求线性方程组的方法
摘要：线性方程组是线性代数的一个重要组成部分，也在现实生活中有着广泛的运用，在电子工程、软件开发、人员管理、交通运输等领域都起着重要作用。在一些学科领域的研究中，线性方程组也有着不可撼动的辅助性作用，在实验和调查后期利用线性方程组对大量的数据处理是很方便简洁的选择。本文主要围绕如何解线性方程组来进行讲解，对于不同类型的线性方程组的不同方法，并简述线性方程组的一些实际应用。
关键词：齐次线性方程组，非齐次线性方程组，克莱姆法则，消元法，矩阵，矩阵的秩，特解，通解。
英文题目
The solution of linear equation Linear equations linear algebra is one of the important component parts, and in real life has extensive production use，and it plays an important role in electronic engineering, software development, personnel management, transportation, etc. In some discipline study, it also has the reigns of linear equations of the auxiliary function.In experiment and survey using the linear equations of the late on the data processing is very convenient simple choice.
This article, focusing on how to solve linear equations to explain, for different types of linear equations of different methods, and briefly introduces some of the practical application of linear equations.
Key words:Homogeneous linear equations, Non homogeneous linear
equation,Clem ’s
law,Elimination
method,Matrix,Rank
of
matrix,Special solution,General solution.
正文：
1 引言：在对实际问题的思考中，我们免不了要用到我们所学的
数学知识来解决身边所遇到的问题，建立线性方程组来求解未知数是我们最常见的一类问题。而事实上我们遇到的实际问题种类不一，形式各不相同。因此，就要要求我们了解和掌握更多更有效的方法来求解线性方程组。 2 线性方程组 2.1线性方程组的定义 2.1.1一般线性方程组
所谓一般线性方程组是指形如
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.
,,22112222212111212111n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （1.1） 的方程组，其中n x x x ,,,21 代表n 个未知量，m 是该方程组所包含的方程的个数，
)
,,2,1;,,2,1(n j m i a ij == 称为方程组的
系数，
)
,,2,1(m j b j = 称为常数项。常数项一般写在等式的右
边，一个方程组完全由常数项与系数所确定。 2.1.2齐次线性方程组
所谓齐次线性方程组是指对于一般线性方程组而言，常数项全为零。即齐次线性方程组是指形如
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.
0,0,0221122221211212111n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的方程组。 2.1.3 非齐次线性方程组
所谓非齐次线性方程组是指对于一般线性方程组而言，常数项不全为零。
2.2线性方程组的解法
2.2.1解齐次线性方程组的基本解法
设有齐次线性方程组0=AX (A 为n m ⨯阶矩阵)，及矩阵A A (为齐次线性方程组的系数矩阵)。
首先对齐次方程组系数矩阵的秩进行判定；当n r A R ==)(时，方程组只有零解；当n r A R <=)(时，方程组有无穷多解，此时方程组有r 个独立未知量，r 个独立方程，有r n -个自由未知量，有
r n -个线性无关解向量。
其次，根据解的性质:
i ．设21,ξξ是齐次方程组的解，则22112111,,ξξξξξk k k ++，仍是齐次方程组的解。
ii ．n 元齐次线性方程组0=⨯X A n m 的全体解所构成的集合S 是一个向量空间，当系数矩阵的秩r A R n m =⨯)(时，解空间的维数为
r n -。
iii ．若r n -ξξξ,,,21 是0=AX 的解，且满足： (i) r n -ξξξ,,,21 线性无关；
(ii)任何0=AX 的解向量均可由r n -ξξξ,,,21 线性表出，则向量组r n -ξξξ,,,21 称为0=AX 的基础解系。
最后得出0=Ax 的通解：222211--+++n n k k k ξξξ ，其中
n ξξξ,,,21 是0=Ax 的基础解系，r n k k k -,,,21 是任意实数。
下面介绍基础解系的求法。
对A 施以行初等变换(必要时重新排列未知量的顺序)可得
⎥⎥
⎥⎥
⎥
⎥
⎥⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎣⎡→→+++00
00
0000000000100
010001
121
2111
rn rr n r n r a a a a a a A ， 对应的齐次线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+++=+++=+++++++++0
00
11211221111n rn r rr r n
n r r n n r r x a x a x x a x a x x a x a x 与原方程组0=AX 同解，其中n r r x x x ,,,21 ++为自由未知量，分别取
