邗江中学(集团)2014-2015学年高一下学期期中考试数学试题(普通班)

江苏省邗江中学2014-2015学年度第二学期高二数学期中试卷〔文科班卷〕一、填空题：1、集合A ={1，2，3，4}，B ={3，4，5，6}，如此=⋂B A ▲.2、函数f (x )＝)1ln(-x 的定义域为▲.3、假设“1-<x 〞是“a x <〞成立的必要条件，如此a 的最大值是▲.4、函数⎩⎨⎧≤>=0,30,log )(2x x x x f x ，如此)]0([(f f =▲. 5、R x a x x f ∈+=,)(3是奇函数，如此a =▲.6、假设命题p ：]2,1[∈∀x ，12+≤x a 是真命题，如此实数a 的取值范围是▲.7、假设6.06.0=a ，7.06.0=b ，7.02.1=c ，如此a ，b ，c 的大小关系为▲.8、函数]2,1[,32)(2-∈--=x x x x f 的最大值为▲.9、曲线34313+=x y 在点〔2，4〕处的切线方程为▲. 10、假设函数ax x x x f +-=232)(在1=x 处取得极值，如此=a ▲.11、函数x x y ln -=的单调增区间为▲.12、函数22log (1) (0)()2 (0)x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩，假设函数()()g x f x m =-有3个不同零点，如此实数m 的取值范围▲.13、函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=0,)2(0,1)(2x e a x ax x f x 为R 上的单调函数，如此实数a 的取值范围是▲. 14、函数1()()e x a f x a x=-∈R ．假设存在实数m ，n ，使得()0f x ≥的解集恰为[],m n ，如此a 的取值范围是▲.二、解答题：15、全集U=R ，函数)3lg(21)(x x x f -++=的定义域为集合A ，集合B=}2|{a x x <<-〔1〕求集合A ；〔2〕假设B A ⊆，求a 的取值范围。

2014-2015学年江苏省扬州市邗江中学高一（上）期中数学试卷一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．（答案请写在答题卡的指定位置）江苏省邗江中学2014-2015学年度第一学期高一数学期中试卷命题人魏跃兵霍庆元1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={1，3}，则C A B．2．（5分）已知a是实数，若集合{x|ax=1}是任何集合的子集，则a的值是．3．（5分）已知函数f（2x+1）=4x2，则f（5）=．4．（5分）函数y=ln（3﹣2x）的定义域是．5．（5分）设a=log1.20.9，b=1.10.8，则a，b的大小关系是．6．（5分）方程log3x+x=3的解的个数是．7．（5分）函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，3]的值域是．8．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则f（﹣2）=．9．（5分）函数f（x）=log2（x﹣1）的单调递增区间是．10．（5分）若f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，则f（﹣1）=．11．（5分）若函数y=a x（a＞0，a≠1）在区间x∈[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则实数a的值为．12．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，对于任意的x∈R，都满足f（﹣x）=f（x），且对于任意的a，b∈（﹣∞，0]，当a≠b时，都有＜0．若f（m+1）＜f（2），则实数m的取值范围是．13．（5分）函数f（x）=x2+bx+3满足f（2+x）=f（2﹣x），若f（m）＜0，则f （m+2）与f（log2π）的大小关系是f（m+2）f（log2π）．14．（5分）下列几个命题，其中正确的命题有．（填写所有正确命题的序号）①函数y=log2（x﹣3）+2的图象可由y=log2x的图象向上平移2个单位，向右平移3个单位得到；②函数的图象关于点（1，2）成中心对称；③在区间（0，+∞）上函数的图象始终在函数y=x的图象上方；④任一函数图象与垂直于x轴的直线都不可能有两个交点．二.解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字步骤．（请写在答题卡的指定位置）15．（10分）（1）计算log3+log3﹣log24；（2）已知+=3，求x+的值．16．（12分）设集合A={x|x＜﹣3，或x＞6}，B={x|3＜x＜7}．（1）求A∩B；（2）设C={x|x≥m}，且B∩C=B，求实数m的取值范围．17．（12分）设函数f（x）=（）10﹣ax，其中a为常数，且f（3）=．（1）求a的值；（2）若f（x）≥4，求x的取值范围．18．（15分）甲商店某种商品11月份（30天，11月1日为第一天）的销售价格P（元）与时间t（天）函数关系如图（一）所示，该商品日销售量Q（件）与时间t（天）函数关系如图（二）所示．（1）写出图（一）表示的销售价格与时间的函数关系式P=f（t）及其定义域，写出图（二）表示的日销售量与时间的函数关系式Q=g（t）及其定义域；（2）写出日销售金额M（元）与时间t的函数关系式M=h（t）及其定义域并求M的最大值．（注：日销售金额M=销售价格P×日销售量Q）．19．（15分）已知函数f（x）=，x∈（﹣1，1）．（1）用单调性的定义证明f（x）在x∈（﹣1，1）上是单调减函数；（2）若关于x的不等式f（x）≥a（x2﹣3x+2）对于任意x∈（﹣1，1）恒成立，求实数a的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）=ax2﹣|x|+2a﹣1 （a为实常数）．（1）判断函数f（x）的奇偶性并给出证明；（2）若函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若a＞0，设g（x）=|f（x）﹣x|在区间[﹣2，2]上的最大值为h（a），求h （a）的表达式．2014-2015学年江苏省扬州市邗江中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．（答案请写在答题卡的指定位置）江苏省邗江中学2014-2015学年度第一学期高一数学期中试卷命题人魏跃兵霍庆元1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，B={1，3}，则C A B{2，4} ．【解答】解：因为集合A={1，2，3，4}，B={1，3}，所以C A B={2，4}，故答案为：{2，4}．2．（5分）已知a是实数，若集合{x|ax=1}是任何集合的子集，则a的值是0．【解答】解：由于a是实数，若集合{x|ax=1}是任何集合的子集，则此集合必是空集，故方程ax=1无根，所以a=0故答案为：0．3．（5分）已知函数f（2x+1）=4x2，则f（5）=16．【解答】解：已知函数f（2x+1）=4x2，令t=2x+1，则x=，故有f（t）=4 ．故f（5）=4=16，故答案为16．4．（5分）函数y=ln（3﹣2x）的定义域是（﹣∞，）．【解答】解：由3﹣2x＞0，得x＜．∴原函数的定义域为（﹣∞，）．故答案为：（﹣∞，）．5．（5分）设a=log1.20.9，b=1.10.8，则a，b的大小关系是a＜b．【解答】解：∵a=log1.20.9＜0，b=1.10.8＞1，∴a＜b．故答案为：a＜b．6．（5分）方程log3x+x=3的解的个数是1．【解答】解：根据函数y=log3x，函数y=3﹣x，图象的交点个数可判断：方程log3x+x=3的解的个数是1，故答案为：17．（5分）函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，3]的值域是[2，6] ．【解答】解：函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，3]的对称轴为x=1，开口向上，在区间[0，3]不是单调增，∴f（x）max=f（3）=6，f（x）min=f（1）=2，∴函数的值域为[2，6]．故答案为：[2，6]．8．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则f（﹣2）=．【解答】解：设f（x）=x a，因为幂函数图象过，则有8=，∴a=﹣3，即f（x）=x﹣3，∴f（﹣2）=（﹣2）﹣3=﹣故答案为：﹣9．（5分）函数f（x）=log2（x﹣1）的单调递增区间是（1，+∞）．【解答】解：f（x）=log2（x﹣1）由y=log2t和t=x﹣1复合而成，∵t=x﹣1＞0，由复合函数的单调性可知f（x）=log2（x﹣1）的单调增区间是（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．10．（5分）若f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+2x，则f（﹣1）=﹣3．【解答】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），∵当x≥0时，f（x）=x2+2x，∴f（1）=1+2=3，即f（﹣1）=﹣f（1）=﹣3．故答案为：﹣3．11．（5分）若函数y=a x（a＞0，a≠1）在区间x∈[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则实数a的值为2．【解答】解：①当0＜a＜1时函数y=a x在[0，1]上为单调减函数∴函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值分别为1，a∵函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值和为3∴1+a=3∴a=2（舍）②当a＞1时函数y=a x在[0，1]上为单调增函数∴函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值分别为a，1∵函数y=a x在[0，1]上的最大值与最小值和为3∴1+a=3∴a=2故答案为：2．12．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，对于任意的x∈R，都满足f（﹣x）=f（x），且对于任意的a，b∈（﹣∞，0]，当a≠b时，都有＜0．若f（m+1）＜f（2），则实数m的取值范围是（﹣3，1）．【解答】解：由f（﹣x）=f（x），可得函数f（x）为偶函数，∴f（|x|）=f（x），再根据对任意的a，b∈（﹣∞，0]，当a≠b时，都有，故函数在（﹣∞，0]上是减函数，∴函数在[0，+∞）上是增函数，故由f（m+1）＜f（2），∴f（|m+1|）＜2∴|m+1|＜2可得﹣2＜m+1＜2，解得﹣3＜m＜1，故答案为：（﹣3，1）．13．（5分）函数f（x）=x2+bx+3满足f（2+x）=f（2﹣x），若f（m）＜0，则f （m+2）与f（log2π）的大小关系是f（m+2）＞f（log2π）．【解答】解：∵函数f（x）=x2+bx+3满足f（2+x）=f（2﹣x）∴抛物线的对称轴为2∴b=﹣4∴f（x）=（x﹣3）（x﹣1）即抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）点∵f（m）＜0∴1＜m＜3∴3＜m+2＜5∴f（m+2）＞0∵2＜π＜4∴1＜log2π＜2∴f（log2π）＜0f（m+2）＞f（log2π）．14．（5分）下列几个命题，其中正确的命题有①④．（填写所有正确命题的序号）①函数y=log2（x﹣3）+2的图象可由y=log2x的图象向上平移2个单位，向右平移3个单位得到；②函数的图象关于点（1，2）成中心对称；③在区间（0，+∞）上函数的图象始终在函数y=x的图象上方；④任一函数图象与垂直于x轴的直线都不可能有两个交点．【解答】解：①将y=log2x的图象向上平移2个单位，得到y=log2x+2的图象，再将所得图象向右平移3个单位得到y=log2（x﹣3）+2的图象，故①正确；②函数==2﹣，此函数是由反比例函数y=﹣向左平移一个单位，再向上平移2个单位得到的，由反比例函数的对称中心为（0，0）知，此函数的对称中心为（﹣1，2），故②错误；③∵点（0，0），（1，1）是函数的图象与函数y=x的图象的两个交点，且，故③错误；④由函数的定义，对于定义域内的任意一个x，由唯一的一个函数值与其对应，故任一函数图象与垂直于x轴的直线都不可能有两个交点．④正确故答案为①④二.解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字步骤．（请写在答题卡的指定位置）15．（10分）（1）计算log3+log3﹣log24；（2）已知+=3，求x+的值．【解答】解：（1）原式=．（2）由已知得．所以．16．（12分）设集合A={x|x＜﹣3，或x＞6}，B={x|3＜x＜7}．（1）求A∩B；（2）设C={x|x≥m}，且B∩C=B，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵A={x|x＜﹣3，或x＞6}，B={x|3＜x＜7}，∴A∩B={x|6＜x＜7}；（2）∵C={x|x≥m}，且B∩C=B，∴B⊆C，则m≤3．17．（12分）设函数f（x）=（）10﹣ax，其中a为常数，且f（3）=．（1）求a的值；（2）若f（x）≥4，求x的取值范围．【解答】解：（1）由f（3）=，可得（）10﹣3a=，所以，10﹣3a=1，解得a=3．（2）由已知（）10﹣3x≥4=（）﹣2，所以10﹣3x≤﹣2，解得x≥4，故f（x）≥4解集为{x|x≥4}．18．（15分）甲商店某种商品11月份（30天，11月1日为第一天）的销售价格P（元）与时间t（天）函数关系如图（一）所示，该商品日销售量Q（件）与时间t（天）函数关系如图（二）所示．（1）写出图（一）表示的销售价格与时间的函数关系式P=f（t）及其定义域，写出图（二）表示的日销售量与时间的函数关系式Q=g（t）及其定义域；（2）写出日销售金额M（元）与时间t的函数关系式M=h（t）及其定义域并求M的最大值．（注：日销售金额M=销售价格P×日销售量Q）．【解答】解：（1）设价格函数是y=kt+b，过点（0，15）、（30，30），则，∴b=15，k=；∴ff（t）=t+15（0＜t≤30，t∈N）；设销售量函数y=at+m，过点（0，160），（30，40），则，∴m=160，a=﹣4；∴g（t）=﹣4t+160（0＜t≤30）（t∈N）；（2）M=h（t）=（t+15）（﹣4t+160）=﹣2t2+20t+2400（0＜t≤30，t∈N）∴t=5时，M的最大值为2450元．19．（15分）已知函数f（x）=，x∈（﹣1，1）．（1）用单调性的定义证明f（x）在x∈（﹣1，1）上是单调减函数；（2）若关于x的不等式f（x）≥a（x2﹣3x+2）对于任意x∈（﹣1，1）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）证明：任取x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，又∵x1，x2∈（﹣1，1），x1＜x2，∴（1+x1）（1+x2）＞0，x2﹣x1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在x∈（﹣1，1）上是单调减函数．（2）∵y=x2﹣3x+2=（x﹣2）（x﹣1）在（﹣1，1）上单调递减且恒有y＞0，不等式f（x）≥a（x2﹣3x+2）对于任意x∈（﹣1，1）恒成立，即为a≤，对于任意x∈（﹣1，1）恒成立，令g（x）===，当x=时取得最小值，g（）=，所以a的取值范围是a≤．20．（16分）已知函数f（x）=ax2﹣|x|+2a﹣1 （a为实常数）．（1）判断函数f（x）的奇偶性并给出证明；（2）若函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若a＞0，设g（x）=|f（x）﹣x|在区间[﹣2，2]上的最大值为h（a），求h （a）的表达式．【解答】解：（1）对于函数f（x）=ax2﹣|x|+2a﹣1，它的定义域为R，且满足f （﹣x）=f（x），故函数为偶函数．（2）当a=0时，在区间[1，2]上，f（x）=﹣|x|﹣1=﹣x﹣1，不满足在区间[1，2]上是增函数，故a≠0．在区间[1，2]上，函数f（x）=ax2﹣x+2a﹣1的图象对称轴方程为x=，根据函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，可得①，或②，求得a≥．（3）当x∈[﹣2，2]时，g（x）=|f（x）﹣x|=，①0，即≥2，h（a）=max=6a﹣5；②a，即0＜2，h（a）=max=6a﹣1∴h（a）=．。

2014-2015学年高一下学期期中考试数学试卷-Word版含答案2014——2015学年下学期高一年级期中考数学学科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 不等式0121≤+-x x 的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞) D. ⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12. 若0<<b a ，则下列不等式不能成立的是 ( ) A.ba11> B ．b a 22> C ．b a > D ．b a )21()21(> 3. 不等式16)21(1281≤<x 的整数解的个数为 （ ）A ．10B ．11C ．12D ．134. 等差数列{}n a 中，如果39741=++a a a ，27963=++a a a ，则数列{}n a 前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．665. 已知直线1l ：01)4()3(=+-+-y k x k 与2l ：032)3(2=+--y x k 平行，则k 的值是( )A ．1或3B ．1或5C ．3或5D ．1或26. 在△ABC 中，80=a ，70=b ，45=A ，则此三角形解的情况是 （ ） A 、一解 B 、两解 C 、一解或两解 D 、无解7. 如果0<⋅C A ，且0<⋅C B ，那么直线0=++C By Ax 不通过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限8.已知点()5,x 关于点),1(y 的对称点为()3,2--,则点()y x p ,到原点的距离为( )A ．4B ．13C ．15D ．179. 计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”，如(1 101)2表示二进制数，将它转换成十进制数是1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13，那么将二进制数(11…114个01)2转换成十进制数是( )A ．216－1B ．216－2C ．216－3D ．216－4 10. 数列{}n a 满足21=a ，1111+-=++n n n a a a ，其前n 项积为n T ，则=2014T ( ) A.61B ．61- C ．6 D ．6- 11. 已知0,0>>y x ，且112=+yx，若m m y x 222+>+恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B ．(－2，4)C ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)D ．(－4，2) 12. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令nS S S T nn +++=21，称n T 为数列n a a a ,,,21 的“理想数”，已知数列50021,,,a a a 的“理想数”为2004，那么数列12,50021,,,a a a 的“理想数”为( ) A ．2012 B ．2013 C ．2014 D ．2015第Ⅱ卷（非选择题 共90分）19.(12分) 已知直线l 过点)2,3(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求OAB ∆的面积的最小值及此时直线l 的方程．20. (12分) 某观测站C 在城A 的南偏西20˚的方向上，由A 城出发有一条公路，走向是南偏东40˚，在C 处测得距C 为31千米的公路上B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后，到达D 处，此时C 、D 间距离为21千米，问还需走多少千米到达A 城？21. (12分) 在各项均为正数的等差数列{}n a 中，对任意的*N n ∈都有12121+=+++n n n a a a a a . (1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)设数列{}n b 满足11=b ，na n nb b 21=-+，求证：对任意的*N n ∈都有212++<n n n b b b .22. (12分)设函数())0(132>+=x xx f ，数列{}n a 满足11=a ，)1(1-=n n a f a ，*N n ∈，且2≥n .(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)对*N n ∈，设13221111++++=n n n a a a a a a S ，若ntS n 43≥恒成立，求实数t 的取值范围．答案一、选择题：（每题5分，共60分）13、 3 14、349π15、 2 16、 ①②⑤三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 3a 6＝55，a 3＋a 6＝a 2＋a 7＝16.∵公差d>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝5，a 6＝11，∴d ＝2，a n ＝2n －1.(2)∵b n ＝a n ＋b n －1(n≥2，n ∈N *)， ∴b n －b n －1＝2n －1(n≥2，n ∈N *)．∵b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1(n≥2，n ∈N *)，且b 1＝a 1＝1，∴b n ＝2n －1＋2n －3＋…＋3＋1＝n 2(n≥2，n ∈N *)． ∴b n ＝n 2(n ∈N *)．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D BBCCACDCDDA18. 解析 27(1)4sin cos 2180,:22B C A A B C +-=++=︒由及得 22272[1cos()]2cos 1,4(1cos )4cos 5214cos 4cos 10,cos ,20180,60B C A A A A A A A A -+-+=+-=-+=∴=︒<<︒∴=︒即 22222222(2):cos 211cos ()3.2223123,3: 2 :.221b c a A bcb c a A b c a bc bc b c b b a b c bc bc c c +-=+-=∴=∴+-=+===⎧⎧⎧=+==⎨⎨⎨===⎩⎩⎩由余弦定理得代入上式得由得或 19. 解：由题意设直线方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，∴3a ＋2b ＝1.由基本不等式知3a ＋2b ≥26ab，即ab≥24(当且仅当3a ＝2b，即a ＝6，b ＝4时等号成立)．又S ＝12a ·b ≥12×24＝12，此时直线方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.∴△ABO 面积的最小值为12，此时直线方程为2x ＋3y －12＝0. 20. 解 据题意得图02，其中BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，∠CAB=60˚．设∠ACD = α ，∠CDB = β ． 在△CDB 中，由余弦定理得：71202123120212cos 222222-=⨯⨯-+=⋅⋅-+=BD CD BC BD CD β，734cos 1sin 2=-=ββ．()CDA CAD ∠-∠-︒=180sin sin α ()β+︒-︒-︒=18060180sin()143523712173460sin cos 60cos sin 60sin =⨯+⨯=︒-︒=︒-=βββ在△ACD 中得1514352321143560sin 21sin sin =⨯=⋅︒=⋅=αA CD AD ． 所以还得走15千米到达A 城． 21. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d.令n ＝1，得a 1＝12a 1a 2.由a 1>0，得a 2＝2.令n ＝2，得a 1＋a 2＝12a 2a 3，即a 1＋2＝a 1＋2d ，得d ＝1.从而a 1＝a 2－d ＝1.故a n ＝1＋(n －1)·1＝n. (2)证明：因为a n ＝n ，所以b n ＋1－b n ＝2n ，所以b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1 ＝2n －1.又b n b n ＋2－b 2n ＋1＝(2n －1)(2n ＋2－1)－(2n ＋1－1)2＝－2n <0， 所以b n b n ＋2<b 2n ＋1.22. 解：(1)由a n ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫1a n －1，可得a n －a n －1＝23，n ∈N *，n≥2.所以{a n }是等差数列．又因为a 1＝1，所以a n ＝1＋(n －1)×23＝2n ＋13，n ∈N *.(2)因为a n ＝2n ＋13，所以a n ＋1＝2n ＋33，所以1a n a n ＋1＝92n ＋12n ＋3＝92⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.所以S n ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝3n 2n ＋3，n ∈N *. S n ≥3t 4n ，即3n 2n ＋3≥3t 4n ，得t≤4n 22n ＋3(n ∈N *)恒成立．令g(n)＝4n 22n ＋3(n ∈N *)，则g(n)＝4n 22n ＋3＝4n 2－9＋92n ＋3＝2n ＋3＋92n ＋3－6(n ∈N *)．令p ＝2n ＋3，则p≥5，p ∈N *.g(n)＝p ＋9p －6(n ∈N *)，易知p ＝5时，g(n)min ＝45.所以t≤45，即实数t 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，45.。

江苏省扬州中学2014—2015学年第二学期期中考试高一数学试卷 2015.4一、填空题（14570''⨯=）1．不等式201xx -<+的解集是 ．2．已知α为锐角，cos α=，则tan()4πα+= ．3．等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a = ． 4．已知不等式210ax bx +->解集为{|34}x x <<，则实数a = ．5．在ABC ∆中，C B A ,,的对边分别为c b a ,,，75,45,A B c === 则b = ．6．在ABC ∆中，已知 ()()a b c a b c ab +++-=，则C ∠的大小为 ． 7．已知3sin cos 8αα=且0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos sin αα-的值是 ． 8．等比数列}{n a 中，若121=+a a ，943=+a a ，那么54a a +等于 ． 9．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 ． 10．已知正数,x y 满足21x y +=，则11x y+的最小值为 ． 11．数列{}n a 满足)(511,311++∈=-=N n a a a nn 则=n a ．12．函数2()2sin ()2()442f x x x x πππ=+-≤≤的最小值为 ．13．在正项等比数列}{n a 中3438a a +=，61a =，则满足n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n 的值为 ． 14．若实数,x y 满足221x y +=，则11xy x y ++-的取值范围是 ．二、解答题（15、16每题14'， 17 、18每题15'，19、20每题16'）BCAMN15．已知(,)2παπ∈，且sincos222αα+=（1）求cos α的值；（2）若3sin()5αβ-=-，(,)2πβπ∈，求cos β的值。

江苏省邗江中学2014-2015学年度第一学期高一数学期中试卷命题人 魏跃兵 霍庆元一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．（答案请写在答题卡的指定位置．．．．） 1.已知集合{}{}1,2,3,4,1,3A B ==,则 ▲ ．2.已知是实数，若集合｛|｝是任何集合的子集，则的值是 ▲ ．3.已知函数，则 ▲ ．4.函数的定义域是 ▲ ．5.设，，则的大小关系是 ▲ ．6.方程的解的个数是 ▲ ．7.函数f (x )＝x 2－2x ＋3，x ∈[0，3]的值域是 ▲ ．8.已知幂函数．．．的图像过点，则 ▲ ． 9.函数f (x )＝log 2(x －1)的单调递增区间是 ▲ ．10.若f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，则f (－1)＝ ▲ ．11.若函数在区间x ∈[0，1]上的最大值与最小值之和为3,则实数的值为 ▲ ．12．已知函数f (x )的定义域为R ，对于任意的x ∈R ，都满足f (－x )＝f (x )，且对于任意的a ，b ∈(－∞，0]，当a ≠b 时，都有f (a )－f (b )a －b＜0．若f (m ＋1)＜f (2)，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 13. 函数满足，若，则与的大小关系是 ▲ .14．下列几个说法，其中正确．．说法的序号是 ▲ ． ①函数的图像可由的图像向上平移2个单位,再向右平移3个单位得到；②函数的图像关于点成中心对称；③在区间上函数的图像始终在函数的图像上方；④任一函数的图像与垂直于轴的直线都不可能有两个交点.二.解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字步骤．（请写在答题卡的指定位置．．．．） 15.（1）计算；（2）已知，求的值.16.设集合{}|3, 6A x x x =<->或,．（1）求；（2）设,且,求实数的取值范围.17.设函数,其中为常数，且.（1）求的值；（2）若,求实数的取值范围.18.甲商店某种商品11月份(30天,11月1日为第一天)的销售价格 (元)与时间 (天)函数关系如图(一)所示,该商品日销售量 (件)与时间 (天)函数关系如图(二)所示.（1）写出图(一)表示的销售价格与时间的函数关系式及其定义域,写出图(二)表示的日销售量与时间的函数关系式及其定义域；（2）写出日销售金额 (元)与时间的函数关系式及其定义域并求的最大值 .（注：日销售金额=销售价格日销售量）.19.已知函数,.（1）用单调性的定义证明在上是单调减函数；（2）若关于的不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围.20.已知函数2()||21f x ax x a =-+- (为实常数)．（1）判断函数的奇偶性并给出证明；（2）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围；（3）若，设在区间上的最大值为，求的表达式.。

江苏省邗江中学2014-2015学年度第二学期高二数学期中试卷〔理科普通班卷〕一、填空题：1．i 是虚数单位，如此21i i=+▲.2．空间两点(1,2,1)A -，(4,3,1)B 之间的距离是▲．3．用反证法证明命题“如果a>b__▲___． 4. i i =1，12-=i ，i i -=3，14=i ，i i =5，由此可猜测2015i =__▲__．5．二项式10(x 1)+展开式中，8x 的系数为▲． 6．矩阵A －1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1201，B －1=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1011，如此 (AB)－1=▲． 7．随机变量X 的分布列为P(X ＝k)＝15k (k ＝1，2，3，4，5)，如此P 1522x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭＝_▲_.8．在平面上，假设两个正三角形的边长的比为1∶2，如此它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，假设两个正四面体的棱长的比为1∶2，如此它们的体积比为__▲____． 9．复平面内有,,A B C 三点，点A 对应的复数为2i +，向量BA 对应的复数为23i +，向量BC 对应的复数为3i -，如此点C 对应的复数是____▲_____.10．棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，如此直线A E 与平面AB C 1D 1所成角的正弦值等于▲．11．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，假设从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的概率是___▲___． 12．设f(n)＝1＋111123431n +++⋯++(n ∈N *)，如此f(k ＋1)－f(k)＝__▲___. 13．在某班进展的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为▲. (请用数字作答！) 14．假设9290129(2)(1)(1)(1)x m a a x a x a x ++=+++++⋅⋅⋅++且229028139()()3a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=，如此实数m 的值是___▲__．二、解答题：15．z 是复数，假设i z 2+为实数〔i 为虚数单位〕，且4-z 为纯虚数． 〔1〕求复数z ；〔2〕假设复数()2mi z +在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围．16．二阶矩阵M 对应的变换将点〔1，－1〕与〔－2，1〕分别变换成点〔－1，－1〕与〔0，－2〕．〔Ⅰ〕求矩阵M ；〔Ⅱ〕设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x －y=4，求l 的方程．17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1CA CB ==，12AA =，o 90BCA ∠=．请建立适宜的空间直角坐标系，解决以下问题： 〔1〕求异面直线1BA 与1CB 夹角的余弦值； 〔2〕求二面角1B AB C --平面角的余弦值．18．在n 的展开式中，第6项为常数项.〔1〕求n ；〔2〕问展开式中的有理项分别为第几项？说明理由．19.某四星高中推荐甲、乙、丙三名学生参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等级．假设考核为合格，授予10分降分资格；考核为优秀，授予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为23、23、12，他们考核所得的等级相互独立． (1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名学生至少有一名考核为优秀的概率；(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名学生所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列．〔第17题图〕ABC A 1B 1C 120. 2111,3n n n a a na a +=-+=.〔1〕求2345,,,a a a a 的值；〔2〕判断n a 与2n +的关系，并用数学归纳法证明.高二数学期中试卷〔理科普通班〕 参考答案与评分标准1．1i +2．i - 5． 456．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3211 7．158． 1∶89．33i -10．510 11．284285〔或未化简，11361140〕 12．111.323334k k k +++++13． 60 14． -3或115．z 是复数，假设i z 2+为实数〔i 为虚数单位〕，且4-z 为纯虚数． 〔1〕求复数z ；〔2〕假设复数()2mi z +在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围解：〔1〕设(),z x yi x y R =+∈． 1分由2z i +i y x )2(++=为实数，得02=+y ，即2y =-． 3分 由4z -yi x +-=)4(为纯虚数，得4x =． 5分 ∴i z 24-=． 6分〔2〕∵i m m m mi z )2(8)124()(22-+++-=+， 8分根据条件，可知⎪⎩⎪⎨⎧<->-+,0)2(8,04122m m m 12分解得22<<-m ，∴实数m 的取值范围是()2,2-． 14分16．二阶矩阵M 对应的变换将点〔1，－1〕与〔－2，1〕分别变换成点〔－1，－1〕与〔0，－2〕．〔Ⅰ〕求矩阵M ；〔Ⅱ〕设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x －y=4，求l 的方程 解：〔Ⅰ〕设b d a c ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，如此有b d ac ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=11-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，bd ac ⎡⎤⎢⎥⎣⎦21-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=02⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，所以120,,122a b a b c d c d -=--+=⎧⎧⎨⎨-=--+=-⎩⎩且， 4分 解得1234a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 所以M=12 34⎡⎤⎢⎥⎣⎦6分 〔Ⅱ〕因为122 3434x x x y y y x y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦且m ：24x y ''-=， 10分 所以2〔x+2y 〕－〔3x+4y 〕=4，即x+4 =0，这就是直线l 的方程 14分 17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1CA CB ==，12AA =，o 90BCA ∠=．请建立适宜的空间直角坐标系，解决以下问题： 〔1〕求异面直线1BA 与1CB 夹角的余弦值； 〔2〕求二面角1B AB C --平面角的余弦值．17．如图，以{}1,,CA CB CC 为正交基底，建立空间直角坐标系C xyz -．如此(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，1(1,0,2)A ，1(0,1,2)B ，所以1(0,1,2)CB =，(1,1,0)AB =-，1(1,1,2)AB =-，1(1,1,2)BA =-． 〔1〕因为111111cos ,6CB BA CBBA CB BA ⋅===所以异面直线1BA 与1CB ． …………………………7分〔2〕设平面1CAB 的法向量为(,,)x y z =m ，〔第17题图〕ABCA 1B 1C 1如此110,0,AB CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即20,20,x y z y z -++=⎧⎨+=⎩取平面1CAB 的一个法向量为(0,2,1)=-m ；设平面1BAB 的法向量为(,,)r s t =n ，如此10,0,AB AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,0,r s t r s -++=⎧⎨-+=⎩取平面1BAB 的一个法向量为(1,1,0)=n ；如此cos ,5⋅===m n m n m n ， 所以二面角1B AB C --．…………………………15分 18．在n 的展开式中，第6项为常数项.〔1〕求n ；〔2〕问展开式中的有理项分别为第几项？说明理由。

2015-2016学年江苏省扬州市邗江中学高一（下）期中数学试卷一、填空题：本题包括14小题，每小题5分，共70分，请把答案写在答题纸相应题号后的横线上．1．sin585°的值为．2．函数f（x）=2sin（3x+）的最小正周期T=．3．已知等差数列{a n}中，若a3+a11=22，则a7=．4．函数在x∈R上的最小值等于．5．已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ=．6．若关于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），则实数m=．7．不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集为．8．公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10=．9．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=．10．已知函数f（x）=x2，（x∈[﹣2，2]），g（x）=a2sin（2x+）+3a，x∈[0，]），∀x1∈[﹣2，2]，总∃x0∈[0，]，使得g（x）=f（x1）成立，则实数a的取值范围是．11．设a1=2，，b n=，n∈N+，则数列{b n}的通项公式b n=．12．有四个关于三角函数的命题：（1）∃x∈R，sin2+cos2=；（2）∃x、y∈R，sin（x﹣y）=sinx﹣siny；（3）∀x∈[0，π]，=sinx；（4）sinx=cosy⇒x+y=．其中假命题的序号是．13．在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，则AC的取值范围为．14．已知函数f（x）=sinx+tanx．项数为31的等差数列{a n}满足，且公差d≠0．若f（a1）+f（a2）+…+f（a31）=0，则当k=时，f（a k）=0．二、解答题：15、16题均为14分，17、18题均为15分，19、20题均为16分，请在答题纸的指定区域内答题，并写出必要的计算、证明、推理过程．15．已知sinα=，且α为第二象限角，计算：（1）；（2）sin2．16．已知等差数列{a n}中，首项a1=1，公差d为整数，且满足a1+3＜a3，a2+5＞a4，数列{b n}满足，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若S2为S1，S m（m∈N*）的等比中项，求m的值．17．如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1 km．试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01 km，≈1.414，≈2.449）．18．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．19．△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，sin（B﹣A）=cosC．（1）求A，C；（2）若S△ABC=，求a，c．20．设数列{a n}的通项公式为a n=pn+q（n∈N*，P＞0）．数列{b n}定义如下：对于正整数m，b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值．（Ⅰ）若，求b3；（Ⅱ）若p=2，q=﹣1，求数列{b m}的前2m项和公式；（Ⅲ）是否存在p和q，使得b m=3m+2（m∈N*）？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由．2015-2016学年江苏省扬州市邗江中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本题包括14小题，每小题5分，共70分，请把答案写在答题纸相应题号后的横线上．1．sin585°的值为﹣．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题．【分析】将所求式子中的角585°变形为720°﹣135°，利用诱导公式化简后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．【解答】解：sin585°=sin（720°﹣135°）=﹣sin135°=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，灵活变换角度，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2．函数f（x）=2sin（3x+）的最小正周期T=．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题．【分析】由函数解析式找出ω的值，代入周期公式T=，即可求出函数的最小正周期．【解答】解：函数f（x）=2sin（3x+），∵ω=3，∴T=．故答案为：【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．3．已知等差数列{a n}中，若a3+a11=22，则a7=11．【考点】等差数列的性质．【专题】计算题．【分析】观察第3项和第11项的项数之和为14，得到第3项与第11项的和等于第7项的2倍，由a3+a11=22列出关于a7的方程，求出方程的解即可得到a7的值．【解答】解：因为a3+a11=2（a1+6d）=2a7=22，所以a7=11．故答案为：11【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，是一道基础题．4．函数在x∈R上的最小值等于﹣2．【考点】两角和与差的正弦函数；诱导公式的作用；三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】利用三角函数的诱导公式与辅助角公式将f（x）=sinx+sin（+x）化为f（x）=2sin（x+），即可求得答案．【解答】解：∵f（x）=sinx+sin（+x）=sinx+cosx=2sin（x+），∴f（x）在x∈R上的最小值等于﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查两角和的正弦，考查诱导公式与辅助角公式，考查正弦函数的最值，属于基础题．5．已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ=．【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题．【分析】利用“1=sin2θ+cos2θ”，再将弦化切，利用条件，即可求得结论．【解答】解：sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ==∵tanθ=2∴=∴sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ=故答案为：【点评】本题重点考查同角三角函数间基本关系，解题的关键是利用“1=sin2θ+cos2θ”，再将弦化切，属于基础题．6．若关于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），则实数m=．【考点】一元二次不等式的应用．【分析】由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1）可知：x=m，x=1是方程2x2﹣3x+a=0的两根．根据韦达定理便可分别求出m和a的值．【解答】解：由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1）可知：x=m，x=1是方程2x2﹣3x+a=0的两根由韦达定理得：，解得：m=，a=1．【点评】本题考查一元二次不等式的解法．7．不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集为{x|﹣1＜x＜1}．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】计算题；转化思想．【分析】首先分析题目求不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集，可以考虑平方去绝对的方法，先移向，平方，然后转化为求解一元二次不等式即可得到答案．【解答】解：|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0移向得：丨2x﹣1丨＜丨x﹣2丨两边同时平方得（2x﹣1）2＜（x﹣2）2即：4x2﹣4x+1＜x2﹣4x+4，整理得：x2＜1，即﹣1＜x＜1故答案为：{x|﹣1＜x＜1}．【点评】此题主要考查绝对值不等式的解法的问题，其中涉及到平方去绝对值的方法，对于绝对值不等式属于比较基础的知识点，需要同学们掌握．8．公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10=60．【考点】等差数列的前n项和．【专题】综合题．【分析】设出等差数列的等差d，且d不为0，根据a4是a3与a7的等比中项，S8=32，利用等比数列的性质和等差数列的前n项和的公式化简得到关于等差数列首项和公差方程组，求出方程组的解集即可得到首项和公差，然后再利用等差数列的前n项和的公式求出S10即可．【解答】解：设公差为d（d≠0），则有，化简得：，因为d≠0，由①得到2a1+3d=0③，②﹣③得：4d=8，解得d=2，把d=2代入③求得a1=﹣3，所以方程组的解集为，则S10=10×（﹣3）+×2=60．故答案为：60【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式及等比数列的通项公式化简求值，是一道综合题．本题解法属基本量法．在解由等差（比）数列中的部分项生成等比（差）数列中部分项问题时，要特别注意新数列中项在新、老数列中的各自属性及其表示．9．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=15．【考点】等差数列的性质；等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】由题意知2a2﹣4a1=a3﹣2a2，即2q﹣4=q2﹣2q，由此可知q=2，a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，于是得到S41+2+4+8=15．【解答】解：∵2a2﹣4a1=a3﹣2a2，∴2q﹣4=q2﹣2q，q2﹣4q+4=0，q=2，∴a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，∴S4=1+2+4+8=15．答案：15【点评】本题考查数列的应用，解题时要注意公式的灵活运用．10．已知函数f（x）=x2，（x∈[﹣2，2]），g（x）=a2sin（2x+）+3a，x∈[0，]），∀x1∈[﹣2，2]，总∃x0∈[0，]，使得g（x）=f（x1）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[6，+∞）．【考点】函数的值域；正弦函数的定义域和值域．【专题】计算题．【分析】先分别求出函数f（x）与函数g（x）的值域，再根据∀x1∈[﹣2，2]，成立得到函数f（x）的值域是函数g（x）的值域的子集，建立不等关系即可．【解答】解：∵x∈∴sin（2x+）则的值域为[3a﹣a2，a2+3a]而f（x）=x2，（x∈[﹣2，2]）的值域为[0，4]∵∀x1∈[﹣2，2]，成立∴[0，4]⊆[3a﹣a2，a2+3a]则，解得a∈（﹣∞，﹣4]∪[6，+∞），故答案为（﹣∞，﹣4]∪[6，+∞）【点评】本题主要考查了函数的值域，以及存在性问题的应用，属于中档题，是高考中偶尔出现的好题．11．设a1=2，，b n=，n∈N+，则数列{b n}的通项公式b n=2n+1．【考点】数列递推式．【专题】压轴题；创新题型．【分析】由题设条件得=，由此能够导出数列{b n}的通项公式b n．【解答】解：由条件得=且b1=4所以数列{b n}是首项为4，公比为2的等比数列，则b n=4•2n﹣1=2n+1．故答案为：2n+1．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的合理运用．12．有四个关于三角函数的命题：（1）∃x∈R，sin2+cos2=；（2）∃x、y∈R，sin（x﹣y）=sinx﹣siny；（3）∀x∈[0，π]，=sinx；（4）sinx=cosy⇒x+y=．其中假命题的序号是（1）（4）．【考点】复合命题的真假．【专题】计算题．【分析】由同角三角函数的关系知（1）是假命题；由三解函数的关系知（4）不成立．【解答】解：sin2+cos2=1，故（1）是假命题；当x=y=0时，sin（x﹣y）=sinx﹣siny，故（2）成立；∀x∈[0，π]，=sinx，（3）成立；sinx=cosy⇒x+y=不成立，故（4）不成立．故答案：（1）、（4）．【点评】本题考查复合命题的真假，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的正确选用．13．在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，则AC的取值范围为（，）．【考点】正弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】由条件可得＜3 A＜π，且0＜2A＜，故＜A＜，＜cosA＜，由正弦定理可得b=2cosA，从而得到b 的取值范围．【解答】解：在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，∴＜3 A＜π，且0＜2A＜，故＜A＜，故＜cosA＜．由正弦定理可得，∴b=2cosA，∴＜b＜，故答案为：（，）．【点评】本题考查锐角三角形的定义，正弦定理的应用，求得＜A＜，是解题的关键．14．已知函数f（x）=sinx+tanx．项数为31的等差数列{a n}满足，且公差d≠0．若f（a1）+f（a2）+…+f（a31）=0，则当k=16时，f（a k）=0．【考点】等差数列的通项公式．【专题】转化思想；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．【分析】函数f（x）=sinx+tanx，可得f（﹣x）=﹣f（x），即函数是奇函数．因此函数f（x）的图象关于原点对称，即可得出．【解答】解：函数f（x）=sinx+tanx，∴f（﹣x）=sin（﹣x）+tan（﹣x）=﹣f（x），即函数是奇函数．∴函数f（x）的图象关于原点对称，∵项数为31的等差数列{a n}满足，且公差d≠0．，∴中间数f（a k）=0，k=16，【点评】本题考查了函数的奇偶性、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题：15、16题均为14分，17、18题均为15分，19、20题均为16分，请在答题纸的指定区域内答题，并写出必要的计算、证明、推理过程．15．已知sinα=，且α为第二象限角，计算：（1）；（2）sin2．【考点】三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值．【分析】（1）由角的范围，利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，利用两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可化简计算求值．（2）利用倍角公式，降幂公式化简所求即可计算求值得解．【解答】解：（1）∵sinα=，且α为第二象限角，∴cos=﹣，∴=cosαcos+sinαsin=×（﹣）=；（2）sin2=+=+2sinαcosα=+2×（﹣）=．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，倍角公式，降幂公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．16．已知等差数列{a n}中，首项a1=1，公差d为整数，且满足a1+3＜a3，a2+5＞a4，数列{b n}满足，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）若S2为S1，S m（m∈N*）的等比中项，求m的值．【考点】数列的应用；数列递推式．【专题】计算题．【分析】（1）由题意，得，由此可解得a n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1．（2）由=，知=．由此可求出m 的值．【解答】解：（1）由题意，得解得＜d＜．又d∈Z，∴d=2．∴a n=1+（n﹣1）•2=2n﹣1．（2）∵=，∴=．∵，，，S2为S1，S m（m∈N*）的等比中项，∴S22=S m S1，即，解得m=12．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．17．如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1 km．试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01 km，≈1.414，≈2.449）．【考点】解三角形的实际应用．【专题】计算题；应用题．【分析】在△ACD中，∠DAC=30°推断出CD=AC，同时根据CB是△CAD底边AD的中垂线，判断出BD=BA，进而在△ABC中利用余弦定理求得AB答案可得．【解答】解：在△ACD中，∠DAC=30°，∠ADC=60°﹣∠DAC=30°，所以CD=AC=0.1．又∠BCD=180﹣60°﹣60°=60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA、在△ABC中，=，sin215°=，可得sin15°=，即AB==，因此，BD=≈0.33km．故B、D的距离约为0.33km．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查学生分析问题解决问题的能力．综合运用基础知识的能力．18．在数列{a n}中，a1=1，a n+1=（1+）a n+．（1）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】计算题；综合题．【分析】（1）由已知得=+，即b n+1=b n+，由此能够推导出所求的通项公式．（2）由题设知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，由错位相减法能求出T n=4﹣．从而导出数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）由已知得b1=a1=1，且=+，即b n+1=b n+，从而b2=b1+，b3=b2+，b n=b n+（n≥2）．﹣1于是b n=b1+++…+=2﹣（n≥2）．又b1=1，故所求的通项公式为b n=2﹣．（2）由（1）知a n=2n﹣，故S n=（2+4+…+2n）﹣（1++++…+），设T n=1++++…+，①T n=+++…++，②①﹣②得，T n=1++++…+﹣=﹣=2﹣﹣，∴T n=4﹣．∴S n=n（n+1）+﹣4．【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要注意错位相减法的合理运用．19．△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，sin（B﹣A）=cosC．（1）求A，C；（2）若S△ABC=，求a，c．【考点】余弦定理的应用；两角和与差的余弦函数；正弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】（1）先根据同角三角函数的基本关系将正切化为正余弦之比再相乘可得到3内角的正弦关系式，再由sin（B﹣A）=cosC可求出答案．（2）先根据正弦定理得到a与c的关系，再利用三角形的面积公式可得答案．【解答】解：（1）因为所以左边切化弦对角相乘得到sinCcosA﹣cosCsinA=cosCsinB﹣sinCcosB，所以sin（C﹣A）=sin（B﹣C）．所以C﹣A=B﹣C或C﹣A=π﹣（B﹣C）（不成立）即2C=A+B，C=60°，所以A+B=120°，又因为sin（B﹣A）=cosC=，所以B﹣A=30°或B﹣A=150°（舍），所以A=45°，C=60°．（2）由（1）知A=45°，C=60°∴B=75°∴sinB=根据正弦定理可得即：∴a=S=acsinB==3+∴c2=12∴c=2∴a==2【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系和正弦定理与三角形面积公式的应用．对于三角函数这一部分公式比较多，要强化记忆．20．设数列{a n}的通项公式为a n=pn+q（n∈N*，P＞0）．数列{b n}定义如下：对于正整数m，b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值．（Ⅰ）若，求b3；（Ⅱ）若p=2，q=﹣1，求数列{b m}的前2m项和公式；（Ⅲ）是否存在p和q，使得b m=3m+2（m∈N*）？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请说明理由．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）先得出a n，再解关于n的不等式，利用正整数的条件得出具体结果；（Ⅱ）先得出a n，再解关于n的不等式，根据{b n}的定义求得b n再求得S2m；（Ⅲ）根据b m的定义转化关于m的不等式恒成立问题．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得，解，得．∴成立的所有n中的最小正整数为7，即b3=7．（Ⅱ）由题意，得a n=2n﹣1，对于正整数m，由a n≥m，得．根据b m的定义可知当m=2k﹣1时，b m=k（k∈N*）；当m=2k时，b m=k+1（k∈N*）．∴b1+b2+…+b2m=（b1+b3+…+b2m）+（b2+b4+…+b2m）=（1+2+3+…+m）+[2+3+4+…+﹣1（m+1）]=．（Ⅲ）假设存在p和q满足条件，由不等式pn+q≥m及p＞0得．∵b m=3m+2（m∈N*），根据b m的定义可知，对于任意的正整数m都有，即﹣2p﹣q≤（3p﹣1）m＜﹣p﹣q对任意的正整数m都成立．当3p﹣1＞0（或3p﹣1＜0）时，得（或），这与上述结论矛盾！当3p﹣1=0，即时，得，解得．（经检验符合题意）∴存在p和q，使得b m=3m+2（m∈N*）；p和q的取值范围分别是，．【点评】本题主要考查数列的概念、数列的基本性质，考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式综合的较难层次题．。

2014—2015学年江苏省扬州中学高一数学期中考试试题试卷2014.11一、填空题（每小题5分，共70分）1．已知全集{}4,3,2,1=U ，集合{}{}1,2,2,3A B ==，则()U A C B 等于 ▲ ．2．集合{}03x x x Z <<∈且的子集个数为 ▲ ． 3．函数()lg(2)f x x =-+定义域为 ▲ ．4．若函数2()2f x x ax =-在(],5-∞上递减，在[)5,+∞上递增，则实数a = ▲ ．5．下列各组函数中，表示相同函数的是 ▲ ．①y x =与y = ② y x =与2x y x=③2y x =与2s t = ④y =与y =6．若函数3log ,(0)()2,(0)x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1()9f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭▲ ． 7．已知幂函数的图象经过点，则(4)f = ▲ ． 8．如果函数()ln 3f x x x =+-的零点所在的区间是(,1)n n +，则正整数n = ▲ ． 9．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =，若()10f x ->，则实数x 的取值范围是 ▲ ．10．如果指数函数xy a =(01)a a >≠且在[0,1]x ∈上的最大值与最小值的差为12，则实数 a = ▲ ．11．若2134,1xym x y==+=，则实数m = ▲ ． 12.对于函数()f x 定义域中任意的12,x x ，给出如下结论：①()()()2121x f x f x x f +=⋅； ②()()()2121x f x f x x f ⋅=+； ③当12x x ≠时，()[]1212()()0x x f x f x -->； ④当12x x ≠时，()()1212()22f x f x x x f ++<， 那么当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是 ▲ ．13．已知函数ln ,(05)()10,(5)x e x f x x x ⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，若()()()f a f b f c == （其中a b c <<），则abc 的取值范围是 ▲ ．14．已知实数,a b 满足32362a a a ++=，323610b b b ++=-，则a b += ▲ ．16．（本小题满分14分）已知函数()f x =（1）当2k =时，求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 的定义域为R ，求实数k 的取值范围.17．（本小题满分14分） 已知函数1()log 1axf x x-=+ (其中0a >且1a ≠). （1）判断函数()f x 的奇偶性并证明；（2）解不等式()0f x >.18．（本小题满分16分）某商场经调查得知，一种商品的月销售量Q （单位：吨）与销售价格x （单位：万元/吨）的关系可用下图的一条折线表示．（1）写出月销售量Q 关于销售价格x 的函数关系式；（2）如果该商品的进价为5万元/吨，除去进货成本外，商场销售该商品每月的固定成本为10万元，问该商品每吨定价多少万元时，销售该商品的月利润最大？并求月利润的最大值．19. （本小题满分16分） 已知函数()2af x x x=+， （1）判断()x f 的奇偶性并说明理由；（2）当16a =时，判断()x f 在(]0,2x ∈上的单调性并用定义证明；（3）当16a =时，若对任意(0,)x ∈+∞，不等式()9f x m >+恒成立，求实数m的取值范围.20．（本小题满分16分）已知二次函数()2f x ax bx c =++（其中0a ≠）满足下列3个条件:①()f x 的图象过坐标原点； ②对于任意x R ∈都有11()()22f x f x -+=--成立； ③方程()f x x =有两个相等的实数根， 令()()1g x f x x λ=--（其中0λ>），（1）求函数()f x 的表达式；（2）求函数()g x 的单调区间（直接写出结果即可）； （3）研究函数()g x 在区间()0,1上的零点个数.命题、校对：高二数学备课组高一数学试卷答案 2014.11一、填空题1． {1} 2． 4 3． [1,2) 4． 5 5．③ 6．14 7．128． 2 9． ()1,3- 10．32或1211． 36 12. ①③ 13． (5,9) 14． -2 二、解答题15．解：由题意得24613a a --=- ，解得1a =或12a =， 当12a =时，{}{}3,4,3,2,3A B =-=-，满足要求，此时{}2,3,4,3A B =-；当1a =时，{}{}3,4,3,4,3A B =-=-，不满足要求， 综上得：12a =， {}2,3,4,3A B =-。

江苏省扬州市邗江区【精品】高一下学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知直线l ：y =，则直线l 的倾斜角为( )A ．30B ．60C ．120D ．1502．已知,,a b c 分别为ABC 内角,,A B C 的对边，若3a =，4b =，60C =，则(c = )A ．5B ．11CD 3．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为( ) A ．12π B ．323π C ．8π D ．4π 4．已知直线1l ：210x y +-=，2l ：250x ny ++=，3l ：310mx y ++=，若12//l l 且13l l ⊥，则m n +的值为( )A ．10-B ．10C ．2-D ．25．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30，则该长方体的体积为（ ）A．8 B ．C ．D ．6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝a cos C ＋12c ，则角A 等于（ ）A ．60°B ．120°C ．45°D ．135°7．已知实数x ，y 满足x ＋y －3＝0( )A B ．2 C ．1 D ．48．已知直线m 、n ，平面α、β，给出下列命题：①若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥②若//m α，//n β，且//m n ，则//αβ③若m α⊥，//n β，且m n ⊥，则αβ⊥④若m α⊥，//n β，且//m n ，则αβ⊥其中正确的命题是（ ）A ．②③B ．①③C ．①④D ．③④9．锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B =2A ，则asinA b的取值范围是（ ）A ．62⎛ ⎝⎭B ．42⎛ ⎝⎭C ．1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．1,62⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭10．已知(3,1)A -，(5,2)B -，点P 在直线0x y +=上，若使||||PA PB +取最小值，则点P 的坐标是（ ）A ．(1,1)-B ．(1,1)-C ．1313(,)55-D ．(2,2)-二、填空题11．在ABC 中，已知tan tan a b A B=，则ABC 的形状是______三角形． 12．如图在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列命题中正确的有______.(填上所有正确命题的序号)AC BD ⊥①，AC BD =②，//AC ③截面PQMN ，④异面直线PM 与BD 所成的角为45．13．过点(3,0)P 作直线l ，使它被两条相交直线220x y --=和30x y ++=所截得的线段恰好被点P 平分，则直线l 斜率为_______________14．如图，正四棱锥P ABCD -的体积为2，底面积为6，E 为侧棱PC 的中点，则直线BE 与平面PAC 所成的角为_______.15．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知2c =，若222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，则+a b 的取值范围是__________．16．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，若13,2AA AB ==,点D 是棱1CC 的中点，点E 在棱1AA 上，则三棱锥1B EBD -的体积为___________.三、解答题17．已知直线的斜率为34-，且直线l 经过直线250kx y k -++=所过的定点P ． （1）求直线l 的方程；（2）若直线m 平行于直线l ，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程． 18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点D ，E 分别是边BC ，11B C 中点，且AB AC =．求证：()1BE //平面1AC D ；()2平面1ADC ⊥平面11BCC B ．19．如图，已知三角形的顶点为A(2, 4 )，B(0, −2) ，C (−2, 3)，求：（1） A B 边上的中线C M 所在直线的方程．（2） 求△ABC 的面积．20．在ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c =πC 3=． ()1若2sinA 3sinB =，求a ，b ；()2若cosB 10=，求sin2A 的值． 21．西北某省会城市计划新修一座城市运动公园，设计平面如图所示：其为五边形ABCDE ，其中三角形区域ABE 为球类活动场所；四边形BCDE 为文艺活动场所，,,,,AB BC CD DE EA ，为运动小道（不考虑宽度）0120BCD CDE ∠=∠=，060BAE ∠=，226DE BC CD ===千米.（1）求小道BE 的长度；（2）求球类活动场所ABE ∆的面积最大值.22．如图，四棱锥中，//AB CD ，BC CD ⊥ //AB CD BC CD ⊥侧面SAB 为等边三角形，2AB BC == 2AB BC == ，1CD SD ==．（1）证明：SD SAB ⊥平面；（2）求二面角A SB C --的平面角的正弦值．参考答案1．C【解析】【分析】设直线l 的倾斜角为θ，0180.θ<<可得tan θ=【详解】解：设直线l 的倾斜角为θ，0180θ<<．则tan θ=120θ∴=．故选C ．【点睛】本题考查了直线斜率、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．C【分析】由3a =，4b =，60C =,直接利用余弦定理可求c 的值．【详解】3a =，4b =，60C =，∴由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，即22234234cos6013c =+-⨯⨯⨯=，∴解得：c =，故选C ．【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc +-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.3．A【分析】先求出该球面的半径R =【详解】棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，∴该球面的半径R ==， ∴该球面的表面积为2412S R ππ==．故选A ．【点睛】本题考查球面的表面积的求法，考查正方体的外接球、球的表面积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．4．C【分析】由12l //l 且13l l ⊥，列出方程，求得n 40-=，m 60+=，解得,m n 的值，即可求解．【详解】由题意，直线1l ：210x y +-=，2l ：250x ny ++=，3l ：310mx y ++=， 因为12//l l 且13l l ⊥，所以40n -=，且60m +=，解得4n =，6m =-，所以462m n +=-=-．故选C ．【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的应用，其中解答中熟记两直线的位置关系，列出方程求解,m n 的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．5．C【分析】首先画出长方体1111ABCD A B C D -，利用题中条件，得到130AC B ∠=，根据2AB =，求得1BC =，可以确定1CC =，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1BC ，根据线面角的定义可知130AC B ∠=，因为2AB =，所以1BC =，从而求得1CC =，所以该长方体的体积为22V =⨯⨯=故选C.【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.6．A【分析】由余弦定理把已知式中cos C 化为边的关系，变形后再由余弦定理可求得cos A ，从而得A 角．【详解】由b ＝a cos C ＋12c 及余弦定理，可得b ＝a ·2222b a c ab+-＋12c ，即2b 2＝b 2＋a 2－c 2＋bc ，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，于是cos A ＝2222b c a bc +-＝12，所以A ＝60°， 故选：A ．【点睛】本题考查余弦定理，考查用余弦定理进行边角转换，用化余弦定理求角．属于基础题．7．A【分析】把问题化为“直线l 的上点(),P x y 与定点()2,1A -的距离”，即从“点A 向直线:30l x y +-=作垂线段”，由点到直线的距离公式可得结果.【详解】点(),P x y 满足直线l ：x ＋y －3＝0，l 上的点P(x ，y)与定点A(2，－1)的距离，其最小值是点A 到直线l ：x ＋y －3＝0作垂线段为最短，所以点A 到直线l 的距离为dA ．【点睛】本题主要考查两点间的距离公式，点到直线的距离公式，意在考查对基本公式掌握的熟练程度，考查了转化思想的应用，属于中档题.8．C【解析】分析：①可由面面垂直的判定定理进行判断；②可由面面平行的条件进行判断；③可由面面垂直的条件进行判断；④可由面面垂直的判定定理进行判断.解析：①若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥，正确.n β⊥，且m n ⊥，可得出//m β或m β⊂，又m α⊥，故可得到αβ⊥.②若//m α，//n β，且//m n ，则//αβ，不正确.两个面平行与同一条线平行，两平面有可能相交.③若m α⊥，//n β，且m n ⊥，则αβ⊥，不正确.m α⊥且m n ⊥，可得出//?n α，又//n β，故不能得出αβ⊥.④若m α⊥，//n β，且//m n ，则αβ⊥，正确.m α⊥且//m n ，可得出n α⊥，又//n β，故得出αβ⊥.故选：C.点睛：解决空间位置关系问题的方法(1)解决空间中点、线、面位置关系的问题，首先要明确空间位置关系的定义，然后通过转化的方法，把空间中位置关系的问题转化为平面问题解决．(2)解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用正(长)方体模型来解决问题． 9．D【分析】由2B A =、倍角公式和正弦定理得12a b cosA =，故sin 12a A tanA b =，根据ABC ∆是锐角三角形可得64A ππ<<，于是可得所求范围．【详解】∵2B A =，∴sin 22B sin A sinAcosA ==，由正弦定理得2b acosA =， ∴12a b cosA=， ∴sin 122a A sinA tanA b cosA ==． ∵ABC ∆是锐角三角形， ∴02022032A B A C A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<=<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，解得64A ππ<<，1tanA <<，∴11622tanA <<． 即sin a A b的值范围是12⎫⎪⎪⎝⎭．【点睛】本题考查正弦定理和正切函数的图象性质，易错点是A 的取值范围，属于中档题． 10．C【解析】分析：设A 关于直线:0l x y +=的对称点为C ，则P 为BC 与直线l 的交点时，PA PB +取最小值，进而得到结果.详解：如图所示：点()3,1A -关于直线:0l x y +=的对称点为()1,3C -，由BC 的方程为1341x y -+=， 即4130x y --=，与0x y +=联立可得直线BC 与直线l 的交点坐标为1313,55⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以PA PB PC PB +=+，由图可知当P 点坐标为1313,55⎛⎫- ⎪⎝⎭时， PA PB +最小，故选C.点睛：解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法解答.11．等腰由正弦定理得sin sin sin sin cos cos A B AB A B=，即cos cos A B =，故A B =为等腰三角形. 12．①③④【分析】由截面PQMN 是正方形出发，利用线面平行的判定和性质，可以推出////PQ AC MN ，////PN BD MQ ,从而得到//AC 平面PQMN ,异面直线PM 与BD 所成的角和PM 与PN 所成角相等为45，AC BD ⊥，M N P Q 、、、不一定是中点从而AC BD ，不一定相等．【详解】解：在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，//PQ MN ∴，PQ ⊄平面ACD ，MN ⊂平面ACD ，//PQ ∴平面ACD ．平面ACB ⋂平面ACD AC =，//PQ AC ∴，可得//AC 平面PQMN ．同理可得//BD 平面PQMN ，//BD PN ．PN PQ ⊥，AC BD ∴⊥．由//BD PN ，MPN ∴∠是异面直线PM 与BD 所成的角，且为45．由上面可知：//BD PN ，//PQ AC ．PN AN BD AD ∴=，MN DN AC AD=， 而AN DN ≠，PN MN =，BD AC ∴≠．综上可知：①③④都正确．故答案为①③④．利用线面平行与垂直的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角即可得出．【点睛】本题考查了线面平行与垂直的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角，属于基础题．13．8【解析】【分析】根据中点坐标公式求得弦端点坐标，再根据斜率公式求结果.【详解】设截得的线段AB,则1122(,),(,)A x y B x y ，因为点P 为AB 中点,所以12126,0x x y y +=+=，1111122111112202203{{{30630163x x y x y x y x y y =--=--=∴∴∴++=--+== 从而直线l 斜率为16038.1133-=- 【点睛】本题考查直线位置关系，考查基本分析求解能力，属基础题.14．60【解析】【分析】首先找到线面角，然后利用三角函数计算角的大小即可.【详解】如图所示，连结,AC BD ，交于点O ，连结,OP OE ，由正方形的性质可知BD AC ⊥，由正棱锥的性质可知OP ⊥底面ABCD ，则OP BD ⊥，且AC OP O ⋂=，由线面垂直的判断定理可得BD ⊥平面PAC ，由线面角的定义可知BEO ∠即为直线BE 与平面PAC 所成的角，6ABCD S =，则BC =12OB BD ==由三棱锥的体积公式有：123ABCD S OP ⨯⨯=，则1OP =，2BP ==， 由正棱锥的性质可得2PC PB ==，在△BPC 中，由余弦定理可得：222221cos 2224BPC +-∠==⨯⨯，在△BPE 中，由余弦定理可得：2BE ==，则sin 602BO BEO BEO BE ∠==∠=， 即直线BE 与平面PAC 所成的角为60°.【点睛】本题主要考查锥体的空间结构，线面角的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．(2,4]【解析】因为222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，由正弦定理可得：222a b ab c +-=，由余弦定理可得2221cos ,(0,),22a b c c C ab π+-==∈所以3C π=．由正弦定理得2sin )sin())4sin()36a b A B A A A ππ+=+=+-=+ 251(0,),()(,),sin()(,1]366662A A A πππππ∈+∈+∈，所以(2,4]a b +∈．故答案：(2,4] 【点睛】在解三角形中，对于求边或角范围的题，一般利用正弦定理或余弦定理把边转化为角的三角函数，注意求出角的范围，再求三角函数值域．16【分析】先用等体积法转化：三棱锥1B EBD -的体积相当于三棱锥1E B BD -的体积，然后求得底面积和高，运用体积公式解出即可.【详解】过点A 做BC 的垂线，垂足为M ，因为在正三棱柱111ABC A B C -中，所以1AA //平面1B BD故点E 到平面1B BD 的距离就相当于点A 到平面1B BD 的距离，AM 垂直BC ，且平面ABC 垂直平面1B BD ，且平面ABC 垂直平面1B BD =BC故AM 就是点A 到平面1B BDAM =113232B BD S =⨯⨯=因为11113B BDE E B BD B BD V V S AM --==⨯⋅=【点睛】本题考查了立体几何的垂直问题以及求体积的问题，解题关键是能否运用等体积法，属于基础题.17．（1）:34140l x y +-=； （2）3144y x =--，或32944y x =-+. 【分析】(1)先求p ，再根据点斜式得直线l 的方程，(2)根据平行关系设直线m 方程，再根据点到直线距离确定直线方程.【详解】（1）()()250250kx y k k x y -++=++-=，，所以过定点P (-2,5) 因此35(2)4y x -=-+，即:34140l x y +-= （2）设直线3:4m y x b =-+，则134b =⇒=-或294 ∴ 直线m 为：3144y x =--，或32944y x =-+ 【点睛】本题考查直线方程以及点到直线距离,考查基本分析求解能力,属基础题.18．（1）见解析； （2）见解析.【解析】 【分析】 ()1推导出1EC BD =，从而四边形1BDC E 是平行四边形，进而1//BE DC ，由此能证明//BE 平面1AC D .()2推导出1AD BB ⊥，AD BC ⊥，从而AD ⊥平面11.BCC B 由此能证明平面1ADC ⊥平面11BCC B ．【详解】()1在直三棱柱111ABC A B C -中，点D ，E 分别是边BC ，11B C 中点，1EC BD =∴，∴四边形1BDC E 是平行四边形， 1BE //DC ∴，BE ⊄平面1AC D ，1DC ⊂平面1AC D ，BE //∴平面1AC D.()2在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ABC ⊥，1AD BB ∴⊥，点D 别是边BC ，且AB AC =，AD BC ∴⊥，1BC BB B ⋂=，AD ∴⊥平面11BCC B ．AD ⊂平面1ADC ，∴平面1ADC ⊥平面11BCC B ．【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象，逻辑推理能力，是中档题．19．（1）2x + 3y − 5 = 0 （2）11【详解】（1）()()()2,4,0,2,2,3,A B C AB --∴的中点()1,1,M AB 边上的中线CM 过点()1,1和()2,3,-∴中线CM 的斜率是312,213k -==-∴--直线的方程是2350x y +-=.(2)()()()2,4,0,2,2,3,A B C AB AC BC --∴==,cos sinA A ∴==∴=, 1112ABC S ∆∴=⨯=.20．(1)?a 3=，b 2=. ； (2 【分析】 ()1根据c =C 3π=，结合余弦定理得到a b ，关系式，再由23sinA sinB =，得到23a b =，两式联立即可求出a b ，；()2根据cosB?10=sin2B ，再由()sin2A sin2πB C =--即可求出结果. 【详解】()1c 7=，C 3π=，∴由余弦定理得：222c a b 2abcosC =+-，即22a b ab 7+-=①， 2sinA 3sinB =，由正弦定理化简得：2a 3b =②，∴联立①②解得：a 3=，b 2=；()2cosB 10=，B 为三角形内角，sinB 10∴==， 3sin2B 2sinBcosB 5∴==，()4π13sin2A sin2πB C sin 2B sin2B 32210-⎛⎫∴=--=-=-+= ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型.21．（1）2 【分析】（1）连接BD ，在△BCD 中由余弦定理得BD 的值，在Rt △BDE 中，求解BE 即可； （2）设∠ABE ＝α，在△ABE 中，由正弦定理求解AB ，AE ，表示S △ABE ，然后求解最大值．【详解】如解图所示，连接BD ，（1）在三角形BCD 中，32DE BC CD ===千米，0120BCD ∠=， 由余弦定理得：2222?·cos 27BD BC CD BC CD BCD =+-∠=，所以BD =∵BC CD =，0120BCD ∠=，∴030CDB CBD ∠=∠=∵0120CDE ∠=，∴0001203090BDE CDE CDB ∠=∠-∠=-=在Rt BDE ∆中，BE ===（千米）∴小道BE的长度为（2）如图所示，设ABE α∠=，∵060BAE ∠=，∴000018018060120AEB BAE ααα∠=-∠-=--=-在三角形ABE 中，由正弦定理可得：sin sin sin AB AE BE AEB ABE BAE ====∠∠∠，∴()0120AB α=-，AE α=， ∴01sin602ABE S AB AE ∆=⨯()01120sin 2αα=⨯-，()()001cos 120cos 1202αααα⎫⎡⎤=--+---⎬⎣⎦⎭，()0cos 120224α=-+， ∵000120α<<，∴0001202120120α-<-<，故当060α=时，ADE S ∆取得最大值，最大值为244=+=. ∴球类活动场所ABE ∆的面积最大值为4平方千米. 【点睛】 本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，考查了三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．22．（1）见解析；（2. 【详解】 （1）取AB 的中点E E ，连结DE ，SE ,则四边形BCDE 为矩形．2DE CB ∴== AD ∴==,因为侧面SAB 为等边三角形，2AB =,所以2SA SB AB ===，且SE =又因为1SD =，所以222SA SD AD +=，222SE SD ED +=，所以SD SA ⊥，SD SE ⊥，而SA SAB ⊂面，SE SAB ⊂面，SA SE S ⋂=，所以SD SAB ⊥平面．（2）过点S 作SG DE ⊥于G ，因为AB SE ⊥，AB DE ⊥，所以AB SDE ⊥平面，又因为AB ABCD ⊥平面，即SDE ABCD ⊥平面平面，由平面与平面垂直的性质，知SG ABCD ⊥平面,在RT DSE ∆中，由SD SE DE SG ⋅=⋅，得12SG =⨯ 12SG =⨯，所以SG = 过点A 作 AH SBC ⊥平面于H ，取SB 中点F ,连结,AF FH BH ， 则AFH ∠为二面角A SB C --的平面角，因为//CD AB ，AB SDE ⊥平面，所以CD SDE ⊥平面，所以CD SD ⊥,在RT CDS ∆中，由1CD SD ==，求得SC =在SBC ∆中，2SB BC ==， ,所以212SBC S ∆== ． A SBC S ABC V V --=，得1133SBC ABC S AH S SG ∆∆⋅=⋅ 1133SBC ABC S AH S SG ⋅=⋅ ，即11122332AH =⨯⨯⨯解得AH =，所以sin7AH AFH AF ∠===,故二面角A SB C --的平面角的正弦值为7．。