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解直角三角形教案

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28.2解直角三角形

第1课时

1.了解什么叫解直角三角形.

2.掌握解直角三角形的根据.

3.能由已知条件解直角三角形.

阅读教材P85-86，自学“探究”与“例1”，弄清楚直角三角形的元素，掌握解直角三角形的方法.

自学反馈 学生独立完成后集体订正

①在直角三角形中，由______求_______的过程叫做解直角三角形.

②直角三角形中的边角关系：

三边之间的关系_________________；

两锐角之间的关系____________________；

边与角之间的关系：sinA=____，cosA=____，tanA=____，sinB=____，cosB=____，tanB=____.

③在Rt△ABC中，∠C=90°，已知∠A与斜边c，用关系式____，求出∠B，用关系式____求出a.

教师点拨：弄清楚直角三角形五元素之间的数量关系是解直角三角形的关键.

活动1 小组讨论

例1 Rt△ABC中，∠C=90°，c=0.8328，b=0.2954，解这个直角三角形.

解：∵sinB=cb=0.83280.2954≈0.3547，∴∠B≈20°46′，∠A=90°-∠B=90°-20°46′=69°14′，∵tanA=ba，∴a=b·tanA=0.2954×tan69°14′≈0.779.

教师点拨：直角三角形除直角外的其它五个元素中，已知其中任何两个元素（必有一边），即可求出其它三个元素.

活动2

跟踪训练（独立完成后小组内交流并展示）

1.P87练习题.

2.如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AB=10，∠A=30°，则BC的长为__________.

第2题图 第3题图

3.如图，在△ABC中，∠B=45°，cosC=53，AC=5a，则△ABC的面积用含a式子表示是_________.

4.根据下列所给条件解直角三角形，结果不能确定的是（ ）

①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；③已知两直角边；④已知斜边和一锐角；⑤已知一直角边和斜边.

A.②③ B.②④

C.只有② D.②④⑤ 教师点拨：第3小题要过点A作BC的垂线，构造两个直角三角形，再解直角三角形.第4小题要注意解直角三角形中已知的两元素不包括直角.

活动1 小组讨论

例2 如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2.90m的顶灯，已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1m，矩形面与地面所成的角a为78°，李师傅的身高为1.78m，当他攀升到头顶距天花板0.05-0.20m时，安装起来比较方便，他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否比较方便？（参考数据：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70）

解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F.

∵AB=AC，∴EC=21BC=21×1=21.在Rt△AEC中，cos∠ACE=cosa=ACEC，

∴AC21=cos78°≈0.21∴AC≈2150.∴DC=73AC=73×2150=4950.

在Rt△DFC中，sin∠DCF=DCDF，∴4950DF=sin78°≈0.98.∴DF=1.∴h=2.90-1.78-1=0.12（m）.

∵0.05<0.12<0.20，∴他安装时比较方便.

教师点拨：像这种实际问题应该建立解直角三角形的数学模型，通过构造直角三角形，然后得以解决.

活动2 跟踪训练（独立完成后展示学习成果）

已知，如图：△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=10，D为△ABC外一点，连结AD、BD，过D作DH⊥AB，垂足为H，交AC于E.

①若△ABD是等边三角形，求DE的长；

②若BD=AB，且tan∠HDB=43，求DE的长.

教师点拨：求出AB的长，根据等腰三角形“三线合一”可求出AH和BH等于AB的二分之一，然后在直角三角形AHD和AHE，可利用tan∠DAH和tan∠EAH求出DH和EH的长，从而求出DE的长；第②小题思路和方法同上.

活动3 课堂小结

1.本节学习的数学知识：解直角三角形.

2.本节学习的数学方法：转化的数学思想.

教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.

【预习导学】

自学反馈

①略 ②略 ③略

【合作探究1】

活动2 跟踪训练

1.略 2.5 3.14a2 4.C

【合作探究2】

活动2 跟踪训练

①DE=53-5 ②4

第2课时

1.能将直角三角形的知识与圆的知识结合起来解决问题. 2.进一步理解仰角、俯角等概念，并会把类似于测量建筑物高度的实际问题抽象成几何图形.

3.能利用解直角三角形来解其他非直角三角形的问题.

阅读教材P87-88页，自学“例3”与“例4”，复习圆的切线相关的知识，弄清仰角与俯角的概念.

自学反馈 独立完成后小组内展示学习成果

①某人从A看B的仰角为15°，则从B看A的俯角为______.

②什么叫圆的切线？它有什么性质？

③弧长的计算公式是什么？

④P89练习题1-2题.

教师点拨：把求线段的长转化成解直角三角形的知识，构造直角三角形，把相应的元素放到相应的直角三角形中去.

活动1 小组讨论

例1 如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度为10m，∠A=26°，求中柱BC（C为底边中点）和上弦AB的长.（精确到0.01m）

解：∵tanA=ACBC，∴BC=AC·tanA=5×tan26°≈2.44（m）.∵cosA=ACAB，

∴AB=cosAAC=cos265≈5.56（m）.答：中柱BC约长2.44m，上弦AB约长5.56m.

教师点拨：这类问题往往是将等腰三角形转化成解直角三角形，同一个问题可以用不同的关系式来解.

活动2 跟踪训练（独立完成后展示学习成果） 1.如图，某飞机于空中处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台B的俯角a=16°31′，求飞机A到指挥台B的距离.（精确到1m）

2.在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少m.（精确到0.1m）

教师点拨：这类求距离的问题往往转化成求直角三角形边长的问题，另外，要注意理解有关的名词术语.第2小题要抽象成几何图形再来解决实际问题.

活动1 小组讨论

例2 如图，两建筑物的水平距离为32.6m，从A点没得D点的俯角α为35°12′，测得C点俯角β为43°24′，求这两个建筑物的高.（精确到0.1m）

解：过D作DE⊥AB于E，则∠ACB=β=43°24′，∠ADE=α=35°12′，DE=BC=32.6m.

在Rt△ABC中，∵tan∠ACB=BCAB，∴AB=BC·tan∠ACB=32.6×tan43°24′≈30.83（m）.

在Rt△ADE中，∵tan∠ADE=DEAE，∴AE=DE·tan∠ADE=32.6×tan35°12′≈23.00（m）.

∴DC=BE=AB-AE=30.83-23.00≈7.8（m）.答：两个建筑物的高分别约为30.8m，7.8m.

教师点拨：关键是构造直角三角形，分清楚角所在的直角三角形，然后将实际问题转化成几何问题解决.

活动2 跟踪训练（小组讨论完成并展示学习成果）

如图，一只运载火箭从地面L处发射，当卫星到达A点时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是6km，仰角为43°，1s后，火箭到达B点，此时测得BR的距离是6.13km，仰角为45.54°，这个火箭从A到B的平均速度是多少（精确到0.01km/s）?

教师点拨：速度=路程÷时间，本题中只需求出路程AB，即可求出速度.无论是高度还是速度，都转化成解直角三角形.

活动3 课堂小结

1.本节学习的数学知识：利用解直角三角形解决实际问题. 2.本节学习的数学方法：数形结合、数学建模的思想.

教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.

【预习导学】

自学反馈

①15° ②略 ③360n·2πr ④7.7m 334.2m

【合作探究1】

活动2 跟踪训练

1.4221m 2.6.0m

【合作探究2】

活动2 跟踪训练

0.28km/s

第3课时

1.能运用解直角三角形解决航行问题.

2.能运用解直角三角形解决斜坡问题.

3.理解坡度i=坡面的水平宽度坡面的铅直高度=tan坡角.

阅读教材P89-90，自学“例5”和“归纳”，掌握利用解直角三角形的知识解决方位角的实际问题.

自学反馈 独立完成后小组内交流

①利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：

a.将实际问题抽象为数学问题，画出图形，转化为解__________的问题；

b.根据条件的特点，适当地选用__________去解直角三角形；

c.得到数学问题的答案；

d.最后得到___________问题的答案.

②已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40°，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的方向.

活动1 小组讨论

例1 如图，海中一小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？

解：如图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.

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天津市大港区第六中学九年级数学教案：28.2解直角三角形

天津市大港区第六中学九年级数学教案：28.2解直角三角形

天津市大港区第六中学九年级数学教案：28.2 解直角三角形

一、教学内容

《天津市大港区第六中学九年级数学教案：28.2 解直角三角形》

本节课我们将围绕人教版九年级下册第28章第2节“解直角三角形”的内容展开，主要教学内容包括：

1. 了解直角三角形的性质，掌握直角三角形的边角关系；

2. 学习使用锐角三角函数（正弦、余弦、正切）解直角三角形；

3. 掌握在给定一个直角和两个非直角的情况下，如何求解第三个角及各边的长度；

4. 通过实际案例分析，加深对解直角三角形知识点的理解，提高问题解决能力。

二、核心素养目标

《天津市大港区第六中学九年级数学教案：28.2 解直角三角形》

1. 培养学生的几何直观与空间想象能力，使其能够通过观察直角三角形的特征，发现并运用锐角三角函数解决问题；

2. 强化学生运用数学知识解决实际问题的能力，特别是在生活中遇到与直角三角形相关的情境时，能够运用所学的解三角形方法进行分析和解答；

3. 提升学生的逻辑推理和数学论证能力，通过解直角三角形的练习，引导学生理解数学知识之间的内在联系，形成严密的逻辑思维；

4. 培养学生的数学建模素养，使其能够将现实问题转化为数学模型，运用数学语言和方法进行表达和求解。

三、教学难点与重点

《天津市大港区第六中学九年级数学教案：28.2 解直角三角形》

1. 教学重点

（1）理解并掌握直角三角形的边角关系，特别是锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义及其在解直角三角形中的应用。

举例：通过具体直角三角形的图形，讲解正弦、余弦、正切的定义，如正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边。

（2）学会使用锐角三角函数解直角三角形，包括已知两边一角和已知一角两边的情况。

举例：给出具体的直角三角形问题，如已知斜边和一个锐角求其他两边，或已知两边求第三边和锐角。

（3）掌握在实际问题中构建直角三角形模型，运用锐角三角函数解决问题的方法。

《解直角三角形》教案

《解直角三角形》教案

《解直角三角形》教案

一、教学目标

1、 知识与技能目标

（1）理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。

（2）能够将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系，从而解决实际问题。

2、 过程与方法目标

（1）通过对解直角三角形的学习，培养学生分析问题和解决问题的能力。

（2）在探究解直角三角形的过程中，让学生经历观察、思考、交流等活动，提高学生的数学思维能力和创新能力。

3、 情感态度与价值观目标

（1）通过解决实际问题，让学生体会数学与生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣。

（2）培养学生的合作意识和团队精神，增强学生的自信心和成就感。

二、教学重难点 1、 教学重点

（1）解直角三角形的概念和方法。

（2）运用解直角三角形的知识解决实际问题。

2、 教学难点

（1）将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系。

（2）选择合适的锐角三角函数来解决问题。

三、教学方法

讲授法、讨论法、练习法

四、教学过程

1、 导入新课

通过展示一些与直角三角形相关的实际问题，如测量建筑物的高度、计算斜坡的长度等，引起学生的兴趣，从而引出本节课的主题——解直角三角形。

2、 知识讲解

（1）直角三角形的元素

直角三角形有六个元素：三条边和三个角。其中，斜边用 c 表示，两条直角边分别用 a 和 b 表示，两个锐角分别用∠A 和∠B 表示。 （2）直角三角形的边角关系

① 勾股定理：a² ＋ b² ＝ c²

② 锐角三角函数：sin A ＝ a/c，cos A ＝ b/c，tan A ＝ a/b

（3）解直角三角形的概念

由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

3、 例题讲解

例 1：在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，a ＝ 3，c ＝ 5，求∠A、∠B

和 b。

解：因为 sin A ＝ a/c ＝ 3/5，所以∠A ≈ 3687°

九年级数学第一章解直角三角形全章教案

九年级数学第一章解直角三角形全章教案

九年级数学第一章解直角三角形全章教案

课题：1.1锐角三角函数（1）

教学目标：

1.探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系。

2.掌握三角函数定义式：sinA=斜边的对边A， cosA=斜边的邻边A，

重点和难点

重点：三角函数定义的理解。

难点：直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系及求三角函数值。

【教学过程】

一、情境导入

如图是两个自动扶梯，甲、乙两人分别从1、2号自动扶梯上楼，谁先到达楼顶?如果AB和A′B′相等而∠α和∠β大小不同，那么它们的高度AC 和A′C′相等吗？AB、AC、BC与∠α，A′B′、A′C′、B′C′与∠β之间有什么关系呢？ ------导出新课

二、新课教学

1、合作探究

（1）作

2、三角函数的定义在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.

∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正弦(sine)，记作sinA，即sinA＝斜边的对边A

∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine)，记作cosA，即cosA=斜边的邻边A

∠A的对边与∠A的邻边的比叫做∠A的正切(tangent)，记作tanA，即

锐角A的正弦、余弦和正切统称∠A的三角函数.

注意：sinA，cosA，tanA都是一个完整的符号，单独的 “sin”没有意义，其中A前面的“∠”一般省略不写。

师：根据上面的三角函数定义，你知道正弦与余弦三角函数值的取值范围吗？

师：（点拨）直角三角形中，斜边大于直角边．

生：独立思考，尝试回答，交流结果．

明确：0＜sina＜1，0＜cosa＜1.

巩固练习：课本第6页课内练习T1、作业题T1、2

3、例题教学：课本第5页中例1.

例1 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°，AB=5,BC=3, 求∠A, ∠B的正弦,余弦和正切.

分析：由勾股定理求出AC的长度，再根据直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系求出各函数值。 C′B′A′CBA213米3米2米4米βaCBAtanA=A的对边A的邻边tanA=A的对边A的邻边师：观察以上计算结果,你发现了什么?

解直角三角形教案

解直角三角形教案

1 “解直角三角形”教学设计

【教材分析】

数学是一门来源于生活，又应用于生活的学科。实际生活中，有不少问题的解决都涉及到数学中直角三角形的边、角关系。华东师大版新教材将解直角三角形的学习安排在了八年级下册第十九章中。首先从测量入手，给学生创设学习情境，接着研究直角三角形的边、角关系，最后利用勾股定理及锐角三角函数的知识来解决实际生活中提出的：如测量、航海、工程技术和物理学中的有关距离、高度、角度的计算等问题。在呈现方式上更突出了实践性与研究性，突出了学数学、用数学的意识与过程，注重联系学生的生活实际。同时还有利于数形结合，即把图形语言、文字语言与数学符号语言有机地结合起来。而解直角三角形是继锐角三角函数后本章的第四节，一共4个课时。主要研究了如何利用解直角三角形的有关知识解决与直角三角形有关的实际问题。比如：方向角问题、仰角俯角问题、坡度问题等。从这些问题中，我们要理解解直角三角形的方法，掌握将实际问题转化为数学模型的思想方法，从而达到灵活运用数学知识解决实际问题的最终目的。本节课是新课标华东师大版《八年级数学》第19章第四节：解直角三角形中的第二课时，其主要内容是通过认识仰角、俯角的意义，并结合解直角三角形的基本理论知识去解决生活中的简单实际问题，它是在学习了“锐角三角函数、解直角三角形的条件、方法”的基础上进一步深入教学，使学生能联系新旧知识学有所用。

【教学目标】

本节课是新课标华东师大版《八年级数学》第19章第四节：解直角三角形中的第二课时，其主要内容是通过认识仰角、俯角的意义，并结合解直角三角形的基本理论知识去解决生活中的简单实际问题。所以三维目标主要体现在：

1．知识与技能目标：在弄清解直角三角形的含义，直角三角形中五个元素的关系的基础上，理解仰角、俯角的意义，准确运用这些概念来解决一些实际问题，提高学生的解题能力。

2．过程与方法目标：作为一名数学教师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想，数学意识，所以在过程与方法目标上，体现在让学生学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决的能力，要求学生善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，培养学生用数学的意识，培养学生将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的能力。