【高考数学】2016~2017学年上海市松江区数学高考一模卷(含答案)

2016年上海市松江区高考数学一模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集U={1，2，3，4}，A是U的子集，满足A∩{1，2，3}={2}，A∪{1，2，3}=U，则集合A= ．2．若复数z=1+ai（i是虚数单位）的模不大于2，则实数a的取值范围是．3．行列式的值是．4．若幂函数f（x）的图象过点，则f﹣1（2）= ．5．若等比数列{a n}满足a1+a3=5，且公比q=2，则a3+a5= ．6．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则有S1：S2= ．7．如图所示的程序框图，输出的结果是．8．将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为．9．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则恰好有1只是白球的概率为．10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．11．若（1﹣3x）7展开式的第4项为280，则= ．12．已知抛物线C：y2=4x的准线为l，过M（1，0）且斜率为k的直线与l相交于点A，与抛物线C的一个交点为B．若，则k= ．13．已知正六边形A1A2…A6内接于圆O，点P为圆O上一点，向量与的夹角为θi（i=1，2，…，6），若将θ1，θ2，…，θ6从小到大重新排列后恰好组成等差数列，则该等差数列的第3项为．14．已知函数f（x），对任意的x∈[1，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立，且当x∈[1，2）时，f（x）=2﹣x．则方程在区间[1，100]上所有根的和为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．16．设a，b∈R，则“|a|＞b”是“a＞b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件17．已知点E、F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、AA1的中点，点M、N分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有（）A．0条B．1条C．2条D．无数条18．在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H扩展”．已知数列1，2．第一次“H扩展”后得到1，3，2；第二次“H 扩展”后得到1，4，3，5，2；那么第10次“H扩展”后得到的数列的所有项的和为（）A．88572 B．88575 C．29523 D．29526三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分别是BC、AP的中点，（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）若异面直线AB与ED所成角的大小为θ，求tanθ的值．20．已知函数．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）求函数y=f（x）的图象与直线y=1相邻两个交点间的最短距离．21．在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含以下三个方面：①下潜时，平均速度为每分钟x米，每分钟的用氧量为升；②水底作业需要10分钟，每分钟的用氧量为0.3升；③返回水面时，速度为每分钟米，每分钟用氧量为0.2升；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升．（1）将y表示为x的函数；（1）若x∈[4，8]，求总用氧量y的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，C、D两点的坐标为C（﹣1，0），D（1，0），曲线E上的动点P满足．又曲线E上的点A、B满足OA⊥OB．（1）求曲线E的方程；（2）若点A在第一象限，且，求点A的坐标；（3）求证：原点到直线AB的距离为定值．23．对于数列{a n}，称（其中k≥2，k∈N）为数列{a n}的前k项“波动均值”．若对任意的k≥2，k∈N，都有P（a k+1）＜P（a k），则称数列{a n}为“趋稳数列”．（1）若数列1，x，2为“趋稳数列”，求x的取值范围；（2）若各项均为正数的等比数列{b n}的公比q∈（0，1），求证：{b n}是“趋稳数列”；（3）已知数列{a n}的首项为1，各项均为整数，前k项的和为S k．且对任意k≥2，k∈N，都有3P（S k）=2P（a k），试计算：（n≥2，n∈N）．2016年上海市松江区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集U={1，2，3，4}，A是U的子集，满足A∩{1，2，3}={2}，A∪{1，2，3}=U，则集合A= {2，4} ．【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】全集U和其子集A、B都是用列举法给出的，且都含有几个元素，直接运用交、并的概念即可解答【解答】解：∵全集U={1，2，3，4}，A是U的子集，满足A∩{1，2，3}={2}，A∪{1，2，3}=U，∴A={2，4}，故答案为：{2，4}．【点评】本题考查了交、并混合运算，是概念题．2．若复数z=1+ai（i是虚数单位）的模不大于2，则实数a的取值范围是[] ．【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算．【专题】计算题．【分析】由于复数的模不大于2，可得不等式，然后求解即可．【解答】解：复数z=1+ai（i是虚数单位）的模不大于2，即：1+a2≤4即a2≤3可得 a∈故答案为：【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的混合运算，是基础题．3．行列式的值是．【考点】二阶矩阵；三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；矩阵和变换．【分析】利用二阶行列式展开法则和余弦加法定理求解．【解答】解：=cos20°cos40°﹣sin20°sin40°=cos（20°+40°）=cos60°=．故答案为：．【点评】本题考查二阶行列式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开法则和余弦加法定理的合理运用．4．若幂函数f（x）的图象过点，则f﹣1（2）= ．【考点】反函数；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由题意知f（2）=2α=，从而可得f（x）=，f﹣1（x）=，从而解得．【解答】解：∵幂函数f（x）的图象过点，∴f（2）=2α=，解得，α=﹣，故f（x）=，∴f﹣1（x）=，∴f﹣1（2）==；故答案为：．【点评】本题考查了幂函数的应用及反函数的应用．5．若等比数列{a n}满足a1+a3=5，且公比q=2，则a3+a5= 20 ．【考点】等比数列的通项公式．【专题】转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．【解答】解：a3+a5=q2（a1+a3）=22×5=20，故答案为：20．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则有S1：S2= 3：2 ．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设为球的半径为1，结合圆柱的表面积的公式以及球的表面积即可得到答案．【解答】解：由题意可得：圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，所以等边圆柱的表面积为：S1=6π，球的表面积为：S2=4π．所以圆柱的表面积与球的表面积之比为S1：S2=3：2．故答案为：3：2．【点评】本题考查几何体的表面积，考查计算能力，特殊值法，在解题中有是有独到功效，是基础题．7．如图所示的程序框图，输出的结果是15 ．【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得该程序的功能是利用循环计算出输出变量b的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1，b=1满足条件a≤3，b=3，a=2满足条件a≤3，b=7，a=3满足条件a≤3，b=15，a=4不满足条件a≤3，退出循环，输出b的值为15．故答案为：15．【点评】本题考查的知识点是循环结构，当循环次数不多时，多采用模拟循环的方法，本题属于基础题．8．将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为y=sin4x ．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】阅读型．【分析】按照左加右减的原则，求出函数所有点向右平移个单位的解析式，然后求出将图象上所有点的横坐标变为原来的倍时的解析式即可．【解答】解：将函数的图象上的所有点向右平移个单位，得到函数=sin2x ，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 则所得的图象的函数解析式为y=sin4x ． 故答案为：y=sin4x ．【点评】本题是基础题，考查函数的图象的平移与伸缩变换，注意x 的系数与函数平移的方向，易错题．9．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则恰好有1只是白球的概率为．【考点】相互独立事件的概率乘法公式． 【专题】概率与统计．【分析】从中一次性随机摸出2只球，基本事件总数n=，恰好有1只是白球的基本事件个数m=，由此能求出恰好有1只是白球的概率．【解答】解：从中一次性随机摸出2只球，基本事件总数n=，恰好有1只是白球的基本事件个数m=，∴恰好有1只是白球的概率P==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意等可能事件概率计算公式的合理运用．10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b ﹣c=a ，2sinB=3sinC ，则cosA 的值为 ﹣ ．【考点】余弦定理；正弦定理． 【专题】解三角形．【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b=，再由余弦定理求得cosA=的值．【解答】解：在△ABC中，∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC，∴2b=3c ②，∴由①②可得a=2c，b=．再由余弦定理可得 cosA===﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．11．若（1﹣3x）7展开式的第4项为280，则= ．【考点】二项式系数的性质；极限及其运算．【专题】对应思想；转化法；二项式定理．【分析】根据二项式展开式的第4项求出x的值，再利用等比数列的前n项和求极限．【解答】解：∵（1﹣3x）7展开式的第4项为280，∴T4=•（﹣3x）3=﹣27×35x3=280；∴x3=﹣，解得x=﹣；∴====﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了二项式展开式的应用问题，也考查了等比数列前n项和的应用问题，是基础题目．12．已知抛物线C：y2=4x的准线为l，过M（1，0）且斜率为k的直线与l相交于点A，与抛物线C的一个交点为B．若，则k= ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出B的坐标，即可求出直线的斜率．【解答】解：由题意，M到准线的距离为2，∵，∴B的横坐标为2，代入抛物线C：y2=4x，可得y=±2，∴B的坐标为（2，±2），∴k==故答案为：．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．已知正六边形A1A2…A6内接于圆O，点P为圆O上一点，向量与的夹角为θi（i=1，2，…，6），若将θ1，θ2，…，θ6从小到大重新排列后恰好组成等差数列，则该等差数列的第3项为．【考点】等差数列的通项公式．【专题】数形结合；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】设点P位于弧上时，设∠POA1=α，当时，则θ1=α，θ2=﹣α，θ3=﹣α，θ4=π﹣α，θ5=，θ6=．将θ1，θ2，…，θ6从小到大重新排列后恰好组成等差数列，α，﹣α，，﹣α，，π﹣α，利用等差数列的性质即可得出．【解答】解：设点P位于弧上时，设∠POA1=α，当时，则θ1=α，θ2=﹣α，θ3=﹣α，θ4=π﹣α，θ5=，θ6=．将θ1，θ2，…，θ6从小到大重新排列后恰好组成等差数列，α，﹣α，，﹣α，，π﹣α，由2（﹣α）=α+，解得α=，此时六个角分别为：，，，，，，成等差数列，则该等差数列的第3项为．其它情况类比可得．故答案为：．【点评】本题考查了向量的夹角、等差数列的通项公式及其性质，考查了分类讨论方法、类比推理与计算能力，属于中档题．14．已知函数f（x），对任意的x∈[1，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立，且当x∈[1，2）时，f（x）=2﹣x．则方程在区间[1，100]上所有根的和为．【考点】函数恒成立问题．【专题】新定义；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数所给的性质可分别求出不同区间对应的函数表达式：当x∈[2n，2n+1），f（x）=2n+1﹣x，在不同区间分别求在区间[1，100]上的跟即可．【解答】解：当x∈[1，2）时，f（x）=2﹣x，设x∈[2，4）时，则∈[1，2），f（x）=f（2•）=2f（）=4﹣x，同理可得当x∈[2n，2n+1），f（x）=2n+1﹣x，∴则方程在区间[1，100]上所有根分别为：，3，6，12，24，48，96，∴所有根的和为．【点评】考查了新定义类型函数的应用，难点是对题意的分析．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【考点】圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．【专题】计算题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知条件求出双曲线的一个焦点为（3，0），可得m+5=9，求出m=4，由此能求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵抛物线y2=12x的焦点为（3，0），∴双曲线的一个焦点为（3，0），即c=3．双曲线可得∴m+5=9，∴m=4，∴双曲线的渐近线方程为：．故选：A．【点评】本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．16．设a，b∈R，则“|a|＞b”是“a＞b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】“|a|＞b”⇒a＞b或﹣a＞b．“a＞b”⇒“|a|＞b”，正确，由于|a|≥a，可得|a|＞b．反之不成立，例如取a=﹣3，b=2，虽然|a|＞b，但是﹣3＞2不成立．【解答】解：“|a|＞b”⇒a＞b或﹣a＞b，∴“a＞b”⇒“|a|＞b”，∵|a|≥a，∴|a|＞b．反之不成立，例如取a=﹣3，b=2，虽然|a|＞b，但是﹣3＞2不成立．∴“|a|＞b”是“a＞b”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了绝对值不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．已知点E、F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、AA1的中点，点M、N分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有（）A．0条B．1条C．2条D．无数条【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】取BB1的中点H，连接FH，在D1E上任取一点M，过M在面D1HE中，作MG平行于HO，其中O为线段D1E的中点，交D1H于G，再过G作GN∥FH，交C1F于N，连接MN，根据线面平行的判定定理，得到GM∥平面ABCD，NG∥平面ABCD，再根据面面平行的判断定理得到平面MNG∥平面ABCD，由面面平行的性质得到则MN∥平面ABCD，由于M是任意的，故MN有无数条．【解答】解：取BB1的中点H，连接FH，则FH∥C1D，连接HE，在D1E上任取一点M，过M在面D1HE中，作MG平行于HO，其中O为线段D1E的中点，交D1H于G，再过G作GN∥FH，交C1F于N，连接MN，O在平面ABCD的正投影为K，连接KB，则OH∥KB，由于GM∥HO，HO∥KB，KB⊂平面ABCD，GM⊄平面ABCD，所以GM∥平面ABCD，同理由NG∥FH，可推得NG∥平面ABCD，由面面平行的判定定理得，平面MNG∥平面ABCD，则MN∥平面ABCD．由于M为D1E上任一点，故这样的直线MN有无数条．故选：D．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，主要是直线与平面平行的判断和面面平行的判定与性质，考查空间想象能力和简单推理能力．18．在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H扩展”．已知数列1，2．第一次“H扩展”后得到1，3，2；第二次“H 扩展”后得到1，4，3，5，2；那么第10次“H扩展”后得到的数列的所有项的和为（）A．88572 B．88575 C．29523 D．29526【考点】数列的求和．【专题】计算题；运动思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】通过分析前几次中每次“H扩展”后增加的项的和，得出规律：第n次“H扩展”后增加的项的和为3n，进而利用等比数列的求和公式计算即得结论．【解答】解：由题意可知，第1次“H扩展”后增加的项的和为3，第2次“H扩展”后增加的项的和为4+5=9，第3次“H扩展”后增加的项的和为5+7+8+7=27，…第n次“H扩展”后增加的项的和为3n，∴第n次“H扩展”后得到的数列的所有项的和为1+2+3+32+…+3n=2+=•3n+1+，于是所求值为•311+=88575，故选：B．【点评】本题考查数列的求和，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分别是BC、AP的中点，（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）若异面直线AB与ED所成角的大小为θ，求tanθ的值．【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间角．【分析】（1）三棱锥P﹣ABC中，由PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分别是BC、AP的中点，知AC=2，AB=2，由此能求出三棱锥P﹣ABC的体积．（2）取AC中点F，连接DF，EF，则AB∥DF，所以∠EDF就是异面直线AB与ED所成的角θ，由此能求出tanθ．【解答】解：（1）三棱锥P﹣ABC中，∵PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分别是BC、AP的中点，∴AC=2，AB=2，…所以，体积V P﹣ABC=•PA=．…（2）取AC中点F，连接DF，EF，则AB∥DF，所以∠EDF就是异面直线AB与ED所成的角θ．…由已知，AC=EA=AD=2，AB=2，PC=2，∵AB⊥EF，∴DF⊥EF．…在Rt△EFD中，DF=，EF=，所以，tanθ=．…【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．20．已知函数．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）求函数y=f（x）的图象与直线y=1相邻两个交点间的最短距离．【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的值域．（2）令，求得x的值，可得结论．【解答】解：（1）f（x）==，当时，，所以f （x ）的值域为．（2）令，∴，故或，k ∈Z ，∴当函数y=f （x ）的图象和直线 y=1时的两交点的最短距离为．【点评】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，函数的零点与方程的根的关系，属于基础题．21．在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含以下三个方面：①下潜时，平均速度为每分钟x 米，每分钟的用氧量为升；②水底作业需要10分钟，每分钟的用氧量为0.3升；③返回水面时，速度为每分钟米，每分钟用氧量为0.2升；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y 升． （1）将y 表示为x 的函数；（1）若x ∈[4，8]，求总用氧量y 的取值范围． 【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）通过速度、时间与路程之间的关系可知下潜所需时间为分钟、返回所需时间为分钟，进而列式可得结论；（2）通过基本不等式可知及x ∈[4，8]可知在[4，6]上单调递减、在[6，8]上单调递增，比较当x=4、8时的取值情况即得结论．【解答】解：（1）依题意，下潜所需时间为分钟；返回所需时间为分钟，∴，整理得：（x ＞0）；（2）由基本不等式可知，当且仅当即x=6时取等号，因为x ∈[4，8]，所以在[4，6]上单调递减、在[6，8]上单调递增，所以当x=6时，y取最小值7，又因为当x=4时；当x=8时，所以y的取值范围是：．【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．22．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，C、D两点的坐标为C（﹣1，0），D（1，0），曲线E上的动点P满足．又曲线E上的点A、B满足OA⊥OB．（1）求曲线E的方程；（2）若点A在第一象限，且，求点A的坐标；（3）求证：原点到直线AB的距离为定值．【考点】轨迹方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由|CD|=2，知，曲线E是以C、D为焦点，长轴的椭圆，即可求曲线E的方程；（2）设直线OA的方程为y=kx（k＞0），则直线OB的方程为，与椭圆方程联立，由知4|OA|2=3|OB|2，即可求点A的坐标；（3）分类讨论，设直线AB的方程x=my+b，与椭圆方程联立，求出原点到直线AB的距离，即可证明原点到直线AB的距离为定值．【解答】（1）解：由|CD|=2，知，曲线E是以C、D为焦点，长轴的椭圆，设其方程为，则有，∴曲线E的方程为（2）解：设直线OA的方程为y=kx（k＞0），则直线OB的方程为由得2x2+3k2x2=6，解得同理，由则解得．由知4|OA|2=3|OB|2，即解得k2=6，因点A在第一象限，故，此时点A的坐标为（3）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB平行于坐标轴时，由OA⊥OB知A、B两点之一为y=±x与椭圆的交点，由解得此时原点到直线AB的距离为当直线AB不平行于坐标轴时，设直线AB的方程x=my+b，由得（2m2+3）y2+4bmy+2b2﹣6=0由x1x2+y1y2=0得（my1+b）（my2+b）+y1y2=0即因代入得即5b2=6（m2+1）原点到直线AB的距离【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．对于数列{a n}，称（其中k≥2，k∈N）为数列{a n}的前k项“波动均值”．若对任意的k≥2，k∈N，都有P（a k+1）＜P（a k），则称数列{a n}为“趋稳数列”．（1）若数列1，x，2为“趋稳数列”，求x的取值范围；（2）若各项均为正数的等比数列{b n}的公比q∈（0，1），求证：{b n}是“趋稳数列”；（3）已知数列{a n}的首项为1，各项均为整数，前k项的和为S k．且对任意k≥2，k∈N，都有3P（S k）=2P（a k），试计算：（n≥2，n∈N）．【考点】数列与函数的综合．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】（1）由新定义可得|1﹣x|＞，解不等式可得x的范围；（2）运用等比数列的通项公式和求和公式，结合新定义，运用不等式的性质即可得证；（3）由任意k≥2，k∈N，都有3P（S k）=2P（a k），可得（k﹣1）P（S k）﹣（k﹣2）P（S k﹣1）=|a k|，由等比数列的通项公式，可得，结合新定义和二项式定理，化简整理即可得到所求值．【解答】解：（1）由题意可得，即|1﹣x|＞|x﹣2|，两边平方可得x2﹣2x+1＞x2﹣4x+4，解得；（2）证明：由已知，设，因b1＞0且0＜q＜1，故对任意的k≥2，k∈N*，都有b k﹣1＞b k，∴=，，因0＜q＜1∴q i＞q k﹣1（i＜k﹣1），∴1＞q k﹣1，q＞q k﹣1，q2＞q k﹣1，…，q k﹣2＞q k﹣1，∴1+q+q2+…+q k﹣2＞（k﹣1）q k﹣1，∴k（1+q+q2+…+q k﹣2）＞（k﹣1）（1+q+q2+…+q k﹣2+q k﹣1），∴，∴即对任意的k≥2，k∈N*，都有P（b k）＞P（b k+1），故{b n}是“趋稳数列”；（3）当k≥2时，当k≥3时，，∴（k﹣1）P（S k）﹣（k﹣2）P（S k﹣1）=|a k|同理，（k﹣1）P（a k）﹣（k﹣2）P（a k﹣1）=|a k﹣1﹣a k|，因3P（S k）=2P（a k），∴3（k﹣1）P（S k）=2（k﹣1）P（a k）3（k﹣2）P（S k﹣1）=2（k﹣2）P（a k﹣1），即3|a k|=2|a k﹣1﹣a k|，所以3a k=2（a k﹣1﹣a k）或 3a k=﹣2（a k﹣1﹣a k）所以 a k=﹣2a k﹣1或因为a1=1，且a k∈Z，所以a k=﹣2a k﹣1，从而，所以，==．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查二项式定理的运用，考查运算能力，属于难题．。

上海市宝山区2017届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 23lim1n n n →∞+=+2. 设全集U R =，集合{1,0,1,2,3}A =-，{|2}B x x =≥，则U AC B =3. 不等式102x x +<+的解集为 4. 椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为5. 设复数z 满足23z z i +=-（i 为虚数单位），则z =6. 若函数cos sin sin cos x xy x x=的最小正周期为a π，则实数a 的值为7. 若点(8,4)在函数()1log a f x x =+图像上，则()f x 的反函数为 8. 已知向量(1,2)a =，(0,3)b =，则b 在a 的方向上的投影为9. 已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面 积为10. 某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生 均有的概率为 （结果用最简分数表示）11. 设常数0a >，若9()a x x+的二项展开式中5x 的系数为144，则a =12. 如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ， 那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型 标准数列的个数为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 设a R ∈，则“1a =”是“复数(1)(2)(3)a a a i -+++为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件14. 某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人， 为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120 人，则该样本中的高二学生人数为（ ）A. 80B. 96C. 108D. 110 15. 设M 、N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M 、N 为互斥事件，且1()5P M =，1()4P N =，则9()20P M N =； （2）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （3）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （4）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （5）若1()2P M =，1()3P N =，5()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件；其中正确命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 416. 在平面直角坐标系中，把位于直线y k =与直线y l =（k 、l 均为常数，且k l <）之 间的点所组成区域（含直线y k =，直线y l =）称为“k l ⊕型带状区域”，设()f x 为二次 函数，三点(2,(2)2)f --+、(0,(0)2)f +、(2,(2)2)f +均位于“04⊕型带状区域”，如 果点(,1)t t +位于“13-⊕型带状区域”，那么，函数|()|y f t =的最大值为（ ） A. 72 B. 3 C. 52D. 2三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面积为934，侧面积为36；（1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）求异面直线1AC 与AB 所成的角的大小；18. 已知椭圆C 的长轴长为26，左焦点的坐标为(2,0)-； （1）求C 的标准方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 过C 的右焦点，并与C 交于A 、B 两点，且||6AB =， 试求直线l 的倾斜角；19. 设数列{}n x 的前n 项和为n S ，且430n n x S --=（*n N ∈）； （1）求数列{}n x 的通项公式；（2）若数列{}n y 满足1n n n y y x +-=（*n N ∈），且12y =，求满足不等式559n y >的最小 正整数n 的值；20. 设函数()lg()f x x m =+（m R ∈）； （1）当2m =时，解不等式1()1f x >； （2）若(0)1f =，且1()()2x f x λ=+在闭区间[2,3]上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数()f x 的图像过点(98,2)，且不等式[cos(2)]lg2n f x <对任意n N ∈均成立， 求实数x 的取值集合；21. 设集合A 、B 均为实数集R 的子集，记：{|,}A B a b a A b B +=+∈∈； （1）已知{0,1,2}A =，{1,3}B =-，试用列举法表示A B +；（2）设123a =，当*n N ∈，且2n ≥时，曲线2221119x y n n n +=-+-的焦距为n a ，如果 12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，122{,,}993B =---，设A B +中的所有元素之和为n S ，对于满足3m n k +=，且m n ≠的任意正整数m 、n 、k ，不等式0m n k S S S λ+->恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合111A A A ⊆+，则称1A 为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合2A 的 某个非空有限子集中所有元素的和，则称2A 为“*N 的基底集”，问：是否存在一个整数集 合既是自生集又是*N 的基底集？请说明理由；上海市宝山区2017届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 23lim1n n n →∞+=+2. 设全集U R =，集合{1,0,1,2,3}A =-，{|2}B x x =≥，则U AC B =3. 不等式102x x +<+的解集为 4. 椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为5. 设复数z 满足23z z i +=-（i 为虚数单位），则z =6. 若函数cos sin sin cos x xy x x=的最小正周期为a π，则实数a 的值为7. 若点(8,4)在函数()1log a f x x =+图像上，则()f x 的反函数为 8. 已知向量(1,2)a =，(0,3)b =，则b 在a 的方向上的投影为9. 已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面 积为10. 某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生 均有的概率为 （结果用最简分数表示）11. 设常数0a >，若9()a x x+的二项展开式中5x 的系数为144，则a =12. 如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ， 那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型 标准数列的个数为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 设a R ∈，则“1a =”是“复数(1)(2)(3)a a a i -+++为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件14. 某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人， 为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120 人，则该样本中的高二学生人数为（ ）A. 80B. 96C. 108D. 110 15. 设M 、N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M 、N 为互斥事件，且1()5P M =，1()4P N =，则9()20P M N =； （2）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （3）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （4）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （5）若1()2P M =，1()3P N =，5()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件；其中正确命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 416. 在平面直角坐标系中，把位于直线y k =与直线y l =（k 、l 均为常数，且k l <）之 间的点所组成区域（含直线y k =，直线y l =）称为“k l ⊕型带状区域”，设()f x 为二次 函数，三点(2,(2)2)f --+、(0,(0)2)f +、(2,(2)2)f +均位于“04⊕型带状区域”，如 果点(,1)t t +位于“13-⊕型带状区域”，那么，函数|()|y f t =的最大值为（ ） A. 72 B. 3 C. 52D. 2三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面积为934，侧面积为36；（1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）求异面直线1AC 与AB 所成的角的大小；18. 已知椭圆C 的长轴长为26，左焦点的坐标为(2,0)-； （1）求C 的标准方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 过C 的右焦点，并与C 交于A 、B 两点，且||6AB =， 试求直线l 的倾斜角；19. 设数列{}n x 的前n 项和为n S ，且430n n x S --=（*n N ∈）； （1）求数列{}n x 的通项公式；（2）若数列{}n y 满足1n n n y y x +-=（*n N ∈），且12y =，求满足不等式559n y >的最小 正整数n 的值；20. 设函数()lg()f x x m =+（m R ∈）； （1）当2m =时，解不等式1()1f x >； （2）若(0)1f =，且1()()2x f x λ=+在闭区间[2,3]上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数()f x 的图像过点(98,2)，且不等式[cos(2)]lg2n f x <对任意n N ∈均成立， 求实数x 的取值集合；21. 设集合A 、B 均为实数集R 的子集，记：{|,}A B a b a A b B +=+∈∈； （1）已知{0,1,2}A =，{1,3}B =-，试用列举法表示A B +；（2）设123a =，当*n N ∈，且2n ≥时，曲线2221119x y n n n +=-+-的焦距为n a ，如果 12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，122{,,}993B =---，设A B +中的所有元素之和为n S ，对于满足3m n k +=，且m n ≠的任意正整数m 、n 、k ，不等式0m n k S S S λ+->恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合111A A A ⊆+，则称1A 为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合2A 的 某个非空有限子集中所有元素的和，则称2A 为“*N 的基底集”，问：是否存在一个整数集 合既是自生集又是*N 的基底集？请说明理由；上海市崇明县2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 复数(2)i i +的虚部为 2. 设函数2log ,0()4,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则((1))f f -=3. 已知{||1|2,}M x x x R =-≤∈，1{|0,}2xP x x R x -=≥∈+，则M P =4. 抛物线2y x =上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为5. 已知无穷数列{}n a 满足112n n a a +=*()n N ∈，且21a =，记n S 为数列{}n a 的前n 项和， 则lim n n S →∞=6. 已知,x y R +∈，且21x y +=，则xy 的最大值为7. 已知圆锥的母线10l =，母线与旋转轴的夹角30α︒=，则圆锥的表面积为8. 若21(2)nx x+*()n N ∈的二项展开式中的第9项是常数项，则n =9. 已知,A B 分别是函数()2sin f x x ω=(0)ω>在y 轴右侧图像上的第一个最高点和第一 个最低点，且2AOB π∠=，则该函数的最小正周期是10. 将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同 一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是11. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数()y f x =的图像恰好经过k 个格点，则称函数()y f x =为k 阶格点函数，已知函数：①2y x =；②2sin y x =；③1xy π=-；④cos()3y x π=+；其中为一阶格点函数的序号为 （注：把你认为正确的序号都填上）12. 已知AB 为单位圆O 的一条弦，P 为单位圆O 上的点，若()||f AP AB λλ=-()R λ∈ 的最小值为m ，当点P 在单位圆上运动时，m 的最大值为43，则线段AB 长度为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）A. tan y x =B. 3xy = C. 13y x = D. lg ||y x =14. 设,a b R ∈，则“21a b ab +>⎧⎨>⎩”是“1a >且1b >”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要 15. 如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满 足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ）A.221255x y += B. 2213010x y += C.2213616x y += D. 2214525x y += 16. 实数a 、b 满足0ab >且a b ≠，由a 、b 、2a b+、ab 按一定顺序构成的数列（ ） A. 可能是等差数列，也可能是等比数列 B. 可能是等差数列，但不可能是等比数列 C. 不可能是等差数列，但可能是等比数列 D. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，12BB =，求： （1）异面直线11B C 与1AC 所成角的大小； （2）四棱锥111A B BCC -的体积；18. 在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E 正北55海 里处有一个雷达观测站A ，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与 点A 相距402海里的位置B 处，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45θ︒+ （其中26sin 26θ=，090θ︒︒<<）且与点A 相距1013海里的位置C 处； （1）求该船的行驶速度；（单位：海里/小时）（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断 它是否会进入警戒水域，并说明理由；19. 已知点1F 、2F 为双曲线222:1y C x b-=(0)b >的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ︒∠=；（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求12PP PP ⋅的值；20. 设12()2x x a f x b+-+=+，,a b 为实常数；（1）当1a b ==时，证明：()f x 不是奇函数； （2）若()f x 是奇函数，求a 与b 的值；（3）当()f x 是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D ，对任何属于D 的x 、c ， 都有2()33f x c c <-+成立？若存在，试找出所有这样的D ；若不存在，说明理由；21. 已知数列{}n a 、{}n b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和； （1）若数列{}n a 是首项为23，公比为13-的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n =，23a =，求证：数列{}n a 满足212n n n a a a +++=，并写出{}n a 通项公式； （3）在（2）的条件下，设nn na cb =，求证：数列{}nc 中的任意一项总可以表示成该数列 其他两项之积；参考答案一. 填空题1. 22. 2-3. [1,1]-4.34 5. 4 6. 187. 75π 8. 12 9. 833 10. 96 11. ②③ 12. 423二. 选择题13. C 14. B 15. C 16. D三. 解答题 17.（1）5arccos10；（2）33；18.（1）155；（2）357d =<，会进入警戒水域；19.（1）2212y x -=；（2）29；20.（1）(1)(1)f f -≠-；（2）12a b =⎧⎨=⎩，12a b =-⎧⎨=-⎩；（3）当121()22x x f x +-+=+，D R =；当121()22x x f x +--=-，(0,)D =+∞，25(,log ]7D =-∞；21.（1）12n b =；（2）1n a n =+；（3）略；上海市金山区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 若集合2{|20}M x x x =-<，{|||1}N x x =>，则MN =2. 若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z =3. 如果5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值是 4. 函数cos sin ()sin cos x xf x x x=的最小正周期是5. 函数()2x f x m =+的反函数为1()y f x -=，且1()y f x -=的图像过点(5,2)Q ，那么m =6. 点(1,0)到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是 7. 如果实数x 、y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值是8. 从5名学生中任选3人分别担任语文、数学、英语课代表，其中学生甲不能担任数学课 代表，共有 种不同的选法（结果用数值表示） 9. 方程22242340x y tx ty t +--+-=（t 为参数）所表示 的圆的圆心轨迹方程是 （结果化为普通方程） 10. 若n a 是(2)nx +（*n N ∈，2n ≥，x R ∈）展开式中2x 项的二项式系数，则23111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+= 11. 设数列{}n a 是集合{|33,stx x s t =+<且,}s t N ∈中所有的数从小到大排列成的数列， 即14a =，210a =，312a =，428a =，530a =，636a =，，将数列{}n a 中各项按 照上小下大，左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表，则15a 的值为12. 曲线C 是平面内到直线1:1l x =-和直线2:1l y =的距离之积等于常数2k （0k >）的点的轨迹，下列四个结论：① 曲线C 过点(1,1)-；② 曲线C 关于点(1,1)-成中心对称； ③ 若点P 在曲线C 上，点A 、B 分别在直线1l 、2l 上，则||||PA PB +不小于2k ；④ 设0P 为曲线C 上任意一点，则点0P 关于直线1:1l x =-，点(1,1)-及直线2:1l y =对称的点分别为1P 、2P 、3P ，则四边形0123P PP P 的面积为定值24k ； 其中，所有正确结论的序号是41012283036⋅⋅⋅二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 给定空间中的直线l 与平面α，则“直线l 与平面α垂直”是“直线l 垂直于平面α上 无数条直线”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既不充分也不必要 14. 已知x 、y R ∈，且0x y >>，则（ ） A.110x y-> B. 11()()022x y -<C. 22log log 0x y +>D. sin sin 0x y -> 15. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A. 283π-B. 83π- C. 82π- D. 23π16. 已知函数2(43)30()log (1)10a x a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩（0a >且1a ≠）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）A. 2(0,]3B. 23[,]34C. 123[,]{}334D. 123[,){}334三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PB 、PD 与 平面ABCD 所成的角依次是4π和1arctan 2，2AP =，E 、F 依次是PB 、PC 的中点；（1）求异面直线EC 与PD 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示） （2）求三棱锥P AFD -的体积；18. 已知△ABC 中，1AC =，23ABC π∠=，设BAC x ∠=，记()f x AB BC =⋅； （1）求函数()f x 的解析式及定义域；（2）试写出函数()f x 的单调递增区间，并求方程1()6f x =的解；19. 已知椭圆C 以原点为中心，左焦点F 的坐标是(1,0)-，长轴长是短轴长的2倍，直 线l 与椭圆C 交于点A 与B ，且A 、B 都在x 轴上方，满足180OFA OFB ︒∠+∠=； （1）求椭圆C 的标准方程；（2）对于动直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若 存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由；20. 已知函数2()21g x ax ax b =-++(0)a >在区间[2,3]上的最大值为4，最小值为1， 记()(||)f x g x =，x R ∈； （1）求实数a 、b 的值；（2）若不等式222()()log 2log 3f x g x k k +≥--对任意x R ∈恒成立，求实数k 的范围； （3）对于定义在[,]p q 上的函数()m x ，设0x p =，n x q =，用任意i x (1,2,,1)i n =⋅⋅⋅- 将[,]p q 划分成n 个小区间，其中11i i i x x x -+<<，若存在一个常数0M >，使得不等式01121|()()||()()||()()|n n m x m x m x m x m x m x M --+-+⋅⋅⋅+-≤恒成立，则称函数()m x为在[,]p q 上的有界变差函数，试证明函数()f x 是在[1,3]上的有界变差函数，并求出M 的最小值；21. 数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有(1)2n n n S +=； （1）试证明数列{}n b 是等差数列，并求其通项公式；（2）如果等比数列{}n a 共有2017项，其首项与公比均为2，在数列{}n a 的每相邻两项i a 与1i a +之间插入i 个(1)i i b -*()i N ∈后，得到一个新数列{}n c ，求数列{}n c 中所有项的和； （3）如果存在*n N ∈，使不等式11820(1)()(1)n n n n n b n b b b λ++++≤+≤+成立，若存在， 求实数λ的范围，若不存在，请说明理由；参考答案一. 填空题1. (1,2)2. 12i -3. 512-4. π5. 16. 557. 4 8. 48 9. 20x y -= 10. 2 11. 324 12. ②③④二. 选择题13. A 14. B 15. A 16. C三. 解答题 17.（1）310arccos 10；（2）43；18.（1）2211()sin sin()sin(2)33366f x x x x ππ=+=+-，(0,)3x π∈； （2）递增区间(0,]6π，6x π=；19.（1）2212x y +=；（2）(2,0)-； 20.（1）0b =，1a =；（2）1[,8]2；（3）min 4M =；21.（1）n b n =；（2）201822033134+；（3）不存在；上海市虹口区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,2,4,6,8}A =，{|2,}B x x k k A ==∈，则A B =2. 已知21zi i=+-，则复数z 的虚部为 3. 设函数()sin cos f x x x =-，且()1f a =，则sin 2a =4. 已知二元一次方程111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵是111113-⎛⎫⎪⎝⎭，则此方程组的解是5. 数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 是它前n 项和，则2lim n n nSa →∞=6. 已知角A 是ABC ∆的内角，则“1cos 2A =”是“3sin 2A =”的 条件（填“充 分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）7. 若双曲线2221y x b-=的一个焦点到其渐近线距离为22，则该双曲线焦距等于8. 若正项等比数列{}n a 满足：354a a +=，则4a 的最大值为 9. 一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平 面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于10. 设函数61()211x x f x x x ⎧≥=⎨--≤-⎩，则当1x ≤-时，则[()]f f x 表达式的展开式中含2x 项的系数是11. 点(20,40)M ，抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，若对于抛物线上的任意点P ，||||PM PF +的最小值为41，则p 的值等于12. 当实数x 、y 满足221x y +=时，|2||32|x y a x y +++--的取值与x 、y 均无关， 则实数a 的取值范围是二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 在空间，α表示平面，m 、n 表示二条直线，则下列命题中错误的是（ ） A. 若m ∥α，m 、n 不平行，则n 与α不平行 B. 若m ∥α，m 、n 不垂直，则n 与α不垂直 C. 若m α⊥，m 、n 不平行，则n 与α不垂直 D. 若m α⊥，m 、n 不垂直，则n 与α不平行14. 已知函数()sin(2)3f x x π=+在区间[0,]a （其中0a >）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A. 02a π<≤B. 012a π<≤C. 12a k ππ=+，*k N ∈ D. 2212k a k πππ<≤+，k N ∈15. 如图，在圆C 中，点A 、B 在圆上，则AB AC ⋅的值（ ）A. 只与圆C 的半径有关B. 既与圆C 的半径有关，又与弦AB 的长度有关C. 只与弦AB 的长度有关D. 是与圆C 的半径和弦AB 的长度均无关的定值16. 定义(){}f x x =（其中{}x 表示不小于x 的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1}3=，{4}4=，以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（ ）①(2)2()f x f x =；② 若12()()f x f x =，则121x x -<；③ 任意1x 、2x R ∈，1212()()()f x x f x f x +≤+；④1()()(2)2f x f x f x ++=； A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在正三棱锥P ABC -中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4； （1）求证：PA BC ⊥；（2）求此三棱锥的全面积和体积；18. 如图，我海蓝船在D 岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A 处，此时测得其北偏东30° 方向与它相距20海里的B 处有一外国船只，且D 岛位于海蓝船正东18海里处； （1）求此时该外国船只与D 岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行，为了将该船拦截在 离D 岛12海里的E 处（E 在B 的正南方向），不让其进入D 岛12海里内的海域，试确定 海蓝船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时）；19. 已知二次函数2()4f x ax x c =-+的值域为[0,)+∞； （1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数在2[,)a+∞的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出()f x 在[1,)+∞上的最小值()g a ，并求()g a 的值域；20. 椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）过点(2,0)M ，且右焦点为(1,0)F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，设点(4,3)P ，记PA 、PB 的斜率分别为1k 和2k ；（1）求椭圆C 的方程；（2）如果直线l 的斜率等于1-，求出12k k ⋅的值； （3）探讨12k k +是否为定值？如果是，求出该定 值，如果不是，求出12k k +的取值范围；21. 已知函数()2|2||1|f x x x =+-+，无穷数列{}n a 的首项1a a =； （1）若()n a f n =（*n N ∈），写出数列{}n a 的通项公式；（2）若1()n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），要使数列{}n a 是等差数列，求首项a 取值范围； （3）如果1()n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），求出数列{}n a 的前n 项和n S ；参考答案一. 填空题1. {2,4,8}2. 13. 04. 21x y =⎧⎨=⎩ 5. 146. 充分非必要7. 68. 29. 43 10. 6011. 22或42 12. [5,)+∞二. 选择题13. A 14. B 15. C 16. C三. 解答题17.（1）略；（2）9793S =+，63V =； 18.（1）291；（2）东偏北41.8︒， 6.4v =海里/小时； 19.（1）非奇非偶函数；（2）单调递增；（3）当02a <<，()0g a =；当2a ≥，4()4g a a a=+-；值域[0,)+∞； 20.（1）22143x y +=；（2）12；（3）2；21.（1）3n a n =+；（2）{3}[1,)a ∈--+∞；（3）当2a ≤-，3(1)(2)(1)(3)2n n n S a n a --=+---+；当21a -<≤-，3(1)(2)(1)(35)2n n n S a n a --=+-++；当1a >-，3(1)2n n n S na -=+；上海市闵行区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 方程lg(34)1x +=的解x = 2. 若关于x 的不等式0x ax b->-（,a b R ∈）的解集为(,1)(4,)-∞+∞，则a b += 3. 已知数列{}n a 的前n 项和为21n n S =-，则此数列的通项公式为4. 函数()1f x x =+的反函数是5. 6(12)x +展开式中3x 项的系数为 （用数字作答）6. 如图，已知正方形1111ABCD A BC D -，12AA =，E 为 棱1CC 的中点，则三棱锥1D ADE -的体积为 7. 从单词“shadow ”中任意选取4个不同的字母排成一排， 则其中含有“a ”的共有 种排法（用数字作答）8. 集合{|cos(cos )0,[0,]}x x x ππ=∈= （用列举法表示） 9. 如图，已知半径为1的扇形AOB ，60AOB ∠=︒，P 为弧AB 上的一个动点，则OP AB ⋅取值范围是 10. 已知x 、y 满足曲线方程2212x y+=，则22x y +的 取值范围是11. 已知两个不相等的非零向量a 和b ，向量组1234(,,,)x x x x 和1234(,,,)y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，记11223344S x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅，那么S 的所有可能取值中的最 小值是 （用向量a 、b 表示）12. 已知无穷数列{}n a ，11a =，22a =，对任意*n N ∈，有2n n a a +=，数列{}n b 满足 1n n n b b a +-=（*n N ∈），若数列2{}nnb a 中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满 足要求的1b 的值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 若a 、b 为实数，则“1a <”是“11a>”的（ ）条件 A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 14. 若a 为实数，(2)(2)4ai a i i +-=-（i 是虚数单位），则a =（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 215. 函数2()||f x x a =-在区间[1,1]-上的最大值是a ，那么实数a 的取值范围是（ ） A. [0,)+∞ B. 1[,1]2 C. 1[,)2+∞ D. [1,)+∞16. 曲线1:sin C y x =，曲线22221:()2C x y r r ++-=（0r >），它们交点的个数（ ）A. 恒为偶数B. 恒为奇数C. 不超过2017D. 可超过2017三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，在Rt AOB ∆中，6OAB π∠=，斜边4AB =，D 是AB 中点，现将Rt AOB ∆以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上一点，且90BOC ∠=︒， （1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD 与平面BOC 所成的角的大小； （用反三角函数表示）18. 已知(23,1)m =，2(cos ,sin )2An A =，A 、B 、C 是ABC ∆的内角； （1）当2A π=时，求||n 的值；（2）若23C π=，||3AB =，当m n ⋅取最大值时，求A 的大小及边BC 的长；19. 如图所示，沿河有A 、B 两城镇，它们相距20千米，以前，两城镇的污水直接排入河 里，现为保护环境，污水需经处理才能排放，两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污 水处理厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送）， 依据经验公式，建厂的费用为0.7()25f m m=⋅（万元），m 表示污水流量，铺设管道的费用（包括管道费）() 3.2g x x =（万元），x 表示输送污水管道的长度（千米）；已知城镇A 和城镇B 的污水流量分别为13m =、25m =，A 、B 两城镇连接污水处理 厂的管道总长为20千米；假定：经管道运输的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排 入河中；请解答下列问题（结果精确到0.1）（1）若在城镇A 和城镇B 单独建厂，共需多少总费用？ （2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇A 到拟建厂 的距离为x 千米，求联合建厂的总费用y 与x 的函数关系 式，并求y 的取值范围；20. 如图，椭圆2214y x +=的左、右顶点分别为A 、B ，双曲线Γ以A 、B 为顶点，焦距 为25，点P 是Γ上在第一象限内的动点，直线AP 与椭圆相交于另一点Q ，线段AQ 的中点为M ，记直线AP 的斜率为k ，O 为坐标原点； （1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M 的纵坐标M y 的取值范围； （3）是否存在定直线l ，使得直线BP 与直线OM 关于直线l 对称？若存在，求直线l 方程，若不存在，请说明理由；21. 在平面直角坐标系上，有一点列01231,,,,,,n n P P P P P P -⋅⋅⋅，设点k P 的坐标(,)k k x y （k N ∈，k n ≤），其中k x 、k y Z ∈，记1k k k x x x -∆=-，1k k k y y y -∆=-，且满足 ||||2k k x y ∆⋅∆=（*k N ∈，k n ≤）； （1）已知点0(0,1)P ，点1P 满足110y x ∆>∆>，求1P 的坐标；（2）已知点0(0,1)P ，1k x ∆=（*k N ∈，k n ≤），且{}k y （k N ∈，k n ≤）是递增数列， 点n P 在直线:38l y x =-上，求n ；（3）若点0P 的坐标为(0,0)，2016100y =，求0122016x x x x +++⋅⋅⋅+的最大值；上海市松江区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则MN =2. 已知a 、b R ∈，i 是虚数单位，若2a i bi +=-，则2()a bi +=3. 已知函数()1x f x a =-的图像经过(1,1)点，则1(3)f -=4. 不等式|1|0x x ->的解集为5. 已知(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，则函数()f x a b =⋅的最小正周期为6. 里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道，在由2名中国运动员和6 名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为 7. 按下图所示的程序框图运算：若输入17x =，则输出的x 值是8. 设230123(1)n n n x a a x a x a x a x +=++++⋅⋅⋅+，若2313a a =，则n = 9. 已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么 这个圆锥的侧面积是 2cm10. 设(,)P x y 是曲线22:1259x y C +=上的点，1(4,0)F -，2(4,0)F ，则12||||PF PF +的最大值为11. 已知函数243,13()28,3xx x x f x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨->⎪⎩，若()()F x f x kx =-在其定义域内有3个零点，则实数k ∈12. 已知数列{}n a 满足11a =，23a =，若1||2n n n a a +-=*()n N ∈，且21{}n a -是递增数 列，2{}n a 是递减数列，则212lim n n na a -→∞=二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知a 、b R ∈，则“0ab >”是“2b aa b+>”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件14. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点P 在截面1A DB 上，则线段AP 的最小值为（ ） A.13 B. 12 C. 33 D. 2215. 若矩阵11122122a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭满足：11a 、12a 、21a 、22{0,1}a ∈，且111221220a a a a =，则这样的互不相等的矩阵共有（ ）A. 2个B. 6个C. 8个D. 10个 16. 解不等式11()022xx -+>时，可构造函数1()()2x f x x =-，由()f x 在x R ∈是减函数 及()(1)f x f >，可得1x <，用类似的方法可求得不等式263arcsin arcsin 0x x x x +++> 的解集为（ ）A. (0,1]B. (1,1)-C. (1,1]-D. (1,0)-三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==，E 是棱PC 的中点； （1）求证：PC BD ⊥；（2）求直线BE 与PA 所成角的余弦值；18. 已知函数21()21x xa f x ⋅-=+（a 为实数）； （1）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）若对任意的1x ≥，都有1()3f x ≤≤，求a 的取值范围；19. 松江天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”， 兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高，如图，记O 点为塔基、P 点为塔尖、 点P 在地面上的射影为点H ，在塔身OP 射影所在直线上选点A ，使仰角45HAP ︒∠=， 过O 点与OA 成120︒的地面上选B 点，使仰角45HBP ︒∠=（点A 、B 、O 都在同一水平 面上），此时测得27OAB ︒∠=，A 与B 之间距离为33.6米，试求：（1）塔高；（即线段PH 的长，精确到0.1米） （2）塔的倾斜度；（即OPH ∠的大小，精确到0.1︒）20. 已知双曲线2222:1x y C a b-=经过点(2,3)，两条渐近线的夹角为60︒，直线l 交双曲线于A 、B 两点；（1）求双曲线C 的方程；（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于A 、B 的一点，且直线PA 、PB 的斜率PA k 、PB k 均 存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；（3）若l 过双曲线的右焦点1F ，是否存在x 轴上的点(,0)M m ，使得直线l 绕点1F 无论怎 样转动，都有0MA MB ⋅=成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由；21. 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称为“H 型数列”；（1）若数列{}n a 为“H 型数列”，且113a m =-，21a m=，34a =，求实数m 的范围； （2）是否存在首项为1的等差数列{}n a 为“H 型数列”，其前n 项和n S 满足2n S n n <+*()n N ∈？若存在，请求出{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由；（3）已知等比数列{}n a 的每一项均为正整数，且{}n a 为“H 型数列”； 若23n n b a =，n c =5(1)2n n a n -+⋅，当数列{}n b 不是“H 型数列”时， 试判断数列{}n c 是否为“H 型数列”，并说明理由；参考答案一. 填空题1. {1}2. 34i -3. 24. (0,1)(1,)+∞5. π6.147. 143 8. 11 9. 17π 10. 10 11. 3(0,)312. 12-二. 选择题13. B 14. C 15. D 16. A三. 解答题 17.（1）略；（2）33； 18.（1）1a =-，偶函数；1a =，奇函数；a R ∈且1a ≠±，非奇非偶函数； （2）[2,3]；19.（1）18.9米；（2）6.9°；20.（1）2213y x -=；（2）3；（3）(1,0)-； 21.（1）1(,0)(,)2-∞+∞；（2）不存在；（3）132n n a -=⋅时，{}n c 不是“H 型数列”；14n n a -=时，{}n c 是“H 型数列”；上海市浦东新区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知U R =，集合{|421}A x x x =-≥+，则U C A =2. 三阶行列式351236724---中元素5-的代数余子式的值为 3. 8(1)2x -的二项展开式中含2x 项的系数是4. 已知一个球的表面积为16π，则它的体积为5. 一个袋子中共有6个球，其中4个红色球，2个蓝色球，这些球的质地和形状一样，从中 任意抽取2个球，则所抽的球都是红色球的概率是6. 已知直线:0l x y b -+=被圆22:25C x y +=所截得的弦长为6，则b =7. 若复数(1)(2)ai i +-在复平面上所对应的点在直线y x =上，则实数a =8. 函数()(3sin cos )(3cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期为9. 过双曲线222:14x y C a -=的右焦点F 作一条垂直于x 轴的垂线交双曲线C 的两条渐近线 于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最小值为10. 若关于x 的不等式1|2|02xx m --<在区间[0,1]内恒 成立，则实数m 的范围11. 如图，在正方形ABCD 中，2AB =，M 、N 分别是 边BC 、CD 上的两个动点，且2MN =，则AM AN ⋅的取值范围是12. 已知定义在*N 上的单调递增函数()y f x =，对于任意的*n N ∈，都有*()f n N ∈，且(())3f f n n =恒成立，则(2017)(1999)f f -=二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 将cos 2y x =图像向左平移6π个单位，所得的函数为（ ） A. cos(2)3y x π=+ B. cos(2)6y x π=+C. cos(2)3y x π=-D. cos(2)6y x π=-14. 已知函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，则()y f x =-与1()y f x -=-图像（ ） A. 关于y 轴对称 B. 关于原点对称 C. 关于直线0x y +=对称 D. 关于直线0x y -=对称 15. 设{}n a 是等差数列，下列命题中正确的是（ ）A. 若120a a +>，则230a a +>B. 若130a a +<，则120a a +<C. 若120a a <<，则213a a a >D. 若10a <，则2123()()0a a a a --> 16. 元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元， 而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为A 元， 购买3只康乃馨所需费用为B 元，则A 、B 的大小关系是（ ）A. A B >B. A B <C. A B =D. A 、B 的大小关系不确定三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在长方体1111ABCD A BC D -中（如图），11AD AA ==，2AB =，点E 是棱AB 中点； （1）求异面直线1AD 与EC 所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角 形的四面体成为鳖臑，试问四面体1DCDE 是 否为鳖臑？并说明理由；18. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ； （1）若3B π=，7b =，△ABC 的面积332S =，求a c +的值； （2）若22cos ()C BA BC AB AC c ⋅+⋅=，求角C ；。

2016年上海市松江区高考数学一模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集U={1，2，3，4}，A是U的子集，满足A∩{1，2，3}={2}，A∪{1，2，3}=U，则集合A= ．2．若复数z=1+ai（i是虚数单位）的模不大于2，则实数a的取值范围是．3．行列式的值是．4．若幂函数f（x）的图象过点，则f﹣1（2）= ．5．若等比数列{a n}满足a1+a3=5，且公比q=2，则a3+a5= ．6．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则有S1：S2= ．7．如图所示的程序框图，输出的结果是．8．将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为．9．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则恰好有1只是白球的概率为．10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．11．若（1﹣3x）7展开式的第4项为280，则= ．12．已知抛物线C：y2=4x的准线为l，过M（1，0）且斜率为k的直线与l相交于点A，与抛物线C的一个交点为B．若，则k= ．13．已知正六边形A1A2…A6内接于圆O，点P为圆O上一点，向量与的夹角为θi（i=1，2，…，6），若将θ1，θ2，…，θ6从小到大重新排列后恰好组成等差数列，则该等差数列的第3项为．14．已知函数f（x），对任意的x∈[1，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立，且当x∈[1，2）时，f（x）=2﹣x．则方程在区间[1，100]上所有根的和为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．16．设a，b∈R，则“|a|＞b”是“a＞b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件17．已知点E、F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、AA1的中点，点M、N分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有（）A．0条B．1条C．2条D．无数条18．在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H扩展”．已知数列1，2．第一次“H扩展”后得到1，3，2；第二次“H 扩展”后得到1，4，3，5，2；那么第10次“H扩展”后得到的数列的所有项的和为（）A．88572 B．88575 C．29523 D．29526三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分别是BC、AP的中点，（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）若异面直线AB与ED所成角的大小为θ，求tanθ的值．20．已知函数．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）求函数y=f（x）的图象与直线y=1相邻两个交点间的最短距离．21．在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含以下三个方面：①下潜时，平均速度为每分钟x米，每分钟的用氧量为升；②水底作业需要10分钟，每分钟的用氧量为0.3升；③返回水面时，速度为每分钟米，每分钟用氧量为0.2升；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升．（1）将y表示为x的函数；（1）若x∈[4，8]，求总用氧量y的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，C、D两点的坐标为C（﹣1，0），D（1，0），曲线E上的动点P满足．又曲线E上的点A、B满足OA⊥OB．（1）求曲线E的方程；（2）若点A在第一象限，且，求点A的坐标；（3）求证：原点到直线AB的距离为定值．23．对于数列{a n}，称（其中k≥2，k∈N）为数列{a n}的前k项“波动均值”．若对任意的k≥2，k∈N，都有P（a k+1）＜P（a k），则称数列{a n}为“趋稳数列”．（1）若数列1，x，2为“趋稳数列”，求x的取值范围；（2）若各项均为正数的等比数列{b n}的公比q∈（0，1），求证：{b n}是“趋稳数列”；（3）已知数列{a n}的首项为1，各项均为整数，前k项的和为S k．且对任意k≥2，k∈N，都有3P（S k）=2P（a k），试计算：（n≥2，n∈N）．2016年上海市松江区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集U={1，2，3，4}，A是U的子集，满足A∩{1，2，3}={2}，A∪{1，2，3}=U，则集合A= {2，4} ．【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】全集U和其子集A、B都是用列举法给出的，且都含有几个元素，直接运用交、并的概念即可解答【解答】解：∵全集U={1，2，3，4}，A是U的子集，满足A∩{1，2，3}={2}，A∪{1，2，3}=U，∴A={2，4}，故答案为：{2，4}．【点评】本题考查了交、并混合运算，是概念题．2．若复数z=1+ai（i是虚数单位）的模不大于2，则实数a的取值范围是[] ．【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算．【专题】计算题．【分析】由于复数的模不大于2，可得不等式，然后求解即可．【解答】解：复数z=1+ai（i是虚数单位）的模不大于2，即：1+a2≤4即a2≤3可得 a∈故答案为：【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的混合运算，是基础题．3．行列式的值是．【考点】二阶矩阵；三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；矩阵和变换．【分析】利用二阶行列式展开法则和余弦加法定理求解．【解答】解：=cos20°cos40°﹣sin20°sin40°=cos（20°+40°）=cos60°=．故答案为：．【点评】本题考查二阶行列式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开法则和余弦加法定理的合理运用．4．若幂函数f（x）的图象过点，则f﹣1（2）= ．【考点】反函数；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由题意知f（2）=2α=，从而可得f（x）=，f﹣1（x）=，从而解得．【解答】解：∵幂函数f（x）的图象过点，∴f（2）=2α=，解得，α=﹣，故f（x）=，∴f﹣1（x）=，∴f﹣1（2）==；故答案为：．【点评】本题考查了幂函数的应用及反函数的应用．5．若等比数列{a n}满足a1+a3=5，且公比q=2，则a3+a5= 20 ．【考点】等比数列的通项公式．【专题】转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．【解答】解：a3+a5=q2（a1+a3）=22×5=20，故答案为：20．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则有S1：S2= 3：2 ．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设为球的半径为1，结合圆柱的表面积的公式以及球的表面积即可得到答案．【解答】解：由题意可得：圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，所以等边圆柱的表面积为：S1=6π，球的表面积为：S2=4π．所以圆柱的表面积与球的表面积之比为S1：S2=3：2．故答案为：3：2．【点评】本题考查几何体的表面积，考查计算能力，特殊值法，在解题中有是有独到功效，是基础题．7．如图所示的程序框图，输出的结果是15 ．【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得该程序的功能是利用循环计算出输出变量b的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1，b=1满足条件a≤3，b=3，a=2满足条件a≤3，b=7，a=3满足条件a≤3，b=15，a=4不满足条件a≤3，退出循环，输出b的值为15．故答案为：15．【点评】本题考查的知识点是循环结构，当循环次数不多时，多采用模拟循环的方法，本题属于基础题．8．将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为y=sin4x ．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】阅读型．【分析】按照左加右减的原则，求出函数所有点向右平移个单位的解析式，然后求出将图象上所有点的横坐标变为原来的倍时的解析式即可．【解答】解：将函数的图象上的所有点向右平移个单位，得到函数=sin2x，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为y=sin4x．故答案为：y=sin4x．【点评】本题是基础题，考查函数的图象的平移与伸缩变换，注意x的系数与函数平移的方向，易错题．9．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则恰好有1只是白球的概率为．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】概率与统计．【分析】从中一次性随机摸出2只球，基本事件总数n=，恰好有1只是白球的基本事件个数m=，由此能求出恰好有1只是白球的概率．【解答】解：从中一次性随机摸出2只球，基本事件总数n=，恰好有1只是白球的基本事件个数m=，∴恰好有1只是白球的概率P==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意等可能事件概率计算公式的合理运用．10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为﹣．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b=，再由余弦定理求得cosA=的值．【解答】解：在△ABC中，∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC，∴2b=3c ②，∴由①②可得a=2c，b=．再由余弦定理可得 cosA===﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．11．若（1﹣3x）7展开式的第4项为280，则= ．【考点】二项式系数的性质；极限及其运算．【专题】对应思想；转化法；二项式定理．【分析】根据二项式展开式的第4项求出x的值，再利用等比数列的前n项和求极限．【解答】解：∵（1﹣3x）7展开式的第4项为280，∴T4=•（﹣3x）3=﹣27×35x3=280；∴x3=﹣，解得x=﹣；∴====﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了二项式展开式的应用问题，也考查了等比数列前n项和的应用问题，是基础题目．12．已知抛物线C：y2=4x的准线为l，过M（1，0）且斜率为k的直线与l相交于点A，与抛物线C的一个交点为B．若，则k= ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出B的坐标，即可求出直线的斜率．【解答】解：由题意，M到准线的距离为2，∵，∴B的横坐标为2，代入抛物线C：y2=4x，可得y=±2，∴B的坐标为（2，±2），∴k==故答案为：．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．已知正六边形A1A2…A6内接于圆O，点P为圆O上一点，向量与的夹角为θi（i=1，2，…，6），若将θ1，θ2，…，θ6从小到大重新排列后恰好组成等差数列，则该等差数列的第3项为．【考点】等差数列的通项公式．【专题】数形结合；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】设点P位于弧上时，设∠POA1=α，当时，则θ1=α，θ2=﹣α，θ3=﹣α，θ4=π﹣α，θ5=，θ6=．将θ1，θ2，…，θ6从小到大重新排列后恰好组成等差数列，α，﹣α，，﹣α，，π﹣α，利用等差数列的性质即可得出．【解答】解：设点P位于弧上时，设∠POA1=α，当时，则θ1=α，θ2=﹣α，θ3=﹣α，θ4=π﹣α，θ5=，θ6=．将θ1，θ2，…，θ6从小到大重新排列后恰好组成等差数列，α，﹣α，，﹣α，，π﹣α，由2（﹣α）=α+，解得α=，此时六个角分别为：，，，，，，成等差数列，则该等差数列的第3项为．其它情况类比可得．故答案为：．【点评】本题考查了向量的夹角、等差数列的通项公式及其性质，考查了分类讨论方法、类比推理与计算能力，属于中档题．14．已知函数f（x），对任意的x∈[1，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立，且当x∈[1，2）时，f（x）=2﹣x．则方程在区间[1，100]上所有根的和为．【考点】函数恒成立问题．【专题】新定义；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数所给的性质可分别求出不同区间对应的函数表达式：当x∈[2n，2n+1），f （x）=2n+1﹣x，在不同区间分别求在区间[1，100]上的跟即可．【解答】解：当x∈[1，2）时，f（x）=2﹣x，设x∈[2，4）时，则∈[1，2），f（x）=f（2•）=2f（）=4﹣x，同理可得当x∈[2n，2n+1），f（x）=2n+1﹣x，∴则方程在区间[1，100]上所有根分别为：，3，6，12，24，48，96，∴所有根的和为．【点评】考查了新定义类型函数的应用，难点是对题意的分析．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【考点】圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．【专题】计算题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知条件求出双曲线的一个焦点为（3，0），可得m+5=9，求出m=4，由此能求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵抛物线y2=12x的焦点为（3，0），∴双曲线的一个焦点为（3，0），即c=3．双曲线可得∴m+5=9，∴m=4，∴双曲线的渐近线方程为：．故选：A．【点评】本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．16．设a，b∈R，则“|a|＞b”是“a＞b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】“|a|＞b”⇒a＞b或﹣a＞b．“a＞b”⇒“|a|＞b”，正确，由于|a|≥a，可得|a|＞b．反之不成立，例如取a=﹣3，b=2，虽然|a|＞b，但是﹣3＞2不成立．【解答】解：“|a|＞b”⇒a＞b或﹣a＞b，∴“a＞b”⇒“|a|＞b”，∵|a|≥a，∴|a|＞b．反之不成立，例如取a=﹣3，b=2，虽然|a|＞b，但是﹣3＞2不成立．∴“|a|＞b”是“a＞b”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了绝对值不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．已知点E、F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、AA1的中点，点M、N分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有（）A．0条B．1条C．2条D．无数条【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】取BB1的中点H，连接FH，在D1E上任取一点M，过M在面D1HE中，作MG平行于HO，其中O为线段D1E的中点，交D1H于G，再过G作GN∥FH，交C1F于N，连接MN，根据线面平行的判定定理，得到GM∥平面ABCD，NG∥平面ABCD，再根据面面平行的判断定理得到平面MNG∥平面ABCD，由面面平行的性质得到则MN∥平面ABCD，由于M是任意的，故MN有无数条．【解答】解：取BB1的中点H，连接FH，则FH∥C1D，连接HE，在D1E上任取一点M，过M在面D1HE中，作MG平行于HO，其中O为线段D1E的中点，交D1H于G，再过G作GN∥FH，交C1F于N，连接MN，O在平面ABCD的正投影为K，连接KB，则OH∥KB，由于GM∥HO，HO∥KB，KB⊂平面ABCD，GM⊄平面ABCD，所以GM∥平面ABCD，同理由NG∥FH，可推得NG∥平面ABCD，由面面平行的判定定理得，平面MNG∥平面ABCD，则MN∥平面ABCD．由于M为D1E上任一点，故这样的直线MN有无数条．故选：D．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，主要是直线与平面平行的判断和面面平行的判定与性质，考查空间想象能力和简单推理能力．18．在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H扩展”．已知数列1，2．第一次“H扩展”后得到1，3，2；第二次“H 扩展”后得到1，4，3，5，2；那么第10次“H扩展”后得到的数列的所有项的和为（）A．88572 B．88575 C．29523 D．29526【考点】数列的求和．【专题】计算题；运动思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】通过分析前几次中每次“H扩展”后增加的项的和，得出规律：第n次“H扩展”后增加的项的和为3n，进而利用等比数列的求和公式计算即得结论．【解答】解：由题意可知，第1次“H扩展”后增加的项的和为3，第2次“H扩展”后增加的项的和为4+5=9，第3次“H扩展”后增加的项的和为5+7+8+7=27，…第n次“H扩展”后增加的项的和为3n，∴第n次“H扩展”后得到的数列的所有项的和为1+2+3+32+…+3n=2+=•3n+1+，于是所求值为•311+=88575，故选：B．【点评】本题考查数列的求和，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分别是BC、AP的中点，（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）若异面直线AB与ED所成角的大小为θ，求tanθ的值．【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间角．【分析】（1）三棱锥P﹣ABC中，由PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分别是BC、AP的中点，知AC=2，AB=2，由此能求出三棱锥P﹣ABC的体积．（2）取AC中点F，连接DF，EF，则AB∥DF，所以∠EDF就是异面直线AB与ED所成的角θ，由此能求出tanθ．【解答】解：（1）三棱锥P﹣ABC中，∵PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分别是BC、AP的中点，∴AC=2，AB=2，…所以，体积V P﹣ABC=•PA=．…（2）取AC中点F，连接DF，EF，则AB∥DF，所以∠EDF就是异面直线AB与ED所成的角θ．…由已知，AC=EA=AD=2，AB=2，PC=2，∵AB⊥EF，∴DF⊥EF．…在Rt△EFD中，DF=，EF=，所以，tanθ=．…【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．20．已知函数．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）求函数y=f（x）的图象与直线y=1相邻两个交点间的最短距离．【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的值域．（2）令，求得x的值，可得结论．【解答】解：（1）f（x）==，当时，，所以f（x）的值域为．（2）令，∴，故或，k∈Z，∴当函数y=f（x）的图象和直线 y=1时的两交点的最短距离为．【点评】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，函数的零点与方程的根的关系，属于基础题．21．在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含以下三个方面：①下潜时，平均速度为每分钟x米，每分钟的用氧量为升；②水底作业需要10分钟，每分钟的用氧量为0.3升；③返回水面时，速度为每分钟米，每分钟用氧量为0.2升；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升．（1）将y表示为x的函数；（1）若x∈[4，8]，求总用氧量y的取值范围．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）通过速度、时间与路程之间的关系可知下潜所需时间为分钟、返回所需时间为分钟，进而列式可得结论；（2）通过基本不等式可知及x∈[4，8]可知在[4，6]上单调递减、在[6，8]上单调递增，比较当x=4、8时的取值情况即得结论．【解答】解：（1）依题意，下潜所需时间为分钟；返回所需时间为分钟，∴，整理得：（x＞0）；（2）由基本不等式可知，当且仅当即x=6时取等号，因为x∈[4，8]，所以在[4，6]上单调递减、在[6，8]上单调递增，所以当x=6时，y取最小值7，又因为当x=4时；当x=8时，所以y的取值范围是：．【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．22．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，C、D两点的坐标为C（﹣1，0），D（1，0），曲线E上的动点P满足．又曲线E上的点A、B满足OA⊥OB．（1）求曲线E的方程；（2）若点A在第一象限，且，求点A的坐标；（3）求证：原点到直线AB的距离为定值．【考点】轨迹方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由|CD|=2，知，曲线E是以C、D为焦点，长轴的椭圆，即可求曲线E的方程；（2）设直线OA的方程为y=kx（k＞0），则直线OB的方程为，与椭圆方程联立，由知4|OA|2=3|OB|2，即可求点A的坐标；（3）分类讨论，设直线AB的方程x=my+b，与椭圆方程联立，求出原点到直线AB的距离，即可证明原点到直线AB的距离为定值．【解答】（1）解：由|CD|=2，知，曲线E是以C、D为焦点，长轴的椭圆，设其方程为，则有，∴曲线E的方程为（2）解：设直线OA的方程为y=kx（k＞0），则直线OB的方程为由得2x2+3k2x2=6，解得同理，由则解得．由知4|OA|2=3|OB|2，即解得k2=6，因点A在第一象限，故，此时点A的坐标为（3）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB平行于坐标轴时，由OA⊥OB知A、B两点之一为y=±x与椭圆的交点，由解得此时原点到直线AB的距离为当直线AB不平行于坐标轴时，设直线AB的方程x=my+b，由得（2m2+3）y2+4bmy+2b2﹣6=0由x1x2+y1y2=0得（my1+b）（my2+b）+y1y2=0即因代入得即5b2=6（m2+1）原点到直线AB的距离【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．对于数列{a n}，称（其中k≥2，k∈N）为数列{a n}的前k项“波动均值”．若对任意的k≥2，k∈N，都有P（a k+1）＜P（a k），则称数列{a n}为“趋稳数列”．（1）若数列1，x，2为“趋稳数列”，求x的取值范围；（2）若各项均为正数的等比数列{b n}的公比q∈（0，1），求证：{b n}是“趋稳数列”；（3）已知数列{a n}的首项为1，各项均为整数，前k项的和为S k．且对任意k≥2，k∈N，都有3P（S k）=2P（a k），试计算：（n≥2，n∈N）．【考点】数列与函数的综合．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】（1）由新定义可得|1﹣x|＞，解不等式可得x的范围；（2）运用等比数列的通项公式和求和公式，结合新定义，运用不等式的性质即可得证；（3）由任意k≥2，k∈N，都有3P（S k）=2P（a k），可得（k﹣1）P（S k）﹣（k﹣2）P（S k﹣1）=|a k|，由等比数列的通项公式，可得，结合新定义和二项式定理，化简整理即可得到所求值．【解答】解：（1）由题意可得，即|1﹣x|＞|x﹣2|，两边平方可得x2﹣2x+1＞x2﹣4x+4，解得；（2）证明：由已知，设，因b1＞0且0＜q＜1，故对任意的k≥2，k∈N*，都有b k﹣1＞b k，∴=，，因0＜q＜1∴q i＞q k﹣1（i＜k﹣1），∴1＞q k﹣1，q＞q k﹣1，q2＞q k﹣1，…，q k﹣2＞q k﹣1，∴1+q+q2+…+q k﹣2＞（k﹣1）q k﹣1，∴k（1+q+q2+…+q k﹣2）＞（k﹣1）（1+q+q2+…+q k﹣2+q k﹣1），∴，∴即对任意的k≥2，k∈N*，都有P（b k）＞P（b k+1），故{b n}是“趋稳数列”；（3）当k≥2时，当k≥3时，，∴（k﹣1）P（S k）﹣（k﹣2）P（S k﹣1）=|a k|同理，（k﹣1）P（a k）﹣（k﹣2）P（a k﹣1）=|a k﹣1﹣a k|，因3P（S k）=2P（a k），∴3（k﹣1）P（S k）=2（k﹣1）P（a k）3（k﹣2）P（S k﹣1）=2（k﹣2）P（a k﹣1），即3|a k|=2|a k﹣1﹣a k|，所以3a k=2（a k﹣1﹣a k）或 3a k=﹣2（a k﹣1﹣a k）所以 a k=﹣2a k﹣1或因为a1=1，且a k∈Z，所以a k=﹣2a k﹣1，从而，所以，==．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查二项式定理的运用，考查运算能力，属于难题．。

2017年上海市高考数学模拟试卷一、填空题（本大题满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题4分）1．计算：=．2．设函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（4）=．3．已知复数（i为虚数单位），则|z|=．4．函数，若存在锐角θ满足f（θ）=2，则θ=．5．已知球的半径为R，若球面上两点A，B的球面距离为，则这两点A，B 间的距离为．6．若（2+x）n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256，则正整数n=．7．设k为常数，且，则用k表示sin2α的式子为sin2α=．8．设椭圆的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上任一动点，则的取值范围为．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2 sinB，则A角大小为．10．设f（x）=lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为．11．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+a n=（）n，n∈N*，则=．+112．已知△ABC的面积为360，点P是三角形所在平面内一点，且，则△PAB的面积为．二、选择题（本大题满分20分）13．已知集合A={x|x＞﹣1}，则下列选项正确的是（）A．0⊆A B．{0}⊆A C．∅∈A D．{0}∈A14．设x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是（）A．|x|≥1 B．|x+y|≥1 C．y≤﹣2 D．且15．图中曲线的方程可以是（）A．（x+y﹣1）•（x2+y2﹣1）=0 B．C．D．16．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2∉M且，若M⊆{0，1，2，3，4，5}，则满足条件M的个数是（）A．11 B．12 C．15 D．16三、解答题（本大题满分76分）17．已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．18．已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0），直线l：x+y﹣2=0，F1，F2为双曲线Γ的两个焦点，l与双曲线Γ的一条渐近线平行且过其中一个焦点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．19．某租车公司给出的财务报表如下：1014年（1﹣121015年（1﹣121016年（1﹣11月）月）月）接单量（单）144632724012512550331996油费（元）214301962591305364653214963平均每单油费t（元）14.8214.49平均每单里程k（公里）1515每公里油耗a（元）0.70.70.7有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为．（1）分别计算2014，2015年该公司的空驶率的值（精确到0.01%）；（2）2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别精确到0.01元和0.01公里）20．已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），{a n}是首项a1=15，公差d≠0的等差数列，{b n}满足：b n=f（a n）．（1）若a4，a7，a8成等比数列，求d的值；（2）若d=2，f（x）=|x﹣21|，求{b n}的前n项和S n；（3）若d=﹣1，f（x）=e x，T n=b1•b2•b3…b n，问n为何值时，T n的值最大？21．对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）﹣f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2x是否为位差奇函数？说明理由；（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值为的位差奇函数，求φ的值；（3）若f（x）=x3+bx2+cx对任意属于区间中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．2017年上海市高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题4分）1．计算：=﹣2．【考点】二阶矩阵．【分析】利用二阶行列式对角线法则直接求解．【解答】解：=4×1﹣3×2=﹣2．故答案为：﹣2．2．设函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（4）=16．【考点】反函数．【分析】先求出x=y2，y≥0，互换x，y，得f﹣1（x）=x2，x≥0，由此能求出f﹣1（4）．【解答】解：∵函数f（x）=y=的反函数是f﹣1（x），∴x=y2，y≥0，互换x，y，得f﹣1（x）=x2，x≥0，∴f﹣1（4）=42=16．故答案为：16．3．已知复数（i为虚数单位），则|z|=2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数模的计算公式即可得出．【解答】解：复数（i为虚数单位），则|z|==2．故答案为：2、4．函数，若存在锐角θ满足f（θ）=2，则θ=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】运用两角和的正弦公式和特殊角的正弦函数值，计算即可得到所求值．【解答】解：函数=2（sinx+cosx）=2sin（x+），由若存在锐角θ满足f（θ）=2，即有2sin（θ+）=2，解得θ=﹣=．故答案为：．5．已知球的半径为R，若球面上两点A，B的球面距离为，则这两点A，B 间的距离为R．【考点】球面距离及相关计算．【分析】两点A、B间的球面距离为，可得∠AOB=，即可求出两点A，B 间的距离．【解答】解：两点A、B间的球面距离为，∴∠AOB=．∴两点A，B间的距离为R，故答案为：R．6．若（2+x）n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256，则正整数n=8．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得：2n=256，解得n．【解答】解：由题意可得：2n=256，解得n=8．故答案为：8．7．设k为常数，且，则用k表示sin2α的式子为sin2α=2k2﹣1．【考点】二倍角的正弦．【分析】利用两角差的余弦函数公式化简已知等式，进而两边平方利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：∵，∴（cosα+sinα）=k，可得：cosα+sinα=k，∴两边平方可得：cos2α+sin2α+2cosαsinα=2k2，可得：1+sin2α=2k2，∴sin2α=2k2﹣1．故答案为：sin2α=2k2﹣1．8．设椭圆的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上任一动点，则的取值范围为[﹣2，1] ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：焦点坐标为F1（﹣，0），F2（，0），设点M坐标为M（x，y），可得y2=1﹣，=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2﹣3+1﹣=﹣2，则x2∈[0，4]，的取值范围为[﹣2，1]．【解答】解：如下图所示，在直角坐标系中作出椭圆：由椭圆，a=2，b=1，c=，则焦点坐标为F1（﹣，0），F2（，0），设点M坐标为M（x，y），由，可得y2=1﹣；=（﹣﹣x，﹣y），﹣=（﹣x，﹣y）；=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2﹣3+1﹣=﹣2，由题意可知：x∈[﹣2，2]，则x2∈[0，4]，∴的取值范围为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2 sinB，则A角大小为．【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用．【分析】先利用正弦定理化简sinC=2sinB，得到c与b的关系式，代入中得到a2与b2的关系式，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．【解答】解：由sinC=2sinB得：c=2b，所以=•2b2，即a2=7b2，则cosA===，又A∈（0，π），所以A=．故答案为：10．设f（x）=lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由题意，f（x）=lgx在（0，+∞）上单调递增，利用f（﹣a）﹣f（a）＞0，可得﹣a＞a＞0，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意，f（x）=lgx在（0，+∞）上单调递增，∵f（1﹣a）﹣f（a）＞0，∴1﹣a＞a＞0，∴a∈，故答案为11．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+a n=（）n，n∈N*，则=﹣．+1【考点】极限及其运算．【分析】由已知推导出S2n=（1﹣），S2n﹣1=1+，从而a2n=S2n =﹣[1+（1﹣）]，由此能求出．﹣S2n﹣1【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，，n∈N*，∴（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）===（1﹣）=（1﹣），∴S2n=（1﹣），a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2n+a2n﹣1）﹣2=1+=1+=1+，=1+，∴S2n﹣1∴a2n=S2n﹣S2n﹣1=﹣[1+（1﹣）]，∴=﹣[1+（1﹣）]==﹣．故答案为：．12．已知△ABC的面积为360，点P是三角形所在平面内一点，且，则△PAB的面积为90．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】取AB的中点D，AC的中点E，则P为DE的中点，利用相似比，可得结论．【解答】解：取AB的中点D，AC的中点E，则P为DE的中点，∵△ABC的面积为360，∴△PAB的面积=△ADE的面积==90．故答案为90．二、选择题（本大题满分20分）13．已知集合A={x|x＞﹣1}，则下列选项正确的是（）A．0⊆A B．{0}⊆A C．∅∈A D．{0}∈A【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用⊆，可得结论．【解答】解：根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用⊆，可知B 正确．故选B．14．设x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是（）A．|x|≥1 B．|x+y|≥1 C．y≤﹣2 D．且【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：A．当x=1，y=0时，满足|x|≥1时，但|x|+|y|=1＞1不成立，不满足条件．B．当x=1，y=0时，满足|x+y|≥1时，但|x|+|y|=1＞1不成立，不满足条件．C．当y≤﹣2时，|y|≥2，则|x|+|y|＞1成立，即充分性成立，满足条件．D．当且，则|x|+|y|≥1，等取等号时，不等式不成立，即充分性不成立，不满足条件．故选：C．15．图中曲线的方程可以是（）A．（x+y﹣1）•（x2+y2﹣1）=0 B．C．D．【考点】曲线与方程．【分析】由图象可知曲线的方程可以是x2+y2=1或x+y﹣1=0（x2+y2≥1），即可得出结论．【解答】解：由图象可知曲线的方程可以是x2+y2=1或x+y﹣1=0（x2+y2≥1），故选C．16．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2∉M且，若M⊆{0，1，2，3，4，5}，则满足条件M的个数是（）A．11 B．12 C．15 D．16【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由题意M是集合{2，3，4，5}的非空子集，且2，4不同时出现，同时出现有4个，即可得出结论．【解答】解：由题意M是集合{2，3，4，5}的非空子集，有15个，且2，4不同时出现，同时出现有4个，故满足题意的M有11个，故选：A．三、解答题（本大题满分76分）17．已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 【分析】（1）设BD 的中点为O ，连结OA ，OC ，则OA ⊥平面BCD ．由经能求出S 圆锥侧．（2）该几何体的体积V=（S △BCD +S 半圆）•AO ，由此能求出结果． 【解答】解：（1）设BD 的中点为O ，连结OA ，OC ， ∵A 是圆锥的顶点，BD 是圆锥底面的直径， ∴OA ⊥平面BCD ．∵BD=2，BC=1，AC 与底面所成角的大小为，过点A 作截面ABC ，ACD ，∴在Rt △AOC 中，OC=1，，AC=2，AO=，∴S 圆锥侧=πrl==2π．（2）该几何体为三棱锥与半个圆锥的组合体， ∵AO=，∠BCD=90°，∴CD=，该几何体的体积V=（S △BCD +S 半圆）•AO ==．18．已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0），直线l：x+y﹣2=0，F1，F2为双曲线Γ的两个焦点，l与双曲线Γ的一条渐近线平行且过其中一个焦点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），即可求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求出P的坐标，利用夹角公式，即可求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．【解答】解：（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），∴双曲线方程为x2﹣y2=2；（2），显然∠F1PF2的角平分线所在直线斜率k存在，且k＞0，，，于是．∴为所求．19．某租车公司给出的财务报表如下：1014年（1﹣12月）1015年（1﹣12月）1016年（1﹣11月）接单量（单）144632724012512550331996油费（元）214301962591305364653214963平均每单油费t（元）14.8214.49平均每单里程k（公里）1515每公里油耗a（元）0.70.70.7有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为．（1）分别计算2014，2015年该公司的空驶率的值（精确到0.01%）；（2）2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别精确到0.01元和0.01公里）【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据空驶率的计算公式为，带入计算即可；（2）根据T2016的值，求出k的值，从而求出2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程．【解答】解：（1），，∴2014、2015年，该公司空驶率分别为41.14%和38.00%．（2），T2016=38%﹣20%=18%．由，∴2016年前11个月的平均每单油费为12.98元，平均每单里程为15.71km．20．已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），{a n}是首项a1=15，公差d≠0的等差数列，{b n}满足：b n=f（a n）．（1）若a4，a7，a8成等比数列，求d的值；（2）若d=2，f（x）=|x﹣21|，求{b n}的前n项和S n；（3）若d=﹣1，f（x）=e x，T n=b1•b2•b3…b n，问n为何值时，T n的值最大？【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由a4，a7，a8成等比数列，可得=a4•a8，可得（15+6d）2=（15+3d）（15+7d），化简解出即可得出．．（2）依题意，a n=15+2（n﹣1）=2n+13，b n=|2n﹣8|，对n分类讨论，利用等差数列的求和公式即可得出．（3）依题意，a n=15﹣（n﹣1）=16﹣n，，利用指数运算性质、等差数列的求和公式及其二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵a4，a7，a8成等比数列，∴=a4•a8，∴（15+6d）2=（15+3d）（15+7d），化为：d2+2d=0，∵d≠0，∴d=﹣2．（2）依题意，a n=15+2（n﹣1）=2n+13，b n=|2n﹣8|，∴，∴．（3）依题意，a n=15﹣（n﹣1）=16﹣n，，，∴当n=15或16时，T n最大．21．对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）﹣f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2x是否为位差奇函数？说明理由；（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值为的位差奇函数，求φ的值；（3）若f（x）=x3+bx2+cx对任意属于区间中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据“位差奇函数”的定义．考查h（x）=g（x+m）﹣g（m）=2x+m ﹣2m=2m（2x﹣1）即可，（2）依题意，是奇函数，求出φ；（3）记h（x）=f（x+m）﹣f（m）=（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm=x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．假设h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需．【解答】解：（1）对于f（x）=2x+1，f（x+m）﹣f（m）=2（x+m）+1﹣（2m+1）=2x，∴对任意实数m，f（x+m）﹣f（m）是奇函数，即f（x）是位差值为任意实数m的“位差奇函数”；对于g（x）=2x，记h（x）=g（x+m）﹣g（m）=2x+m﹣2m=2m（2x﹣1），由h（x）+h（﹣x）=2m（2x﹣1）+2m（2﹣x﹣1）=0，当且仅当x=0等式成立，∴对任意实数m，g（x+m）﹣g（m）都不是奇函数，则g（x）不是“位差奇函数”；（2）依题意，是奇函数，∴（k∈Z）．（3）记h（x）=f（x+m）﹣f（m）=（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm=x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．依题意，h（x）对任意都不是奇函数，若h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需，且c∈R．2017年2月1日。

A 2A 3OA 4A 1松江区2015学年度第一学期高三期末考试数学（文科）试卷（满分150分，完卷时间120分钟） 2016.1一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集{}1,2,3,4U =，A 是U 的子集，满足{}}{1,2,32A = ，{}1,2,3A U = ，则集合A = ▲ ．2．若复数1z ai =+（i 是虚数单位）的模不大于2，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 3．行列式cos 20sin 20︒︒ sin 40cos 40︒︒的值是 ▲ ．4．若幂函数()x f的图像过点2,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则()12f -= ▲ ． 5．若等比数列{}n a 满足135a a +=，且公比2q =，则35a a += ▲ ．6．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为1S 、2,S 则有12:S S = ▲ ．7．如图所示的程序框图，输出的结果是 ▲ ． 8．将函数)32sin(π+=x y 图像上的所有点向右平移6π个单位，再将图像上所有点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），则所得图像的函数解析式为 ▲ ． 9．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球， 2只黑球,从中一次性随机摸出2只球,则恰好有1只是白球的概率为 ▲ （结果用数值表示）．10．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c . 已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则cos A =▲ ．11．若7(13)x -展开式的第4项为280，则()2lim nn x x x→∞+++= ▲ ．12．已知抛物线2:4C y x =的准线为l ，过(1,0)M 且斜率为k 的直线与l 相交于点A ，与抛物线C 的一个交点为B ．若2AM MB =，则 k = ▲ ．13．已知正六边形126A A A 内接于圆O ，点P 为圆O 上一点，向量OP 与i OA的夹角为i θ（1,2,,6i = ），若将126,,,θθθ 从小到大重新排列后恰好组成等差数列，第7题图则该等差数列的第3项为 ▲ ．14．已知函数()f x ，对任意的[0,)x ∈+∞，恒有(2)()f x f x +=成立， 且当[0,2)x ∈时，()2f x x =-.则方程1()f x x n=在区间[0,2)n （其中*n N ∈）上所有根的和为 ▲ ． 二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．已知双曲线2215x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为.A 2y x =±.B 5y x =± .C 3y x =± .D5y x =± 16．设,a b R ∈，则“a b >”是“a b >”的.A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件17. 在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱AB 、1AA 的中点，M 、N 分别是线段1D E 与1C F 上的点，则与平面ABCD 平行的直线MN 有.A 0条 .B 1条 .C 2条 .D 无数条18. 在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H 扩展”. 已知数列1，2. 第一次“H 扩展”后得到1，3，2；第二次“H 扩展”后得到1，4，3，5，2. 那么第10次“H 扩展”后得到的数列的项数为.A 1023 .B 1025 .C 513 .D 511三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，AB AC ⊥，4==BC AP ，︒=∠30ABC ,E D 、分别是AP BC 、的中点． （1）求三棱锥ABC P -的体积；（2）若异面直线AB 与ED 所成的角为θ，求θtan 的值.F E D 1C 1B 1A 1CB A DE PA BCD20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知函数2()2sin cos f x x x x =-+ （1）当[0,]2x π∈时，求函数 f (x )的值域；（2）求函数 y = f (x )的图像与直线 y =1相邻两个交点间的最短距离．21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含以下三个方面：①下潜时，平均速度为每分钟x 2x 升；②水底作业需x 米，每分钟用氧量为0.2升；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y 升． （1）将y 表示为x 的函数；（1）若[4,8]x ∈，求总用氧量y 的取值范围．22．（本题满分16分，第1小题3分，第2小题中5分、第2小题8分）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，C 、D 两点的坐标为(1,0),(1,0)C D -, 曲线E 上的动点P 满足PC PD +=E 上的点A 、B 满足OA OB ⊥． （1）求曲线E 的方程；（2）若点A 在第一象限，且OA =，求点A 的坐标； （3）求证：原点到直线AB 的距离为定值．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．对于数列{}n a ，称122311()()1k k k P a a a a a a a k -=-+-++-- （其中2,k k N ≥∈）为数列{}n a 的前k 项“波动均值”.若对任意的2,k k N ≥∈，都有1()()k k P a P a +<，则称数列{}n a 为“趋稳数列”． （1）若数列1，x ，2为“趋稳数列”，求x 的取值范围；（2）已知等差数列{}n a 的公差为d ，且10,0a d >>，其前n 项和记为n S ，试计算：()()()2323nn n n n C P S C P S C P S +++ （2,n n N ≥∈）； （3）若各项均为正数的等比数列{}n b 的公比(0,1)q ∈，求证:{}n b 是“趋稳数列”．松江区2015学年度第一学期高三期末考试数学（文科）试卷参考答案 2016.1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1． {}2,4． 2． ]3,3[-． 3．12． 4．14． 5． 20． 6． 3:2． 7． 15． 8． sin 4x ． 9． 0.6． 10． 14-．11． 25-． 12． ±． 13． 512π． 14． 2n ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．A ． 16．B ． 17．D ． 18．B ． 19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 解： (1)由已知得，,32,2==AB AC ……………………2分所以 ，体积33831==∆--PA S V ABC ABC P ……………………5分 (2)取AC 中点F ，连接EF DF ,，则DF AB //，所以EDF ∠就 是异面直线AB 与ED 所成的角θ. ……………………8分 由已知，52,32,2=====PC AB AD EA AC ，EF DF EF AB ⊥∴⊥, . ……………………10分在EFD Rt ∆中，5,3==EF DF ， 所以，315tan =θ. ……………………12分 20．（满分14分）本题有3小题，第1小题7分，第2小题3分，第,3小题4分． 解：（1）()f x 22sin cos x x x =-sin 222sin(2)3x x x π==-……………………4分当[0,]2x π∈时，22[,]333x πππ-∈-，所以()f x 的值域为[……7分（2）()2sin(2)13f x x π=-= ∴1sin(2)32x π-=，……………………9分 2236x k πππ-=+或52236x k πππ-=+，k Z ∈ ……………………12分∴当()1f x =时，两交点的最短距离为3π……………………14分 21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分解：（1）下潜所需时间为30x 分钟；返回所需时间为60x分钟 …………2分 ∴213060100.30.290y x x x =⋅+⨯+⋅ …………5分 1233x y x=++ (0)x > …………6分（2）1243x x +≥=，当且仅当123x x =，即6x =时取等号. …8分 因为[4,8]x ∈，所以1233x y x=++在[4,6]上单调递减，在[6,8]上单调递增所以6x =时，y 取最小值7 …………11分又4x =时，173y =；8x =时，176y =， …………13分所以y 的取值范围是1[7,7]3． …………14分22.（本题满分16分，第1小题3分，第2小题中5分、第2小题8分）解（1）由2CD =，2PC PD +=>知，曲线E 是以C 、D为焦点，长轴圆， ……………… 1分设其方程为22221x y a b+=，则有1a c ==，∴曲线E 的方程为22132x y +=……………… 3分（2）设直线OA 的方程为(0)y kx k =>，则直线OB 的方程为1(0)y x k k=-> 由则22236x y y kx ⎧+=⎨=⎩得222236x k x +=，解得212623x k =+.………………4分同理，由则222361x y y x k ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩解得2222623k x k =+. ………………5分由OA =知2243OA OB =， 即222226164(1)3(1)2323k k k k k +⋅=+⋅++………………6分 解得26k =，因点A在第一象限，故k = ………………7分此时点A 的坐标为 ………………8分 （3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当直线AB 平行于坐标轴时，由OA OB ⊥知A 、B 两点之一为y x =±与椭圆的交点，由22236x y y x ⎧+=⎨=±⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩此时原点到直线AB的距离为d =…10分 当直线AB 不平行于坐标轴时，设直线AB 的方程x my b =+，由22236x y x my b ⎧+=⎨=+⎩ 得222(23)4260m y bmy b +++-= ………………12分 由12120x x y y +=得1212()()0my b my b y y +++=即221212(1)()0m y y mb y y b ++++=因 2121222426,2323bm b y y y y m m -+=-=++ ………………14分 代入得 2222222264(1)02323b b m m b m m -+-+=++ 即2256(1)b m =+……15分 原点到直线AB的距离d ===………………16分23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 解：（1）由题意1212x x x -+-->，即12x x ->-………………2分解得32x > ………………4分 （2）122311()()1k k k P S S S S S S S k -=-+-++-- 231()1n a a a k =+++- ………………5分 ∵10,0a d >> ∴1(1)0n a a n d =+->， ………………6分∴2311()()12k n k P S a a a a d k =+++=+- ………………7分 ∴()()()2323nn n n n C P S C P S C P S +++231()nn n n a C C C =+++ 23(23)2n n nn d C C nC ++++ ………………8分 1(21)n a n =--+121111()2n n n n d nC nC nC ----+++ ………………9分1(21)n a n =--+(21)2nnd - …………………10分（3）由已知，设111(0)n n b b q b -=>，因10b >且01q <<，故对任意的2,*k k N ≥∈，都有1k k b b -> …………………11分 ∴对122311()()1k k k P b b b b b b b k -=-+-++--221122311(1)()(1)11k k k b q b b b b b b q q q k k ---=-+-++-=++++--2111(1)()(1)k k b q P b q q q k-+-=++++ ， …………………13分 因01q <<∴1(1)i k q q i k -><- ∴11k q->,1k q q->,21k q q->, ,21k k qq -->,∴2211(1)k k q q qk q--++++>-…………………15分∴22221(1)(1)(1)k k k k q q qk q q q q ---++++>-+++++∴22221(1)(1)1k k k q q q q q q q k k---+++++++++>- ∴2222111(1)(1)(1)(1)1k k k b q q q q b q q q q q k k----++++-+++++>- 即对任意的2,*k k N ≥∈，都有1()()k k P b P b +>，故{}n b 是“趋稳数列”………18分。

2016年上海市松江区高考数学一模试卷（文科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）已知全集U＝{1，2，3，4}，A是U的子集，满足A∩{1，2，3}＝{2}，A∪{1，2，3}＝U，则集合A＝．2．（4分）若复数z＝1+ai（i是虚数单位）的模不大于2，则实数a的取值范围是．3．（4分）行列式的值是．4．（4分）若幂函数f（x）的图象过点，则f﹣1（2）＝．5．（4分）若等比数列{a n}满足a1+a3＝5，且公比q＝2，则a3+a5＝．6．（4分）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则有S1：S2＝．7．（4分）如图所示的程序框图，输出的结果是．8．（4分）将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为．9．（4分）一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则恰好有1只是白球的概率为．10．（4分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c＝a，2sin B＝3sin C，则cos A的值为．11．（4分）若（1﹣3x）7展开式的第4项为280，则＝．12．（4分）已知抛物线C：y2＝4x的准线为l，过M（1，0）且斜率为k的直线与l相交于点A，与抛物线C的一个交点为B．若，则k＝．13．（4分）已知正六边形A1A2…A6内接于圆O，点P为圆O上一点，向量与的夹角为θi（i＝1，2，…，6），若将θ1，θ2，…，θ6从小到大重新排列后恰好组成等差数列，则该等差数列的第3项为．14．（4分）已知函数f（x），对任意的x∈[0，+∞），恒有f（x+2）＝f（x）成立，且当x∈[0，2）时，f（x）＝2﹣x．则方程在区间[0，2n）（其中n∈N*）上所有根的和为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）已知双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．16．（5分）设a，b∈R，则“|a|＞b”是“a＞b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件17．（5分）已知点E、F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、AA1的中点，点M、N分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有（）A．0条B．1条C．2条D．无数条18．（5分）在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H扩展”．已知数列1，2．第一次“H 扩展”后得到1，3，2；第二次“H扩展”后得到1，4，3，5，2．那么第10次“H扩展”后得到的数列的项数为（）A．1023B．1025C．513D．511三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，AC⊥AB，AP＝BC ＝4，∠ABC＝30°，D、E分别是BC、AP的中点，（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）若异面直线AB与ED所成角的大小为θ，求tanθ的值．20．（14分）已知函数．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）求函数y＝f（x）的图象与直线y＝1相邻两个交点间的最短距离．21．（14分）在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含以下三个方面：①下潜时，平均速度为每分钟x米，每分钟的用氧量为升；②水底作业需要10分钟，每分钟的用氧量为0.3升；③返回水面时，速度为每分钟米，每分钟用氧量为0.2升；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升．（1）将y表示为x的函数；（1）若x∈[4，8]，求总用氧量y的取值范围．22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，C、D两点的坐标为C （﹣1，0），D（1，0），曲线E上的动点P满足．又曲线E 上的点A、B满足OA⊥OB．（1）求曲线E的方程；（2）若点A在第一象限，且，求点A的坐标；（3）求证：原点到直线AB的距离为定值．23．（18分）对于数列{a n}，称P（a k）＝（其中k≥2，k∈N）为数列{a n}的前k项“波动均值”．若对任意的k≥2，k∈N，都有P（a k+1）＜P（a k），则称数列{a n}为“趋稳数列”．（1）若数列1，x，2为“趋稳数列”，求x的取值范围；（2）已知等差数列{a n}的公差为d，且a1＞0，d＞0，其前n项和记为S n，试计算：∁n2P（S2）+∁n3P（S3）+…+∁n n P（S n）（n≥2，n∈N）；（3）若各项均为正数的等比数列{b n}的公比q∈（0，1），求证：{b n}是“趋稳数列”．2016年上海市松江区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）已知全集U＝{1，2，3，4}，A是U的子集，满足A∩{1，2，3}＝{2}，A∪{1，2，3}＝U，则集合A＝{2，4}．【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4}，A是U的子集，满足A∩{1，2，3}＝{2}，A∪{1，2，3}＝U，∴A＝{2，4}，故答案为：{2，4}．2．（4分）若复数z＝1+ai（i是虚数单位）的模不大于2，则实数a的取值范围是[]．【解答】解：复数z＝1+ai（i是虚数单位）的模不大于2，即：1+a2≤4即a2≤3可得a∈故答案为：3．（4分）行列式的值是．【解答】解：＝cos20°cos40°﹣sin20°sin40°＝cos（20°+40°）＝cos60°＝．故答案为：．4．（4分）若幂函数f（x）的图象过点，则f﹣1（2）＝．【解答】解：∵幂函数f（x）的图象过点，∴f（2）＝2α＝，解得，α＝﹣，故f（x）＝，∴f﹣1（x）＝，∴f﹣1（2）＝＝；故答案为：．5．（4分）若等比数列{a n}满足a1+a3＝5，且公比q＝2，则a3+a5＝20．【解答】解：a3+a5＝q2（a1+a3）＝22×5＝20，故答案为：20．6．（4分）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则有S1：S2＝3：2．【解答】解：由题意可得：圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，所以等边圆柱的表面积为：S1＝6π，球的表面积为：S2＝4π．所以圆柱的表面积与球的表面积之比为S1：S2＝3：2．故答案为：3：2．7．（4分）如图所示的程序框图，输出的结果是15．【解答】解：当a＝1时，满足进行循环的条件，执行循环体后b＝3，a＝2；当a＝2时，满足进行循环的条件，执行循环体后b＝7，a＝3；当a＝3时，满足进行循环的条件，执行循环体后b＝15，a＝4；当a＝4时，不满足进行循环的条件，故输出的结果为：15．故答案为：158．（4分）将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为y＝sin4x．【解答】解：将函数的图象上的所有点向右平移个单位，得到函数＝sin2x，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为y＝sin4x．故答案为：y＝sin4x．9．（4分）一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则恰好有1只是白球的概率为．【解答】解：从中一次性随机摸出2只球，基本事件总数n＝，恰好有1只是白球的基本事件个数m＝，∴恰好有1只是白球的概率P＝＝．故答案为：．10．（4分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c＝a，2sin B＝3sin C，则cos A的值为﹣．【解答】解：在△ABC中，∵b﹣c＝a①，2sin B＝3sin C，∴2b＝3c②，∴由①②可得a＝2c，b＝．再由余弦定理可得cos A＝＝＝﹣，故答案为：﹣．11．（4分）若（1﹣3x）7展开式的第4项为280，则＝．【解答】解：∵（1﹣3x）7展开式的第4项为280，∴T4＝•（﹣3x）3＝﹣27×35x3＝280；∴x3＝﹣，解得x＝﹣；∴＝＝＝＝﹣．故答案为：﹣．12．（4分）已知抛物线C：y2＝4x的准线为l，过M（1，0）且斜率为k的直线与l相交于点A，与抛物线C的一个交点为B．若，则k＝．【解答】解：由题意，M到准线的距离为2，∵，∴B的横坐标为2，代入抛物线C：y2＝4x，可得y＝±2，∴B的坐标为（2，±2），∴k＝＝故答案为：．13．（4分）已知正六边形A1A2…A6内接于圆O，点P为圆O上一点，向量与的夹角为θi（i＝1，2，…，6），若将θ1，θ2，…，θ6从小到大重新排列后恰好组成等差数列，则该等差数列的第3项为．【解答】解：设组成等差数列的前三项为：θ1，θ2，θ3，如图，，则：；θ1，θ2，θ3成等差数列；∴2θ2＝θ1+θ3；即；∴；；即该等差数列的第三项为．故答案为：．14．（4分）已知函数f（x），对任意的x∈[0，+∞），恒有f（x+2）＝f（x）成立，且当x∈[0，2）时，f（x）＝2﹣x．则方程在区间[0，2n）（其中n∈N*）上所有根的和为n2．【解答】解：∵f（x+2）＝f（x）成立，∴f（x）是一个以2为周期的函数，当x∈[0，2）时，f（x）＝2﹣x；当x∈[2，4）时，f（x）＝f（x﹣2）＝2﹣（x﹣2）＝4﹣x；当x∈[4，6）时，f（x）＝f（x﹣2）＝4﹣（x﹣2）＝6﹣x；…当x∈[2n﹣2，2n），f（x）＝2n﹣x，记g（x）＝x，由图可知，f（x）＝g（x）在区间[2i﹣2，2i）（i＝1，2，3，…，n）各有一解，分别记为：x1，x2，x3，…，x n，下面考察x1与x n的数量关系，令2﹣x＝x，解得x1＝；再令2n﹣x＝x，解得x n＝，所以，x1+x n＝+＝2n（+）＝2n，同理，x2+x n﹣1＝2n，x3+x n﹣2＝2n，…，因此，x1+x2+x3+…+x n＝•2n＝n2，故答案为：n2．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）已知双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【解答】解：∵抛物线y2＝12x的焦点为（3，0），∴双曲线的一个焦点为（3，0），即c＝3．双曲线可得∴m+5＝9，∴m＝4，∴双曲线的渐近线方程为：．故选：A．16．（5分）设a，b∈R，则“|a|＞b”是“a＞b”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“|a|＞b”⇒a＞b或﹣a＞b，∴“a＞b”⇒“|a|＞b”，∵|a|≥a，∴|a|＞b．反之不成立，例如取a＝﹣3，b＝2，虽然|a|＞b，但是﹣3＞2不成立．∴“|a|＞b”是“a＞b”的必要不充分条件．故选：B．17．（5分）已知点E、F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、AA1的中点，点M、N分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有（）A．0条B．1条C．2条D．无数条【解答】解：取BB1的中点H，连接FH，则FH∥C1D，连接HE，在D1E上任取一点M，过M在面D1HE中，作MG平行于HO，其中O为线段D1E的中点，交D1H于G，再过G作GN∥FH，交C1F于N，连接MN，O在平面ABCD的正投影为K，连接KB，则OH∥KB，由于GM∥HO，HO∥KB，KB⊂平面ABCD，GM⊄平面ABCD，所以GM∥平面ABCD，同理由NG∥FH，可推得NG∥平面ABCD，由面面平行的判定定理得，平面MNG∥平面ABCD，则MN∥平面ABCD．由于M为D1E上任一点，故这样的直线MN有无数条．故选：D．18．（5分）在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H扩展”．已知数列1，2．第一次“H 扩展”后得到1，3，2；第二次“H扩展”后得到1，4，3，5，2．那么第10次“H扩展”后得到的数列的项数为（）A．1023B．1025C．513D．511【解答】解：设第n次“H扩展”后得到的数列的项数为a n，则第n+1次“H扩展”后得到的数列的项数为a n+1＝2a n﹣1，∴＝2，又∵a1﹣1＝3﹣1＝2，∴{a n﹣1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n﹣1＝2•2n﹣1，∴a n＝2n+1，∴a10＝210+1＝1025；故选：B．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，AC⊥AB，AP＝BC ＝4，∠ABC＝30°，D、E分别是BC、AP的中点，（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）若异面直线AB与ED所成角的大小为θ，求tanθ的值．【解答】解：（1）三棱锥P﹣ABC中，∵P A⊥平面ABC，AC⊥AB，AP＝BC＝4，∠ABC＝30°，D、E分别是BC、AP 的中点，∴AC＝2，AB＝2，…（2分）＝•P A＝．…（5分）所以，体积V P﹣ABC（2）取AC中点F，连接DF，EF，则AB∥DF，所以∠EDF就是异面直线AB与ED所成的角θ．…（7分）由已知，AC＝EA＝AD＝2，AB＝2，PC＝2，∵AB⊥EF，∴DF⊥EF．…（10分）在Rt△EFD中，DF＝，EF＝，所以，tanθ＝．…（12分）20．（14分）已知函数．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）求函数y＝f（x）的图象与直线y＝1相邻两个交点间的最短距离．【解答】解：（1）f（x）＝＝，当时，，所以f（x）的值域为．（2）令，∴，故或，k∈Z，∴当函数y＝f（x）的图象和直线y＝1时的两交点的最短距离为．21．（14分）在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含以下三个方面：①下潜时，平均速度为每分钟x米，每分钟的用氧量为升；②水底作业需要10分钟，每分钟的用氧量为0.3升；③返回水面时，速度为每分钟米，每分钟用氧量为0.2升；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升．（1）将y表示为x的函数；（1）若x∈[4，8]，求总用氧量y的取值范围．【解答】解：（1）依题意，下潜所需时间为分钟；返回所需时间为分钟，∴，整理得：（x＞0）；（2）由基本不等式可知，当且仅当即x＝6时取等号，因为x∈[4，8]，所以在[4，6]上单调递减、在[6，8]上单调递增，所以当x＝6时，y取最小值7，又因为当x＝4时；当x＝8时，所以y的取值范围是：．22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，C、D两点的坐标为C（﹣1，0），D（1，0），曲线E上的动点P满足．又曲线E 上的点A、B满足OA⊥OB．（1）求曲线E的方程；（2）若点A在第一象限，且，求点A的坐标；（3）求证：原点到直线AB的距离为定值．【解答】（1）解：由|CD|＝2，知，曲线E是以C、D为焦点，长轴的椭圆，（1分）设其方程为，则有，∴曲线E的方程为（3分）（2）解：设直线OA的方程为y＝kx（k＞0），则直线OB的方程为由得2x2+3k2x2＝6，解得（4分）同理，由则解得．（5分）由知4|OA|2＝3|OB|2，即（6分）解得k2＝6，因点A在第一象限，故，（7分）此时点A的坐标为（8分）（3）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB平行于坐标轴时，由OA⊥OB知A、B两点之一为y＝±x与椭圆的交点，由解得此时原点到直线AB的距离为（10分）当直线AB不平行于坐标轴时，设直线AB的方程x＝my+b，由得（2m2+3）y2+4bmy+2b2﹣6＝0（12分）由x1x2+y1y2＝0得（my1+b）（my2+b）+y1y2＝0即因（14分）代入得即5b2＝6（m2+1）（15分）原点到直线AB的距离（16分）23．（18分）对于数列{a n}，称P（a k）＝（其中k≥2，k∈N）为数列{a n}的前k项“波动均值”．若对任意的k≥2，k∈N，都有P（a k+1）＜P（a k），则称数列{a n}为“趋稳数列”．（1）若数列1，x，2为“趋稳数列”，求x的取值范围；（2）已知等差数列{a n}的公差为d，且a1＞0，d＞0，其前n项和记为S n，试计算：∁n2P（S2）+∁n3P（S3）+…+∁n n P（S n）（n≥2，n∈N）；（3）若各项均为正数的等比数列{b n}的公比q∈（0，1），求证：{b n}是“趋稳数列”．【解答】解：（1）由题意，，即|1﹣x|＞|x﹣2|；解得，．（2）＝，∵a1＞0，d＞0，∴a n＝a1+（n﹣1）d＞0，∴；∴＝＝＝；（3）证明：由已知，设，＞b k，因b1＞0且0＜q＜1，故对任意的k≥2，k∈N*，都有b k﹣1∴对＝，因0＜q＜1，∴q i＞q k﹣1（i＜k﹣1）；∴1＞q k﹣1，q＞q k﹣1，q2＞q k﹣1，…，q k﹣2＞q k﹣1，∴1+q+q2+…+q k﹣2＞（k﹣1）q k﹣1，∴k（1+q+q2+…+q k﹣2）＞（k﹣1）（1+q+q2+…+q k﹣2+q k﹣1）∴∴，即对任意的k≥2，k∈N*，都有P（b k）＞P（b k+1），故{b n}是“趋稳数列”．。

2016年上海市松江区高考数学一模试卷（文科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集U={1，2，3，4}，A是U的子集，满足A∩{1，2，3}={2}，A∪{1，2，3}=U，则集合A= ．2．若复数z=1+ai（i是虚数单位）的模不大于2，则实数a的取值范围是．3．行列式的值是．4．若幂函数f（x）的图象过点，则f﹣1（2）= ．5．若等比数列{a n}满足a1+a3=5，且公比q=2，则a3+a5= ．6．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则有S1：S2= ．7．如图所示的程序框图，输出的结果是．8．将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为．9．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则恰好有1只是白球的概率为．10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．11．若（1﹣3x）7展开式的第4项为280，则= ．12．已知抛物线C：y2=4x的准线为l，过M（1，0）且斜率为k的直线与l相交于点A，与抛物线C的一个交点为B．若，则k= ．13．已知正六边形A1A2…A6内接于圆O，点P为圆O上一点，向量与的夹角为θi（i=1，2，…，6），若将θ1，θ2，…，θ6从小到大重新排列后恰好组成等差数列，则该等差数列的第3项为．14．已知函数f（x），对任意的x∈[0，+∞），恒有f（x+2）=f（x）成立，且当x∈[0，2）时，f（x）=2﹣x．则方程在区间[0，2n）（其中n∈N*）上所有根的和为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．16．设a，b∈R，则“|a|＞b”是“a＞b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件17．已知点E、F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、AA1的中点，点M、N分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有（）A．0条B．1条C．2条D．无数条18．在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H扩展”．已知数列1，2．第一次“H扩展”后得到1，3，2；第二次“H 扩展”后得到1，4，3，5，2．那么第10次“H扩展”后得到的数列的项数为（）A．1023 B．1025 C．513 D．511三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分别是BC、AP的中点，（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）若异面直线AB与ED所成角的大小为θ，求tanθ的值．20．已知函数．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）求函数y=f（x）的图象与直线y=1相邻两个交点间的最短距离．21．在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含以下三个方面：①下潜时，平均速度为每分钟x米，每分钟的用氧量为升；②水底作业需要10分钟，每分钟的用氧量为0.3升；③返回水面时，速度为每分钟米，每分钟用氧量为0.2升；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升．（1）将y表示为x的函数；（1）若x∈[4，8]，求总用氧量y的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，C、D两点的坐标为C（﹣1，0），D（1，0），曲线E上的动点P满足．又曲线E上的点A、B满足OA⊥OB．（1）求曲线E的方程；（2）若点A在第一象限，且，求点A的坐标；（3）求证：原点到直线AB的距离为定值．23．对于数列{a n}，称P（a k）=（其中k≥2，k∈N）为数列{a n}的前k项“波动均值”．若对任意的k≥2，k∈N，都有P（a k+1）＜P（a k），则称数列{a n}为“趋稳数列”．（1）若数列1，x，2为“趋稳数列”，求x的取值范围；（2）已知等差数列{a n}的公差为d，且a1＞0，d＞0，其前n项和记为S n，试计算：C n2P（S2）+C n3P（S3）+…+C n n P（S n）（n≥2，n∈N）；（3）若各项均为正数的等比数列{b n}的公比q∈（0，1），求证：{b n}是“趋稳数列”．2016年上海市松江区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集U={1，2，3，4}，A是U的子集，满足A∩{1，2，3}={2}，A∪{1，2，3}=U，则集合A= {2，4} ．【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】全集U和其子集A、B都是用列举法给出的，且都含有几个元素，直接运用交、并的概念即可解答【解答】解：∵全集U={1，2，3，4}，A是U的子集，满足A∩{1，2，3}={2}，A∪{1，2，3}=U，∴A={2，4}，故答案为：{2，4}．【点评】本题考查了交、并混合运算，是概念题．2．若复数z=1+ai（i是虚数单位）的模不大于2，则实数a的取值范围是[] ．【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算．【专题】计算题．【分析】由于复数的模不大于2，可得不等式，然后求解即可．【解答】解：复数z=1+ai（i是虚数单位）的模不大于2，即：1+a2≤4即a2≤3可得 a∈故答案为：【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的混合运算，是基础题．3．行列式的值是．【考点】二阶行列式的定义．【专题】计算题；方程思想；综合法；矩阵和变换．【分析】利用二阶行列式展开法则和余弦函数加法定理能求出结果．【解答】解：=cos20°cos40°﹣sin20°sin40°=cos（20°+40°）=cos60°=．故答案为：．【点评】本题考查二阶行列式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余弦函数加法定理的合理运用．4．若幂函数f（x）的图象过点，则f﹣1（2）= ．【考点】反函数；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由题意知f（2）=2α=，从而可得f（x）=，f﹣1（x）=，从而解得．【解答】解：∵幂函数f（x）的图象过点，∴f（2）=2α=，解得，α=﹣，故f（x）=，∴f﹣1（x）=，∴f﹣1（2）==；故答案为：．【点评】本题考查了幂函数的应用及反函数的应用．5．若等比数列{a n}满足a1+a3=5，且公比q=2，则a3+a5= 20 ．【考点】等比数列的通项公式．【专题】转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．【解答】解：a3+a5=q2（a1+a3）=22×5=20，故答案为：20．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则有S1：S2= 3：2 ．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设为球的半径为1，结合圆柱的表面积的公式以及球的表面积即可得到答案．【解答】解：由题意可得：圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，所以等边圆柱的表面积为：S1=6π，球的表面积为：S2=4π．所以圆柱的表面积与球的表面积之比为S1：S2=3：2．故答案为：3：2．【点评】本题考查几何体的表面积，考查计算能力，特殊值法，在解题中有是有独到功效，是基础题．7．如图所示的程序框图，输出的结果是15 ．【考点】程序框图．【专题】操作型；算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当a=1时，满足进行循环的条件，执行循环体后b=3，a=2；当a=2时，满足进行循环的条件，执行循环体后b=7，a=3；当a=3时，满足进行循环的条件，执行循环体后b=15，a=4；当a=4时，不满足进行循环的条件，故输出的结果为：15．故答案为：15【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．8．将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为y=sin4x ．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】阅读型．【分析】按照左加右减的原则，求出函数所有点向右平移个单位的解析式，然后求出将图象上所有点的横坐标变为原来的倍时的解析式即可．【解答】解：将函数的图象上的所有点向右平移个单位，得到函数=sin2x，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为y=sin4x．故答案为：y=sin4x．【点评】本题是基础题，考查函数的图象的平移与伸缩变换，注意x的系数与函数平移的方向，易错题．9．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则恰好有1只是白球的概率为．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【专题】概率与统计．【分析】从中一次性随机摸出2只球，基本事件总数n=，恰好有1只是白球的基本事件个数m=，由此能求出恰好有1只是白球的概率．【解答】解：从中一次性随机摸出2只球，基本事件总数n=，恰好有1只是白球的基本事件个数m=，∴恰好有1只是白球的概率P==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意等可能事件概率计算公式的合理运用．10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为﹣．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b=，再由余弦定理求得cosA=的值．【解答】解：在△ABC中，∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC，∴2b=3c ②，∴由①②可得a=2c，b=．再由余弦定理可得 cosA===﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．11．若（1﹣3x）7展开式的第4项为280，则= ．【考点】二项式系数的性质；极限及其运算．【专题】对应思想；转化法；二项式定理．【分析】根据二项式展开式的第4项求出x的值，再利用等比数列的前n项和求极限．【解答】解：∵（1﹣3x）7展开式的第4项为280，∴T4=•（﹣3x）3=﹣27×35x3=280；∴x3=﹣，解得x=﹣；∴====﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了二项式展开式的应用问题，也考查了等比数列前n项和的应用问题，是基础题目．12．已知抛物线C：y2=4x的准线为l，过M（1，0）且斜率为k的直线与l相交于点A，与抛物线C的一个交点为B．若，则k= ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出B的坐标，即可求出直线的斜率．【解答】解：由题意，M到准线的距离为2，∵，∴B的横坐标为2，代入抛物线C：y2=4x，可得y=±2，∴B的坐标为（2，±2），∴k==故答案为：．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．已知正六边形A1A2…A6内接于圆O，点P为圆O上一点，向量与的夹角为θi（i=1，2，…，6），若将θ1，θ2，…，θ6从小到大重新排列后恰好组成等差数列，则该等差数列的第3项为．【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题；数形结合；综合法；等差数列与等比数列；平面向量及应用．【分析】可假设该等差数列的前三项分别为θ1，θ2，θ3，然后画出图形，通过图形便可看出，根据该数列为等差数列便可求出θ1，从而求出θ3，即得出该等差数列的第三项的值．【解答】解：设组成等差数列的前三项为：θ1，θ2，θ3，如图，，则：；θ1，θ2，θ3成等差数列；∴2θ2=θ1+θ3；即；∴；；即该等差数列的第三项为．故答案为：．【点评】考查对圆内接正六边形的认识，数形结合解题的方法，等差数列的概念，及等差中项的概念．14．已知函数f（x），对任意的x∈[0，+∞），恒有f（x+2）=f（x）成立，且当x∈[0，2）时，f（x）=2﹣x．则方程在区间[0，2n）（其中n∈N*）上所有根的和为n2．【考点】抽象函数及其应用．【专题】规律型；数形结合法；转化法；函数的性质及应用．【分析】先根据问题的条件可以分析出：当x∈[2n﹣2，2n），f（x）=2n﹣x，再结合函数的图象得出x1+x n=+=2n（+）=2n，从而可以求出所有根之和．【解答】解：∵f（x+2）=f（x）成立，∴f（x）是一个以2为周期的函数，当x∈[0，2）时，f（x）=2﹣x；当x∈[2，4）时，f（x）=f（x﹣2）=2﹣（x﹣2）=4﹣x；当x∈[4，6）时，f（x）=f（x﹣2）=4﹣（x﹣2）=6﹣x；…当x∈[2n﹣2，2n），f（x）=2n﹣x，记g（x）=x，由图可知，f（x）=g（x）在区间[2i﹣2，2i）（i=1，2，3，…，n）各有一解，分别记为：x1，x2，x3，…，x n，下面考察x1与x n的数量关系，令2﹣x=x，解得x1=；再令2n﹣x=x，解得x n=，所以，x1+x n=+=2n（+）=2n，同理，x2+x n﹣1=2n，x3+x n﹣2=2n，…，因此，x1+x2+x3+…+x n=•2n=n2，故答案为：n2．【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，涉及函数的周期性，解析式，图象交点，以及方程根之间数量关系的分析与确立，体现了数形结合的解题思想，属于难题．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【考点】圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．【专题】计算题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知条件求出双曲线的一个焦点为（3，0），可得m+5=9，求出m=4，由此能求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵抛物线y2=12x的焦点为（3，0），∴双曲线的一个焦点为（3，0），即c=3．双曲线可得∴m+5=9，∴m=4，∴双曲线的渐近线方程为：．故选：A．【点评】本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．16．设a，b∈R，则“|a|＞b”是“a＞b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】“|a|＞b”⇒a＞b或﹣a＞b．“a＞b”⇒“|a|＞b”，正确，由于|a|≥a，可得|a|＞b．反之不成立，例如取a=﹣3，b=2，虽然|a|＞b，但是﹣3＞2不成立．【解答】解：“|a|＞b”⇒a＞b或﹣a＞b，∴“a＞b”⇒“|a|＞b”，∵|a|≥a，∴|a|＞b．反之不成立，例如取a=﹣3，b=2，虽然|a|＞b，但是﹣3＞2不成立．∴“|a|＞b”是“a＞b”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了绝对值不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．已知点E、F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、AA1的中点，点M、N分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有（）A．0条B．1条C．2条D．无数条【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】取BB1的中点H，连接FH，在D1E上任取一点M，过M在面D1HE中，作MG平行于HO，其中O为线段D1E的中点，交D1H于G，再过G作GN∥FH，交C1F于N，连接MN，根据线面平行的判定定理，得到GM∥平面ABCD，NG∥平面ABCD，再根据面面平行的判断定理得到平面MNG∥平面ABCD，由面面平行的性质得到则MN∥平面ABCD，由于M是任意的，故MN有无数条．【解答】解：取BB1的中点H，连接FH，则FH∥C1D，连接HE，在D1E上任取一点M，过M在面D1HE中，作MG平行于HO，其中O为线段D1E的中点，交D1H于G，再过G作GN∥FH，交C1F于N，连接MN，O在平面ABCD的正投影为K，连接KB，则OH∥KB，由于GM∥HO，HO∥KB，KB⊂平面ABCD，GM⊄平面ABCD，所以GM∥平面ABCD，同理由NG∥FH，可推得NG∥平面ABCD，由面面平行的判定定理得，平面MNG∥平面ABCD，则MN∥平面ABCD．由于M为D1E上任一点，故这样的直线MN有无数条．故选：D．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，主要是直线与平面平行的判断和面面平行的判定与性质，考查空间想象能力和简单推理能力．18．在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H扩展”．已知数列1，2．第一次“H扩展”后得到1，3，2；第二次“H 扩展”后得到1，4，3，5，2．那么第10次“H扩展”后得到的数列的项数为（）A．1023 B．1025 C．513 D．511【考点】数列的函数特性．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】化简可得=2，从而可得{a n﹣1}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而解得．【解答】解：设第n次“H扩展”后得到的数列的项数为a n，则第n+1次“H扩展”后得到的数列的项数为a n+1=2a n﹣1，∴=2，又∵a1﹣1=3﹣1=2，∴{a n﹣1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n﹣1=2•2n﹣1，∴a n=2n+1，∴a10=210+1=1025；故选B．【点评】本题考查了等比数列的性质的判断与应用，关键在于构造等比数列．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分别是BC、AP的中点，（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）若异面直线AB与ED所成角的大小为θ，求tanθ的值．【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间角．【分析】（1）三棱锥P﹣ABC中，由PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分别是BC、AP的中点，知AC=2，AB=2，由此能求出三棱锥P﹣ABC的体积．（2）取AC中点F，连接DF，EF，则AB∥DF，所以∠EDF就是异面直线AB与ED所成的角θ，由此能求出tanθ．【解答】解：（1）三棱锥P﹣ABC中，∵PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分别是BC、AP的中点，∴AC=2，AB=2，…所以，体积V P﹣ABC=•PA=．…（2）取AC中点F，连接DF，EF，则AB∥DF，所以∠EDF就是异面直线AB与ED所成的角θ．…由已知，AC=EA=AD=2，AB=2，PC=2，∵AB⊥EF，∴DF⊥EF．…在Rt△EFD中，DF=，EF=，所以，tanθ=．…【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．20．已知函数．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）求函数y=f（x）的图象与直线y=1相邻两个交点间的最短距离．【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的值域．（2）令，求得x的值，可得结论．【解答】解：（1）f（x）==，当时，，所以f（x）的值域为．（2）令，∴，故或，k∈Z，∴当函数y=f（x）的图象和直线 y=1时的两交点的最短距离为．【点评】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，函数的零点与方程的根的关系，属于基础题．21．在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含以下三个方面：①下潜时，平均速度为每分钟x米，每分钟的用氧量为升；②水底作业需要10分钟，每分钟的用氧量为0.3升；③返回水面时，速度为每分钟米，每分钟用氧量为0.2升；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升．（1）将y表示为x的函数；（1）若x∈[4，8]，求总用氧量y的取值范围．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）通过速度、时间与路程之间的关系可知下潜所需时间为分钟、返回所需时间为分钟，进而列式可得结论；（2）通过基本不等式可知及x∈[4，8]可知在[4，6]上单调递减、在[6，8]上单调递增，比较当x=4、8时的取值情况即得结论．【解答】解：（1）依题意，下潜所需时间为分钟；返回所需时间为分钟，∴，整理得：（x＞0）；（2）由基本不等式可知，当且仅当即x=6时取等号，因为x∈[4，8]，所以在[4，6]上单调递减、在[6，8]上单调递增，所以当x=6时，y取最小值7，又因为当x=4时；当x=8时，所以y的取值范围是：．【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．22．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，C、D两点的坐标为C（﹣1，0），D（1，0），曲线E上的动点P满足．又曲线E上的点A、B满足OA⊥OB．（1）求曲线E的方程；（2）若点A在第一象限，且，求点A的坐标；（3）求证：原点到直线AB的距离为定值．【考点】轨迹方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由|CD|=2，知，曲线E是以C、D为焦点，长轴的椭圆，即可求曲线E的方程；（2）设直线OA的方程为y=kx（k＞0），则直线OB的方程为，与椭圆方程联立，由知4|OA|2=3|OB|2，即可求点A的坐标；（3）分类讨论，设直线AB的方程x=my+b，与椭圆方程联立，求出原点到直线AB的距离，即可证明原点到直线AB的距离为定值．【解答】（1）解：由|CD|=2，知，曲线E是以C、D为焦点，长轴的椭圆，设其方程为，则有，∴曲线E的方程为（2）解：设直线OA的方程为y=kx（k＞0），则直线OB的方程为由得2x2+3k2x2=6，解得同理，由则解得．由知4|OA|2=3|OB|2，即解得k2=6，因点A在第一象限，故，此时点A的坐标为（3）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB平行于坐标轴时，由OA⊥OB知A、B两点之一为y=±x与椭圆的交点，由解得此时原点到直线AB的距离为当直线AB不平行于坐标轴时，设直线AB的方程x=my+b，由得（2m2+3）y2+4bmy+2b2﹣6=0由x1x2+y1y2=0得（my1+b）（my2+b）+y1y2=0即因代入得即5b2=6（m2+1）原点到直线AB的距离【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．对于数列{a n}，称P（a k）=（其中k≥2，k∈N）为数列{a n}的前k项“波动均值”．若对任意的k≥2，k∈N，都有P（a k+1）＜P（a k），则称数列{a n}为“趋稳数列”．（1）若数列1，x，2为“趋稳数列”，求x的取值范围；（2）已知等差数列{a n}的公差为d，且a1＞0，d＞0，其前n项和记为S n，试计算：C n2P（S2）+C n3P（S3）+…+C n n P（S n）（n≥2，n∈N）；（3）若各项均为正数的等比数列{b n}的公比q∈（0，1），求证：{b n}是“趋稳数列”．【考点】数列的应用．【专题】计算题；证明题；阅读型；等差数列与等比数列；二项式定理；不等式．【分析】（1）由题意，从而解绝对值不等式即可；（2）由a1＞0，d＞0可化简为；从而得到=，从而解得．（3），从而判断大小以去绝对值号，化简可得，从而化为k（1+q+q2+…+q k﹣2）＞（k ﹣1）（1+q+q2+…+q k﹣2+q k﹣1），从而证明．【解答】解：（1）由题意，，即|1﹣x|＞|x﹣2|；解得，．（2）=，∵a1＞0，d＞0，∴a n=a1+（n﹣1）d＞0，∴；∴===；（3）证明：由已知，设，因b1＞0且0＜q＜1，故对任意的k≥2，k∈N*，都有b k﹣1＞b k，∴对=，因0＜q＜1，∴q i＞q k﹣1（i＜k﹣1）；∴1＞q k﹣1，q＞q k﹣1，q2＞q k﹣1，…，q k﹣2＞q k﹣1，∴1+q+q2+…+q k﹣2＞（k﹣1）q k﹣1，∴k（1+q+q2+…+q k﹣2）＞（k﹣1）（1+q+q2+…+q k﹣2+q k﹣1）∴∴，即对任意的k≥2，k∈N*，都有P（b k）＞P（b k+1），故{b n}是“趋稳数列”．【点评】本题考查了等比数列与等差数列的应用及二项式定理的应用，同时考查了学生的化简运算能力．。

2016年上海市松江区高考数学一模试卷（文科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集U={1，2，3，4}，A是U的子集，满足A∩{1，2，3}={2}，A∪{1，2，3}=U，则集合A= ．2．若复数z=1+ai（i是虚数单位）的模不大于2，则实数a的取值范围是．3．行列式的值是．4．若幂函数f（x）的图象过点，则f﹣1（2）= ．5．若等比数列{a n}满足a1+a3=5，且公比q=2，则a3+a5= ．6．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则有S1：S2= ．7．如图所示的程序框图，输出的结果是．8．将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为．9．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则恰好有1只是白球的概率为．10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为．11．若（1﹣3x）7展开式的第4项为280，则= ．12．已知抛物线C：y2=4x的准线为l，过M（1，0）且斜率为k的直线与l相交于点A，与抛物线C的一个交点为B．若，则k= ．13．已知正六边形A1A2…A6内接于圆O，点P为圆O上一点，向量与的夹角为θi（i=1，2，…，6），若将θ1，θ2，…，θ6从小到大重新排列后恰好组成等差数列，则该等差数列的第3项为．14．已知函数f（x），对任意的x∈[0，+∞），恒有f（x+2）=f（x）成立，且当x∈[0，2）时，f（x）=2﹣x．则方程在区间[0，2n）（其中n∈N*）上所有根的和为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．16．设a，b∈R，则“|a|＞b”是“a＞b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件17．已知点E、F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、AA1的中点，点M、N分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有（）A．0条B．1条C．2条D．无数条18．在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H扩展”．已知数列1，2．第一次“H扩展”后得到1，3，2；第二次“H 扩展”后得到1，4，3，5，2．那么第10次“H扩展”后得到的数列的项数为（）A．1023 B．1025 C．513 D．511三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分别是BC、AP的中点，（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）若异面直线AB与ED所成角的大小为θ，求tanθ的值．20．已知函数．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）求函数y=f（x）的图象与直线y=1相邻两个交点间的最短距离．21．在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含以下三个方面：①下潜时，平均速度为每分钟x米，每分钟的用氧量为升；②水底作业需要10分钟，每分钟的用氧量为0.3升；③返回水面时，速度为每分钟米，每分钟用氧量为0.2升；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升．（1）将y表示为x的函数；（1）若x∈[4，8]，求总用氧量y的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，C、D两点的坐标为C（﹣1，0），D（1，0），曲线E上的动点P满足．又曲线E上的点A、B满足OA⊥OB．（1）求曲线E的方程；（2）若点A在第一象限，且，求点A的坐标；（3）求证：原点到直线AB的距离为定值．23．对于数列{a n}，称P（a k）=（其中k≥2，k∈N）为数列{a n}的前k项“波动均值”．若对任意的k≥2，k∈N，都有P（a k+1）＜P（a k），则称数列{a n}为“趋稳数列”．（1）若数列1，x，2为“趋稳数列”，求x的取值范围；（2）已知等差数列{a n}的公差为d，且a1＞0，d＞0，其前n项和记为S n，试计算：C n2P（S2）+C n3P（S3）+…+C n n P（S n）（n≥2，n∈N）；（3）若各项均为正数的等比数列{b n}的公比q∈（0，1），求证：{b n}是“趋稳数列”．2016年上海市松江区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集U={1，2，3，4}，A是U的子集，满足A∩{1，2，3}={2}，A∪{1，2，3}=U，则集合A= {2，4} ．【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】全集U和其子集A、B都是用列举法给出的，且都含有几个元素，直接运用交、并的概念即可解答【解答】解：∵全集U={1，2，3，4}，A是U的子集，满足A∩{1，2，3}={2}，A∪{1，2，3}=U，∴A={2，4}，故答案为：{2，4}．【点评】本题考查了交、并混合运算，是概念题．2．若复数z=1+ai（i是虚数单位）的模不大于2，则实数a的取值范围是[] ．【考点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算．【专题】计算题．【分析】由于复数的模不大于2，可得不等式，然后求解即可．【解答】解：复数z=1+ai（i是虚数单位）的模不大于2，即：1+a2≤4即a2≤3可得 a∈故答案为：【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的混合运算，是基础题．3．行列式的值是．【考点】二阶行列式的定义．【专题】计算题；方程思想；综合法；矩阵和变换．【分析】利用二阶行列式展开法则和余弦函数加法定理能求出结果．【解答】解：=cos20°cos40°﹣sin20°sin40°=cos（20°+40°）=cos60°=．故答案为：．【点评】本题考查二阶行列式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余弦函数加法定理的合理运用．4．若幂函数f（x）的图象过点，则f﹣1（2）= ．【考点】反函数；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由题意知f（2）=2α=，从而可得f（x）=，f﹣1（x）=，从而解得．【解答】解：∵幂函数f（x）的图象过点，∴f（2）=2α=，解得，α=﹣，故f（x）=，∴f﹣1（x）=，∴f﹣1（2）==；故答案为：．【点评】本题考查了幂函数的应用及反函数的应用．5．若等比数列{a n}满足a1+a3=5，且公比q=2，则a3+a5= 20 ．【考点】等比数列的通项公式．【专题】转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．【解答】解：a3+a5=q2（a1+a3）=22×5=20，故答案为：20．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则有S1：S2= 3：2 ．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设为球的半径为1，结合圆柱的表面积的公式以及球的表面积即可得到答案．【解答】解：由题意可得：圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，所以等边圆柱的表面积为：S1=6π，球的表面积为：S2=4π．所以圆柱的表面积与球的表面积之比为S1：S2=3：2．故答案为：3：2．【点评】本题考查几何体的表面积，考查计算能力，特殊值法，在解题中有是有独到功效，是基础题．7．如图所示的程序框图，输出的结果是15 ．【考点】程序框图．【专题】操作型；算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：当a=1时，满足进行循环的条件，执行循环体后b=3，a=2； 当a=2时，满足进行循环的条件，执行循环体后b=7，a=3； 当a=3时，满足进行循环的条件，执行循环体后b=15，a=4； 当a=4时，不满足进行循环的条件， 故输出的结果为：15． 故答案为：15【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．8．将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为 y=sin4x ． 【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换． 【专题】阅读型．【分析】按照左加右减的原则，求出函数所有点向右平移个单位的解析式，然后求出将图象上所有点的横坐标变为原来的倍时的解析式即可．【解答】解：将函数的图象上的所有点向右平移个单位，得到函数=sin2x ，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 则所得的图象的函数解析式为y=sin4x ． 故答案为：y=sin4x ．【点评】本题是基础题，考查函数的图象的平移与伸缩变换，注意x 的系数与函数平移的方向，易错题．9．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则恰好有1只是白球的概率为．【考点】相互独立事件的概率乘法公式． 【专题】概率与统计．【分析】从中一次性随机摸出2只球，基本事件总数n=，恰好有1只是白球的基本事件个数m=，由此能求出恰好有1只是白球的概率．【解答】解：从中一次性随机摸出2只球，基本事件总数n=，恰好有1只是白球的基本事件个数m=，∴恰好有1只是白球的概率P==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意等可能事件概率计算公式的合理运用．10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b ﹣c=a ，2sinB=3sinC ，则cosA 的值为 ﹣ ．【考点】余弦定理；正弦定理． 【专题】解三角形．【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b=，再由余弦定理求得cosA=的值．【解答】解：在△ABC中，∵b﹣c= a ①，2sinB=3sinC，∴2b=3c ②，∴由①②可得a=2c，b=．再由余弦定理可得 cosA===﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．11．若（1﹣3x）7展开式的第4项为280，则= ．【考点】二项式系数的性质；极限及其运算．【专题】对应思想；转化法；二项式定理．【分析】根据二项式展开式的第4项求出x的值，再利用等比数列的前n项和求极限．【解答】解：∵（1﹣3x）7展开式的第4项为280，∴T4=•（﹣3x）3=﹣27×35x3=280；∴x3=﹣，解得x=﹣；∴====﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了二项式展开式的应用问题，也考查了等比数列前n项和的应用问题，是基础题目．12．已知抛物线C：y2=4x的准线为l，过M（1，0）且斜率为k的直线与l相交于点A，与抛物线C的一个交点为B．若，则k= ．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出B的坐标，即可求出直线的斜率．【解答】解：由题意，M到准线的距离为2，∵，∴B的横坐标为2，代入抛物线C：y2=4x，可得y=±2，∴B的坐标为（2，±2），∴k==故答案为：．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．已知正六边形A1A2…A6内接于圆O，点P为圆O上一点，向量与的夹角为θi（i=1，2，…，6），若将θ1，θ2，…，θ6从小到大重新排列后恰好组成等差数列，则该等差数列的第3项为．【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题；数形结合；综合法；等差数列与等比数列；平面向量及应用．【分析】可假设该等差数列的前三项分别为θ1，θ2，θ3，然后画出图形，通过图形便可看出，根据该数列为等差数列便可求出θ1，从而求出θ3，即得出该等差数列的第三项的值．【解答】解：设组成等差数列的前三项为：θ1，θ2，θ3，如图，，则：；θ1，θ2，θ3成等差数列；∴2θ2=θ1+θ3；即；∴；；即该等差数列的第三项为．故答案为：．【点评】考查对圆内接正六边形的认识，数形结合解题的方法，等差数列的概念，及等差中项的概念．14．已知函数f（x），对任意的x∈[0，+∞），恒有f（x+2）=f（x）成立，且当x∈[0，2）时，f（x）=2﹣x．则方程在区间[0，2n）（其中n∈N*）上所有根的和为n2．【考点】抽象函数及其应用．【专题】规律型；数形结合法；转化法；函数的性质及应用．【分析】先根据问题的条件可以分析出：当x∈[2n﹣2，2n），f（x）=2n﹣x，再结合函数的图象得出x1+x n=+=2n（+）=2n，从而可以求出所有根之和．【解答】解：∵f（x+2）=f（x）成立，∴f（x）是一个以2为周期的函数，当x∈[0，2）时，f（x）=2﹣x；当x∈[2，4）时，f（x）=f（x﹣2）=2﹣（x﹣2）=4﹣x；当x∈[4，6）时，f（x）=f（x﹣2）=4﹣（x﹣2）=6﹣x；…当x∈[2n﹣2，2n），f（x）=2n﹣x，记g（x）=x，由图可知，f（x）=g（x）在区间[2i﹣2，2i）（i=1，2，3，…，n）各有一解，分别记为：x1，x2，x3，…，x n，下面考察x1与x n的数量关系，令2﹣x=x，解得x1=；再令2n﹣x=x，解得x n=，所以，x1+x n=+=2n（+）=2n，同理，x2+x n﹣1=2n，x3+x n﹣2=2n，…，因此，x1+x2+x3+…+x n=•2n=n2，故答案为：n2．【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，涉及函数的周期性，解析式，图象交点，以及方程根之间数量关系的分析与确立，体现了数形结合的解题思想，属于难题．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【考点】圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．【专题】计算题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知条件求出双曲线的一个焦点为（3，0），可得m+5=9，求出m=4，由此能求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵抛物线y2=12x的焦点为（3，0），∴双曲线的一个焦点为（3，0），即c=3．双曲线可得∴m+5=9，∴m=4，∴双曲线的渐近线方程为：．故选：A．【点评】本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．16．设a，b∈R，则“|a|＞b”是“a＞b”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】“|a|＞b”⇒a＞b或﹣a＞b．“a＞b”⇒“|a|＞b”，正确，由于|a|≥a，可得|a|＞b．反之不成立，例如取a=﹣3，b=2，虽然|a|＞b，但是﹣3＞2不成立．【解答】解：“|a|＞b”⇒a＞b或﹣a＞b，∴“a＞b”⇒“|a|＞b”，∵|a|≥a，∴|a|＞b．反之不成立，例如取a=﹣3，b=2，虽然|a|＞b，但是﹣3＞2不成立．∴“|a|＞b”是“a＞b”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了绝对值不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．已知点E、F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB、AA1的中点，点M、N分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有（）A．0条B．1条C．2条D．无数条【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】取BB1的中点H，连接FH，在D1E上任取一点M，过M在面D1HE中，作MG平行于HO，其中O为线段D1E的中点，交D1H于G，再过G作GN∥FH，交C1F于N，连接MN，根据线面平行的判定定理，得到GM∥平面ABCD，NG∥平面ABCD，再根据面面平行的判断定理得到平面MNG∥平面ABCD，由面面平行的性质得到则MN∥平面ABCD，由于M是任意的，故MN有无数条．【解答】解：取BB1的中点H，连接FH，则FH∥C1D，连接HE，在D1E上任取一点M，过M在面D1HE中，作MG平行于HO，其中O为线段D1E的中点，交D1H于G，再过G作GN∥FH，交C1F于N，连接MN，O在平面ABCD的正投影为K，连接KB，则OH∥KB，由于GM∥HO，HO∥KB，KB⊂平面ABCD，GM⊄平面ABCD，所以GM∥平面ABCD，同理由NG∥FH，可推得NG∥平面ABCD，由面面平行的判定定理得，平面MNG∥平面ABCD，则MN∥平面ABCD．由于M为D1E上任一点，故这样的直线MN有无数条．故选：D．【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，主要是直线与平面平行的判断和面面平行的判定与性质，考查空间想象能力和简单推理能力．18．在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H扩展”．已知数列1，2．第一次“H扩展”后得到1，3，2；第二次“H 扩展”后得到1，4，3，5，2．那么第10次“H扩展”后得到的数列的项数为（）A．1023 B．1025 C．513 D．511【考点】数列的函数特性．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】化简可得=2，从而可得{a n﹣1}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而解得．【解答】解：设第n次“H扩展”后得到的数列的项数为a n，则第n+1次“H扩展”后得到的数列的项数为a n+1=2a n﹣1，∴=2，又∵a1﹣1=3﹣1=2，∴{a n﹣1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n﹣1=2•2n﹣1，∴a n=2n+1，∴a10=210+1=1025；故选B．【点评】本题考查了等比数列的性质的判断与应用，关键在于构造等比数列．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分别是BC、AP的中点，（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）若异面直线AB与ED所成角的大小为θ，求tanθ的值．【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间角．【分析】（1）三棱锥P﹣ABC中，由PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分别是BC、AP的中点，知AC=2，AB=2，由此能求出三棱锥P﹣ABC的体积．（2）取AC中点F，连接DF，EF，则AB∥DF，所以∠EDF就是异面直线AB与ED所成的角θ，由此能求出tanθ．【解答】解：（1）三棱锥P﹣ABC中，∵PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=4，∠ABC=30°，D、E分别是BC、AP的中点，∴AC=2，AB=2，…所以，体积V P﹣ABC=•PA=．…（2）取AC中点F，连接DF，EF，则AB∥DF，所以∠EDF就是异面直线AB与ED所成的角θ．…由已知，AC=EA=AD=2，AB=2，PC=2，∵AB⊥EF，∴DF⊥EF．…在Rt△EFD中，DF=，EF=，所以，tanθ=．…【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．20．已知函数．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）求函数y=f（x）的图象与直线y=1相邻两个交点间的最短距离．【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的值域．（2）令，求得x的值，可得结论．【解答】解：（1）f（x）==，当时，，所以f（x）的值域为．（2）令，∴，故或，k∈Z，∴当函数y=f（x）的图象和直线 y=1时的两交点的最短距离为．【点评】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，函数的零点与方程的根的关系，属于基础题．21．在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含以下三个方面：①下潜时，平均速度为每分钟x米，每分钟的用氧量为升；②水底作业需要10分钟，每分钟的用氧量为0.3升；③返回水面时，速度为每分钟米，每分钟用氧量为0.2升；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升．（1）将y表示为x的函数；（1）若x∈[4，8]，求总用氧量y的取值范围．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）通过速度、时间与路程之间的关系可知下潜所需时间为分钟、返回所需时间为分钟，进而列式可得结论；（2）通过基本不等式可知及x∈[4，8]可知在[4，6]上单调递减、在[6，8]上单调递增，比较当x=4、8时的取值情况即得结论．【解答】解：（1）依题意，下潜所需时间为分钟；返回所需时间为分钟，∴，整理得：（x＞0）；（2）由基本不等式可知，当且仅当即x=6时取等号，因为x∈[4，8]，所以在[4，6]上单调递减、在[6，8]上单调递增，所以当x=6时，y取最小值7，又因为当x=4时；当x=8时，所以y的取值范围是：．【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．22．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，C、D两点的坐标为C（﹣1，0），D（1，0），曲线E上的动点P满足．又曲线E上的点A、B满足OA⊥OB．（1）求曲线E的方程；（2）若点A在第一象限，且，求点A的坐标；（3）求证：原点到直线AB的距离为定值．【考点】轨迹方程．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由|CD|=2，知，曲线E是以C、D为焦点，长轴的椭圆，即可求曲线E的方程；（2）设直线OA的方程为y=kx（k＞0），则直线OB的方程为，与椭圆方程联立，由知4|OA|2=3|OB|2，即可求点A的坐标；（3）分类讨论，设直线AB的方程x=my+b，与椭圆方程联立，求出原点到直线AB的距离，即可证明原点到直线AB的距离为定值．【解答】（1）解：由|CD|=2，知，曲线E是以C、D为焦点，长轴的椭圆，设其方程为，则有，∴曲线E的方程为（2）解：设直线OA的方程为y=kx（k＞0），则直线OB的方程为由得2x2+3k2x2=6，解得同理，由则解得．由知4|OA|2=3|OB|2，即解得k2=6，因点A在第一象限，故，此时点A的坐标为（3）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB平行于坐标轴时，由OA⊥OB知A、B两点之一为y=±x与椭圆的交点，由解得此时原点到直线AB的距离为当直线AB不平行于坐标轴时，设直线AB的方程x=my+b，由得（2m2+3）y2+4bmy+2b2﹣6=0由x1x2+y1y2=0得（my1+b）（my2+b）+y1y2=0即因代入得即5b2=6（m2+1）原点到直线AB的距离【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．对于数列{a n}，称P（a k）=（其中k≥2，k∈N）为数列{a n}的前k项“波动均值”．若对任意的k≥2，k∈N，都有P（a k+1）＜P（a k），则称数列{a n}为“趋稳数列”．（1）若数列1，x，2为“趋稳数列”，求x的取值范围；（2）已知等差数列{a n}的公差为d，且a1＞0，d＞0，其前n项和记为S n，试计算：C n2P（S2）+C n3P（S3）+…+C n n P（S n）（n≥2，n∈N）；（3）若各项均为正数的等比数列{b n}的公比q∈（0，1），求证：{b n}是“趋稳数列”．【考点】数列的应用．【专题】计算题；证明题；阅读型；等差数列与等比数列；二项式定理；不等式．【分析】（1）由题意，从而解绝对值不等式即可；（2）由a1＞0，d＞0可化简为；从而得到=，从而解得．（3），从而判断大小以去绝对值号，化简可得，从而化为k（1+q+q2+…+q k﹣2）＞（k ﹣1）（1+q+q2+…+q k﹣2+q k﹣1），从而证明．【解答】解：（1）由题意，，即|1﹣x|＞|x﹣2|；解得，．（2）=，∵a1＞0，d＞0，∴a n=a1+（n﹣1）d＞0，∴；∴===；（3）证明：由已知，设，因b1＞0且0＜q＜1，故对任意的k≥2，k∈N*，都有b k﹣1＞b k，∴对=，因0＜q＜1，∴q i＞q k﹣1（i＜k﹣1）；∴1＞q k﹣1，q＞q k﹣1，q2＞q k﹣1，…，q k﹣2＞q k﹣1，∴1+q+q2+…+q k﹣2＞（k﹣1）q k﹣1，∴k（1+q+q2+…+q k﹣2）＞（k﹣1）（1+q+q2+…+q k﹣2+q k﹣1）∴∴，即对任意的k≥2，k∈N*，都有P（b k）＞P（b k+1），故{b n}是“趋稳数列”．【点评】本题考查了等比数列与等差数列的应用及二项式定理的应用，同时考查了学生的化简运算能力．。

2017年高考数学一模分类汇编--三角一、填空题汇编：（第1--6题4分/题；第7--12题5分/题）1、（17年普陀一模2） 若22ππα-<<，3sin 5α=，则cot 2α=2、（17年浦东一模8） 函数()3cos 3sin )f x x x x x =+-的最小正周期为3、（17年长宁/嘉定一模2） 函数sin()3y x πω=-（0ω>）的最小正周期是π，则ω=4、（17年长宁/嘉定一模9）如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，D 是BC 边上的一点，5AD =，7AC =，3DC =，则AB 的长为5、（17年杨浦一模4）若ABC ∆中，4=+b a ，︒=∠30C ，则ABC ∆面积的最大值是 .6、（17年松江一模5）已知(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，则函数()f x a b =⋅的最小正周期为7、（17年闵行一模1）集合[]{}cos(cos )0,0,x x x ππ=∈=_____________ ．（用列举法表示）8（17年松江一模）如右图，已知半径为1的扇形AOB ，60AOB ∠=︒，P 为弧AB 上的一个动点，则OP AB ⋅的取值范围是_____________．9、（17年静安一模2）．函数⎪⎭⎫⎝⎛+-=4sin 31)(2πx x f 的最小正周期为 ．10、（17年静安一模6）．已知为锐角，且，则________ ．11、（17年静安一模9）．直角三角形ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，点M 是三角形ABC 外接圆上任意一点，则AB AM ⋅的最大值为___________．12、（17年金山一模3）．如果5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值是 13、（17年金山一模4）．函数cos sin ()sin cos x xf x x x=的最小正周期是14、（17年虹口一模3）．设函数()sin cos f x x x =-，且()1f α=，则sin2α= ． 15、（17年虹口一模6）．已知角A 是ABC ∆的内角，则“1cos 2A =”是“3sin A =的条件（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）．16、（17年奉贤一模11）．参数方程[)πθθθθ2,0,sin 12cos2sin ∈⎪⎩⎪⎨⎧+=+=y x 表示的曲线的普通方程是_________.3cos()45πα+=sin α=17、（17年奉贤一模12）．已知函数()()sin cos 0,f x wx wx w x R =+>∈，若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增，且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称，则ω的值为____________.18、（17年崇明一模9）．已知,A B 分别是函数()2sin f x x ω=(0)ω>在y 轴右侧图像上的第一个最高点和第一个最低点，且2AOB π∠=，则该函数的最小正周期是19、（17年崇明一模11）．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数()y f x =的图像恰好经过k 个格点，则称函数()y f x =为k 阶格点函数，已知函数：①2y x =；②2sin y x =； ③1xy π=-；④cos()3y x π=+；其中为一阶格点函数的序号为 （注：把你认为正确的序号都填上）20、（17年宝山一模6）． 若函数cos sin sin cos x x y x x=的最小正周期为a π，则实数a 的值为二、选择题汇编：（5分/题） 1、（17年徐汇一模13）、“4x k ππ=+()k Z ∈”是“tan 1x =”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要2、（17年青浦一模13）、已知()sin3f x x π=，{1,2,3,4,5,6,7,8}A =现从集合A 中任取两个不同元素s 、t ，则使得()()0f s f t ⋅=的可能情况为 （ ）.A ．12种B ．13种C ．14种D ．15种3、（17年浦东一模13） 将cos 2y x =图像向左平移6π个单位，所得的函数为（ ） A. cos(2)3y x π=+ B. cos(2)6y x π=+ C. cos(2)3y x π=-D. cos(2)6y x π=- 4、（17年长宁/嘉定一模15）给出下列命题：① 存在实数α使3sin cos 2αα+=；② 直线2x π=-是函数sin y x =图像的一条对称轴；③ cos(cos )y x =（x R ∈）的值域是[cos1,1]；④ 若α、β都是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>；其中正确命题的题号为（ ）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④5、（17年长宁/嘉定一模16） 如果对一切实数x 、y ，不等式29cos sin 4y x a x y-≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. 4(,]3-∞ B. [3,)+∞ C. [- D. [3,3]-6、（17年杨浦一模13）若直线1=+bya x 通过点()θθsin ,c os P ，则下列不等式正确的是 （ ）（A ）122≤+b a （B ）122≥+b a （C ）11122≤+b a （D ）11122≥+ba7、（17年松江一模16）解不等式11()022x x -+>时，可构造函数1()()2x f x x =-，由()f x 在x R ∈是减函数及()(1)f x f >，可得1x <，用类似的方法可求得不等式263arcsin arcsin 0x x x x +++>的解集为（ ）A. (0,1]B. (1,1)-C. (1,1]-D. (1,0)-8、（17年虹口一模14）．已知函数()sin(2)3f x x π=+在区间[]0,a （其中0a >）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）．.A 02a <≤π.B 012a π<≤.C ,12a k k N ππ*=+∈ .D 22,12k a k k N <≤+∈πππ9、（17年奉贤一模15）．已知函数22sin ,()cos(),x x f x x x α⎧+⎪=⎨-++⎪⎩00x x ≥<([0,2)απ∈是奇函数，则α=（ ）A ．0 B ．2πC ．πD ．23π10、（17年崇明一模13）． 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）A. tan y x =B. 3xy = C. 13y x = D. lg ||y x =三、解答题汇编1、（17年徐汇一模18）、已知函数2sin ()1x xf x x -=；（1）当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域；（2）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若()2Af =4a =，5b c +=， 求△ABC 的面积；2、（17年青浦一模18）、本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.已知函数()()221cos 42f x x x x π⎛⎫=+--∈ ⎪⎝⎭R .（1） 求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值； （2）在ABC ∆中，若A B <，且()()12f A f B ==，求BCAB的值.3、（17年浦东一模13）已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ；（1）若3B π=，b =ABC 的面积S =a c +的值； （2）若22cos ()C BA BC AB AC c ⋅+⋅=，求角C ；4、（17年长宁/嘉定一模18）（14分） 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且28sin 2cos 272B C A +-=；（1）求角A 的大小；（2）若a =3b c +=，求b 和c 的值；5、（17年杨浦一模17）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题6分. 如图，某柱体实心铜质零件的截面边界是长度为55毫米线段AB 和88毫米的线段AC 以及圆心为P ，半径为PB 的一段圆弧BC 构成，其中︒=∠60BAC . （1）求半径PB 的长度；（2）现知该零件的厚度为3毫米，试求该零件的重量（每1立方厘米铜重8.9克，按四舍五入精确到0.1克）.6、（17年松江一模19）松江天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”，兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高，如图，记O 点为塔基、P 点为塔尖、 点P 在地面上的射影为点H ，在塔身OP 射影所在直线上选点A ，使仰角45HAP ︒∠=， 过O 点与OA 成120︒的地面上选B 点，使仰角45HBP ︒∠=（点A 、B 、O 都在同一水平 面上），此时测得27OAB ︒∠=，A 与B 之间距离为33.6米，试求： （1）塔高；（即线段PH 的长，精确到0.1米） （2）塔的倾斜度；（即OPH ∠的大小，精确到0.1︒）60° A B PC7、（17年松江一模18）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分．已知()23,1m =，2cos ,sin 2A n A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，A B C 、、是ABC △的内角． （1）当2A π=时，求n 的值；（2）若23C π=，3AB =，当m n ⋅取最大值时，求A 的大小及边BC 的长.8、（17年静安一模18）．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A （看做一点）的东偏南θ角方向2cos θ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，300 km 的海面P 处，并以20km / h 的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10km / h 的速度不断增大．(1) 问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A ，并说明理由； (2) 城市A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？9、（17年金山一模18）． 已知△ABC 中，1AC =，23ABC π∠=，设BAC x ∠=，记()f x AB BC =⋅； （1）求函数()f x 的解析式及定义域；（2）试写出函数()f x 的单调递增区间，并求方程1()6f x =的解；10、（17年虹口一模18）．（本题满分14分）如图，我海监船在D 岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A 处，此时测得其北偏东30︒方向与它相距20海里的B 处有一外国船只，且D 岛位于海监船正东18海里处．（1）求此时该外国船只与D 岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行．为了将该船拦截在离D 岛12海里的E 处（E 在B 的正南方向），不让其进入D 岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值(角度精确到0.1︒，速度精确到0.1海里/小时)．A11、（17年奉贤一模19）．（本题满分14分）本题共有1个小题，满分14分一艘轮船在江中向正东方向航行，在点观测到灯塔在一直线上，并与航线成角α()0900<<α．轮船沿航线前进b 米到达处，此时观测到灯塔在北偏西方向，灯塔在北偏东β()0900<<α方向，0090αβ<+<．求．（结果用,,b αβ的表达式表示）．12、（17年崇明一模18）．在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E正北55海里处有一个雷达观测站A ，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A相距B 处，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45θ︒+（其中sin θ=090θ︒︒<<）且与点A相距海里的位置C 处； （1）求该船的行驶速度；（单位：海里/小时） （2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断 它是否会进入警戒水域，并说明理由；P A B ，C A 45︒B CB。