当前位置：文档之家 › 14复变函数的极限与连续

14复变函数的极限与连续

  • 格式：ppt
  • 大小：235.00 KB
  • 文档页数：14

下载文档原格式

  / 14

合集下载

复变函数第一章

复变函数第一章

z1 z1 z2 z2
Arg(
z1 z2
)
Arg
z1
Arg
z2
1、 幂函数
非零复数 z 的 n 次幂
zn rnein rn (cos n i sin n )
其中
zn z n , Arg zn nArg z.
令 r = 1，则得棣莫弗公式
(cos i sin )n cos n i sin n
21
•连续曲线 若实函数 x(t) 和 y(t) 在闭区间[, ]
上连续，则方程组
x x(t),
y
y(t),
( t )
或复数方程 z z(t) x(t) iy(t) ( t )
代表一条平面曲线，称为 z 平面上的连续曲线.
进一步地，若在 t 上，x '(t) 及 y '(t) 存在、
E(C)
线 C 把 z 平面唯一地分成
C、I(C) 及 E(C) 三个点集，
I(C)
它们具有如下性质：
（1）彼此不交；
O
C
x
（2）I(C) 是一个有界区域（称为 C 的内部）；
（3）E(C) 是一个无界区域（称为 C 的外部）.
25
•单连通区域 设 z 平面上的区域 D， 若在 D 内 无论怎样画简单闭曲线，其内部仍全含于 D， 则称 D 为单连通区域. 非单连通的区域称为多 连通区域.
y
z
v
w
2 O 2 x
4 O 4 u
31
•反函数 假设函数 w=f(z) 的定义域是 z 平面上的 集合 G，值域是 w 平面上的集合 G*. 对 G* 中 的每一个点 w，在 G 中有一个（或至少两个） 点与之相对应，则在 G* 上确定了一个单值（或

复变函数2(zh)2014级

复变函数2(zh)2014级
注:定理提供了判别函数解析性的方法及如何 求f (z)的导数值.
使用时: i)判别u(x, y)，v (x, y)可微（偏导数的连续性)
ii) 验证C-R条件. iii)求导数： f '(z) u i v
x x 15
例 4 判定下列函数在何时可导? 何处解析?
并在可导处求出导数。
(1) f (z) ( x3 y3 ) i2x2 y2
与g( z )的 和 、 差 、 积 、 商(除 去 分 母 零 的 点)在D内解析。
(2) 设函数h g(z)在z平面上的区域D内 解析,函数w f (h)在h平面上的区域G内 解析。那么复合函数w f [g(z)] 在D内解析。
12
由以上讨论
P(z) a0 a1 z an z n是整个复平面上的解析函数； R(z) P(z) 是复平面上（除分母为0点外）的解析函数.
Ln z1 z2

Ln z1
Ln z2
4) Ln z的各个分支在除去原点及负实轴的平面内 解析, 且由反函数的导数得
dw (ln z)' dz
当y 当x

0, x 0, y

00时 时不!
故函数处处不可导
函数f (z)=x+2yi在复平面上处处连续，但处处 不可导
8
3、求导公式与法则 (1) c=(a+ib)=0. (2) (zn)=nzn-1 (n是正整数).
(3) 设函数f (z),g (z) 均可导，则
[f (z)±g (z)] =f (z)±g(z)，
Q(z)
4
例 2 试讨论下列函数的连续性。 1、f (z) z Re(z) 在复平面上处处连续

复变函数的极限

复变函数的极限

6在
时极限不存在.
z 0 0 e +∞ 证 当 沿实轴从 的右方趋向于 时, 1z 趋向了
.当
z 0 0 e 0 z 沿实轴从 的左方趋向于 时, 1z 趋向了 .也就是说 以不同
f (z) 的方式趋于原点时,
趋于了不同的点.由函数极限定义即得
2
结论.
2 复变函数极限定理
定理 2.1 设
f (z)=u(x, y)+iv(x, y), z0 = x0 +i y0,
A= a+ib那么 zl→imz f (z)= A
0
(2.1)
的充要条件是
lim u(x, y)=a 且 lim v(x, y)=b .
( x, y)→( x0 , y0 )
( x, y)→( x0 , y0 )
(2.2)
证明 必要性
因为 zl→imz f (z) = A ε ,所以对 ∀ > 0, ∃ δ (ε ) 0 , 0
定 理 2.6 设 函 数 f (z) 在 z0 可 导 , g(h) 在 h0 = f (z ) g[ 0 处可导,则复合函数 f (z)]在 z0处可导,且
g'[ f (z0)]= g'(h0) f '(z0).
定理 2.7 设 w= f (z), z =ϕ(w)是两个互为反函数
ϕ 的单值函数,且 '(w) ≠ 0,那么
导数.类似地，二阶导数为一阶导数的导数，三阶导数为二阶导数的导
17
(n−1) f (z) n 数，…，一般地，
阶导数的导数称为
的 阶导数，
二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.
18
2.4 解析函数
1 解析函数的概念 2 初等函数的解析性 3 函数解析的充要条件

第三讲 第一章 复数函数及其极限和连续性

第三讲 第一章 复数函数及其极限和连续性

2019/12/15
11
三、函数的连续性（续）（例题）
例6:
设
f

z



Re |z
z |
,
z 0，试证 f z在z 0处不连续。
0, 0
证明：由例三知，当z 0时，lim f z 极限不存在， z0
故 f z在z 0处不连续。
例7: 证明: 如果 f z 在 z0 连续, f z 在 z0也连续.
,
则 lim z1i
f
z

3 1 i. ______2____ .
解： lim x2 2xy 3, lim 1 1 .
x 1 y1
x1 x 2 y2 2
y 1
2019/12/15
二、函数的极限（续）（极限的性质定理）
例3: 证明: f z Re z 当 z 0 时的极限不存在.
4
二、函数的极限
定义：设函数 w f z 定义在 z0的去心邻域 0 z z0 内,
如果有一确定的数 A 存在, 对于任意给定的 0, 相应
地必有一正数 使得当 0 z z0 0 时,有
f z A ，则称 A 为 f z 当 z 趋向于 z0 时的极限。
二、函数的极限（续）（极限的性质定理）
定理一：设 函数 f z u x, y iv x, y , A u0 iv0 ,
z0 x0 iy0 ,
ห้องสมุดไป่ตู้
则 lim f z A 的充要条件是 z z0
lim
x x0
u

x
,
y

复变函数的极限与连续性

复变函数的极限与连续性

z z0
z z0
z z0
lim f (z)g(z) lim f (z) lim g(z)
z z0
z z0
z z0
lim
f (z)
lim
z z0
f (z) (lim g(z) 0)
zz0 g(z) lim g(z) zz0
z z0
以上定理用极限定义证!
3.函数的连续性
定义
若 lim z z0
故不连续。
(2)在负实轴上 P( x,0)( x 0)
y (z) z
lim arg z y0
而 lim arg z y0
P( x,0)
ox
z
arg z 在负实轴上不连续。
定理4 连续函数的和、差、积、商、(分母不为0) 仍为连续函数; 连续函数的复合函数仍为连续函数。
由以上讨论 P(z) a0 a1z anzn在整个复平面内是连续的； R(z) P(z) 在复平面内除分母为0点外处处连续.
z0
一个预先给定的
A
ε邻域中 定义中 的方式是任意的. 与一元实变函数相比较要求更高. (2) A是复数.
2. 运算性质
复变函数极限与其实部和虚部极限的关系： 定理1
定理2
若 lim f (z) A lim g(z) B
z z0
z z0
lim f (z) g(z) lim f (z) lim g(z)
Q(z)
有界性：
设 曲 线C为 闭 曲 线 或 端 点 包 括 在内 的 曲 线 段 若f (z)在C上连续 M 0 f (z) M(z C )
1. 函数的极限
定义 设 w f (z) z O(z0 , ),若数A，

第2章 复变函数

第2章 复变函数

( x, y ) Î E .
(1)
其中 u = u ( x, y ) 和 v = v( x, y ) 是一对二元实函数, 它们分别称为 f ( z ) 的实部和虚部, 分别记 为 Re f ( z ) 和 Im f ( z ). 这说明一个复函数等价于一对二元实变量的实函数. 复函数的形如(1)式的表示形式对应于复数的代数形式. 对应于复数的指数形式, 相应地可 以将复函数表示为指数形式:
f ( z) > M ,
则称当 z 0 时, f ( z ) 趋近于无穷大 记为 lim f ( z ) = ¥.
z z0
(2) 设 w = f ( z ) 是定义在 E 上的复函数, 无穷远点 ¥ 是 E 的聚点(即对任意 r > 0, ¥ 的
r 邻域 { z : z > r } 中包含 E 中的点), 是一复数. 若对任意 > 0, 存在 r > 0, 使得当 z Î E 并且 z > r 时, 有
复变函数的连续性
定是 E 的聚点. 若
z z0
lim f ( z ) = f ( z0 ),
则称 f ( z ) 在点 z0 处(相对于集 E )连续. 若 f ( z ) 在 E 上的每一点处都连续, 则称 f ( z ) 在 E 上连 续. 例6 例 5(2)的结论表明多项式函数在复平面上处处连续. 设 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 是定义在 E 上的复函数, z0 = x0 + iy0 是 E 的聚 定理 2.1.2
于是 f ( z ) f ( z0 ) f ( z ) f ( z0 )
1 f ( z0 ) . 2
1 f ( z0 ) . 即 2

复变函数的极限和连续性

设复变函数 f ( z ) 当 z → z 0 时的极限存在 , 此极限值与 z
趋于 z 0 所采取的方式 ( 选取的路径 )有无关系 ?
思考题答案 极限值都是相同的. 没有关系. 没有关系 z 以任何方式趋于 z0 , 极限值都是相同的
复变函数与积分变换
目 录 上一页 下一页 返 回 结 束
时，
( u + iv ) − ( u0 + iv 0 ) < ε . ⇒ u − u0 < ε , v − v 0 < ε ,
x → x0 y → y0
或当 0 < ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < δ 时, ( u − u0 ) + i (v − v 0 ) < ε ,
故
说明： 说明：
f ( z ) − A < ε , 所以
lim f ( z ) = A.
z → z0
[证毕 证毕] 证毕
该定理将求复变函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 的极限问题 , 转化为求两个二元实变 函数 u( x , y ) 和 v ( x , y ) 的极限问题 .
随 k 值的变化而变化 , 所以 lim v ( x , y ) 不存在, 根据定理一
可知, 可知 lim f ( z ) 不存在.
z→ 0 →
x → x0 y → y0
复变函数与积分变换
目 录
上一页
下一页
返 回
结 束
第一章 复数与复变函数
第六节 复变函数的极限与连续性
二、函数的连续性
连续的定义: 1. 连续的定义: 如果 lim f ( z ) = f ( z 0 ), 那末我们就说 f ( z )在 z 0 处连续 .

复变函数第二章 1-2

二、连续性 定义 6.2 若 lim f ( z ) = f (z0 ) , 则称 f ( z ) 在 z0 点连续 ; z→ z
0
lim u( x , y ) = u0 , lim v ( x , y ) = v0 .
x→ x0 y → y0
若 f ( z ) 在区域 D 内处处连续 , 则称 f ( z ) 在
z = z0
z → 0
f ( z0 + z ) f ( z0 ) . z
（1）
注： （1）式中的极限与 z0 + z → z0 ( z → 0)的方式无关 , 即: 无论 z0 + z 以何种方式趋于 z0 ,
f ( z0 + z ) f ( z0 ) 都趋于同一个数 . z
该极限称为 f ( z ) 在 z0 点的导数 , 记作
1 , 其中 z = ( w ) 和 w = f ( z ) 是互为反函 ′( w ) 数的单值函数 , 且 ′( w ) ≠ 0
注：w = f ( z ) 在 z0 点可导与在 z0 点可微是等价的 .
3
§2.1 解析函数的概念 —— 解析函数
二、解析函数 定义 1.2 若 f ( z ) 在 z0 及 z0 的某个邻域内处处可导 , 则 称 f ( z ) 在 z0 点解析 ; 若 f ( z ) 在区域 D 内的每 个点都解析 , 则称 f ( z ) 在区域 D 内解析 , 或称
lim arg z = π , lim arg z = π .
x= x0 y →0 + x= x0 y→ 0
z z + 在 z = 0 点是否有极限？ 否 . z z Re( z ) 在 z = 0 点是否有极限？ 否 . z

复变函数的极限与连续


函数 w=z2 对应于两个二元实变函数: u=x2−y2, v=2xy 把 z 平面上的两族双曲线 x2−y2 = c1 , 2xy = c2 分别映 射成w平面上的两族平行直线 u=c1 , v=c2 .
−6−8 −10 y
u=0−2−4 2 64 8 10
1
−1
1
−1
v
10
v=10
8
6
4
2 −−42
则称α为当z趋于z0时f (z)的极限，
记作 lim f (z) = α ,简记为 lim f (z) = α.
z→z0 ,z∈E
z → z0
注意：
(1) lim f (z) = α的几何意义是：∀ε > 0, ∃δ > 0, z→z0 ,z∈E
使得当z ∈ E I U o(z0,δ )时，有f (z) ∈U (α,ε ).
注意：
（2）极限 lim z→z0 ,z∈E
f
(z)与z趋于z0的方式无关，
即当z从平面上任一方向、沿任何路径、以
任意方式趋近于z0时，f (z)均以α为极限。
(3) 复变函数w = f (z)的极限有类似于数学分析中 一元(或多元)实函数极限的性质，如：极限的唯一 性，局部有界性，极限的四则运算和复合运算。
解 令 z = x + iy, w = u + iv,
则 u + iv = ( x + iy)2 = x2 − y2 + 2xyi, 所以 u = x2 − y2 , v = 2xy.
于是w = z2将z平面上的双曲线x2 − y2 = 4与xy = 2 分别映为w平面上直线u = 4和v = 4.
xy→→xy00

复变函数的极限与连续

§1.3 复变函数的极限与连续
一、 复变函数 二、 复变函数的极限 三、 复变函数的连续性
1
一、 复变函数
x 实变量, y f ( x) 为实变函数, x 的值一旦确定,
y 只有一个数和它对应. 高等数学中的实变函数,
都是单值函数. 可用平面上的一条曲线表示一个实变函数.
z 复变量, w f (z) 为复变函数, z 的值一旦确定,
x
u
9
例2(3) 函数 w 1
z
把z平面上的直线 y kx
映射成 怎样的曲线？
解
w
1
x i kx
1 ik
x (1 k 2 )
u 1 , x (1 k 2 )
v k , x (1 k 2 )
ku v 0
y
w1 z
把
y kx 映射成 ku v 0
v
把 y x 映射成 u v 0
0x
yc y 1
v2 4c2(c2 u) v2 4(1 u)
y 2 y
v2 16(4 u) v
x
u
证 zz xc iyc w (cxiiyc))22cx2 2yc2222ccyxi i
uu xc2 cy22 v 2cxy
xy v 2c
u
v2 c42c2
vc22 4c2
v22 4c22(c22 u) u c2 u c72
z z 2 t (2ti 0) w (2 2i)2 8i
2
0 arg(w)
5
例1.14续 考察 w z2 的映射性质 z x iy
w ( x iy)2 x2 y2 i2xy
3) w z2 将z平面上的
w平面上的
双曲线 xy a 映射成 v 2a 直线
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§1-4 复变函数的极限和连续
一、复变函数的极限 二、复变函数的连续性
1
定义：设函数 w f在(z)复平面上已给点集E上
确定，A为E 的一个聚点， 为z0一复常数，
如果对任意 , 存 在 0
，使当 ( ) 且0
时，有z E
0 | z z0 |
| f (z) A |
则称当z 在E 中趋于 时z0 , w 趋 f于(z极) 限A ，
则称当z在E 中| 趋f (z于) |时A
作
z0
趋于无穷大 ，记
f (z)
lim f (z)
zE , zz0
9
定义：如果对于任给定常数ε>0 ，存 在 ( )，使0 当 且z E 时| ，z |有
则称当z
| f (z) |
在E 中趋于无穷大
时
作
趋于
f (z)
，记
lim f (z)
lim
zz0
f (z)
不存在或存在但
lim
zz0
f (z)
f (z0 )
只需验证 z
z0
在某方向上
lim
zz0
f (z)
f (z0 )
或存在某方向 (x, y) (x0, y0) 时，有
lim
xx0
u(
x,
y)
u(
x0 ,
y0
)
或
lim
xx0
v(
x,
y)
v(
x0 ,
y0
)
y y0
y y0
11
证明argz在原点和负实轴不连续
然后，利用教材24页定理2，分别求两个函数u(x,y)和 v(x,y)的极限，即
lim f (z) lim f (z) lim u(x, y) i lim v(x, y)
zz0
xx0 y y0
xx0 y y0
xx0 y y0
例
lim
zz0
|
z
||
z0
|
因为|z|在整个复平面上连续
P27,6
14
| f (z) f (z0 ) |
则称函数 w f在(z) 点连z0续 ，若 在E 中f (z每) 一点都 连续，则称 f (在z)E连续.
5
• 定理：复变函数f(z)在点z0=x0+y0连续的 充要条件是实部和虚部的两个二元函数 在点(x0,y0)都连续。
6
与数学分析中的连续函数一样，我们可类似 地证得以下定理
由于
arg
z
arccos
x2
arccos
x y2
x
( y 0)
是分段定义的二元函数
( y 0)
பைடு நூலகம்
x2 y2
当y>0或y<0时，显然是连续的。只要考虑y=0上的点函数
argz是否连续即可。
(1)由于当x0>0时有
lim
x x0
arc
c
os
y0
lim arccos
xx0 y0
x arccos x2 y2
P26,4 证明函数f(z)=ln|z|+iarg(z)在原点和负实 轴上不连续性。
13
函数极限的求法和极限不存在的判别法
方法1：当容易看出f(z)在z0点连续时，可用函数在一 点处连续的定义来求极限。即
lim
zz0
f (z)
f (z0 )
方法2：当不能判断f(z)在z0点是否连续时，
首先，把f(z)写成f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的形式。
⑵ f (在z) 它上能取到最大值与最小值；
⑶ f (在z) 它上一致连续，即对任意的
在 ， (使) 当0
或z1者, z2 E 且
有 | z1 z2 |
| f (z1) f (z2 ) |
,存 0 z1, z2时C，
8
定义：如果对于任给定常数 A ，0 存 在 ( A，) 使0当 ， z E 0 | 时z ，z0 有|
定理1 若函数 f (与z) 函数 均g(z在) 点 连续z0，
则
f (和z) g(z) 在点f (z)g连(z续) ．进一步z0，
如果
，那么 在g点(z0) 连0 续。
f (z) g(z)
z0
7
定理2 函数 f (在z) 简单曲线 或C者有界闭区域 上连E续，则
⑴ f (在z) 它上为有界函数；
记作
lim f (z) A
zE , zz0
2
• z→z0的路径无穷，不能都列举
lim f (z) A lim f (z) A 0
zE , z z0
zE , z z0
lim
zz0
f1(z)
f2 (z)
A1 A2
lim
zz0
f1(z) f2 (z)
A1 A2
A2
0时，lim zz0
x 0 x2 y2
x0 0 x02 02
即当x x0且 y 0 时，函数的极限值等于在点(x0,0)处 的函数值，此二元函数在点(x0,0)处连续，因此argz在 正实轴连续。
12
(2) argz在z=0点无意义，因此不连续
(3) 在y＝0，x<0的半直线上
可是
lim
xx0 y0
arc
c
os
x x2
y2
arg
z0
arccos
x0 x0
arccos(1)
所以分段定义的二元函数argz在y=0且x<0这些点处不连续
综上所述，argz在出去负实轴和原点的整个复平面上处处 连续。
f(z)=|z|的连续性？
f (z) x2 y2 是复变实值函数，是x,y的二元连续函数， 因此在整个复平面上连续。
f1 ( z ) f2(z)
A1 A2
3
• 复变函数在一点的极限可用两个二元实 函数在一点的极限来讨论，即
lim f (z) A lim Re f (z) Re A
zz0
Re zRe z0 Im zIm z0
且 lim Im f (z) Im A Re zRe z0 Im zIm z0
4
定义：设函数w f在(z)复平面上已给点集E上确定， 为z0 E 的一个聚点，且 z0 ，E如果对任意 ，存0在 ( )，使0当 且z E 时| z， 有z0 |
zE , z
10
函数在某点处连续性的判别
基本解法：
(1)把函数f(z)化为形式f(z)=u(x,y)+iv(x,y) (2)利用教材24页定理2判别u(x,y)和v(x,y)在点(x0,y0)处是
否连续
若都连续，则f(z)在z0连续 若不连续，则
f(z0)无意义，即u(x0,y0), v(x0,y0)至少一个不存在