2019版高考数学(理科)一轮复习达标检测(四十一)圆锥曲线的综合问题直线与圆锥曲线的位置关系

高考一轮复习备考试题(附参考答案)圆锥曲线一、填空题1、（2013年江苏高考）双曲线的两条渐近线的方程为。

2、（2012年江苏高考）在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为▲．3、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为。

4、（2015届江苏南京高三9月调研）已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程 为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为▲5、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）抛物线的焦点坐标为▲．6、（2015届江苏苏州高三9月调研）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同则此双曲线的渐近线方程为▲7、（南京市2014届高三第三次模拟）已知抛物线y 2＝2px 过点M (2，2)，则点M 到抛物线焦点的距离为▲8、（南通市2014届高三第三次调研）在平面直角坐标系中，曲线的离心率为,且过点,则曲线的标准方程为▲．9、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线的一个焦点为（5，0），则实数m = ▲10、（徐州市2014届高三第三次模拟）已知点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为▲． 11、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为▲二、解答题1、（2014年江苏高考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1、F 2 分别是椭圆的左、右焦点，顶点B 的坐标为（0，b ），连结BF 2交椭圆于点A,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C.（1） 若点C 的坐标为（，），且BF 2 =，求椭圆的方程；（2） 若F 1C ⊥AB,求椭圆离心率e 的值。

高考一轮复习备考试题(附参考答案)圆锥曲线一、填空题1、（2013年江苏高考）双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 。

2、（2012年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率为5，则m 的值为 ▲ ．3、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 。

4、（2015届江苏南京高三9月调研）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ▲5、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）抛物线24y x =的焦点坐标为 ▲ ．6、（2015届江苏苏州高三9月调研）已知双曲线2215x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲7、（南京市2014届高三第三次模拟）已知抛物线y 2＝2px 过点M (2，2)，则点M 到抛物线焦点的距离为 ▲ 8、（南通市2014届高三第三次调研）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的离心率为2,且过点(1,2),则曲线C 的标准方程为 ▲ ．9、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2219x y m-=的一个焦点为（5，0），则实数m = ▲10、（徐州市2014届高三第三次模拟）已知点(1,0)P 到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的距离为12，则双曲线C 的离心率为 ▲ ．11、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ Y二、解答题1、（2014年江苏高考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1、F 2 分别是椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为（0，b ），连结BF 2交椭圆于点A,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C.（1） 若点C 的坐标为（，），且BF 2 =，求椭圆的方程；（2） 若F 1C ⊥AB,求椭圆离心率e 的值。

考点规范练49 直线与圆锥曲线基础巩固组1.(2017浙江嘉兴质检)若方程x 2+y 2a =1(a 是常数),则下列结论正确的是( ) A.任意实数a 方程表示椭圆 B.存在实数a 方程表示椭圆 C.任意实数a 方程表示双曲线 D.存在实数a 方程表示抛物线2.已知直线x=1过椭圆x 24+y 2b2=1的焦点,则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是( )A .k ∈ -12,12B .k ∈ -∞,-1 ∪ 1,+∞ C .k ∈ - 2, 2D .k ∈ -∞,- 2∪ 2,+∞3.(2017浙江绍兴模拟)椭圆ax 2+by 2=1与直线y=1-x 交于A ,B 两点,过原点与线段AB 中点的直线的斜率为 3,则a的值为( ) A. 3B.2 3C.9 3D.2 34.过双曲线x 2-y 2=1的右焦点作直线l 交双曲线于A ,B 两点,若使得|AB|=λ的直线l 恰有3条,则λ为( ) A .1 B .2C .3D .45.经过椭圆x 2+y 2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ,交椭圆于A ,B 两点.设O 为坐标原点,则OA ·OB 等于( ) A .-3 B .-13C .-13或-3D .±136.(2017浙江湖州测试)已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹方程为;轨迹所包围的图形的面积为.7.(2017浙江嘉兴七校联考)椭圆x 24+y23=1的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A,B,当m=时,△FAB的周长最大,此时△FAB的面积是.8.(2017浙江杭州学军模拟)函数y=ax2-2x的图象上有且仅有两个点到直线y=x的距离等于2,则实数a的取值集合是.能力提升组9.(2017浙江金华十校联考)已知两定点A(0,-2),B(0,2),点P在椭圆x 212+y216=1上,且满足|AP|-|BP|=2,则AP·BP为()A.-12B.12C.-9D.910.已知A,B,C是抛物线y2=4x上不同的三点,且AB∥y轴,∠ACB=90°,点C在AB边上的射影为D,则|AD|·|BD|=()A.16B.8C.4D.211.已知抛物线C:y2=2px与点N(-2,2),过C的焦点且斜率为2的直线与C交于A,B两点,若NA⊥NB,则p=()A.-2B.2C.-4D.412.(2017浙江新高考冲刺卷)已知F为抛物线4y2=x的焦点,点A,B都是抛物线上的点且位于x轴的两侧,若OA·OB=15(O为原点),则△ABO和△AFO的面积之和的最小值为()A.1B.5C.5D.6513.(2017课标Ⅰ高考)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C 交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.1014.(2017浙江名校联考)已知双曲线x 2-y2=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P(x1,y1),Q(x1,-y1)是双曲线上不同于A1,A2的两个不同的动点,则直线A1P与A2Q交点的轨迹方程为.15.已知斜率为12的直线l 与抛物线y 2=2px (p>0)交于x 轴上方的不同两点A ,B ,记直线OA ,OB 的斜率分别为k 1,k 2,则k 1+k 2的取值范围是16.(2017浙江金华十校联考)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,过焦点的直线与抛物线交于A ,B 两点,则直线的斜率为 时,|AF|+4|BF|取得最小值.17.(2017浙江温州十校模拟)已知点C (1,0),点A ,B 是☉O :x 2+y 2=9上任意两个不同的点,且满足AC·BC =0,设P 为弦AB 的中点. (1)求点P 的轨迹T 的方程;(2)试探究在轨迹T 上是否存在这样的点:它到直线x=-1的距离恰好等于到点C 的距离?若存在,求出这样的点的坐标;若不存在,说明理由.18.(2017浙江湖州丽水联考)已知点P t ,12 在椭圆C :x 22+y 2=1内,过点P 的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点,且点P 是线段AB 的中点,O 为坐标原点.(1)是否存在实数t ,使直线l 和直线OP 的倾斜角互补?若存在,求出t 的值,若不存在,试说明理由; (2)求△OAB 面积S 的最大值. 答案：1.B 当a>0且a ≠1时,方程表示椭圆,故选B .2.A 易知椭圆中c 2=a 2-b 2=4-b 2=1,即b2=3,∴椭圆方程是x 24+y 23=1.与y=kx+2联立可得(3+4k 2)x 2+16kx+4=0.由Δ≤0可解得k ∈ -12,12 .故选A .3.A 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),线段AB 中点M (x 0,y 0). 由题设k OM =y0x 0= 32.由 ax 12+by 12=1,ax 22+by 22=1,得(y 2+y 1)(y 2-y 1)(x 2+x 1)(x 2-x 1)=-a b. 又y 2-y 1x 2-x 1=-1,y 2+y 121=2y 00= 3,所以a = 3. 4.D ∵使得|AB|=λ的直线l 恰有3条,∴根据对称性,其中有一条直线与实轴垂直.此时A ,B 的横坐标为 3,代入双曲线方程,可得y=±2,故|AB|=4. ∵双曲线的两个顶点之间的距离是2,小于4,∴过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4, 综上可知,|AB|=4时,有三条直线满足题意.∴λ=4.5.B 依题意,当直线l 经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y-0=tan45°(x-1), 即y=x-1,代入椭圆方程x 22+y 2=1并整理得3x 2-4x=0,解得x=0或x=43,所以两个交点坐标分别为(0,-1), 43,13 , ∴OA ·OB=-1, 同理,直线l 经过椭圆的左焦点时,也可得OA ·OB=-1. 6.x 2+y 2-4x=0 4π 设P (x ,y ),由|PA|=2|PB|, 得 (x +2)2+y 2=2 (x -1)2+y 2,∴3x 2+3y 2-12x=0,即x 2+y 2-4x=0.∴点P 的轨迹为以(2,0)为圆心,半径为2的圆. 即轨迹所包围的面积等于4π. 7.1 3设椭圆x 24+y 23=1的右焦点为F',则F (-1,0),F'(1,0).由椭圆的定义和性质易知,当直线x=m 过F'(1,0)时,△FAB 的周长最大,此时m=1,把x=1代入x 24+y 23=1得y 2=9,y=±3,S △FAB =1|F 1F 2||AB|=1×2×3=3.8. a a <-98或a =0或a >98 (1)若a=0,则y=2x 与y=x 为相交直线,显然y=2x 上存在两点到y=x 的距离等于 2,符合题意; (2)若a>0,则y=ax 2-2x 与直线y=x 相交,∴y=ax 2-2x 在直线y=x 上方的图象必有两点到直线y=x 的距离等于 2, 又直线y=x 与y=x-2的距离为 2,∴抛物线y=ax 2-2x 与直线y=x-2不相交,联立方程组 y =ax 2-2x ,y =x -2,消元得ax 2-3x+2=0,∴Δ=9-8a<0,解得a>9. (3)若a<0,同理可得a<-9.故答案为 a a <-98或a =0或a >98 .9.D 由|A P |-|BP |=2,可得点P (x ,y )的轨迹是以两定点A ,B 为焦点的双曲线的上支,且2a=2,c=2,∴b= ∴点P 的轨迹方程为y2-x 2=1(y ≥1).由 x 212+y 216=1,y 2-x 23=1,解得 x 2=9,y 2=4,∴AP ·BP=(x ,y+2)·(x ,y-2)=x 2+y 2-4=9+4-4=9. 10.A 设A (4t 2,4t ),B (4t 2,-4t ),C (4m 2,4m ), 则CA =(4t 2-4m 2,4t-4m ),CB =(4t 2-4m 2,-4t-4m ),由条件CA ·CB =0,即16(t 2-m 2)2-16(t 2-m 2)=0,∵t 2-m 2≠0,∴t 2-m 2=1,∴在Rt △ABC 中,|AD|·|BD|=|CD|2=[4(t 2-m 2)]2=16,故选A .11.D 由题意,设直线为y=2 x -p2 ,与y 2=2px 联立,消去x 得y 2-py-p 2=0,设A y 122p ,y 1 ,B y 222p ,y 2 ,则y 1+y 2=p ,y 1y 2=-p 2,由NA ⊥NB 得 y 122p +2 y 222p +2 +(y 1-2)·(y 2-2)=0,所以p 44p 2+1p [(y 1+y 2)2-2y 1y 2]+4-p 2-2p+4=0,即-3p 2+p+8=0,解得p=4或p=-8(舍),故选D . 12.D 设直线AB 的方程为x=ty+m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AB 与x 轴的交点为M (m ,0), 联立 4y 2=x ,x =ty +m ,可得4y 2-ty-m=0,根据韦达定理有y 1y 2=-m 4,∵OA ·OB=15,∴x 1x 2+y 1y 2=16,从而16(y 1y 2)2+y 1y 2-15=0, ∵点A ,B 位于x 轴的两侧,∴y 1y 2=-1,故m=4. 不妨令点A 在x 轴上方,则y 1>0,又F 116,0 ,∴S △ABO +S △AFO =1×4×(y 1-y 2)+1×1y 1=65y 1+21≥265y 1×21= 65, 当且仅当6532y 1=2y 1,即y 1=8 6565时,取“=”号,∴△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是 652,故选D .13.A 方法一:由题意,易知直线l 1,l 2斜率不存在时,不合题意.设直线l 1方程为y=k 1(x-1), 联立抛物线方程,得y 2=4x ,y =k 1(x -1), 消去y ,得k 12x 2-2k 12x-4x+k 12=0,所以x 1+x 2=2k 12+4k 12.同理,直线l 2与抛物线的交点满足x 3+x 4=2k 22+4k 22.由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x 1+x 2+x 3+x 4+2p=2k 12+4k 12+2k 22+4k 22+4=4k 12+4k 22+8≥216k 12k 22+8=16,当且仅当k 1=-k 2=1(或-1)时,取得等号. 方法二:如图所示,由题意可得F (1,0),设AB 倾斜角为θ 不妨令θ∈ 0,π2 .作AK 1垂直准线,AK 2垂直x 轴,结合图形,根据抛物线的定义,可得 |AF |·cos θ+|GF |=|AK 1|,|AK 1|=|AF |,|GF |=2,所以|AF|·cos θ+2=|AF|,即|AF|=21-cos θ.同理可得|BF|=21+cos θ,所以|AB|=41-cos 2θ=4sin 2θ.又DE 与AB 垂直,即DE 的倾斜角为π2+θ,则|DE|=4sin 2 π2+θ=4cos 2θ,所以|AB|+|DE|=42+42=422=414sin 22θ=162≥16,当θ=π时取等号,即|AB|+|DE|最小值为16,故选A .14.x 2+y 2=1(x ≠0且x ≠± ) 由题设知|x 1|> A 1(- ,0),A 2( 则有直线A 1P 的方程为y=1x + 2(x+ ① 直线A 2Q 的方程为y=1x -2(x- 2),②联立①②,解得 x =2x 1,y = 2y 1x 1,∴ x 1=2x ,y 1= 2y x ,③ ∴x ≠0,且|x|< 2. ∵点P (x 1,y 1)在双曲线x 2-y 2=1上,∴x 12−y 12=1. 将③代入上式,整理得所求轨迹的方程为x 22+y 2=1(x ≠0,且x ≠± .15.(2,+∞) 设直线方程为y=1x+b ,即x=2y-2b , 代入抛物线方程y 2=2px ,可得y 2-4py+4pb=0, Δ=16p 2-16pb>0,∴p>b.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),得y 1+y 2=4p ,y 1y 2=4pb , k 1+k 2=y 1x 1+y2x 2=y 1x 2+x 1y 2x 1x 2=y 1(2y 2-2b )+(2y 1-2b )y 2(2y 1-2b )(2y 2-2b )=16pb -8pb16pb -16pb +4b2=2pb >2.故答案为(2,+∞). 16.±2 2 由题意,设|AF|=m ,|BF|=n ,则1m +1n =2p =1,∴m+4n= 1m +1n (m+4n )=5+4nm +mn≥9,当且仅当m=2n 时,m+4n 的最小值为9,设直线的斜率为k ,方程为y=k (x-1),代入抛物线方程,得 k 2(x-1)2=4x.化简得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x2=1,x1+x2=2+4k2.根据抛物线性质可知,|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,∴x1+1=2(x2+1),联立可得k=±2 2.17.解(1)如图,连接CP,OP,由AC·BC=0,知AC⊥BC,∴|CP|=|AP|=|BP|=1|AB|,由垂径定理知|OP|2+|AP|2=|OA|2,即|OP|2+|CP|2=9,设点P(x,y),有(x2+y2)+[(x-1)2+y2]=9,化简,得x2-x+y2=4.(2)存在.根据抛物线的定义,到直线x=-1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2=2px(p>0)上,其中p2=1.∴p=2,故抛物线方程为y2=4x,由方程组y2=4x,x2-x+y2=4,得x2+3x-4=0,解得x1=1,x2=-4,由x≥0,故取x=1,此时y=±2.故满足条件的点存在,其坐标为(1,-2)和(1,2).18.解(1)存在.由题意直线l的斜率必存在,设直线l的方程是y-1=k(x-t).代入x2+2y2=2得(1+2k2)x2+4k-kt+12x+2-kt+122-2=0.①设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2t,即4k kt-121+2k2=2t,解得k=-t,此时方程①即(1+2t2)x2+4k t2+12x+2 t2+122-2=0.由Δ=-8t4+8t2+6>0,解得0<t2<3,当t=0时,显然不符合题意;当t≠0时,设直线OP的斜率为k1,只需k1+k2=0,即1+(-t)=0,解得t=±2,均符合题意.(2)由(1)知l的方程是y=-tx+t2+1,所以S=12t2+12|x1-x2|=1 2 t2+12-8t4+8t2+61+2t2=14-8t4+8t2+6,因为0<t2<32,所以当t2=12时,S max=22.。

7、（广州市海珠区2018届高三综合测试（一）且过点．()2,1A (Ⅰ) 求椭圆的方程；C (Ⅱ) 若不经过点的直线A l PQ是椭圆上的动点，从原点向圆的斜率存在，并分别记为在平面直角坐标系中，已知点，，动点不在轴上，直线、的斜率之积．（Ⅰ）求动点的轨迹方程；（Ⅱ）经过点的两直线与动点的轨迹分别相交于、两点。

是否存在常数，使得任意满足的直线恒过线段的中点？请说明理由．的离心率为是和）求曲线的方程；）倾斜角为的直线过原点且与交于两点，倾斜角为的直线过且与交于若，求）因为,,故,所以,故.又圆的标准方程为,从而,所以.由题设得,,,由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（））当与轴不垂直时设的方程为,,.由得.则,.所以.过点且与垂直的直线：,到的距离为,所以.故四边形的面积.可得当与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为.当与轴垂直时,其方程为,,,四边形的面积为12.综上,四边形面积的取值范围为.4、5、、14、解：（Ⅰ）设（），则，，……2分由得，，……4分化简整理得，动点的轨迹方程为（）……5分（Ⅱ）动点的轨迹与轴的两个交点为、，猜想时，直线恒过线段的中点……7分（猜想存在1分，猜想存在且2分）记，则直线：，解得……9分当时，，则直线：，同理可得……11分线段的中点是线段的中点，所以直线恒过线段的中点……12分15、【解析】（1）由题可知，椭圆中，解得，所以椭圆的方程是；。

5分（2）设倾斜角为的直线为，倾斜角为的直线，①当时，由，知，则，于是，此时；。

6分）当时，由，知，且这两条直线的斜率互为相反数，设，则，由，可得，则，由可得：，由于，设与椭圆的两个交点坐标依次为，于是，∴。

，综上所述总有．16、解：。

第四讲　直线与圆锥曲线的综合应用题组1　圆锥曲线中弦的相关问题1.[2015浙江,5,5分][理]如图10-4-1,设抛物线y 2=4x 的焦点为F ,不经过焦点的直线上有三个不同的点A ,B ,C ,其中点A ,B 在抛物线上,点C 在y 轴上,则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )图10-4-1A .B .C .D .|BF |-1|AF |-1|BF |2-1|AF |2-1|BF |+1|AF |+1|BF |2+1|AF |2+12.[2015四川,10,5分][理]设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A ,B 两点,与圆(x-5)2+y 2=r 2(r>0)相切于点M ,且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是( )A .(1,3)B .(1,4)C .(2,3)D .(2,4)3.[2014新课标全国Ⅱ,10,5分][理]设F 为抛物线C :y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( )A.B.C.D.3349386332944.[2013江西,14,5分][理]抛物线x 2=2py (p>0)的焦点为F ,其准线与双曲线-=1相交于A ,Bx 23y 23两点,若△ABF 为等边三角形,则p= .5.[2015山东,20,13分][理]平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :+=1(a>b>0)的离心率为,x 2a 2y 2b 232左、右焦点分别是F 1,F 2.以F 1为圆心以3为半径的圆与以F 2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C 上.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设椭圆E :+=1,P 为椭圆C 上任意一点.过点P 的直线y=kx+m 交椭圆E 于A ,B 两点,射x 24a 2y 24b 2线PO 交椭圆E 于点Q.(i)求的值;|OQ ||OP |(ii)求△ABQ 面积的最大值.题组2　直线与圆锥曲线的综合应用6.[2014辽宁,10,5分][理]已知点A (-2,3)在抛物线C :y 2=2px 的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,则直线BF 的斜率为( )A. B. C.D.122334437.[2014湖南,14,5分]平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P (-1,0)且斜率为k 的直线,则k 的取值范围是 .8.[2016四川,20,13分][理]已知椭圆E :+=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角x 2a 2y 2b 2三角形的三个顶点,直线l :y=-x+3与椭圆E 有且只有一个公共点T.(Ⅰ)求椭圆E 的方程及点T 的坐标;(Ⅱ)设O 是坐标原点,直线l'平行于OT ,与椭圆E 交于不同的两点A ,B ,且与直线l 交于点P.证明:存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.9.[2015全国卷Ⅰ,20,12分][理]在直角坐标系xOy 中,曲线C :y=与直线l :y=kx+a (a>0)交于x 24M ,N 两点.(Ⅰ)当k=0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM=∠OPN ?说明理由.A 组基础题1.[2018中原名校高三第三次质量考评,11]已知双曲线-=1右焦点为F ,P 为双曲线左支上x 24y 22一点,点A (0,),则△APF 周长的最小值为( )2A .4(1+)B .4+22C .2(+)D .+326622.[2018唐山市高三五校联考,10]直线l 与双曲线C :-=1(a>0,b>0)交于A ,B 两点,M 是线段x 2a 2y 2b 2AB 的中点,若l 与OM (O 是原点)的斜率的乘积等于1,则此双曲线的离心率为( )A.2B.C.3D.233. [2017郑州市第三次质量预测,10]椭圆+=1的左焦点为F ,直线x=a 与椭圆相交于点x 25y 24M ,N ,当△FMN 的周长最大时,△FMN 的面积是( )A. B. C.D.556558554554.[2017福建省高三质检,8]过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ,B 两点,交其准线于点C ,且A ,C 位于x 轴同侧,若|AC|=2|AF|,则|BF|等于( )A.2B.3C.4D.55.[2018洛阳市尖子生第一次联考,20]如图10-4-2,点F 是抛物线Γ:x 2=2py (p>0)的焦点,点A 是抛物线上的定点,且=(2,0),点B ,C 是抛物线上的动点,直线AB ,AC 的斜率分别为k 1,k 2.AF (1)求抛物线Γ的方程;(2)若k 2-k 1=2,点D 是抛物线在点B ,C 处切线的交点,记△BCD 的面积为S ,证明S 为定值.图10-4-26.[2017桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联考,20]已知右焦点为F 2(c ,0)的椭圆C :+=1(a>b>0)过点(1,),且椭圆C 关于直线x=c 对称的图形过坐标原点.x 2a 2y 2b 232(1)求椭圆C 的方程;(2)过点(,0)作直线l 与椭圆C 交于E ,F 两点,线段EF 的中点为M ,点A 是椭圆C 的右顶点,12求直线MA 的斜率k 的取值范围.B 组提升题7.[2018辽宁五校联考,12]一条动直线l 与抛物线C :x 2=4y 相交于A ,B 两点,O 为坐标原点,若=2,则(-)2-4的最大值为( )AB AG OA OB OG 2A.24B.16C.8D.-168.[2017广州市高三毕业班综合测试,8]已知F 1,F 2分别是椭圆C :+=1(a>b>0)的左、右焦x 2a 2y 2b 2点,若椭圆C 上存在点P 使∠F 1PF 2为钝角,则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.(,1)B.(,1)C.(0,)D.(0,)221222129.[2017合肥市三检,12]已知椭圆M :+y 2=1,圆C :x 2+y 2=6-a 2在第一象限有公共点P ,设圆Cx 2a 2在点P 处的切线斜率为k 1,椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2,则的取值范围为( )k 1k 2A.(1,6)B.(1,5)C.(3,6)D.(3,5)10.[2018湘东五校联考,20]已知椭圆C 的中心在原点,离心率等于,它的一个短轴端点恰好是12抛物线x 2=8y 的焦点.3(1)求椭圆C 的方程;(2)如图10-4-3,已知P (2,3),Q (2,-3)是椭圆上的两点,A ,B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点.①若直线AB 的斜率为,求四边形APBQ 面积的最大值;12②当A ,B 运动时,满足∠APQ=∠BPQ ,试问直线AB 的斜率是否为定值?请说明理由.图10-4-311.[2017天星第二次联考,20]已知椭圆C :+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F 的直线lx 2a 2y 2b 233与椭圆C 相交于A ,B 两点,当直线l 的斜率为1时,坐标原点O 到直线l 的距离为.22(1)求椭圆C 的方程;(2)椭圆C 上是否存在点P ,使得当直线l 绕F 转到某一位置时,有=+成立?若存在,OP OA OB 求出所有满足条件的点P 的坐标与直线l 的方程;若不存在,请说明理由.答案1.A 由题可知抛物线的准线方程为x=-1.如图D 10-4-2所示,过A 作AA 2⊥y 轴于点A 2,过B 作BB 2⊥y 轴于点B 2,则===.故选A .S △BCF S △ACF |BC ||AC||BB 2||AA 2||BF |-1|AF |-1图D 10-4-22.D 当直线l 的斜率不存在时,这样的直线l 恰有2条,即x=5±r ,此时0<r<5,所以当直线l的斜率存在时,这样的直线l 有2条即可.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0),则又{x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0.两式相减得(y 1+y 2)(y 1-y 2)=4(x 1-x 2),则k AB ===.设圆心为C (5,0),则k CM={y 21=4x 1,y 22=4x 2,y 1-y 2x 1-x 24y 1+y 22y 0.因为直线l与圆相切,所以·=-1,解得x 0=3,于是=r 2-4,r>2,又<4x 0,即r 2-4<12,所y 0x 0-52y 0y 0x 0-5y 20y 20以0<r<4,又0<r<5,r>2,所以2<r<4,故选D .3.D 易知抛物线中p=,焦点F (,0),直线AB 的斜率k=,故直线AB 的方程为y=(x-),代3234333334入抛物线方程y 2=3x ,整理得x 2-x+=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=.由抛物线的定义可得212916212弦长|AB|=x 1+x 2+p=+=12,结合图形(图略)可得O 到直线AB 的距离d=sin 30°=,所以△21232p 238OAB 的面积S=|AB|·d=.故选D .12944.6　由x 2=2py (p>0)得焦点F (0,),准线l 为y=-,所以可求得抛物线的准线与双曲线-=1p2p 2x 23y 23的交点 A (-,-),B (,-),所以|AB|=,若△ABF 为等边三角形,则|AF|=|AB|=12+p 22p 212+p 22p 212+p 2,=sin ,即=,解得p=6.12+p2p|AF |π3p 12+p 2325.(Ⅰ)由题意知2a=4,则a=2.又=,a 2-c 2=b 2,可得b=1,ca 32所以椭圆C 的方程为+y 2=1.x 24(Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆E的方程为+=1.x 216y 24(i)设P (x 0,y 0),=λ,由题意知Q (-λx 0,-λy 0).|OQ ||OP |因为+=1,又+=1,即(+)=1,x 204y 20(-λx 0)216(-λy 0)24λ24x 24y 20所以λ=2,即=2.|OQ ||OP |(ii)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).将y=kx+m 代入椭圆E 的方程,可得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-16=0.由Δ>0,可得m 2<4+16k 2　①,则有x 1+x 2=-,x 1x 2=,8km1+4k 24m 2-161+4k 2所以|x 1-x 2|=.416k 2+4-m 21+4k 2因为直线y=kx+m 与y 轴交点的坐标为(0,m ),所以△OAB 的面积S=|m||x 1-x 2|12=216k 2+4-m 2|m |1+4k 2=2(16k 2+4-m 2)m 21+4k 2=2.(4-m 21+4k 2)m 21+4k 2设=t ,m 21+4k 2将y=kx+m 代入椭圆C 的方程,可得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-4=0,由Δ≥0,可得m 2≤1+4k 2　②.由①②可知0<t ≤1.因此S=2=2.故S ≤2,(4-t )t -t 2+4t 3当且仅当t=1,即m 2=1+4k 2时取得最大值2.3由(i)知,△ABQ 面积为3S ,所以△ABQ 面积的最大值为6.36.D 因为A (-2,3)在抛物线y 2=2px 的准线上,所以-=-2,所以p=4,所以y 2=8x ,设直线AB 的方p2程为x=k (y-3)-2　①,将①与y 2=8x 联立,得消去x ,得y 2-8ky+24k+16=0　②,{x =k (y -3)-2,y 2=8x ,则Δ=(-8k )2-4(24k+16)=0,即2k 2-3k-2=0,解得k=2或k=-(舍去),将k=2代入①②解得12即B (8,8),又F (2,0),所以k BF ==,故选D.{x =8,y =8,8-08-2437.(-∞,-1)∪(1,+∞)　由题意可知机器人的轨迹为一抛物线,其轨迹方程为y 2=4x ,过点P (-1,0)且斜率为k 的直线方程为y=k (x+1),由题意知直线与抛物线无交点,联立直线与抛物线的方程,消去y 得k 2x 2+(2k 2-4)x+k 2=0,则Δ=-4k 4<0,所以k 2>1,解得k>1或k<-1.(2k 2-4)28.(Ⅰ)由已知,a=b ,则椭圆E 的方程为+=1.2x 22b 2y 2b 2由方程组得3x 2-12x+(18-2b 2)=0　①.{x 22b 2+y 2b 2=1,y =-x +3,方程①的根的判别式为Δ=24(b 2-3),由Δ=0,得b 2=3,此时方程①的解为x=2,所以椭圆E的方程为+=1,点T 的坐标为(2,1).x 26y 23(Ⅱ)由已知可设直线l'的方程为y=x+m (m ≠0),12由方程组可得{y =12x +m ,y =-x +3,{x =2-2m3,y =1+2m 3,所以点P的坐标为(2-,1+),|PT|2=m 2.2m 32m 389设点A ,B 的坐标分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由方程组可得3x 2+4mx+(4m 2-12)=0　②.{x 26+y 23=1,y=12x +m ,方程②的根的判别式为Δ=16(9-2m 2),由Δ>0,解得-<m<.322322由②得x 1+x 2=-,x 1x 2=,4m34m 2-123所以|PA|==2--x 1|,(2-2m 3-x 1)2+(1+2m 3-y 1)2522m3同理|PB|=|2--x 2|,522m3所以|PA|·|PB|=|(2--x 1)(2--x 2)|542m 32m3=|(2-)2-(2-)(x 1+x 2)+x 1x 2|542m 32m3=|(2-)2-(2-)(-)+|542m 32m 34m 34m 2-123=m 2.109故存在常数λ=,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.459.(Ⅰ)由题设可得M (2,a ),N (-2,a )或M (-2,a ),N (2,a ).a a a a又y=,得y'=,故y=在x=2处的导数值为,C 在点(2,a )处的切线方程为y-a=(x-2x 24x 2x 24a a a a ),即x-y-a=0.a a y=在x=-2处的导数值为-,C 在点(-2,a )处的切线方程为y-a=-(x+2),即x 24a a a a a x+y+a=0.a x-y-a=0和x+y+a=0.a a (Ⅱ)存在符合题意的点,证明如下:设P (0,b )为符合题意的点,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线PM ,PN 的斜率分别为k 1,k 2.将y=kx+a 代入C 的方程得x 2-4kx-4a=0,故x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4a.从而k 1+k 2=+y 1-b x 1y 2-bx 2=2kx 1x 2+(a -b )(x 1+x 2)x 1x 2=.k (a +b )a当b=-a 时,有k 1+k 2=0,则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN ,所以点P (0,-a )符合题意.A 组基础题1.A 设双曲线左焦点为F',由题意得点F (,0),|AF|=2,a=2,△APF 的周长62l=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+2a+|PF'|+|AP|,要使△APF 的周长最小,只需|AP|+|PF'|最小,如图D 10-4-3,当A ,P ,F'三点共线时取到最小值,故l=2a+2|AF|=4(1+).故选A .2图D 10-4-32.B 设直线l 与双曲线C :-=1(a>0,b>0)的交点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),易知x 1≠x 2,则-x 2a 2y 2b 2x 21a 2=1(a>0,b>0)　①,-=1(a>0,b>0)　②,②-①得=,即=,因为l 与OMy 21b 2x 22a 2y 22b 2x 21-x 22a 2y 21-y 22b 2(y 1-y 2)(y 1+y 2)(x 1-x 2)(x 1+x 2)b 2a 2的斜率的乘积等于1,所以=1,双曲线的离心率e==,故选B .b 2a 21+b 2a 223.C 设椭圆的右焦点为E ,由椭圆的定义知△FMN 的周长为L=|MN|+|MF|+|NF|=|MN|+(2-|ME|)+(2-|NE|).因为|ME|+|NE|≥|MN|,所以|MN|-|ME|-|NE|≤0,当直线MN 过点E 时取55等号,所以L=4+|MN|-|ME|-|NE|≤4,即直线x=a 过椭圆的右焦点E 时,△FMN 的周长最55大,此时S △FMN =×|MN|×|EF|=××2=,故选C .12122×458554.C 设抛物线的准线与x 轴交于点D ,则由题意,知F (1,0),D (-1,0),分别作AA 1,BB 1垂直于抛物线的准线,垂足分别为A 1,B 1,则有=,所以|AA 1|=,故|AF|=.又=,即=|AC ||FC ||AA 1||FD |4343|AC ||BC ||AA 1||BB 1||AC ||AC |+|AF |+|BF |,亦即=,解得|BF|=4,故选C .|AF ||BF |2|AF |3|AF |+|BF ||AF ||BF |5.(1)设A (x 0,y 0),由题意知F (0,),所以=(-x 0,-y 0)=(2,0),所以代入x 2=2py (p>0),得p 2AF p2{x 0=-2,y 0=p2,4=p 2,解得p=2,所以抛物线的方程是x 2=4y.(2)过D 作y 轴的平行线交BC 于点E ,设B (x 1,),C (x 2,),x 214x 224由(1)知A (-2,1),所以k 2-k 1=-=,x 224-1x 2+2x 214-1x 1+2x 2-x 14又k 2-k 1=2,所以x 2-x 1=8.由x 2=4y ,得y'=,因为B ,C 为抛物线的切点,x2所以直线BD :y=x-　①,直线CD :y=x-　②,x 12x 214x 22x 224联立①②,解得{x D =x 1+x 22,y D =x 1x 24.而k BC ==,所以直线BC 的方程为y-=·(x-x 1),由于x E =x D ,所以将x D 代入直线x 224-x 214x 2-x 1x 2+x 14x 214x 1+x 24BC 的方程,得y E =,x 21+x 228所以S=|DE|(x 2-x 1)=(y E -y D )(x 2-x 1)=··(x 2-x 1)=32.121212(x 2-x 1)28故S 为定值.6.(1)∵椭圆C过点(1,),∴+=1　①.321a 294b 2∵椭圆C 关于直线x=c 对称的图形过坐标原点,∴a=2c.∵a 2=b 2+c 2,∴b 2=a 2　②.34由①②得a 2=4,b 2=3,∴椭圆C的方程为+=1.x 24y 23(2)依题意,直线l过点(,0)且斜率不为零,故可设其方程为x=my+.1212由消去x ,整理得4(3m 2+4)y 2+12my-45=0.{x =my +12,x 24+y 23=1,设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),M (x 0,y 0),则y 1+y 2=-,3m3m 2+4∴y 0==-,y 1+y 223m2(3m2+4)∴x 0=my 0+=,1223m 2+4∴k==.y 0x 0-2m4m 2+4①当m=0时,k=0;②当m ≠0时,k=,14m +4m∵|4m+|=4|m|+≥8,∴0<≤,4m 4|m |1|4m +4m |18∴0<|k|≤,∴-≤k ≤且k ≠0.181818综合①②可知,直线MA 的斜率k 的取值范围是[-,].1818B 组提升题7.B 由=2,知G 是线段AB的中点,∴=(+),∴(-)2-4=(-)2-AB AG OG 12OA OB OA OB OG 2OA OB (+)2=-4·.由A ,B 是动直线l 与抛物线C :x 2=4y 的交点,不妨设A (x 1,),B (x 2,),∴-4OA OB OA OB x 214x 224·=-4(x 1x 2+)=-4[(+2)2-4]=16-4(+2)2≤16,即(-)2-4的最大值为16,故选OA OB x 21x 2216x 1x 24x 1x 24OA OB OG 2B .8.A 解法一　设P (x 0,y 0),由题易知|x 0|<a ,因为∠F 1PF 2为钝角,所以·<0有解,即c 2>PF 1PF 2+有解,即c 2>(+)min,又=b 2-,<a 2,故+=b 2+∈[b 2,a 2),所以(+)min =b 2,故x 20y 20x 20y 20y 20b 2a 2x 20x 20x 20y 20c 2a 2x 20x 20y 20c 2>b 2,又b 2=a 2-c 2,所以e 2=>,解得e>,又0<e<1,故椭圆C 的离心率的取值范围是(,1),c 2a 2122222选A.解法二　椭圆上存在点P 使∠F 1PF 2为钝角⇔以原点O 为圆心,以c 为半径的圆与椭圆有四个不同的交点⇔b<c.如图D 10-4-4,由b<c ,得a 2-c 2<c 2,即a 2<2c 2,解得e=>,又0<e<1,故椭ca 22圆C 的离心率的取值范围是(,1),选A22.图D 10-4-49.D 由于椭圆M :+y 2=1,圆C :x 2+y 2=6-a 2在第一象限有公共点P ,所以解得x 2a 2{a 2>6-a 2,6-a 2>1,3<a 2<5.设椭圆M :+y 2=1与圆C :x 2+y 2=6-a 2在第一象限的公共点P (x 0,y 0),则椭圆M 在点Px 2a 2处的切线方程为+y 0y=1,圆C 在点P 处的切线方程为x 0x+y 0y=6-a 2,所以k 1=-,k 2=-x 0xa 2x 0y 0,=a 2,所以∈(3,5),故选D .x 0a 2y 0k1k 2k 1k 210.(1)设椭圆C 的方程为+=1(a>b>0),则b=2.x 2a 2y 2b 23由=,a 2=c 2+b 2,得a=4,c a 12∴椭圆C的方程为+=1.x 216y 212(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).①设直线AB 的方程为y=x+t ,12代入+=1,得x 2+tx+t 2-12=0,x 216y 212由Δ>0,解得-4<t<4,由一元二次方程根与系数的关系得x 1+x 2=-t ,x 1x 2=t 2-12,∴|x 1-x 2|===.(x 1+x 2)2-4x 1x 2t 2-4(t 2-12)48-3t 2∴四边形APBQ 的面积S=×6×|x 1-x 2|=3.1248-3t 2∴当t=0时,S 取得最大值,且S max =12.3②若∠APQ=∠BPQ ,则直线PA ,PB 的斜率之和为0,设直线PA 的斜率为k ,则直线PB 的斜率为-k ,直线PA 的方程为y-3=k (x-2),由得(3+4k 2)x 2+8(3-2k )kx+4(3-2k )2-48=0,{y -3=k (x -2),x 216+y 212=1,∴x 1+2=,8(2k -3)k3+4k 2将k 换成-k 可得x 2+2==,-8k (-2k -3)3+4k 28k (2k +3)3+4k 2∴x 1+x 2=,x 1-x 2=,16k 2-123+4k 2-48k3+4k 2∴k AB ====,y 1-y 2x 1-x 2k (x 1-2)+3+k (x 2-2)-3x 1-x 2k (x 1+x 2)-4kx 1-x 212∴直线AB的斜率为定值.1211.(1)设F (c ,0)(c>0),直线l :x-y-c=0,由坐标原点O 到直线l 的距离为,得=,解得c=1.22|0-0-c |222又e==,所以a=,b=.ca 3332所以椭圆C 的方程为+=1.x 23y 22(2)椭圆C 上存在点P ,使得当直线l 绕F 转到某一位置时,有=+成立.OP OA OB 由(1)知椭圆C 的方程为2x 2+3y 2=6,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).(i)当直线l 不垂直x 轴时,设直线l 的方程为y=k (x-1),椭圆C 上的点P 满足=+的充OP OA OB 要条件是点P 的坐标为(x 1+x 2,y 1+y 2),且2(x 1+x 2)2+3(y 1+y 2)2=6,整理得2+3+2+3+4x 1x 2+6y 1y 2=6,x 21y 21x 22y 22又点A ,B 在椭圆C 上,故2+3=6,2+3=6,故2x 1x 2+3y 1y 2+3=0　①,x 21y 21x 22y 22将y=k (x-1)代入2x 2+3y 2=6,化简整理得(2+3k 2)x 2-6k 2x+3k 2-6=0,于是x 1+x 2=,x 1x 2=,故y 1y 2=k 2(x 1-1)(x 2-1)=,6k 22+3k 23k 2-62+3k 2-4k22+3k 2将其代入①化简得k 2=2,此时x 1+x 2=,于是y 1+y 2=k (x 1+x 2-2)=-,即P (,-).32k232k 2因此,当k=-时,P (直线l 的方程为x+y-=0;2322222当k=时,P (,-直线l 的方程为x-y-=0.2322222(ii)当直线l 垂直于x 轴时,由+=(2,0)知,椭圆C 上不存在点P 使=+成立.OA OB OP OA OB综上,椭圆C 上存在点P (,±),使=+成立,此时直线l 的方程为x±y-=0.3222OP OA OB 22。

课题：圆锥曲线的综合问题 【要点回顾】1．直线与圆锥曲线的位置关系判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y (或x )得关于变量x (或y )的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)．若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．若a ＝0且b ≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2．圆锥曲线的弦长问题设直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则弦长|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|或 1＋1k2|y 1－y 2|.【热身练习】1．(教材习题改编)与椭圆x 212＋y 216＝1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是( )A ．y 2－x 23＝1 B.y 23－x 2＝1 C.34x 2－38y 2＝1D.34y 2－38x 2＝1 解析：选A 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝c 2，ca ＝2，c ＝2，得a ＝1，b ＝ 3.故双曲线方程为y 2－x 23＝1.2．(教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：选A 由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．3．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．4．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B ，若|AM |＝|MB |，则该椭圆的离心率为________．解析：由题意知A 点的坐标为(－a,0)，l 的方程为y ＝x ＋a ，所以B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，代入椭圆方程得a 2＝3b 2，则c 2＝2b 2，则c 2a 2＝23，故e ＝63.5．已知双曲线方程是x 2－y 22＝1，过定点P (2,1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点，并使P (2,1)为P 1P 2的中点，则此直线方程是________________．解析：设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 2＋x 1y 2＋y 1＝2×42＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．答案：4x －y －7＝0 【方法指导】1.直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用．2．当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”． 【直线与圆锥曲线的位置关系】[例1] (2012·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． [自主解答] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y22＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2，所以|MN |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝2＋k 2＋6k21＋2k2.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为S ＝12|MN |· d ＝|k |4＋6k 21＋2k .由|k |4＋6k 21＋2k ＝103，解得k ＝±1. 【由题悟法】研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥方程组成的方程组解的个数，但对于选择、填空题也可以利用几何条件，用数形结合的方法求解．【试一试】1．(2012·信阳模拟)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4]解析：选C 易知抛物线y 2＝8x 的准线x ＝－2与x 轴的交点为Q (－2,0)，于是，可设过点Q (－2,0)的直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)(由题可知k 是存在的)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k x ＋⇒k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时，易知符合题意；当k ≠0时，其判别式为Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＝－64k 2＋64≥0， 可解得－1≤k ≤1. 【最值与范围问题】[例2] (2012·浙江高考)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10.不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(1)求椭圆C 的方程；(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程．[自主解答] (1)设椭圆左焦点为F (－c,0)，则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧＋c 2＋1＝10，c a ＝12，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＝2.所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M .当直线AB 与x 轴垂直时，直线AB 的方程为x ＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12消去y ，整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， ① 则Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0，所以线段AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2.因为M 在直线OP ：y ＝12x 上，所以3m 3＋4k 2＝－2km3＋4k 2.得m ＝0(舍去)或k ＝－32.此时方程①为3x 2－3mx ＋m 2－3＝0，则Δ＝3(12－m 2)＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－33.所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝396·12－m 2， 设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|8－2m |32＋22＝2|m －4|13. 设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |·d ＝36·m －2－m2.其中m ∈(－23，0)∪(0,23)．令u (m )＝(12－m 2)(m －4)2，m ∈[－23，2 3 ]，u ′(m )＝－4(m －4)(m 2－2m －6)＝－4(m －4)(m －1－7)(m －1＋7)．所以当且仅当m ＝1－7时，u (m )取到最大值． 故当且仅当m ＝1－7时，S 取到最大值． 综上，所求直线l 的方程为3x ＋2y ＋27－2＝0. 【由题悟法】1．解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种：几何法和代数法．(1)若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法； (2)若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．2．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： (1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用基本不等式求出参数的取值范围； (5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 【试一试】2．(2012·东莞模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ≠0)上存在关于直线x ＋y ＝1对称的相异两点，则实数p 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 解析：选B 设抛物线上关于直线x ＋y ＝1对称的两点是M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，设直线MN 的方程为y ＝x ＋b .将y ＝x ＋b 代入抛物线方程，得x 2＋(2b －2p )x ＋b 2＝0，则x 1＋x 2＝2p －2b ，y 1＋y 2＝(x 1＋x 2)＋2b ＝2p ，则MN 的中点P 的坐标为(p －b ，p )．因为点P 在直线x ＋y ＝1上，所以2p －b ＝1，即b ＝2p －1.又Δ＝(2b －2p )2－4b 2＝4p 2－8bp ＞0，将b ＝2p －1代入得4p 2－8p (2p －1)＞0，即3p 2－2p ＜0，解得0＜p ＜23. 【定点定值问题】[例3] (2012·辽宁高考)如图，椭圆C 0：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 21，b <t 1<a .点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b <t 2<a ，t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t 21＋t 22为定值．[自主解答] (1)设 A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a(x ＋a )，①直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a(x －a )．② 由①②得y 2＝－y 21x 21－a2(x 2－a 2)．③由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2＋y 21b2＝1.从而y 21＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2，代入③得x 2a 2－y 2b 2＝1(x <－a ，y <0)． (2)证明：设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2|·|y 2|， 故x 21y 21＝x 22y 22.因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b 2x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2＝b 2x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 22a 2.由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 21＋x 22＝a 2，从而y 21＋y 22＝b 2， 因此t 21＋t 22＝a 2＋b 2为定值． 【由题悟法】1．求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出表达式，再证明这个值与变量无关；(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b 、k 等量关系进行消元，借助于直线系方程找出定点；(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况． 【试一试】3．(2012·山东省实验中学模拟)已知抛物线y 2＝2px (p ≠0)及定点A (a ，b )，B (－a,0)，ab ≠0，b 2≠2pa ，M 是抛物线上的点．设直线AM ，BM 与抛物线的另一个交点分别为M 1，M 2，当M 变动时，直线M 1M 2恒过一个定点，此定点坐标为________．解析：设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0，M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，M 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2，由点A ，M ，M 1共线可知y 0－b y 202p－a＝y 1－y 0y 212p －y 202p，得y 1＝by 0－2pa y 0－b ，同理由点B ，M ，M 2共线得y 2＝2pa y 0.设(x ，y )是直线M 1M 2上的点，则y 2－y 1y 222p －y 212p ＝y 2－y y 222p－x ，即y 1y 2＝y (y 1＋y 2)－2px ，又y 1＝by 0－2pa y 0－b ，y 2＝2pay 0， 则(2px －by )y 02＋2pb (a －x )y 0＋2pa (by －2pa )＝0. 当x ＝a ，y ＝2pa b时上式恒成立，即定点为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2pa b .答案：⎝⎛⎭⎪⎫a ，2pa b。

1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.【知识拓展】过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l 与抛物线y 2＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( × ) (2)直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线x 2－y 2＝1一定相交．( × )(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( √ ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( √ ) (5)过点(2,4)的直线与椭圆x 24＋y 2＝1只有一条切线．( × )(6)满足“直线y ＝ax ＋2与双曲线x 2－y 2＝4只有一个公共点”的a 的值有4个．( √ )1．(一中月考)在同一平面直角坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)表示的曲线大致是( )2．(模拟)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定3．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23B.⎝⎛⎭⎫－23，0 C.⎝⎛⎭⎫－23，23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞4．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦|AB |＝________.5．(教材改编)已知与向量v ＝(1,0)平行的直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．第1课时 直线与圆锥曲线题型一 直线与圆锥曲线的位置关系例1 (模拟)已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．(全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．题型二弦长问题设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求E的离心率；(2)设点P(0，－1)满足|P A|＝|PB|，求E的方程．题型三 中点弦问题命题点1 利用中点弦确定直线或曲线方程例3 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 (2)已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________________．命题点2 由中点弦解决对称问题例4 已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．设抛物线过定点A (－1,0)，且以直线x ＝1为准线．(1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围．1．(泰安模拟)斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(1，3) D ．(3，＋∞)2．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( ) A.74 B ．2 C.94 D ．43．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105 D.81054．(2017·天津质检)直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．05．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ) A.54 B ．5 C.52 D. 56．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( )A ．4 2B ．8C ．8 2D ．167．(月考)在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为________．8．已知抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为2，则|AB |的最大值为________．9．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________．10．已知双曲线C ：x 2－y 23＝1，直线y ＝－2x ＋m 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点(A 在B的上方)，且与y 轴交于点M ，则|MB ||MA |的取值范围为________．11．(模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心． (1)求椭圆的方程；(2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程．12．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．13.(联考)已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点M ，使QP →＝PM →.(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点C (m,0)作圆O 的切线l ，交(1)中曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.【知识拓展】过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l 与抛物线y 2＝2px 只有一个公共点，则l 与抛物线相切．( × ) (2)直线y ＝kx (k ≠0)与双曲线x 2－y 2＝1一定相交．( × )(3)与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个交点．( √ ) (4)直线与椭圆只有一个交点⇔直线与椭圆相切．( √ ) (5)过点(2,4)的直线与椭圆x 24＋y 2＝1只有一条切线．( × )(6)满足“直线y ＝ax ＋2与双曲线x 2－y 2＝4只有一个公共点”的a 的值有4个．( √ )1．(2016·黑龙江鹤岗一中月考)在同一平面直角坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)表示的曲线大致是( )答案 D解析 将方程a 2x 2＋b 2y 2＝1变形为x 21a 2＋y 21b 2＝1，∵a >b >0，∴1a 2<1b 2，∴椭圆焦点在y 轴上．将方程ax ＋by 2＝0变形为y 2＝－ab x ，∵a >b >0，∴－ab<0，∴抛物线焦点在x 轴负半轴上，开口向左．2．(2016·青岛模拟)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定答案 A解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．3．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23B.⎝⎛⎭⎫－23，0 C.⎝⎛⎭⎫－23，23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 答案 C解析 双曲线x 29－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±23x ，若直线与双曲线相交，数形结合，得k ∈⎝⎛⎭⎫－23，23. 4．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，则弦|AB |＝________. 答案 16解析 直线l 的方程为y ＝3x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋1，x 2＝4y ，得y 2－14y ＋1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝14，所以|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝14＋2＝16.5．(教材改编)已知与向量v ＝(1,0)平行的直线l 与双曲线x 24－y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________． 答案 4解析 由题意可设直线l 的方程为y ＝m ， 代入x 24－y 2＝1得x 2＝4(1＋m 2)，所以x 1＝4(1＋m 2)＝21＋m 2，x 2＝－21＋m 2，所以|AB |＝|x 1－x 2|＝41＋m 2， 所以|AB |＝41＋m 2≥4，即当m ＝0时，|AB |有最小值4.第1课时 直线与圆锥曲线题型一 直线与圆锥曲线的位置关系例1 (2016·烟台模拟)已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③ 方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4) ＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点． (3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．思维升华 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝pt x ，代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p，因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点，理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点． 题型二 弦长问题例2 (2016·全国甲卷)已知A 是椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积． (2)当2|AM |＝|AN |时，证明：3<k <2.(1)解 设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0，由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 又A (－2,0)，因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2. 将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1，得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)证明 将直线AM 的方程y ＝k (x ＋2)(k >0)代入 x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－12＝0， 由x 1·(－2)＝16k 2－123＋4k 2，得x 1＝2(3－4k 2)3＋4k 2，故|AM |＝|x 1＋2|1＋k 2＝121＋k 23＋4k 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋2)，故同理可得|AN |＝12k1＋k 23k 2＋4.由2|AM |＝|AN |，得23＋4k 2＝k3k 2＋4，即4k 3－6k 2＋3k －8＝0， 设f (t )＝4t 3－6t 2＋3t －8，则k 是f (t )的零点，f ′(t )＝12t 2－12t ＋3＝3(2t －1)2≥0，所以f (t )在(0，＋∞)单调递增，又f (3)＝153－26<0，f (2)＝6>0，因此f (t )在(0，＋∞)有唯一的零点，且零点k 在(3，2)内，所以3<k <2.思维升华 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中， 应熟练的利用根与系数的关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列． (1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|P A |＝|PB |，求E 的方程． 解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ， 又2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝43a ，l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y ，化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]，即43a ＝4ab 2a 2＋b 2，故a 2＝2b 2， 所以E 的离心率e ＝c a＝a 2－b 2a ＝22. (2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知 x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－2c 3，y 0＝x 0＋c ＝c3.由|P A |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1，得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3. 故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.题型三 中点弦问题命题点1 利用中点弦确定直线或曲线方程例3 (1)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 (2)已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________________．答案 (1)D (2)x ＋2y －8＝0解析 (1)因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得⎝⎛⎭⎫a 24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝⎛⎭⎫a24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a ＝32，选D. (2)设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2). 又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12， 故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)， 即x ＋2y －8＝0.命题点2 由中点弦解决对称问题例4 (2015·浙江)已知椭圆x 22＋y 2＝1上两个不同的点A ，B 关于直线y ＝mx ＋12对称．(1)求实数m 的取值范围；(2)求△AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)．解 (1)由题意知m ≠0，可设直线AB 的方程为y ＝－1m x ＋b .由⎩⎨⎧ x 22＋y 2＝1，y ＝－1m x ＋b ，消去y ，得⎝⎛⎭⎫12＋1m 2x 2－2b mx ＋b 2－1＝0. 因为直线y ＝－1m x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b 2＋2＋4m 2＞0，① 将AB 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2mb m 2＋2，m 2b m 2＋2代入直线方程y ＝mx ＋12，解得b ＝－m 2＋22m 2，② 由①②得m ＜－63或m ＞63. (2)令t ＝1m ∈⎝⎛⎭⎫－62，0∪⎝⎛⎭⎫0，62，则 |AB |＝t 2＋1·－2t 4＋2t 2＋32t 2＋12.且O 到直线AB 的距离为d ＝t 2＋12t 2＋1. 设△AOB 的面积为S (t )，所以S (t )＝12|AB |·d ＝12 －2⎝⎛⎭⎫t 2－122＋2≤22. 当且仅当t 2＝12时，等号成立． 故△AOB 面积的最大值为22. 思维升华 处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解．(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A ，B 关于直线l 对称，则l 垂直直线AB 且A ，B 的中点在直线l 上的应用．设抛物线过定点A (－1,0)，且以直线x ＝1为准线．(1)求抛物线顶点的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与轨迹C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 恰被直线x ＝－12平分，设弦MN 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，试求m 的取值范围．解 (1)设抛物线顶点为P (x ，y )，则焦点F (2x －1，y )．再根据抛物线的定义得|AF |＝2，即(2x )2＋y 2＝4，所以轨迹C 的方程为x 2＋y 24＝1. (2)设弦MN 的中点为P ⎝⎛⎭⎫－12，y 0，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，则由点M ，N 为椭圆C 上的点， 可知⎩⎪⎨⎪⎧4x 2M ＋y 2M ＝4，4x 2N ＋y 2N ＝4. 两式相减，得4(x M －x N )(x M ＋x N )＋(y M －y N )(y M ＋y N )＝0，将x M ＋x N ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1，y M ＋y N ＝2y 0， y M －y N x M －x N＝－1k 代入上式得k ＝－y 02. 又点P ⎝⎛⎭⎫－12，y 0在弦MN 的垂直平分线上， 所以y 0＝－12k ＋m . 所以m ＝y 0＋12k ＝34y 0. 由点P (－12，y 0)在线段BB ′上 (B ′，B 为直线x ＝－12与椭圆的交点，如图所示)， 所以y B ′<y 0<y B ，也即－3<y 0< 3. 所以－334<m <334，且m ≠0.1．(2016·泰安模拟)斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(1，3)D ．(3，＋∞) 答案 B 解析 要使直线与双曲线恒有两个公共点，则渐近线的斜率的绝对值应大于3，所以|b a|>3，所以e ＝ 1＋b 2a2>2， 即e ∈(2，＋∞)，故选B.2．直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )A.74 B ．2 C.94D ．4 答案 C解析 易知直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点(14，0)，∴|AB |为焦点弦．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点N (x 1＋x 22，y 1＋y 22)， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，∴x 1＋x 22＝74. ∴AB 中点到直线x ＋12＝0的距离为74＋12＝94. 3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A ．2 B.455 C.4105 D.8105答案 C解析 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5. ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·(－85t )2－4×4(t 2－1)5 ＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 4．(2017·天津质检)直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的交点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．0答案 A解析 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b ax 平行，所以它与双曲线只有1个交点，故选A.5．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y ＝x 2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为( )A.54 B ．5 C.52D. 5 答案 D解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝b ax ， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，y ＝x 2＋1消去y ，得x 2－b ax ＋1＝0有唯一解， 所以Δ＝(b a )2－4＝0，b a＝2， e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝ 1＋(b a )2＝ 5. 6．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( )A ．4 2B ．8C ．8 2D ．16答案 C解析 依题意知F (2,0)，所以直线l 的方程为y ＝x －2，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －2，y 2＝8x ， 消去y 得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝4，x 1＋x 2＝12，则||F A |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝144－16＝8 2.7．(2016·安顺月考)在抛物线y ＝x 2上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M ，N 的坐标分别为________．答案 (－2,4)，(1,1)解析 设直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ，代入y ＝x 2中，整理得x 2＋x －b ＝0，令Δ＝1＋4b >0，所以b >－14. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，y 1＋y 22＝－x 1＋x 22＋b ＝12＋b ， 由(－12，12＋b )在直线y ＝x ＋3上， 即12＋b ＝－12＋3，解得b ＝2， 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋2，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－2，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1，y 2＝1. 8．已知抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为2，则|AB |的最大值为________． 答案 6解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，那么|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2，又|AF |＋|BF |≥|AB |⇒|AB |≤6，当AB 过焦点F 时取得最大值6.9．过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________． 答案 3x ＋4y －13＝0解析 设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由于A ，B 两点均在椭圆上，故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1， 两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0.又∵P 是A ，B 的中点，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－34. ∴直线AB 的方程为y －1＝－34(x －3)． 即3x ＋4y －13＝0.10．已知双曲线C ：x 2－y 23＝1，直线y ＝－2x ＋m 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点(A 在B 的上方)，且与y 轴交于点M ，则|MB ||MA |的取值范围为________． 答案 (1,7＋43)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋m ，3x 2－y 2－3＝0，可得x 2－4mx ＋m 2＋3＝0， 由题意得方程在[1，＋∞)上有两个不相等的实根，设f (x )＝x 2－4mx ＋m 2＋3，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2m >1，f (1)≥0，Δ>0，得m >1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)，得x 1＝2m －3(m 2－1)，x 2＝2m ＋3(m 2－1)， 所以|MB ||MA |＝x 2x 1＝2m ＋3(m 2－1)2m －3(m 2－1)＝－1＋42－ 3(1－1m2)， 由m >1得，|MB ||MA |的取值范围为(1,7＋43)． 11．(2016·郑州模拟)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心．(1)求椭圆的方程； (2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程．解 (1)圆C 方程化为(x －2)2＋(y ＋2)2＝6，圆心C (2，－2)，半径r ＝ 6.设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 则⎩⎨⎧ 4a 2＋2b 2＝1，1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝⎝⎛⎭⎫222⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4. 所以所求的椭圆方程是x 28＋y 24＝1. (2)由(1)得到椭圆的左，右焦点分别是F 1(－2,0)，F 2(2,0)，|F 2C |＝(2－2)2＋(0＋2)2＝2< 6.所以F 2在C 内，故过F 2没有圆C 的切线，设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.点C (2，－2)到直线l 的距离d ＝|2k ＋2＋2k |1＋k2， 由d ＝6，得|2k ＋2＋2k |1＋k 2＝ 6. 解得k ＝25或k ＝－2， 故l 的方程为2x －5y ＋22＝0或2x ＋y ＋22＝0.12．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. (1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． 解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1， y 2－y 1x 2－x 1＝－1.由此可得b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2.又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3.因此a 2＝6，b 2＝3.所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1，解得⎩⎨⎧ x ＝433，y ＝－33或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y＝ 3. 因此|AB |＝463.由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n (－533<n <3)，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1，得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0.于是x 3,4＝－2n ±2(9－n 2)3.因为直线CD 的斜率为1,所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2.由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝869(9－n 2).当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863. 13.(2016·广州联考)已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q ，延长QP 到点M ，使QP →＝PM →.(1)求点M 的轨迹E 的方程；(2)过点C (m,0)作圆O 的切线l ，交(1)中曲线E 于A ，B 两点，求△AOB 面积的最大值．解 (1)设点M (x ，y )，∵QP →＝PM →，∴P 为QM 的中点，又PQ ⊥y 轴，∴P (x 2，y )． ∵点P 是圆O ：x 2＋y 2＝1上的点，∴(x 2)2＋y 2＝1， 即点M 的轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由题意可知直线l 不与y 轴垂直，故可设l ：x ＝ty ＋m ，t ∈R ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切， ∴|m |t 2＋1＝1，即m 2＝t 2＋1.① 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，x ＝ty ＋m ，消去x ， 得(t 2＋4)y 2＋2mty ＋m 2－4＝0.其中Δ＝(2mt )2－4(t 2＋4)(m 2－4)＝16(t 2－m 2)＋64＝48>0.∴y 1＋y 2＝－2mt t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.② ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝[t (y 1－y 2)]2＋(y 1－y 2)231 ＝t 2＋1(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 将①②代入上式得|AB |＝t 2＋1 4m 2t 2(t 2＋4)2－4(m 2－4)t 2＋4 ＝43|m |m 2＋3，|m |≥1， ∴S △AOB ＝12|AB |·1 ＝12×43|m |m 2＋3 ＝23|m |＋3|m |≤2323＝1， 当且仅当|m |＝3|m |，即m ＝±3时，等号成立．。

课时限时检测(五十四) 直线与圆锥曲线的位置关系(时间：60分钟 满分：80分)命题报告1．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y24＝1的交点个数是( )A ．至多为1B ．2C ．1D ．0【解析】 由题意知：4m 2＋n2＞2，即m 2＋n 2＜2，∴点P(m ，n)在椭圆x 29＋y24＝1的内部，故所求交点个数是2个．【答案】 B2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条C ．3条D ．4条【解析】 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)．【答案】 C3．已知抛物线C 的方程为x 2＝12y ，过A(0，－1)，B(t,3)两点的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ C ．(－∞，－22)∪(22，＋∞) D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】 直线AB 的方程为y ＝4t x －1，与抛物线方程x 2＝12y 联立得x 2－2t x ＋12＝0，由于直线AB 与抛物线C 没有公共点，所以Δ＝4t2－2＜0，解得t ＞2或t ＜－ 2.【答案】 D4．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF|＝( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16【解析】 直线AF 的方程为y ＝－3(x －2)，联立⎩⎨⎧y ＝－3x ＋23，x ＝－2，得y ＝43，所以P(6,43)．由抛物线的性质可知|PF|＝6＋2＝8.【答案】 B5．过椭圆x 216＋y24＝1内一点P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是( )A ．3x ＋4y －13＝0B ．4x ＋3y －13＝0C ．3x －4y ＋5＝0D ．3x ＋4y ＋5＝0【解析】 设直线与椭圆交于A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)两点，由于A 、B 两点均在椭圆上， 故x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1， 两式相减得1＋x 21－x 216＋1＋y 21－y 24＝0.又∵P 是A 、B 的中点，∴x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝2， ∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－34. ∴直线AB 的方程为y －1＝－34(x －3)．即3x ＋4y －13＝0. 【答案】 A6．(2018·山东师大附中模拟)设双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交渐近线于A 、B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，OP →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)，λμ＝316，则该双曲线的离心率为( ) A.322 B.355C.98D.233【解析】 由题意可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，bc a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a .由OP →＝λOA →＋μOB →可知⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝1，b ＝λ－μ又λμ＝316，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝34，μ＝14.∴b ＝12c ，即c ＝2b.又c 2＝a 2＋b 2，故a ＝3b. ∴e ＝c a ＝233.【答案】 D二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为________．图8－9－2【解析】 利用抛物线的定义可知，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，x 1＋x 2＝4，那么|AF|＋|BF|＝x 1＋x 2＋2，由图可知|AF|＋|BF|≥|AB|⇒|AB|≤6，当AB 过焦点F 时取最大值为6.【答案】 68．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为________．【解析】 由题可知A 1(－1,0)，F 2(2,0)，设P(x ，y)(x≥1)，则PA 1→＝(－1－x ，－y)，PF 2→＝(2－x ，－y)，PA 1→·PF 2→＝(－1－x)(2－x)＋y 2＝x 2－x －2＋y 2＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5.∵x≥1，函数f(x)＝4x 2－x －5的图象的对称轴为x ＝18，∴当x ＝1时，PA 1→·PF 2→取得最小值－2.【答案】 －29．(2018·北京高考)在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点．其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．【解析】 ∵y 2＝4x 的焦点为F(1,0)，又直线l 过焦点F 且倾斜角为60°，故直线l 的方程为y ＝3(x －1)，将其代入y 2＝4x 得3x 2－6x ＋3－4x ＝0，即3x 2－10x ＋3＝0. ∴x ＝13或x ＝3.又点A 在x 轴上方，∴x A ＝3.∴y A ＝2 3. ∴S △OAF ＝12×1×23＝ 3.【答案】3三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【解】 (1)由题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，且左焦点为F′(－2,0)，椭圆C 过点A(2,3)．则|AF|＝－2＋－2＝3，|AF′|＝[2－－2＋－2＝5.从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝12，故椭圆C 的方程为x 216＋y212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝32x ＋t.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.∵直线l 与椭圆C 有公共点， ∴Δ＝(3t)2－12(t 2－12)≥0， 解得－43≤t≤4 3.又由直线OA 与l 的距离d ＝4，得 |t|94＋1＝4，∴t ＝±213. ∵±213∉[－43，43]， ∴符合题意的直线l 不存在．11．(12分)(2018·陕西高考)已知动点M(x ，y)到直线l ：x ＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍． (1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点P(0,3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率．图①【解】 (1)如图①，设点M 到直线l 的距离为d ，根据题意， d ＝2|MN|， 由此得 |4－x|＝2－2＋y 2，化简得x 24＋y23＝1，∴动点M 的轨迹C 的方程为 x 24＋y23＝1. (2)法一：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，如图②图②将y ＝kx ＋3代入x 24＋y 23＝1中，有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0.其中Δ＝(24k)2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)>0， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－24k3＋4k2① x 1x 2＝243＋4k2.② 又A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1.③将③代入①②，得x 1＝－8k 3＋4k 2，x 21＝123＋4k2，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 3＋4k 22＝123＋4k 2，且k 2>32，解得k ＝－32或k ＝32，∴直线m 的斜率为－32或32.法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，如图②. ∵A 是PB 的中点， ∴x 1＝x 22，①y 1＝3＋y 22，② 又x 214＋y 213＝1，③ x 224＋y 223＝1，④ 联立①②③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0，即点B 的坐标为(2,0)或(－2,0)， ∴直线m 的斜率为－32或3212．(13分)(2018·贵阳模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点M(1,1)，离心率e ＝63，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 是圆O ：x 2＋y 2＝1的任意一条切线，且直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求证：OA →·OB →为定值．【解】 (1)因为e ＝c a ＝63，∴a 2＝3b 2，∴椭圆C 的方程为x 23b 2＋y 2b2＝1.又∵椭圆C 过点M(1,1)，代入方程解得a 2＝4，b 2＝43，∴椭圆C 的方程为x 24＋3y24＝1(2) ①当圆O 的切线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ， 则圆心O 到直线l 的距离d ＝|m|k 2＋1＝1，∴1＋k 2＝m 2将直线l 的方程和椭圆C 的方程联立，得到关于x 的方程为(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－4＝0 设直线l 与椭圆C 相交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－6km1＋3k 2，x 1x 2＝3m 2－41＋3k2∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km(x 1＋x 2)＋m 2＝(1＋k 2)·3m 2－41＋3k 2＋km·⎝ ⎛⎭⎪⎫－6km 1＋3k 2＋m 2＝4m 2－4－4k21＋3k2＝0， ②当圆的切线l 的斜率不存在时，验证得OA →·OB →＝0. 综合上述可得，OA →·OB →为定值0.。

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高考达标检测（三十八）圆锥曲线的综合问题——直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且点A在第一象限，若｜AF|＝3，则直线l的斜率为（）A．1 B。

错误!C。

错误!D．2错误!解析：选D 由题意可知焦点F(1，0)，设A（x A，y A),由|AF|＝3＝x A＋1，得x A＝2，又点A在第一象限，故A(2,2错误!)，故直线l的斜率为2错误!.2．若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝x有一个公共点,则实数k的值为（）A。

错误!B．0C. 错误!或0 D．8或0解析：选C 由错误!得ky2－y＋2＝0，若k＝0，直线与抛物线有一个交点，则y＝2，若k≠0，则Δ＝1－8k＝0，∴k＝错误!，综上可知k＝0或错误!.3．已知双曲线C：错误!－错误!＝1（a>0，b>0），过点P(3，6)的直线l与C相交于A，B 两点，且AB的中点为N（12,15），则双曲线C的离心率为( )A．2 B.错误!C.错误!D.错误!解析:选B 设A(x1，y1），B(x2，y2)，由AB的中点为N(12，15),得x1＋x2＝24，y1＋y2＝30，由错误!两式相减得:错误!＝错误!，则错误!＝错误!＝错误!.由直线AB的斜率k＝错误!＝1，∴4b25a2＝1，则错误!＝错误!，∴双曲线的离心率e＝错误!＝错误!＝错误!。