高中数学 必修二(3.2.3 直线的一般式方程)示范教案 新人教A版必修2
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1 3.2.3 直线的一般式方程
教学过程
导入新课
思路1.前面所学的直线方程的几种形式，有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线方程呢?这节课我们就来研究这个问题.
思路2.由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形.
(1)斜率是1，经过点A（1，8）；(2)在x轴和y轴上的截距分别是-7，7；(3)经过两点P1（－1，6）、P2（2，9）；(4)y轴上的截距是7，倾斜角是45°.
由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为y-8=x-1、77yx=1、121696xy、y=x+7，教师利用计算机动态显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合.原来它们的方程化简后均可统一写成：x-y+7=0.这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式.
推进新课
新知探究
提出问题
①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于x,y的二元一次方程?
②关于x,y的一次方程的一般形式Ax+By+C=0（其中A、B不同时为零）是否都表示一条直线?
③我们学习了直线方程的一般式，它与另四种形式关系怎样，是否可互相转化?
④特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互化?
⑤我们学习了直线方程的一般式Ax+By+C=0，系数A、B、C有什么几何意义?什么场合下需要化成其他形式?各种形式有何局限性?
讨论结果:①分析：在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α.
1°当α≠90°时，它们都有斜率，且均与y轴相交，方程可用斜截式表示：y=kx+b.
2°当α=90°时，它的方程可以写成x=x1的形式，由于在坐标平面上讨论问题，所以这个方程应认为是关于x、y的二元一次方程，其中y的系数是零.
结论1°：直线的方程都可以写成关于x、y的一次方程.
②分析：a当B≠0时，方程可化为y=-BAx-BC，这就是直线的斜截式方程，它表示斜率为-BA，在y轴上的截距为-BC的直线.b当B=0时，由于A、B不同时为零必有A≠0，方程化为x=-AC，表示一条与y轴平行或重合的直线.
结论2°：关于x,y的一次方程都表示一条直线.
综上得：这样我们就建立了直线与关于x,y的二元一次方程之间的对应关系.我们把Ax+By+C=0（其中A,B不同时为0）叫做直线方程的一般式.
注意：一般地，需将所求的直线方程化为一般式.
在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式（初中时学过的一次函数）把新旧知识联系起来.
③引导学生自己找到答案，最后得出能进行互化.
④待学生通过练习后师生小结：特殊形式必能化成一般式；一般式不一定可以化为其他形式（如特殊位置的直线），由于取点的任意性，一般式化成点斜式、两点式的形式各异，故一 2 般式化斜截式和截距式较常见；特殊形式的互化常以一般式为桥梁，但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形（如图1）.
图1
⑤列表说明如下：
形 式 方程 局限 各常数的几何意义
点斜式 y-y1=k(x-x1) 除x=x0外 (x1,y1)是直线上一个定点,k是斜率
斜截式 y=kx+b 除x=x0外 k是斜率,b是y轴上的截距
两点式
121121xxxxyyyy 除x=x0和y=y0外 (x1,y1)、(x2,y2)是直线上两个定点
截距式 byax=1 除x=x0、y=y0及y=kx外 a是x轴上的非零截距,b是y轴上的非零截距
一般式 Ax+By+C=0 无 当B≠0时,-BA是斜率,-BC是y轴上的截距
应用示例
例1 已知直线经过点A(6,-4)，斜率为-34，求直线的点斜式和一般式方程.
解：经过点A(6,-4)且斜率为-34的直线方程的点斜式方程为y+4=-34(x-6).
化成一般式，得4x+3y-12=0.
变式训练
1.已知直线Ax+By+C=0，
（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线?
（2）系数满足什么关系时,与坐标轴都相交?
（3）系数满足什么条件时,只与x轴相交?
（4）系数满足什么条件时,是x轴?
（5）设P(x0,y0)为直线Ax+By+C=0上一点,
证明这条直线的方程可以写成A(x-x0)+B(y-y0)=0.
答案：（1）C=0；
（2）A≠0且B≠0；
（3）B=0且C≠0；
（4）A=C=0且B≠0;
（5）证明：∵P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上,
∴Ax0+By0+C+0,C=-Ax0-By0. 3 ∴A(x-x0)+B(y-y0)=0.
2.(2007上海高考,理2)若直线l1:2x+my+1=0与l2:y=3x-1平行,则m=____________.
答案：-32
例2 把直线l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.
解：由方程一般式x－2y＋6=0， ①
移项，去系数得斜截式y=2x＋3. ②
由②知l在y轴上的截距是3，又在方程①或②中，令y=0，可得x=－6.
即直线在x轴上的截距是－6.
因为两点确定一条直线，所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点(即在x轴，y轴上的截距点)，过这两点作出直线l（图2）.
图2
点评：要根据题目条件，掌握直线方程间的“互化”.
变式训练
直线l过点P(-6,3)，且它在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍，求直线l的方程.
答案：x+3y-3=0或x+2y=0.
知能训练
课本本节练习1、２、３.
拓展提升
求证：不论m取何实数，直线(2m－1)x－(m+3)y－(m－11)=0恒过一个定点，并求出此定点的坐标.
解：将方程化为(x+3y-11)-m(2x-y-1)=0，
它表示过两直线x+3y-11=0与2x-y-1=0的交点的直线系.
解方程组,012,0113yxyx,得3,2yx.
∴直线恒过(2,3)点.
