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2016年全国高中数学联赛(陕西预赛)试题有答案

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2016年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题

（4月24日上午 8:30—11:00）

第一试

一、选择题（每小题6分，共48分．给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、已知集合={1,2,310}M，，，A是M的子集，且A中各元素的和为8，则满足条件的子集A共有（ ）

A. 8个 B. 7个 C. 6个 D. 5个

2、在平面直角坐标系中，不等式组303200xyxyy表示的平面区域的面积是（ ）

A. 32 B. 3 C. 2 D. 23

3、设,,abc是同一平面内的三个单位向量，且ab，则()()cacb的最大值是（ ）

A. 12 B. 12 C. 21 D. 1

4、从1,2,,20这20个数中，任取3个不同的数，则这3个数构成等差数列的概率为（ ）

A. 15 B. 110 C. 319 D. 138

5、,AB是抛物线23yx上关于直线0xy对称的相异两点，则||AB等于（ ）

A. 3 B. 4 C. 32 D. 42

6、如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，G为BCD的重心，M是线段AG的中点，则三棱锥MBCD的外接球的表面积为（ ）

A.  B. 32 C. 64 D. 68

7、设函数32()fxxaxbxc（,,abc均为非零整数）.

若3()faa，3()fbb，则c的值是（ ）

A. 16 B. 4 C. 4

D. 16

8、设非负实数,,abc满足0abbccaabc，则abbcca的最小值为（ ）

A. 2 B. 3 C. 3 D. 22

二、填空题（每小题8分，共32分）

9、在数列{}na中，4111,9aa，且任意连续三项的和都是15，则2016a_______________.

10、设,mn均为正整数，且满足424mn，则m的最小值是_______________.

11、设()()fxgx、分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且()()2xfxgx+，若对[1,2]x，不等式()(2)0afxgx+恒成立，则实数a的取值范围是___________.

12、设xR，则函数()|21||32||43||54|fxxxxx的最小值为_________.

第二试

一、（本题满分20分）设,xy均为非零实数，且满足sincos955tan20cossin55xyxy．

（1）求yx的值；（2）在ABC中，若tanyCx，求sin22cosAB的最大值．

A

C D B G M

二、（本题满分20分）已知直线:34lyx，动圆222:(12)Oxyrr，菱形ABCD的一个内角为060，顶点,AB在直线l上，顶点,CD在圆O上，当r变化时，求菱形ABCD的面积S的取值范围．

三、（本题满分20分）如图，圆1O与圆2O相交于,PQ两点，圆1O的弦PA与圆2O相切，圆2O的弦PB与圆1O相切，直线PQ与PAB的外接圆O交于另一点R．求证：PQQR．

ABPOQR1O2O

四、（本题满分30分）设函数1()ln(1),fxxaaRx，且()fx的最小值为0，

（1）求a的值； （2）已知数列{}na满足11a，1()2(N)nnafan，设123nnSaaaa，其中[]m表示不超过m的最大整数．求nS．

五、（本题满分30分）设,,abc为正实数，且满足1abc，对任意整数2n，证明：32nnnnabcbccaab．

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2016年全国高中数学联赛A卷真题word版

2016年全国高中数学联赛A卷真题word版

1 2016年全国高中数学联赛A卷

一试

一、填空题

1. 设实数a满足aaaa1193，则a的取值范围是__________.

2. 设复数wz,满足3z，iwzwz47，其中i是虚数单位，wz,分别表示wz,的共轭复数，则wzwz22的模为__________.

3. 正实数wvu,,均不等于1，若5loglogwvwvu，3loglogvuwv，则uwlog的值为__________.

4. 袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B中装有4张5元纸币和3张1元纸币.现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为 .

5. 设P为一圆锥的顶点，CBA,,是其底面圆周上的三点，满足90ABC，M为AP的中点.若2,2,1APACAB，则二面角ABCM的大小为__________.

6. 设函数10cos10sin44kxkxxf，其中k是一个正整数.若对任意实数a，均有Rxxfaxaxf1，则k的最小值为__________.

7. 双曲线C的方程为1322yx，左、右焦点分别为1F、2F.过点2F作一直径与双曲线C的右半支交于点QP,，使得901PQF，则PQF1的内切圆半径是__________.

8. 设4321,,,aaaa是100,,2,1中的四个互不相同的数，满足

2433221242322232221aaaaaaaaaaaa，

则这样的有序数组4321,,,aaaa的个数为__________.

二、解答题

9. 在ABC中，已知CBCABCBAACAB32.求Csin的最大值.

10. 已知xf是R上的奇函数，11f，且对任意0x，均有xxfxxf1.

2011年全国高中数学联赛山东省预赛试题及答案

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2011年全国高中数学联赛山东省预赛

2011年全国高中数学联赛山东省预赛由山东省数学会普及工作委员会及山东省数学竞赛委员会主办，由山东省数学竞赛委员会组织及负责命题.

试题以《全日制普通高中(新)课程标准》的内容和要求为依据，在方法和能力的要求上有所提高，试题包括10道选择题、4道填空题、5道解答题，全卷满分150分.

预赛时间：2011年9月10日（星期六）9:30---11:30

预赛地点：全省各市组织进行.

此项预赛人数为14.5万人，获奖面为参赛人数的5%，按1：2：4的比例，设一、二、三等3个奖项，并根据成绩从中选拔2000名优胜者参加2011年全国高中数学联赛山东赛区决赛.

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试 题

一、选择题（每小题6分，共60分）

1．已知集合

{|(1)(3)(5)0,},{|(2)(4)(6)0,}MxxxxxNxxxxx． RR

MN（ ） .

(A) (2,3) (B) (3,4) (C) (4,5) (D) (5,6)

2．已知(33)nzi, 若z为实数，则最小的正整数n的值为（ ） .

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6

3．已知p：,,,abcd成等比数列，q:adbc， 则p是q的（ ） .

(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件

(C) 充分且必要条件 (D) 既不充分也不必要条件

4．函数20.3()log(2)fxxx的单调递增区间是（ ） .

(A) (,2) (B) (,1) (C) (-2,1) (D) (1,)

5．已知,xy均为正实数，则22xyxyxy的最大值为（ ） .

2016年全国高中数学联赛河南赛区预赛_高二试题

2016年全国高中数学联赛河南赛区预赛_高二试题

2016年全国高中数学联赛河南赛区预赛（髙二）

一.填空题(每小题8分,共64分)

1.若实数,xy满足22254xxyy,则22xy的取值范围是 .

2.甲乙两人各自独立地抛掷一枚质地均匀的硬币,甲抛10次,乙抛11次则乙出现

正面朝上的次数比甲出现正面朝上的次数多的概率为 .

3.在ABC△中,2,1,7ABACBC,O为ABC△的外心,且

OAABAC.则 .

4.已知函数3211

32fxxbxcxd在区间0,2内既有极大值又有极小值.则

224bccc的取值范围是 .

5.集合1,2,,2016的元素和为奇数的非空子集的个数为 .

6定义数列:

nnaa为12n的末位数字,

nS为数列

na的前n项之和,则

2016S .

7.已知双曲线22

2210,0xy

ab

ab的左,右焦点分别为

12,FF,过点

1F作圆

222xya的切线,与双曲线的右支交于点P,且

1245FPF.则双曲线的离心

率为 .

8.过正四面体ABCD的顶点A作一个形状为等腰三角形的截面,且使截面与底面

BCD所成的角为75.这样的截面共可作出 个.

二,(16分)已知实数,xy满足2349xyxy.试求827xyU的取值范围.

三,(20分)如图所示,,APAQ为O的切线,,PQ为切点,M为线段PQ的中点,

AKL为一条割线,直线lAQ,l与,,QKQPQL分别交于,,XYZ三点,证明：(1)

2·PMKMML；

(2)XYYZ.

四,(20分)如图所示,已知,AB为椭圆22

:1

259xy

的左,右顶点,直线l与椭圆

交于点,MN.设,AMBN的斜率分别为

12,kk,且

12:1:9kk.

(1)证明:直线l过定点；

(2)记,AMNBMN的面积分别为

12,SS,求

12SS的最大值.

五,(20分)定义数列

na:

121,4aa,

2016全国高中数学联赛江苏省预赛试题及答案word

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2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛

一、填空题（每小题7分，共70分））

1.关于x的不等式bax的解集为42xx，则ab的值是 -3。

2.从1, 2, 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9中任取两个不同的数，则取出的两数之和为偶数的概率。4/9

3.已知xf是周期为4的奇函数且当2,0x时60162xxxf,则102f的值是。-36

4.己知直线l是函数2ln2xxxf图象的切线，当的斜率最小时l的方程是。034yx

5.在平面直角坐标系XOY中，如果直线l将圆04222yxyx平分，且不经过第四象限，那么l的斜率的取位范围是。2,0

6.己知等边△ABC的边长为2,若BCAPAQACABAP21,31,则△APQ面积是。33

7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P在棱BC上，点Q为棱CC1的中点.若过点A,P.Q的平面截该正方体所得的截面为五边形.则BP的取值范围为。1,21

8.己知数列na的奇数项依次构成公差为1d的等差数列，偶数项依次构成公差为2d的等差数列.且对任意,Nn都有.1nnaa 若,2,121aa且数列na的前10项和,7510S则8a11

9.己知正实数yx,满足162222xyyx则yx。4

10.设M表示满足下列条件的正整数n的和:n整除22016，且2016整除2n.那么M的所有不同正因子几的个数为。360

二、解答题（每小题20分，共80分））

11.已知,2,0,1235cos1sin1求tan。3/4或4/3

12.如图，点P在△ABC的边AB上且 AB=4AP，过点P的直线MN与△ABC外接圆交于点M, N，且点A是弧M N的中点.求证：

(1)△ABN△ANP。