2015-2016年江苏省常州市武进区高二上学期期中数学试卷及答案

2016届第一学期期中考试高三理科数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．已知集合{}213M x x =-<，集合{}13N x x =-<<，则M N = ▲ ．2．已知z 是复数，i 是虚数单位，若i zi +=1，则z = ▲ ． 3．已知命题2:(0,),2,p x x x ∀∈+∞≥-则命题p 的否定是 ▲ ． 4．函数)(x f 的定义域是]1,1[-，则函数)(log 21x f 的定义域为 ▲ ．5．执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为3，则可输入的实数x 的个数为 ▲ ．6．已知tan 2α=，则1sin cos αα=⋅ ▲ ．7．若实数x ，y 满足约束条件1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则3x y +的取值范围是 ▲ ．8．已知向量)1,0(),2,1(==b a ，设b k a u +=，b a v -=2，若v u //， 则实数k 的值为 ▲ ． 9．已知函数()72sin ,0,63f x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象与直线y m =的三个交点的横坐标分别为1x 、2x 、3x ，其中123x x x <<，那么1232x x x ++的值为 ▲ ．10．已知x 、y 为正实数，且21x y +=，则1y x y+的最小值为 ▲ ． 11．设函数()=2f x mx +，()22g x x x =-，[]01,2x ∀∈-，[]11,2x ∃∈-，使得()()01f x g x >，2015．11第5题图则实数m 的取值范围是 ▲ ．12．已知非零向量a ，b 满足||332||||a b a b a =-=+，则b a +与a 的夹角为 ▲ ．13．已知定义在R 上的奇函数()f x ，设其导函数为()'f x ，当(],0x ∈-∞时，恒有()()'xf x f x <-，则满足()()()1212133x f x f --<的实数x 的取值范围是 ▲ ．14．定义域为R 的偶函数)(x f 满足对x R ∀∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x时，18122)(2-+-=x x x f ，若函数)1|(|log )(+-=x x f y a 在R 上至少有四个零点，则a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）在ABC ∆中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且cos 4cos cos b C a B c B =-. ⑴ 求cos B 的值; ⑵ 若32BA BC ⋅=，3b =，求a 和c .16．（本题满分14分）如图，在矩形ABCD 中，2,2==BC AB ，点E 是BC 边的中点，点F 在边CD 上． ⑴ 若O 是对角线AC 的中点， )(R AD AE AO ∈+=μλμλ、，求μλ+的值；⑵ 若2=⋅BF AE ，求线段DF 的长．如图所示，AB 是半径长为1的半圆的一条直径，现要从中截取一个内接等腰梯形ABCD ，设梯形ABCD 的面积为y .⑴ 设2CD x =，将y 表示成x 的函数关系式并写出其定义域； ⑵ 求梯形ABCD 面积y 的最大值.18．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点11()A x y ，在单位圆O 上，xOA α∠=， 且 62ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，． ⑴ 若11cos()313πα+=-，求1x 的值； ⑵ 若22()B x y ，也是单位圆O 上的点，且3AOB π∠=．过点A B 、分别做x 轴的垂线，垂足为C D 、，记AOC ∆的面积为1S ，BOD ∆的面积为2S ．设()12f S S α=+，求函数()fα的最大值．已知点(p ，q )是平面直角坐标系错误！未找到引用源。

2015-2016学年江苏省苏州市常熟市高二（上）期中数学试卷一、填空题：1．（3分）点（1，2）关于点（2，3）的对称点的坐标为．2．（3分）已知A（1，1），B（4，5），则AB=．3．（3分）已知过两点A（﹣a，3），B（5，﹣a）的直线的斜率为1，则a=．4．（3分）已知圆锥的底面半径为3，高是4，则圆锥侧面积等于．5．（3分）经过点P（2，﹣1）作圆x2﹣2x+y2=24的弦AB，使得点P平分弦AB，则弦AB所在直线的方程为．6．（3分）设α，β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β③若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n④若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；其中正确命题的序号为．7．（3分）点M（2，1）关于直线x+y+1=0的对称点的坐标是．8．（3分）如图AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于A，B点）直线PA垂直于圆所在的平面，点M为线段PB的中点，有以下四个命题：其中正确的命题是．（1）PA∥平面MOB；（2）MO∥平面PAC；（3）OC⊥平面PAB；（4）BC⊥PC．9．（3分）已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若这个球的表面积为12π，则这个正三棱柱的体积为．10．（3分）如图，各条棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，则三棱锥M﹣AB1C的体积为．11．（3分）设点A（1，0），B（0，2），若圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=1上存在点P，使PA=PB，则实数a的取值范围是．12．（3分）设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为．13．（3分）设集合M={（x，y）|y=x+b}，N={（x，y）|y=3﹣}，当M ∩N≠∅时，则实数b的取值范围是．14．（3分）已知点A（1，﹣2），B（4，0），P（a，1），N（a+1，1），当四边形PABN的周长最小时，则a的值为．二、解答题：15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，BD=DC，AF=C1F．（1）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）求证：DF∥平面A1ABB1．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PB，且侧面PAB⊥平面ABCD，点E是棱AB的中点．（1）求证：PE⊥AD；（2）若∠ADC=，求证：平面PEC⊥平面PAB．17．矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．（1）求AD边所在直线的方程；（2）若直线l：ax+y+b+1=0平分矩形ABCD的面积，求出原点与（a，b）距离的最小值．18．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且圆与直线4x+3y ﹣29=0相切，设直线ax﹣y+5=0（a＞0）与圆相交于A，B两点．（1）求圆的标准方程；（2）求实数a的取值范围；（3）是否存在实数a，使得线AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4）？19．已知圆O：x2+y2=1，圆O关于直线x+y+2=0对称的圆C．（1）求圆C的方程；（2）在直线l：2x+y﹣3=0上是否存在点P，过点P分别作圆O，圆C的两条切线PA，PB分别为A，B，有PA=PB？若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由．20．已知△ABC的三个顶点A（﹣1，0），B（1，0），C（3，2），其外接圆为⊙H．（1）若直线l过点C，且被⊙H截得的弦长为2，求直线l的方程；（2）对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求⊙C的半径r的取值范围．2015-2016学年江苏省苏州市常熟市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：1．（3分）点（1，2）关于点（2，3）的对称点的坐标为（3，4）．【解答】解：设点（1，2）关于点（2，3）的对称点的坐标为（a，b），∴点（2，3）即为点（1，2）和点（a，b）的中点，由中点坐标公式可得，解得故答案为：（3，4）2．（3分）已知A（1，1），B（4，5），则AB=5．【解答】解：∵A（1，1），B（4，5），∴AB==5．故答案为：5．3．（3分）已知过两点A（﹣a，3），B（5，﹣a）的直线的斜率为1，则a=﹣4．【解答】解：由，解得：a=﹣4．故答案为：﹣4．4．（3分）已知圆锥的底面半径为3，高是4，则圆锥侧面积等于15π．【解答】解：∵圆锥的底面半径r=3，高h=4，∴圆锥的母线l==5，∴圆锥侧面积S=πrl=15π，故答案为：15π．5．（3分）经过点P（2，﹣1）作圆x2﹣2x+y2=24的弦AB，使得点P平分弦AB，则弦AB所在直线的方程为x﹣y﹣3=0．【解答】解：圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=25，则圆心C（1，0），半径R=5，若点P平分弦AB，则CP⊥AB，则CP的斜率k=，则AB的斜率k=1，则弦AB所在直线的方程为y+1=x﹣2，即x﹣y﹣3=0，故答案为：x﹣y﹣3=06．（3分）设α，β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β③若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n④若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；其中正确命题的序号为④．【解答】解：当m∥n，n⊂α，则m⊂α也可能成立，故①错误；当m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，m与n相交时，α∥β，但m与n平行时，α与β不一定平行，故②错误；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n可能平行也可能异面，故③错误；若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，由面面平行的性质，易得n⊥β，故④正确故答案为：④7．（3分）点M（2，1）关于直线x+y+1=0的对称点的坐标是（﹣2，﹣3）．【解答】解：设所求对称点的坐标为（a，b），则由对称关系可得，解方程组可得，即对称点为（﹣2，﹣3）故答案为：（﹣2，﹣3）．8．（3分）如图AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于A，B点）直线PA垂直于圆所在的平面，点M为线段PB的中点，有以下四个命题：其中正确的命题是（2），（4）．（1）PA∥平面MOB；（2）MO∥平面PAC；（3）OC⊥平面PAB；（4）BC⊥PC．【解答】解：由题意可知PA⊥平面ABC，点M为线段PB的中点，O是圆的圆心，所以MO⊥平面ABC，PA∥OM，所以PA与MO共面，（1）不正确；又PA∥OM，OM⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，∴MO∥平面PAC；（2）正确；因为AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于A，B点），所以OC不垂直AC，所以OC⊥平面PAB；不正确；因为AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于A，B点），所以BC⊥AC，∵直线PA垂直于圆所在的平面，∴BC⊥PA，可知BC⊥平面PAC，PC⊂平面PAC，所以PC⊥BC，（4）正确．故答案为：（2）（4）．9．（3分）已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若这个球的表面积为12π，则这个正三棱柱的体积为54．【解答】解：由球的表面积公式，得4πR2=12π，∴R=．∴正三棱柱的高h=2R=2．设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为：•a=，∴a=6．∴该正三棱柱的体积为：V=S•h=•a•a•sin60°•h=×6×6×2=54．底故答案为：5410．（3分）如图，各条棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，则三棱锥M﹣AB1C的体积为．【解答】解：∵各条棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，∴B1M⊥平面ACM，且B1M=，，∴三棱锥M﹣AB1C的体积：====．故答案为：．11．（3分）设点A（1，0），B（0，2），若圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=1上存在点P，使PA=PB，则实数a的取值范围是﹣≤a≤+．【解答】解：∵A（1，0），B（0，2），PA=PB，∴P的轨迹方程为y=x+，∵圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=1上存在点P，使PA=PB，∴y=x+与圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=1有交点，∴≤1，∴﹣≤a≤+．故答案为：﹣≤a≤+．12．（3分）设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为3．【解答】解：由圆x2+y2=4的方程，得到圆心坐标为（0，0），半径r=2，∵直线l与圆x2+y2=4相交所得弦CD=2，∴圆心到直线l的距离d==，∴圆心到直线l：mx+ny﹣1=0的距离d==，整理得：m2+n2=，令直线l解析式中y=0，解得：x=，∴A（，0），即OA=，令x=0，解得：y=，∴B（0，），即OB=，∵m2+n2≥2|mn|，当且仅当|m|=|n|时取等号，∴|mn|≤，又△AOB为直角三角形，∴S=OA•OB=≥=3，当且仅当|m|2=|n|2=时取等号，△ABC则△AOB面积的最小值为3．故答案为：3．13．（3分）设集合M={（x，y）|y=x+b}，N={（x，y）|y=3﹣}，当M ∩N≠∅时，则实数b的取值范围是[1﹣2，3] ．【解答】解：∵集合M={（x，y）|y=x+b}，N={（x，y）|y=3﹣}，M∩N≠∅，∴直线y=x+b与半圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3）有交点，半圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（1≤y≤3）表示：圆心在（2，3），半径为 2 的圆的下半部分，y=x+b表示斜率为1的平行线，其中b是直线在y轴上的截距，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，即圆心（2，3）到直线y=x+b的距离d==2，解得b=1﹣2或b=1+2（舍），由图知b的取值范围是[1﹣2，3]．∴实数b的取值范围是[1﹣2，3]．故答案为：[1﹣2，3]．14．（3分）已知点A（1，﹣2），B（4，0），P（a，1），N（a+1，1），当四边形PABN的周长最小时，则a的值为．【解答】解：∵点A（1，﹣2），B（4，0），P（a，1），N（a+1，1），∴四边形PABN的周长为C=|PA|+|AB|+|BN|+|NP|=+++1=+++1，∴欲求当四边形PABN的周长最小时a的值，只需求出+的最小值时的a值．由于+=+，表示x轴上的点（a，0）与（1，3）和（3，1）距离之和，只需该距离之和最小即可．利用对称的思想，可得该距离之和的最小值为（1，﹣3）与（3，1）间的距离，且取得最小的a值为E（1，﹣3）与F（3，1）确定的直线与x轴交点的横坐标，∵直线EF的斜率k==2，∴直线EF方程为y+3=2（x﹣1），化简得y=2x﹣5，令y=0，得x=，∴此时a的值为．故答案为：．二、解答题：15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，BD=DC，AF=C1F．（1）求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）求证：DF∥平面A1ABB1．【解答】证明：（1）由AB=AC，BD=DC，可得AD⊥BC，又直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，∴AD⊥CC1，∵CC1∩BC=C，∴AD⊥平面BCC1B1，而AD⊂平面ADC1，∴平面平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）连结CA1，∵AF=C1F，∴F∈CA1，且A1F=CF，连接BA1，又BD=DC，∴DF∥BA 1，∵DF⊄平面A1ABB1，BA1⊂平面A1ABB1．∴有DF∥平面A1ABB1．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PB，且侧面PAB⊥平面ABCD，点E是棱AB的中点．（1）求证：PE⊥AD；（2）若∠ADC=，求证：平面PEC⊥平面PAB．【解答】证明：（1）因为PA=PB，点E是棱AB的中点，所以PE⊥AB，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE⊂平面PAB，所以PE⊥平面ABCD，因为AD⊂平面ABCD，所以PE⊥AD；（2）依题意，有CA=CB，点E是棱AB的中点，所以CE⊥AB，由（1）可得PE⊥AB，所以AB⊥平面PEC，又因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PEC．17．矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．（1）求AD边所在直线的方程；（2）若直线l：ax+y+b+1=0平分矩形ABCD的面积，求出原点与（a，b）距离的最小值．【解答】解：（1）∵AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，且AD与AB垂直，∴直线AD的斜率为﹣3，又∵点T（﹣1，1）在直线AD上，∴AD边所在的直线的方程为y﹣1=﹣3（x+1），化为一般式可得3x+y+2=0；（2）∵直线l：ax+y+b+1=0平分矩形ABCD的面积，∴直线l过点M（2，0），∴2a+b+1=0，∴原点与（a，b）的距离为==，由二次函数的知识可得当a=﹣时，原点与（a，b）距离取最小值为．18．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且圆与直线4x+3y ﹣29=0相切，设直线ax﹣y+5=0（a＞0）与圆相交于A，B两点．（1）求圆的标准方程；（2）求实数a的取值范围；（3）是否存在实数a，使得线AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4）？【解答】解：（1）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，所以=5，即|4m﹣29|=25．因为m为整数，故m=1．故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=25．（2）把直线ax﹣y+5=0，即y=ax+5，代入圆的方程，消去y，整理，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0，由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，由于a＞0，解得a＞，所以实数a的取值范围是（，+∞）．（3）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为﹣，l的方程为y=﹣（x+2）+4，即x+ay+2﹣4a=0由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，所以1+0+2﹣4a=0，解得a=．由于∈（，+∞），故存在实数a=使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB19．已知圆O：x2+y2=1，圆O关于直线x+y+2=0对称的圆C．（1）求圆C的方程；（2）在直线l：2x+y﹣3=0上是否存在点P，过点P分别作圆O，圆C的两条切线PA，PB分别为A，B，有PA=PB？若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由．【解答】解：（1）∵圆C与圆x2+y2=1关于直线x+y+2=0对称，∴圆C的半径r=1，圆x2+y2=1的圆心（0，0），设圆C的圆心为C（a，b），∵圆C与圆x2+y2=0关于直线x+y+2=0对称，∴，解得a=﹣2，b=﹣2．∴圆的方程为（x+2）2+（y+2）2=1．（2）过点P分别作圆O，圆C的两条切线PA，PB分别为A，B，有PA=PB，∴点P一在OC的垂直平分线上，即在x+y+2=0上，∵点P也在直线l：2x+y﹣3=0上，∴点P是直线l与直线x+y+2=0的交点，由，解得x=5，y=﹣7，∴P（5，﹣7）20．已知△ABC的三个顶点A（﹣1，0），B（1，0），C（3，2），其外接圆为⊙H．（1）若直线l过点C，且被⊙H截得的弦长为2，求直线l的方程；（2）对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求⊙C的半径r的取值范围．【解答】解：（1）由题意，A（﹣1，0），B（1，0），C（3，2），∴AB的垂直平分线是x=0，∵BC：y=x﹣1，BC中点是（2，1），∴BC的垂直平分线是y=﹣x+3，由，得到圆心是（0，3），∴r=，∵弦长为2，∴圆心到l的距离d=3．设l：y=k（x﹣3）+2，则d==3，∴k=，∴l的方程y=x﹣2；当直线的斜率不存在时，x=3，也满足题意．综上，直线l的方程是x=3或y=x﹣2；（2）直线BH的方程为3x+y﹣3=0，设P（m，n）（0≤m≤1），N（x，y）．因为点M是点P，N的中点，所以M（），又M，N都在半径为r的圆C上，所以，即因为该关于x，y的方程组有解，即以（3，2）为圆心，r为半径的圆与以（6﹣m，4﹣n）为圆心，2r为半径的圆相交，所以（2r﹣r）2≤（3﹣6+m）2+（2﹣4+n）2≤（r+2r）2，又3m+n﹣3=0，所以r2≤10m2﹣12m+10≤9r2对任意m∈[0，1]成立．而f（m）=10m2﹣12m+10在[0，1]上的值域为[，10]，故r2≤且9r2≥10．又线段BH与圆C无公共点，所以（m﹣3）2+（3﹣3m﹣2）2＞r2对任意m∈[0，1]成立，即．故圆C 的半径r 的取值范围为[，）．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；xyBCAO2.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则14S S+=．ls4s3s2s13213. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。

2024-2025学年江苏省常州市高二上学期期中数学质量检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．数列， ， ， ，……的通项公式可能是（ ）15-1719-111n a =A ．B ．C ．D ．(1)32nn -+1(1)23n n --+(1)23nn -+1(1)32n n --+2．已知双曲线的焦距为4，则的值为（ ）2213x y m +=m A ．1B ．C ．7D ．1-7-3．已知圆关于直线对称，则圆的半径为22:230C x y x my ++++=240x y -+=C （ ）A ．B ．2C ．D ．44．若直线与直线垂直，则实数的值为（）10ax y a +-+=()230a x y a --+=a A ．1或3B ．1或3C ．1或3D ．1或3----5．已知椭圆的两焦点为为椭圆上一点且，则22:1204x y C +=12,,F F P C 12PF PF ⊥（ ）12PF PF -=A ．B ．C ．D ．26．若圆上至少有三个点到直线的距离为1，则半径()()22235x y r -++=4320x y --=的取值范围是（ ）r A ．B ．C ．D ．()6,+∞[)6,+∞(]4,6[]4,67．几何学中,把满足某些特定条件的曲线组成的集合叫做曲线族.点Q 是椭圆族T 上任意一点,如图所示,椭圆族T 的元素满足以下条件:①长轴长为4;②一个焦点为原点O ;③过定点P (0,3),则|QP |+|QO |的最大值是( )A ．5B ．7C ．9D ．118．斜率为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线两条渐近()2222:10,0x y C a b a b -=>>线于两点，为双曲线的右焦点且，则双曲线的离心率为（ ）,A B 2F 22AF BF =A ．B ．2C ．D ．二、多选题（本大题共3小题）9．已知直线，动直线，则下列结论正确的是1:10l x y --=2:(1)0()l k x ky k k R +++=∈（ ）A ．不存在，使得的倾斜角为90°B ．对任意的，直线恒过定点k 2l k 2l C ．对任意的，与都不重合D ．对任意的，与都有公共点k 1l 2l k 1l 2l 10．数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点，距A B 离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点，，动点满()0,1λλλ>≠M A (−2,0)()2,0B M足）MA =A ．点的轨迹围成区域的面积为M 32πB ．面积的最大值为ABMC ．点到直线距离的最大值为M 40x y -+=D ．若圆上存在满足条件的点，则半径的取值范围为()()222:11C x y r ++-=M r11．已知抛物线的准线方程为，过抛物线C 的焦点F 的直线()2:20C y px p =>=1x -交抛物线C 于A ，B 两点，则下列说法正确的是（ ）l A ．抛物线C 方程为：24y x =B ．设，则周长的最小值为4()3,2Q QAF △C ．若，则直线的斜率为2BF FA =l -D ．轴上存在一点N ，使为定值x AN BN k k +三、填空题（本大题共3小题）12．已知抛物线的焦点关于其准线的对称点为，则抛物线的标准方程为C F ()0,6-C .13．已知是双曲线的左､右焦点，以为圆心，为半径的圆12,F F 22221(0)x y a b a b -=>>2F a 与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围,A B 123AB F F >是.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （1，1），B （1，－1），点P 为圆（x －4）2＋y 2＝4上任意一点，记△OAP 和△OBP 的面积分别为S 1和S 2，则的最12S S 小值是 ．四、解答题（本大题共5小题）15．已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为ABC V ()4,2A C x AB .20x y m ++=(1)求直线的方程；AB (2)若边上的中线所在的直线方程为，求的值.AC 40x y --=m 16．在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线xOy M 2y x =-M 相切于点.10x y +-=()2,1P -(1)求圆的方程；M (2)过坐标原点的直线被圆截得的弦长为的方程.O l M l 17．已知椭圆，，为椭圆的左右焦点，为椭圆上()2222:10x y C a b a b +=>>1F 2F P ⎛ ⎝一点，且．1PF =（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线，过点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线分别:2l x =-2F ,A B AB 交直线、直线于、两点，当最小时，求直线的方程．l AB M N MAN ∠AB 18．已知双曲线的右顶点，点到双曲线一条渐近线()2222:10,0x y C a b a b -=>>()1,0A A C 的距离为若过双曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，且分C P l ,M N 别在第一象限和第四象限.(1)求双曲线的方程；C (2)若，求的面积.MP PN =MON △19．已知动圆过定点，且与直线相切.()1,0M =1x -(1)求动圆圆心轨迹的方程；C (2)设过点的直线交轨迹于，两点，已知点，直线，分别交轨M l C A B ()2,0N AN BN 迹于另一个点，.若直线和的斜率分别为，.C P Q AB PQ 1k 2k （ⅰ）证明：；122k k =（ⅱ）设直线，的交点为，求线段长度的最小值.QA PB T MT答案1．【正确答案】C【详解】数列的分母形成首项为5，公差为2的等差数列，则通项公式为5,7,9, ，()51223n n +-⨯=+所以.()123nn a n -=+故选：C.2．【正确答案】B【详解】解：已知双曲线的焦距为4，则，2213x y m +=223,a b m ==-2c =又，解得.22234c a b m =+=-=1m =-故选：B.3．【正确答案】A【详解】由，可得圆的圆心为.22230x y x my ++++=C 21,m ⎛⎫--⎪⎝⎭因为圆关于直线对称，C 240x y -+=所以由圆的对称性可知，圆心在直线上，21,m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭240x y -+=则，解得，2402m-++=4m =-故圆，可化为，22:2430C x y x y ++-+=22(1)(2)2x y ++-=所以圆的半径为C 故选：A.4．【正确答案】A 【分析】利用两线垂直的判定有，求解即可得的值.(2)30a a --=a 【详解】由题设，，即，解得或.(2)1(3)0a a -+⨯-=2230a a --=1a =-3a =当时，直线分别为、，符合题设；1a =-20x y --=3310x y ++=当时，直线分别为、，符合题设.3a =320x y +-=330x y -+=故选：A5．【正确答案】A【详解】椭圆得，，，22:1204x y C +=a =2b =4c =设，，则，1||PF m =2||PF n=m n +=，，12PF PF ⊥ 2264m n ∴+=，2222()()16mn m n m n ∴=+-+=22()()4803248m n m n mn ∴-=+-=-=||m n ∴-=12||||||PF PF -=故选：A ．6．【正确答案】B 【详解】由已知条件得的圆心坐标为，()()22235x y r -++=()3,5-圆心到直线为，()3,5-4320x y --=5d ∵圆上至少有三个点到直线的距离为1，()()22235x y r -++=4320x y --=∴圆的半径的取值范围是，即，即半径的取值范围是.51r ≥+6r ≥r [)6,+∞故选.B7．【正确答案】A 必刷知识：新定义及椭圆的定义设点Q 所在椭圆的另一焦点为F ,则|QP |+|QO |=|QP |+4-|QF |≤|PF |+4=4-|PO |+4=5.故选A ．8．【正确答案】A【分析】设为中点，由可得，从而确定点坐标，再用点差E AB 22AF BF =2EF AB ⊥E 法探索双曲线中，的关系，从而确定离心率.a b 【详解】如图：取为中点，则由题意得，，则E AB 2F E AB ⊥12tan AF F ∠=12sin AF F ∠=12cos AF F ∠=作轴于点，则，EH x ⊥H1122cos =⋅∠=F E c AF F ，112·sin EH F E AF F =∠=，11124·cos 3F H F E AF F c=∠=所以点坐标为，E 3c ⎛ ⎝再设，，()11,A x y ()22,B x y ()12x x ≠由，22112222222200x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩⇒22221212220x x y y a b ---=⇒()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=且，得，1223c x x +=12y y +1212y y x x --222a b =⇒2222a c a =-⇒223a c =⇒ca 故选A.9．【正确答案】BD【详解】对A ，当时，，符合倾斜角为90°，故A 错误；0k =2:0l x =对B ，，解可得，故过定点2:(1)(1)0l k x ky k k x y x +++=+++=100x y x ++=⎧⎨=⎩01x y =⎧⎨=-⎩2l ，故B 正确；(0,1)-对C ，当时，，显然与重合，故C 12k =-21111:(1)02222l x y x y --=--=1:10lx y --=错误；对D ，过定点，而也在上，故对任意的，与都有公共2l (0,1)-(0,1)-1:10l x y --=k 1l 2l 点，故D 正确；故选：BD10．【正确答案】ABD 【详解】由题意，设点，(),M x y所以=化简可得，()22632x y -+=所以点的轨迹为以点为圆心，M ()6,0N 所以点的轨迹围成的区域面积为，A 选项正确；M 32π又点满足，(),M x y y ⎡∈-⎣所以，B 选项正确；(12ABM S AB y =⋅∈点到直线的距离，()6,0N 40x y -+=d >所以直线与圆相离，所以点到直线距离的最大值为C M 40x y -+=+=选项错误；由D 选项可知圆与圆，C N r CN r-≤≤且CN ==，r r-≤≤所以，D 选项正确；r ≤≤故选：ABD.11．【正确答案】ACD【详解】A 选项，抛物线的准线方程为，所以，则，()2:20C y px p =>=1x -12p=2p =所以抛物线，故A 正确；2:4C y x =B 选项，如图，过点A 作准线的垂线，垂足为C ，交y 轴于，，1A ()1,0F 根据抛物线的定义可得，AF AC=所以，QAF △AC AQ =++由图可知，当A ，C 与点Q 三点共线时，有最小值，AC AQ+最小值为Q 到准线的距离为，=1x -()314--=所以()min4AC AQ ++=+所以周长的最小值是B 错误；QAF △4+C 选项，设直线AB 的方程为，1x my =+联立，整理可得：，易知，214x my y x =+⎧⎨=⎩2440y my --=Δ0>设，，可得，，()11,A x y ()22,B x y 124y y m +=124y y =-∵，，解得，，2BF FA = 212y y ∴=-28y m =14y m =-，解得，C 正确；2324m ∴=218m =k ∴==±D 选项，设在x 轴上存在一点，(),0N t 则1212121211AN BN y y y y k k x t x t my t my t+=+=+--+-+-()()()()()()()()()1212222221212212441114411my y t y y m t m m y y t m y y t m t m t +-+-+-==+-++--+-+-，()()()()()()22222244141441114m t m m t m t m t t m t-+--+==-+-+---故当时，，即存在点使得为定值0．故D 项正确．1t =-0AN BN k k +=()1,0N -AN BN k k +故选：ACD ．12．【正确答案】28x y=【分析】设出抛物线的标准方程以及焦点坐标、准线方程，再由点关于直线对称的点C 坐标可解得，可得答案.4p =【详解】根据题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴上，C y 不妨设抛物线的标准方程为，可知焦点坐标为，准线方程为C 22,0py x p =>0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2py =-由焦点关于其准线的对称点为可知，解得，F ()0,6-6222p p -+=-⨯4p =所以抛物线的标准方程为.C 28x y =故答案为.28x y=13．【正确答案】【详解】设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，2(,0)F c a 0bx ay -=A B则到渐近线的距离，2F 0bx ay -=d b ==所以，||AB =123AB F F >所以，所以，32c ⨯>2222299a b c a b ->=+所以，所以，因为，2295c a<e <1e >所以双曲线的离心率的取值范围是.故答案为.14．【正确答案】2设∠AOP ＝α，利用面积公式得，求出的最小值即可.21tan S S α=α【详解】设∠AOP ＝α，易知OA ＝，OB ＝∠AOB ＝，则∠BOP ＝，2π2πα-，，112S α=11sin()22S παα=-=故，21tan S S α=直线，圆（x －4）2＋y 2＝4圆心到两条直线的距离均为:,:OA y x OB y x ==-(4,0)C，直线与圆相离，由图易知，圆在内部，AOB ∠设，，即，:OP y kx=2≤231k ≤解得，所以最大为，即直线OP 与圆相切时，当切点在第一象限[k ∈POC ∠6π的点的时候，，取得最小值4612πππα=-=21tan S S α=2故215．【正确答案】(1)；260x y --=(2).6-【详解】（1）依题意，由边上的高所在的直线的斜率为，得直线的斜率为AB 12-AB ，2又，所以直线的方程为，即.()4,2A AB ()224y x -=-260x y --=（2）由点在轴上，设，则线段的中点，C x (),0C t AC 4(,1)2t D +由点在直线上，得，得，即，D 40x y --=41402t +--=6t =()6,0C 又点在直线上，因此，解得，C 20x y m ++=60m +=6m =-所以的值为.m 6-16．【正确答案】(1)；()()22122x y -+=+(2)或.0x y +=70x y +=【分析】（1）求出过点且与直线垂直的直线方程，与联立()2,1P -10x y +-=2y x =-求出圆心，根据两点间的距离求出半径，即可得圆的方程；M M（2）分类讨论，利用点到直线的距离公式，结合过原点的直线被圆截得的弦O l M 长为，求直线的方程.l 【详解】（1）过点且与直线垂直的直线方程为，()2,1P -10x y +-=30x y --=联立，解得，所以,302x y y x --=⎧⎨=-⎩12x y =⎧⎨=-⎩()1,2M -所以圆M =所以圆的方程为.M ()()22122x y -+=+（2）由（1）可知圆的方程为，M ()()22122x y -+=+因为直线被圆截得的弦长为，lM所以到直线的距离为M l d ==若直线的斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线的距离为，不符合题意；l 0x =1若直线的斜率存在，设方程为，l y kx =则即,解得或,d 2870k k ++=1k =-7-所以直线的方程为或.l 0x y +=70x y +=17．【正确答案】（1）；（2）或．2212x y +=10x y +-=10x y --=【分析】（1）设，根据题中条件求出()1,0(0)F c c ->1c =求出，得出，，即可得出椭圆方程；2a =a b （2）由题意直线的斜率必定不为零，于是可设直线，设，AB :1AB x ty =+11(,)A x y22(,)B x y ，求出其取最小值时对应的的值，即可得出结果.tan MNMAN AN ∠==t 【详解】（1）设，则，则，()1,0(0)F c c ->11PF c ===()21,0F ，则由椭圆定义，122PF PF a +==∴，a =1b ==故椭圆的标准方程为； 2212x y +=（2）由题意直线的斜率必定不为零，于是可设直线，AB :1AB x ty =+联立方程得，22112x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩22(2)210t y ty ++-=∵设，，11(,)A x y 22(,)B x y 由题意，，22244(2)8(1)0t t t ∆=++=+>由韦达定理，，12222t y y t -+=+12212y y t =-+则，∴， 22N t y t =-+22221122N N t x ty t t =+=-+=++∵，∴，MN AB ⊥MNk t =-22262t t ++∴，tan 4MNMAN AN∠====当且仅当即时取等号．=1t =±此时直线的方程为或．AB 10x y +-=10x y --=本题主要考查求椭圆的标准方程，以及椭圆中的最值问题，熟记椭圆方程的求法，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型.18．【正确答案】(1)；2213y x -=【分析】（1）求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离公式求解即得；（2）设直线方程为，与双曲线的渐近线方程结合求出点的坐标并代入双曲l x ty m =+P 线方程，再求出的纵坐标差的绝对值即可求出面积.,M N 【详解】（1）依题意，，双曲线的渐近线为，则1a =C 0bx ay ±==得，b =所以双曲线的方程为.C 2213y x -=（2）显然直线不垂直于轴，设直线方程为，则直线交轴于点l y l x ty m =+l x ，(,0),0m m >由（1）知，双曲线的渐近线为，设，C 2230x y -=1122(,),(,)M x y N x y 由消去得，22,30,x ty m x y =+⎧⎨-=⎩x ()22231630t y tmy m -++=则，222222310,3612(31)120,t Δt m m t m ⎧-≠⎨=--=>⎩212122263,03131tm m y y y y t t +=-=<--有，由，得为线段中点，点，213t <MP PN = P MN 223(,)3131m tm P t t ----而点在双曲线：上，于是，整理得，P C 2213y x -=222222231(31)(31)m tm t t -=--2213tm -=又12||y y-===所以的面积MON △121||2S m y y =⋅-==19．【正确答案】(1)24y x=(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）3；【分析】（1）根据给定条件，可得动圆圆心到定点的距离与到定直线的距离相等，利用抛物线的定义求解方程作答.（2）（ⅰ）设直线的方程，与曲线的方程联立，设出，用分l C 1122(,),(,)A x y B x y 12,y y 别表示点的纵坐标，再计算，作答.,P Q 1k2k （ⅱ）由（ⅰ）求出直线的方程，直线的方程，并联立求出交点的轨迹即可求解AQ BP 作答.【详解】（1）依题意，动圆圆心到定点的距离与到定直线的距离相等，()1,0M =1x -因此动圆圆心的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，()1,0M =1x -所以动圆圆心轨迹的方程为.C 24y x =（2）（ⅰ）设，，，，()11,A x y ()22,B x y ()33,P x y ()44,Q x y因为过点，显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，，l ()1,0M l l 1x my =+0m ≠由消去x 并整理，得，于是，214x my y x =+⎧⎨=⎩2440y my --=124y y =-直线上任意点，有，而，AN (,)R x y //NR NA11(2,),(2,)NR x y NA x y =-=-于是，又，因此直线的方程为，11(2)(2)y x x y -=-10y ≠AN 1122x x y y -=+由消去x 并整理，得，则，同理得112224x x y y y x -⎧=+⎪⎨⎪=⎩()1214280x y y y ---=138y y =-，248y y =-又，同理，1212122121212444y y y y k y y x x y y --===-+-12234121212442882()y y k y y y y y y y y ====--+-+++所以.122k k =（ⅱ）由（ⅰ）知，当不垂直于x 轴时，直线的斜率l AQ ，22141122444883AQ y y k y y y y y y ====-+--同理直线的斜率，BP 13BP y k =-直线的方程为，即，AQ 2211(34y y y y x -=--21233y yy x =-+直线的方程为，即，BP 2122()34y y y y x -=--12233y yy x =-+由消去得，因此直线和的交点在定直线上，2112233233y yy x y y y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩y 2x =-QA PB T 2x =-当时，由对称性不妨令，直线的方程为，l x ⊥(1,2),(1,2)A B -AN 122x y =-+由得点，同理点，因此直线的方程为，21224x y y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩(4,4)P -(4,4)Q AQ 2433y x =+直线的方程为，由解得：，点在直线BP 2433y x =--24332433y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩20x y =-⎧⎨=⎩(2,0)-上，2x =-从而直线，的交点的轨迹为直线，点到直线的距离3，即为AQ BP T 2x =-M 2x =-长度的最小值，MT 所以线段长度的最小值为 3.MT结论点睛：点是抛物线上的两点，则直线112212(,),(,),()A x y B x y x x ≠22(0)y px p =≠斜率；点是抛物线上的两点，则直线AB 122AB pk y y =+1122(,),(,)A x y B x y 22(0)x py p =≠斜率.AB 122AB x x k p +=。

2015-2016学年江苏省南京一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分）1．（5分）过点（0，1），且与直线2x+y﹣3=0平行的直线方程是．2．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣x＞1”的否定是．3．（5分）已知直线x+2y=0与直线ax﹣y+2=0垂直，则a=．4．（5分）已知椭圆+=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为4，则P到另一焦点距离为．5．（5分）设变量x，y满足，则x+2y的最大值为．6．（5分）下列命题中，真命题是．A．∃x0∈R，e x0≤0 B．∀x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件．7．（5分）直线x+y﹣1=0与圆x2+y2=1相交于A，B两点，则线段AB的长度为．8．（5分）圆C1：x2+y2﹣2x+4y+4=0与圆C2：x2+y2+6x﹣2y﹣15=0的公切线有条．9．（5分）已知点（﹣3，﹣1）和（4，﹣6）在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，则a 的取值范围是．10．（5分）抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为2，则点M的横坐标是．11．（5分）已知双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为．12．（5分）已知圆x2+y2+mx﹣=0与抛物线x2=4y的准线相切，则m的值等于．13．（5分）设f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，命题p：f（x）在[0，2]上单调递减，命题q：f（1﹣m）≥f（m）．若“¬p或q”为假，则实数m的取值范围是．14．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆=1（a＞b＞0）的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点为M，且则该椭圆的离心率为．二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知命题p：关于x的方程x2+ax+1=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x2+ax﹣3在（2，+∞）上是增函数，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．16．（14分）已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点，（1）若点A（5，0）到l的距离为3，求l的方程；（2）求点A（5，0）到l的距离d的最大值，并求当d最大时直线l的方程．17．（14分）已知圆C的圆心坐标为（2，﹣1），且与x轴相切．（1）求圆C的方程；（2）求过点P（3，2）且与圆C相切的直线方程；（3）求过点Q（4，2）且与圆C相切于点M（2，0）的圆的方程．18．（16分）如图，l1、l2是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连接M、N两地之间的铁路线是圆心在l2上的一段圆弧．若点M在点O 正北方向，且|MO|=3km，点N到l1、l2的距离分别为4km和5km．（1）建立适当坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；（2）若该城市的某中学拟在点O正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于，求该校址距点O的最近距离（注：校址视为一个点）．19．（16分）已知P（x0，y0）（x0≠±a）是椭圆E：上一点，M，N分别是椭圆E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为﹣．（1）求椭圆的离心率；（2）过椭圆E的右焦点且斜率为1的直线交椭圆与A、B两点，O为坐标原点，C为椭圆上一点，满足，求λ的值．20．（16分）一束光线从点F1（﹣1，0）出发，经直线l：2x﹣y+3=0上一点P反射后，恰好穿过点F2（1，0）．（1）求P点的坐标；（2）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程；（3）设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B，使得直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由．2015-2016学年江苏省南京一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分）1．（5分）过点（0，1），且与直线2x+y﹣3=0平行的直线方程是2x+y﹣1=0．【解答】解：设所求的直线方程为2x+y+c=0，把点（0，1）代入可得，c=﹣1，故所求的直线方程为2x+y﹣1=0，故答案为2x+y﹣1=0．2．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣x＞1”的否定是∀x∈R，x2﹣x≤1．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，x2﹣x＞1“的否定是：∀x∈R，x2﹣x≤1．给答案为：∀x∈R，x2﹣x≤1．3．（5分）已知直线x+2y=0与直线ax﹣y+2=0垂直，则a=2．【解答】解：∵直线x+2y=0与直线ax﹣y+2=0垂直，∴﹣=﹣1，解得a=2．故答案为：2．4．（5分）已知椭圆+=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为4，则P到另一焦点距离为6．【解答】解：由椭圆+=1，得a=5，则2a=10，∵点P到椭圆一焦点的距离为4，∴由定义得点P到另一焦点的距离为2a﹣4=10﹣4=6．故答案为：6．5．（5分）设变量x，y满足，则x+2y的最大值为2．【解答】解：由约束条件，得如图所示的三角形区域，由可得顶点A（0，1），令z=x+2y，平移直线z=x+2y，直线z=x+2y过点A（0，1）时，z取得最大值为2；故答案为：2．6．（5分）下列命题中，真命题是D．A．∃x0∈R，e x0≤0 B．∀x∈R，2x＞x2C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件．【解答】解：A．由∀x∈R，可得e x＞0．因此∃x0∈R，e x0≤0 是假命题．B．∀x∈R，2x＞x2，是假命题，例如取x=2，4时，2x=x2．C．=﹣1⇒a+b=0，反之不成立，例如取b=0时，因此a+b=0是=﹣1的必要不充分条件，是假命题．D．a＞1，b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如取a=4，b=．∴a＞1，b＞1是ab ＞1的充分条件．是真命题．故答案为：D．7．（5分）直线x+y﹣1=0与圆x2+y2=1相交于A，B两点，则线段AB的长度为．【解答】解：因为直线x+y﹣1=0与圆x2+y2=1相交于A，B两点，圆的圆心（0，0），半径为1，所以==，则线段AB的长度为．故答案为：．8．（5分）圆C1：x2+y2﹣2x+4y+4=0与圆C2：x2+y2+6x﹣2y﹣15=0的公切线有2条．【解答】解：圆C1：x2+y2﹣2x+4y+4=0，转化为：（x﹣1）2+（y+2）2=1，所以圆C1是以（1，﹣2）为圆心1为半径的圆．圆C2：x2+y2+6x﹣2y﹣15=0，转化为：（x+3）2+（y﹣1）2=25，所以圆C2是以（﹣3，1）为圆心5为半径的圆．故圆心距为d=，故：4＜d＜6，所以两圆相交．故两元的公切线有2条．故答案为：29．（5分）已知点（﹣3，﹣1）和（4，﹣6）在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，则a 的取值范围是﹣7＜a＜24．【解答】解：因为点（﹣3，﹣1）和点（4，﹣6）在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，所以，（﹣3×3+2×1﹣a）[3×4+2×6﹣a]＜0，即：（a+7）（a﹣24）＜0，解得﹣7＜a＜24故答案为：﹣7＜a＜24．10．（5分）抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为2，则点M的横坐标是1．【解答】解：抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，∵抛物线y2=4x上点到焦点的距离等于2，∴根据抛物线点到焦点的距离等于点到准线的距离，∴可得所求点的横坐标为1．故答案为：111．（5分）已知双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为．【解答】解：∵双曲线的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴，解得，a=2∴双曲线的方程为故答案为：12．（5分）已知圆x2+y2+mx﹣=0与抛物线x2=4y的准线相切，则m的值等于±．【解答】解：抛物线x2=4y的准线为y=﹣1，圆的圆心O（﹣，0），半径r=，∵圆与抛物线x2=4y的准线相切，∴圆心O（﹣，0）到准线为y=﹣1的距离d=r，∴，解得m=，故答案为：．13．（5分）设f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，命题p：f（x）在[0，2]上单调递减，命题q：f（1﹣m）≥f（m）．若“¬p或q”为假，则实数m的取值范围是．【解答】解：“¬p或q”为假，则命题p为真命题，命题q为假命题故f（x）在[0，2]上单调递减，又∵f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的偶函数，∴f（x）在[﹣2，0]上单调递增若f（1﹣m）≥f（m）为假命题则解得﹣1≤m＜故答案为[﹣1，）14．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆=1（a＞b＞0）的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点为M，且则该椭圆的离心率为．【解答】解：直线A1B2的方程为y=+b，直线B1F的方程为y=x﹣b，联立方程组，解得T（，）．∵，∴M（，），把M代入椭圆方程得：+=a2b2，即4c2+（a+c）2=9（a﹣c）2，化简得：2a2+c2﹣5ac=0，∴e2﹣5e+2=0，解得e=或e=（舍去）．故答案为：．二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（14分）已知命题p：关于x的方程x2+ax+1=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x2+ax﹣3在（2，+∞）上是增函数，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：命题p：关于x的方程x2+ax+1=0有实根；则△=a2﹣4≥0，解得a ≥2或a≤﹣2．命题q：关于x的函数y=2x2+ax﹣3在（2，+∞）上是增函数，∴≤2，解得a ≥﹣2．若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，则命题p与q必然一真一假，∴，或，解得a＜﹣2，或﹣2＜a＜2．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）．16．（14分）已知直线l经过直线2x+y﹣5=0与x﹣2y=0的交点，（1）若点A（5，0）到l的距离为3，求l的方程；（2）求点A（5，0）到l的距离d的最大值，并求当d最大时直线l的方程．【解答】解：（1）经过两已知直线交点的直线系方程为（2x+y﹣5）+λ（x﹣2y）=0，即（2+λ）x+（1﹣2λ）y﹣5=0，∵点A（5，0）到l的距离为3，∴，解得：．故直线的方程为：x=2或4x﹣3y﹣5=0．（2））由解得，交点P（2，1），如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|，（当l⊥PA时等号成立）．∴d max=|PA|=．①当直线l为x=2时，直线的方程为y=0．②当直线l为4x﹣3y﹣5=0时，直线的方程为y=﹣，整理得：3x+4y﹣5=0．故直线的方程为：y=0或3x+4y﹣5=0．17．（14分）已知圆C的圆心坐标为（2，﹣1），且与x轴相切．（1）求圆C的方程；（2）求过点P（3，2）且与圆C相切的直线方程；（3）求过点Q（4，2）且与圆C相切于点M（2，0）的圆的方程．【解答】解：（1）因为圆C的圆心坐标为（2，﹣1），且与x轴相切．所以圆的半径为1，所以所求圆的方程为：（x﹣2）2+（y+1）2=1；（2）①切线的斜率存在时，设过点P（3，2）且与圆C相切的直线方程为y﹣2=k （x﹣3），即kx﹣y﹣3k+2=0，则：，解得：k=所求的直线方程为：4x﹣3y﹣6=0．②当直线的斜率不存在时，x=3也是圆的切线，所以所求直线方程为：4x﹣3y﹣6=0或x=3．（3）过点Q（4，2）且与圆C相切于点M（2，0）的圆的方程，则：圆心的在直线x=2上，设圆心的坐标为：（2，a），由于，解得：a=2．故圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4．18．（16分）如图，l1、l2是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连接M、N两地之间的铁路线是圆心在l2上的一段圆弧．若点M在点O 正北方向，且|MO|=3km，点N到l1、l2的距离分别为4km和5km．（1）建立适当坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；（2）若该城市的某中学拟在点O正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于，求该校址距点O的最近距离（注：校址视为一个点）．【解答】解：（1）分别以l2、l1为x轴，y轴建立如图坐标系．据题意得M（0，3），N（4，5），∴，MN中点为（2，4），∴线段MN的垂直平分线方程为：y﹣4=﹣2（x﹣2）），故圆心A的坐标为（4，0），半径，（5分）∴弧的方程为：（x﹣4）2+y2=25（0≤x≤4，5≥y≥3）．（8分）（2）设校址选在B（a，0）（a＞4），则，对0≤x≤4恒成立．即，对0≤x≤4恒成立．整理得：（8﹣2a）x+a2﹣17≥0，对0≤x≤4恒成立（﹡）．（10分）令f（x）=（8﹣2a）x+a2﹣17．∵a＞4，∴8﹣2a＜0，∴f（x）在[0，4]上为减函数，（12分）∴要使（﹡）恒成立，当且仅当，即，解得a≥5，（14分）即校址选在距O最近5km的地方．（16分）19．（16分）已知P（x0，y0）（x0≠±a）是椭圆E：上一点，M，N分别是椭圆E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为﹣．（1）求椭圆的离心率；（2）过椭圆E的右焦点且斜率为1的直线交椭圆与A、B两点，O为坐标原点，C为椭圆上一点，满足，求λ的值．【解答】解：（1）∵P（x0，y0）（x0≠a）是椭圆E：上一点，∴，∵M，N分别是椭圆E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率的乘积等于﹣，∴，∴a2=5b2，c2=4b2，得e==；（2）联立方程组，得6x2+10cx+15b2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，再设C（x3，y3），由，得x3=λx1+x2，y3=λy1+y2，由于C为椭圆上的点，即，则（λx1+x2）2+5（λy1+y2）2=5b2，整理得：=5b2 ①，由于A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆上，即，，又x1x2+5y1y2=x1x2+5（x1+c）（x2+c）=6x1x2+5c（x1+x2）+5c2=6•+5c（﹣）+5c2==，代入①得，即，解得：λ=0，或λ=﹣．20．（16分）一束光线从点F1（﹣1，0）出发，经直线l：2x﹣y+3=0上一点P反射后，恰好穿过点F2（1，0）．（1）求P点的坐标；（2）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆C的方程；（3）设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B，使得直线QA、QB的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设F1关于l的对称点为F（m，n），则且，解得，，即．由，解得．（2）因为PF1=PF，根据椭圆定义，得2a=PF1+PF2=PF+PF2=FF2=，所以a=．又c=1，所以b=1．所以椭圆C的方程为．（3）假设存在两定点为A（s，0），B（t，0），使得对于椭圆上任意一点Q（x，y）（除长轴两端点）都有k Qt•k Qs=k（k为定值），即•，将代入并整理得（*）．由题意，（*）式对任意x∈（﹣，）恒成立，所以，解之得或．所以有且只有两定点（，0），（﹣，0），使得k Qt•k Qs为定值﹣．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。