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广义的三角函数截至目前为止，我们所面临的角度问题主要是介于︒0至︒180之间，但是在日常生活或测量中，讨论的角度可能不限于︒0至︒180之间，例如：时钟时针、分针的转动角度，因此我们必须将角度的定义推广，以处理一些更复杂的问题。
在平面上，将一条射线OA 绕着端点O 旋转至另一条射线OB 的位置，即形成有向角AOB ∠，其中射线OA 称为始边，射线OB 称为终边，O 为顶点。
依照始边到终边旋转的方向不同，可分成下列两种情形：◆逆时钟方向旋转所成的角称为正向角，如下图(a)，AOB ∠逆时钟旋转了︒150，即︒+=∠150AOB (+号可省略)。
A始邊圖(a)A始邊圖(b)❖顺时钟方向旋转所成的角称为负向角，如上图(b)，AOB ∠顺时钟旋转了︒150，即︒-=∠150AOB 。
由始边转到终边的旋转量，即是有向角的角度，可以是逆时钟旋转的正向角：︒15、︒270、︒390、︒1000，或是顺时钟旋转的负向角：︒-45、︒-230、︒-360、︒-1000等，像这样打破︒0至︒180界限的角度，我们称之为广义角。
当我们将一个广义角θ的顶点置于坐标平面上的原点，始边置于x 轴的正向上时，则称θ为标准位置角。
若标准位置角的终边落在第一、二、三、四象限时，分别称θ为第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角；又终边落在座标轴上，称θ为象限角。
在座标平面上讨论有向角时，通常会将有向角的角度标示在终边上，如右图(c)，其中有向角︒50与︒410的终边落在同一位置上，像这样具有共同始边和终边的有向角称之为同界角。
ㄧ般而言，任意两个同界角的角度相差︒360的整数倍，所以他们具有以下的关系：若有向角θ与ϕ是同界角，则︒⨯=-360n ϕθ，其中Z ∈n例题1找出下列各有向角的同界角θ，使0︒≤ θ<360︒．xy﹝即找出下列各有向角的最小正同界角﹞(1)1234︒． (2)1440︒． (3)－123︒． (4)－2000︒． (5)327︒．练习1写出下列各有向角的最小正同界角．(1)9876︒． (2)－234︒． (3)－1234︒．Ans ：(1)156︒． (2)126︒． (3)206︒．例题2设θ为第二象限角﹐则3θ可能为第几象限角？练习2若θ为第二象限角﹐则2θ可能为第 一﹐三 象限角.在2-1时，我们利用直角三角形的任两边长来定义锐角θ的六个三角函数值，当θ推广至广义角时，其三角函数值又是怎么定义的呢？在坐标平面上，我们讨论一标准位置角AOP ∠，如图(d)，当终边OP 落在第一象限，则θ为一锐角，选定终边上一点()y x P ,且令22y x r OP +==，此时r y=θsin 、rx =θcos 。
圆的极坐标角度
1.极轴正方向可以是任意的,但通常是水平向右!
2.角度的单位是弧度,表示为radians!一圆的弧度数等于
360度,也就是2π!
3.角度的正负可以根据顺逆时针旋转来定义!顺时针旋转的
角度为负数,而逆时针旋转的角度为正数!
4.在极坐标系中，点的坐标可以表示为(r,θ)，其中r表示极径，θ表示角度！
5.角度可以通过三角函数计算得出，常用的有正弦函数、余弦函数和正切函数！总之，圆的极坐标中的角度是指点与极轴正方向之间的夹角，可以用弧度表示，可以是正或负！。
极坐标与直角坐标的互化角的取值范围在数学中，极坐标和直角坐标是两种不同的坐标系统，用于描述平面上的点的位置。
极坐标使用极径和极角表示点的位置，而直角坐标使用横坐标和纵坐标表示点的位置。
这两种坐标系统之间存在一种被称为互化角的特殊关系。
本文将详细介绍极坐标与直角坐标的互化角的取值范围。
极坐标与直角坐标的关系在平面直角坐标系中，一个点的位置可以由其横坐标和纵坐标表示，分别记作x和y。
而在极坐标系中，一个点的位置可以由其极径和极角表示，分别记作r和θ。
对于一个给定的点，它在直角坐标系中的位置可以通过以下公式转换为极坐标系中的位置：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y / x)其中，arctan是反正切函数。
同样地，对于一个给定的点，它在极坐标系中的位置可以通过以下公式转换为直角坐标系中的位置：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中，cos和sin分别是余弦函数和正弦函数。
互化角的取值范围互化角就是极坐标极角和直角坐标角度之间的对应关系。
对于一个给定的角度，在极坐标和直角坐标之间存在一种特定的关系。
在极坐标系中，极角θ的取值范围是[0, 2π)，即从0到2π不包括2π。
而在直角坐标系中，角度的取值范围是[0, 360)度，也就是从0度到360度不包括360度。
极坐标极角与直角坐标角度的互化关系可以使用如下公式表示：θ = angle * (π / 180)其中，angle表示直角坐标系中的角度。
反之，直角坐标系角度与极坐标极角的互化关系可以使用如下公式表示：angle = θ * (180 / π)其中，θ表示极坐标系中的极角。
综上所述，极坐标与直角坐标的互化角的取值范围对应关系如下：•极坐标极角θ的取值范围是[0, 2π)。
•直角坐标系中的角度的取值范围是[0, 360)度。
结论极坐标和直角坐标是两种不同的坐标系统，它们之间存在一种特殊的互化关系。
极坐标可以通过公式转换为直角坐标，直角坐标也可以通过公式转换为极坐标。
高考数学极坐标知识点数学一直被认为是高考的重点科目之一，而其中的极坐标系统更是高考数学中的一大难点。
本文将介绍高考数学中与极坐标有关的重要内容，包括极坐标的定义、转换公式、曲线方程、参数方程以及极坐标下的求导与积分等知识点。
一、极坐标的定义极坐标是一种用极径和极角来表示平面上点的坐标系统。
在极坐标系统中，一个点的坐标用(r, θ)表示，其中r表示点到原点的距离，θ表示点与正半轴之间的夹角。
在直角坐标系中，点的坐标为(x, y)，与极坐标可以相互转换。
二、极坐标与直角坐标的转换公式在高考数学中，经常会涉及到极坐标与直角坐标之间的相互转换。
转换公式如下：(1) 由直角坐标(x, y)转换为极坐标(r, θ)：r = √(x² + y²)θ = arctan(y/x)(2) 由极坐标(r, θ)转换为直角坐标(x, y)：x = r * cosθy = r * sinθ掌握转换公式可以在解决与极坐标有关的问题时起到很大的帮助。
三、曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程是指用极坐标来表示曲线上的点的方程。
常见的极坐标方程包括：(1) 极线方程：r = a当极径固定时，定义的曲线就是一条直线，称为极线。
(2) 极轨方程：r = f(θ)极坐标方程中的f(θ)表示一个函数关系，画出的曲线就是该函数的图形。
(3) 极坐标方程的性质：偶函数与奇函数若极坐标方程满足f(θ + π) = f(θ)，则称其为偶函数；若极坐标方程满足f(θ + π) = -f(θ)，则称其为奇函数。
四、参数方程与极坐标在高考数学中，参数方程是用参数t来表示点的坐标。
而在极坐标中，同样可以利用参数方程表示曲线方程。
例如：(1) 曲线的极坐标方程r = f(θ) 可以用参数方程表示为：x = f(θ) * cosθy = f(θ) * sinθ(2) 曲线的参数方程 x = g(t)，y = h(t) 可以转换为极坐标方程：r = √(g²(t) + h²(t))θ = arctan(h(t) / g(t))五、极坐标下的求导与积分在解决极坐标相关问题时，求导与积分是经常使用的技巧。
广义角与极坐标一、有向角有方向性的角，称为有向角，分为正角（逆时针旋转的角）及负角（顺时针旋转的角）。
二、广义角角度有正负之分，且不限于0° 与360° 之间。
三、同界角若两个广义角θ与φ，满足θ－φ＝360° × n ，n 为整数，则称θ与φ为同界角。
四、如下图所示，设θ是一个标准位置角，在θ的终边上任取一点P （x ﹐y ），且OP ＝r（r ＞0），我们定义sin θ＝yr ，cos θ＝xr ，tan θ＝yx，x ≠0。
五、单位圆上点的坐标如下图所示，P （x ﹐y ）在单位圆上，而x 轴的正向与OP 所夹的广义角为θ。
则单位圆上点P 的坐标可表示为P （cos θ﹐sin θ）。
六、广义角三角函数的性质平方关系：sin 2θ＋cos 2θ＝1。
商数关系：tan θ＝sin cos θθ。
（角θ的终边不在y 轴上）负角关系：sin （－θ）＝－sin θ，cos （－θ）＝cos θ， tan （－θ）＝－tan θ。
（角θ的终边不在y 轴上） 补角关系：sin （180°－θ）＝sin θ，cos （180°－θ）＝－cos θ， tan （180°－θ）＝－tan θ。
（角θ的终边不在y 轴上） 余角关系：sin （90°－θ）＝cos θ，cos （90°－θ）＝sin θ。
同界角：sin （360° × n ＋θ）＝sin θ，cos （360° × n ＋θ）＝cos θ， tan （360° × n ＋θ）＝tan θ。
七、直角坐标与极坐目标转换(1)若P 点的极坐标为[r ﹐θ]，则直角坐标为（x ﹐y ）＝（r cos θ﹐r sin θ）。
(2)若P 点不是原点且直角坐标为（x ﹐y ），则极坐标为[r ﹐θ]，其中r cos θ＝x r ，sin θ＝yr。
八、弧度2π 弧度＝360°，π 弧度＝180°，1 弧度＝180π︒，1°＝180π︒弧度。
基本题1. 试求下列广义角的同界角θ，且0°≤θ＜360°。
(1) 750°。
（3 分） (2)－1230°。
（3 分） (3)－7°。
（3 分） 解 (1) 750°＝2×360°＋30° ∴θ＝30° (2) －1230°＝－4×360°＋210° ∴θ＝210° (3) －7°＝－1×360°＋353° ∴θ＝353°2. 如下图所示，θ为第三象限角且sin θ＝－513，若点P （－12﹐y ）为θ终边上之一点，试求y 的值。
（9 分）解 P （－12﹐y ）在第三象限，所以y ＜0由定义知y OP＝sin θ＝－513所以y ＝OP sin θ，即y ×513⎛⎫ ⎪⎝⎭－平方整理得169y 2＝25 × 144＋25y 2解得y ＝±5，但y ＜0，因此y ＝－53. (1) 设 θ 是第四象限角，则（sin θ cos θ﹐tan θ）在第几象限？（4 分） (2) 若点（sin θ﹐tan θ）在第二象限，则 θ 是第几象限角？（5 分） 解 (1)因为 θ 是第四象限角所以 sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0 因此点（sin θ cos θ﹐tan θ）在第三象限 (2)因为点（sin θ﹐tan θ）在第二象限 所以 sin θ＜0，tan θ＞0由 sin θ＜0 知 θ 是第三或第四象限角，又 tan θ ＞0 所以 θ 是第三象限角4. 已知sin θ＝1213，且θ是第二象限角，试求cos θ和tan θ的值。
（8 分） 解 由sin 2θ＋cos 2θ＝1可得cos θ∵θ是第二象限角，cos θ＜0 ∴cos θ513再由商数关系得tan θ＝sin cos θθ＝1213513－＝－1255. 设有向角θ以原点为顶点，以x 轴的正向为始边。
若θ的终边上有一点P （3﹐－4），试求sin （180°－θ）＋sin （θ－90°）的值。
（9 分）解 OP5，由定义得sin θ＝45－，cos θ＝35因此sin （180°－θ）＋sin （θ－90°）＝sin θ＋sin （－（90°－θ））＝sin θ－sin （90°－θ） ＝sin θ－cos θ＝－45－35＝－756. 试求下列各式之值： (1) cos 135°sin 225°＋tan （－300°）cos 210°。
（5 分）(2) sin 4πcos 6π＋sin 54πcos 116π。
（5 分）解 (1) cos 135°sin 225°＋tan （－300°）cos 210°＝（－cos 45°）（－sin 45°）＋tan 60°（－cos 30°）＝2⎛⎫ ⎪⎝⎭－2⎛ ⎝⎭－2⎛⎫⎪⎝⎭－ ＝12－32＝－1(2)因为4π＝45°，6π＝30°，54π＝225°，116π＝330°又sin 225°＝－sin 45°＝－2cos 330°＝cos 30°＝2所以sin 4πcos 6π＋sin 54πcos 116π＝2．2＋2⎛ ⎝⎭－．2＝＝07. 试求下列各值：(1) sin （90°＋θ）sin （270°－θ）－sin （180°－θ）cos （90°－θ）。
（4 分） (2)cos 180cos θθ︒（－）（－）＋tan tan 360θθ︒（－）（－）。
（5 分）解 (1) sin （90°＋θ）sin （270°－θ）－sin （180°－θ）cos （90°－θ）＝cos θ（－cos θ）－sin θ sin θ ＝－（cos 2θ＋sin 2θ）＝－1(2)cos 180cos θθ︒（－）（－）＋tan tan 360θθ︒（－）（－）＝coscos θ－＋tan tan 360360θθ︒︒－（－＋）＝－1＋tan tan θθ－＝－28. (1)已知Q 点的极坐标为[6﹐120°]，试求其直角坐标。
（4 分）(2)若选定直角坐标之x 轴作为极轴，原点作为极点，试求点P （－2﹐2）的极坐标。
（5 分） 解 (1)∵r ＝6，θ＝120°∴直角坐标为（x ﹐y ）＝（6cos120°﹐6sin120°）＝1662⎛⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭⎝⎭－，＝（－3﹐(2)设P 点的极坐标为[r ﹐θ] 如下图所示r ＝，则cos θ，sin θ所以θ＝135°故P 点的极坐标为135°]9. (1) 若0°≤θ＜360°且 2 cos 2θ＋3 cos θ－2＝0，试求θ。
（4 分）(2) 已知sin 2θ－4 cos 2θ＝3 sin θ cos θ，且θ 为第二象限角，试求 tan θ 的值。
（5 分）解 (1) 2 cos 2θ＋3 cos θ－2＝0 ⇨（2 cos θ－1）（cos θ＋2）＝0⇨ cos θ＝12或－2（不合）12＝cos 60°＝cos （360°－60°）＝cos 300° 故θ＝60° 或 300°(2) 〔解法一〕sin 2θ －4 cos 2θ ＝3 sin θ cos θ ⇨ sin 2θ－3 sin θ cos θ－4 cos 2θ ＝0 ⇨（sin θ＋cos θ）（sin θ－4 cos θ）＝0 ⇨ sin θ＋cos θ ＝0 或 sin θ－4 cos θ＝0 ⇨ sin θ ＝－cos θ 或 sin θ ＝4 cos θ⇨ tan θ ＝sin cos θθ＝－1 或 4又因为θ 为第二象限角，所以tan θ＜0，故tan θ＝－1 〔解法二〕 将等式两边同乘21cos θ即21cos θ（sin 2θ－4 cos 2θ）＝21cos θ（3 sin θ cos θ） 化简得tan 2θ－4＝3 tan θ⇨ tan 2θ－3 tan θ－4＝0 ⇨（tan θ＋1）（tan θ－4）＝0 ⇨ tan θ＝－1 或 4 又因为θ 为第二象限角，所以 tan θ＜0，故tan θ＝－1进阶题10. 设 cos （－100°）＝k ，试以k 表示下列各值： (1) tan 260°。
（4 分）(2) sin （－170°）。
（5 分）解 ∵cos （－100°）＝k ⇨ cos 100°＝k ⇨ cos （180°－80°）＝k⇨－cos 80°＝k ⇨ cos 80°＝－k∴sin 80°(1) tan 260°＝tan （180°＋80°）＝tan 80°＝sin 80cos80︒︒＝k －(2) sin （－170°）＝－sin 170°＝－sin （180°－10°）＝－sin 10°＝－cos 80°＝－（－k ）＝k11. 已知在坐标平面上有四点如下图所示，其中BC 平行OA 且C 在y 轴上，若以O 为极点，Ox uu r为极轴，A 、B 两点的极坐标分别为[3﹐0°]、[4﹐120°]，试求梯形OACB 的面积。
（10 分）解 B 点的直角坐标为（4cos120°﹐4sin120°）＝（－2﹐∴梯形OACB 的上下底为BC ＝2，OA ＝3，高为OC ＝面积为12（2＋3）×。
