高中数学：3.2.3《直线的一般式方程》教案新人教版必修2A

1 3.2.3 直线的一般式方程

（一）导入新课

思路1.前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢?这节课我们就来研究这个问题.

思路2.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形.

(1)斜率是1，经过点A（1，8）；(2)在x轴和y轴上的截距分别是-7，7；(3)经过两点P1（－1，6）、P2（2，9）；(4)y轴上的截距是7，倾斜角是45°.

由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为y-8=x-1、77yx=1、121696xy、y=x+7，教师利用计算机动态显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合.原来它们的方程化简后均可统一写成：x-y+7=0.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式.

（二）推进新课、新知探究、提出问题

①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x,y的二元一次方程?

②关于x,y的一次方程的一般形式Ax+By+C=0（其中A、B不同时为零）是否都表示一条直线?

③我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化?

④特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互化?

⑤我们学习了直线方程的一般式Ax+By+C=0，系数A、B、C有什么几何意义?什么场合下需要化成其他形式?各种形式有何局限性?

讨论结果:①分析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α.

1°当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y轴相交，方程可用斜截式表示：y=kx+b.

2°当α=90°时，它的方程可以写成x=x1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x、y的二元一次方程，其中y的系数是零.

结论1°：直线的方程都可以写成关于x、y的一次方程.

②分析：a当B≠0时，方程可化为y=-BAx-BC，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为-BA，在y轴上的截距为-BC的直线.b当B=0时，由于A、B不同时为零必有A≠0，方程化为x=-AC，表示一条与y轴平行或重合的直线.

直线的一般式方程 教学设计

一 教材分析

本节课是在学习了直线方程的几种特殊形式的基础上，归纳总结出直线方程的一般形式。掌握直线方程的一般形式，为用代数方法研究两条直线的位置关系和学习圆锥曲线方程打下基础。

二 教学目标 知识目标 理解直线方程的一般式，会进行一般式和点斜式、斜截式的互化。

能力目标 培养学生抽象概括能力、分类讨论能力、数形结合的能力和形成特殊与一般辩证统一的观点。

情感目标 认识事物之间的普遍联系与相互转化，用联系的观点看问题，体验数学发现和探索的历程，发展创新意识

教学重点 使学生经历一般式的发现过程，掌握直线方程的一般形式。

教学难点 在直角坐标系中直线方程与关于x和y的一次方程的对应关系。

教学关键 直线方程各种形式的互化。

三 教学过程

内容 师生活动 设计意图

1．情景设置

数学家笛卡儿在平面直角坐标系中研究两直线间的位置关系时，碰到这样一个问题：平面直角坐标系中的任何一条直线L能不能用方程来表示？

问题1：写出

(1) 过点P（2，1），斜率为2

(2) 斜率为-2，纵截距3的直线的方程，

并观察方程属于哪一类，为什么？ 通过解题和讨论，总结前面学过的直线方程的几种特殊形式

复习旧知识，为新知识的引入做好准备, 教师边评价边启发引导，使学生的认识统一到，都是二元一次方程

2.问题2 任何一条直线的方程都可以写成关于x、y的二元一次方程吗？ 直线和y轴：

相交——≠90°，斜率存在——方程y=kx+b

平行（或重合）——=90斜率不存在——x=x1

都是二元一次方程 使学生理解直线和二元一次方程的关系。

3.问题3 任何关于x、y的一次方程都表示一条直线吗？ 二元一次方程（Ax+By+C=0）： 使学生理解二元一次方程和直线的关系。用分类讨论的方法思考探究问当B≠0, y=-BAx-BC——与x轴相交的直线

B=0,x= x=-AC ——与y轴平行或重合的直线 题

3.2《直线的方程》教案(新人教必修2)

直线的点斜式方程

一、教课目的

1、知识与技术

（ 1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特色和合用范围；

（ 2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。

（ 3）领会直线的斜截式方程与一次函数的关系.

2、过程与方法

在已知直角坐标系内确立一条直线的几何因素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上，经过师生商讨，得出直线的点斜式方程；学生经过对照理解“截距”与“距离”的差别。

3、神态与价值观

经过让学生领会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培育学生数形联合的思想，浸透数学中广泛存在相互联系、相互转变等看法，使学生能用联系的看法看问题。二、教课要点、难点：

（ 1）要点：直线的点斜式方程和斜截式方程。

（ 2）难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。三、教课假想

问 题

1 、在直线坐标系内确立一条直线，应知道哪些条件？ 设计企图

使学生在已有知识和经验的基础上，研究新知。 师生活动

学生回首， 并回答。而后教师指出，直线的方程， 就是直线上随意

一 点 的 坐 标 (x, y) 满 足 的 关 系

2、直线 l 经过点 P0 (x0 , y0 ) ，且斜率为 k 。设点 P( x, y) 是直线 l

上 的 任 意 一 点 ， 请 建 立 x, y 与

k, x0 , y0 之间的关系。

y

P

P 0

式。

培育学生自主 学生依据斜率公式，能够获取，

研究的能力， 并体

时， k y y0 ，即 会直线的方程， 就 当 x x0

是直线上随意一 x x0

点 的 坐 标 ( x, y) y y0 k( x x0 ) （1）

知足的关系式， 从 教师对基础单薄的学生赐予关

而掌握依据条件 注、指引，使每个学生都能推导出

求直线方程的方 这个方程。

法。

必修2第三章 第二节直线的方程

第一课时3.2.1 直线的点斜式方程

教学目标：

1．掌握由一点和斜率导出直线方程的方法，掌握直线的点斜式方程；了解直线方程的斜截式是点斜式的特例

2．掌握斜率不存在时的直线方程，即1xx

3．能通过待定系数(直线上的一个点的坐标11(,)xy及斜率k，或者直线的斜率k及在y轴上的截距b)求直线方程

教学重点：

直线的点斜式、斜截式方程的推导及运用

教学难点：

直线的点斜式、斜截式方程的意义及运用

教学过程：

（一）、复习准备：

1. 直线的倾斜角与斜率有何关系?什么样的直线没有斜率?

2.两条不重合的直线,斜率都存在. 它们的斜率有何关系.如何用直线的斜率判定两直线垂直?

直线l经过点(1,3)A，(0,1)B，则(1)直线l的斜率是多少？(2)当(,)Pxy在直线l上运动，那么点P的坐标(,)xy应满足什么条件？

解：(1)31210k；(2)直线l的斜率恒为2，当(,)Pxy除(1,3)A外，则32(1)yx，

32[(1)]yx(点(1,3)A的坐标也满足方程)，点P的坐标(,)xy应满足210xy，

反过来，以方程210xy的解为坐标的点都在直线l上

（二）、讲授新课：

直线点斜式方程

已知直线l上一点000(,)pxy与这条直线的斜率k，设(,)pxy为直线上的任意一点，则有：

00yykxx00()yykxx ⑴

探究: 两点可以确定一直线,那么知道直线上一点的坐标与直线的斜率能不能确定一直线呢?

满足方程⑴的所有点是否都在直线 l上?

点斜式方程 ：方程 ⑴:00()yykxx称为直线的点斜式方程.简称点斜式.

讨论:直线的点斜式方程能否表示平面上的所有直线?(引导学生从斜率的角度去考虑)

结论:不能表示垂直于x轴的直线.只有当直线存在斜率时，直线才具有点斜式方程．