正弦函数图象教案

第一章基本初等函数（Ⅱ）1．4三角函数的图象与性质（共4课时）第一教案――――――――――――――――――――――――――――――教材教案第1课时正弦函数、余弦函数的图象【教学目标】1.知识目标（1）会用正弦线画正弦函数的图象，会利用平移作余弦函数的图象，掌握正弦、余弦函数的图象。

（2）会用“五点法”画出正弦、余弦函数的简图。

2.能力目标（1）理解用单位圆作正弦函数的图象的方法；（2）理解并掌握用“五点法”作正弦函数的图象的方法。

（3）学会利用图象变换作图的方法，体会数形结合的思想。

3.情感目标（1）通过本节的学习学会善于寻找、观察数学知识之间的内在联系。

【重点难点】1.重点正弦、余弦函数图象的作法。

2.难点正弦函数与余弦函数图象间的关系，图象变换。

案例（一）教学过程案例（二） 教学过程一、复习引入1．弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

2.正、余弦函数定义：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离r(02222>+=+=y x y x r )则比值ry叫做α的正弦 记作：r y =αsin比值r x叫做α的余弦 记作： r x =αcos3.正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有MP r y ==αsin ，OM rx==αcos 有向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线．教师――提出问题让学生思考，回顾前面学习的内容。

学生――思考回答。

二、作正弦函数、余弦函数的图象1、如何比较精确的作出正弦函数的图象？教师――提出问题引导学生用正弦线作正弦函数图象。

师生――共同作出正弦函数的图象。

用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．作函数y=sinx 的图象第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份.把x 轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）.第二步：在单位圆中画出对应于角6,0π，3π，2π,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象．根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象.2、如何作余弦函数的图象？教师――你能根据诱导公式，经正弦函数的图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象吗？引导学生利用诱导公式观察函数x y cos =，R x ∈与函数)2sin(x y +=π，R x ∈的关系。

函数y=Asin(wx+ϕ)(A>0，w>0)的图象一、三维目标： 1．知识与技能:⑴分别通过对三角函数图像的各种变换的复习，进一步让学生了解三角函数图像各种变换的实质和内在规律。

⑵通过对函数y = Asin(wx+4)(A>0，w>0)图象的探讨，让学生进一步掌握三角函数图像各种变换的内在联系。

2．过程与方法：培养学生观察问题和探索问题的能力。

3．情感态度与价值观：⑴通过本节课的学习体验研究数学问题的基本方法：从具体到抽象，从特殊到一般； ⑵学会用运动变化的观点看待数学问题之间的内在联系。

二、教学重难点：1．重点： 函数y = Asin(wx+ϕ)的图像的画法和图像与函数y=sinx 图像的关系。

2．难点：各种变换内在联系的揭示。

三、教学过程： 1．引入新课：⑴“五点法”作函数y=sinx 简图的步骤，其中“五点”是指什么？ ⑵)(k x f +的图象与)(x f 的图象有什么样的关系？ 2．新课讲授问题1:函数y = sin(x ±k)(k>0)的图象和函数y = sinx 图像的关系是什么？生答：函数y = sin(x ±k)(k>0)的图像可由函数y = sinx 的图像向左(或右)平移k 个单位而得到，这种变换实际上是纵坐标不变，横坐标增加(或减少)k 个单位，这种变换称为平移变换。

问题2:函数y = sinwx (w>0)的图像和函数y = sinx 图像的关系是什么？学生答：函数y = sinwx(w>0)的图像可由函数y = sinx 的图像沿x 轴伸长(w<1)或缩短(w>1)到原来的ω1倍而得到，称为周期变换。

这种变化的实质是纵坐标不变，横坐标伸长(0<w<1)或缩短(w>1)到原来的ω1倍。

问题3：函数y = Asinx(A>0)的图像和函数y = sinx 图像的关系是什么？学生答：函数y = Asinx 的图像可由函数y = sinx 的图像沿y 轴伸长(A>1)或缩短(x<1)到原来的A 倍而得到的，称为振幅变换。

1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象三维目标1.通过实验演示,让学生经历图象画法的过程及方法,通过对图象的感知,形成正弦曲线的初步认识,进而探索正弦曲线准确的作法,养成善于发现、善于探究的良好习惯.学会遇到新问题时善于调动所学过的知识,较好地运用新旧知识之间的联系,提高分析问题、解决问题的能力.2.通过本节学习,理解正弦函数、余弦函数图象的画法.借助图象变换,了解函数之间的内在联系.通过三角函数图象的三种画法:描点法、几何法、五点法,体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处,并会熟练地画出一些较简单的函数图象.3.通过本节的学习,让学生体会数学中的图形美,体验善于动手操作、合作探究的学习方法带来的成功愉悦.渗透由抽象到具体的思想,加深数形结合思想的认识.. 重点难点教学重点:正弦函数、余弦函数的图象.教学难点:将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点;正弦函数与余弦函数图象间的关系. 课时安排:1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图象,观察图象的形状,看看有什么特殊点,并借助图象研究它的性质,如:值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等.我们也很自然的想知道y=sinx 与y=cosx 的图象是怎样的呢?回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么?是如何画出它们图象的(列表描点法:列表、描点、连线)?进而引导学生通过取值,画出当x ∈［0,2π］时,y=sinx 的图象. 推进新课 新知探究 提出问题问题①:作正弦函数图象的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值,由于对一般角的三角函数值都是近似值,不易描出对应点的精确位置.我们如何得到任意角的三角函数值并用线段长(或用有向线段数值)表示x 角的三角函数值?怎样得到函数图象上点的两个坐标的准确数据呢?简单地说,就是如何得到y=sinx,x ∈［0,2π］的精确图象呢? 问题②:如何得到y=sinx,x ∈R 时的图象? 活动:教师先让学生阅读教材、思考讨论,对于程度较弱的学生,教师指导他们查阅课本上的正弦线.此处的难点在于为什么要用正弦线来作正弦函数的图象,怎样在x 轴上标横坐标?为什么将单位圆分成12份?学生思考探索仍不得要领时,教师可进行适时的点拨.只要解决了y=sinx,x ∈［0,2π］的图象,就很容易得到y=sinx,x ∈R 时的图象了.对问题①,第一步,可以想象把单位圆圆周剪开并12等分,再把x 轴上从0到2π这一段分成12等份.由于单位圆周长是2π,这样就解决了横坐标问题.过⊙O 1上的各分点作x 轴的垂线,就可以得到对应于0、6π、4π、3π、2π、…、2π等角的正弦线,这样就解决了纵坐标问题(相当于“列表”).第二步,把角x 的正弦线向右平移,使它的起点与x 轴上的点x 重合,这就得到了函数对(x,y)(相当于“描点”).第三步,再把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来,我们就得到函数y=sinx 在［0,2π］上的一段光滑曲线(相当于“连线”).如图1所示(这一过程用课件演示,让学生仔细观察怎样平移和连线过程.然后让学生动手作图,形成对正弦函数图象的感知).这是本节的难点,教师要和学生共同探讨.图1对问题②,因为终边相同的角有相同的三角函数值,所以函数y=sinx 在x ∈[2kπ,2(k+1)π],k ∈Z 且k≠0上的图象与函数y=sinx 在x ∈[0,2π]上的图象的形状完全一致,只是位置不同.于是我们只要将函数y=sinx,x ∈[0,2π］的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sinx,x ∈R 的图象.(这一过程用课件处理,让同学们仔细观察整个图的形成过程,感知周期性)图2讨论结果:①利用正弦线,通过等分单位圆及平移即可得到y=sinx,x ∈［0,2π］的图象. ②左、右平移,每次2π个长度单位即可.提出问题: 如何画出余弦函数y=cosx,x ∈R 的图象?你能从正弦函数与余弦函数的关系出发,利用正弦函数图象得到余弦函数图象吗?活动:如果再用余弦线作余弦函数的图象那太麻烦了,根据已学的知识,教师引导学生观察诱导公式,思考探究两个函数之间的关系,通过怎样的坐标变换可得到余弦函数图象?让学生从函数解析式之间的关系思考,进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法.让学生动手做一做,体会正弦函数图象与余弦函数图象的异同,感知两个函数的整体形状,为下一步学习正弦函数、余弦函数的性质打下基础.讨论结果:把正弦函数y=sinx,x ∈R 的图象向左平移2个单位长度即可得到余弦函数图象.如图3.图3正弦函数y=sinx,x ∈R 的图象和余弦函数y=cosx,x ∈R 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线点.提出问题问题①:以上方法作图,虽然精确,但不太实用,自然我们想寻求快捷地画出正弦函数图象的方法.你认为哪些点是关键性的点?问题②:你能确定余弦函数图象的关键点,并作出它在［0,2π］上的图象吗?活动:对问题①,教师可引导学生从图象的整体入手观察正弦函数的图象,发现在［0,2π］上有五个点起关键作用,只要描出这五个点后,函数y=sinx 在［0,2π］上的图象的形状就基本上确定了.这五点如下:(0,0),(2π,1),(π,0),(23π,-1),(2π,0).因此,在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们连接起来,就可快速得到函数的简图.这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的,要求熟练掌握. 对问题②,引导学生通过类比,很容易确定在［0,2π］上起关键作用的五个点,并指导学生通过描这五个点作出在［0,2π］上的图象. 讨论结果:关键点也有五个,它们是:(0,1),(2π,0),(π,-1),(23π,0),(2π,1).应用示例例1 画出下列函数的简图(1)y=1+sinx,x ∈[0,2π];(2)y=-cosx,x ∈[0,2π].活动:本例的目的是让学生在教师的指导下会用“五点法”画图,并通过独立完成课后练习1领悟画正弦、余弦函数图象的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,“五点法”画图易学却难掌握,学生需练好扎实的基本功.可先让学生按“列表、描点、连线”三步来完成.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生操作中指导一一纠正,这对以后学习大有好处. 解:(1)按五个关键点列表:x 0 2π π 23π 2π sinx 0 1 0 -1 0 1+sinx1211描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图4).图4(2)按五个关键点列表:x 0 2π π 23π 2π cosx 1 0 -1 0 1 -cosx-11-1描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图5).图5知能训练:课本本节练习 解答:1.可以用单位圆中的三角函数线作出它们的图象,也可以用“五点法”作出它们的图象,还可以用图形计算器或计算机直接作出它们的图象.两条曲线形状相同,位置不同,例如函数y=sinx,x ∈[0,2π]的图象,可以通过将函数y=cosx,x ∈[2π,23π]的图象向右平行移动2π个单位长度而得到(图10).图10点评:在同一个直角坐标系中画出两个函数图象,利于对它们进行对比,可以加强正弦函数与余弦函数的联系.通过多种方法画图,渗透数形结合思想,强化学生对数学概念本质的认识. 两个函数的图象相同.课堂小结1.怎样利用“周而复始”的特点,把区间［0,2π］上的图象扩展到整个定义域的?2.如何利用图象变换从正弦曲线得到余弦曲线?这节课学习了正弦函数、余弦函数图象的画法.除了它们共同的代数描点法、几何描点法之外,余弦函数图象还可由平移交换法得到.“五点法”作图是比较方便、实用的方法,应熟练掌握.数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法. 作业1.课本习题1.4 A 组1.2.预习下一节:正弦函数、余弦函数的性质. 板书设计:(略) 课后记:教研组长意见:。

教学目标：1．要求学生了解用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象. 2．通过分析掌握五点法画正（余）弦函数图象．3．培养学生利用类比的思想方法研究正弦、余弦问题；培养学生的动手操作能力． 教学重点：正弦函数、余弦函数的图象．教学难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系，五点作图法关键点如何找。

教学方法：自主学习，合作探究、启发式 教学用具：多媒体、直尺、铅笔【教学过程】一、预习提案（课前完成）1．用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的？ 问题：如何作出x y sin =，]2,0[π∈x 的图象． (1)（3) 连线2．sin α、cos α、tan α的几何意义. （三角函数线） 在图像上作出相应的三角函数线：正弦线：_____________ 余弦线：_____________ 正切线：_____________ 3.预习教材p30---p33二、讲授新课（合作探究为主）问题1：想一想，如何画出]2,0[,sin π∈=x x y 的图象思路点拨：我们可以借助单位圆，利用正弦线作出比较精确的正弦函数图象（其中]2,0[π∈x ），方法如下： 第一步：先作单位圆，把⊙O 1十二等分；第二步：十二等分后得0,6π, 3π,2π,…2π等角，作出相应的＿＿＿；第三步：将x 轴上从0到2π一段分成＿＿＿等份(2π≈6.28)； 第四步：取点，平移正弦线，使＿＿＿与＿＿＿上的点重合；第五步：用光滑的曲线把上述正弦线的＿＿＿连接起来，得y=sinx ，x ∈[0,2π]的图象；问题2：如何根据]2,0[,sin π∈=x x y 的图象作出x y sin =，R x ∈的图象．思路点拨：终边相同的角的同一三角函数值相同。

可将函数]2,0[,sin π∈=x x y 的图象向左向右平行移动（每次＿＿＿个单位长度）就可以得到正弦函数的图象．如图所示：说明：该图象称为“正弦曲线”. 问题3：1.在做正弦函数的图象时，应抓住那些关键点？ 思路点拨：与x 轴的交点，最高点和最低点坐标。