初一年级奥数知识点：从算式到方程

第三章 一元一次方程 第9讲 从算式到方程知识导航1.方程及方程的解的概念.2.一元一次方程的概念.3.等式的性质.【板块一】一元一次方程的概念方法技巧1.判断一个方程是否为一元一次要抓住四点：①只含有一个未知数；②未知数的次数是1；③方程的等号两边的式子均为整式；④化简后未知数的系数不为0.2.运用一元一次方程的概念可以求字母的值. 题型一 判断一元一次方程【例1】下列方程是一元一次方程的是( )A.x －2＝2xB.2x＝5x －1 C.249xxD. x ＋2y ＝0【练1】下列方程①x ＝4；②x －y ＝0；③2(y 2－y )＝2y 2＋4；④120x中，是一元一次方程的有( ) A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个题型二 运用一元一次方程的概念求值 【例2】方程2(4)40a a xx 是关于x 的一元一次方程，求a 的取值.【练2】若2(3)82m m x是关于x 的一元一次方程，则m 的值是( )A. 3B.－3C.±3D.不能确定针对练习11.方程：①0.3x ＝1；②y ＝5x －1；③x 2－4x ＝3；④－x ＝6；⑤x ＋2y ＝0.其中一元一次方程有( )A.4个B.3个C.2个D.1个 2.若(m －2)236m x是关于x 的一元一次方程，则m 等于( )A.1B.2C.1或2D.任何数3.已知方程1(2)1a a x 是关于x 的一元一次方程，则x 的值为 .【板块二】一元一次方程的解方法技巧1.将一元一次方程的解代人原方程中，可以求出字母的值2.根据一元一次方程的解的关系，求字母的值3.根据一元一次方程无解或有无数个解的情况，求字母的值题型一已知一元一次方程的解求字母的值【例3】关于x的一元一次方程(a＋1)x＋a2－1＝0的解为x＝0，求a的值.【练3】方程2x＋1＝3与2x－33a＝0的解相同，求a的值.题型二根据方程的解的关系求字母的值【例4】m为何值时，关于x的方程4x－2m＝3x－1的解是x＝2x－3m的解的2倍.【练4】当m为何值时，关于x的方程5m＋2x＝12＋x的解比关于x的方程x(m＋1)＝m(1＋x)的解大2.题型三根据方程无解或有无数个解求字母的值【例5】关于x的方程2a(x＋5)＝3x＋1无解，求a的值.【练5】若关于x的方程(2m＋3)x＝n－2有无数个解，求m，n需要满足的条件.题型四 根据方程的整数解求字母的值【例6】方程mx ＋2x －12＝0是关于x 的一元一次方程，若此方程的解为正整数，则满足条件的正整数的个数为（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个【练6】若关于x 的方程ax ＋5＝x ＋1的解为正整数，则整数a ＝ .针对练习21.下列说法 ①若ab ＜0,则0a b a b+=；②若23mx y ＋(m ＋2)x 2y －1是关于x ，y 的四次三项式，则m ＝±2；③若23(2)2mm x m --+=是关于x 的一元一次方程，则这个方程的解是x ＝1；④若关于x 的方程ax ＋1＝x －b 有无穷多个解，则a ＝1，b ＝－1.其中正确的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个2.下列结论：①若a ＋b ＋c ＝0，且abc ≠0，则方程a ＋bx ＋c ＝0的解是x ＝1； ②若a (x －1)＝b (x －1)有唯一的解，则a ≠b ；③若b ＝2a ，则关于x 的方程ax ＋b ＝0(a ≠0)的解为x ＝12-；④若a ＋b ＋c ＝1，且a ≠0，则x ＝1一定是方程ax ＋b ＋c ＝1的解;其中正确个数有( )A.4个B.3个C.2个D.1个3. 关于x 的方程(x －3)m ＝3－2m 的解是整数，则满足条件的所有的整数m 的值为 .4.关于x 的方程(a －1)x 2＋x ＋a 2－4＝0是一元一次方程，求方程的解.5.若关于x 的方程2m mx -－m ＋3＝0是一元一次方程，求这个方程的解.6.已知方程21k x -＋k ＝0是关于x 的一元一次方程，求方程的解.7.若关手x 的方程23x －3k ＝5(x －k )＋1的解是绝对值最小的数，求k 的值.【板块三】等式的性质方法技巧1.判断等式是否成立，要注意判断等式两边除以的数或式子是否为0.2.两边平衡的天平表示一个等式. 题型一 判断等式是否成立【例7】下列结论错误的是（ ）A.若a ＝b ,则2222a bm m =++ B.若11a bm m =--，则a ＝b C.若x ＝3,则x 2＝3xD.若ax ＋2＝bx ＋2,则a ＝b【练7】已知a ＝b ，c 是有理数，下列各式中不正确的是（ ）A .ac 2＝bc 2B .c －a ＝c －bC .a －c ＝b －cD .a b c c=题型二 用天平表示等式【例8】中央电视台二套“开心辞典”是一档广受大家喜爱的节目，某期节目中有这样一个问题：如图，两个天平都平衡，根据图形可知,3个球体的重量等于 5 个正方体的重量.【练8】如图标有相同字母的物体的质量相同，若A 的质量为20g ，当天平处于平衡状态时，B 的质量为 .针对练习31.下列等式成立的是（ ）A.(－1)2＝2B.－|－2|＝2C.－5a ＋8a ＝－3aD. －2xy ＋3yx ＝xy2.下列判断不正确的是（ ）A.若a ＝b ,则－4a ＝－4bB.若2a ＝3a ,则a ＝0C.若a ＝b ,则ac 2＝bc 2D.若ac 2＝bc 2,则a ＝b3.如图所示，天平左边放着3个乒乓球，右边放着5.4g 的砝码和一个乒乓球，天平恰好平衡，如果设一个乒乓球的质量为xg .（1）请你列出一个含有未知数x 的方程； （2）说明所列的方程是哪一类方程？ （3）利用等式的性质求出x 的值.【板块四】一元一次方程的综合应用方法技巧1.运用一元一次方程可以解决图表问题中的规律问题.2.运用列一元一次方程的方法可以解决数轴上的动点问题.题型一一元一次方程与图表问题【例9】把正整数1,2,3,4，…,2019排列成如图所示的一个表.用一正方形在表中随意框住4个数，把其中最小的数记为x.(1)另三个数用含x的式子表示出来,从小到大依次是，， ;(2)当被框住的4个数之和等于416时，x的值是多少?(3)被框住的4个数之和能否等于2018?如果能，请求出此时x的值；如果不能，请说明理由.【练9】关于x的一次二项式ax＋b的值随x的变化而变化，分析下表中的数据，若ax＋b＝15，则x＝.题型二一元一次方程与动点问题【例10】已知数轴上A，B两个点对应的数分别是a，b，且满足|a＋3|＋(b－9)2＝0.(1)求a，b的值；(2)点M是数轴上A，B之间的一个点，若MA＝2MB，求点M所对应的数；(3)点P，点Q为数轴上的两个动点，点P从A点以3个单位长度每秒的速度向右运动，点Q同时从B点以2个单位长度每秒的速度向左运动.设运动时间为t秒，若AP＋BQ＝2PQ，求时间t的值.【练10】如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，C是AB的中点，且a、b满足|a＋3|＋(b＋3a)2＝0(1)求点C表示的数；(2)点P从点A出发以3个单位每秒的速度向右运动，点Q同时从点B出发以2个单位每秒的速度向右运动，若AP－BQ＝2PQ，求时间t；针对练习41.用边长为1厘米的小正方形在桌面上摆放如图所示的塔状图，第n 次所摆放图形的周长为68厘米，则n ＝ .第1次 第2次 第3次 第4次2.把正奇数1，3，5，…，2017排成如图所示的7列，规定从上到下依次为第1行、第2行、第3行、…，从左到右依次为第1至7列.（1）①图表中共有 个数，数2017在第 行，第 列； ②图表中第n 行第7列的数可用n 表示为 ；（2）按如图所示的方法用一个“L ”形框框住相邻的三个数，设被框的三个数中，最小的一个数为x ，是否存在这样的x 使得被框的三个数的和等于405？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由. （3）（直接填空）若在（2）中“L ”形框框住的三个数的和记为“S ”，则S 的最大值与最小值的差等于 .3.如图，数轴上A ，B 两点所对应的数分别是a 和b ，且()2570a b ++-=.（1）则a ＝ ，b ＝ ；AB 两点之间的距离为 ；（2）有一动点P 从点A 出发第一次向左运动1个单位长度；然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度；在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，……按照如此规律不断地运动，当运动到2018次时，求点P 所对应的有理数；（3）在（2）的条件下，点P 在某次运动时恰好到达某一个位置，使点P 到点B 的距离是点P 到点A 的距离的3倍，请直接写出此时点P 的位置，并指出是第几次运动.。

初一数学上册从算式到方程预习笔记整理一. 教学内容：从算式到方程1. 方程、方程的解、一元一次方程的定义。

2. 等式的性质。

3. 分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。

二. 知识要点：1. 与方程有关的定义（1）含有未知数的等式叫做方程。

（2）使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

（3）只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程。

一元一次方程有两个特点：①未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数；②只含有一个未知数，未知数的次数是1。

2. 等式的性质（1）等式的性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等. 如果a＝b，那么a±c＝__________。

（2）等式的性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 如果a＝b，那么＝__________；如果a＝b（c ≠0），那么＝__________。

关于等式的几点说明：①弄清等式与代数式的区别与联系：等式与代数式不同，等式是含“＝”的式子，代数式不含有等号，它是用运算符号连接数或表示数的字母而成的式子. 等式可用来表示两个代数式之间有相等关系，但代数式不是等式。

②一个等式中，如果等号对于一个，叫做连等式，如③等式的另外两个性质：等式的左右两边互换，所得结果仍是等式，如a＝b，则b＝a（这一性质也叫等式的对称性）；等式具有传递性，如：若a＝b，b＝c，则a＝c（这一性质也叫等量代换）。

3. 学会列方程列方程的一般步骤：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系；（2）“设”就是设未知数；（3）“列”就是列方程，这是最关键的一步. 一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。

列方程需要注意的事项：（1）列方程时，寻找题目中的等量关系是关键，可利用列表、线段图等方法分析已知量与未知量的关系，从而寻找出等量关系式。

七年级上学期数学中，第三章第一节“从算式到方程”主要介绍的是如何将实际问题抽象成数学算式，并进一步转化为方程的过程。

这一部分内容对于建立和理解方程的概念非常重要，是学习代数的基础。

核心内容包括：
1.算式与方程的概念：
●算式：表示数的运算过程，如(3+5)、(2\times4)等。

●方程：含有未知数的等式，目的是找到未知数的值，使等式成立，如
(x+5=10)。

2.方程的构成：
●方程通常包含未知数（如x、y）、常数、运算符（加、减、乘、除）以及等
号“=”。

3.建立方程：
●通过分析实际问题，确定未知数，根据问题中的条件关系，用代数表达式表示
这些关系，从而建立方程。

●例如，如果一个数加上3等于7，可以写成方程\(x+3=7\)。

4.解方程：
●学习基本的解方程方法，如加减法、乘除法，逐步求解未知数。

●对于简单的一元一次方程，目标是通过等式的性质，将未知数单独留在方程的
一边，求出其值。

5.应用题：
●结合生活实际，通过设定未知数，将文字问题转换为方程问题，解决诸如购物
找零、行程问题、工作量分配等问题。

学习重点：
●理解并区分算式与方程的含义。

●掌握将实际问题抽象成方程的能力。

●学会基本的方程解法，特别是解一元一次方程。

通过这部分的学习，学生能够初步掌握利用方程解决实际问题的方法，为后续更复杂的代数学习打下坚实的基础。

七年级数学从算式到方程【本讲主要内容】从算式到方程（什么是方程、什么是一元一次方程、等式的性质）一、理解并掌握一元一次方程的定义；区别列方程与列算式解应用题的优劣；一次方程建模思想。

二、掌握一元一次方程的解的概念；会检验一个数是否是一个方程的解；会用列举法或估算法求一元一次方程的解。

三、掌握等式的两条性质，并会用它解决一些简单的问题。

四、了解方程的概念；巩固等式性质，会用等式性质解一元一次方程。

【知识掌握】【知识点精析】方程的定义及理解：◆方程：含有未知数的等式叫做方程。

如：2x －5=1， x+y=6等。

◆判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式，二是含有未知数的等式。

二者缺一不可。

例：下列各式不是方程的是（ ） A. 3y²+y －4=0 B. x=y+1 C. x²+2xy+y² D.21(x －1)+x=4 分析：含有未知数的等式就是方程 答案：C例：下列方程中一元一次方程的个数是（ ） ①x=－1 ②2x －y=1 ③2(x －y)=1 ④x1=－1 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个分析：扣住只含一个未知数，未知数指数是1。

②③中含有两个未知数。

④中x 的指数是1，但它不是整式。

答案：A 说明：不能认为x1+1=0或11 y －2=0是一元一次方程。

方程的解的定义、如何验证方程的解：◆方程的解：使方程左、右两边都相等的未知数的值，叫做方程的解。

例：方程12（x －3）－1=2x+3的解是（ ） A. x=3 B. x= 354C. x=－4D. x=4 分析：把A 、B 、C 、D 四个x 的值代入方程中计算，使左右两边相等的x 的值即为方程的值。

答案：D 。

方法技巧：也可以把原方程的解求出来再选项。

◆根据方程的解的定义可知，只要将给出的数分别代入方程的左边和右边，看左、右两边的值是否相等。

如果左边=右边，则这个数就是方程的解，否则，左边≠右边，这个数就不是方程的解。

第九集 从算式到方程【知识储备】1、等式与方程的认识2、等式的性质【本集要点】知识点一：等式与方程的概念1.等式的概念：等式是用等号表示相等关系的式子。

如 ：953,,10751213=+=+=+=+x a V x y y x ，都叫等式。

2.方程的概念：含有未知数的等式叫方程。

如845=-x ，其中x 是未知数；又如523=-y x 其中x, y 是未知数。

知识点二：一元一次方程的概念1.一元一次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程例如 15)5(21,1212=+=-x x 等都是一元一次方程.其中“元”是指未知数，“一元”是指只含有一个未知数，“一次”是指未知数的次数都是1.2.解方程：就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解3.方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

4.会根据已知条件列出方程。

5.会检验一个数是不是一个方程的解：将这个数分别代入方程的左边和右边，看是否使左边等于右边。

知识点三：等式的性质1.等式性质1： 等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等。

用字母表示为：如果a=b ，那么a ±c=b ±c2.等式性质2： 等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

用字母表示为：如果a=b ，那么ac=bc ；如果a=b ，那么cb c a （c ≠0）。

注意：①等式两边除以一个数时，这个数必须不为0；②对等式变形必须同时进行，且是同一个数或式。

【终极目标】1．初步学会如何寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念；2．理解一元一次方程.方程的解等概念以及等式的两条性质；3.会用等式的性质解简单的（用等式的一条性质）一元一次方程；4.培养观察.分析.概括及逻辑思维能力以及获取信息，分析问题，处理问题的能力．+ —×3 ÷3【精讲精练】例1.判断下列各式是不是方程，并说明理由：(1) 3+5=4+4 (2) 2a+3b (3) x+2y=5(4) 3+(-2)=8-|7| (5)21x+6=3x-5例2.下列方程中是一元一次方程的是（ ）A. 0342=+-x xB.743=-y xC.023=+xD.12=x 例3.根据下列条件列出方程（1）某数比它的4倍小8。

从算式到方程知识点总结
一、任务和目标
本单元旨在让学生了解和掌握从算式到方程的过渡，理解方程的概念和意义，掌握一元一次方程的解法，并能应用于实际问题。

二、核心内容
1.算式与方程的区别：算式是利用运算符号连接起来的数学表达式，不含未知数;方程是含有未知数的等式。

2.一元一次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程为一元一次方程。

3.解一元一次方程的步骤和方法：
(1) 去分母：将方程中的分数系数化为整数系数。

(2) 去括号：将方程中的括号去掉。

(3) 移项：将方程中的未知数项移到等号的另一侧，常数项移到等号的另一侧。

(4) 合并同类项：将方程中的同类项合并。

(5) 化系数为1：将未知数的系数化为1.
重难点精析
1.理解方程的概念：重点理解方程的本质，即“=”两侧的意义是相等的，以及如何用代数语言描述实际问题中的等量关系。

2.解一元一次方程的步骤：难点在于理解每个步骤的目的和原理，尤其是去分母和移项，需要细心操作，注意操作顺序和符号。

3.应用题中的方程求解：难点在于如何找到应用题中的等量关系，并转化为方程形式，然后通过解方程得到答案。

第三章一元一次方程3.1 从算式到方程一、知识考点知识点1【方程】1、方程：含未知数的等式叫做方程.2、列方程：先设未知数，然后根据问题中的等量关系，写出含有未知数的等式--方程。

相关题型：【例题1】、【例题2】知识点2【一元一次方程】1、一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1的整式方程，叫做一元一次方程。

注意：只要分母中含有未知数的方程一定不是整式方程（也就不可能是一元一次方程了）2、一元一次方程的标准形式：ax+b=0（x为未知数，a、b 为常数，且a≠0，即末知数的系数一定不能为0）相关题型：【例题3】知识点3【解方程】1、解方程：求未知数的过程叫做解方程。

2、方程的解：使方程的等号左右两边相等的未知数的值，就是方程的解。

3、利用等式的性质解方程等式的性质1：等式的两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

如果a=b，那么a±c=b±c等式的性质2：等式的两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0 的数，结果仍相等。

如果a=b，那么ac =bc ；如果a=b（c≠0），那么ac = bc等式的性质（补充）：交换等式的两边，结果仍相等。

如果a=b，那么b=a ；若a=b 且b=c，那么a=c。

注意：解以x为未知数的方程，就是利用等式的性质把方程逐步转化为x=a（常数）的形式。

相关题型：【例题4】、【例题5】、【例题6】【例题1】判断下列各式是不是方程，并说明理由：(1) 3＋5＝4＋4 (2) 2a＋3b (3) x＋2y＝5(4) 3＋(－2)＝8－|7| (5) 12x＋6＝3x－5【解析】方程的概念有两点①是等式，②含有未知数，二者缺一不可。

【答案】解：（1）不是方程。

因为它是不含未知数的等式；（2）不是方程。

因为它不是等式，它是一个代数式；（3）x＋2y＝5 是方程，它是含有未知数x，y 的等式。

（4）不是方程。

因为它是不含未知数的等式。

（5）是方程，它是含有未知数x 的等式【例题2】根据下列问题，设未知数并列出方程(1)用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少?(2)一台计算机已使用1700h，预计每月再使用150h，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450h?(3)某校女生占全体学生数的52％，比男生多80人，这个学校有多少学生?【解析】设未知数，根据等量关系列方程。

从算式到方程（提高）知识讲解【学习目标】1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；3. 理解并掌握等式的两个基本性质.【要点梳理】【高清课堂：从算式到方程一、方程的有关概念】要点一、方程的有关概念1．定义：含有未知数的等式叫做方程.要点诠释：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.要点诠释：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.4．方程的两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（或未知数）.【高清课堂：从算式到方程二、一元一次方程的有关概念】要点二、一元一次方程的有关概念定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.要点诠释：（1）“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．（2）一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中a≠0，a,b是已知数) .（3）一元一次方程的最简形式是：ax＝b（其中a≠0，a,b是已知数）.【高清课堂：从算式到方程三、解方程的依据——等式的性质】要点三、等式的性质1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.2．等式的性质：等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：如果，那么(c为一个数或一个式子) .等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果，那么；如果，那么.要点诠释：（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；(2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立;(3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．【典型例题】类型一、方程的概念1．下列各式，哪些是等式？哪些是方程？①3a+4；②x+2y＝8；③5-3＝2；④12xx-=；⑤y＝10；⑥83x-=；⑦3y2+y＝0；⑧2a2-3a2；⑨3a＜-2a．【答案与解析】解：等式有：②③④⑤⑥⑦；方程有：②④⑤⑥⑦．【总结升华】方程是含有未知数的等式，方程和等式的关系是从属关系，且具有不可逆性，方程一定是等式，但等式不一定是方程，区别在于是否含有未知数．2．下列各方程后面括号里的数都是方程的解的是()．A．2x-1＝3 (2，-1)B．5118xx+=-(3，-3)C.(x-1)(x-2)＝0 (1,2) D．2(y-2)-1＝5 (5，4)【答案】C.【解析】把方程后面括号里的数分别代入方程的左、右两边，使左边＝右边的是方程的解，若左边≠右边的，则不是方程的解．【总结升华】检验一个数是否为方程的解，只要把这个值分别代入方程的左边和右边：若代入后使左边和右边的值相等，则这个数是方程的解；若代入后使方程左右两边的值不相等，则这个数不是方程的解．举一反三：【变式】（2011广东湛江）若是关于的方程的解，则的值为__________.【答案】-1．类型二、一元一次方程的相关概念3．已知下列方程：①210x +=；②x ＝0；③13x x +=；④x+y ＝0；⑤623xx =-；⑥0.2x ＝4；⑦2x+1-3＝2(x -1)．其中一元一次方程的个数是( )．A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【解析】方程①中未知数x 的最高次数是2，所以不是一元一次方程；方程③中的分母含有未知数x ，所以它也不是；方程④中含有两个未知数，所以也不是一元一次方程；⑦经化简后为-2＝-2，故它也不是一元一次方程；方程②⑤⑥满足一元一次方程的条件，所以是一元一次方程．【总结升华】方程中的未知数叫做元，只含有一个未知数称为“一元”，“次”是指含有未知数的项中次数最高项的次数，判断一个方程是不是一元一次方程，看它是否具备三个条件：①只含有一个未知数；②经过整理未知数的最高次数是1；③含未知数的代数式必须是整式（即整式方程）． 举一反三：【变式】(1)已知关于x 的一元一次方程32105m x +=，求得m ＝________． (2)已知方程(m -4)x+2＝2009是关于x 的一元一次方程，则m 的取值范围是________． (3)若||1(2)5m m x--=是关于x 的一元一次方程，则m 的值为( )A ．±2B ．-2C ．2D ．4【答案】(1)13m =-(2)m ≠4 (3)B 类型三、等式的性质4．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪条性质，以及怎样变形得到的．(1)若4a＝8a-5，则4a+________＝8a．(2)若163x-=，则x＝________．(3)13132x y y-=-，则112x+＝________．(4)ax+by＝-c，则ax＝-c________．【答案与解析】解：(1) 5 ；根据等式性质1，等式两边同时加上5．(2)118-；根据等式性质2，等式两边同时除以-6．(3) 2 ；根据等式性质l，等式两边都加上(1+3y)．(4) –by；根据等式性质l，等式两边都加上-by．【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质，对另一边也进行同样的变形．举一反三：【变式】下面方程变形中，错在哪里：（1）由2+x=-4, 得x=-4+2.（2）由9x=-4, 得94x=-.（3）由5=x-3, 得x=-3-5.（4）由3241155x x-+=-，得3x-2=5-4x+1.(5)方程2x=2y两边都减去x+y，得2x-(x+y)=2y-(x+y), 即x-y=-(x-y). 方程 x-y=-(x-y)两边都除以x-y, 得1=-1.(6)由3721223x xx-+=+，得3(3-7x)=2(2x+1)+2x.【答案】（1）不正确.错在数2从方程的等号左边移到右边时没有变号.（2）不正确，错在被除数与除数颠倒（或分子与分母颠倒了）.（3）不正确，错在移项或等号两边的项对调时把符号弄错，正确的变形是：由5=x-3，得5+3=x, 即x=5+3.（4）不正确，没有注意到分数415x中的“分数线”也起着括号的作用，因此当方程两边的各项都乘以5时，+1没有变号.（5）不正确，错在第二步，方程两边都除以x-y，由等式性质2要除以不为零的数.（6）不正确，错在2x没乘以公分母6.类型四、等式或方程的应用5．（2011·河北模拟）观察下面的点阵图形(如图所示)和与之相对应的等式，探究其中的规律：(1)请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式．……(2)通过猜想，写出与第n个图形相对应的等式．【答案与解析】解：通过观察图像可得：图形呈放射状，四条线上每变化一次各增加一个点，第n个图形每条线上应该是n个点；再观察对应的等式：等式的左右两边都是表示对应图形中点的个数，等式的左边是从1个点开始的，第2个图形增加4个点表示为4×1+1，第3个图形又增加4个点，表示为4×2+1，…，第n个图形共增加(n-1)个4个点，表示为4(n-1)+1;等式的右边，把第一个图形看作4点重合为一个点，表示为4×1-3，第2个图形增加4个点，表示为4×2-3，第3个图形又增加4个点，表示为4×3-3，…，第n个图形看作n个4个点少3个点，表示为4n -3，所以有4(n -1)+1＝4n -3．(1) ④4×3+1＝4×4-3 ⑤4×4+1＝4×5-3 (2)4(n -1)+1＝4n -3【总结升华】设出未知量并用此未知量表示出题中的数量关系．举一反三：【变式】（2011山东滨州）某商品原售价289元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程中正确的是( )A.()22891256x -=B.()22561289x -=C.289(1-2x)=256D.256(1-2x)=289 【答案】A。