小专题(四) 二次函数图象信息题归类

高频题型专题：二次函数的图象信息题压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一 二次函数与一次函数图象共存问题】 ........................................................................................ 1 【考点二 二次函数与反比例函数图象共存问题】 .................................................................................... 5 【考点三 含字母参数的二次函数的图象和性质】 .................................................................................. 10 【考点四 二次函数的图象和性质与系数a ,b ,c 的问题】 ....................................................................... 16 【考点五 二次函数的图象与几何动点问题】 (21)【典型例题】【考点一 二次函数与一次函数图象共存问题】例题：（2023春·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期末）函数||y a x =与()20y ax a a =−≠在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）． ． ． ． 【答案】C【分析】根据一次函数与二次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵a >，∴||y a x =经过一、三象限；当0a >时，二次函数()20y ax a a =−≠开口向上，与y 轴的交点在负半轴上， 当0a <时，二次函数()20y ax a a =−≠开口向下，与y 轴的交点在正半轴上，∴只有选项C 符合题意；故选：C ．【点睛】题目主要考查一次函数与二次函数图象的判断，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题关键． 【变式训练】1．（2023春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图是一次函数y kx b =+的图象，则二次函数22y kx bx =++的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】先根据一次函数图象确定00k b >>，，进而确定二次函数开口向上，对称轴在y 轴左侧，由此即可得到答案．【详解】解：∵一次函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限且与y 轴交于y 轴的正半轴， ∴00k b >>，，∴二次函数22y kx bx =++的图象的开口向上， ∵二次函数的对称轴为直线02bx k =−<，∴二次函数的对称轴在y 轴左侧，∴四个选项中只有C 选项中的函数图象符合题意， 故选C ．【点睛】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，正确求出00k b >>，是解题的关键． 2．（2023春·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考期末）在同一坐标系中，一次函数1y mx =−+与二次函数，2y x m =+的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据一次函数的1b =和二次函数的1a =即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过y 轴正半轴，从而排除A 和C ，分情况探讨m 的情况，即可求出答案.【详解】解：二次函数为2y x m =+ ， 10a ∴=>，∴二次函数的开口方向向上， ∴排除C 选项.一次函数1y mx =−+，1>0b ∴=，一次函数经过y 轴正半轴， ∴排除A 选项.当0m >时，则0m −<，一次函数经过一、二、四象限，二次函数2y x m =+经过y 轴正半轴，∴ 排除B 选项.当0m <时，则0m −>一次函数经过一、二、三象限，二次函数2y x m =+经过y 轴负半轴， ∴D 选项符合题意.故选：D.【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图像性质，解题的关键在于熟练掌握图像性质中系数大小与图像的关系.3．（2023·全国·九年级假期作业）在同一平面直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222(0)y mx x m =−++≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据函数图象判断两个m 值，函数的图象是否正确即可得到答案．【详解】解：A 、根据函数图象可知：一次函数解析式中0m <，二次函数解析式中0m −<，即0m >，两者符号不相同，故该选项不符合题意；B 、根据函数图象可知：一次函数解析式中0m <，二次函数解析式中0m −>，即0m <，两者符号相同，但根据a m =−，2b =得抛物线的对称轴应在y 轴的左侧，与图象不符，故该选项不符合题意；C 、根据函数图象可知：一次函数解析式中0m >，二次函数解析式中0m −>，即0m <，两者符号不相同，故该选项不符合题意；D 、根据函数图象可知：一次函数解析式中0m <，二次函数解析式中0m −>，即0m <，两者符号相同，根据a m =−，2b =得抛物线的对称轴应在y 轴的左侧，与图象相符，故该选项符合题意； 故选：D ．【点睛】此题考查一次函数与二次函数的图象性质，根据图象判断函数解析式中字母的取值，正确理解函数图象是解题的关键．A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】从二次函数图象的开口方向和对称轴的位置，可以得到a<0，0b >，可知直线y ax b =+经过第一、二、四象限．【详解】解：由二次函数的图象可知，开口向下，对称轴bx 02a =−>，∴a<0，0b >，∴一次函数y ax b =+的图象是经过第一、二、四象限. ∴只有选项C 符号条件， 故选：C ．【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象，解题关键是由二次函数的图象得到,a b 的符号，从而判断直线的位置．【考点二 二次函数与反比例函数图象共存问题】． ． ． ．【答案】D【分析】根据2y ax ax =+可知，二次函数图象与y 轴交点为0y =时，即二次函数图象过原点．再分两种情况即0a ＞，0a ＜时结合二次函数2y ax bx c =++中a ，b 同号对称轴在y 轴左侧，a ，b 异号对称轴在y 轴右侧来判断出二次函数与反比例函数图象所在象限，找到符合题意的即为正确答案．【详解】解：①当0a ＞时，二次函数2y ax ax =+开口向上，过原点，对称轴在y 轴左侧，故二次函数在一、二、三象限，反比例函数在一、三象限；②当0a ＜时，二次函数2y ax ax =+开口向下，过原点，对称轴在y 轴左侧，故二次函数在二、三、四象限，反比例函数在二、四象限， 观察图象可知只有D 符合， 故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象以及反比例函数图象的性质，解题的关键是根据二次函数中a 的取值确定二次函数以及反比例函数的图象． 【变式训练】A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据a 的符号变化判断反比例函数和二次函数所在象限即可得出答案． 【详解】解：当0a >时，2y ax =的图像开口向上，过一、二象限；ay x =的图像位于一、三象限，可知，D正确；当a<0时，2y ax =的图像开口向下，过三、四象限；ay x =的图像位于二、四象限，无此选．故选：D【点睛】本题考查反比例函数和二次函数的图像，理解函数表达式中的系数与函数图像的关系是解题的关键．A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】令0x =，求出两个函数图象在y 轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出0a >，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解． 【详解】解：0x =时，两个函数的函数值y b =，所以，两个函数图象与y 轴相交于同一点，故B 、D 选项错误； 由A 、C 选项可知，抛物线开口方向向上，所以，0a >，所以，一次函数y ax b =+经过第一三象限， 所以，A 选项错误，C 选项正确． 故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y ax b =+在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．A ． ． ． ．【答案】D【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y 轴交点位置判断a ，b ，c 的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴0a >，∵抛物线对称轴在y 轴左侧， ∴0b >， ∴0b −<∵抛物线与y 轴交点在x 轴下方， ∴0c <，∴直线y ax b =−经过第一，三，四象限，反比例函数cy x =图象分布在第二、四象限，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】由二次函数图象分别判断出,,a b c 的符号，然后根据正比例函数与反比例函数的性质判断即可． 【详解】解：由二次函数图象可得： 开口向下， ∴a<0，对称轴在y 轴右边， ∴02b a −>，∴0b >，图象与y 轴交于正半轴， ∴0c >， ∴0b c +>，∴()y b c x =+图象过一三象限，ay x =图象过二四象限，故选：A ．【点睛】本题考查了函数图象的判断，相关知识点有：一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，熟悉函数的图象与性质是解题关键．A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象开口向上，得出0a >，与y 轴交点在y 轴的负半轴，得出0c <，利用对称轴02b x a −>＝，得出0b <，然后对照四个选项中的图象判定即可．【详解】解：因为二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，得出0a >，与y 轴交点在y 轴的负半轴，得出0c <，利用对称轴02b x a −>＝，得出0b <，所以一次函数y bx c =+经过二、三、四象限，反比例函数ay x =经过一、三象限．A. 一次函数y bx c =+经过一、三、四象限，反比例函数ay x =经过二、四象限，不符合题意； B. 一次函数y bx c =+经过一、二、三象限，反比例函数ay x =经过二、四象限，不符合题意； C. 一次函数y bx c =+经过二、三、四象限，反比例函数ay x =经过一、三象限，符合题意； D. 一次函数y bx c =+经过一、三、四象限，反比例函数ay x =经过一、三象限，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查的是由二次函数的图象判断各项系数的符号，一次函数与反比例函数的图象，熟记一次函数与反比例函数的图象的性质是解本题的关键．右图所示，则二次函数2y ax bx c =++的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据一次函数图象可得0,0a b ><，根据反比例函数可得0c <，据此即可求解． 【详解】解：∵一次函数y x b α=+的图象经过一、三、四象限， ∴0,0a b ><，∵反比例函数cy x =的图象在第二、四象限，∴0c <，∴抛物线的开口向上，对称轴在y y 轴交于负半轴， 故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断，熟练掌握以上函数图象的性质是解题的关键．【考点三 含字母参数的二次函数的图象和性质】例题：（2023·全国·九年级专题练习）已知二次函数2(31)3(0)y ax a x a =−++≠，下列说法正确的是( ) 【答案】C【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．【详解】解：∵2(31)3(0)y ax a x a =−++≠， 当1x =时：(31)322y a a a =−++=−， ∵0a ≠， ∴222a −≠，即：点(1,2)不在该函数的图象上，故A 选项错误； 当1a =时，()224321y x x x =−+=−−，∴抛物线的开口向上，对称轴为2x =， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵13x −≤≤，123222−−>−>−，∴当=1x −时，y 有最大值为()21218−−−=，当2x =时，y 有最小值为1−， ∴18y −≤≤，故B 选项错误； ∵[]()222(31)43961310a a a a a ∆=−+−⨯=−+=−≥，∴该函数的图象与x 轴一定有交点，故选项C 正确；当0a >时，抛物线的对称轴为：313132222a x a a +==+>， ∴该函数图象的对称轴一定在直线32x =的右侧，故选项D 错误； 故选C ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 【变式训练】A ．①②B ．②③C ．②D ．③④【答案】B【分析】根据二次函数的图象与性质进行逐一分析即可．【详解】解：∵抛物线对称轴为21==022b a a a −−−>，1=02c >，∴二次函数图象必经过第一、二象限，又∵2=4=42b ac a ∆−−，∵0a >， ∴424a −<，当420a −<时，抛物线与x 轴无交点，二次函数图象只经过第一、二象限，当0424a <−<时，抛物线与x 轴有两个交点，二次函数图象经过第一、二、四象限， 故①错误；②正确；∵抛物线对称轴为21==022b a a a −−−>，0a >，∴抛物线开口向上， ∴当1x a <时，y 随x 的增大而减小，故③正确； ∴当1x a >时，y 随x 的增大而增大，故④错误，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与各项系数符号之间的关系是解题的关键．2．（2023·江苏南京·校考三模）已知整式22M a a =−，下列关于整式M 的值的结论： ①M 的值可能为4；②当1a >时，M 的值随a 的增大而增大； ③当a 为小于0的实数时，M 的值大于0； ④不存在这样的实数a ，使得M 的值小于1−． 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①③ B ．①②④ C ．②③④ D ．①②③④【答案】D【分析】根据一元二次方程的知识，二次函数的图象和性质，依次判断，即可． 【详解】①当4M =，∴224M a a =−=，解得：11a =21a = ∴M 的值可能为4， ∴①正确；②设函数的解析式为：22M a a =−，如图1∴对称轴为：12b x a =−=，函数图象的开口向上，∴当1a >，函数M 随a 的增大而增大， ∴②正确；③同理，当1x <，函数M 随a 的增大而减小，∴当a<0时，函数M 在y 轴是上方，即0M >， ∴③正确；④设函数的解析式为：22M a a =−，如图1∴当1a =时，函数M 有最小值，最小值为：1− ∴无论a 取任何数，1M ≥− ∴④正确；综上所述：正确的为：①②③④ 故选：D ．【点睛】本题考查一元二次方程，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握解一元二次方程，二次函数图象和性质，实数的性质．3．（2023·湖北武汉·统考一模）已知函数()222(y kx k x k =−++为实数)，下列四个结论：①当0k =时，图象与坐标轴所夹的锐角为45︒； ②若0k <，则当1x >时，y 随着x 的增大而减小；③不论k 为何值，若将函数图象向左平移1个单位长度，则图象经过原点； ④当2k <−时，抛物线顶点在第一象限．其中正确的结论是 （填写序号） 【答案】②③④【分析】由一次函数22y x =−+即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；得到平移后的解析式即可判断③；求得顶点坐标即可判断④．【详解】解：①当0k =时，函数为一次函数22y x =−+，由于系数为2−，所以图象与坐标轴所夹的锐角不为45︒，故①错误；②若0k <，抛物线的对称轴为直线()2111222k x kk −+=−=+<，则当1x >时，y 随着x 的增大而减小，故②正确；③当函数图象向左平移1解析式为()()2(1)212y k x k x =+−+++，则其图象过原点，故③正确；④当2k <−时，对称轴直线()211022k x kk −+=−=+>，顶点纵坐标为228(2)(2)044k k k k k −+−=−>，故抛物线顶点在第一象限，故④正确； 故答案为：②③④．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数2(,,y ax bx c a b c =++是常数，0)a ≠与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．4．（2023春·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期末）对于二次函数()25144y ax a x a =−+++．有下列说法：①若1a <−，则二次函数的图象与y 轴的负半轴相交； ②若0a >，当12x ≤≤时，y 有最大值3；③若a 为整数，且二次函数的图象与x 轴的两个公共点都为整数点，则a 的值只能等于1； ④若0a <，且()()()1232,,3,,4,A y B y C y 为该函数图象上的三点，则123y y y >>． 其中正确的是 ．（只需填写序号） 【答案】①②④【分析】求出44a +的取值即可判断①；由对称轴方程可判断出当1x =时，函数在12x ≤≤时，y 有最大值3，故可判断②；根据二次函数的图象与x 轴的两个公共点都为整数点可知对称轴也是整数，可求出a ，进而判断③；分别求出A ，B ，C 三点对应的函数值，再进行比较即可判断④． 【详解】解：①对于()25144y ax a x a =−+++，令0x =，得44y a =+，由1a <−可得440y a =+<，即二次函数的图象与y 轴的负半轴相交，故①正确；②二次函数()25144y ax a x a =−+++对称轴方程为直线()512a x a−+=−512a a +=412a a a ++=122a a +=+， ∵0a >， ∴2,x >又抛物线的开口向上， ∴二次函数()25144y ax a x a =−+++的图象在12x ≤≤内，当1x =时，y 有最大值，最大值为：3；故②正确； ③∵二次函数()25144y ax a x a =−+++的图象与x 轴有两个交点，∴()()251444a a a ∆=−+−+⎡⎤⎣⎦22251011616a a a a =++−−2961a a =−+()231a =−， ∵a 为整数， ∴()2310a =−>V ，即a 为任意整数；又二次函数的图象与x 轴的两个公共点都为整数点， ∴对称轴122a x a +=+必为整数，此时a 的值不只能等于1，也可以是1−，故③错误；④∵()()()1232,,3,,4,A y B y C y 为函数()25144y ax a x a =−+++图象上的三点，∴当2x =时，22y a =−+； 当3x =时，21y a =−+；当4x =时，0y =； ∵a<0，∴22210a a −+>−+>，即123y y y >>．故④正确， 所以，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，利用数形结合，从开口方向、对称轴、与x 轴（y 轴）的交点进行判断是解题的关键．【考点四 二次函数的图象和性质与系数a ,b ,c 的问题】A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断y 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①函数的对称轴在y 轴右侧，则0ab <，抛物线与y 轴交于负半轴，则0c <，则0abc >，故①正确；②函数的对称轴为1x =，函数和x 轴的一个交点是()3,0，则另外一个交点为()1,0−，当=1x −时，0y a b c =−+=，故②错误；③函数的对称轴为12bx a =−=，即12a b =−，故③错误； ④由②③得，2b a =−，0a b c −+=，故30a c +=，而抛物线开口向上，则0a >，即50a >，故80a c +>，故选：B ．【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换是解题的关键． 【变式训练】1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考三模）如图，二次函数()2<0y ax bx c a =++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴为直线1x =，结合图象给出下列结论：①0abc >；②240ac b −<；③30a c +<；④方程221ax bx c k ++=−−的两根和为1；⑤若()1212,x x x x <是方程20ax bx c ++=的两根，则方程()()1230a x x x x −−+=的两根(),m n m n <满足()()120a m x n x −−>；其中正确结论有（ ）【答案】B【分析】综合二次函数图象与各项系数之间的关系，以及二次函数与方程之间的联系进行逐项分析． 【详解】解：由题意，a<0，对称轴为直线12b x a =−=，∴2b a =−，0b >，抛物线与y 轴相交于正半轴，则0c >， ∴<0abc ，故①错误；∵抛物线与x 轴有两个不同的交点，∴240b ac −>，即：240ac b −<，故②正确；∵由图象可得，当=1x −时，函数值0y <， ∴<0a b c −+，∴30a c +<，故③正确；对于方程221ax bx c k ++=−−，整理得：2210ax bx c k ++++=，∴其两根之和12b x x a +=−，∵2b a =−， ∴122x x +=∴方程221ax bx c k ++=−−的两根和为2，故④错误；∵()1212,x x x x <是方程20ax bx c ++=的两根，∴函数2y ax bx c =++图象与x 轴的两个交点的横坐标为()1212,x x x x <， ∵方程()()1230a x x x x −−+=的两根(),m n m n <，∴抛物线2y ax bx c =++与直线3y =−的交点横坐标为(),m n m n <，∵抛物线开口向下， ∴1m x <，2n x >，∴10m x −<，20n x −>，∵a<0， ∴()()120a m x n x −−>，故⑤正确；∴正确的有②③⑤， 故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的联系，掌握函数的基本性质，理解并熟练运用函数与方程之间的关系是解题关键．2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠图像的一部分与x 轴的一个交点坐标为()3,0，对称轴为直线1x =，结合图像给出下列结论：①0abc >；②2b a =；③30a c +=；④关于x 的一元二次方程220(0)ax bx c k a +++=≠有两个不相等的实数根；⑤若点()1,m y ，()22,y m −+均在该二次函数图像上，则12y y =．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】根据抛物线的对称轴、开口方向、与y 轴的交点确定a 、b 、c 的正负，即可判定①和②；将点()3,0代入抛物线解析式并结合2b a =−即可判定③；运用根的判别式并结合a 、c 的正负，判定判别式是否大于零即可判定④；判定点()1,m y ，()22,y m −+的对称轴为1x =，然后根据抛物线的对称性即可判定⑤．【详解】解：抛物线开口向上，与y 轴交于负半轴， ∴00a c ><，，∵抛物线的对称轴为直线1x =， ∴12ba −=，即20b a =−<，即②错误； ∴0abc >，即①正确， 二次函数()20y ax bx c a =++≠图像的一部分与x 轴的一个交点坐标为()3,0930a b c ∴++=()9320a a c ∴+−+=，即30a c +=，故③正确；∵关于x 的一元二次方程220(0)ax bx c k a +++=≠，()2222444b a c k b ac ak ∆=−+=−−，00a c ><，，∴40ac −>，240ak −≤，∴无法判断2244b ac ak −−的正负，即无法确定关于x 的一元二次方程220(0)ax bx c k a +++=≠的根的情况，故④错误；∵()212m m +−+=∴点()1,m y ，()22,y m −+关于直线1x =对称 ∵点()1,m y ，()22,y m −+均在该二次函数图像上，∴12y y =，即⑤正确；综上，正确的为①③⑤，共3个 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的()20y ax bx c a =++≠的性质及图像与系数的关系，能够从图像中准确的获取信息是解题的关键．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据二次函数的图象和性质一一判断即可． 【详解】∵抛物线对称轴1x =−，经过点()10，，∴12ba −=−，0a b c ++=， ∴23b a c a ==−，， ∵a<0，∴00b c <>，，∴0ab >且0c >，故①错误，∵抛物线对称轴-1x =，经过()10，， ∴()3,0−和()10，关于对称轴对称，∴2x =-时，0y >，∴420a b c −+>，故②正确，∵抛物线与x 轴交于()3,0−，∴4x =-时，0y <，∴1640a b c −+<，∵2b a =，∴1680a a c −+<，即80a c +<，故③错误，∵336c a a a =−=−，2b a =，∴33c a b =−，故④正确，∵直线22y x =+与抛物线2y ax bx c =++两个交点的横坐标分别为12x x ，， ∴方程()2220ax b x c +−+−=的两个根分别为12x x ，， ∴122b x x a −+=−，122=c x x a −⋅ ， ∴1212x x x x ++=2222325b c a a a a a a −−−−−−+=−+=−，故⑤正确，正确的个数为3个． 故选：C ．【点睛】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【考点五 二次函数的图象与几何动点问题】例题：（2023·河南周口·河南省淮阳中学校考三模）如图，在Rt ABC △中，908A AC AB ∠=︒==，．动点D从点A 出发，沿线段AB 以1单位长度/秒的速度运动，当点D 与点B 重合时，整个运动停止．以AD 为一边向上作正方形ADEF ，若设运动时间为x 秒()08x <≤，正方形ADEF 与ABC 重合部分的面积为y ，则下列能大致反映y 与x 的函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据题目所给条件，分当04x ≤≤时和当48x <≤时，建立函数关系式，利用二次函数的性质，即可得到答案．【详解】解；当04x ≤≤时，正方形ADEF 与ABC 重合部分的面积为正方形ADEF 的面积，∴2y x =，∴当48x <≤时，设DE 与BC 相交于M ，EF 与BC 相交于N ，，此时正方形ADEF 与ABC 重合部分的面积为正方形ADEF 的面积减去三角形EMN 的面积，∵ABC 是等腰直角三角形，8AB AC ==，∴8DM DB FN FC x ====−，∴()828EM EN x x x ==−−=−，∴()222221282163216322MNE ADEF y S S x x x x x x x =−=−−=−+−=−+−正方形△，∵10−<，∴二次函数的图象为开口向下的抛物线，故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数的解析式与图象的关系，正确列出函数关系式和判断二次函数的开口方向是解题的关键．【变式训练】 1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在正方形ABCD 中，4AB =，动点M ，N 分别从点A ，B 同时出发，沿射线AB ，射线BC 的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM ，MN ，ND ．设点M 运动的路程为()04x x ≤≤，DMN 的面积为S ，下列图像中能反映S 与x 之间函数关系的是（ ）． ． ． ． 【答案】A【分析】先根据ADM DCN BMN ABCD S S S S S =−−−V V V 正方形，求出S 与x 之间函数关系式，再判断即可得出结论． 【详解】解：ADM DCN BMN ABCD S S S S S =−−−V V V 正方形，1114444(4)(4)222x x x x =⨯−⨯−⨯−−−，21282x x =−+， 21(2)62x =−+，故S 与x 之间函数关系为二次函数，图像开口向上，2x =时，函数有最小值6，故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的图像与性质，本题的关键是求出S 与x 之间函数关系式，再判断S 与x 之间函数类型． 2．（2023·安徽合肥·校考三模）如图，正方形ABCD 中，4cm AB =，动点,P Q 分别从,A D 同时出发，点P 以每秒2cm 的速度沿A B C →→运动，点Q 以每秒1cm 的速度沿→D C 运动，P 点到达点C 时运动停止．设P 点运动x （秒）时，APQ △的面积()2cm y ，则y 关于x 的函数图象大致为：（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】分两种情况：当点P 在AB 上，即02x ≤≤时，此时APQ y S =，利用三角形面积公式得到y 关于x 的函数关系；当点P 在BC 上，即24x <≤时，此时APQ ABP CPQ ADQABCD S S S S S =−−−△△△△正方形，利用正方形和三角形面积公式得到y 关于x 的函数关系．进而可得y 关于x 的分段函数，根据函数解析式即可判断函数图象．【详解】解：当点P 在AB 上，即02x ≤≤时，如图，此时，2AP x =cm ，211244(cm )22APQ y S AP BC x x ∴==⋅=⋅⋅=△；当点P 在BC 上，即24x <≤时，如图，此时，(24)cm BP x =−，DQ x =cm ，(82)cm CP x ∴=−，(4)cm CQ x =−，2111222APQ ABP CPQ ADQ ABCD S S S S S AB AB BP CP CQ AD DQ =−−−=−⋅−⋅−⋅△△△△正方形，22211144(24)(82)(4)428(cm )222y x x x x x x ∴=−⨯⋅−−−−−⨯⋅=−++；．综上，24(02)28(24)x x y x x x ≤≤⎧=⎨−++<≤⎩． 故选：B ．【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，学会利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题关键． ，APQ 的面积为 ． ．C ． ． 【答案】D【分析】先找出运动轨迹几何运动的转折点，据此可分三段进行求解：①当点P 在AD 上运动，点Q 在AB 上运动，即04t ≤≤时；②当点P 在AD 上运动，点Q 在BC 上运动，即48t <≤时；③当点P 在CD 上运动，点Q 在BC 上运动，即812t <≤时．再根据三角形的面积公式分段求出y 关于t 的函数关系式，最后根据关系判断函数图像即可．【详解】解：①当点P 在AD 上运动，点Q 在AB 上运动，即04t ≤≤时，此时cm cm AP t AQ t ==，， ∴()22111cm 222APQ S AP AQ t t t =⋅=⋅=； ②如图：当点P 在AD 上运动，点Q 在BC 上运动，即48t <≤时，cm AP t =，∴()21142cm 22APQ S AP AB t t =⋅=⋅=； ③如图：当点P 在CD 上运动，点Q 在BC 上运动，即812t <≤时，∴()()()()8cm 4cm 12cm 12cm DP t BQ t CQ t CP t =−=−=−=−，，，， ∴APQ ABQ CPQ ADP ABCD S S S S S =−−−矩形1122AB AD CQ CP AD DP =⋅−⋅−⋅,()()()()1114844121288222t t t t =⨯−−⋅−−⋅−−⋅⋅− ＝2162t t ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭2cm ； 综上，()()221422(48)168122t x t y t t t t t ⎧<<⎪⎪=<<⎨⎪⎪−+<≤⎩．故选：D ．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像，理解题意、分段求出函数解析式是解题关键．。

解题技巧专题：二次函数图像信息题归类◆类型一 由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(c ≠0)的图像如图所示，a ，b ，c 的取值范围分别是( )A ．a<0，b<0，c<0B ．a<0，b>0，c<0C ．a>0，b>0，c<0D ．a>0，b<0，c<0第1题图 第2题图 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图像如图所示，则点⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，c a 在第________象限( )A ．一B ．二C ．三D ．四3．(保定高阳县期末)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ＋2的图像如图所示，顶点坐标为(－1，0)，下列结论：①abc ＜0；②b 2－4ac ＝0；③a ＞2；④4a －2b ＋c ＞0.其中正确结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第3题图 第4题图 4．已知y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，则a ＋b ＋c________0，a －b ＋c________0，2a＋b________0.◆类型二利用二次函数的图像解方程或不等式5．已知函数y＝x2－2x－2的图像如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是( )A．－1≤x≤3 B．－3≤x≤1 C．x≥－3 D．x≤－1或x≥3第5题图第6题图第7题图6．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为________________．【方法13】7．★如图是函数y＝x2＋bx－1的图像，根据图像提供的信息，确定使－1≤y≤2的自变量x的取值范围是________________.◆类型三根据抛物线的特征确定其他函数的图像8．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图像大致是( )第8题图第10题图9．二次函数y＝ax2＋b(b＞0)与反比例函数y＝ax在同一坐标系中的图像可能是【方法8】( )10．如图，一次函数y1＝x的图像与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图像相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图像可能是( )参考答案与解析1．D 2.D3．B 解析：∵抛物线开口向上，∴a＞0.∵对称轴在y轴左边，∴b＞0.∵抛物线与y轴的交点在(0，2)上方，∴c＋2＞2，∴c＞0，∴abc＞0，∴结论①不正确；∵二次函数y＝ax2＋bx＋c＋2的图像与x轴只有一个交点，∴Δ＝0，即b2－4a(c＋2)＝0，∴b2－4ac＝8a＞0，∴结论②不正确；∵对称轴为直线x＝－b2a＝－1，∴b＝2a.∵b2－4ac＝8a，∴4a2－4ac＝8a，∴a＝c＋2.∵c＞0，∴a ＞2，∴结论③正确；∵对称轴是直线x＝－1，而且当x＝0时，y＞2，∴x＝－2时，y＞2，∴4a－2b＋c＋2＞2，∴4a－2b＋c＞0，∴结论④正确．综上所述，可知正确结论的个数是2个．故选B.4．< > < 解析：当x＝1时，对应抛物线上的点在x轴的下方，故a＋b＋c<0；当x＝－1时，对应抛物线上的点在x轴的上方，故a－b＋c>0；因为图像开口向下，所以a<0，又因为对称轴在y轴的左侧，所以－b2a<1，所以2a ＋b<0.5．D6．x1＝3，x2＝－17．－1≤x≤0或2≤x≤3 解析：∵y＝x2＋bx－1经过点(3，2)，∴2＝9＋3b－1，∴b＝－2，∴y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2.当y＝2时，即(x－1)2－2＝2，解得x＝3或x＝－1.当y＝－1时，即(x－1)2－2＝－1，解得x＝2或x＝0.根据图像可得当－1≤y≤2时，x的取值范围是－1≤x≤0或2≤x≤3.8．B 9.B10．A 解析：∵一次函数y1＝x的图像与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图像相交于P，Q两点，∴方程ax2＋(b－1)x＋c＝0有两个不相等的根，∴函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图像与x轴有两个交点．∵方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的两个不相等的根x1＞0，x2＞0，∴x1＋x2＝－b－1a＞0，∴－b－12a＞0，∴函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图像的对称轴直线x＝－b－12a＞0.∴选项A符合条件．故选A.考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x ＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x ＋15＝0的根，则△ABC的周长是．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x ＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m ＋1)x＋m－1的图象不经过（）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k 、b 是一元二次方程(2x ＋1)(3x －1)＝0的两个根，且k ＞b ，则函数y ＝kx ＋b 的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y ＝(5－m 2)x 和关于x 的一元二次方程(m ＋1)x 2＋mx ＋1＝0中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是 ．12．(甘孜州中考)若函数y ＝－kx ＋2k ＋2与y ＝k x(k ≠0)的图象有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ． .◆类型三 一元二次方程与二次根式的综合13．(达州中考)方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＞52B ．m ≤52且m ≠2 C ．m ≥3 D ．m ≤3且m ≠214．(包头中考)已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合1．B 2.A 3.A 4.B 5.86．16 解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，根据题意得x ＋y ＝8，所以矩形的周长为2(x ＋y)＝16.7．解：∵一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴(2k －1)2－4(k 2＋3)>0，即－4k －11>0，∴k<－114，令其两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x 21＋x 22＝52，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝25，∴(1－2k)2－2(k 2＋3)＝25，∴k 2－2k －15＝0，∴k 1＝5，k 2＝－3，∵k<－114，∴k ＝－3, ∴把k ＝－3代入原方程得到x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.8．B9．D 解析：∵一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m ＜0，∴m ＜－1，∴m ＋1＜1－1，即m ＋1＜0，m －1＜－1－1，即m －1＜－2，∴一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过第一象限．故选D.10．B 11.－2 12.k>－12且k ≠0 13．B 14.k ≥1。

专训1 二次函数图像信息题的四种常见类型名师点金：利用图像信息解决二次函数的问题主要是运用数形结合思想将图像信息转换为数学语言，掌握二次函数的图像和性质是解决此类问题的关键．根据抛物线的特征确定a ，b ，c 及与其有关的代数式的符号1．【中考·孝感】如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图像与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝OC.则下列结论：①abc ＜0；②b 2－4ac 4a ＞0；③ac －b ＋1＝0；④OA·OB ＝－c a.其中正确结论的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1(第1题)(第2题)利用二次函数的图像比较大小 2．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图像如图，若点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在此函数图像上，且x 1<x 2<1，则y 1与y 2的大小关系是( )A ．y 1≤y 2B ．y 1＜y 2C ．y 1≥y 2D ．y 1＞y 2利用二次函数的图像求方程的解或不等式的解集3．【中考·黄石】二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图像如图所示，则当函数值y ＞0时，x 的取值范围是( )A ．x ＜－1B ．x ＞3C ．－1＜x ＜3D ．x ＜－1或x ＞3(第3题)(第4题)4．【中考·阜新】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋3的图像经过点A(－1，0)，B(3，0)，那么一元二次方程ax2＋bx＝0的根是____________．根据抛物线的特征确定其他函数的图像5．【中考·聊城】二次函数y＝ax2＋bx的图像如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图像大致是()(第5题)6．如图，A(－1，0)，B(2，－3)两点在一次函数y1＝－x＋m与二次函数y2＝ax2＋bx －3的图像上．(1)求m的值和二次函数的表达式；(2)设二次函数的图像交y轴于点C，求△ABC的面积．【导学号：89274029】(第6题)答案1．B 2.B 3.D 4.x 1＝0，x 2＝2 5.C6．解：(1)将点A(－1，0)的坐标代入y 1＝－x ＋m ，得m ＝－1；将点A(－1，0)，B(2，－3)的坐标分别代入y 2＝ax 2＋bx －3，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b －3＝0，4a ＋2b －3＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2. ∴y 2＝x 2－2x －3.(2)易知C 点的坐标为(0，－3)，一次函数的图像与y 轴的交点坐标为(0，－1)．∴S △ABC ＝12×[－1－(－3)]×1＋12×[－1－(－3)]×2＝12×2×1＋12×2×2＝3.。

二次函数图像信息题(总18页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--二次函数图表信息题一．选择题（共18小题）1．已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象过点A （1，m ），B （3，m ），若点M （﹣2，y 1），N （﹣1，y 2），K （8，y 3）也在二次函数y=x 2+bx+c 的图象上，则下列结论正确的是（ ） A ． y 1＜y 2＜y 3 B ． y 2＜y 1＜y 3 C ． y 3＜y 1＜y 2 D ． y 1＜y 3＜y 22．抛物线y=x 2﹣2x+1与坐标轴交点为（ ） A ． 二个交点 B ． 一个交点 C ． 无交点 D ． 三个交点3．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax 与y=ax 2的图象有可能是（ ） A ．B ．C ．D ．4．抛物线y=2x 2，y=﹣2x 2，共有的性质是（ ）A ． 开口向下B ． 对称轴是y 轴C ． 都有最高点D ． y 随x 的增大而增大5．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象的一部分，对称轴是直线x=1． ①b 2＞4ac ； ②4a﹣2b+c ＜0；③不等式ax 2+bx+c ＞0的解集是x≥；④若（﹣2，y 1），（5，y 2）是抛物线上的两点，则y 1＜y 2．上述4个判断中，正确的是（ ）A ． ①②B ． ①④C ． ①③④D ． ②③④6．抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D （﹣1，2），与x 轴的一个交点A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax 2+bx+c ﹣2=0有两个相等的实数根． 其中正确结论的个数为（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个7．已知抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）经过点（1，1）和（﹣1，0）．下列结论：①a﹣b+c=0②b 2＞4ac③当a ＜0时，抛物线与x 轴必有一个交点在点（1，0）的右侧；④抛物线的对称轴为x=﹣．其中结论正确的个数有（ ） A ． 4个 B ． 3个 C ． 2个 D ． 1个8．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b 2＜0；②4a+c＜2b ；③3b+2c＜0；④m（am+b ）+b ＜a （m≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ） A ． 4个 B ． 3个 C ． 2个 D ． 1个9．如图是二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）图象的一部分，x=﹣1是对称轴，有下列判断：①b﹣2a=0；②4a﹣2b+c ＜0；③a﹣b+c=﹣9a ；④若（﹣3，y 1），（，y 2）是抛物线上两点，则y 1＞y 2， 其中正确的是（ ） A ． ①②③ B ． ①③④ C ． ①②④ D ． ②③④10．（2014?天津）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．311．如图，二次函y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x=，且经过点（2，0），下列说法：①abc ＜0；②a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣2，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（）A．①②④B．③④C．①③④D．①②12．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．413．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，x1+x2=2．其中正确的有（）A．①②③B．②④C．②⑤D．②③⑤14．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个15．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2其中正确的个数有（）A．1B．2C．3D．417．二次函数y=ax2+bx+c图象如图，下列正确的个数为（）①bc＞0；②2a﹣3c＜0；③2a+b＞0；④ax2+bx+c=0有两个解x1，x2，当x1＞x2时，x1＞0，x2＜0；⑤a+b+c＞0；⑥当x＞1时，y随x增大而减小．A．2B．3C．4D．518．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0其中正确结论的有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．（2014?承德二模）已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（1，m），B（3，m），若点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=x2+bx+c的图象上，则下列结论正确的是（）A．y＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y21考点：二次函数图象上点的坐标特征．专题：计算题．分析：利用A点与B点为抛物线上的对称点得到对称轴为直线x=2，然后根据点M、N、K离对称轴的远近求解．解答：解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（1，m），B（3，m），∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，∵M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），K（8，y3），∴K点离对称轴最远，N点离对称轴最近，∴y2＜y1＜y3．故选B．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标特征满足其解析式．2．（2014?宁波一模）抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点为（）A．二个交点B．一个交点C．无交点D．三个交点考点：抛物线与x轴的交点．分析：因为x2﹣2x+1=0中，△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，有两个相等的实数根，图象与x轴有一个交点，再加当y=0时的点即可．解答：解：当x=0时y=1，当y=0时，x=1∴抛物线y=x2﹣2x+1与坐标轴交点有两个．故选：A．点评：解答此题要明确抛物线y=x2﹣2x+1的图象与x轴交点的个数与方程x2﹣2x+1=0解的个数有关，还得考虑与y轴相交．3．（2014?宁夏）已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象有可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；正比例函数的图象．专题：数形结合．分析：本题可先由一次函数y=ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2的图象相比较看是否一致．（也可以先固定二次函数y=ax2图象中a的正负，再与一次函数比较．）解答：解：A、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＞0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误；B、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＞0，故B错误；C、函数y=ax中，a＜0，y=ax2中，a＜0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；D、函数y=ax中，a＞0，y=ax2中，a＜0，故D错误．故选：C．点评：函数中数形结合思想就是：由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状．4．（2014?毕节地区）抛物线y=2x2，y=﹣2x2，共有的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．都有最高点D．y随x的增大而增大考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的性质解题．解答：解：（1）y=2x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点；（2）y=﹣2x2开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点；（3）y=x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点．故选：B．点评：考查二次函数顶点式y=a（x﹣h）2+k的性质．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．5．（2014?达州）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1．①b2＞4ac；②4a﹣2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥；④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．上述4个判断中，正确的是（）A．①②B．①④C．①③④D．②③④考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与不等式（组）．专题：数形结合．分析：根据抛物线与x轴有两个交点可得b2﹣4ac＞0，进而判断①正确；根据题中条件不能得出x=﹣2时y的正负，因而不能得出②正确；如果设ax2+bx+c=0的两根为α、β（α＜β），那么根据图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜α或x＞β，由此判断③错误；先根据抛物线的对称性可知x=﹣2与x=4时的函数值相等，再根据二次函数的增减性即可判断④正确．解答：解：①∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故①正确；②x=﹣2时，y=4a﹣2b+c，而题中条件不能判断此时y的正负，即4a﹣2b+c可能大于0，可能等于0，也可能小于0，故②错误；③如果设ax2+bx+c=0的两根为α、β（α＜β），那么根据图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是x＜α或x＞β，故③错误；④∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，∴x=﹣2与x=4时的函数值相等，∵4＜5，∴当抛物线开口向上时，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，∴y1＜y2，故④正确．故选：B．点评：主要考查图象二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，以及二次函数与不等式的关系，根的判别式的熟练运用．6．（2014?孝感）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点．专题：数形结合．分析：由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（﹣1，2）得a﹣b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1得b=2a，所以c﹣a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．解答：解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；∵顶点为D（﹣1，2），∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，∴当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，所以②正确；∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），∴a﹣b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1，∴b=2a，∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正确；∵当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=﹣1时，ax2+bx+c=2，∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，所以④正确．故选：C．点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x 轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．7．（2014?十堰）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1）和（﹣1，0）．下列结论：①a﹣b+c=0；②b2＞4ac；③当a＜0时，抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧；④抛物线的对称轴为x=﹣．其中结论正确的个数有（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：常规题型．分析：将点（﹣1，0）代入y=ax2+bx+c，即可判断①正确；将点（1，1）代入y=ax2+bx+c，得a+b+c=1，又由①得a﹣b+c=0，两式相加，得a+c=，两式相减，得b=．由b2﹣4ac=﹣4a（﹣a）=﹣2a+4a2=（2a﹣）2，当a=时，b2﹣4ac=0，即可判断②错误；③由b2﹣4ac=（2a﹣）2＞0，得出抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，设另一个交点的横坐标为x，根据一元二次方程根与系数的关系可得﹣1?x==﹣1，即x=1﹣，再由a＜0得出x＞1，即可判断③正确；④根据抛物线的对称轴公式为x=﹣，将b=代入即可判断④正确．解答：解：①∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，故①正确；②∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（1，1），∴a+b+c=1，又a﹣b+c=0，两式相加，得2（a+c）=1，a+c=，两式相减，得2b=1，b=．∵b2﹣4ac=﹣4a（﹣a）=﹣2a+4a2=（2a﹣）2，当2a﹣=0，即a=时，b2﹣4ac=0，故②错误；③当a＜0时，∵b2﹣4ac=（2a﹣）2＞0，∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，设另一个交点的横坐标为x，则﹣1?x===﹣1，即x=1﹣，∵a＜0，∴﹣＞0，∴x=1﹣＞1，即抛物线与x轴必有一个交点在点（1，0）的右侧，故③正确；④抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=﹣，故④正确．故选：B．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系及二次函数的性质，不等式的性质，难度适中．8．（2014?资阳）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．解答：解：∵抛物线和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x=﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b+2c＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴y=a﹣b+c的值最大，即把（m，0）（m≠﹣1）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正确；即正确的有3个，故选：B．点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法，同时注意特殊点的运用．9．（2014?聊城）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，x=﹣1是对称轴，有下列判断：①b﹣2a=0；②4a﹣2b+c＜0；③a﹣b+c=﹣9a；④若（﹣3，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．解答：解：∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴﹣=﹣1，b=2a，∴b﹣2a=0，故①正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，和x轴的一个交点是（2，0），∴抛物线和x轴的另一个交点是（﹣4，0），∴把x=﹣2代入得：y=4a﹣2b+c＞0，故②错误；∵图象过点（2，0），代入抛物线的解析式得：4a+2b+c=0，又∵b=2a，∴c=﹣4a﹣2b=﹣8a，∴a﹣b+c=a﹣2a﹣8a=﹣9a，故③正确；根据图象，可知抛物线对称轴的右边y随x的增大而减小，∵抛物线和x轴的交点坐标是（2，0）和（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴点（﹣3，y1）关于对称轴的对称点的坐标是（（1，y1），∵（，y2），1＜，∴y1＞y2，故④正确；即正确的有①③④，故选：B．点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法．同时注意特殊点的运用．10．（2014?天津）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：由图象可知二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，进而判断①；先根据抛物线的开口向下可知a＜0，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据对称轴在y轴右侧得出b与0的关系，然后根据有理数乘法法则判断②；一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，则可转化为ax2+bx+c=m，即可以理解为y=ax2+bx+c和y=m没有交点，即可求出m的取值范围，判断③即可．解答：解：①∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故①正确；②∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴x=﹣＞0，∴ab＜0，∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故②正确；③∵一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，∴y=ax2+bx+c和y=m没有交点，由图可得，m＞2，故③正确．故选：D．点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．11．（2014?齐齐哈尔）如图，二次函y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x=，且经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣2，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（）A．①②④B．③④C．①③④D．①②考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号；②根据对称轴求出b=﹣a；③把x=2代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关系；④求出点（﹣2，y1）关于直线x=的对称点的坐标，根据对称轴即可判断y1和y2的大小．解答：解：①∵二次函数的图象开口向下，∴a＜0，∵二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，∴c＞0，∵对称轴是直线x=，∴﹣=，∴b=﹣a＞0，∴abc＜0．故①正确；②∵由①中知b=﹣a，∴a+b=0，故②正确；③把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c，∵抛物线经过点（2，0），∴当x=2时，y=0，即4a+2b+c=0．故③错误；④∵（﹣2，y1）关于直线x=的对称点的坐标是（3，y1），又∵当x＞时，y随x的增大而减小，＜3，∴y1＜y2．故④正确；综上所述，正确的结论是①②④．故选：A．点评：本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，当a＜0时，二次函数的图象开口向下．12．（2014?威海）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：抛物线与y轴交于原点，c=0，（故①正确）；该抛物线的对称轴是：，直线x=﹣1，（故②正确）；当x=1时，y=a+b+c∵对称轴是直线x=﹣1，∴﹣b/2a=﹣1，b=2a，又∵c=0，∴y=3a，（故③错误）；x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c，又∵x=﹣1时函数取得最小值，∴a﹣b+c＜am2+bm+c，即a﹣b＜am2+bm，∵b=2a，∴am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．（故④正确）．故选：C．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．13．（2014?南充）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，x1+x2=2．其中正确的有（）A．①②③B．②④C．②⑤D．②③⑤考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x=﹣=1，得到b=﹣2a＞0，即2a+b=0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，所以abc＜0；根据二次函数的性质得当x=1时，函数有最大值a+b+c，则当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x=﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0；把ax12+bx1=ax22+bx2先移项，再分解因式得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b=0，即x1+x2=﹣，然后把b=﹣2a代入计算得到x1+x2=2．解答：解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为性质x=﹣=1，∴b=﹣2a＞0，即2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线对称轴为性质x=1，∴函数的最大值为a+b+c，∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③正确；∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为性质x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧∴当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以④错误；∵ax12+bx1=ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2=0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）=0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b=0，即x1+x2=﹣，∵b=﹣2a，∴x1+x2=2，所以⑤正确．故选：D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a 共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．14．（2014?烟台）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．专题：代数几何综合题；数形结合．分析：根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，则有4a+b=0；观察函数图象得到当x=﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x=﹣1时，y=0，则a﹣b+c=0，易得c=﹣5a，所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；由于对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x的增大而减小．解答：解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，∴b=﹣4a，即4a+b=0，（故①正确）；∵当x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，（故②错误）；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，而b=﹣4a，∴a+4a+c=0，即c=﹣5a，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴8a+7b+2c＞0，（故③正确）；∵对称轴为直线x=2，∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小，（故④错误）．故选：B．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a 共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．15．（2014?贵港）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：①由抛物线的开口方向，抛物线与y轴交点的位置、对称轴即可确定a、b、c的符号，即得abc的符号；②由抛物线与x轴有两个交点判断即可；③分别比较当x=﹣2时、x=1时，y的取值，然后解不等式组可得6a+3c＜0，即2a+c＜0；又因为a＜0，所以3a+c＜0．故错误；④将x=1代入抛物线解析式得到a+b+c＜0，再将x=﹣1代入抛物线解析式得到a﹣b+c＞0，两个不等式相乘，根据两数相乘异号得负的取符号法则及平方差公式变形后，得到（a+c）2＜b2，解答：解：①由开口向下，可得a＜0，又由抛物线与y轴交于正半轴，可得c＞0，然后由对称轴在y轴左侧，得到b与a同号，则可得b＜0，abc＞0，故①错误；②由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故②正确；③当x=﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0 （1）当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0 （2）（1）+（2）×2得：6a+3c＜0，即2a+c＜0又∵a＜0，∴a+（2a+c）=3a+c＜0．故③错误；④∵x=1时，y=a+b+c＜0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即[（a+c）+b][（a+c）﹣b]=（a+c）2﹣b2＜0，∴（a+c）2＜b2，故④正确．综上所述，正确的结论有2个．故选：B．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．16．（2014?莱芜）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2其中正确的个数有（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴在y轴的左侧得a、b同号，即b＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，所以abc＞0；根据抛物线对称轴的位置得到﹣1＜﹣＜0，则根据不等式性质即可得到2a﹣b＜0；由于x=﹣2时，对应的函数值小于0，则4a﹣2b+c＜0；同样当x=﹣1时，a﹣b+c＞0，x=1时，a+b+c＜0，则（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，利用平方差公式展开得到（a+c）2﹣b2＜0，即（a+c）2＜b2．解答：解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，∴x=﹣＜0，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，（故①正确）；∵﹣1＜﹣＜0，∴2a﹣b＜0，（故②正确）；∵当x=﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，（故③正确）；∵当x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∵当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，即（a+c﹣b）（a+c+b）＜0，∴（a+c）2﹣b2＜0，（故④正确）．综上所述，正确的个数有4个；故选：D．点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x 轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．17．（2014?深圳）二次函数y=ax2+bx+c图象如图，下列正确的个数为（）①bc＞0；②2a﹣3c＜0；③2a+b＞0；④ax2+bx+c=0有两个解x1，x2，当x1＞x2时，x1＞0，x2＜0；⑤a+b+c＞0；⑥当x＞1时，y随x增大而减小．A．2B．3C．4D．5考点：二次函数图象与系数的关系．分析：根据抛物线开口向上可得a＞0，结合对称轴在y轴右侧得出b＜0，根据抛物线与y轴的交点在负半轴可得c＜0，再根据有理数乘法法则判断①；再由不等式的性质判断②；根据对称轴为直线x=1判断③；根据图象与x轴的两个交点分别在原点的左右两侧判断④；由x=1时，y＜0判断⑤；根据二次函数的增减性判断⑥．解答：解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴右侧，∴a，b异号即b＜0，∵抛物线与y轴的交点在负半轴，∴c＜0，∴bc＞0，故①正确；②∵a＞0，c＜0，∴2a﹣3c＞0，故②错误；③∵对称轴x=﹣＜1，a＞0，∴﹣b＜2a，∴2a+b＞0，故③正确；④由图形可知二次函数y=ax2+bx+c与x轴的两个交点分别在原点的左右两侧，即方程ax2+bx+c=0有两个解x1，x2，当x1＞x2时，x1＞0，x2＜0，故④正确；⑤由图形可知x=1时，y=a+b+c＜0，故⑤错误；⑥∵a＞0，对称轴x=1，∴当x＞1时，y随x增大而增大，故⑥错误．综上所述，正确的结论是①③④，共3个．故选：B．点评：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的性质，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换．18．（2014?黔东南州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0其中正确结论的有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=﹣1时，x=2时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：由二次函数的图象开口向上可得a＞0，根据二次函数的图象与y轴交于正半轴知：c＞0，由对称轴直线x=2，可得出b与a异号，即b＜0，则abc＜0，故①正确；把x=﹣1代入y=ax2+bx+c得：y=a﹣b+c，由函数图象可以看出当x=﹣1时，二次函数的值为正，即a+b+c ＞0，则b＜a+c，故②选项正确；把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c，由函数图象可以看出当x=2时，二次函数的值为负，即4a+2b+c ＜0，故③选项错误；由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0的根的判别式b2﹣4ac＞0，故④D选项正确；故选：B．点评：本题考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=4a+2b+c，然后根据图象判断其值．。

专题训练二次函数图象信息题归类►类型之一由某一函数的图象确定其他函数的图象1．如图1－ZT－1，若一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y ＝ax2＋bx的图象可能是()图1－ZT－12．二次函数y＝ax2＋bx的图象如图1－ZT－2所示，那么一次函数y＝ax＋b的图象大致是()图1－ZT－2图1－ZT－33．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝bx2＋a的图象可能是()图1－ZT－4►类型之二由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值4．［2019·贵阳］已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图1－ZT－5所示，以下四个结＜0，其中正确的是()论：①a＞0；②c＞0；③b2－4ac＞0；④－b2aA．①②B．②④C．①③D．③④图1－ZT－55．二次函数y＝2x2＋mx＋8的图象如图1－ZT－6所示，则m的值是()A．－8 B．8 C．±8 D．6图1－ZT－66．如图1－ZT－7所示，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象中，王刚同学得出了下面四条信息：①b2－4ac＞0；②c＞1；③2a－b＜0；④a＋b＋c＜0.其中错误的有() A．1个B．2个C．3个D．4个图1－ZT－77．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图1－ZT－8所示，若M＝a＋b－c，N＝4a－2b＋c，P＝2a－b，则M，N，P三个数中，值小于0的有()A．3个B．2个C．1个D．0个图1－ZT－88．［2019·孝感］如图1－ZT－9是抛物线y＝ax2＋bx＋c的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．下列结论：①a－b＋c>0；②3a＋b＝0；③b2＝4a(c－n)；④一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4图1－ZT－9►类型之三利用二次函数的图象求二次函数的表达式9．已知某二次函数的图象如图1－ZT－10所示，则这个二次函数的表达式为()A．y＝－3(x－1)2＋3 B．y＝3(x－1)2＋3C．y＝－3(x＋1)2＋3 D．y＝3(x＋1)2＋3图1－ZT－1010．已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图1－ZT－11所示，则此抛物线的函数表达式为____________．图1－ZT－1111．如图1－ZT－12，一个二次函数的图象经过A，B，C三点，点A的坐标为(－1，0)，点C的坐标为(0，5)，且OA∶OB＝1∶4.则这个二次函数的表达式是____________________．图1－ZT－1212．如图1－ZT－13所示，直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为A，且经过点B.求该抛物线的函数表达式．图1－ZT－1313．如图1－ZT－14，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0)两点．(1)求抛物线的表达式和顶点坐标；(2)当0＜x＜3时，求y的取值范围．图1－ZT－14►类型之四利用二次函数的图象求一元二次方程的根14．小兰画了二次函数y＝x2＋ax＋b的图象如图1－ZT－15所示，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是()A．无解B．x＝1C．x＝－4D．x1＝－1，x2＝4图1－ZT－1515．二次函数y＝2x2－4x＋m的部分图象如图1－ZT－16所示，则关于x的一元二次方程2x2－4x＋m＝0的解是(A．x1＝－1，x2＝3B．x1＝1，x2＝－3C．x1＝－1，x2＝5D．x1＝－1，x2＝2.516图1－ZT－16．利用函数图象求方程x2－4x＋3＝0的解．►类型之五利用二次函数的图象解不等式17．如图1－ZT－17所示，一次函数y1＝kx＋n与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于A(－1，5)，B(9，2)两点，则关于x的不等式kx＋n≥ax2＋bx＋c的解集为() A．－1≤x≤9 B．－1≤x＜9C．－1＜x≤9 D．x≤－1或x≥9图1－ZT－1718．已知函数y＝x2－2x－3的图象如图1－ZT－18所示，根据图象回答下列问题：(1)当x取何值时，y＝0?(2)方程x2－2x－3＝0的解是什么？(3)当x取何值时，y＜0？当x取何值时，y＞0?(4)不等式x2－2x－3＜0的解集是什么？图1－ZT－18教师详解详析1．B [解析] 一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限，∴a ＜0，b ＜0，∴二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象可能是开口方向向下，对称轴在y 轴左侧．2．C [解析] 二次函数的图象开口向下，因此a<0，对称轴在y 轴右侧，因此b>0.因为a<0，所以一次函数的图象经过第二、四象限；因为b>0，所以一次函数的图象也经过第一象限，因此选C .3．C [解析] A 项，观察一次函数的图象，可知a ＞0，b ＞0，二次函数中a ＜0，不符合题意；B 项，观察一次函数的图象，可知a ＞0，b ＞0，二次函数中b ＜0，不符合题意；C 项，观察一次函数的图象，可知a ＜0，b ＞0，二次函数中a ＜0，b ＞0，符合题意；D 项，观察一次函数的图象，可知a ＜0，b ＜0，二次函数中b ＞0，不符合题意．4．C [解析] ①∵抛物线开口向上，∴a ＞0，结论①正确；②∵抛物线与y 轴的交点在y 轴负半轴上，∴c ＜0，结论②错误；③∵抛物线与x 轴有两个交点，∴Δ＝b 2－4ac ＞0，结论③正确；④∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧，∴－b 2a＞0，结论④错误． 5．B [解析] 解法一：由题意得4×2×8－m 24×2＝0，解得m ＝±8.∵－m 2×2<0，∴m>0，∴m ＝8.解法二：由题意得Δ＝m 2－4×2×8＝0，解得m ＝±8(下同解法一)．6．A [解析] 由二次函数图象与x 轴有两个交点知b 2－4ac>0，即①正确；由抛物线与y 轴的交点在点(0，1)的下方，知c<1，即②错误；由图象对称轴的位置，知－b 2a>－1，∵a<0，∴2a －b<0，即③正确；根据图象，当x ＝1时，a ＋b ＋c<0，所以④正确．故选A .7．A [解析] ∵图象开口向下，∴a ＜0.∵图象的对称轴在y 轴左侧，∴a ，b 同号，∴b ＜0.∵图象经过y 轴正半轴，∴c ＞0，∴M ＝a ＋b －c ＜0；当x ＝－2时，y ＝4a －2b ＋c ＜0，∴N ＝4a －2b ＋c ＜0；∵－b 2a ＞－1，∴b 2a＜1，∴b ＞2a ，∴2a －b ＜0，∴P ＝2a －b ＜0.则M ，N ，P 三个数中，值小于0的有M ，N ，P.故选A .8．C [解析] ∵抛物线与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间，而抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(－2，0)和(－1，0)之间．∴当x ＝－1时，y>0，即a －b ＋c>0，∴①正确；∵抛物线的对称轴为直线x ＝－b 2a＝1，即b ＝－2a ， ∴3a ＋b ＝3a －2a ＝a≠0，∴②错误；∵抛物线的顶点坐标为(1，n)，∴4ac －b 24a＝n ，∴b 2＝4ac －4an ＝4a(c －n)，∴③正确； ∵抛物线与直线y ＝n 有一个公共点，∴抛物线与直线y ＝n －1有两个公共点，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根，∴④正确．故选C .9．A10．y ＝－x 2＋2x ＋3 [解析] 由抛物线的对称性知抛物线与x 轴的两个交点分别为(－1，0)，(3，0)，依题意，得⎩⎨⎧－1－b ＋c ＝0，－9＋3b ＋c ＝0， 解得⎩⎨⎧c ＝3，b ＝2. ∴y ＝－x 2＋2x ＋3.11．y ＝－54x 2＋154x ＋5 [解析] ∵A(－1，0)，OA ∶OB ＝1∶4，∴B(4，0)．设图象经过A ，C ，B 三点的二次函数的表达式为y ＝a(x －4)(x ＋1)，∵点C(0，5)在函数图象上，∴5＝a×(0－4)×(0＋1)，即a ＝－54.∴所求的二次函数表达式为y ＝－54(x －4)(x ＋1)，即y ＝－54x 2＋154x ＋5.12．解：由直线y ＝－x －2，令x ＝0，得y ＝－2，∴点B 的坐标为(0，－2)．令y ＝0，得x ＝－2，∴点A 的坐标为(－2，0)．∵抛物线的顶点为A ，∴设抛物线的函数表达式为y ＝a(x ＋2)2.∵抛物线过点B ，∴4a ＝－2，解得a ＝－12. ∴该抛物线的函数表达式为y ＝－12(x ＋2)2，即y ＝－12x 2－2x －2. 13．解：(1)∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A(－1，0)，B(3，0)两点，∴⎩⎨⎧1－b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0， 解得⎩⎨⎧b ＝－2，c ＝－3，∴抛物线的表达式为y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4.∴顶点坐标为(1，－4)．(2)∵y ＝(x －1)2－4，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝1，∴当x ＜1时，y 随x 的增大而减小；当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，∴在0＜x ＜1范围内，当x ＝0时，y ＝－3，当x ＝1时，y ＝－4，从而－4＜y ＜－3. 在1≤x ＜3范围内，当x ＝1时，y ＝－4，当x ＝3时，y ＝0，从而－4≤y ＜0.综上所述，当0＜x ＜3时，－4≤y ＜0.14．D15．A [解析] 观察图象可知，抛物线y ＝2x 2－4x ＋m 与x 轴的一个交点的坐标为(－1，0)，对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为(3，0)，∴一元二次方程2x 2－4x＋m＝0的解为x1＝－1，x2＝3.16．解：方法一：如图①，画出函数y＝x2－4x＋3的图象，它与x轴的交点的横坐标分别为1，3，所以方程x2－4x＋3＝0的解是x1＝1，x2＝3.方法二：如图②，画出函数y＝x2－4x和y＝－3的图象，两函数图象的交点的横坐标分别为1，3，所以方程x2－4x＋3＝0的解是x1＝1，x2＝3.方法三：如图③，画出函数y＝x2和y＝4x－3的图象，两函数图象的交点的横坐标分别为1，3，所以方程x2－4x＋3＝0的解是x1＝1，x2＝3.17．A[解析] 由图象可以看出：二次函数y2＝ax2＋bx＋c和一次函数y1＝kx＋n的图象的交点的横坐标分别为－1，9，当y1≥y2时，x的取值范围正好在两交点之内，即－1≤x≤9.故选A.18．解：(1)由图象知，函数y＝x2－2x－3的图象与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)，所以当x的值为－1或3时，y＝0.(2)由图象知，x2－2x－3＝0的解为x1＝－1，x2＝3.(3)由图象知，当－1＜x＜3时，y＜0；当x＜－1或x＞3时，y＞0.(4)不等式x2－2x－3＜0的解集为－1＜x＜3.。