全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题

全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题

第一试

一、选择题（每小题5分，共50分）

1．a,b为实数，集合{,1},{,0},:bMPafxxa表示把集合M中的元素x映射到集合

P中仍为x，则a+b的值等于 （ ）

A．－1 B．0 C．1 D．1

2．若函数()fx满足22()log||||fxxxx，则()fx的解析式是 （ ）

A．2logx B．2logx C．2x D2x

3．若关于x的方程323()25xaa有负数根，则实数a的取值范围为 （ ）

A．2(,)(5,)3 B．3(,)(5,)4

C．2(,5)3 D．23(,)34

4．已知数列{}{}nnab、的前n项和分别为nA，nB记(1)nnnnnnnCaBbAabn

则数列{nC}的前10项和为 （ ）

A．1010AB B．10102AB C．1010AB D．1010AB

5．如图1，设P为△ABC内一点，且2155APABAC，

则△ABP的面积与△ABC的面积之比为（ ）

A．15 B．25

C．14 D．13

6．若33sincoscossin,02

则角的取值范围是（ ）

A．[0,]4 B．[,]4 C．5[,]44 D．3[,)42

7．袋中装有m个红球和n个白球，m>n≥4.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概

率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系m+n≤40的数组（m,n）的个数为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6 8．已知实系数一元二次方程2(1)10xaxab的两个实根为12,xx且1201,1xx则ba的取值范围是 （ ）

A．1(1,]2 B．1(1,)2 C．1(2,]2 D．1(2,)2

9．如图2，在正方体1111ABCDABCD中，P为棱AB上一点，过点P在空间作直线l，

使l与平面ABCD和平面AB11CD均成030角，则这样的直线l的条数为 （ ）

A．1 B .2 C．3 D .4

10．如图3，从双曲线22221(0,0)xyabab的左焦点F引圆222xya的切线，切点为T．延长FT交双曲线右支于P点若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则||||MOMT与ba的大小关系为 （ ）

A．||||MOMTba

B．||||MOMTbaC．||||MOMTba D．不确定

二、填空题（每十题6分，共30分）

11．已知为锐角，且cos31cos3，则sin3sin

12．用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为1R，能包容此框架的最小球的半径为2R，则12RR等于

13．设()fx是以2为周期的奇函数，且2()35f，若5sin5则(4cos2)f的值是

14．若a，b，c成等差数列，则直线ax+by+c = 0被椭圆22128xy截得线段的中点的轨迹方程为

15．设)}8(log,log,2min{log,1,122xySyxyx则S的最大值为

第二试

一、（50分）设123(,)(,)(2,)PxayQxyray、、是函数()2xfxa的反函数图象上三个不同点，且满足1322yyy的实数x有且只有一个，试求实数a的取值范围.

二、（20分）已知x、y、z均为正数

（1）求证：111;xyzyzzxxyxyz

（2）若xyzxyz,求xyzuyzzxxy的最小值

三、（20分）已知sin(2)3sin,设tan,tanxy,记()yfx

（1）求()fx 的表达式;

（2）定义正数数列2*111{};,2()()2nnnnaaaafanN。试求数列{}na的通项公式。

四、（30分）如图4，△ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H,设D、E分别为内切圆I与边BC、CA的切点，求证：D、H、E三点共线

五、（30分）如图5，已知抛物线C：24(0)ypxp，F为C的焦点，l为准线，且l交x轴于E点，过点F任意作一条直线交抛物线C于A、B两点。

（1）若(0)AFFB，求证：()EFEAEB；

（2）设M为线段AB的中点，P为奇素数，且点M到x轴的距离和点M到准线l的距离均为非零整数，求证：点M到坐标原点O的距离不可能是整数。

参考答案

1．C 由题设得M=P，从而1

.0,1,1,0babaaab故即。

2．B 由00||xxx得，于是xxxfxxf222log1log)(,log)1(从而

3．D 因为.15320,0)32(0,0aaxx从而所以 解得.4332a

4．C 当2n时，.))(()()(111111nnnnnnnnnnnnnnnBABABBAAABBBAAc，

故101099101022331122111021)()()(BABABABABABABABAccc 5．A 如图1，设,51,52ACANABAM

ANAMAP则，由平行四边形法则知

NP//AB，所以，.51ACANABCABP

6．C 方法1：由.0)sin212)(cos(sin,sincoscossin233得因为

.454.0cossin,0sin2122解得所以

方法2：原不等式可变形为.coscossinsin33 构造函数xxxf3)(，

则原不等式为).(cos)(sinff易知)(xf在R上是增函数，因此cossin。注

意到20，解得454

7．A 记“取出两个红球”为事件A，“取出两个白球”为事件B，“取出一红一白两

球”事件C，则2122222)(,)(,)(nmnmnmnnmmCCCCPCCBPCCAP。依题得P（A）+P（B）=P（C），即Cm2++Cn2=Cm1·Cn1。所以m+n=（m－n）2，从而m+n为完全平方

数，又由40404nmnmnm及及，得.409nm

所以636,525,416,39nmnmnmnmnmnmnmnm或或或，解之得（m，n）=（6，3）（舍去），或（10，6），或（15，10），或（21，15）。故符合题意的数组（m，n）有3个。

8．D 设.032)1(,01)0(,1,10,1)1()(212bafbafxxbaxaxxf得则由

在直线坐标平面aOb上作出上述不等式所表示平面区域如图2中阴影部分所示（不含边

界），两直线a+b+1=0与2a+b+3=0的交点为P（－2，1）。

ab表示经过坐标原点O和可行域内的点（a，b）的直线l的斜率。显然，当l过点P

（－2，1）时，斜率为21；当l与直线032ba平行时，斜率为－2。所以

.212ab

9．B 由于二面角C1—AB—D的平面角为45°，所以在这个二面角及它的“对顶”二面

角内，不存在过点P且与面ABCD和面ABC1D1均成30°的直线。转而考虑它的补二面

角，易知过点P有且仅有两条直线与面ABCD和面ABC1D1均成30°。故满足条件的直

线l有2条。

10．B 如图4，设双曲线的右焦点为F′，连结PF′、OT，在Rt△OTF中，由|OF|=c，|OT|=a（c为双曲线的半焦距），得|TF|=b，于是，根据三角形中位线定理及双曲线定义，得|MO|－|MT|=.|||(|21)||21(||21abFPPFbbPFFP

二、填空题（每小题6分，共30分。把答案填在题中的横线上）

11．37 方法1：由题设及三倍角的斜弦公式，得.310cos4,313cos422即

故.371cos4sin43sinsin223

方法2：设.22sin212sincossin)3sin(cos3cossin3sin31,sin3sinxx则

故37312x

12．.33 依题意，R1为这个正四面体框架的棱切球半径，R2为外接球半径。易知，棱切球的直径即为正四面体对棱之间的距离42,221R所以；又外接球的半径为462R，所以，3321RR。

13．－3 因为,55sin为锐角，所以)(,53sin212cos2xf又是以2为周期的奇函数，且3)52(f，所以.3)52()52()512()2cos4(ffff 14．.12)1()21(222yx 由a－2b+c=0知，直线0cbyax过定点P（1，－2）。又点P在椭圆18222yx上，所以P为所截线段的一个端点，设另一端点为Q（x1，y1），线段PQ的中点为M（x0，y0），则2212,22,2101011010yyxxyyxx即。因为点

Q（x1，y1）在椭圆18222yx上，所以2)22(2)12(2020yx=1。故得中点M轨迹方程为.12)1()212(222y

15．2 由题设得)8(log,)8(log,log,2log222xSSxSySyyx则

,23log2log23loglog23222SSyyxx于是S3－3S－2≤0，即（S－2）（S+1）2≤0，得S≤2。当2x，y=4时取等号。

第二试

一、选择题（每小题5分，共50分）

【解】axfx2)(的反函数为1),(log,log),(log)(3222121yaxyxyaxxf则。于是，由2312yyy，得)(log2log122axx。

此方程等价于2)(2axxax。 ……………………5分

（1）当△=0，即21a时，方程有唯一实根21x。 ……………10分

（2）当△>0，即21a时，方程有两个实根121aax

显然，aaax121满足条件，

从而应有0a,121解得aaax…………15分