2014 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A ={x | x2 -x - 2 ，集合B 为整数集，则A （）．A．{-1, 0,1, 2} B．{-2,-1, 0,1} C．{0, 1} D．{-1, 0}2．在x(1+x)6 的展开式中，含x3 项的系数为（）．A．30 B．20 C．15 D．103．为了得到函数y = sin(2x +1) 的图象，只需把函数y = sin 2x 的图象上所有的点（）．A．向左平行移动12个单位长度B．向右平行移动12个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度4．若a >b > 0，c <d < 0，则一定有（）．A．a b>B．a <b C．a b>D．c d c d d ca b<d c5．执行如图 1 所示的程序框图，如果输入的x, y ∈R ，则输出的S的最大值为（）．A．0 B．1 C．2 D．36．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）．A．192种B．216 种C．240 种D．288 种7．平面向量a = (1, 2)，b = (4, 2)，c =m a +b（m∈R ），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =（）．A．-2 B．-1 C．1 D．28．如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1 中，点O 为线段BD的中点．设点P 在线段CC 上，直线OP1与平面A1BD 所成的角为α，则sinα的取值范围是（）．A．[ 3 ,1]3 B．[ 6 ,1]3C．[ 6 , 2 2 ]3 3D．[2 2 ,1]39．已知f (x) = ln(1+x) - ln(1-x) ，x∈(-1, 1) ．现有下列命题：（）．①f (-x) =-f (x) ；②2xf ( ) = 2 f (x)x 1；③| f (x) |≥ 2 | x | ．其中的所2有正确命题的序号是A．①②③B．②③C．①③D．①②1/ 1510．已知F 是抛物线y =x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA⋅OB = 2（其中2O 为坐标原点），则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是（）．17 28A．2 B．3 C．D．10二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分．11．复数2 2i-=1+i．12．设f (x) 是定义在R 上的周期为2 的函数，当x∈[-1, 1) 时，f (x)⎧- 2 +-≤<4x 2, 1 x 0, =⎨x, 0 ≤x <1,⎩，则3f ( ) =．213．如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为67 ，30 ，此时气球的高是46m ，则河流的宽度 BC 约等于m ．（用46m30°67°四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：s i n 6 7≈0 . ，cos 67 ≈ 0.39，sin 37 ≈ 0.60 ，cos 37 ≈ 0.80 ， 3 ≈1.73）B C14．设m∈R，过定点A的动直线x +my = 0 和过定点B的动直线mx -y -m + 3 = 0交于点P(x, y) ，则| PA|⋅| PB |的最大值是．15．以A 表示值域为 R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数ϕ(x) 组成的集合：对于函数ϕ，存在一个正数M ，使得函数ϕ(x) 的值域包含于区间[-M,M ] ．例如，当ϕ=，(x) 1(x) x3 ϕ=时，ϕ1(x)∈A， 2 (x) B2(x) sin xϕ∈．现有如下命题：①设函数f (x) 的定义域为D ，则“f (x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f (a) =b ”；②函数f (x)∈B 的充要条件是f (x) 有最大值和最小值；③若函数f (x) ，g(x) 的定义域相同，且f (x)∈A，g(x)∈B ，则f (x) +g(x)∉B ；④若函数f (x) =a ln(x + 2) +x（x >-2，a∈R ）有最大值，则f (x)∈B ．x +12其中的真命题有．（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6 小题，共75 分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知函数πf (x) = sin(3x +) ．4（1）求f (x) 的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，(α ) = 4 cos(α+π) cos 2αf3 5 4，求cosα-sinα的值．2/ 1517．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分（即获得 200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？12，（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．3/ 1518．三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图如图所示．设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P 为线段BC 上的点，且MN ⊥NP ．（1）证明：P 为线段BC 的中点；（2）求二面角A-NP-M 的余弦值．4/ 1519．设等差数列{a }的公差为d ，点(a ,b )在函数f (x) = 2x 的图象上（n∈N* ）．n n n（1）若a1 =-2 ，点(a ,4b ) 在函数f (x) 的图象上，求数列{a }的前n 项和8 7 n S ；n(a ,b ) 处的切线在x 轴上的截距为2 1（2）若a1 =1，函数f (x) 的图象在点a-，求数列{ n } 2 2b ln 2n 的前n 项和T ．n5/ 15x y2 2+=（a >b > 0）的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正20．已知椭圆C： 2 2 1a b三角形．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x =-3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P，Q．（i）证明：OT 平分线段PQ（其中O 为坐标原点）；（ii）当|TF || PQ |最小时，求点T 的坐标．6/ 1521．已知函数f (x) = e x -ax2 -bx -1，其中a,b∈R ，e = 2.71828 为自然对数的底数．（1）设g(x) 是函数f (x) 的导函数，求函数g(x) 在区间[0,1]上的最小值；（2）若f (1) = 0，函数f (x) 在区间(0,1) 内有零点，求a 的取值范围．7/ 152014 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷理科）答案解析一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．A【解析】A ={x -1 ，所以A , 0,1, 2}2．C【解析】x(1+x)6 =x(1+6x+15x2 +20x3 +15x4 +6x5 +x6)，所以含x 项的系数为 1533．Ay =x +=x +，所以只需把y = sin 2x 的图像上所有的点向左平移1sin(2 1) sin 2( )1【解析】2 2个单位4．D∴->->，又a >b > 0， a b 01 1 ∴->->， a b【解析】0 ，∴-c >-d > 0 ，∴<d c d c d c 5．C⎧x⎪⎨y【解析】该程序执行以下运算，已知⎪+x y⎩，求S=2x y+的最大值，作出⎧x⎪⎨y⎪+x y⎩表示的区域如图所示，由图可知，当⎧x =1⎨=⎩y 0时，S = 2 x+y的取最大值，最大值为S = 26．B【解析】最左端排甲，有A5 =种排法，最左端排乙，有4A4 = 96种排法，共有120+96 = 216 种5 1204排法7．D【解析】由题意得c ⋅a c ⋅b a b +8 8m+ 20=⇒m = 5 2 528．B【解析】设正方体的棱长为 1，AC =，1 12 AC =，1 3A O =OC =+=， 11 OC =，1 31 12 2 2 8/ 153 3+- 2 12 2cos∠AOC ==所以 1 13 32⨯2 ，sin3 1+-3 32 2 2 2cos∠AOC ==-AOC =， 11 13 332⨯2，sin6AOC =，所以sinα的范围为13⎡⎤6⎢,1⎥3⎣⎦9．C【解析】①f (-x) = ln(1-x) - ln(1+x) =-f (x) ，成立②左边的x可以取任意值，而右边的x ∈ (-1,1) ，故不成立③作出图像易知成立10．B【解析】依题意，1F ( ,0) ，设4A(x , y )，1 1B x y ，则 2 1 2 1 2 2( , ) x =y ， 2x =y ，y2 y2 +y y =，得2 2 1 1 2 2y y =-或1 2 2 y y =，因为A ，B 位于x 轴两侧所以，1 2 1y y =-两面积之和为1 2 21 1 12 1 2 9 S =x y -x y +⨯⨯y =+y +⨯y =+y1 2 2 1 1 1 1 12 2 4 y 8 y 81 1二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分．11．-2i【解析】2-2i 2(1-i)2= =-2i 1+i (1+i)(1-i)12． 1【解析】3 1 1f ( ) =f (-) =-4⨯+ 2 =12 2 413．60【解析】AC = 92，14．546AB =，cos 67AB =BC ，AB sin 37 60BC =≈sin 30 sin 37 sin 309/ 15【解析】易得A(0, 0) ，B(1, 3) ，设P(x,y) ，则消去m得：x2 +y2 -x-3y =0，所以点P 在以AB为直径的圆上，PA ⊥PB，所以PA ⨯PB AB22515．①③④【解析】①若对任意的b∈R ，都有∃a∈D，使得f (a) =b ，则f (x) 的值域必为R ；反之f (x) 的值域为，则对任意的R ，b∈R，都有∃a∈D，使得f (a) =b ；②比如函数f (x) =x(-1 <x < 1) 属于B ，但是它既无最大值也无最小值，故错误；③正确；④正确三、解答题：本大题共6 小题，共75 分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．π16．已知函数f (x) = sin(3x +) ．4（1）求f (x) 的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，(α ) = 4 cos(α+π ) cos 2αf3 5 4，求cosα-sinα的值．πππ解：（1）2kπ-k ∈Z2 4 23ππ2kπ-,4 42 2kπ-πkππ,3 4 3 12∴求f (x) 的单调递增区间为⎡2kπ-π2kπ+π⎤∈，，k Z ．⎢⎥⎣ 3 4 3 12⎦（2）fα=α+π=α+πα,4( ) sin( ) cos( )cos 2 3 4 5 42 4 2( s i n c o s ) ( c o s s i n ) ( c o s α+α=⋅α-α2 α+α, 2 5 22 5(cos sin )α-α=, α是第二象限角，4∴sinα> cosα5∴cosα-sinα=-．217．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分（即获得-200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？12，且10/ 15（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．解：X 可取 10,20,100,-200．1 2⎛ 1 ⎫⎛ 1 ⎫ 3P(X 10) C 1== ⎪ -⎪=13⎝ 2 ⎭⎝ 2 ⎭82 1⎛ 1 ⎫⎛ 1 ⎫ 3P(X = 20) = C ⎪ 1-⎪=23⎝ 2 ⎭⎝ 2 ⎭83 0⎛ 1 ⎫⎛ 1 ⎫ 1P(X =100) = C ⎪ 1-⎪=33⎝ 2 ⎭⎝ 2 ⎭80 3⎛ 1 ⎫⎛ 1 ⎫ 1P(X 200) C 1=-=0 ⎪ -⎪=3⎝ 2 ⎭⎝ 2 ⎭8X 10 20 100 -200P 3 3 1 18 8 8 8 （2）设至少有一盘出现音乐为事件A ．一盘中不出现音乐的概率为1 P =P(X =-200) =．83P =P A =-⎛⎪⎫=( ) 11 511⎝ 8 ⎭512．（3）每一盘游戏的期望为：10E(X ) =10⋅P(X =10) + 20⋅P(X = 20) +100⋅P(X =100) + (-200)⋅P(X =-200) =-8 这说明每盘游戏得分是负分，由概率统计的知识可知：若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．18．三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图如图所示．设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P 为线段BC 上的点，且MN ⊥NP ．（1）证明：P 为线段BC 的中点；（2）求二面角A-NP-M 的余弦值．解：（1）由三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥中，平面ABD ⊥平面CBD， AB =AD =BD =CD =CB = 2，设O 为BD的中点，连接OA，OC ，于是OA ⊥BD ，OC ⊥BD ，所以BD ⊥平面OAC ⇒BD ⊥AC，因为M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，所以MN//BD ，11/ 15又 MN ⊥ NP ，故 BD ⊥ NP ，假设 P 不是线段 BC 的中点，则直线 NP 与直线 AC 是平面 ABC 内 相交直线，从而 BD ⊥平面 ABC ，这与 ∠DBC = 60 矛盾，所以 P 是线段 BC 的中点（2）以O 为坐标原点，OB 、OC 、OA 分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系，则 A (0, 0, 3) ， B，C (0,1, 0) ， M (- 1 ,0, 3)， (1 ,0, 3)(1, 0, 0)N， 22221 3 P ( , ,0)2 2于是 AN = ( ,0,- 3) ， (0, 3 , 3)PN = - ， MN = (1, 0, 0) 2 2 2 2设平面 ANP 和平面 NPM 的法向量分别为 m = (x , y , z ) 和 111n = (x , y , z )222由⎧ 1 3 x - z = 0⎪⎧⎪ ⇒ ⎪ ⎨⎨1 12 2 ⎪⎪PN ⋅m = 0 33 ⎩- + =yz ⎪ ⎩ 2211，设 y 1 =1，则 m = ( 3 ,1,1)由 ⎧x = 0 ⎧⎪ ⇒ ⎪ ⎨ ⎨332⎩⎩ PN n ⋅ = 0 - y +z =⎪ ⎪212 2，设 y 2 =1，则 n = (0,1,1) 0 cos2 10 m ⋅n == ⋅ 5m n5 2，所以二面角 A - NP -M 的余弦值 10 5 19．设等差数列{ }a 的公差为 d ，点(a ,b )在函数 f (x ) = 2x 的图象上（ n ∈ N * ）．nnn（1）若 a 1 = -2 ，点(a ,4b ) 在函数 f (x ) 的图象上，求数列{a }的前 n 项和87nS ；n(a ,b ) 处的切线在 x 轴上的截距为 21a（2）若a1 =1，函数f (x) 的图象在点-，求数列{ n } 2 2b ln 2n 的前n 项和T ．nb =，又等差数列{} 【解析】（1）点(a ,b )在函数f (x) = 2x 的图像上，所以 2a 的公差为d ，所ann n n n以b 1 2 2an+1n+==d b 2ann因为点(a8,4b7 ) 在函数f (x) 的图像上，所以b4b = 2a =b ，所以8 d2d == 4 ⇒= 2 ，又87 8 b7a =-，1 2所以n(n -1)S =na + d =-2n +n -n =n -3n2 2n 12（ 2 ）由 f (x) = 2x ，得到 f '(x ) = x2 l n，函数f (x) 的图像在点(a ,b ) 处的切线方程为2 2by -b2 = (2 ln 2)(x -a2 ) ，所以切线在x 轴上的截距为a a -，得22a=，从而222 2a ln 22 a =n ，b = 2n ，n n得到anbn1=n⋅( )2n1 1 1T =⋅+⋅ 2 +①，1 2 ( ) )nn2 2 212/ 151 1 1 1 1T =⋅+⋅+⋅+n⋅+②，1 ( )2 ( ) ) ( ) ( )2 3 n n 1 n2 2 2 2 2①-②，得1 1 1 1 1 1T =++-n⋅+=-n ++( ) ( ) 1 ( 2)( )2 n 1 n 1 n2 2 2 2 2 21T =-n ++2 ( 2)( )n 1故n2x y2 2+=（a >b > 0）的焦距为 4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构20．已知椭圆 C： 2 2 1a b成正三角形．（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设 F 为椭圆 C 的左焦点，T 为直线x =-3上任意一点，过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P，Q．（i）证明：OT 平分线段 PQ（其中 O 为坐标原点）；（ii）当|TF || PQ |最小时，求点 T 的坐标．解：（1）2c = 4,c = 2a =b, a2 = 3b2 = 4 +b23∴b2 = 2,a2 = 6∴椭圆C 的标准方程：x +y =．2 216 2（2）（i）m - 0 1F(-2, 0), T(-3,m),k ==-m,∴k =FT PQ-3+ 2 m．P Q: y1 (x )m∴=+m⎧=+1() y x m ⎪⎪m ,⎛+⎫++-=3 12 121 x x 6 02⎪⎝m ⎭m m2 2 2, ()m2 + 3 x2 +12x +12 - 6m2 = 0⎨ xy22⎪ += 1⎪⎩ 6 2 ∆ > 0 x + x =P Q12 - 6m2x ⋅ x =PQm2-12 m 2+11144m ()() ()y + y =x + 2 + x + 2 = x + x += PQPQPQ+mmmm m 32PQ 中点⎛ -m ⎫m6 2 ，O T : y = -x + + ⎪ ⎝ m 3 m 3⎭322-6 ⋅⎛- ⎫⎪= 2 m mm 3 3 m 32 + ⎝ ⎭ 2 +∴OT 平分 PQ （ii）TF =-2 + 3 + 0 - m = m +1,222PQ()1 2 6 m m +122 6 m +1 2= 1+=mm3m3 22+2+13 / 15tTF m + 32==PQ m +2 6 12t 2 =()()()2 2m2 m2 m2 m2+ 3 +1 +4 +1 +4 +1 1 1 1 1 1 = = + + + = ()()()24 m +1 24 m +1 24 6 6 m +1 144 6 32 2 2m2 +1 1=当且仅当()24 6 2 1m +时取到等于号，∴(+)，m2 +1=2 ，m2 =1，∴T(-3,±1)．2m2 1 =421．已知函数f (x) =e x -ax2 -bx -1，其中a,b∈R ，e = 2.71828 为自然对数的底数．（1）设g(x) 是函数f (x) 的导函数，求函数g(x) 在区间[0,1]上的最小值；（2）若f (1) = 0，函数f (x) 在区间(0,1) 内有零点，求a 的取值范围．解：（1）g (x)=f '(x)=e - 2ax -b , g'(x)=e - 2a ．因为x∈[0,1],1 ,所以x x①若1a 则2a 所以函数g (x)在区间[0，1]上单增，2g (x)=g ()=-min 0 1 b②若'()()[][]gx=e 1 e<<则1< 2a <e, 于是当0 <x < ln(2a)时，() 2 0,a ,g'x =e x - a <当ln(2a)<x <1时，2 2x-2a>0,ln(2a)ln(2a)1gx，，所以函数在区间上单减，在区间上单增，g x =g ⎣⎡ a ⎦⎤= a - a a -min ln 2 2 2 ln(2 ) b()()③若ea 则2a ()x 2g'x =e - a 所以函数g (x)在区间[0，1]上单减，2g (x)=g ()=e - a -min 1 2 b⎧ -1 1 ba⎪ 2⎪ ⎪1e综上：函数 g (x )在区间[0，1]上的最小值为( )= ⎨ -- < <gx 2a 2a ln(2a ) b a,min2 2 ⎪ ⎪--ee 2a ba ⎪ ⎩2（2）由 f (1)= 0,e - a -b -1= 0,b = e - a -1, 又 f (0) = 0若函数 f (x ) 在区间 (0,1) 内有零点，则函数 f (x ) 在区间(0,1) 内至少有三个单调区间．1由（1）知当 a 或ea函数 f (x ) 在区间(0,1) 上单调，不可能满足条件．若11 ' = - ( ) h x x ln 0,由( )' = - > ⇒ < h x1 e 3< < g (x ) = g ⎡⎣ ( a )⎤⎦ = a - a a - ，令 ( ) ( ) a , min ln 2 2 2 ln(2 ) b h x = x - x ln x -e -1 1< x < e , 2 2 2 ln 2 2xxe14/ 15所以函数h(x) 在区间(1, e)上单增，在区间( e，e) 上单减．3h x =h e = e - e e -e -<即()()()ln 1 0g min x < 0 恒成立．max2于是，函数f (x) 在区间(0,1) 内至少有三个单调区间⎧(0)= 2 -+> 0 ⎧>- 2⎪g e a a e⇔⎨⇒⎨,g (1)=-a +1> 0 a <1⎪⎩⎩又1 e<a <,所以e-2 <a <1．2 2综上，a 的取值范围为(e - 2，1)．15/ 15。
