2014年中考真题——等腰三角形综合训练

中考数学总复习《二次函数之等腰三角形存在性问题》专项提升训练题-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．已知二次函数23y ax bx a =+-经过点()1,0A -和()0,3C ，与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D ．(1)求此二次函数解析式；(2)连接DC 、BC 和DB ，判断BCD △的形状并说明理由；(3)在对称轴右侧抛物线上找一点P ，使得P 、D 、C 构成以PC 为底边的等腰三角形，求出点P 的坐标及此时四边形PBCD 的面积．2．如图，抛物线2y x bx c =-++过点(1,0)A -和(3,0)B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 为抛物线对称轴上一动点，当PCB 是以BC 为底边的等腰三角形时，求P 的坐标；(3)在（2）条件下，是否存在点M 为抛物线上的点，使得2BCM BCP S S =△△？若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过点()3,0A -，()0,4C 两点，且与x 轴的另一个交点为B ，对称轴为直线=1x -．(1)求抛物线的表达式；(2)已知点M 是抛物线对称轴上一点，当MBC 的周长最小时，求M 点的坐标．(3)D 是第二象限内抛物线上的动点，设点D 的横坐标为m ，求四边形ABCD 面积S 的最大值及此时D 点的坐标；(4)若点P 在抛物线对称轴上，是否存在点P ，使以点B ，C 和P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =+-与x 轴交于()40A ，、()30B -，两点，与y 轴交于点C ．(1)求这条抛物线所对应的函数表达式．(2)如图①，点D 是x 轴下方抛物线上的动点，且不与点C 重合．设点D 的横坐标为m ，以O 、A 、C 、D 为顶点的四边形面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式．(3)如图①，连结BC ，点M 为线段AB 上一点，点N 为线段BC 上一点，且BM CN n ==，直接写出当n 为何值时BMN 为等腰三角形．5．抛物线24y x x =-与直线y x =交于原点O 和点B ，与x 轴交于点A ，顶点为D ．(1)填空：点B 的坐标为 ，点D 的坐标为 ．(2)如图1，连结OD ，P 为x 轴上的动点，当以O ，D ，P 为顶点的三角形是等腰三角形时，求点P 的坐标；(3)如图2，M 是点B 关于抛物线对称轴的对称点，Q 是抛物线上的动点，它的横生标为m (05)m <<，连结MQ ，BQ 和MQ 与直线OB 交于点E ．设BEQ 和BEM △的面积分别为1S 和2S ，设12S t S =己，试求t 关于m 的函数解析式并求出t 的最值6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =-+-的图象与x 轴交于点(3,0)A -和点(1,0)B ，与y 轴交于点C ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图①，二次函数图象的对称轴与直线AC 交于点D ，若E 是直线AC 上方抛物线上的一个动点，求ECD 面积的最大值；(3)如图①，P 是直线AC 上的一个动点，是否存在点P ，使PBC 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图1，抛物线23432363y x x =++与x 轴交于点A ，B （A 在B 左边），与y 轴交于点C ，连AC ，点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称，过点D 作DE AC ∥交抛物线于点E ，交y 轴于点P ．(1)点F 是直线AC 下方抛物线上点一动点，连DF 交AC 于点G ，连EG ，当EFG 的面积的最大值时，直线DE 上有一动点M ，直线AC 上有一动点N ，满足MN AC ⊥，连GM 和NO ，求GM MN NO ++的最小值；(2)如图2，在（1）的条件下，过点F 作FH x ⊥轴于点H 交AC 于点L ，将AHL 沿着射线AC 平移到点A 与点C 重合，从而得到A H L '''（点A ，H ，L 分别对应点A '，H '和L '），再将A H L '''绕点H '逆时针旋转(0180)αα︒<<︒，旋转过程中，边A L ''所在直线交直线DE 于Q ，交y 轴于点R ，求当PQR 为等腰三角形时，直接写出PR 的长．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()4,0B ，()2,0C -两点，与y 轴交于点()0,2A -．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点K ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求12PK PD +的最大值及此时点P 的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得MAB △是以AB 为腰的等腰三角形；若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴相交于点(1,0)A -，B ，对称轴是1x =，与y 轴相交于点C ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P 为抛物线对称轴上一动点，当PCB 是以BC 为底边的等腰三角形时，求点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，在第一象限内，抛物线上是否存在点M ，使得BCM BCP S S =△△？若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线2y x bx c =++的图象与x 轴交于(3,0)A -、(1,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线上位于第三象限内的一点．(1)求抛物线的解析式．(2)连接AP 、PC 和CB ，求四边形APCB 面积的最大值及此时P 点的坐标．(3)点D 为抛物线对称轴上的一点，当以点A 、C 、D 为顶点的三角形为等腰三角形时，请写出所有符合条件的点D 的坐标，并把求其中一个点D 的过程写出来．11．已知拋物线2y ax bx c =++经过点()120B ，和()06C -，，对称轴为直线2x =．(1)求该拋物线的解析式；(2)点D 在线段AB 上，且AD AC =，若动点P 从A 点出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q 以某一速度从C 点出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻t ，使线段PQ 被直线CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间t （秒）和点Q 的运动速度，若不存在，请说明理由；(3)在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点M ，使MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的坐标，若不存在，请说明理由．12．已知抛物线与x 轴交于1030A C -（，）、（，），与y 轴交于点03B -（，）．(1)求抛物线对应的函数解析式；(2)在x 轴上是否存在点P ，使PBC 为等腰三角形？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点M 为抛物线上一动点，在直线BC 上是否存在点Q ，使以点O 、B 、Q 、M 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线212y x mx n =-++与x 轴交于A B ､两点，与y 轴交于点C ，拋物线的对称轴交x 轴于点D ，已知()()1,0,0,2A C -．(1)求抛物线的解析式；(2)点E 是线段BC 上的一个动点（不与B C ､重合），过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时点E 的坐标．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使PCD 为等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由．14．如图，已知抛物线与x 轴交于1,0A 和()5,0B -两点，与y 轴交于点C ．直线33y x =-+过抛物线的顶点P ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线()50x m m =-<<与抛物线交于点E ，与直线BC 交于点F ． ①当EF 取得最大值时，求m 的值和EF 的最大值； ①当EFC 是等腰三角形时，求点E 的坐标．15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点()60A ，和()10B -，，与y 轴交于点C ，连接BC ，过点A 、C 作直线AC ．(1)求抛物线的函数解析式．⊥交AC于点F，过点P作(2)点P为直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PF AC∥交x轴于点E，求AE PFPE AC+的最大值及此时点P的坐标．(3)在（2）问的条件下，将抛物线23=+-沿射线CB方向平移10个单位长度得y ax bx到新抛物线y'，新抛物线y'与原抛物线交于点M；连接CP，把线段CP沿直线AC平移，记平移后的线段为C P''，当以C'、P'和M为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的P'点的坐标．参考答案： 1．(1)223y x x =-++(2)BCD △为直角三角形(3)点P 的坐标为()2,3，四边形PBCD 的面积为42．(1)223y x x =-++(2)()1,1P(3)M 点横坐标为3172+或3172-或1或23．(1)248433y x x =--+ (2)81,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)252S =，3,52D ⎛⎫- ⎪⎝⎭(4)P 的坐标为：()1,0-或()1,13-或()1,13--或131,8⎛⎫- ⎪⎝⎭4．(1)211433=--y x x (2)当30m -<<时28S m =-+；当04m <<时228833S m m =-++． (3)52n =，2511n =和3011n = 5．(1)(5,5) ()2,4-(2)点P 的坐标为()()()()25,025,04,05,0-或或或(3)()21525056224t m m ⎛⎫=--+<< ⎪⎝⎭，t 的最大值为25246．(1)223y x x =--+(2)98ECD S =最大△(3)点P 的坐标为()535--，或()535+，或5122⎛⎫- ⎪⎝⎭，或()21-，．7．(1)239745+(2)17333-或8338．(1)211242y x x =-- (2)存在，12PK PD +的最大值为258 335,216P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)存在，M 的坐标为()111，或()111-，或()1219-+，或()1219--，．9．(1)223y x x =-++(2)点P 的坐标为(1,1)(3)存在，点M 的横坐标为352+或35210．(1)223y x x =+-(2)点P 坐标为315,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ max 758ABCP S =四边形 (3)1(1,14)D - 2(1,14)D -- 3(1,173)D -- 4(1,173)D --- 5(1,1)D --；11．(1)2116164y x x =--； (2)存在5t =时线段PQ 被直线CD 垂直平分，点Q 的运动速度每秒355单位长度； (3)1(2,0)M 2(33,0)10M -+ 3(33,0)10M -- 4(15,0)M ；12．(1)2=23y x x --(2)3,0-（）或(323,0)+,或(323,0)-+,或0,0（） (3)存在Q 1Q ：321213(,)22+- 2321213,)22(Q -+- 3)213(,22192Q --4)321(,29212Q +-+-13．(1)213222y x x =-++ (2)当2x =时，四边形CDBF 的面积最大，最大值为132，此时()2,1E (3)存在，满足条件的P 点坐标为35353325,,,4,22222216⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，14．(1)245y x x =--+(2)①当52m =-时，EF 有最大值，最大值为254；①()38-，或()45-，或()25622--，15．(1)215322y x x =-- (2)AE +PF 的最大值为：9595+；此时()3,6P - (3)点P '的坐标为：172112911,55⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭或172412911,55⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭或()11,13--。

等腰三角形三线合一专题训练1例1 如图，四边形ABCD中，AB // DC, BE、CE分别平分/ ABC、/ BCD，且点E在AD上。

求BC=AB+DC 。

变 1 如图，AB // CD，/ A = 90° AB = 2, BC = 3, CD = 1, E 是AD 边中点。

求证：CE丄BE。

变2：如图，四边形ABCD中，AD / BC, E是CD上一点，且AE、BE分别平分/ BAD、/ ABC.(1)求证：AE丄BE; (2)求证：E是CD的中点；(3)求证：AD+BC=AB.A n变3:\ ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 ,AB=AC.⑴若D为BC的中点，过D作DM丄DN分别交AB、AC 于M、N，求证：（1）DM = DN。

A⑵若DM丄DN分别和BA、AC延长线交于M、N。

问DM和DN有何数量关系。

|\/|⑴已知：如图，AB=AC , E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF , EF交BC于点D .求证：DE=DF .⑵已知：如图，AB=AC , E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D，且D为EF的中点. 求证：BE=CF .利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图，在△ ABC中, AB=AC P为底边BC上的一点，PC L AB于D, PEL AC于E, ?CF丄AB于F,那么PD+PE与CF相等吗？变1若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。

1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9,则它的周长为（）A 17B 22C 17 或22D 13根据等腰三角形的性质寻求规律1 1例1.在△ ABC中，AB=AC /仁一 / ABC / 2= —/ ACB BD与CE相交于点0,如图，/ B0C勺大小2 2与/A的大小有什么关系？1 1若/ 1= / ABC / 2= / ACB则/ BOC WZ A大小关系如何？3 31 1若/ 1= / ABC / 2= / ACB则/ B0C与Z A大小关系如何?n n会用等腰三角形的判定和性质计算与证明例2.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC —腰上的中线BD?各这个等腰三角形周长分成15和6两部分,利用等腰三角形的性质证线段相等例3.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA PB PC, ?以BP为边作/ PBQ=60，且BQ=BP 连结CQ （1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论.2）若PA PB: PC=3: 4: 5,连结PQ试判断△ PQC的形状，并说明理由.例1、等腰三角形底边长为5cm,腰上的中线把三角形周长分为差是3cm的两部分，则腰长为（）A、2cm B 、8cm C 、2cm 或8cm D 、不能确定例2、已知AD^^ ABC的高，AB=AC △ ABC周长为20cm,A ADC的周长为14cm,求AD的长。

2014年中考数学二轮精品复习试卷：三角形1、（2013年四川南充3分）下列图形中，∠2＞∠1的是【】A．B．C．则D．2、如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为【】A．2 B．3 C．4 D．53、下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是A．1，2，6 B．2，2，4 C．1，2，3 D．2，3，44、四边形的内角和的度数为A．180°B．270°C．360°D．540°5、下列各组线段的长为边，能组成三角形的是A．2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，5cmC．2cm，5cm，10cm D．8cm，4cm，4cm6、如图，含30°角的直角三角尺DEF放置在△ABC上，30°角的顶点D在边AB上，DE⊥AB．若∠B为锐角，BC∥DF，则∠B的大小为A．30° B．45° C．60°D．75°7、等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°8、在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为A．B．C．D．9、（2013年四川资阳3分）一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是【】A．正六边形B．正八边形C．正十边形D．正十二边形10、（2013年四川南充3分）如图，△ABC中，AB=AC,∠B=70°，则∠A的度数是【】A．70°B．55°C．50°D．40°11、（2013年广东梅州3分）若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是【】A．3 B．4 C．5 D．612、已知△ABC的各边长度分别为3cm，4cm，5cm，则连结各边中点的三角形的周长为A．2cm B．7cm C．5cm D．6cm13、如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则∠C 的度数为A．50°B．60°C．70°D．80°14、如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为A．B．C．3 D．415、如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为A．20 B．18 C．14 D．1316、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E 以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t ＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为A．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.517、如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD 于点O，连结AO，下列结论不正确的是【】A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC18、如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a 且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=A．6 B．8 C．10 D．1219、（2013年四川资阳3分）如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是【】A．48 B．60 C．76 D．8020、（2013年四川攀枝花3分）如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC 绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=【】A．30°B．35°C．40°D．50°二、填空题()21、一个六边形的内角和是 .22、如图，某山坡的坡面AB=200米，坡角∠BAC=30°，则该山坡的高BC的长为米。

2014年中考试题分类汇编——相似三角形1、（2013•昆明）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质分析：依据正方形的性质以及勾股定理、矩形的判定方法即可判断△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形，从而作出判断．解答：解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°．∵在△APE和△AME中，，∴△APE≌△AME，故①正确；∴PE=EM=PM，同理，FP=FN=NP．∵正方形ABCD中AC⊥BD，又∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE∴四边形PEOF是矩形．∴PF=OE，∴PE+PF=OA，又∵PE=EM=PM，FP=FN=NP，OA=AC，∴PM+PN=AC，故②正确；∵四边形PEOF是矩形，∴PE=OF，在直角△OPF中，OF2+PF2=PO2，∴PE2+PF2=PO2，故③正确．∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，故④错误；∵△AMP是等腰直角三角形，当△PMN∽△AMP时，△PMN是等腰直角三角形．∴PM=PN，又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，∴AP=BP，即P时AB的中点．故⑤正确．故选B．点评：本题是正方形的性质、矩形的判定、勾股定理得综合应用，认识△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，四边形PEOF是矩形是关键．2、（2013•新疆）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）A．2B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.5考点：相似三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．专题：动点型．分析：由Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，可求得AB的长，由D为BC 的中点，可求得BD的长，然后分别从若∠DBE=90°与若∠EDB=90°时，去分析求解即可求得答案．解答：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，∴AB=2BC=4（cm），∵BC=2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发，∴BD=BC=1（cm），BE=AB﹣AE=4﹣t（cm），若∠DBE=90°，当A→B时，∵∠ABC=60°，∴∠BDE=30°，∴BE=BD=（cm），∴t=3.5，当B→A时，t=4+0.5=4.5．若∠EDB=90°时，当A→B时，∵∠ABC=60°，∴∠BED=30°，∴BE=2BD=2（cm），∴t=4﹣2=2，当B→A时，t=4+2=6（舍去）．综上可得：t的值为2或3.5或4.5．故选D．点评：此题考查了含30°角的直角三角形的性质．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．3、（2013•新疆）如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，则BC的长是（）考点：相似三角形的判定与性质．分析：根据DE∥BC，证明△ADE∽△ABC，然后根据对应边成比例求得BC的长度．解答：解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，则=，∵DE=1，AD=2，DB=3，∴AB=AD+DB=5，∴BC==5．2故选C．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，难度一般，解答本题的关键是根据平行证明△ADE∽△ABC．4、（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF=4：10：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE：EC的值，由AB=CD即可得出结论．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF=4：25，∴DE：AB=2：5，∵AB=CD，∴DE：EC=2：3．故选B．点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．5、（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）A．11 B．10 C．9D．8考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．分析：判断出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的长度，继而得到EC的长度，在Rt△BGE中求出GE，继而得到AE，求出△ABE的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△EFC的周长．解答：解：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAF=∠DAF，∵AB∥DF，AD∥BC，∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=6，AD=DF=9，∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，∵AD∥BC，∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE，∴EC=FC=9﹣6=3，在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，∴AG==2，∴AE=2AG=4，∴△ABE的周长等于16，又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2，∴△CEF的周长为8．故选D．点评：本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大．6、（2013•雅安）如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=..考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB=CD，继而可判定△BEF∽△DCF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得BF：DF=BE：CD问题得解．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵AE：BE=4：3，∴BE：AB=3：7，∴BE：CD=3：7．∵AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴BF：DF=BE：CD=3：7，即2：DF=3：7，∴DF=．故答案为：．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是根据题意判定△BEF∽△DCF，再利用相似三角形的对应边成比例的性质求解．7、（2013•雅安）如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF：S四边形BCED的值为（）A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．2：5考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．分析：先利用SAS证明△ADE≌△CFE（SAS），得出S△ADE=S△CFE，再由DE为中位线，判断△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，利用相似三角形的面积比等于相似比，得到S△ADE：S△ABC=1：4，则S△ADE：S四边形BCED=1：3，进而得出S△CEF：S四边形BCED=1：3．解答：解：∵DE为△ABC的中位线，∴AE=CE．在△ADE与△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴S△ADE=S△CFE．∵DE为△ABC的中位线，∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，∴S△ADE：S△ABC=1：4，∵S△ADE+S四边形BCED=S△ABC，∴S△ADE：S四边形BCED=1：3，∴S△CEF：S四边形BCED=1：3．故选A．点评：本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理．关键是利用中位线判断相似三角形及相似比．8、（2013聊城）如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（）A．a B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质．分析：首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，因为△ABD的面积为a，进而求出△ACD的面积．解答：解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA，∵AB=4，AD=2，∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3，∵△ABD的面积为a，∴△ACD的面积为a，故选C．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型．9、（2013菏泽）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．19考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：计算题．分析：由图可得，S1的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．解答：解：如图，设正方形S2的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知，AC=x，x=CD，∴AC=2CD，CD==2，∴EC2=22+22，即EC=；∴S2的面积为EC2==8；∵S1的边长为3，S1的面积为3×3=9，∴S1+S2=8+9=17．故选B．点评：本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力．10、（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．分析：依次判定△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，根据相似三角形的对应边成比例的知识，可得出EF的长度．解答：解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠CBD=∠A，∴△ABC∽△BDC，同理可得：△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，∴=，=，=，解得：CD=，DE=，EF=．故选C．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，本题中相似三角形比较容易找到，难点在于根据对应边成比例求解线段的长度，注意仔细对应，不要出错．11、（2013•宜昌）如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（6，0）B．（6，3）C．（6，5）D．（4，2）考点：相似三角形的性质；坐标与图形性质．分析：根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．解答：解：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意；故选B．点评：本题考查了相似三角形的判定，难度中等．牢记判定定理是解题的关键．12、（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）A．B．1C．D．2考点：相似三角形的应用；正方形的性质；几何概率．分析：求得阴影部分的面积与正方形ABCD的面积的比即可求得小鸟在花圃上的概率；解答：解：设正方形的ABCD的边长为a，则BF=BC=，AN=NM=MC=a，∴阴影部分的面积为（）2+（a）2=a2，∴小鸟在花圃上的概率为=故选C．点评：本题考查了正方形的性质及几何概率，关键是表示出大正方形的边长，从而表示出两个阴影正方形的边长，最后表示出面积．13、（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD 的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应变成比例，E为OD的中点，求出DF：AB 的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值．解答：解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴=，∵O为对角线的交点，∴DO=BO，又∵E为OD的中点，∴DE=DB，则DE：EB=1：3，∴DF：AB=1：3，∵DC=AB，∴DF：DC=1：3，∴DF：FC=1：2．故选D．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值．14、（9-2图形的相似·2013东营中考）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（）A. 只有1个B. 可以有2个C. 可以有3个D. 有无数个10.B.解析：当直角边为6，8时，且另一个与它相似的直角三角形3，4也为直角边时，x的值为5，当8，4为对应边且为直角三角形的斜边时，x的值为7，故x的值可以为5或7.两种情况。

2014 年云南省中考数学试卷一、选择题（本大题共8 小题，每小题只有一个正确选项，每小题 3 分，满分24 分）1．（ 3 分）（2014年云南省） |﹣ |=（）A ．﹣B ．C．﹣7D． 7考点：绝对值．菁优网版权所有分析：根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．解答：解： |﹣ |=，故选： B．点评：本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．（ 3 分）（2014年云南省）下列运算正确的是（）A ．3x2+2 x3=5x6B ．50=0C． 2﹣ 3=D．（ x3）2=x6考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；零指数幂；负整数指数幂．菁优网版权所有分析：根据合并同类项，可判断A，根据非 0 的 0 次幂，可判断B，根据负整指数幂，可判断 C，根据幂的乘方，可判断D．解答：解： A、系数相加字母部分不变，故 A 错误；B、非 0 的 0 次幂等于1，故 B 错误；C、2，故C错误；D、底数不变指数相乘，故 D 正确；故选： D．点评：本题考查了幂的乘方，幂的乘方底数不变指数相乘是解题关键．3．（ 3 分）（2014年云南省）不等式组的解集是（）A ． x＞B ．﹣1≤x＜C． x＜D． x≥﹣ 1考点：解一元一次不等式组．菁优网版权所有分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．解答：解：，由①得，x＞，由②得，x≥﹣1，故此不等式组的解集为：x＞．故选 A．点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．4．（ 3 分）（2014年云南省）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）A ．圆柱B．正方体C．球D．圆锥考点：由三视图判断几何体．菁优网版权所有分析：由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．解答：解：根据主视图和左视图为三角形判断出是锥体，根据俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥，故选D．点评：主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为锥体，俯视图为圆就是圆锥．5．（ 3 分）（2014年云南省）一元二次方程2﹣x﹣ 2=0 的解是（）xA ． x1=1，x2=2B ． x1=1，x2 =﹣ 2C． x1 =﹣1， x2=﹣ 2D． x1=﹣ 1， x2=2考点：解一元二次方程－因式分解法．菁优网版权所有分析：直接利用十字相乘法分解因式，进而得出方程的根解答：解： x2﹣ x﹣ 2=0（x﹣ 2）（ x+1） =0 ，解得： x1=﹣ 1，x2=2．故选： D．点评：此题主要考查了十字相乘法分解因式解方程，正确分解因式是解题关键．6．（ 3 分）（2014年云南省）据统计，2013 年我国用义务教育经费支持了13940000名农民工随迁子女在城市里接受义务教育，这个数字用科学计数法可表示为（）A ． 1.394 ×107B ． 13.94×107C． 1.394×106D． 13.94×105考点：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a＜ 10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞ 1 时， n是正数；当原数的绝对值＜ 1 时， n 是负数．解答：解： 13 940 000=1.394×107，故选：A．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a＜ 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及n 的值．7．（ 3 分）（2014年云南省）已知扇形的圆心角为 45°，半径长为12，则该扇形的弧长为（）A ．B ． 2πC． 3πD． 12π考点：弧长的计算．菁优网版权所有分析：根据弧长公式 l=，代入相应数值进行计算即可．解答：解：根据弧长公式：l==3π，故选： C．点评：此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式l=．8．（ 3 分）（2014年云南省）学校为了丰富学生课余活动开展了一次“爱我云南，唱我云南”的歌咏比赛，共有18 名同学入围，他们的决赛成绩如下表：成绩（分）9.409.509.609.709.809.90人数235431则入围同学决赛成绩的中位数和众数分别是（）A ． 9.70， 9.60B ． 9.60， 9.60C． 9.60， 9.70D． 9.65，9.60考点：分析：众数；中位数．菁优网版权所有根据中位数和众数的概念求解．解答：解：∵共有18 名同学，则中位数为第9 名和第 10 名同学成绩的平均分，即中位数为：=9.60 ，众数为：故选 B．9.60．点评：本题考查了中位数和众数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，满分18 分）9．（ 3 分）（2014年云南省）计算：﹣=．考点：二次根式的加减法．菁优网版权所有分析：运用二次根式的加减法运算的顺序，先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可．解答：解：原式 =2﹣ = ．故答案为：．点评：合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．10．（ 3 分）（2014年云南省）如图，直线a∥ b，直线 a，b 被直线 c 所截，∠ 1=37 °，则∠ 2= 143° ．考点：平行线的性质．菁优网版权所有分析：根据对顶角相等可得∠3= ∠ 1，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．解答：解：∠ 3= ∠1=37°（对顶角相等），∵a∥ b，∴∠ 2=180°﹣∠ 3=180°﹣ 37°=143°．故答案为： 143°．点评：本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．11．（3 分）（2014年云南省）写出一个图象经过一，三象限的正比例函数y=kx（ k≠0）的解析式（关系式）y=2x ．考点：正比例函数的性质．菁优网版权所有专题：开放型．分析：根据正比例函数y=kx 的图象经过一，三象限，可得k＞ 0，写一个符合条件的数即可．解答：解：∵正比例函数y=kx 的图象经过一，三象限，∴k＞ 0，取k=2 可得函数关系式y=2x．故答案为： y=2x．点评：此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞ 0 时，图象经过一、三象限，y 随 x 的增大而增大；当k＜0 时，图象经过二、四象限，y 随 x 的增大而减小．12．（ 3 分）（ 2014?天津）抛物线y=x2﹣ 2x+3 的顶点坐标是（1，2）．考点：二次函数的性质．菁优网版权所有专题：计算题．分析：已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．解答：解：∵ y=x2﹣ 2x+3=x2﹣2x+1﹣ 1+3=（ x﹣ 1）2+2，∴抛物线y=x2﹣2x+3 的顶点坐标是（1， 2）．点评：此题考查了二次函数的性质，二次函数2y=a（ x﹣ h） +k 的顶点坐标为（ h，k），对称轴为 x=h，此题还考查了配方法求顶点式．13．（ 3 分）（2014年云南省）如图，在等腰△ ABC 中， AB=AC，∠ A=36 °，BD ⊥ AC 于点 D ，则∠ CBD = 18° ．考点：等腰三角形的性质．菁优网版权所有分析：根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC 的度数．解答：解：∵ AB=AC，∠ A=36°，∴∠ ABC=∠ ACB=72°．∵BD⊥AC 于点 D，∴∠ CBD =90°﹣ 72°=18°．故答案为： 18°．点评：本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．14．（ 3 分）（2014年云南省）观察规律并填空（1﹣）=?=；（1﹣）（ 1﹣）=???==（1﹣）（ 1﹣）（ 1﹣）=?????=?=；（1﹣）（ 1﹣）（ 1﹣）（ 1﹣）=???????=?=；⋯（1﹣）（ 1﹣）（ 1﹣）（ 1﹣）⋯（1﹣） =．（用含 n 的代数式表示，n 是正整数，且 n≥2）考点：规律型：数字的变化类．菁优网版权所有分析：由前面算式可以看出：算式的左边利用平方差公式因式分解，中间的数字互为倒数，乘积为1，只剩下两端的（ 1﹣）和（ 1+）相乘得出结果．解答：解：（ 1﹣）（ 1﹣）（ 1﹣）（ 1﹣）⋯（1﹣）=??????⋯=．故答案为：．点评：此题考查算式的运算规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，解决问题．三、解答题（本大题共9 个小题，满分60 分）15．（ 5 分）（2014年云南省）化简求值：?（），其中x=．考点：分式的化简求值．菁优网版权所有专题：计算题．x 分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将的值代入计算即可求出值．解答：解：原式 =?=x+1，当 x=时，原式=．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．（ 5 分）（2014年云南省）如图，在△ ABC 和△ ABD 中， AC 与 BD 相交于点E，AD =BC，∠DAB =∠ CBA，求证： AC =BD ．考点：专题：分析：解答：全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有证明题．根据“SAS”可证明△ ADB ≌△ BAC，由全等三角形的性质即可证明证明：在△ ADB 和△ BAC 中，AC=BD．，∴△ ADB ≌△ BAC（ SAS），∴AC =BD．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．17．（ 6 分）（2014年云南省）将油箱注满k 升油后，轿车科行驶的总路程S（单位：千米）与平均耗油量 a（单位：升 /千米）之间是反比例函数关系 S= （ k 是常数， k≠0）．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油 0.1 升的速度行驶，可行驶 700 千米．（1）求该轿车可行驶的总路程S 与平均耗油量 a 之间的函数解析式（关系式）；（2）当平均耗油量为 0.08 升 /千米时，该轿车可以行驶多少千米？考点：反比例函数的应用．菁优网版权所有分析：（1）将 a=0.1，s=700 代入到函数的关系S= 中即可求得 k 的值，从而确定解析式；（2）将 a=0.08 代入求得的函数的解析式即可求得s 的值．解答：解：（ 1）由题意得： a=0.1， s=700，代入反比例函数关系S=中，解得： k=sa=70，所以函数关系式为：s=；（2）将 a=0.08 代入 s=得： s= ==875 千米，故该轿车可以行驶多875 米；点评：本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出反比例函数模型．18．（ 9 分）（2014年云南省）为了解本校九年级学生期末数学考试情况，销量在九年级随机抽取了一部分学生的期末数学成绩为样本，分为A、B（ 89～ 80 分）、C（ 79～ 60 分）、D（59～0 分）四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下统计图，请你根据统计图解答以下问题：（1）这次随机抽取的学生共有多少人？（2）请补全条形统计图；（3）这个学校九年级共有学生 1200 人，若分数为 80 分（含 80 分）以上为优秀，请估计这次九年级学生期末数学考试成绩为优秀的学生人数大约有多少？考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．菁优网版权所有分析：（1）抽查人数可由 C 等所占的比例为 50%，根据总数 =某等人数÷比例来计算；（2）可由总数减去 A、 C、 D 的人数求得 B 等的人数，再补全条形统计图；（3）用样本估计总体．用总人数1200 乘以样本中测试成绩等级在80 分（含 80 分）以上的学生所占百分比即可．解答：解：（ 1） 20÷50%=40 （人），答：这次随机抽取的学生共有40 人；（2） B 等级人数： 40﹣ 5﹣20﹣ 4=11（人）条形统计图如下：（3） 1200××100%=480（人），这次九年级学生期末数学考试成绩为优秀的学生人数大约有480 人．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．19．（ 7 分）（2014年云南省）某市“艺术节”期间，小明、小亮都想去观看茶艺表演，但是只有一张茶艺表演门票，他们决定采用抽卡片的办法确定谁去．规则如下：将正面分别标有数字1、 2、 3、 4 的四张卡片（除数字外其余都相同）洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽出一张记下数字后放回；重新洗匀后背面朝上放置在桌面上，再随机抽出一张记下数字．如果两个数字之和为奇数，则小明去；如果两个数字之和为偶数，则小亮去．（1）请用列表或画树状图的方法表示抽出的两张卡片上的数字之和的所有可能出现的结果；（2）你认为这个规则公平吗？请说明理由．考点：游戏公平性；列表法与树状图法．菁优网版权所有分析：（1）用列表法将所有等可能的结果一一列举出来即可；（2）求得两人获胜的概率，若相等则公平，否则不公平．解答：解：（ 1）根据题意列表得：123412345234563456745678（2）由列表得：共16 种情况，其中奇数有8 种，偶数有8 种，∴和为偶数和和为奇数的概率均为，∴这个游戏公平．点评：本题考查了游戏公平性及列表与列树形图的知识，难度不大，是经常出现的一个知识点．20．（ 6 分）（2014年云南省）“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000 元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000 元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的 2 倍，且每盒花的进价比第一批的进价少 5 元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？考点：分析：是：解答：2×分式方程的应用．菁优网版权所有设第一批盒装花的进价是x 元 /盒，则第一批进的数量是：，第二批进的数量，再根据等量关系：第二批进的数量=第一批进的数量×2可得方程．解：设第一批盒装花的进价是x 元 /盒，则=，解得x=30经检验，x=30 是原方程的根．答：第一批盒装花每盒的进价是30 元．点评：本题考查了分式方程的应用．注意，分式方程需要验根，这是易错的地方．21．（ 6 分）（2014年云南省）如图，小明在AB 的顶端 B 的仰角为 30°，再向旗杆方向前进M 处用高10 米到1 米（ DM=1 米）的测角仪测得旗杆F 处，又测得旗杆顶端 B 的仰角为60°，请求出旗杆AB 的高度（取≈ 1.73，结果保留整数）考点：解直角三角形的应用－仰角俯角问题．菁优网版权所有分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．解答：解：∵∠ BDE=30°，∠ BCE=60°，∴∠ CBD =60°﹣∠ BDE =30°=∠ BDE ，∴BC =CD=10 米，在 Rt△ BCE 中， sin60°=，即=，∴BE =5，AB=BE+AE=5+1≈ 10米．答：旗杆 AB 的高度大约是10 米．点评：主要考查解直角三角形的应用，本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．22．（ 7 分）（2014年云南省）如图，在平行四边形ABCD 中，∠ C=60 °， M、N 分别是 AD、BC 的中点， BC=2CD ．（1）求证：四边形MNCD 是平行四边形；（2）求证： BD=MN ．考点：平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有专题：证明题．分析：（1）根据平行四边形的性质，可得AD 与 BC 的关系，根据 MD 与 NC 的关系，可得证明结论；（2）根据根据等边三角形的判定与性质，可得∠DNC 的度数，根据三角形外角的性质，可得∠ DBC 的度数，根据正切函数，可得答案．解答：证明：（ 1）∵ ABCD 是平行四边形，∴AD =BC， AD ∥ BC，∵M 、 N 分别是 AD 、 BC 的中点，∴MD =NC， MD∥ NC，∴MNCD 是平行四边形；（2）如图：连接ND ，∵MNCD 是平行四边形，∴MN =DC．∵N 是 BC 的中点，∴BN =CN，∵BC =2CD ，∠ C=60°，∴△ NVD 是等边三角形．∴ND =NC，∠ DNC=60°．∵∠ DNC 是△ BND 的外角，∴∠ NBD +∠NDB =∠DNC ，∵DN =NC=NB，∴∠ DBN =∠BDN =∠ DNC=30°，∴∠ BDC =90°．∵tan，∴DB= DC= MN．点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，等边三角形的判定与性质，正切函数．23．（ 9 分）（2014年云南省）已知如图平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，矩形ABCD 是顶点坐标分别为A（ 3，0）、B（ 3，4）、C（ 0，4）．点 D 在y 轴上，且点 D 的坐标为（0，﹣5），点P 是直线AC上的一动点．（1）当点 P 运动到线段AC 的中点时，求直线DP 的解析式（关系式）；（2）当点 P 沿直线 AC 移动时，过点 D、 P 的直线与 x 轴交于点 M．问在 x 轴的正半轴上是否存在使△ DOM 与△ ABC 相似的点 M？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点 P 沿直线 AC 移动时，以点P 为圆心、 R（ R＞ 0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆 P．若设动圆P 的半径长为，过点D作动圆F．请探求在动圆P 中是否存在面积最小的四边形P 的两条切线与动圆P 分别相切于点E、DEPF ？若存在，请求出最小面积S 的值；若不存在，请说明理由．考点：圆的综合题；待定系数法求一次函数解析式；垂线段最短；勾股定理；切线长定理；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有专题：综合题；存在型；分类讨论．分析：（1）只需先求出AC 中点 P 的坐标，然后用待定系数法即可求出直线DP 的解析式．（2）由于△ DOM 与△ ABC 相似，对应关系不确定，可分两种情况进行讨论，利用三角形相似求出 OM 的长，即可求出点 M 的坐标．（3）易证 S△PED =S△PFD．从而有 S 四边形DEPF =2S△PED =DE ．由∠ DEP =90 °得 DE2=DP 2﹣ PE2=DP2﹣．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当 DP⊥ AC 时，DP 最短，此时 DE 也最短，对应的四边形 DEPF 的面积最小．借助于三角形相似，即可求出 DP ⊥AC 时 DP 的值，就可求出四边形 DEPF 面积的最小值．解答：解：（ 1）过点 P 作 PH ∥ OA，交 OC 于点 H，如图 1 所示．∵PH ∥ OA，∴△ CHP ∽△ COA ．∴= = ．∵点 P是AC中点，∴CP = CA．∴HP = OA，CH = CO．∵A（ 3，0）、 C（ 0， 4），∴OA=3， OC=4．∴HP =，CH=2．∴OH =2．∵PH ∥ OA，∠ COA=90°，∴∠ CHP =∠COA=90°．∴点 P 的坐标为（，2）．设直线 DP 的解析式为y=kx+b，∵D （ 0，﹣ 5）， P（，2）在直线DP 上，∴∴∴直线 DP 的解析式为y=x﹣5．（2）①若△ DOM ∽△ ABC，图 2（ 1）所示，∵△ DOM ∽△ ABC，∴ = ．∵点 B 坐标为（ 3，4），点 D 的坐标为（ 0．﹣ 5），∴BC =3， AB=4， OD=5．∴ =．∴OM =．∵点 M 在 x 轴的正半轴上，∴点 M 的坐标为（， 0）②若△ DOM ∽△ CBA，如图2（ 2）所示，∵△ DOM ∽△ CBA，∴= ．∵BC =3， AB=4， OD=5，∴ =．∴OM =．∵点 M 在 x 轴的正半轴上，∴点 M 的坐标为（， 0）．综上所述：若△ DOM 与△ CBA 相似，则点 M 的坐标为（， 0）或（， 0）．（3）∵OA=3，OC=4，∠AOC =90°，∴AC =5．∴PE =PF = AC= ．∵DE 、 DF 都与⊙ P 相切，∴DE =DF ，∠ DEP =∠ DFP =90°．∴S△PED=S△PFD．∴S 四边形DEPF =2S△PED=2× PE?DE=PE?DE = DE．∵∠ DEP =90°，∴DE 2=DP 2﹣PE2． =DP2﹣．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP⊥ AC 时， DP 最短，此时 DE 取到最小值，四边形DEPF 的面积最小．∵DP ⊥ AC，∴∠ DPC =90°．∴∠ AOC=∠DPC ．∵∠ OCA=∠PCD ，∠ AOC =∠DPC ，∴△ AOC∽△ DPC ．∴=．∵AO=3， AC=5，DC =4﹣（﹣ 5） =9，∴= ．∴DP =．∴DE 2=DP 2﹣=（） 2﹣=．∴DE =，∴S 四边形DEPF = DE=．∴四边形DEPF面积的最小值为．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、用待定系数法求直线的解析式、切线长定理、勾股定理、垂线段最短等知识，考查了分类讨论的思想．将求DE的最小值转化为求DP的最小值是解决第3 小题的关键．另外，要注意“△ DOM 与△ ABC 相似”与“△ DOM ∽△ ABC“之间的区别．。