变化率与导数(教学设计)

3．1变化率与导数（教学设计）（3）

3．1．3导数的几何意义

教学目标：

知识与技能目标：

通过实验探究，理解导数的几何意义，体会导数在刻画函数性质中的作用。

过程与方法目标：

培养学生分析、抽象、概括等思维能力；通过“以直代曲”思想的具体运用，使学生达到思维方式的迁移，培养学生科学的思维习惯。

情感、态度与价值观目标：

渗透逼近和“以直代曲”思想，能激发学生的学习兴趣，培养学生不断发展、探索知识的精神，引导学生从有限中认识无限，体会量变和质变的辩证关系，感受数学思想方法的魅力。

教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；

教学难点：导数的几何意义．

教学过程：

一、复习回顾：

导数的概念：

从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是: 0000

(

)()lim

lim x x f x x f x f x x

∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数，记作'0()f x 或0'|x x y =，即 0000()()()lim x f x x f x f x x

∆→+∆-'=∆ 说明：（1）导数即为函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率 （2）0x x x ∆=-，当0x ∆→时，0x x →，所以000

0()()()lim x f x f x f x x x ∆→-'=- 二．创设情景，新课引入：

（一）平均变化率、割线的斜率

（二）瞬时速度、导数

我们知道，导数表示函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率，反映了函数y =f (x )在x =x 0附近的变化情况，导数0()f x '的几何意义是什么呢？

三．师生互动，新课讲解：

（一）曲线的切线及切线的斜率：

如图 3.1-2，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？

图3.1-2

我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.

问题：⑴割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？

⑵切线PT 的斜率k 为多少？

容易知道，割线n PP 的斜率是00

()()n n n f x f x k x x -=

-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()x f x x f x k f x x ∆→+∆-'==∆ 说明：

（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx →0时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率.

这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;

②切线斜率的本质—函数在0x x =处的导数.

（2）曲线在某点处的切线:

1)与该点的位置有关;

2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;

3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.

（二）导数的几何意义：

函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，

即 0000()()()lim x f x x f x f x k x

∆→+∆-'==∆ 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P 点的坐标; ②求出函数在点0x 处的变化率0000

()()()lim x f x x f x f x k x ∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；

③利用点斜式求切线方程.

（二）导函数：

由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '，

即: 0()()()lim x f x x f x f x y x

∆→+∆-''==∆ 注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．

（三）函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系。

1）函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

2）函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的， 就是函数f(x)的导函数

3）函数()f x 在点0x 处的导数'0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值，这也是 求函数在点0x 处的

导数的方法之一。

例1:（1）求曲线y =f (x )=x 2+1在点P (1,2)处的切线方程.

（2）求函数y =3x 2在点(1,3)处的导数.

解：（1）222

100[(1)1](11)2|lim lim 2x x x x x x y x x

=∆→∆→+∆+-+∆+∆'===∆∆, 所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为22(1)y x -=-即20x y -=

（2）因为222211113313(1)|lim lim lim3(1)611

x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=--

所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为36(1)y x -=-即630x y --=

例2：求函数f (x )=x x +-2

在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 解：x x x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim (3)3x x y x x f x x x

→→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆V V 例3（课本P77例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数

2() 4.9 6.510h t t t =-++，根据图像，请描述、比较曲线()h t 在0t 、1t 、2t 附近的变化情况． 解：我们用曲线()h t 在0t 、1t 、2t 处的切线，刻画曲线()h t 在上

述三个时刻附近的变化情况．

（1） 当0t t =时，曲线()h t 在0t 处的切线0l 平行于x 轴，所以，

在0t t =附近曲线比较平坦，几乎没有升降．

（2） 当1t t =时，曲线()h t 在1t 处的切线1l 的斜率1()0h t '<，

所以，在1t t =附近曲线下降，即函数

2() 4.9 6.510h x x x =-++在1t t =附近单调递减．

（3） 当2t t =时，曲线()h t 在2t 处的切线2l 的斜率2()0h t '<，

所以，在2t t =附近曲线下降，即函数

2() 4.9 6.510h x x x =-++在2t t =附近单调递减．

从图3.1-3可以看出，直线1l 的倾斜程度小于直线2l 的倾斜程度，这说明曲线在1t 附近比在2t 附近下降的缓慢．

例4（课本P78例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度()c f t =(单位：/mg mL )随时间t （单位：

min ）

变化的图象．根据图像，估计0.2,0.4,0.6,0.8t =时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到0.1）．

解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度()f t 在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线()f t 在此点处的切线的斜率．

如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．

作0.8t =处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91)，(1.0,0.48)，则它的斜率为：

0.480.91 1.41.00.7

k -=

≈-- 所以 (0.8) 1.4f '≈- 下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：

t 0.2

0.4 0.6 0.8 药物浓度瞬时变化率'()f t

0.4

0 -0.7 -1.4

课堂练习