全国高中数学联赛广西赛区预赛试题

全国高中数学联赛广西赛区预赛试题

参考解答及评分标准

一、选择题（每小题6分，共36分）

1、选C.

解：关于t的方程02cbtt最多有两不同的解nm,，从而nxfmxf)(,)(，必有一个方程有两个不相等的实根，另一个方程有三个不同的实数解.而由已知，只有1)(xf有三个不同的实数解.不妨设54321xxxxx，由于)(xf关于直线2x对称，必有23x，451xx，442xx，故12345,,,,,()xxxxxfxxxxx则＝81|210|1)10(f.

2、选D.

解：根据题意，令 21knm （1）

201lnm （2）

其中.kllkm均为正整数，且、、

(1)),2(10得 .39)10(,9102klklkmmmm即

于是有以下三种可能：

I .4,2,3,110,9lkmmmklk经检验这组符合条件，此时.4n

II .,0,0,,910,1矛盾为任意正整数nlkmmmklk

III .,310,3该方程组无正整数解klkmm

综上所述，n只能取4.

3、选A.

解：对于正整数x，2x被7除的余数规律是2，4，1，2，4，1，…；2x被7除的余数规律是1，4，2，2，4，1，0，…. 所以，22xx被7除所得余数的规律将呈周期性变化，周期为21，且一个周期内恰有6个x的值使22xx能被7整除，故在小于10000的正整数中，共有2857个正整数满足条件.

4、选A. 解：以P为公共顶点，正四面体的各面为底面，将正四面体分为四个三棱锥，它们的体积之和即为正四面体的体积，所以点P到各面距离之和等于正四面体的高.

四面体每个面三角形的高 332622h，从而 232h， 于是

正四面体的高 22322()()222H .

5、选B.

解：设双曲线的方程为),0,0(12222babyax半焦距为c，则.222bac由

解得aBFAF222，这表明ABx轴，又易知此时abBFAF222，结合

.222bac解得双曲线的离心率.3ace

6、选D.

解：欲使方程有实根，应有240mn.

mn 1 2 3 4 5

6

1 ⅹ ⅹ ⅹ ⅹ ⅹ ⅹ

2 √ ⅹ ⅹ ⅹ ⅹ ⅹ

3 √ √ ⅹ ⅹ ⅹ ⅹ

4 √ √ √ √ ⅹ ⅹ

5 √ √ √ √ √ √

6 √ √ √ √ √ √

如上表，适合条件的m,n共有19组，故3619P.

二、填空题（每小题9分，共54分）

1、 1 .

解：由 )()()(2121xfxfxxf 得 )0()0(2ff，而0)0(f，所以1)0(f，

又)()()0(xfxff，故

1)0()2010()2009()1()0()1()2009()2010(4021ffffffff.

2、31 .

解：不妨设 0abcd，则由条件，22224,8abcdabcd，于是，

22224,8bcdabcda. 由 Cauchy不等式， 22223()()bcdbcd， 即 223(8)(4)aa，2220aa，

所以 031a， 因此 a的最大值为31（此时313bcd）.

3、[10,18] .

解：由条件，有

2446abababab……①，而 (2)42fab，所以问题即求在条件①下目标函数42ab的最值. 经从图像分析可知，由24abab得到的交点A（3，1）为(2)f的最小值，即432110；由46abab得到的交点B（5，1）为(2)f的最大值，即452118.

因此，10(2)18f.

4、2(,1)2 .

解：设点(cos,sin)Pab，则 (cos,sin),(cos,sin)OPabAPaab. 于是，

0OPAP2222cos(cos1)coscos(cos)(sin)0sin1cosbaaaba，

所以 211cose. 由 cos(1,1)，知 1cos(0,2).

故 21(,1)2e， 即 2(,1)2e.

5、 64 .

解：令2x，得 064a. 已知等式两边同时对x求导，得

251112126(22)(22)2(2)12(2)xxxaaxax.

再令1x，由上式得12122120aaa.

因此 01212021264aaaaa.

6、 160 .

解：设至少经过3点的直线有k条，每条上的点数从多到少依次为： 则由已知，有 12222211(1)(1)(1)487kaaaCCCC.

又由 21312iaC 知 3k.

当1k时 128aC 无解； 当2k时 12229aaCC，解得 124,3aa； 当3k时

12322210aaaCCC 无解. 故有1条直线过其中4点，1条过3点， 即三角形个数为

3331143160CCC.

三、解答题（每小题20分，共60分）

1、解：由112(32)(1)0(2)nnnnananan，得

11(2)(1)(2)nnnnnaanaa，

于是 11111()22nnnnnaaaan.……………………5分

从而 11111()22nnnnnaaaan =1211()12nnnnaann

=21131122nnaann=12n. ……………………10分

令 11(1)2nnaxnyaxny，

则 1111()222nnaaxnxy

比较系数，得x=1,y=0。

于是11(1)2nnanan，

因此1nan是以211a为首项，12为公比的等比数列. ………………15分

从而 1112nnan，即1112nnan.

在上式中，令n=，得20102008120092a. ……………………20分

2、解：

连结OA，易知椭圆内整点在x轴上有两个1(6,0)M、2(6,0)M满足题意.……5分

分别过点1M、2M作平行于直线OA的两条直线1l、2l，根据三角形同底等高面积相等可知，符合条件的整点M均在直线1l、2l上.

易知 101202OAk， 故直线1l、2l的解析式分别为 1(6)2yx， 1(6)2yx. …………………………………………………10分

已知M是椭圆2212008xy内的整点，有2212008xy.

分别解 22120081(6)2xyyx 与 22120081(6)2xyyx 得 101029x，101029x .……15分

由M是整点，且在直线1l、2l上，知x为偶数，所以， 在101029x 及

101029x中，x分别有四个偶数.

故符合条件的整点的个数为8. ………………………………………………20分

3、解：

（1） 由 2236243(4)(2)yxaxaxaxa 知，当0a时 230yx，说明此时原函数是增函数，无极值，所以0a. ……………………5分

（i）当0a时，原函数的变化如下表：

x 2a 4a

y + 0 0 +

y 328ba（极大） 380ba（极小）

从而由 333(28)(80)1084babaa 得 3127a，所以 13a. …………10分

（ii）当0a时，原函数的变化如下表：

x 4a 2a

y + 0 0 +

y 380ba（极大） 328ba（极小）

从而由 333(80)(28)1084babaa 得 3127a，所以 13a.

因此，由（i）（ii），13a. ……………………………………15分

（2）（i）当13a时， 由 33280,800baba 得

332880aba，即 28802727b.

（ii）当13a时，由 33800,280baba 得 338028aba， 即 80282727b. …………………20分高考理科数学试题及答案

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.31ii（）

A．12i B．12i C．2i D．2i

2. 设集合1,2,4，240xxxm．若1，则（）

A．1,3 B．1,0 C．1,3 D．1,5

3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏

4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某

几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部

分所得，则该几何体的体积为（）

A．90 B．63

C．42 D．36

5. 设x，y满足约束条件2330233030xyxyy，则2zxy的最小值是（）

A．15 B．9 C．1 D．9

6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）

A．12种 B．18种 C．24种 D．36种

7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家