复变函数Complex Function⚫第一章复数与复变函数⚫第二章解析函数⚫第三章复变函数积分⚫第四章复变函数项级数⚫第五章留数及其应用主要内容复数形如 z = x+iy , 其中x 和y 是任意两个实数.=x z Re(), =y z Im()z 的共轭复数记作: ，z =+⇒z x iy =−z x iy共轭复数的性质:+=−=z z z z z i z 2Re(); 2Im()⎝⎭+ ⎪⎛⎫−i i 1117)(()()+−=−i i i 1117714)(=⎣⎦−⎡⎤i 21727)(=−i 2277)(=i .−+−i i i i 121)(()()−+⋅=++−i i i ii i i i 1111)()(−=+−+i i 2111=−−i 2231复数的四则运算: 和 差 积 商复数的几何表示向量的长度==+z r x y22复数的模=z rei θ指数表示式三角表示式=+z r i cos sin θθ)(其中r = |z |, = Arg zθ复数的表示方法幅角的主值：满足−<≤πθπ的复数z 的幅角称为辐角的主值.θ=z arg 0)Arg arg 2 0,1,2,.π=+=±±z z k k (复数的幅角θθθθθθ⋅=⋅+++=⋅+ez z r r i r r i [cos()sin()](12212)1212112θθθπ=⎝⎭ ⎪==+⎛⎫+++r e n n w z r i k k n ni k k nncos sin 22121ππ)(复数的方根=θ−θ+θ−θ=θ−θe z r r i z r r i [cos()sin()]21)22121211(12复数乘积和商θθθ=+=r e z r n i n n n n i n [cos()sin()]()θθθ=+=ei r z r i (cos sin )+=z 1604例1: 解方程ππ⎝⎭⎪=+⎛⎫++i k k 4416cos sin 2241ππππ⎝⎭⎪=+⎛⎫++i k k 442cos sin22ππ=k (0,1,2,3)复数的乘幂=−z 164解:幅角的主值).=+=±±πz z k k ,Arg arg 2 0,1,2(满足−<≤πθπ的复数z 的幅角称为辐角的主值.记做:=z arg 0θ例2: 的幅角主值=−+z i 13ππππ−−+=+=−+=i 133arg 13arctan 32)(的幅角主值=−z 3π−=arg(3)例3: 证明+=++z z z z z z 2Re ,121212222)(并由此证明+≤+z z z z .1212证明：+=++z z z z z z ()1212122)(=+++z z z z z z z z 11221212+=++z z z z z z 2Re 121212222)(≤++z z z z 2121222=++=+z z z z z z 2121212222)(+=z z z z z z ()2Re 121212)(≤x z=z zz2⇒+≤+z z z z .1212例4: 映射 ,求圆周的象.=+z w z 1=z 2令=+=+z x iy w u iv ,,映射=+1w z z⇒+=++−+u iv x iy x iyx y22,解：于是=++u x x x y 22 ,=−+v y y x y 22,=z 2⇒==u x v y 44,53⇒==x u y v53,44+=u v 25914422+=x y 422映射=w f z (), w 称为z 的象，z 称为w 的原象两个特殊的映射==w zw z (2)(1)2复变函数的极限与连续性定理2: 设 =+f z u x y iv x y ()(,)(,),则 f (z )在处连续 =+z x iy 000的充分必要条件是 u x y (,),v x y (,)都在x y (,)00点连续.结论：arg z 在原点与负实轴上不连续.=→f z f z z z lim ()()00复变函数连续复变函数的极限=→f z A z z lim ()0定理1:=+=+=+f z u x y iv x y A u iv z x iy ,(,),,00000)()(设函数=⇔==→→→→→f z A u x y u v x y v y y y y z z x x x x lim lim ,,lim ,000)()()(−+=+x yi x y f z x x x yi ()= ()22++==x y x y u v x xy , 22222=y kx方法1: 沿++==→→→→x k x k u x y x y y x x 1lim ,lim 1000022222 )(依赖于k ，故极限不存在。
