a)<2.16.设函数f(x)=a x-(k-1)a-x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数.(1)求k的值;(2)若f(1)<0,试判断函数f(x)的单调性,并求使不等式f(x2+tx)+f(4-x)<0恒成立的t的取值范围;(3)若f(1)=,且g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)在[1,+∞)上的最小值为-2,求m的值.解析(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=a0-(k-1)a0=1-(k-1)=0,∴k=2.(2)由(1)知f(x)=a x-a-x(a>0且a≠1).∵f(1)<0,∴a-<0,又a>0且a≠1,∴0<a<1,∴y=a x在R上单调递减,y=a-x在R上单调递增,故f(x)=a x-a-x在R上单调递减.不等式f(x2+tx)+f(4-x)<0恒成立可化为f(x2+tx)<f(x-4)恒成立,∴x2+tx>x-4恒成立,即x2+(t-1)x+4>0恒成立,∴Δ=(t-1)2-16<0,解得-3<t<5,∴所求t的取值范围为(-3,5).(3)∵f(1)=,∴a-=,即2a2-3a-2=0,∴a=2或a=- (舍去),∴g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x)=(2x-2-x)2-2m(2x-2-x)+2.令n=f(x)=2x-2-x,∵f(x)=2x-2-x为增函数,x≥1,∴n≥f(1)=.令h(n)=n2-2mn+2=(n-m)2+2-m2.若m≥,则当n=m =2-m2=-2,时,h(n)min=-3m=-2,∴m=>,舍去.综上可知,m=2.∴m=2.若m<,则当n=时,h(n)min。

第一节集合A组基础题组1.(2016课标全国Ⅲ,1,5分)设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则S∩T=()A.[2,3]B.(-∞,2]∪[3,+∞)C.[3,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞)2.(2016天津,1,5分)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x∈A},则A∩B=()A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}3.(2017云南昆明八中月考)已知集合A={(x,y)|x,y∈R,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R,且y=x},则A∩B 的元素个数为( )A.0B.1C.2D.34.已知集合A=,则集合A中的元素个数为( )A.2B.3C.4D.55.R表示实数集,集合M={x|0≤x≤2},N={x|x2-2x-3>0},则下列结论正确的是( )A.M⊆NB.M⊆(∁R N)C.(∁R M)⊆MD.(∁R M)⊆(∁R N)6.(2016河南八市重点高中质检)若U={1,4,6,8,9},A={1,6,8},B={4,6},则A∩∁U B等于( )A.{4,6}B.{1,8}C.{1,4,6,8}D.{1,4,6,8,9}7.(2016浙江,1,5分)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁R Q)=( )A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.(-∞,-2]∪[1,+∞)8.设集合A={(x,y)|x+y=1},B={(x,y)|x-y=3},则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是( )A.0B.1C.2D.39.(2016广东惠州第二次调研)若集合A={0,1,2,x},B={1,x2},A∪B=A,则满足条件的实数x有( )A.1个B.2个C.3个D.4个10.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )A.1B.2C.3D.411.(2017黑龙江大庆铁人中学期中)集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为.12.已知集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2<x<4},则(∁R A)∪B=.13.已知集合A={x|x>2或x<-1},B={x|a≤x≤b},若A∪B=R,A∩B={x|2<x≤4},则= .14.已知集合A=,B={x2,x+y,0},若A=B,则x+y= .B组提升题组15.(2017河南郑州四中月考)已知集合M={x|x2-4x<0},N={x|m<x<5},若M∩N={x|3<x<n},则m+n等于( )A.9B.8C.7D.616.(2016宜春中学、新余一中联考)已知集合U=R,A={x|x2-5x-6<0},B={x|2x<1},则图中阴影部分表示的集合是( )A.{x|2<x<3}B.{x|-1<x≤0}C.{x|0≤x<6}D.{x|x<-1}17.(2016湖北七市(州)协作体联考)已知集合P={n|n=2k-1,k∈N*,k≤50},Q={2,3,5},则集合T={xy|x∈P,y∈Q}中元素的个数为( )A.147B.140C.130D.11718.对于集合M、N,定义M-N={x|x∈M,且x∉N},M⊕N=(M-N)∪(N-M),设A=,B={x|x<0,x∈R},则A⊕B=()A. B.C.∪[0,+∞)D.∪(0,+∞)19.已知集合A={x|x2-2x-3<0},B={x|-m<x<m}.若B⊆A,则m的范围为.20.已知集合M={1,2,3,4},集合A、B为集合M的非空子集,若∀x∈A,y∈B,x<y恒成立,则称(A,B)为集合M的一个“子集对”,则集合M的“子集对”共有个.答案全解全析A组基础题组1.D S={x|(x-2)(x-3)≥0}={x|x≤2或x≥3},在数轴上表示出集合S,T,如图所示:由图可知S∩T=(0,2]∪[3,+∞),故选D.2.D 由题易知B={1,4,7,10},所以A∩B={1,4},故选D.3.C 集合A表示的是圆心在原点的单位圆,集合B表示的是直线y=x,据此画出图象,可得图象有两个交点,即A∩B的元素个数为2.4.C ∵∈Z,且x∈Z,∴2-x的取值有-3,-1,1,3,∴x的值分别为5,3,1,-1,故集合A中的元素个数为4,故选C.5.B 由题意,得N={x|x<-1或x>3},所以∁R N={x|-1≤x≤3},又M={x|0≤x≤2},所以M是∁R N的子集,故选B.6.B 因为U={1,4,6,8,9},A={1,6,8},B={4,6},所以∁U B={1,8,9},A∩∁U B={1,8},故选B.7.B 易知Q=(-∞,-2]∪[2,+∞),∴∁R Q=(-2,2),∴P∪(∁R Q)=(-2,3],故选B.8.C 由题意知,集合A表示直线x+y=1上的点,集合B表示直线x-y=3上的点,解可得A∩B={(2,-1)},由M为A∩B的子集,可知M可能为{(2,-1)},⌀,所以满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是2,故选C.9.B ∵A∪B=A,∴B⊆A,∴x2=0或x2=2或x2=x,解得x=0或或-或1.经检验,仅当x=或-时满足题意,故选B.10.D 用列举法表示集合A,B,根据集合关系求出集合C的个数.由x2-3x+2=0得x=1或x=2,∴A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},∴满足条件的C为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个.11.答案 4解析根据并集的概念,可知{a,a2}={4,16},故a=4.12.答案{x|x≤1或x>2}解析由已知可得集合A={x|1<x<3},因为B={x|2<x<4},∁R A={x|x≤1或x≥3},所以(∁R A)∪B={x|x≤1或x>2}.13.答案-4解析由A={x|x>2或x<-1},B={x|a≤x≤b},A∪B=R,A∩B={x|2<x≤4},可得B={x|-1≤x≤4},则a=-1,b=4,故=-4.14.答案 2解析由题意,得A中必有零,又x≠0,所以=0,即y=1.此时A={2x,0,1},B={x2,x+1,0},因为A=B,所以或即x=0(不合题意,舍去)或x=1.所以x+y=2.B组提升题组15.C 由x2-4x<0得0<x<4,所以M={x|0<x<4}.又因为N={x|m<x<5},M∩N={x|3<x<n},所以m=3,n=4,所以m+n=7.16.C 由x2-5x-6<0,解得-1<x<6,所以A={x|-1<x<6}.由2x<1,解得x<0,所以B={x|x<0}.又图中阴影部分表示的集合为(∁U B)∩A,因为∁U B={x|x≥0},所以(∁U B)∩A={x|0≤x<6},故选C.17.B 由题意得,P中元素为从1到99的50个连续奇数,y的取值一共有3种情况,当y=2时,xy是偶数,与y=3,5时没有相同的元素,当y=3,x=5,15,25,…,95时,与y=5,x=3,9,15,…,57时有相同的元素,共10个,故所求元素个数为3×50-10=140,故选B.18.C 依题意得A-B={x|x≥0,x∈R},B-A=,故A⊕B=∪[0,+∞).故选C.19.答案m≤1解析当m≤0时,B=⌀,显然B⊆A.当m>0时,B≠⌀,∵A={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3},∴若B⊆A,则解得m≤1,∴0<m≤1.综上所述,m的范围为m≤1.20.答案17解析当A={1}时,B有23-1=7种情况,当A={2}时,B有22-1=3种情况,当A={3}时,B有1种情况,当A={1,2}时,B有22-1=3种情况,当A={1,3},{2,3},{1,2,3}时,B均有1种情况,所以满足题意的“子集对”共有7+3+1+3+1+1+1=17个.。

第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1.(2015·山东卷)设m ∈R, 命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( )A.若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0 B.若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0 C.若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0 D.若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0解析 根据逆否命题的定义，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”. 答案 D2.“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的( ) A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析 因为x 2－2x ＋1＝0有两个相等的实数根为x ＝1，所以“x ＝1”是“x 2－2x ＋1＝0”的充要条件. 答案 A3.设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α，则“m ∥β”是“α∥β”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 m α，m ∥βα∥β，但m α，α∥β⇒m ∥β，∴“m ∥β”是“α∥β”的必要不充分条件. 答案 B4.(2017·安徽江南十校联考)“a ＝0”是“函数f (x )＝sin x －1x＋a 为奇函数”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 显然a ＝0时，f (x )＝sin x －1x为奇函数；当f (x )为奇函数时，f (－x )＋f (x )＝0.又f (－x )＋f (x )＝sin(－x )－1－x ＋a ＋sin x －1x ＋a ＝0.因此2a ＝0，故a ＝0.所以“a ＝0”是“函数f (x )为奇函数”的充要条件. 答案 C5.下列结论错误的是( )A.命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0” B.“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C.命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D.命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0” 解析 C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”.若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题.答案 C6.设x ∈R ，则“1<x <2”是“|x －2|<1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由|x －2|<1，得1<x <3，所以1<x <2⇒1<x <3；但1<x <3⇒/ 1<x <2. 所以“1<x <2”是“|x －2|<1”的充分不必要条件. 答案 A7.已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是( ) A.[1，＋∞) B.(－∞，1] C.[－1，＋∞)D.(－∞，－3]解析 由x 2＋2x －3＞0，得x ＜－3或x ＞1，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件.故a ≥1. 答案 A8.(2017·汉中模拟)已知a ，b 都是实数，那么“a >b ”是“ln a >ln b ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由ln a >ln b ⇒a >b >0⇒a >b ，故必要性成立.当a ＝1，b ＝0时，满足a >b ，但ln b 无意义，所以ln a >ln b 不成立，故充分性不成立. 答案 B 二、填空题9.“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________.解析 其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题. 答案 210.“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的________条件. 解析 cos 2α＝0等价于cos 2α－sin 2α＝0， 即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α得到cos 2α＝0；反之不成立.∴“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的充分不必要条件. 答案 充分不必要11.已知命题p ：a ≤x ≤a ＋1，命题q ：x 2－4x <0，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________.解析 令M ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，N ＝{x |x 2－4x <0}＝{x |0<x <4}. ∵p 是q 的充分不必要条件，∴M N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋1<4，解得0<a <3. 答案 (0，3) 12.有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题.其中真命题的序号是________.解析 ①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”错误.②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确.③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确. 答案 ②③13.(2016·四川卷)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 如图作出p ，q 表示的区域，其中⊙M 及其内部为p 表示的区域，△ABC 及其内部(阴影部分)为q 表示的区域. 故p 是q 的必要不充分条件.答案 A14.(2017·南昌十所省重点中学联考)已知m ∈R ，“函数y ＝2x＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由y ＝2x＋m －1＝0，得m ＝1－2x，则m <1. 由于函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上是减函数， 所以0<m <1.因此“函数y ＝2x＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的必要不充分条件. 答案 B15.已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12＜2x＜8，x ∈R ，B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________.解析 A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12＜2x＜8，x ∈R ＝{x |－1＜x ＜3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴AB ，∴m ＋1＞3，即m ＞2.答案 (2，＋∞)16.(2017·临沂模拟)下列四个结论中正确的是________(填序号).①“x 2＋x －2>0”是“x >1”的充分不必要条件；②命题：“任意x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“存在x 0∈R ，sin x 0>1”；③“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为真命题；④若f (x )是R 上的奇函数，则f (log 32)＋f (log 23)＝0.解析 ①中“x 2＋x －2>0”是“x >1”的必要不充分条件，故①错误.对于②，命题：“任意x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“存在x 0∈R ，sin x 0>1”，故②正确. 对于③，“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为“若tan x ＝1，则x ＝π4”，其为假命题，故③错误.对于④，若f (x )是R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0，∵log 32＝1log 23≠－log 32，∴log 32与log 23不互为相反数，故④错误. 答案 ②。

§1.2集合的运算考情考向分析集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图．考查学生的数形结合思想和计算推理能力．题型主要为填空题，低档难度．集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图由所有属于集合A且属于集合BA∩B＝{x|x∈A且x∈B}交集的元素组成的集合由所有属于集合A或属于集合BA∪B＝{x|x∈A或x∈B}并集的元素组成的集合设A⊆U，由全集U中不属于集合∁U A＝{x|x∈U且x∉A}补集A的所有元素组成的集合由运算A∩B＝A可以得到集合A，B具有什么关系？提示A∩B＝A⇔A⊆B⇔A∪B＝B.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于任意非空集合A，B，都有(A∩B)(A∪B)．( ×)(2)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( ×)(3)对于任意集合A，都有∅A.( ×)(4)对于任意集合A，B，∁S(A∪B)＝(∁S A)∩(∁S B)．( √)题组二教材改编2．[P14习题T11]若全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则∁U(A∩B)＝________.答案{1,4,5}3．[P10习题T4]已知集合A＝{0,2,4,6}，∁U A＝{－1,1，－3,3}，∁U B＝{－1,0,2}，则集合B＝________.答案{1,4,6，－3,3}解析 ∵∁U A ＝{－1,1，－3,3}，∴U ＝{－1,1,0,2,4,6，－3,3}． 又∁U B ＝{－1,0,2}，∴B ＝{1,4,6，－3,3}．4．[P14习题T10]设集合A ＝{4,5,7,9}，B ＝{3,4,7,8,9}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共有________个． 答案 3解析 ∵全集U ＝A ∪B ＝{3,4,5,7,8,9}，A ∩B ＝{4,7,9}， ∴∁U (A ∩B )＝{3,5,8}，∴共有3个元素． 题组三 易错自纠5．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，若A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________. 答案 1解析 显然a 2＋4≠3，由a ＋2＝3得a ＝1，符合题意．6．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2<x <4}，则(∁R A )∪B ＝______________. 答案 {x |x ≤1或x >2}解析 由已知可得集合A ＝{x |1<x <3}， 又因为B ＝{x |2<x <4}，∁R A ＝{x |x ≤1或x ≥3}， 所以(∁R A )∪B ＝{x |x ≤1或x >2}．7．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为________． 答案 2解析 集合A 表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆上的点，集合B 表示直线y ＝x 上的点，圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于两点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，则A ∩B 中有两个元素. 题型一 集合的运算1．已知集合A ＝{1,4}，B ＝{x |1≤x ≤3}，则A ∩B ＝________. 答案 {1}解析 依题意，根据集合交集的定义与运算， 可得A ∩B ＝{1}．2．设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9<0}，B ＝{x |－1<x ≤5}，则A ∩(∁R B )＝________. 答案 {x |－3<x ≤－1}解析 由题意知，A ＝{x |x 2－9<0}＝{x |－3<x <3}． 因为B ＝{x |－1<x ≤5}， 所以∁R B ＝{x |x ≤－1或x >5}．所以A ∩(∁R B )＝{x |－3<x <3}∩{x |x ≤－1或x >5}＝{x |－3<x ≤－1}．3．已知M ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，N ＝{y |x 2＋y 2＝1，x ∈R ，y ∈R }，则M ∩N ＝________. 答案 [0,1]解析 由题意得M ＝[0，＋∞)，由x 2＋y 2＝1，得到－1≤y ≤1，即N ＝[－1,1]，则M ∩N ＝[0,1]．4.已知集合A ＝{x |x 2－5x －6<0}，B ＝{x |2x<1}，则图中阴影部分表示的集合是________． 答案 {x |0≤x <6}解析 由x 2－5x －6<0，解得－1<x <6， 所以A ＝{x |－1<x <6}．由2x<1，解得x <0，所以B ＝{x |x <0}． 又图中阴影部分表示的集合为(∁U B )∩A ，因为∁U B ＝{x |x ≥0}，所以(∁U B )∩A ＝{x |0≤x <6}．思维升华在进行集合的运算时，若集合中的元素是离散的，可用Venn 图表示；若集合中的元素是连续的，可用数轴表示集合，要特别注意端点的取舍． 题型二 利用集合的运算求参数例1 (1)设集合A ＝{－1,0,1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1，a ＋1a ，A ∩B ＝{0}，则实数a 的值为________．答案 1解析 0∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1，a ＋1a ，由a ＋1a≠0，则a －1＝0，则实数a 的值为1.经检验，当a ＝1时满足题意．(2)已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是________． 答案 [2，＋∞)解析 集合B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}， 由A ∩B ＝B 可得B ⊆A ，作出数轴如图． 可知a ≥2.(3)设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是______． 答案 (－∞，－1]∪{1} 解析 因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根， 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意； ③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．思维升华利用集合的运算求参数值或范围，要根据集合中元素的关系，灵活使用数轴工具，找出参数适合的条件，求参数的值要检验元素的互异性，求参数的取值范围要对端点的情况单独考虑．跟踪训练1(1)集合A ＝{1,3}，B ＝{a 2＋2,3}，若A ∪B ＝{1,2,3}，则实数a 的值为________． 答案 0解析 ∵A ＝{1,3}，B ＝{a 2＋2,3}，且A ∪B ＝{1,2,3}， ∴a 2＋2＝2，a 2＝0，a ＝0，即实数a 的值为0.(2)已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为________． 答案 [－1，＋∞)解析 由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0， 即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}． 又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2； ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)．题型三 集合的新定义问题例2(1)(2018·江苏洪泽中学月考)对于任意两集合A ，B ，定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，A *B ＝(A －B )∪(B －A )，记A ＝{y |y ≥0}，B ＝{x |－3≤x ≤3}，则A *B ＝______________. 答案 [－3,0)∪(3，＋∞)解析 由题意知，A －B ＝{x |x >3}，B －A ＝{x |－3≤x <0}，A *B ＝(A －B )∪(B －A )＝[－3,0)∪(3，＋∞)．(2)设数集M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪n －13≤x ≤n，且M ，N 都是集合U ＝{x |0≤x ≤1}的子集，定义b －a 为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，则集合M ∩N 的长度的最小值为________． 答案112解析 在数轴上表示出集合M 与N (图略)，可知当m ＝0且n ＝1或n －13＝0且m ＋34＝1时，M ∩N 的“长度”最小．当m ＝0且n ＝1时，M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23≤x ≤34， 长度为34－23＝112；当n ＝13且m ＝14时，M ∩N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪14≤x ≤13， 长度为13－14＝112.综上，M ∩N 的长度的最小值为112.思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．跟踪训练2(1)已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素数字之和为________． 答案 21解析 由x 2－2x －3≤0，x ∈N ，得(x ＋1)(x －3)≤0，x ∈N ，得A ＝{0,1,2,3}．因为A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，所以A *B 中的元素有：0＋1＝1,0＋3＝3，1＋1＝2，1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A *B ＝{1,2,3,4,5,6}，所以A *B中的所有元素数字之和为21.(2)用C (A )表示非空集合A 中元素的个数，定义A *B ＝⎩⎪⎨⎪⎧C (A )－C (B )，C (A )≥C (B )，C (B )－C (A )，C (A )<C (B ).若A ＝{1,2}，B ＝{x |(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S ，则C (S )＝________. 答案 3解析 因为C (A )＝2，A *B ＝1，所以C (B )＝1或C (B )＝3.由x 2＋ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝－a .关于x 的方程x 2＋ax ＋2＝0，当Δ＝0，即a ＝±22时，易知C (B )＝3，符合题意；当Δ>0，即a <－22或a >22时，易知0，－a 均不是方程x 2＋ax ＋2＝0的根，故C (B )＝4，不符合题意；当Δ<0，即－22<a <22时，方程x 2＋ax ＋2＝0无实数解，当a ＝0时，B ＝{0}，C (B )＝1，符合题意，当－22<a <0或0<a <22时，C (B )＝2，不符合题意．综上，S ＝{0，－22，22}，故C (S )＝3.1．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{2,3,4}，A ∩B ＝{3}，则A ∪B ＝________. 答案 {1,2,3,4}解析 由集合A ＝{1，a }，B ＝{2,3,4}，A ∩B ＝{3}，则a ＝3，故A ∪B ＝{1,2,3,4}． 2．已知全集为R ，集合A ＝{x |2x≥4}，B ＝{x |x 2－3x ≥0}，则A ∩(∁R B )＝________. 答案 [2,3)解析 A ＝{x |2x≥4}＝{x |x ≥2}，B ＝{x |x 2－3x ≥0}＝{x |x ≤0或x ≥3}，∁R B ＝(0,3)， 则A ∩(∁R B )＝[2,3)．3．设全集U ＝{x |x ∈N *，x ≤9}，∁U (A ∪B )＝{1,3}，A ∩(∁U B )＝{2,4}，则B ＝________. 答案 {5,6,7,8,9}解析 因为全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，∁U (A ∪B )＝{1,3}， 所以A ∪B ＝{2,4,5,6,7,8,9}，由A ∩(∁U B )＝{2,4}知，{2,4}⊆A ，{2,4}⊆∁U B . 所以B ＝{5,6,7,8,9}．4．已知集合A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |y ＝lg(x －2)}，则A ∩(∁R B )＝________. 答案 (－2,2]解析 由题意得B ＝{x |y ＝lg(x －2)}＝(2，＋∞)，∴∁R B ＝(－∞，2]，∴A ∩(∁R B )＝(－2,2]．5．(2018·苏州调研)已知集合A ＝{1,2a}，B ＝{－1,1,4}，且A ⊆B ，则正整数a ＝________. 答案 2解析 ∵A ＝{1,2a}，B ＝{－1,1,4}，且A ⊆B ， ∴2a ＝4＝22，a ＝2.6．设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝________. 答案 {1,3}解析 ∵A ∩B ＝{1}，∴1∈B . ∴1－4＋m ＝0，即m ＝3. ∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．7．已知全集U ＝{x ∈N |x 2－5x －6<0}，集合A ＝{x ∈N |－2<x ≤2}，B ＝{1,2,3,5}，则(∁U A )∩B ＝________. 答案 {3,5}解析 由题意知，U ＝{0,1,2,3,4,5}，A ＝{0,1,2}，则(∁U A )∩B ＝{3,5}．8．设集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，若A ∩B ＝{－1,2}，则a 的值为________． 答案 －2或1解析 ∵集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，A ∩B ＝{－1,2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝－1，a 2－2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，a 2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1.经检验，a ＝－2和a ＝1均满足题意．9．已知集合P ＝{x |y ＝－x 2＋x ＋2，x ∈N }，Q ＝{x |ln x <1}，则P ∩Q ＝________. 答案 {1,2}解析 由－x 2＋x ＋2≥0，得－1≤x ≤2，因为x ∈N ，所以P ＝{0,1,2}．因为ln x <1，所以0<x <e ，所以Q ＝(0，e)，则P ∩Q ＝{1,2}．10．若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2≥0}，B ＝{x |log 3(2－x )≤1}，则A ∩(∁U B )＝________________. 答案 {x |x <－1或x ≥2}解析 集合A ＝{x |x 2－x －2≥0}＝{x |x ≤－1或x ≥2}， ∵log 3(2－x )≤1＝log 33，∴0<2－x ≤3， ∴－1≤x <2，∴B ＝{x |－1≤x <2}，∴∁U B ＝{x |x <－1或x ≥2}， ∴A ∩(∁U B )＝{x |x <－1或x ≥2}．11．设A ，B 是非空集合，定义A ×B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }．若A ＝{x |y ＝x 2－3x }，B ＝{y |y ＝3x}，则A ×B ＝________. 答案 (－∞，3)解析 集合A 即为函数y ＝x 2－3x 的定义域，由x 2－3x ≥0⇒x ≤0或x ≥3，故集合A ＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，集合B 即为函数y ＝3x的值域，故B ＝(0，＋∞)，从而有A ∪B ＝R ，A ∩B ＝[3，＋∞)，由定义知A ×B ＝(－∞，3)．12．设集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}，若A ∪(∁R B )＝∁R B ，则a 的取值范围是________． 答案 [－1,2]解析 由补集的定义知∁R B ＝{x |－1≤x ≤5}， ∵A ∪(∁R B )＝∁R B ，∴A ⊆∁R B .由图得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，a ＋3≤5，解得－1≤a ≤2.13．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝______，n ＝________. 答案 －1 1解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}， 由A ∩B ＝(－1，n )，可知m ＝－1，则B ＝{x |－1<x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.14．已知集合A ＝{x |y ＝x －1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1.若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，1)解析 由题意知，A ＝[1，＋∞)， 当B ＝∅，即12a >2a －1时，a <23.符合题意．当B ≠∅时，令⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2a －1，2a －1<1，解得23≤a <1.综上，实数a 的取值范围是(－∞，1)．15．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪x 24＋y 22＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝kx ＋m ，k ∈R ，m ∈R }，若对任意实数k ，A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是____________． 答案 [－2，2]解析 由已知，无论k 取何值，椭圆x 24＋y 22＝1和直线y ＝kx ＋m 均有交点，故点(0，m )在椭圆x 24＋y 22＝1上或在其内部，∴m 2≤2，∴－2≤m ≤ 2. 16．已知A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪y ＝log 36－xx －2，B ＝{x |x 2－2x ＋1－a 2≤0}(a >0)，若A ∪B ＝B ，则实数a的取值范围是______． 答案 [5，＋∞)解析 由6－xx －2>0可得(x －2)(x －6)<0，∴2<x <6，∴A ＝(2,6)．又x 2－2x ＋1－a 2≤0可化为[x －(1－a )][x －(1＋a )]≤0. 又a >0，∴B ＝[1－a,1＋a ]． 由A ∪B ＝B ，得A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2≥1－a ，6≤1＋a ，∴a ≥5.∴实数a 的取值范围是[5，＋∞)．。

第一章常用逻辑用语§命题课时目标．了解命题的概念，会判断一个命题的真假.了解四种命题及四种命题的相互关系，并会判断四种命题的真假．．命题的定义可以判断、用或表述的语句叫作命题，其中的命题叫作真命题，的命题叫作假命题．．命题的结构一般地，一个命题由和两部分组成．在数学中，通常把命题表示为“”的形式，其中是条件，是结论．．四种命题的概念：()对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．()对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的，我们把这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．()对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．．四种命题的真假性之间的关系：()两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；()两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性关系．一、选择题．下列语句是命题的是()①三角形内角和等于°；②>；③一个数不是正数就是负数；④>；⑤这座山真险啊！．①②③．①③④．①②⑤．②③⑤．下列命题中，是真命题的是()．{∈＋＝}不是空集．若＝，则＝．空集是任何集合的真子集．－＝的根是自然数．命题“的倍数既能被整除，也能被整除”的结论是()．这个数能被整除．这个数能被整除．这个数既能被整除，也能被整除．这个数是的倍数．有下列四个命题：①“若＝，则、互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若≤－，则方程－＋＋＝有实根”的逆否命题；④若“∪＝，则⊇”的逆否命题．其中的真命题是()．①②．②③．①③．③④．命题“当＝时，△为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()．．．．．命题“若函数()＝(>，≠)在其定义域内是减函数，则<”的逆否命题是()．若≥，则函数()＝(>，≠)在其定义域内不是减函数．若<，则函数()＝(>，≠)在其定义域内不是减函数．若≥，则函数()＝(>，≠)在其定义域内是减函数．若<，则函数()＝(>，≠)在其定义域内是减函数题号答案。