东南大学电磁场课件 chap0

第零章矢量分析标量场和矢量场标量场的梯度矢量场的通量与散度矢量场的环量与旋度亥姆霍兹定理电磁场的特殊形式

第0章矢量分析

下页返回Vector Analysis第零章矢量分析

场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量。

例如，在直角坐标下：

0.1标量场和矢量场

])2()1[( π45),,(222zyxzyx 标量场

zyxxyzzxxyzyxeee222),,(A矢量场

如温度场、电位场、高度场等；

如流速场、电场、涡流场等。

Scalar Field and Vector Field

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const),,( zyxh其方程为:图0.1.1 等高线

(1)标量场--等值线(面)

形象描绘场分布的工具——场线

思考在某一高度上沿什么方向高度变化最快？

下页上页返回第零章矢量分析zAyAxAzyxddd三维场二维场yAxAyxdd

图0.1.2 矢量线

矢量场--矢量线0dlA其方程为：

在直角坐标下：

下页上页返回第零章矢量分析0.2 标量场的梯度

Gradient of Scalar Field设一个标量函数(x，y，z)，若函数在点P可微，则在点P沿任意方向的方向导数为l

)cos,cos,(cos),,(zyxl

),z,y,x(g)cos,cos,(cosle设

式中, , 分别是任一方向与x, y, z 轴的夹角



l

),cos(||llleggeg

则有：

当，最大0) , (

lge

l



下页上页返回第零章矢量分析gradzyxzyxeee

——梯度(gradient)

——哈密顿算子)z,y,x(式中图0.1.3 等温线分布

梯度的方向为该点最大方向导数的方向。梯度的大小为该点标量函数的最大变化率，即最大方向导数。



标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。梯度的意义

下页上页返回第零章矢量分析例0.2.1三维高度场的梯度

图0.2.1 三维高度场的梯度高度场的梯度与过该点的等高线垂直；

数值等于该点位移的最大变化率；

指向地势升高的方向。

下页上页返回第零章矢量分析例0.2.2电位场的梯度

图0.2.2 电位场的梯度电位场的梯度与过该点的等位线垂直；

数值等于该点的最大方向导数；指向电位增加的方向。

下页上页返回第零章矢量分析0.3 矢量场的通量与散度

0.3.1 通量( Flux)矢量E 沿有向曲面S 的面积分

SEdSΦ

若S为闭合曲面根据通量的大小判断闭合面中源的性质：

SΦSE d

Flux and Divergence of Vector

> 0(有正源)< 0(有负源)= 0 (无源)

图0.3.2 矢量场通量的性质下页上页返回

图0.3.1 矢量场的通量第零章矢量分析0.3.2 散度( Divergence)

如果包围点P 的闭合面S所围区域V以任意方式缩小到点P时：

ASA divdlim10SVV

———散度(divergence)zAyAxAzyxAAdiv

下页上页返回第零章矢量分析散度的意义

在矢量场中，若•A= 0，称之为有源场，称为( 通量) 源密度；若矢量场中处处• A=0，称之为无源场。

矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；散度代表矢量场的通量源的分布特性。

(无源）0A(正源)A(负源)A

图0.3.3 通量的物理意义

下页上页返回第零章矢量分析0.3.3 散度定理( Divergence Theorem)

SVVSA Adlim

1

0

图0.3.4 散度定理通量元密度

——高斯公式

VSVASA d d

矢量函数的面积分与体积分的相互转换。

VSΦdV Vlimd1nn0VnnAASA

下页上页返回第零章矢量分析0.4 矢量场的环量与旋度

0.4.1 环量( Circulation )矢量A沿空间有向闭合曲线L 的线积分

——环量

LΓlAd

环量的大小与闭合路径有关，它表示绕环线旋转趋势的大小。

Circulation and Rotation of Vector Field

下页上页返回图0.4.1 环量的计算第零章矢量分析

水流沿平行于水管轴线方向流动，= 0，无涡旋运动。

例：流速场图0.4.2流速场流体做涡旋运动，0，有产生涡旋的源。下页上页返回第零章矢量分析0.4.2 旋度( Rotation )

1. 环量密度过点P 作一微小曲面S，它的边界曲线记为L，面的法线方向与曲线绕向符合右手定则。当S点P时，存在极限

LSSΓSlΑd1limd

d

0——环量密度

环量密度是单位面积上的环量。下页上页返回第零章矢量分析2. 旋度

旋度是一个矢量，其大小等于环量密度的最大

值；其方向为最大环量密度的方向

AArot ——旋度(curl)

zyxzyxAAAzyxeeeA

n) (ddeAS

Γ

ne－S的法线方向

它与环量密度的关系为

在直角坐标下:下页上页返回第零章矢量分析3. 旋度的物理意义

矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。

某点旋度的大小是该点环量密度的最大值，其方向是最大环量密度的方向。

在矢量场中，若A=J0称之为旋度场（或涡旋场），J称为旋度源（或涡旋源）。

若矢量场处处A= 0 ，称之为无旋场。下页上页返回第零章矢量分析4. 斯托克斯定理( Stockes’ Theorem)

矢量函数的线积分与面积分的相互转化。图0.4.3 斯托克斯定理n)(ddeAS

Γ

SAeAd)(d)(dnSΓSA)lAd(dSl

——斯托克斯定理

下页上页在电磁场理论中，高斯定理和斯托克斯定理是两个非常重要的公式。返回第零章矢量分析0.5亥姆霍兹定理

亥姆霍兹定理：在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件惟一地确定。

已知：矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度场域边界条件

（矢量A 惟一地确定）电荷密度电流密度J 场域边界条件在电磁场中

Hymherze Theorem

下页上页返回第零章矢量分析例0.5.1试判断下列各图中矢量场的性质。

FF00

FF

0

0F

F0

0

下页上页返回第零章矢量分析0.6特殊形式的电磁场

如果在经过某一轴线( 设为z轴）的一族平行平面上，场F的分布都相同，即F= f（x，y），则称这个场为平行平面场。

1. 平行平面场Special Forms of Electromagnetic Field

如无限长直导线产生的电场。

下页上页返回0第零章矢量分析如果在经过某一轴线( 设为z轴)的一族子午面上，场F 的分布都相同，即F=f（r,），则称这个场为轴对称场。

2. 轴对称场

如螺线管线圈产生的磁场；有限长直带电导线产生的电场。

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