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第二节TOPSIS法第二节 TOPSIS法多属性决策问题广泛地存在于社会、经济、管理等各个领域中，如投资决策、项目评估、质量评估、方案优选、企业选址、资源分配、科研成果评价、人员考评。
决策者要从具有多个属性的一组备选方案中进行选择，其目的是要从多个备选方案中选择一个相对最优的方案，使该方案的各个属性能最大程度地达到决策者满意。
属性是指“目标”或“指标”，上述各个备选方案通常都具有多个属性，而各个属性一般具有不同的单位，各个属性之间还有可能存在冲突。
多属性决策往往只含有有限个预先制定的方案。
满意方案的最后抉择与产生最后决策的属性满足程度有关，最终方案的选择在属性内进行判断与比较完成。
多属性决策概述1、多属性决策概述，对于每经典多属性决策问题可以描述为:给定一组可能的备选方案,,X,x,x,...,x12m个方案，都需要从若干个属性 (每个属性代表不同的评价准则)去对,,U,u,u,...,ux12ni其进行综合评价。
决策的目的就是要从这一组备选方案中找到一个使决策者达到最满意的方案，或者对这一组方案进行综合评价排序，且排序结果能够反映决策者的意图。
多属性决策问题具有以下四个特点;(1)决策问题的目标及目标属性不只一个。
例如，一个企业在经营过程中不仅要考虑产量尽可能多，还要考虑成本、产品性能等多个目标及目标属性。
(2)多属性决策问题的目标间不可公度，即各目标没有统一的计量单位或者衡量标准，因此难以进行比较。
例如:本科生可以用学分或绩点来考核其在校期间的学习情况，发电厂可以用年发电量(亿度,年)或装机容量(万千瓦)来描述其发电能力，这两者是没有统一标准的，即不可公度。
而某个集装箱的大小只能用容积(立方米)来表述，投资的多少则应该用货币(万元)表示，这两个是有统一标准的，即可公度。
(3)各目标间的矛盾性。
如果多属性决策问题中，存在一个备选方案能使所有目标都达到最优，也就是说存在最优解，那么目标间的不可公度性就不成问题了，但是这种情况很少出现。
TOPSIS综合评价法TOPSIS综合评价法（The Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）是一种常用于多指标决策的综合评价方法。
它可以将多个评价指标综合起来，对不同的方案进行排名，找出最优解。
下面将详细介绍TOPSIS综合评价法的原理、步骤以及应用。
TOPSIS综合评价法的原理基于两个关键概念：最优解和最劣解。
最优解是指在评价指标上取最大值的解，而最劣解是指在评价指标上取最小值的解。
TOPSIS的目标是找到一个最优解，使其与最优解之间的距离最大，与最劣解之间的距离最小。
距离计算采用欧氏距离或其他合适的距离度量方法。
1.确定评价指标：根据具体的评价对象和评价目标，确定需要评价的指标。
这些指标应该具有普适性、可度量性和可比较性。
2.数据标准化：对原始数据进行标准化处理，将不同量纲的指标值转化为无量纲的相对指标值。
常见的标准化方法有最大-最小标准化、标准差标准化等。
3.构建评价矩阵：将标准化后的指标值组成评价矩阵，矩阵的每一行代表一个评价对象，每一列代表一个评价指标。
4.确定权重：根据评价指标的重要性确定各指标的权重。
可以使用主观赋权、客观权重法、层次分析法等方法进行权重确定。
5.构建决策矩阵：根据评价矩阵和权重，构建标准化加权评价矩阵。
6.确定理想解和负理想解：根据评价指标的性质确定理想解和负理想解。
理想解是在每个指标上取最大值的解，负理想解是在每个指标上取最小值的解。
7.计算各解与理想解和负理想解之间的距离：利用欧氏距离或其他距离度量方法，计算每个解与理想解和负理想解之间的距离。
8.计算综合得分：根据距离，分别计算每个解与理想解和负理想解的距离比值，得到综合得分。
9.排序：按照综合得分的大小对解进行排名，得到最优解。
TOPSIS综合评价法可以在各种决策环境中应用。
它适用于工程技术领域、经济管理领域、环境评估领域等。
评价类模型——TOPSIS法（优劣解距离法）⼀、TOPSIS⽅法TOPSIS法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法TOPSIS 法是⼀种常⽤的综合评价⽅法，其能充分利⽤原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价⽅案之间的差距。
基本过程为先将原始数据矩阵统⼀指标类型（⼀般正向化处理）得到正向化的矩阵，再对正向化的矩阵进⾏标准化处理以消除各指标量纲的影响，并找到有限⽅案中的最优⽅案和最劣⽅案，然后分别计算各评价对象与最优⽅案和最劣⽅案间的距离，获得各评价对象与最优⽅案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。
该⽅法对数据分布及样本含量没有严格限制，数据计算简单易⾏。
例题1：请你为以下四名同学进⾏评分，该评分能合理的描述其⾼数成绩的⾼低。
分析：此评价指标只有⼀项即“成绩”，评价对象为4个。
topsis分析⽅法如下：解：1.取指标成绩中，最⾼成绩max ： 99 最低成绩min：60构造计算评分的公式：2.根据评分公式为每⼀评价对象进⾏打分，构建如下评分表格、并归⼀化3.打分完成，接下来可以由评分确定谁的成绩最好，谁的最差。
可见，清风的成绩最好，⼩王的最差例题2：请你为以下四名同学进⾏评分，该评分能合理的描述其综合评价。
分析：例题1考虑的评价指标只有⼀个，例题2转化为两个评价指标，且评价时指标⼀（成绩）应该越⼤越好，指标⼆（与他⼈争吵次数）应该越⼩越好。
这就引发⽭盾，怎么确定评分使得兼顾两种不同取向的指标？注：成绩是越⾼（⼤）越好，这样的指标称为极⼤型指标（效益型指标）。
与他⼈争吵的次数越少（越⼩）越好，这样的指标称为极⼩型指标（成本型指标）。
解：1.将所有的指标转化为极⼤型指标，即指标正向化。
极⼩型指标转换为极⼤型指标的公式：max-x正向化后得到的表格如下：2. 为了消去不同指标量纲的影响，需要对已经正向化的矩阵进⾏标准化处理。
9.3 TOPSIS 法（1）TOPSIS 法的求解思路TOPSIS 是逼近理想解的排序方法（technique for order preference by similarity to ideal solution ）的英文缩略。
它借助多目标决策问题的理想解和负理想解给方案集X 中各方案排序。
（2）TOPSIS 法的算法步骤对于效益型和成本型指标，多目标决策问题的TOPSIS 法共包括六个步骤：第一步 构造标准化决策矩阵Y ：n m ij y Y ⨯=)(,∑==mi j i j i j i x x y 12,N j M i ∈∈,，规定0≥ij x 。
第二步 构造加权的标准化决策矩阵Z ：n m ij z Z ⨯=)(,j i j j i y w z =,N j M i ∈∈,，其中指标的权向量为()1,,,,121=⋅⋅⋅∑==nj j n w w w w W 。
第三步 确定正理想解+x 和负理想解-x ：定义两个虚拟方案，即正理想方案),,,(21++++⋅⋅⋅=n x x x x ，负理想方案),,,(21----⋅⋅⋅=n x x x x ，其中ij i j ij i j z x z x min ,max ==-+(j 为效益型指标)；ij ij ij i j z x z x max ,min ==-+( j 为成本型指标)。
第四步 计算各方案分别与正理想解和负理想解的欧式距离+i S 和-i S 。
∑=+++-=-=n j j ij i x z x z S i 12)(,∑=----=-=n j j ij i x z xz S i 12)(，M i ∈，()j i i i i z z z z ,,,21⋅⋅⋅=。
第五步 计算各方案与正理想解的相对贴近度：)(-+=+-i i i i S S S C ,M i ∈。
第六步 排列方案的优先序：按照i C 由大到小排列，前面的优于后面的。
topsis简介Topsis法，全称为Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution中文常翻译为优劣解距离法，该方法能够根据现有的数据，对个体进行评价排序。
Topsis法和之前讲过的AHP方法一样，都可以对一系列的个体进行评价，不过通常来说AHP的应用场景是在没有明确的量化指标的情况下，而topsis是在有量化指标的情况下完成的。
例如，我们之前的例子是说小明想要买饮料，那么如何从可乐，雪碧和汇源果汁中进行选择，这很明显大部分是基于买饮料的人的主观想法进行选择的。
Topsis法应用的场景就比如在医院检查身体，医生最后会给每个人体检报告，上面有你的一些和健康相关的指数，在这种有实实在在数字支持的时候，如何较为客观的评价大家的健康状况就是我们要研究的问题。
1. topsis法基本原理Topsis法的基本原理从他的中文名称中就可以大体知晓——优劣解距离法，那么简单的理解就是一个指标，到该指标的最优解的距离越小说明越好，举个例子，考试满分是100分，那么你考了90分，和100的距离是10分，小明考了80分，和最好的100分距离是20分，比你更远，所以从成绩上看你要比小明更接近最优的分数，所以你更好，就这么简单。
当数据是多个维度的时候，比如说有好多次的成绩，有月考成绩，期中考试成绩，期末考试成绩。
那么为了知道谁的分数最好，我们就可以计算在三维上，成绩到最好成绩之间的距离作为指标，距离越近说明成绩越好。
比如你的成绩是（90,95,90），最好的成绩是（100,100,100）那么你到最好的成绩之间的距离就是：这里这个距离越小，就说明你到最优点的距离越小，也就越好，基本的思想就是这样的，但是实际上还有一些小的改动。
我们以下面的表格为例我们仔细观察上面的表格，发现事情没有想象的那么简单，数据纷繁复杂大小不一，最优的值也不像考试一样有个100分的明确指标，如何综合的考虑这些指标，就是今天要解决的问题。
第二节 TOPSIS 法多属性决策问题广泛地存在于社会、经济、管理等各个领域中，如投资决策、项目评估、质量评估 、方案优选 、企业选址 、资源分配 、科研成果评价 、人员考评 。
决策者要从具有多个属性的一组备选方案中进行选择，其目的是要从多个备选方案中选择一个相对最优的方案，使该方案的各个属性能最大程度地达到决策者满意。
属性是指“目标”或“指标”，上述各个备选方案通常都具有多个属性，而各个属性一般具有不同的单位，各个属性之间还有可能存在冲突。
多属性决策往往只含有有限个预先制定的方案。
满意方案的最后抉择与产生最后决策的属性满足程度有关，最终方案的选择在属性内进行判断与比较完成。
多属性决策概述 1、 多属性决策概述经典多属性决策问题可以描述为：给定一组可能的备选方案{}m x x x X ,...,,21=，对于每个方案i x ，都需要从若干个属性 {}n u u u U ,...,,21=（每个属性代表不同的评价准则）去对其进行综合评价。
决策的目的就是要从这一组备选方案中找到一个使决策者达到最满意的方案，或者对这一组方案进行综合评价排序，且排序结果能够反映决策者的意图。
多属性决策问题具有以下四个特点；（1）决策问题的目标及目标属性不只一个。
例如，一个企业在经营过程中不仅要考虑产量尽可能多，还要考虑成本、产品性能等多个目标及目标属性。
（2）多属性决策问题的目标间不可公度，即各目标没有统一的计量单位或者衡量标准，因此难以进行比较。
例如：本科生可以用学分或绩点来考核其在校期间的学习情况，发电厂可以用年发电量（亿度／年）或装机容量（万千瓦）来描述其发电能力，这两者是没有统一标准的，即不可公度。
而某个集装箱的大小只能用容积（立方米）来表述，投资的多少则应该用货币（万元）表示，这两个是有统一标准的，即可公度。
（3）各目标间的矛盾性。
如果多属性决策问题中，存在一个备选方案能使所有目标都达到最优，也就是说存在最优解，那么目标间的不可公度性就不成问题了，但是这种情况很少出现。
换言之，大量存在的现象是各属性之间存在着某种矛盾，即存在着冲突——当采用一种方案改进某一个目标值的同时，很可能使另一个目标值不能够得到改善，甚至会使这个目标值变差。
例如，某化工企业想拓展业务领域，意图收购某机械厂，但是拓展领域的同时可能会给企业短期效益带来损害，而且如果收购后经营不善很可能导致企业的亏损甚至倒闭。
（4）决策者的偏好不同导致决策结果不同。
不同的决策者对同一个决策问题会有不同的看法，决策的结果也就有所不同。
所谓仁者见仁智者见智。
2、求解多属性决策问题的准备工作在介绍各种求解多属性决策问题的具体方法之前，我们先要介绍求解的前期准备工作，包括决策问题的描述、相关信息的采集（即形成决策矩阵）、决策数据的预处理和方案的初选（或称为筛选）。
多属性决策的解题步骤第一步是提出问题。
这时对所要面临的问题的认识是主观而含糊的，所提出的目标也是高度概括的。
第二步是明确问题。
这时要使目标具体化，要确定衡量各目标达到程度的标准即属性和属性值的可获得性，并且要清楚地说明问题的边界与环境。
第三步是构造模型。
要选择决策模型的形式，确定关键变量以及这些变量之间的逻辑关系，估计各种参数，并在上述工作的基础上产生各种备选方案。
第四步是评价优化。
要利用模型并根据主观判断，采集或标定各备选方案的各属性值，并根据决策规则进行排序或优化。
第五步是根据上述评价结果，择优付诸实施。
以上各步骤的顺序进行只是一种理想的多准则决策流程，从第三步开始，就有可能需要返回前面的策一步进行必要的调整，甚至从头开始。
决策问题愈复杂，反复的可能性就愈大，重复的次数也愈多。
3、决策矩阵对于多属性决策问题，设可供选择的方案集为{}m x x x X ,...,,21=；用{}tn t t t y y y Y ,...,,21=表示方案i x 的n 个属性值；当目标函数为j f 时，n j m i x f y i j ij ,...,1;,...,1),(===。
各方案的属性值可列成决策矩阵或属性矩阵、属性表。
该表提供了分析决策问题所需的基本信息，各种数据的预处理和求解方法都以此作为分析的基础。
决策矩阵mnmj m min ij i i nj n j y y y x y y y x y y y x y y y ..................... (11111111)例 设某连锁快餐店在某地区现有6个分店，由于无法完全满足该地区用餐、送餐需求，需要扩建其中的一个分店。
在扩建时既要满足就近送餐的要求，又要使扩建的费用尽可能小。
经过调研，获得如表所示的决策矩阵。
例 为了客观地评价某城市5个街区，监管部门组织了一次评估，选择其中一个作为示范性街区。
由于所评价的街区包括商业街、小型工业园区、城市绿化用地、文化娱乐街、住宅区等，所以有关部门收集了一些数据作为评价标准。
对于评选示范性街区，不是单凭绿化面积大或者税收收入多就能当选的，而是要综合考虑各街区的各个属性指标。
表中所给出的是为了介绍各种数据预处理方法的需要而选的四种典型属性和经过调整了的数据。
4数据预处理数据预处理又称属性值的规范化，主要有如下三个作用（要求）：第一， 属性值有多种类型。
有些指标的属性值越大越好，如人均绿地面积、税收等，称为效益型指标； 有些指标的值越小越好，如扩建分店的费用、平均送餐距离等，称为成本型指标。
另有一些指标的属性值，既非效益型又非成本型例如表中示范性街区的评估中的人均绿地面积，街区绿地面积并不是像城市绿地面积那样越大越好，否则远郊甚至山区就会毋庸置疑的成为示范区了。
一个街区所指的是城市里的一条街或者一个小区，其经济贡献的大小往往不容忽视。
人均绿地面积过大说明该街区的土地利用率过低，对经济发展贡献较小，而且无人区过大往往会成为暴力犯罪高发场所，治安管理难度较大；人均绿地面积过小则居住过于拥挤，人口密集，居民生活质量较差，商业、工业等较少，财政收入很低。
这几类属性放在同一个表中不便于直接从数值大小判断方案的优劣，因此需要对决策矩阵中的数据进行预处理，使表中任一属性下性能越好的方案经过变换后其属性值越大。
第二，非量纲化。
多属性决策与评估的困难之一是目标间的不可公度性，即在属性值表中的每一列数的单位（量纲）都不相同。
即使对同一属性，采用不同的单位计量，表中的数值就会不同。
在用多属性决策方法进行分析评价时，需要排除量纲的选用对决策或评估结果的影响，这就是非量纲化，或者说是设法消去（而不是简单删除）量纲，即仅用数值的大小来反映属性值的优劣。
第三，归一化。
属性值表中不同属性的属性值的数值大小差别很大。
如街区税收即使已经以万元为单位，其数量级还是成百上千。
而在住宅商品房面积、交通事故死亡率的数量级是个位数或小数。
为了直观，更为了便于采用各种多属性决策方法进行评价，需要把属性值表中的数值进行归一化，即把表中数均变换成0~1的区间上。
在大部分情况下，数据预处理的本质是要给出某个属性的属性值在决策人评价方案优劣时的实际价值。
下面我们介绍几种常用的数据预处理方法。
（1）线性变换原始的决策矩阵记为)(ij y Y =，变换后的决策矩阵记为n j m i z Z ij ,...,1;,...,1),(===。
设maxjy 是决策矩阵中第j 列中的最大值，minj y 是决策矩阵中第j 列中的最小值。
若j 为效益型属性，则max/jij ij y y z =若j 为成本型属性，则min/1j ij ij y y z -= 成本型属性也可以用下式进行变换ij j y y z ij /min '= 对上述街区选择问题经过线性变换后的属性值表为（1）标准0-1变换对上述变换，属性值进行线性变换后，若属性j 的最优值为1，则最差值一般不为0；若最差值为0，最优值就往往不为1.为了使每个属性变换后的最优值为1,且最差值为0，可以进行标准0-1变换。
对j 为效益型属性时，令min max minjjij ij yyy y z j --=对j 为成本属性时，令min max max jjij ij yyy y z j --=（3）最优值为给定区间时的变换有些属性既非效益型又非成本型，即不是太大或者太小都不好，如人均绿地面积。
显然这种属性不能采用前面介绍的两种方法处理。
设给定的最优属性区间为],[*0j j y y ，+-j j y y ,分别为无法容忍下限和上限，则：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥---≤≤<<---=++--其它若若若0)/()(11)/()(1****000j ij j j j j ij jij j oj ij j j j ij j ij y y y y y y y y y y y y y y y y y z 假设示范性街区最优的人均绿地面积为区间[5,6]。
则最优街区属性2的数据处理结果为：（4）向量规范化无论成本型属性还是效益型属性，向量规范化都用下式进行：∑==mi ijijij yy z 12这种变化也是线性的，但是它与前面介绍的三种变化不同，单从它变换后的属性值的大小无法分别属性的优劣，它的特点是规范化后，各方案的各属性值的平方和为1。
（5）原始数据的统计处理有些时候某目标的方案属性值往往相差极大，或者由于某种特殊原因只有某个方案属性特别突出。
如果按一般方法对这些数据进行预处理，该方案属性在评价中将被不适当地夸大。
如表3-1-5所示的评估问题，街区5的第一属性值远大于其他方案，若不作适当处理，会使整个评估结果发生扭曲。
为此可以采用统计平均方法。
具体做法有多种方式，其中之一是设定一个百分制平均值M ，将方案集x 中各方案该属性的均值定位于M ，再用下式进行变换：M M y yy y z jjj ij ij +---=)00.1(max其中∑==mi ij j y m y 11是各方案属性j 的均值，m 为方案个数，M 的取值可在0.5-0.75之间。
也可以由多种变形，如：75.0/)(1.0'+-=j j ij y y z ij σ其中j σ为方案集X 中各方案关于指标j 的属性值的均方差，当高端均方差大于j σ5.2时变换后的均值为1.00.（6）数量化在进行定性比较时，各对方案间的属性值应该比较接近，否则定性定量分析没有多大意义。
如果个别情况下属性值之间相差过大时，应该把“过大的”分解、“过小的”聚合。
当比较的属性值比较接近时，通常人们的判断习惯用相等（当）、较好、好、很好和最好这类语言表达，类似地有较差、差、很差和最差共9个定性等级。
心理学家ler 经过试验表明，在某个属性上对若干个不同物体进行辨别时，普通人能够正确区别的等级在5级至9级之间。
