2022-2023学年福建省龙岩市第一中学数学高一上期末综合测试试题含解析

2023-2024学年福建省龙岩市高一上册期末数学学情检测模拟试题一、单选题1．将函数()1sin 2f x x =的图象向左平移()0ϕϕ>个单位得到函数()1cos 2g x x =的图象，则ϕ的最小值是（）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π【答案】C【分析】依据平移然后判断可知()1π2πZ 22k k ϕ=+∈，简单判断可知结果.【详解】由已知可得()111πsincos sin 2222x x x ϕ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，∴()1π2πZ 22k k ϕ=+∈，∴()π4πZ k k ϕ=+∈．∵0ϕ>，∴ϕ的最小值是π．故选：C2．我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c （t ）（单位：mg/L ）随着时间t （单位：h ）的变化用指数模型()0e ktc c t -=描述，假定某药物的消除速率常数0.1k =（单位：1h -），刚注射这种新药后的初始血药含量02000mg/L c =，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L 时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（）（参考数据：ln 20.693,ln 3 1.099≈≈）A ．5.32hB ．6.23hC ．6.93hD ．7.52h【答案】C【分析】利用已知条件()0.100e e 200ktt t c c --==，该药在机体内的血药浓度变为1000mg/L 时需要的时间为1t ，转化求解即可.【详解】解：由题意得：()0.100e e 200kt tt c c --==设该要在机体内的血药浓度变为1000mg/L 需要的时间为1t ()10.1120001000e t t c -=≥10.12e 1t -≥故0.1ln 2t -≥-，ln 26.930.1t ≤≈故该新药对病人有疗效的时长大约为6.93h 故选：C3．某工厂设计了一款纯净水提炼装置，该装置可去除自来水中的杂质并提炼出可直接饮用的纯净水，假设该装置每次提炼能够减少水中50%的杂质，要使水中的杂质不超过原来的4%，则至少需要提炼的次数为（）（参考数据：取lg 20.3=）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A【分析】根据题意列出相应的不等式，利用对数值计算可得答案.【详解】设经过n 次提炼后，水中的杂质不超过原来的4%，由题意得()150%4%n-<，得()12221lg 212lg 5log 2log 5 4.725lg 2lg 2n ->===≈，所以至少需要5次提炼，故选：A.4．设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【答案】C【分析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可得到4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，结合4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点即可得到4962πππω-⋅+=-，即可求得32ω=，再利用三角函数周期公式即可得解.【详解】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.5．已知α∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A ．15BC．3D【答案】B【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．【详解】2sin 2cos 21α=α+ ，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ．【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．6．已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π；②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象．其中所有正确结论的序号是（）A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】B【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.【详解】因为()sin(3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确；51(sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确；将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象，故③正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.7．已知函数()cos cos 2sin 44f x x x a x b ππ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域为[]1,4-，则a b +=（）A ．134B ．94C ．134或34D ．134或94【答案】C【分析】由题可得()21sin 2sin 2f x x a x b =-+++，令sin ,[1,1]t x t =∈-，设()2122g t t at b =-+++，则()g t ∈[]1,4-，再利用二次函数的性质分类讨论即求.【详解】∵()cos cos 2sin 44f x x x a x b ππ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()22211cos sin 2sin sin 2sin 22f x x x a x b x a x b =-++=-+++，令sin ,[1,1]t x t =∈-，设()2122g t t at b =-+++，则()g t ∈[]1,4-，当1a ≤-时，()g t 在[1,1]-上单调递减，∴()()1124211212g a b g a b ⎧-=--+=⎪⎪⎨⎪=-++=-⎪⎩，解得542a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴34a b +=，当1a ≥时，()g t 在[1,1]-上单调递增，∴()()1121211242g a b g a b ⎧-=--+=-⎪⎪⎨⎪=-++=⎪⎩，解得542a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴134a b +=，当10a -<<时，()()()()2max min 14211212g t g a a b g t g a b ⎧==++=⎪⎪⎨⎪==+-=-⎪⎩，无解，当01a ≤<时，()()()()2max min 14211212g t g a a b g t g a b ⎧==++=⎪⎪⎨⎪=-=-+-=-⎪⎩，无解.综上，34a b +=或134a b +=.故选：C.8．已知函数()sin cos f x x x =+的定义域为[],a b，值域为⎡-⎣，则b a -的取值范围是（）A ．3ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】根据正弦函数的图象特征和性质，结合定义域和值域，即可求解.【详解】π()sin cos 4f x x x =+=+，因为[],x a b ∈，所以πππ,444x a b ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦，因为π1)4x -≤+≤πsin()124x -≤+≤.正弦函数sin y x =在一个周期π3π,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内，要满足上式，则ππ5π,444x ⎡⎤+∈-⎢⎣⎦，所以()()max min 5ππ3π5ππ3π=,442424b a b a ⎛⎫-=---=-= ⎪⎝⎭，所以b a -的取值范围是3π3π,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：D 二、多选题9．若α∈[0，2π]，sin 3αsin43α+cos 3αcos 43α=0，则α的值是（）A ．6πB ．4πC ．2πD ．32π【答案】CD【分析】由已知结合两角差的余弦公式进行化简求解即可．【详解】解：因为α∈[0，2π]，sin 3αsin43α+cos 3αcos 43α=cos α＝0，则α12π=或32πα=，故选：CD ．10．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为1S，其圆心角为θ，圆面中剩余部分的面积为2S，当1S与2S的比值为12时，扇面为“美观扇面”2.236≈）（）A．122SSθπθ=-B．若1212SS=，扇形的半径3R=，则12Sπ=C．若扇面为“美观扇面”，则138θ≈D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径20R=，则此时的扇形面积为(2003【答案】AC【分析】首先确定12,S S所在扇形的圆心角，结合扇形面积公式可确定A正确；由12122SSθπθ==-可求得θ，代入扇形面积公式可知B错误；由12122SSθπθ==-即可求得θ，知C正确；由扇形面积公式可直接判断出D错误.【详解】对于A，1S与2S所在扇形的圆心角分别为θ，2πθ-，()2122121222rSS rθθπθπθ⋅⋅∴==--⋅，A正确；对于B，12122SSθπθ==-，23πθ∴=，2111293223S Rπθπ∴=⋅⋅=⨯⨯=，B错误；对于C，122SSθπθ=-(3θπ∴=，()3 2.236180138θ∴≈-⨯≈，C正确；对于D，((21113400200322S Rθππ=⋅⋅=⨯⨯=，D错误.故选：AC.11．设θ的终边在第二象限，则cos sin22θθ-的值可能为（）A．1B．-1C．-2D．2【答案】AB 【分析】先求得2θ的范围，由此进行分类讨论，结合二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，化简求得所求表达式的值.【详解】∵θ的终边在第二象限，∴π2π2ππ2k k θ+<<+，Z k ∈，∴ππππ24222k k θ+<<+，Z k ∈，sincos 22cos sin cos sin cos sincos sin22222222θθθθθθ-==----，故当ππ2π2π422k k θ+<<+，Z k ∈时，sin cos 022θθ->，sincos221cos sin cos sin 2222θθθθθθ-==---当5π3π2π2π422k k θ+<<+，Z k ∈时，sin cos 022θθ-<，cossin221cos sin cos sin 2222θθθθθθ-==--.故选：AB12．已知函数f (x )＝sin(|cos x |)＋cos(|sin x |)，则以下结论正确的是（）A ．f (x )的图象关于直线2x π=对称B ．f (x )是最小正周期为2π的偶函数C ．f (x )在区间(0,)2π上单调递减D ．方程1()2f x x =恰有三个不相等的实数根【答案】ACD【分析】根据对称性，周期性，复合函数单调性可判断选项ABC ，结合单调性和周期性对函数1()2g x x =和()f x 的图象交点情况讨论可判断D.【详解】()sin(cos())cos(sin())sin(sin )cos(cos )222f x x x x x πππ-=-+-=+ ，()sin(cos())cos(sin())sin(sin )cos(cos )222f x x x x x πππ+=+++=+，()()22f x f x ππ∴-=+，故A 正确；()sin(cos())cos(sin())sin(cos )cos(sin )()f x x x x x f x πππ+=+++=+= ，故B 不正确；当(0,2x π∈时，cos t x =单调递减，sin ,(0,1)y t t =∈单调递增，所以，sin(cos )sin(cos )y x x ==单调递减，同理，cos(sin )cos(sin )y x x ==单调递减，故函数()f x 在区间(0,)2π上单调递减，所以C 正确；易知()f x 为偶函数，综上可知：()f x 的周期为π，且在区间(0,)2π上单调递减，在区间(,)2ππ上单调递增，在区间3(,)2ππ上单调递减.令1()2g x x =，因为(0)sin11(0)0f g =+>=，()cos1cos ()2424f g ππππ=<==，故函数()f x 与()g x 的图象在区间(0,)2π内有且只有一个交点；又2()sin11sin 1()422f g ππππ=+>+==，故函数()f x 与()g x 的图象在区间(,)2ππ内有且只有一个交点；又333(cos1()224f g πππ=<=，故函数()f x 与()g x 的图象在区间3(,2ππ内有且只有一个交点.因为(2)sin11(2)f g πππ=+<=，由()f x 周期性和()g x 单调性可知，当2x π>或0x ≤时，两函数图象无交点.综上所述，方程1()2f x x =恰有三个不相等的实数根故选：ACD 三、双空题13．函数()224sin cos f x x x x x =+-π7π424x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭的最小值为___________，此时x 的值为___________.【答案】7π24##7π24【分析】利用三角恒等变换将()224sin cos f x x x x x =-化为只含有一个三角函数的形式π()4cos 26f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.【详解】由题意得()224sin cos f x x x x x=-1cos 21cos 22sin 222x xx +-=⨯-22sin 2x x =-+π4cos 26x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∵π7π424x ≤≤，∴2ππ3π2364x ≤+≤，∴π1cos 262x ⎛⎫≤+≤- ⎪⎝⎭，当πcos 262x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 有最小值此时π3π264x +=，解得7π24x =，故答案为：7π24四、填空题14．已知函数()π3sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在π012⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，则ω的最大值是____.【答案】4【分析】根据正弦型函数的单调性即可求解.【详解】由函数()π3sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间π012⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，可得πππ+1262ω⋅≤，求得4ω≤，故ω的最大值为4，故答案为：415．若()1cos 2αβ-=，()3cos 5αβ+=-，则tan tan αβ=___________.【答案】11-【分析】由余弦的和差角公式得1cos cos 20αβ=-，11sin sin 20αβ=，进而得tan tan 11αβ=-【详解】解：因为()1cos 2αβ-=，所以1cos cos sin sin 2αβαβ+=.因为()3cos 5αβ+=-，所以3cos cos sin sin 5αβαβ-=-，所以1131cos cos 22520αβ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，11311sin sin 22520αβ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以1120tan tan 11120αβ==--.故答案为：11-16．已知函数()sin()f x x ωϕ=+，其中0ω>，||2πϕ，4π-为()f x 的零点，且()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，()f x 在区间,1224ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上有最小值无最大值，则ω的最大值是_______【答案】15【分析】由题意可得4x π=是y ＝f （x ）图像的对称轴，而4x π=-为f （x ）的零点，从而可得214n +•22ππω=，n ∈Z ，由()f x 在区间,1224ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上有最小值无最大值，可得周期T ≥（2412ππ+）8π=，从而可求得ω≤16，然后对ω＝15进行检验即可【详解】由题意知函数()()sin 024f x x x ππωϕωϕ⎛⎫=+≤= ⎪⎝⎭＞，，为y ＝f （x ）图象的对称轴，4x π=-为f （x ）的零点，∴214n +•22ππω=，n ∈Z ，∴ω＝2n +1．∵f （x ）在区间1224ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，上有最小值无最大值，∴周期T ≥（2412ππ+）8π=，即28ππω≥，∴ω≤16．∴要求ω的最大值，结合选项，先检验ω＝15，当ω＝15时，由题意可得4π-⨯15+φ＝kπ，φ4π=-，函数为y ＝f （x ）＝sin （15x 4π-），在区间1224ππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，上，15x 4π-∈[32π-，38π），此时f （x ）在12x π=-时取得最小值，∴ω=15满足题意．则ω的最大值为15.故答案为：15.【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的图像和性质的应用，解题的关键是()4f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，得4x π=是y ＝f （x ）图像的对称轴，再结合4π-为()f x 的零点，可得214n +•22ππω=，n ∈Z ，考查分析问题的能力，属于较难题五、解答题17．已知函数()22cos12xf x x a =+-的最大值为1.(1)求函数()f x 的单调递减区间；(2)若π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求函数()f x 的值域.【答案】(1)42,233ππkπkπ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Zk ∈(2)[]0,1【分析】(1)利用三角恒等变换化简函数解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，ωx ＋φ整体替换进行单调区间的求解；(2)求出ωx ＋φ整体范围，根据正弦型函数图像求其值域﹒【详解】（1）()22cos12x f x x a =+-cos x x a =++2sin 6x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．由()max 21f x a =+=，解得1a =-．又()2sin 16f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则322262πππkπx kπ+≤+≤+，Z k ∈，解得42233ππkπx kπ+≤≤+，Z k ∈，所以函数的单调递减区间为42,233ππkπkπ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈；（2）由π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，则2π366x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，所以1sin 126x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以02sin 116x π⎛⎫≤+-≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的值域为[]0,1．18．已知22sin 2sin12αα=-.（1）求sin cos cos 2ααα+的值；（2）已知()0,απ∈，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2tan 6tan 1ββ-=，求2αβ+的值.【答案】（1）15；（2）74π.【解析】（1）先求出1tan 2α=-，再化简22tan 1tan sin cos cos 2tan 1αααααα+-+=+即得解；（2）先求出1tan 23β=-，再求出tan(2)1αβ+=-，求出52,23παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，即得解.【详解】（1）由已知得2sin cos αα=-，所以1tan 2α=-222222sin cos cos sin tan 1tan 1sin cos cos 2sin cos tan 15αααααααααααα+-+-+===++（2）由2tan 6tan 1ββ-=，可得22tan 1tan 21tan 3βββ==--，则11tan tan 223tan(2)1111tan tan 2123αβαβαβ--++===---⨯.因为0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,βπ∈，又1tan 233β=->，则526πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为()0,απ∈，1tan 23α=->，则5,6παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则52,23παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以724παβ+=.【点睛】易错点睛：本题容易得出两个答案，724παβ+=或34π.之所以得出两个答案，是没有分析缩小,αβ的范围，从而得到52,23παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.对于求角的大小的问题，一般先求出角的某三角函数值，再求出角的范围，再得到角的大小.19．已知函数21()cos 2sin 12sin 22x f x x x ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭，其中x R ∈.（1）求使得1()2f x ≥的x 的取值范围；（2）若函数3()224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且对任意的12,[0,]x x t ∈，当12x x <时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求正实数t 的最大值.【答案】（1）,,4k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦；（2）4π.【分析】（1）化简函数()f x 的解析式，利用正弦函数的性质解不等式即可；（2）构造函数()()()h x f x g x =-，由单调性的定义得出()h x 在区间[0,]t 上为增函数，结合正弦函数的单调性，得出正实数t 的最大值.【详解】解：（1）由题意得，21()cos212sin sin 22224x f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令12242x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，得sin 242x π⎛⎫+≥⎪⎝⎭即3222444k x k πππππ+≤+≤+，故x 的取值范围为,,4k k k Zπππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦（2）由题意得，()()()()1122f x g x f x g x -<-令3()()()sin 2sin 22424h x f x g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos 2sin 2cos 2222222x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2x=即()()12h x h x <故()h x 在区间[0,]t 上为增函数由22222k x k ππππ-≤≤+，Z k ∈得出，44k x k ππππ-≤≤+，Z k ∈则函数()h x 包含原点的单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦即4t π≤故正实数t 的最大值为4π.【点睛】本题主要考查了解正弦不等式以及正弦型函数单调性的应用，属于中档题.20．在①sinα=②2tan 40αα-=这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答.已知角a 是第一象限角，且___________.(1)求tan α的值；(2)3cos()cos(3)2πααπαπ+++-的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)tan α=(2)53【分析】（1）选①：因为sin α=cos α=α是第一象限角，得到cos α=进而求得tan α的值.选②：化简得到(tan 0αα+=，结合角α是第一象限角，进而得到tan α的值.（2）231cos()cos(3)2tan 1παααπαπα++++-=+，结合tan α=代入即可求解.【详解】（1）解：选①：因为sin α=221cos 1sin 3αα=-=，所以cos α=因为角α是第一象限角，所以cos α=sin tan cos ααα==.选②：因为2tan 40αα-=，所以(tan 0αα+=，解得tan α=或tan α=-因为角α是第一象限角，所以tan α.（23)cos()cos(3)2πααπαπ+++-222cos cos cos ααααα=+=+==因为tan α=，所以215tan 13αα+==+，35)cos()cos(3)23πααπαπ+++-=.21．已知0απ<<，0βπ<<，且()3cos cos cos 2αβαβ+-+=，求α、β的值.【答案】3παβ==【分析】首先利用和差化积以及二倍角公式对已知条件()3cos cos cos 2αβαβ+-+=变形整理，得到一个可看作一元二次类的方程，通过对判别式0∆≥、三角函数值的性质以及α、β的范围即可求解.【详解】对()3cos cos cos 2αβαβ+-+=进行变形整理得，232cos2cos 102222a αββαβ+-+⎡⎤---=⎢⎥⎣⎦，即24cos4coscos 10222a αββαβ+-+-+=，上式可看作cos 2αβ+的一元二次方程，此方程有实根，2Δ16cos 1602αβ-=-≥，得2cos 12αβ-≥，但2cos12αβ-≤，∴2cos 12αβ-=，∵0απ<<，0βπ<<，∴222αβπ-π-<<，故0αβ-=，即αβ=，将αβ=代入()3cos cos cos 2αβαβ+-+=，解得1cos 2α=，故3παβ==.22．设a 为常数，函数()sin 2cos(22)1f x a x x π=+-+（x ∈R ）（1）设a ()y f x =的单调递增区间及频率f ；（2）若函数()y f x =为偶函数，求此函数的值域．【答案】（1）增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈，频率1π；（2）[0,2]．【解析】（1）当a ()2sin(2)16f x x π=++，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）由函数()y f x =为偶函数，得到对于任意的x R ∈，均有()()f x f x -=成立，进而求得0a =，即可求得函数的值域.【详解】（1）当a ()2cos 212sin(216f x x x x π=++=++，令222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以此函数的单调递增区间为[,36k k k Z ππππ-+∈，又由函数的()f x 的最小正周期为22T ππ==，所以f 11T π==．（2）由题意，函数()f x 定义域R ，因为函数()y f x =为偶函数，所以对于任意的x R ∈，均有()()f x f x -=成立，即sin(2)cos(2)1sin 2cos 21a x x a x x -+-+=++，即2sin 20a x =对于任意实数x 均成立，只有0a =，此时()cos 21f x x =+，因为1cos 21x -≤≤，所以01cos 22x ≤+≤，故此函数的值域为[0,2]．【点睛】解答三角函数的性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质（单调性、奇偶性、周期、对称轴（中心）最值等），结合整体代换的方法，列出方程求解；2023-2024学年福建省龙岩市高一上册期末数学学情检测模拟试题一、单选题1．已知集合{}1A x x =≥-，{}3,2,1,0,1,2B =---，则()R A B = ð（）A ．{3,2}--B ．{3,2,1}---C ．{0,1,2}D ．{1,0,1,2}-【答案】A【分析】根据集合的运算法则计算．【详解】由题意{|1}R A x x =<-ð，所以(){3,2}R A B =-- ð．故选：A ．2．已知命题:,21x p x x ∃∈≤+N ，则命题p 的否定为（）A ．,21x x x ∃∈>+NB ．,21x x x ∃∈≥+NC ．,21x x x ∀∈≤+N D ．,21x x x ∀∈>+N 【答案】D【分析】由特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题直接可得.【详解】由特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题直接可得：命题:,21x p x x ∃∈≤+N 的否定为：,21x x x ∀∈>+N .故选：D3．设0.21()a e -=，lg 2b =，6cos π5c =，则（）A ．a c b <<B ．c<a<b C ．b<c<a D ．c b a<<【答案】D【分析】由指数函数的性质求得1a >，由对数函数的性质求得(0,1)b ∈，由三角函数的诱导公式，可得0c <，即可得到答案.【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得0.20111()()e ea ->==，由对数函数的性质，可得lg 2lg101b =<=且0b >，即(0,1)b ∈，由三角函数的诱导公式，可得6cos cos()cos 0555c ππππ==+=-<，所以c b a <<.故选：D.4．若()0,θπ∈，1tan 6tan θθ+=，则sin cos θθ+=（）A B ．C ．D ．23【答案】A【分析】利用切化弦化简技巧结合1tan 6tan θθ+=可得出1sin cos 6θθ=，再由()0,θπ∈可得出sin 0θ>，cos 0θ>，再由()2sin cos 12sin cos θθθθ+=+可计算出sin cos θθ+的值.【详解】因为221sin cos sin cos tan 6tan cos sin sin cos θθθθθθθθθθ++=+==，所以1sin cos 6θθ=，()0,θπ∈Q ，则sin 0θ>，cos 0θ>，sin cos 0θθ∴+>.所以()24sin cos 12sin cos 3θθθθ+=+=，所以sin cos θθ+=故选：A.【点睛】本题考查了切化弦思想以及同角三角函数平方关系的应用，利用()2sin cos 12sin cos θθθθ+=+计算是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.5．已知角α的终边上一点00(,2)P x x -0(0)x ≠，则sin cos αα=（）A ．25B ．25±C ．25-D ．以上答案都不对【答案】C【分析】可由题意，利用坐标分别表示出sin cos αα和，然后再计算sin cos αα即可得到答案.【详解】因为角α的终边上一点00(,2)P x x -，所以sin α=cos α20202255sin co s x x αα=-==-.故选：C.6．关于x 的方程()20+25a x a x -+-=在()2,4上有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（）A ．()6,2--B ．()6,4--C ．13,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．13,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据二次函数零点的分布列不等式组求解.【详解】令()2(5)+2a x f a x x -=+-，要满足在()2,4上有两个不相等的实根，则()()()22504313022,42Δ160f a f a aa ⎧=+>⎪=+>⎪⎪⎨-∈⎪⎪=->⎪⎩，解得13,43a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭故选：D7．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2013年4月20日在四川省雅安市芦山县发生7.0级地震级地震的（）倍.A ．310B ．3C ．lg 3D ．310-【答案】A【分析】根据给定条件，利用对数运算性质计算作答.【详解】令日本东北部海域发生里氏9.0级地震释放出来的能量为1E ，芦山县发生7.0级地震释放出来的能量为2E ，则有1122lglg lg (4.8 1.59)(4.8 1.57)3E E E E =-=+⨯-+⨯=，即31210EE =，所以所求结果为310倍.故选：A8．已知函数()22log log 28x xf x =⋅，若()()12f x f x =（其中12x x ≠．），则1219x x +的最小值为（）．A ．34B ．32C ．2D ．4【答案】B【分析】根据二次函数的性质及对数的运算可得1216x x ⋅=，利用均值不等式求最值即可.【详解】()2222222log log (log 1)(log 3)log 4log 328x xf x x x x x =⋅=--=-+ ,由()()12f x f x =，2122log log 4x x ∴+=，即1216x x ⋅=，121933242x x ∴+≥=⨯=，当且仅当1219x x =，即124,123x x ==时等号成立，故选：B 二、多选题9．已知函数1()f x x x=+，||()2x g x =，则下列选项中正确的有（）A ．()f x 为奇函数B ．()g x 为偶函数C ．()f x 的值域为[2,)+∞D ．()g x 有最小值0【答案】AB【分析】由奇偶性定义可判断AB ；利用单调性可判断CD ；【详解】因为0x ≠，()11()⎛⎫-=--=-+=- ⎪⎝⎭f x x x f x x x ，所以()f x 为奇函数，故A 正确；当0x >时，1()2f x x x=+≥，当且仅当1x x =即1x =时等号成立；当0x <时，1()2⎛⎫=--+≤- -⎝⎭f x x x ，当且仅当1x x -=-即=1x -时等号成立；故C 错误；因为x R ∈，所以()()||2-==x g x g x ，所以()g x 为偶函数，故B 正确；当0x ≥时，||()22==x x g x 是单调递增函数，所以()21=≥x g x ；当0x <时，1()22-⎛⎫== ⎪⎝⎭xxg x 是单调递减函数，1()12⎛⎫=> ⎪⎝⎭xg x ，故D 错误；故选：AB.10．以下四个命题，其中是真命题的有（）．A ．命题“,sin 1x x ∀∈≥-R ”的否定是“,sin 1x x ∃∈<-R ”B ．若0a b <<，则11ab->-C ．函数()log (1)1(0a f x x a =-+>且1)a ≠的图象过定点(2,1)D ．若某扇形的周长为6cm ，面积为22cm ，圆心角为α(0π)α<<，则1α=【答案】ACD【分析】对于A ，根据全称命题的否定可判断；对于B ，由不等式的性质可判断；对于C ，由对数函数的性质可判断；对于D ，由扇形的周长、面积公式计算可判断.【详解】对于A ，由全称命题的否定，可知选项A 正确；对于B ，若0a b <<，则0a b ->->，根据1y x=的单调性，可知11a b -<-，故B 不正确；对于C ，当2x =时，log (1(2)2)11a f -+==，故其过定点(2,1)，故C 正确；对于D ，设扇形的半径为r ，弧长为l ，则有2621222r l r l l r +=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=⨯⨯=⎩⎪⎩，又221122122S r ααα==⨯⨯=⇒=，故D 正确.故选：ACD11．已知函数()()log 1(1)a f x x a =+>，下列说法正确的是（）．A ．函数()f x 的图象恒过定点()0,0B ．函数()f x 在区间()0,∞+上单调递减C ．函数()f x 在区间1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为0D ．若对任意[]()1,2,1x f x ∈>恒成立，则实数a 的取值范围是()1,2【答案】ACD【分析】代入验证可判断A ，由复合函数的单调性判断B ，根据绝对值的意义及对数的运算可判断C ，由函数单调性建立不等式求解可判断D.【详解】()0,0代入函数解析式()()log 1(1)a f x x a =+>，成立，故A 正确；当()0,∞+时，1(1,)x +∈+∞，又1a >，所以()()()log 1log 1a a f x x x =+=+，由复合函数单调性可知，()0,x ∈+∞时，()()()log 1log 1a a f x x x =+=+单调递增，故B 错误；当1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，11[,2]2x +∈，所以()()log 1log 10a a f x x =+≥=，故C 正确；当[]1,2x ∈时，()()log 1log (1)1a a f x x x =+=+≥恒成立，所以由函数为增函数知log 21a ≥即可，解得12a <≤，故D 正确.故选：ACD12．已知函数()()lg ,02,4,2 4.x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩若方程()f x m =有四个不等实根1234,,,x x x x ()1234x x x x <<<.下列说法正确的是（）A ．121=x xB ．0lg 2m <<C ．346x x +=D ．3104mx +=【答案】ABD【分析】确定函数解析式，画出函数图像，根据函数得到12lg lg x x =-，化简得到A 正确，根据图像知B 正确，利用均值不等式得到C 错误，计算得到D 正确，得到答案.【详解】当24x <<时，042x <-<，()()()4lg 4f x f x x =-=-，画出函数图像，如图所示：根据图像知：12lg lg x x =-，即()12lg 0x x =，121=x x ，A 正确；0lg 2m <<，B 正确；()32,3x ∈，()43,4x ∈，()()34lg 4lg 4x x -=--，即()()34lg 440x x --=⎡⎤⎣⎦，即()()34441x x --=，展开得到()23434344152x x x x x x +⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭，解得346x x +≤，由于34x x ≠，等号不成立，故C 错误；()3lg 4x m -=，故3410m x -=，3104m x +=，D 正确.故选：ABD 三、填空题13．某城市出租车按如下方法收费：起步价8元，可行3km (含3km )，3km 到10km (含10km )每走1km 加价1.5元，10km 后每走1km 加价0.8元，某人坐该城市的出租车走了20km ，他应交费________元.【答案】26.5【分析】根据题意求出收费钱数y 关于行车路程x 的解析式，即可求解.【详解】设x 为行车路程，y 为收费钱数，则8,038 1.5(3),31018.50.8(10),10x y x x x x <≤⎧⎪=+-<≤⎨⎪+->⎩，∴当x =20时，18.50.8(2010)26.5y =+⨯-=.故答案为：26.5.14．计算cos104sin 80sin10︒︒-=︒______【答案】3-【分析】由二倍角的正弦公式可得：原式2sin 20cos10sin10-=，由两角和差的正弦公式可得2sin 20cos10sin10-= 2sin(3010)cos10sin10--，再化简求值即可.【详解】解：cos104sin 80sin10cos104sin 80sin10sin10︒-︒-=︒ 4sin10cos10cos10sin10-= 2sin 20cos10sin10-=2sin(3010)cos10sin10--= 2sin 30cos102cos30sin10cos10sin10--=2cos30sin10sin10-=，故答案为：【点睛】本题考查了三角恒等变换及两角和差的正弦公式，属基础题.15．已知()1sin 533α︒-=，且27090α-︒<<-︒，则()sin 37α︒+=______.【答案】3-【分析】根据诱导公式进行三角恒等变换，根据已知三角函数值和角的范围进一步细化角的范围，再利用同角的三角函数基本关系式即可求解.【详解】()[]sin 37sin 90(53)cos(53)ααα︒+=︒-︒-=︒-，又27090α-︒<<-︒，所以14353323α︒<︒-<︒，又()1sin 5303α︒-=>，所以14353180α︒<︒-<︒，所以cos(53)α︒-为负值，所以cos(53)3α︒-===-.故答案为：16．已知函数241,1()log 3,1xx f x x x ⎧-⎪=⎨+>⎪⎩集合21()2()02M x f x t f x t ⎧⎫⎛⎫=-++=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∣，若集合M 中有3个元素，则实数t 的取值范围为________．【答案】{|0t t =或1}2t ≥【分析】令()f x m =，记21(2)02m t m t -++=的两根为12,m m ，由题知()f x 的图象与直线12,y m y m ==共有三个交点，从而转化为一元二次方程根的分布问题，然后可解.【详解】令()f x m =，记21()(22g m m t m t =-++的零点为12,m m ，因为集合M 中有3个元素，所以()f x 的图象与直线12,y m y m ==共有三个交点，则，12001m m =⎧⎨<<⎩或12101m m =⎧⎨<<⎩或12001m m >⎧⎨<<⎩当10m =时，得0=t ，212m =，满足题意；当11m =时，得12t =，212m =，满足题意；当12001m m >⎧⎨<<⎩时，(0)01(1)1202g t g t t =>⎧⎪⎨=--+<⎪⎩，解得12t >.综上，t 的取值范围为{|0t t =或1}2t ≥.故答案为：{|0t t =或1}2t ≥四、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的非负半轴，终边经过点(2,1)P -，求下列各式的值：(1)2sin +3sin cos ααα；(2)3sin()cos()tan()2sin()cos()2αααααπ+-π-ππ-+．【答案】(1)-1(2)2【分析】根据三角函数的定义，1tan 2α=-，再利用三角恒等变换，分别化简两个式子，将正切值代入，即可得到答案；【详解】（1）根据三角函数的定义，1tan 2α=-．原式222222211()3()sin +3sin cos tan 3tan 2211sin +cos tan 1()12αααααααα-+-+====-+-+；（2）原式cos cos (tan )12sin (sin )tan αααααα-⋅⋅-=-=⋅-．18．设函数()()2lg 1f x x =-的定义域为集合(),A g x =的定义域为集合B ．(1)当1a =时，求()A B R ð；(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】(1)()1,12A B ⎡⎤⋂=-⎢⎥⎣⎦R ð(2)1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）求出集合A ，B ，根据集合的补集、交集运算求解即可；（2）由必要条件转化为集合间的包含关系，建立不等式求解即可.【详解】（1）由210x ->，解得1x >或1x <-，所以()(),11,A =-∞-+∞ ．[]R 1,1A =-ð．当1a =时，由1930x +-≥，即2233x +≥，解得21x ≥-，所以1,2B ⎡⎫=-+∞⎪⎢⎣⎭．所以()1,12A B ⎡⎤⋂=-⎢⎥⎣⎦R ð．（2）由（1）知，()(),11,A =-∞-+∞ ．由930x a +-≥，即2233x a +≥，解得12x a ≥-，所以1,2B a ⎡⎫=-+∞⎪⎢⎣⎭．因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，所以B A ⊆．所以112a ->，解得12a <-．所以实数a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．19．已知3cos()cos sin 22()sin(3)sin()cos()x x x f x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+-+.(1)若1()2f α=，求2sin cos 2sin ααα+的值.(2)若()2f αβ-=-，()7f β=，且α､(0,)βπ∈，求2αβ-的值.【答案】(1)65(2)34π-【分析】（1）利用诱导公式求出()cos sin xf x x=-，进一步得出tan 2α=-，再由齐次式即可求解.（2）由题意可得1tan()2αβ-=，1tan 7β=-，再由两角和的正切公式即可求解.【详解】（1）3cos()cos sin (cos )(sin )(cos )22()sin(3)sin()cos()(sin )(sin )(cos )x x x x x x f x x x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭==+-+---cos sin x x=-由已知，cos 1()sin 2f ααα=-=，得tan 2α=-所以2222sin cos 2sin sin cos 2sin sin cos αααααααα++=+22tan 2tan tan 1ααα+=+286415-+==+（2）依题意，由()2f αβ-=-，()7f β=可知1tan()2αβ-=，1tan 7β=-，∴11tan()tan 127tan tan[()]11tan()tan 3114αββααββαββ--+=-+===--+，∴tan()tan tan(2)tan[()]11tan()tan αβααβαβααβα-+-=-+==--.∵1tan 07β=-<，∴2πβπ<<.又∵1tan 03α=>，∴02πα<<.∴0παβ-<-<.而1tan()02αβ-=>，∴2ππαβ-<-<-.∴2(,0)αβπ-∈-.∴324παβ-=-.20．已知函数4()2x xbf x +=为奇函数．(1)求实数b 的值，并用定义证明()f x 在R 上的单调性；(2)若不等式()1422(21)0x x f f m +-+++≤对一切[2,2]x ∈-恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)1b =-，证明见解析(2)112m ≤-【分析】（1）根据奇偶性定义和函数的单调性证明即可求解；（2）根据函数性质进行变形理解即可得解.【详解】（1）∵函数4()2x xb f x +=的定义域为R ，且为奇函数，∴(0)10f b =+=，解得1b =-．此时4114()()22x xx x f x f x -----===-，所以()f x 为奇函数，所以1b =-．()f x 是R 上是单调递增函数.证明：由题知4411()2222x x x x x x b f x +-===-，设12x x <，则()()()()1212212122112121212211222222222212xxx x x x x x x x x x x x x x f x f x +++--⎛⎫⎛⎫-=---=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+∵12x x <∴1222x x <，1220x x +>∴()()120f x f x -<即()()12f x f x <，所以()f x 在R 上是单调递增函数．（2）因为()y f x =是R 上的奇函数且为严格增函数，所以由()1422(21)0x x f f m +-+++≤，可得()1422(21)(21)x x f f m f m +-+≤-+=--，即142221x x m +-+≤--对一切[2,2]x ∈-恒成立．令2x t =，1,44t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设2()22g t t t =-+，所以max ()(4)10g t g ==，即1021m ≤--，解得112m ≤-．21．某工厂产生的废气，过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：/L mg ）与时间t （单位：h ）间的关系为0e ktP P -=，其中0P ，k 是正的常数.如果在前5h 消除了10%的污染物，请解决下列问题：(1)10h 后还剩百分之几的污染物？(2)污染物减少50%需要花多少时间（精确到1h ）？（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）【答案】(1)10h 后还剩下81%的污染物(2)33h【分析】（1）根据0=t 时0P P =得到5t =时()0110%P P =-，然后将5t =代入0ektP P -=中得到()500110%k P P --=e ，解得1ln 0.95k =-，即可得到500.9tP P =，然后将10t =代入求P 即可；（2）令050%P P =，然后列方程求t 即可.【详解】（1）由0ektP P -=可知，当0=t 时，0P P =；当5t =时，()0110%P P =-，于是有()500110%kP P --=e ，解得1ln 0.95k =-，那么500.9t P P =.所以，当10t =时，00.81P P =，即10h 后还剩下81%的污染物.（2）当050%P P =时，有5000.50.9t P P =，解得0.90.9lg 2lg 25log 0.55log 25533lg 0.92lg 3lg10t ==-=-⨯=-⨯≈-，即污染减少50%大约需要花33h.22．定义：若对定义域内任意x ，都有()()f x a f x +>（a 为正常数），则称函数()f x 为“a 距”增函数．（1）若()2xf x x =-，x ∈(0，+∞)，试判断()f x 是否为“1距”增函数，并说明理由；（2）若()3144f x x x =-+，x ∈R 是“a 距”增函数，求a 的取值范围；（3）若()22x k xf x +=，x ∈(﹣1，+∞)，其中k ∈R ，且为“2距”增函数，求()f x 的最小值．【答案】（1）见解析；（2）1a >；（3）()24min2,201,0kk f x k -⎧⎪-<<=⎨⎪≥⎩.【分析】（1）利用“1距”增函数的定义证明()()10f x f x +->即可；（2）由“a 距”增函数的定义得到()()2213304f x a f x x xa a +-=++->在x ∈R 上恒成立，求出a 的取值范围即可；（3）由()f x 为“2距”增函数可得到()()2f x f x +>在()1x ∈+∞﹣，恒成立，从而得到()2222x k x x k x +++>+恒成立，分类讨论可得到k 的取值范围，再由()2222422k k x xk xf x ⎛⎫+-⎪+⎝⎭==，可讨论出()f x 的最小值．【详解】（1）任意0x >,()()()()1121221x x xf x f x x x +⎡⎤+-=-+--=-⎣⎦,因为0x >,21>,所以21x >，所以()()10f x f x +->，即()f x 是“1距”增函数．（2）()()()()332231114433444f x a f x x a x a x x x a xa a a ⎡⎤⎛⎫+-=+-++--+=++- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.因为()f x 是“a 距”增函数，所以22313304x a xa a a ++->恒成立，因为0a >,所以2213304x xa a ++->在x ∈R 上恒成立，所以221=91204a a ⎛⎫∆--< ⎪⎝⎭，解得21a >，因为0a >,所以1a >.（3）因为()22x k xf x +=，()1,x ∈-+∞，且为“2距”增函数，所以1x >-时，()()2f x f x +>恒成立，即1x >-时，()222222x k x x k x++++>恒成立，所以()2222x k x x k x +++>+，当0x ≥时，()()2222x k x x kx +++>+，即4420x k ++>恒成立，所以420k +>,得2k >-;当10x -<<时，()()2222-x k x x kx +++>，得44220x kx k +++>恒成立，所以()()120x k ++>,得2k >-,综上所述，得2k >-.又()2222422k k x xk xf x ⎛⎫+-⎪+⎝⎭==，因为1x >-,所以0x ≥，当0k ≥时，若0x =，2224k k x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭取最小值为0；当20k -<<时，若2k x =-，2224k k x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭取最小值.因为2x y =在R 上是单调递增函数，所以当0k ≥，()f x 的最小值为1；当20k -<<时()f x 的最小值为242k -，即()242,201,0kmink f x k -⎧⎪-<<=⎨⎪≥⎩.【点睛】本题考查了函数的综合知识，考查了函数的单调性与最值，考查了恒成立问题，考查了分类讨论思想的运用，属于中档题．。

龙岩市2021～2022学年第一学期期末高一教学质量检查数学试题（考试时长：120分钟满分150分）注意：1．试题共4页,另有答题卡,解答内容一律写在答题卡上,否则不得分．2．作图请使用2B 铅笔,并用黑色签字笔描画．第Ⅰ卷（选择题共60分）一，单项选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出地四个选项中,只有一个符合题目要求．请把结果填涂在答题卡上．1．已知集合{}*4A x x =∈<N ,{}0,1,2,3,4,5,6B =,则A B = A．{}0,1,2,3B．{}5,6C．{}4,5,6D．{}1,2,32．设()2,10,()6,10,x x f x f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩则()9f =A．10B．11C．12D．133．已知2log 0.3a =,0.23b =,0.3c =,则A．a b c <<B．a c b<<C．c a b<<D．b c a<<4．函数2()1xf x x=-地图象大约是A B C D5．已知定义域为R 地函数()f x 满足：()()4f x f x +=,且()()0f x f x --=,当20x -≤≤时,()2xf x =,则(2022)f 等于A.14B.12C.2D.46．已知sin 136πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则2cos(2)3πα+=A．79B．79-C．29D．29-7．高斯是德国著名地数学家,近代数学奠基者之一,享有数学王子地美誉,他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家,用其姓名命名地“高斯函数”为[]y x =,其中[]x 表示不超过x 地最大整数,例如[]3.54-=-,[]2.12=,已知函数()11x x e f x e -=+,令函数()()g x f x ⎡⎤=⎣⎦,则()g x 地值域为A．(1,1)-B．{}1,1-C．{}1,0-D．{}1,0,1-8．若函数()f x 地定义域为D ,满足：①()f x 在D 内是单调函数。

2023-2024学年福建省龙岩市高一上册期末质量检查数学模拟试题一、单选题1．若函数()||3x f x x =-的定义域为集合M ，则M =（）A ．[2,)+∞B ．(3,)+∞C ．[2,3)D ．[2,3)(3,)⋃+∞【正确答案】D【分析】利用被开方数不小于零，分母不为零列不等式求解.【详解】由已知得2030x x -≥⎧⎨-≠⎩，解得2x ≥且3x ≠，即函数()||3f x x =-的定义域为集合[2,3)(3,)M =+∞ .故选：D.2．命题p ：“0,2sin 0x x x ∀>-≥”的否定为（）A ．0,2sin 0x x x ∃>-<B ．0,2sin 0x x x ∃<-<C ．0,2sin 0x x x ∀>-<D ．0,2sin 0x x x ∀<-<【正确答案】A【分析】利用全称命题的否定是特称命题可得答案.【详解】根据全称命题的否定是特称命题可得，命题p ：“0,2sin 0x x x ∀>-≥”的否定为“0,2sin 0x x x ∃>-<”.故选：A3．cos 225︒的值是（）A ．B ．2C ．12-D ．2【正确答案】B【分析】利用诱导公式将大角变小角，然后根据特殊角的三角函数得答案..【详解】()cos 225cos 18045cos 452︒=︒+︒=-︒=-.故选：B.4．已知0.20.10.30.3,0.3,log 3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．<<c a bD ．<<b c a【正确答案】C【分析】利用对数函数和指数函数的单调性来比较大小.【详解】由0.3x y =在R 上单调递减得0.20.10010.30.30.3a b <=<<==，又0.3log y x =在()0,∞+上单调递减得0.30.3log 3log 10c =<=，<<c a b ∴，故选：C.5．对于等式sin 3cos 2cos x x x =+，下列说法中正确的是（）A ．对x ∀∈R ，等式都成立B ．对x ∀∈R ，等式都不成立C ．当0x =时，等式成立D ．x ∃∈R ，等式成立【正确答案】D【分析】利用特殊值判断即可.【详解】因为()sin 3sin 2sin 2cos cos 2sin x x x x x x x =+=+，当0x =时sin 30x =，cos cos 21x x ==，显然不满足sin 3cos 2cos x x x =+，故C 错误，A 错误；当π2x =时3πsin 3sin12x ==-，πcos cos 02x ==，cos 2cos π1x ==-，此时满足sin 3cos 2cos x x x =+，故D 正确，B 错误；故选：D6．若定义在R 上的奇函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，且(3)0f =，则满足(2)0xf x -<的x 的取值范围为（）A ．(,1)(2,5)-∞-B ．(,1)(0,5)-∞- C ．(1,0)(2,5)- D ．(1,0)(5,)-+∞ 【正确答案】C【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于零，分类转化为对应自变量不等式组，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，且(3)0f =，所以()f x 在(,0)-∞上也是单调递增，且(3)0f -=，(0)0f =，所以当(,3)(0,3)x ∈-∞-⋃时，()0f x <，当(3,0)(3,)x ∈-+∞ 时，()0f x >，所以由()20xf x -<，可得0320x x <⎧⎨-<-<⎩或0023x x >⎧⎨<-<⎩解得10x -<<或25x <<，即(1,0)(2,5)x ∈- ，故选：C.7．在ABC 中，135B ∠=︒，若BC 边上的高等于12BC ，则sin BAC ∠的值为（）A B C ．10D ．10【正确答案】A【分析】先根据条件作图，得到ADB 为等腰直角三角形且13AD DC =，进而可求得sin ,cos C C ，再将πsin sin 4BAC C ⎛⎫∠=- ⎪⎝⎭展开计算可得答案.【详解】如图过A 作AD BC ⊥交CB 的延长线于点D ，则12AD BC =，135ABC ∠=︒，则45ABD ∠=︒，即ADB 为等腰直角三角形，AD BD ∴=，即13AD DC =，设AD t =，0t >，则3DC t =，AC ===，sinAD DCC C AC AC ∴===πsin sin4225BAC C ⎛⎫∴∠=-== ⎪⎝⎭.故选：A.8．函数1()1cos πsin(1)π2f x x x x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭在区间711,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有零点之和为（）A ．6B ．8C ．12D ．16【正确答案】B【分析】根据题意整理可得()1sin π11x x x =≠-，将函数()f x 的零点问题转化为sin πy x =与11y x =-的交点问题，利用图象结合对称性分析运算.【详解】由题意可得：1()1cos πsin(1)π1cos πsin(ππ)1sin πsin π22πf x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-++=+-++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()0f x =，且(1)10f =≠，可得()1sin π11x x x =≠-，∵sin πy x =与11y x =-均关于点()1,0对称，由图可设sin πy x =与11y x =-的交点横坐标依次为12345678,,,,,,,x x x x x x x x ，根据对称性可得182736452x x x x x x x x +=+=+=+=，故函数()f x 在711,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上所有零点之和为248⨯=.故选：B.方法点睛：判断函数零点个数的方法（1）直接求零点：令f (x )＝0，则方程解的个数即为零点的个数；（2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a ，b ]上是连续的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点；（3）数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．二、多选题9．若二次函数2()(2)1f x x a x =+-+在区间[]1,2-上是增函数，则a 可以是（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【正确答案】AB【分析】根据单调性得二次函数的对称轴和区间的位置关系，据此列不等式求解即可.【详解】二次函数2()(2)1f x x a x =+-+对称轴为2122a ax -=-=-，因为二次函数2()(2)1f x x a x =+-+在区间[]1,2-上是增函数，所以112a-≤-，解得0a ≤.故选：AB.10．下列说法正确的是（）A ．不等式2230x x --<的解集是(1,3)-B ．若正实数x ，y 满足4x y +=，则xy 的最大值为2C ．若x ∈R ，则311x x +≥+-D ．不等式245sin 0x x x -+-≥对x ∈R 恒成立【正确答案】AD【分析】对A ：解一元二次不等式即可判断；对B 、C ：利用基本不等式分析判断；对D ：整理可得()()2245sin 21sin x x x x x -+-=-+-，结合正弦函数的有界性分析判断.【详解】对A ：2230x x --<，解得13x -<<，故不等式2230x x --<的解集是(1,3)-，A 正确；对B ：∵,0x y >，则()244x y xy +≤=，当且仅当2x y ==时等号成立，B 错误；对C ：∵x ∈R ，令1t x =-，则1x t =+，可得3311x t x t+=++-，当0t >时，则3111t t ++≥=，当且仅当3t t =，即1t x ==时等号成立；当0t <时，则()3311121t t t t ⎛⎫-++=-+-≥= ⎪-⎝⎭，当且仅当3t t -=-，即1t x ==时等号成立故311t t++≤-+；综上所述：()3,11,1x x ⎤⎡+∈-∞-+∞⎦⎣-U ，C 错误；对D ：()()2245sin 21sin x x x x x -+-=-+-，∵()220,1sin 0x x -≥-≥，∴不等式245sin 0x x x -+-≥对x ∈R 恒成立，D 正确.故选：AD.11．设()sin 2cos 2f x a x b x =+，共中a ，b 是正实数．若π()12f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则（）A ．π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()f x 的单调递增区间是π2ππ,π()63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z C ．223f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．不存在正实数a ，b ，使得()2f a b>【正确答案】ACD【分析】根据题意结合辅助角公式分析运算可得0b =>，进而可得π()2sin 23f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合正弦函数性质逐项分析判断.【详解】由辅助角公式可得：()()sin 2cos 22f x a x b x x ϕ=++，由题意可得：12f π⎛⎫⎪⎝⎭为函数()f x 的最大值，则ππ1sin 2cos 2121222a b a b ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得)20b-=，即0b =>，∴π()sin 2cos 2sin 2cos 22sin 23f x a x b x a x a x a x ⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭，对A ：π2sin π03f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，A 正确；对B ：∵0a >，令πππ2π22π,232k x k k -≤+≤+∈Z ，解得5ππππ,1212k x k k -≤≤+∈Z ，故()f x 的单调递增区间是5πππ,π()1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，B 错误；对C：ππ24ππππ2sin π2sin ,2sin 2sin 2π2sin 23333333f a a f a a a ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-==+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故223f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎝⎭⎝⎭，C 正确；对D ：对,0a b ∀>，则()22f a a b ≤<=恒成立，故不存在正实数a ，b ，使得()2f a b >，D 正确.故选：ACD.12．已知函数2()log (0)f x a x a c b +=->的图象过点(0,1)A 和点(1,0)B -，且图象无限接近直线2x =-，则（）A ．(4)1f -=B ．函数()f x 的递增区间为(3,2)--和(0,)+∞C ．函数(2)f x -是偶函数D ．方程22()420f x x x m ++-+=有4个解【正确答案】ACD【分析】首先判断函数的对称性即可的2b =-，再根据函数过点的坐标，得到方程组，求出a 、c 的值，即可得到函数解析式，从而作出函数图象，结合图象一一分析即可.【详解】解：因为2()log ||(0)f x a x b c a =-+>，所以()2log f x b a x c +=+，()2log f b x a x c -=+，即()()f x b f b x +=-，所以函数()f x 的图象关于直线x b =对称，又已知其图象无限接近直线2x =-，2b ∴=-，2()log 2f x a x c ∴=++，由已知得220log 21log 10a a c a c >⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，1a c =⎧∴⎨=⎩，2()log 2f x x ∴=+，()y f x =的图象如图所示：所以2(4)log 421f -=-+=，故A 选项正确.由图可知()f x 的单调递增区间为(3,2),(1,)---+∞，所以B 错误.又2(2)log f x x -=为偶函数，所以C 正确由22()420f x x x m ++-+=即22()42f x x x m =--+-，记2222()42(2)2g x x x m x m =--+-=-+++注意到最大值2(2)22g m -=+≥，2(1)11g m -=+≥，且g (x )开口向下，所以()y f x =与()y g x =有4个交点，即方程22()420f x x x m ++-+=有4个解，所以D 正确.故选：ACD.三、填空题13．2lg2lg25+=______．【正确答案】2【分析】通过同底对数的运算法则，求得结果.【详解】2lg2lg25lg4lg25lg1002+=+==本题正确结果：2本题考查对数的运算，属于基础题.14．设()cos 24cos f x x x =+，若对任意实数x 都有()a f x ≤成立，则实数a 的取值范围是__________．【正确答案】(],3-∞-【分析】将问题转化为min ()a f x ≤，然后利用换元法将()f x 转化为二次函数，利用二次函数的性质求最小值即可.【详解】若对任意实数x 都有()a f x ≤成立，则min ()a f x ≤，又2()cos 24cos 2cos 4cos 1f x x x x x =+=+-，令[]cos ,1,1x t t =∈-，()2()241g t f x t t ∴==+-，[]1,1t ∈-，其对称轴为1t =-，故函数()g t 在[]1,1-上单调递增，()min ()12413f x g =-=--=-，3a ∴≤-.故答案为.(],3-∞-15．如图，已知AB 是半径为2的圆的直径，点C ，D 在圆上运动且//CD AB ，则当梯形ABCD 的周长最大时，梯形ABCD 的面积为__________．【正确答案】【分析】连接AC ，设BAC θ∠=，过点C 作CE AB ⊥交AB 于点E ，过点D 作DF AB ⊥交AB于点F ，即可表示出BC ，BE ，CD ，再根据平面几何的性质得到AD BC =，从而表示出ABCD C ，结合二次函数的性质求出ABCD C 的最大值及此时θ的值，再根据梯形面积公式计算可得.【详解】连接AC ，设BAC θ∠=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，过点C 作CE AB ⊥交AB 于点E ，过点D 作DF AB ⊥交AB 于点F ，设圆的半径为R ，则2R =，则2sin BC R θ=，2πcos 2sin 2BE BC R θθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，因为//CD AB ，所以»»BC AD =，则AD BC =，即梯形ABCD 为等腰梯形，所以2224sin CD EF AB BE R R θ==-=-，所以224sin 24sin ABCD C AB BC CD DA R R R R θθ=+++=++-22188sin 8sin 8sin 102θθθ⎛⎫=+-=--+ ⎪⎝⎭，所以当1sin 2θ=，即π6θ=时，()max 10ABCD C =，所以2BC =，4AB =，π3ABC ∠=，所以πsin 3CE BC ==214822CD ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭，所以()1242ABCD S =⨯+=故答案为.16．已知函数()y f x =，若在定义域内存在实数x ，使得()()f x f x -=-，则称函数()y f x =为定义域上的局部奇函数．若函数3()log ()f x x m =+是[2,2]-上的局部奇函数，则实数m 的取值范围是__________．【正确答案】(【分析】有函数有意义，及局部奇函数的定义，列出不等式求解.【详解】由3()log ()f x x m =+是[]22-,上的局部奇函数，所以0x m +>在[]22-,上恒成立，所以20m ->，即m>2，由局部奇函数的定义，存在[]2,2x ∈-，使得33log ()log ()x m x m -+=-+，即存在[]2,2x ∈-，使得22333log ()log ()log ()0x m x m m x -+++=-=，所以存在[]2,2x ∈-，使得221m x -=，即221m x =+，又因为[]2,2x ∈-，所以[]211,5x +∈，所以[]21,5m ∈，即1m ⎡⎤⎡∈-⎣⎦⎣ ，综上(m ∈.故答案为.(关键点点睛：本题注意隐含条件，3()log ()f x x m =+是[]22-,上的局部奇函数，必须3()log ()f x x m =+在[]22-,上有意义恒成立.四、解答题17．已知集合{}221216,430,08x A x B x x ax a a ⎧⎫=≤≤=-+≤>⎨⎬⎩⎭．(1)若2a =，求A B ⋃；(2)若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1){}36x x -≤≤(2)()(),14,-∞-⋃+∞【分析】（1）代入2a =，求出集合A ，B ，然后求并集即可.（2）解含参的二次不等式得集合B ，再根据A B ⋂=∅列不等式求解即可.【详解】（1）{}{}341216222348x x A x x x x -⎧⎫=≤≤=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，当2a =时，{}()(){}{}2812026026B x x x x x x x x =-+≤=--≤=≤≤，{}36A B x x ∴⋃=-≤≤；（2）{}()(){}{}22430,030,03B x x ax a a x x a x a a x a x a =-+≤>=--≤>=≤≤，又由（1）{}34A x x =-≤≤，A B =∅ ，33a ∴<-或4a >，∴实数a 的取值范围是()(),14,-∞-⋃+∞.18．已知cos2()t(πanπ)fααα⎛⎫+⎪⎝⎭=+．(1)求π6f⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2)若35(),,π,cos,521π3fααββ⎛⎫=∈=-⎪⎝⎭是第三象限角，求cos()αβ+的值．【正确答案】(1)(2)63 65【分析】（1）先化简，然后代入π6x=计算即可；（2）先根据条件求出sinα和sinβ，再利用两角和的余弦公式计算cos()αβ+即可.【详解】（1）由已知得cossin sin2()cossintan(π)tancosπfααααααααα⎛⎫+⎪-⎝⎭===-=-+，πcos66π2f⎛⎫∴=-=⎪⎝⎭；（2）由（1）得3()cos5fαα=-=，即3cos5α=-，又π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得4sin5α=，5cos,13ββ=-是第三象限角，sin1312β∴=-，3541263cos()cos cos sin sin51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-=-⨯--⨯-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．19．已知幂函数()21()2910mf x m m x-=-+为偶函数，()()(R)kg x f x kx=+∈．(1)若(2)5g=，求k；(2)已知2k≤，若关于x的不等式21()02g x k->在[1,)+∞上恒成立，求k的取值范围．【正确答案】(1)2k=(2)12k<≤【分析】（1）先利用幂函数的定义及性质求出()f x，再利用(2)5g=列方程求出k；（2）将问题转化为22min 12k x k x ⎡⎤+>⎢⎥⎣⎦，构造函数()2k h x x x =+，利用函数单调性的定义判断()h x 的单调性，根据单调性可求得()min h x ，进而可得k 的取值范围【详解】（1）对于幂函数()21()2910m f x m m x -=-+，得229101m m -+=，解得32m =或3m =，又当32m =时，12()f x x =不为偶函数，3m ∴=，2()f x x ∴=，2()k g x x x ∴=+，(2)452k g ∴=+=，解得2k =；（2）关于x 的不等式21()02g x k ->在[1,)+∞上恒成立，即22102k x k x +->在[1,)+∞上恒成立，即22min 12k x k x ⎡⎤+>⎢⎥⎣⎦，先证明()2k h x x x =+在[1,)+∞上单调递增：任取121x x >>，则()()()()1212221212121212x x x x k kk h x h x x x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫-=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，121x x >> ，120x x ∴->，()12122x x x x +>，又2k ≤，()12120x x x x k ∴+->，()()120h x h x ∴->，即()()12h x h x >，故()2k h x x x=+在[1,)+∞上单调递增，()()min 11h x h k ∴==+，2112k k ∴+>，又2k ≤，解得12k <≤.20．已知函数44()cos sin cos ()f x x x x x x =--∈R ．(1)求()f x 的最小正周期；(2)将函数()f x 的图象向右平移π3，得到函数()g x 的图象．求函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域．【正确答案】(1)π(2)[]1,2-【分析】（1）先利用三角恒等变形的公式将函数变形为()cos y A x ωϕ=+的形式，进而可得最小正周期；（2）先通过平移求出函数()g x 的解析式，再利用余弦函数的图像和性质可求得值域.【详解】（1）44()cos sin cos f x x x x x=--()()2222cos sin cos sin 2x x x x x=-+-cos 22=-x xπ2cos 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x ∴的最小正周期2ππ2T ==（2）函数()f x 的图象向右平移π3得()πππcos 2cos 233232x x g x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎦=⎝⎭⎣，02x ≤≤π ，ππ2π2333x ∴-≤-≤，当π2π233x -=，即π2x =时，()min 1π2g x g ⎛= ⎪⎝⎭=-⎫，当π203x -=，即π6x =时，()max 2π6g x g ⎛⎫=⎪⎝⎭= ，故函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为[]1,2-.21．我国十四五规划和2035年远景目标明确提出，要“增进民生福祉，不断实现人民对关好生活的向往”．大众旅游时代已经来临，旅游不再是一种奢侈品，已逐渐成为现代人的幸福必品；也不再是传统的走马观花式的“到此一游”，而逐渐转变为一种旅居度假的“生活方式”，“微度假”已成为适合后疫情时代旅游休闲的一种主流模式．如图，某度假村拟在道路的一侧修建一条趣味滑行赛道，赛道的前一部分为曲线ABM ，当[0,3)x ∈时，该曲线为二次函数图象的一部分，其中顶点为(2,1)B ，且过点(3,2)M ；赛道的后一部分为曲线MN ，当[3,9]x ∈时，该曲线为函数log (1)a y x b =-+（0a >，且1a ≠）图象的一部分，其中点(9,0)N．(1)求函数关系式()y f x =；(2)已知点5,4P ()，函数()3()2(39)f x h x x -=≤≤，设点Q 是曲线()y h x =上的任意一点，求线段PQ 长度的最小值．【正确答案】(1)21245,03()log (1)3,39x x x f x x x ⎧-+≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩(2)min PQ =【分析】（1）当[0,3)x ∈时，设()()221f x m x =-+，带入(3,2)M 求出()f x ，当[3,9]x ∈时，把点(3,2)M ，(9,0)N 分别带入log (1)a y x b =-+，求出()f x ；（2）根据（1）求出1()1h x x =-，根据两点之间距离公式和二次函数性质求出线段PQ 长度的最小值．【详解】（1）由题意得，当[0,3)x ∈时，设()()221f x m x =-+，因为曲线过点(3,2)M ，所以12m +=，则1m =，所以22()(2)145f x x x x =-+=-+，当[3,9]x ∈时，把点(3,2)M ，(9,0)N 分别带入log (1)a y x b =-+，即log 22log 80a a b b +=⎧⎨+=⎩，解得123a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以21245,03()log (1)3,39x x x f x x x ⎧-+≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩.（2）由条件得1122log (1)33log (1)1()22(39)1x x h x x x -+--===≤≤-，设1,(39)1Q x x x ⎛⎫≤≤ ⎪-⎝⎭，又因为点5,4P ()，则22222118(14)(4)(1)8(1)32111PQ x x x x x x ⎛⎫=--+-=---+-+ ⎪---⎝⎭，设1(28)x t t -=≤≤，则22221811832830PQ t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，函数1u t t =+在[]2,8t ∈上单调递增，所以565,28u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，22830PQ u u =-+，当4u =，即3x =+min PQ 22．已知函数4(),()log 41x a a f x a g x x ==-，其中0a >，且1a ≠．(1)当2a =时，判断函数()()()F x f x g x =-零点的个数；(2)设函数()h x 的定义域为D ，若()()()123123,,,,,x x x D h x h x h x ∀∈均为某一三角形的三边长，则称()h x 为“可构造三角形函数”．已知函数()log (41)(4)()(4)1a g x x f x a w x f x +-+=+是“可构造三角形函数”，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)1个(2)()0,1【分析】（1）首先求出()F x 的解析式，再判断函数的单调性，结合零点存在性定理判断即可；（2）首先求出()w x 的解析式，依题意只需min max 2()()w x w x >即可，分10a 4<<、14a =、114a <<、1a >四种情况讨论，分别求出函数的值域，即可得到不等式，从而求出参数的取值范围.【详解】（1）解：当2a =时，因为()28()()2log 41x F x f x g x x =-=--=22log (41)3x x +--，2223(1)2log 33log 31log 02F =+-=-=> ，21()log 13302F =+-=<，()1102F F ⎛⎫∴⋅< ⎪⎝⎭，又因为2x y =，41y x =-及2log y x =在定义域上均单调递增，所以2()2log (41)3x F x x =+--在1,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，故函数()()()F x f x g x =-在1,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有且只有一个零点.（2）解：由于函数444441()111x x x a a a w x a a +-==+++是“可构造三角形函数”，其定义域为1,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为0a >且1a ≠，要使得()w x 是可构造三角形函数，只需min max 2()()w x w x >即可，当10a 4<<时，41x y a =+在1,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减且4111x a a <+<+，41a y x -=在()1,1a +上单调递增，所以441()11x a w x a -=++是1,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上的减函数，则()w x 的值域为54,1a a a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，由581a a a ≥+得885a +≥恒成立，所以10a 4<<；当14a =时，()1w x =，符合题意；当114a <<时，41x y a =+在1,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减且4111x a a <+<+，41a y x -=在()1,1a +上单调递减，所以441()11x a w x a -=++是1,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上的增函数，则()w x 的值域为5,41a a a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，由1041a a a ≥+，解得32a ≤，又114a <<，故114a <<；当1a >时，41x y a =+在1,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增且411x a a +>+，41a y x -=在()1,a ∞++上单调递减，所以441()11x a w x a -=++是1,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上的减函数，则()w x 的值域为51,1a a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，由521a a ≥+得23a ≤，又1a >，所以a ∈∅，综上，实数a 的取值范围为()0,1.。

2023-2024学年福建省龙岩市高一上册期末数学质量检测模拟试题一、单选题1．已知集合{}2230M x x x =--<，{}1,0,1,2,3N =-，则M N ⋂=（）A ．{}0,1,2B ．{}1,0,1,2-C ．{}1,0,2,3-D ．{}0,1,2,3【答案】A【分析】解一元二次不等式化简集合M ，再利用集合交集的定义求解即可.【详解】由223(3)(1)0x x x x --=-+<解得13x -<<，所以{|13}M x x =-<<，所以{0,1,2}M N ⋂=，故选：A.2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A ．()y x x R =-∈B ．3()y x x x R =--∈C ．1(()2xy x R =∈D ．1y x=-(x R ∈，且0)x ≠【答案】B【分析】根据指对幂函数的单调性与奇偶性依次讨论个选项即可得答案.【详解】解：对于A 选项，()()f x x x f x -=--=-=，为偶函数，故错误；对于B 选项，()()()()33f x x x x x f x -=----=+=-，为奇函数，且函数3,y x y x =-=-均为减函数，故3()y x x x R =--∈为减函数，故正确；对于C 选项，指数函数没有奇偶性，故错误；对于D 选项，函数为奇函数，在定义域上没有单调性，故错误.故选：B3．下列命题中真命题的个数有（）①x ∀∈R ，2104x x -+≥；②0x ∃>，1ln 2ln x x+≤；③命题“0R x ∃∈，0e 0x ≤”是真命题；④22x x y -=-是奇函数A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】运用不等式的性质，指数对数函数的性质，逐个判断选项.【详解】对于①，2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭恒成立，所以①正确；对于②，当102x =>时，1ln 0,0ln x x <<，所以1ln 2ln x x+≤成立，所以②正确；对于③，e 0x >恒成立，③错误；对于④，令()22x x f x -=-，函数定义域为R ，则()()2222()x x x xf x f x ---=-=--=-，所以22x xy -=-是奇函数，所以④正确.故选：C.4．已知tan 2α=，则sin cos αα=（）A ．25-B ．52-C ．52D ．25【答案】D【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin cos αα的值.【详解】因为tan 2α=，则222sin cos tan 2sin cos sin cos tan 15αααααααα===++.故选：D.5．已知函数f (x )是偶函数，且f (x )在[0,)+∞上是增函数，若1(02f =，则不等式()4log 0f x >的解集为（）A ．{x |x >2}B ．1{|0}2x x <<C ．{1|02x x <<或x >2}D ．{1|12x x <<或x >2}【答案】C【分析】利用函数()f x 的奇偶性和单调性将不等式等价为41log 2x >，进而可求得结果.【详解】依题意，不等式()()441log 0log 2f x f x f ⎛⎫>⇔> ⎪⎝⎭，又()f x 在[)0,∞+上是增函数，所以41log 2x >，即41log 2x <-或41log 2x >，解得102x <<或2x >.故选：C.6．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{}23x x -<<，则下列说法错误的是（）A ．a<0B ．不等式0ax c +>的解集为{}6x x <C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为1132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】D【分析】根据已知条件得2-和3是方程20ax bx c ++=的两个实根，且a<0，根据韦达定理可得,6b a c a =-=-，根据,6b a c a =-=-且a<0,对四个选项逐个求解或判断可得解.【详解】由已知可得－2，3是方程20ax bx c ++=的两根，则由根与系数的关系可得23,23,b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩且a<0，解得,6b a c a =-=-，所以A 正确；对于B ，0ax c +>化简为60x -<，解得6x <，B 正确；对于C ，660a b c a a a a ++=--=->，C 正确；对于D ，20cx bx a -+<化简为：2610x x --<，解得1132x -<<，D 错误．故选：D.7．已知0a >，0b >，则“a b >”是“23a b e a e b +=+”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】若23a b e a e b +=+，则()220a b e a e b b +-+=>，利用函数()2xf x e x =+的单调性可得a b >．反之不一定成立，例如取100a =，1b =．即可得出其不成立．【详解】解：若23a b e a e b +=+，则()220a be a e b b +-+=>，∴22a b e a e b +>+，又当0x >时，()2xf x e x =+单调递增，∴a b >．反之不一定成立，“a b >”不一定得出“23a b e a e b +=+”，例如取100a =，1b =．则“100220033a b e a e e e b +=+>+=+”．∴“a b >”是“23a b e a e b +=+”的必要不充分条件．故选B ．【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的概念，还考查了利用导数证明不等式及赋值法，属于难题．8．函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[)(]0,11,2x ∈ 时，()21x f x x -=-，则函数()f x 与函数()2sin π104y x x =+≤≤的图象的所有的交点的横坐标与纵坐标之和等于（）A ．12B ．16C ．20D ．24【答案】D【分析】分析可知21x y x -=-关于点()1,1中心对称，函数2sin π1y x =+关于点()1,1中心对称，作出函数21x y x -=-与函数()2sin π102y x x =+≤≤的图象，利用对称性与周期性可求得结果.【详解】由于()()2f x f x +=，所以函数()f x 为周期函数，且周期为2.令()21x h x x -=-，则()21111111x x h x x x x ---===----，对任意的1x ≠，()()112112121h x h x x x +-=-+-=---，所以函数21x y x -=-关于点()1,1中心对称.设()2sin π1g x x =+，则()()()22sin π12sin π21g x g x x x +-=++-+⎡⎤⎣⎦()2sin π2sin 2ππ22x x =+-+=，所以，函数2sin π1y x =+关于点()1,1中心对称.画出函数21x y x -=-与函数()2sin π102y x x =+≤≤的图象如下图所示，由图可知，函数21x y x -=-与函数()2sin π102y x x =+≤≤的图象有四个交点，不妨设这四个交点分别为()11,x y 、()22,x y 、()33,x y 、()44,x y ，设1234x x x x <<<，由图可知，点()11,x y 与点()44,x y 关于点()1,1对称，点()22,x y 与点()33,x y 关于点()1,1对称，所以()()422131348x x x x y y y y +++++++=.同理可知，函数()f x 与函数()2sin π124y x x =+≤≤的图象也有四个交点，设这四个交点分别为()55,x y 、()66,x y 、()77,x y 、()88,x y ，由两函数周期都为2，两函数关于点(1,1)对称，故这四个点关于点(3,1)对称，可得()()5678567816x x x x y y y y +++++++=，所以，函数()f x 与函数()2sin π104y x x =+≤≤的图象的所有的交点的横坐标与纵坐标之和等于81624+=.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查两函数交点横坐标与纵坐标之和，解题的关键在于分析出两函数的对称性，然后利用图形找出两函数图象的交点个数，结合对称性来计算.二、多选题9．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C 为线段AB 上的点，且AC a =，BC b =，O 为AB 的中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线交半圆于D ，连接OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．则该图形可以完成的所有的无字证明为（）A ．2a b+≥()0,0a b >>B ．222a b ab +≥()0,0a b >>C 211a b ≥+()0,0a b >>D ．2222a b a b++≥()0,0a b ≥>【答案】AC【分析】分别在Rt ADB 和Rt OCD △中，利用射影定理和OD CD ≥、CD DE ≥判定选项A 、C 正确.【详解】AC a =Q ，BC b =，2ADB π∠=根据图形，在Rt ADB 中，由射影定理得2CD AC CB =⋅，所以2CD ab =，由OD CD ≥，且22AB a b OD +==，得：2a b+≥0a >，0b >），当且仅当a b =时取等号，即A 正确；在Rt OCD △中，同理得2CD DE OD =⋅，所以22CD ab DE a b OD ==+，又CD DE ≥2211ab a b a b≥=++（0a >，0b >），当且仅当a b =时取等号，即C 正确；故选：AC.10．下面命题正确的是（）A ．“3x >”是“5x >”的必要不充分条件B ．如果幂函数()22233mm y m m x--=-+的图象不过原点，则1m =或2m =C ．“0ac <”是“一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负两个实根”的充要条件D ．函数()41(0x f x a a -=+>且1)a ≠恒过定点()4,1【答案】ABC【分析】根据充分条件与必要条件的定义可判断A ，C ；利用幂函数的定义和性质，求得m 的值，可判断B ；根据指数函数x y a =(0a >且1)a ≠过定点(0,1)即可判断D ．【详解】由“3x >”不能推出“5x >”，比如4x =；而由“5x >”可以推出“3x >”，所以“3x >”是“5x >”的必要不充分条件，故A 正确：若幂函数()22233m m y m m x--=-+的图象不过原点，则2233120m m m m ⎧-+=⎨--≤⎩，解得1m =或2m =，故B 正确；若0ac <，则21240,0cb ac x x a∆=->=<，所以一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负两个实根；若一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负两个实根，则120cx x a=<，则0ac <，故C 正确； 指数函数x y a =(0a >且1)a ≠过定点(0,1)，∴函数()41(0x f x a a -=+>且1)a ≠恒过定点()4,2，故D错误．故选：ABC ．11．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(),M N 为戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割(),M N ，下列选项中，可能成立的是（）A ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素B ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素D ．M 有一个最大元素，N 没有最小元素【答案】ABD【分析】举特例根据定义分析判断，进而可得到结果．【详解】令{|10,}M x x x Q =<∈，{|10,}N x x x Q =≥∈，显然集合M 中没有最大元素，集合N 中有一个最小元素，即选项A 可能；令{|}M x x x Q =∈，{|}N x x x Q =≥∈，显然集合M 中没有最大元素，集合N 中也没有最小元素，即选项B 可能；假设答案C 可能，即集合M 、N 中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的；令{|10,}M x x x Q =≤∈，{}10,N x x x Q =>∈，显然集合M 中有一个最大元素，集合N 中没有最小元素，即选项D 可能.故选：ABD ．12．定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，若任给[]12,0x =-，存在[]22,1x ∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值可以为（）A ．12-B ．14-C ．18-D ．18【答案】ABD【分析】求出()f x 在[]2,4上的值域，利用()()22f x f x +=得到()f x 在[]2,0-上的值域，再求出()g x 在[]2,1-上的值域，根据题意得到两值域的包含关系，从而求出a 的取值范围.【详解】当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩可知()f x 在[]2,3上单调递减，在(]3,4上单调递增，所以()f x 在[]2,3上的值域为[]3,4，在(]3,4上的值域为119,32⎛⎤⎥⎝⎦，所以()f x 在[]2,4上的值域为93,2⎡⎤⎢⎣⎦，因为()()22f x f x +=，所以()()144f x f x =+，所以()f x 在[]2,0-上的值域为39,48⎡⎤⎢⎣⎦，当0a >时，()g x 为增函数，()1g x ax =+在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++，所以3214918a a ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得：18a ≥；当a<0时，()g x 为减函数，()1g x ax =+在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+，所以3149218a a ⎧≥+⎪⎪⎨⎪≤-+⎪⎩，解得：14a -≤；当0a =时，()g x 为常数函数，值域为{}1，不符合题意；综上：a 的取值范围是11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.则ABD 满足题意.故选：ABD 三、填空题13．函数()lg 2y x =-的定义域为______．【答案】()1,2-【分析】解不等式组1020x x +>⎧⎨->⎩可求出结果.【详解】由函数()lg 2y x =-有意义得1020x x +>⎧⎨->⎩，解得12x -<<，所以函数()lg 2y x =-的定义域为()1,2-.故答案为：()1,2-14．已知函数()24,122,1x ax x f x ax x ⎧-+<-=⎨+≥-⎩，若()f x 在R 上单调递减，则a 的取值范围为______．【答案】[)1,0-【分析】由题意可得1,220,1422,aa a a -⎧-≥-⎪⎪<⎨⎪++≥-+⎪⎩，解不等式组即可得出答案.【详解】由题意得1,220,1422,aa a a -⎧-≥-⎪⎪<⎨⎪++≥-+⎪⎩,即201a a a ≥-⎧⎪<⎨⎪≥-⎩，解得：10a -≤<．所以a 的取值范围为[)1,0-.故答案为：[)1,0-.15．函数()2ln f x x x=-的零点所在的大致区间（区间长度为1）___________.【答案】()2,3【分析】先求定义域，再求导，得到函数单调递增，且()()20,30f f <>，由零点存在性定理得到答案.【详解】()2ln f x x x =-的定义域为()0,∞+，且()2120f x x x'=+>恒成立，故()2ln f x x x=-在()0,∞+上连续且单调递增，()2ln 210f =-<，()223ln 3ln e 033f =->->，故()2ln f x x x=-的零点所在的大致区间是()2,3.故答案为：()2,316．已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，2()f x x x =--，若不等式()2log a f x x x +≤(0a >且1)a ≠对任意的(0,2x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是____【答案】1[,1)4【分析】先求出()f x 在0x >的解析式，不等式()2log a f x x x +≤(0a >且1)a ≠对任意的(0,2x ∈恒成立，转化为22log 0a x x -≤在(0,2x ∈上恒成立，分为1a >和01a <<讨论即可．【详解】函数()f x 是奇函数，当0x <时，2()f x x x =--，∴()()f x f x -=-，设0x >，则0x -<，∴()()2f x x x -=---∴()2f x x x =-，∵不等式()2log a f x x x +≤(0a >且1)a ≠对任意的(0,2x ∈恒成立，∴22log a x x x x -+≤(0a >且1)a ≠对任意的]2x ∈恒成立，∴22log a x x ≤，即22log 0a x x -≤，当1a >时，20x >，而2log 0a x <，故1a >时不合题意；当01a <<时，令()22log a g x x x =-，当(0,2x ∈时，函数()g x 单调递增，∴22log 0222a g ⎛⎛⎛=-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即22log 22a ⎛⎛≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴11log log 22a a =≤，12≥，解得1a 4≥，此时1 14a ≤<，综上所述a 的取值范围为1[,1)4．故答案为1[,1)4.【点睛】本题主要考查恒成立问题，通过研究函数的单调性，借助于最值求出参数的范围，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.四、解答题17．已知()()()()()πsin 2πcos πcos 2cos 2π3πcos πcos 2f ααααααα⎛⎫+⋅-⋅- ⎪⎝⎭=+-⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭.(1)化简()f α；(2)若()5f α=，求11sin cos αα+的值.【答案】(1)()sin cos f ααα=+(2)【分析】（1）利用诱导公式可化简()f α的表达式；（2）由已知可得出sin cos αα+=等式两边平方可得sin cos αα的值，进而可计算得出11sin cos αα+的值.【详解】（1）解：()()sin cos sin cos sin cos cos sin f ααααααααα⋅-⋅=+=+-⋅.（2）解：因为()5f α=，所以sin cos 5αα+=，两边平方得()22sin cos 5αα+=，所以222sin cos 2sin cos 5αααα++⋅⋅=，所以212sin cos 5αα+⋅⋅=，所以3sin cos 10αα⋅=-，所以11cos sin 53sin cos sin cos 10αααααα++===-⋅-.18．已知集合4{|0}3x A x x -=>+，集合{|221}B x a x a =-≤≤+．（1）当3a =时，求A 和()R A B ⋃ð；（2）若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{|3A x x =<-或}4x >，(){}|37R A B x x ⋃=-≤≤ð；（2）2a <-或6a >.【解析】（1）当3a =时，得出集合B ，解分式不等式即可得集合A ，再根据补集和并集的运算，从而可求出()R A B ⋃ð；(2)由题意知B A Ü，当B =∅时，221a a ->+；当B ≠∅时，221213a a a -≤+⎧⎨+<-⎩或22124a a a -≤+⎧⎨->⎩，从而可求出实数a 的取值范围.【详解】解：（1）由题可知，当3a =时，则{}|17B x x =≤≤，{40|33x A x x x x ⎧⎫-=>=<-⎨⎬+⎩⎭或}4x >，则{}|34R A x x =-≤≤ð，所以(){}{}{}|34|17|37R A B x x x x x x ⋃=-≤≤⋃≤≤=-≤≤ð.（2）由题可知，x A ∈是x B ∈的必要不充分条件，则B A Ü，当B =∅时，221a a ->+，解得：3a <-；当B ≠∅时，221213a a a -≤+⎧⎨+<-⎩或22124a a a -≤+⎧⎨->⎩，解得：32a -≤<-或6a >；综上所得：2a <-或6a >.【点睛】结论点睛：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．19．已知22m n +=，且1m >-，0n >.(1)求121m n++的最小值；(2)求224221m n n m +++的最小值.【答案】(1)3；(2)45.【分析】（1）由已知推得()1213m n ++=，将121m n++变形为()1412123m n m n ⎛⎫+++⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭，展开用基本不等式，即可求得121m n++的最小值；（2）原式可变形为9169122m n +-++，进而求出()()12215m n +++=，用“1”的代换将9169122m n +-++变形为()()91612212295m m m n ⎛⎫⎡⎤++++ ⎪⎣⎦++⎝⎭-，展开用基本不等式，即可求得224221m n n m +++的最小值.【详解】（1）因为123m n ++=，()1213m n ++=，所以()14121214121123m n m n m n m n ⎛⎫+++⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭+=+=++24(1)14512333n m m n ++++++=≥=，当且仅当()41212m nm n+=+，且22m n +=，即0m =，1n =时等号成立，则121m n++的最小值为3.（2）()()()()222222222212422122111n m n m m n n m n m n m ----+=+=+++++++()()()()2221818161911n n m m n m +-+++-++=+++()892181611n m n m =++-+++-++98911m n =+-++9169122m n =+-++，因为1225m n +++=，所以()()12215m n +++=，所以原式()()91612212295m m m n ⎛⎫⎡⎤++++ ⎪⎣⎦++⎝⎭=-()()92216191612295n m m n +++++++=-，2595+≥-494955=-=当且仅当()()922161122n m m n ++=++，且22m n +=，即87m =，37n =时等号成立，则224221m n n m +++的最小值为45.20．在国家大力发展新能源汽车产业政策下，我国新能源汽车的产销量高速增长.某地区2019年底新能源汽车保有量为1500辆，2020年底新能源汽车保有量为2250辆，2021年底新能源汽车保有量为3375辆.(1)根据以上数据，试从x y a b =⋅（0a >，0b >且1b ≠），b y a x =⋅（0a >，0b >且1b ≠），y a b =⋅（0a >，0b >且1b ≠），三种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势（不必说明理由），设从2019年底起经过x 年后新能源汽车保有量为y 辆，求出新能源汽车保有量y 关于x 的函数关系式；(2)假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同，2019年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，预计到2024年底传统能源汽车保有量将下降10%.试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.（参考数据:lg 20.30≈，lg 30.48≈）【答案】(1)应选择的函数模型是0,01)(xy a b a b b =⋅>>≠且；315002xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭(2)2028年底【分析】（1）由增长趋势知，增长快，应选函数模型是0,01)(x y a b a b b =⋅>>≠且，由待定系数法即可求得函数关系式；（2）由题意列式求出每年下降得百分比，得出关系式，再得出新能源超过传统能源汽车的不等式，化简求解即可得结果.【详解】（1）根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选择的函数模型是0,01)(x y a b a b b =⋅>>≠且由题意得011502250a b a b ⎧⋅=⎨⋅=⎩，解得150032a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以315002xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭（2）设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为r ，依题意得.()()550000150000110%r -=-，解得1510.9r -=，设从2019年底起经过x 年后的传统能源汽车保有量为y 辆，则有()15500001500000.9xx y r ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，设从2019年底起经过x 年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车，则有1531500500000.92xx⎛⎫⎛⎫⋅> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭化简得15331000.92xx⎛⎫⎛⎫⋅> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()lg 3lg 3lg 222lg 315x x +->+-，解得2lg 38.0913lg 3lg 255x ->≈+-，故从2019年底起经过9年后，即2028年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车.21．已知函数()()log 1(0xa f x a bx a =+->且1,R)ab ≠∈是偶函数，函数()(0x g x a a =>且1)a ≠.(1)求实数b 的值.(2)当2a =时，①求()f x 的值域.②若()121,,R x x ∞∀∈+∃∈，使得()()()112220g x mg x f x +->恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)12b =(2)①[)1,+∞；②3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用函数的奇偶性得到()()f x f x -=，从而求得b 的值；（2）①利用换元法，结合指数函数与对勾函数的单调性求得221222xx +≥，从而由对数函数的单调性求得()1f x ≥，据此得解；②将问题转化为()()()112min 22g x mg x f x +>⎡⎤⎣⎦恒成立，从而得到2221x xm +⋅>在()1,+∞上恒成立，利用换元法再次将问题转化为1m t t>-恒成立，从而得解.【详解】（1）由题意得()()f x f x -=，即()()log 1log 1x xa a a bx a bx -++=+-，所以()()12log 1log 1log log 1x xxx a a a a x x a bx a a a a --+=+-+=+==，则()210x b -=，由于x 不恒为0，所以210b -=，故12b =，经检验，当12b =时，()f x 的定义域为R ，关于原点对称，()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数，满足题意，所以12b =.（2）①由（1）及2a =得()()22221log 21log 222x xxxf x ⎛⎫ ⎪=+-=+ ⎪⎝⎭，由于指数函数220x xm ==>在x ∈R 上单调递增，对勾函数1n m m=+在()0,1m ∈上单调递减，()1,m ∈+∞上单调递增，所以当1m =时，n 取得最小值min2n =，即221222x x n =+≥，又2log y n =在[)2,n ∞∈+上单调递增，所以()2222log l 12g 12o 2x xf x ⎛⎫⎪+≥⎝=⎭=⎪，故()f x 的值域为[)1,+∞；②由题意得()2xg x =，因为()121,,R x x ∞∀∈+∃∈，使得()()()112220g x mg x f x +->恒成立，所以()121,,R x x ∞∀∈+∃∈，()()()11222g x mg x f x +>恒成立，则()()()112min 22g x mg x f x +>⎡⎤⎣⎦恒成立，由①易得当2R x ∈时，22R x ∈，()2min 21f x =，所以()()1121g x mg x +>恒成立，因为()()2222x xg x mg x m +=+⋅，所以2221x x m +⋅>在()1,+∞上恒成立，令2x t =，因为1x >，所以1222x t =>=，则21t mt +>在()2,+∞上恒成立，即1m t t>-在()2,+∞上恒成立，令1y t t =-，易知1y t t =-在()2,+∞上单调递减，所以113222y t t =-<-=-，所以32m ≥-，即3,2m ∞⎡⎫∈-+⎪⎢⎣⎭.22．已知函数()lg (,0)1a f x b a b a x ⎛⎫=+>≠⎪+⎝⎭的图像关于原点对称.(1)求实数a ，b 的值；(2)求不等式()()()lg 20f f x f +>的解集；(3)若函数2(),11()1,11f x x h x kx x x -<<⎧=⎨+≤-≥⎩或其中0k ≤，讨论函数()()2y h h x =-的零点个数.【答案】(1)2,1a b ==-(2)19,311⎛⎫⎪⎝⎭(3)答案见解析【分析】（1）()f x 为奇函数，利用()()0f x f x -+=解实数a ，b 的值；（2）利用函数的单调性和奇偶性解不等式；（3）作出函数图像，数形结合讨论零点的个数.【详解】（1）由题意知()f x 为奇函数，有()()lg lg 011a a f x f x b b x x ⎛⎫⎛⎫-+=+++=⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭，整理得lg 011bx a b bx a b x x -++++⎛⎫⨯= ⎪-++⎝⎭，即()22221a b b x x +-=-，对于定义域内任意x 都成立，所以()2211a b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩或21a b =⎧⎨=-⎩，因为a b >，所以21a b =⎧⎨=-⎩；（2）要使()1lg 1x f x x -=+有意义，只需10101x x x+≠⎧⎪-⎨>⎪+⎩，解得11x -<<，故定义域为(1,1)-，()f x 为奇函数，又()2lg 11f x x ⎛⎫=-+⎪+⎝⎭在()1,1x ∈-时是减函数，故不等式()()()lg 20f f x f +>等价于()()()()lg 2lg 2f f x f f >-=-，即()11lg 2f x -<<，即11lglg 1021lg 1x x -+<<，∴1111012x x -<<+，又11x -<<，解得19311x <<，故不等式()()()lg 20f f x f +>的解集为19,311⎛⎫⎪⎝⎭.（3）由()20y h h x ⎡⎤=-=⎣⎦，得()2h h x ⎡⎤=⎣⎦，令()t h x =，则()2h t =，作出()h x图像如图所示：由图可知，①当0k <时，由于211y kx =+≤，所以由()2h t =得2lg 121t ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭，解得99101t =-，当2000101k -≤<时，991101k +≥-，对应有3个零点；当200101k <-时，991101k +<-，对应有1个零点；②当0k =时，只有当10t -<<时，对应有1个零点；综上所述，当200101k <-或0k =时，函数()2y h h x ⎡⎤=-⎣⎦只有1个零点；当2000101k -≤<时，函数()2y h h x ⎡⎤=-⎣⎦有3个零点.【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:（1）直接法:直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围;（2）分离参数法:先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决;（3）数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.2023-2024学年福建省龙岩市高一上册期末数学质量检测模拟试题一、单选题1．设集合={|02}A x x ≤≤，={|1}B x x ≤则=A B （）A ．(,1]-∞B ．(,2]-∞C ．[]0,1D ．[]1,2【答案】B【分析】利用数轴画出图像，取并集即可.【详解】依题意，画出数轴，如图所示，由数轴可知：{}|2A B x x ⋃=≤，故选：B.2．已知函数()=3)+1f x x -，则1(lg 5)+(lg )=5f f （）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】D【分析】根据函数解析式可知：()()2f x f x +-=，因为1lglg 55=-，代入进而求解即可.【详解】因为函数()=3)+1f x x 的定义域为R ，则有()()3)13)1ln122f x f x x x +-=-++++=+=，又1lglg 55=-，所以1(lg 5)+(lg )=(lg 5)+(lg 5)25f f f f -=，故选：D .3．“31+1x >”是“5x <”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】A【分析】解分式不等式，得到12x -<<，从而判断出“31+1x >”是“5x <”充分不必要条件.【详解】31+1x >变形为20+1x x ->，即()()120x x +-<，解得：12x -<<，因为125x x -<<⇒<，当5x <⇒12x -<<，故“31+1x >”是“5x <”充分不必要条件.故选：A4．设0.7=5a ，=sin 2b ，6=log 0.2c ，则a b c ，，的大小关系正确的是（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b>>【答案】A【分析】以0和1为桥梁，分别比较a b c ，，与0，1的大小关系，即可得到答案.【详解】因为700.51=5a >=，所以1a >；因为π2π2<<，所以0sin 21<<；因为66=log 0.20c <=，所以0c <.所以a b c >>.故选：A5．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深2CD =锯道2AB =，则图中 ACB与弦AB 围成的弓形的面积为（）A ．2π-B ．23πC ．3πD ．3π-【答案】B【分析】设圆的半径为r ，利用勾股定理求出r ，再根据扇形的面积及三角形面积公式计算可得；【详解】解：设圆的半径为r ，则(2OD r CD r =-=--，112AD AB ==，由勾股定理可得222OD AD OA +=，即(2221r r ⎡⎤-+=⎣⎦，解得2r =，所以2OA OB ==，2AB =，所以3AOB π∠=，因此221222233MBB AOB S S S ππ=-=⨯⨯= 弓形扇形.故选：B6．三个数sin1.5sin 2sin 3.1,cos 4.1cos 5cos 6,tan 7tan 8tan 9⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，值为负数的个数有个（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】计算出题目中角度的终边所在象限，根据三角函数的性质确定符号即可.【详解】0 1.5,02,0 3.1,sin1.5sin 2sin 3.10πππ<<<<<<∴> ；3334.1,cos 4.10,52,62,cos 50,cos 60222ππππππ<<<<<<<>>，cos 4.1cos5cos60∴< ；55527,83,93,tan 70,tan 80,tan 90222ππππππ<<<<<<∴><<，tan 7·tan8·tan 90>；只有一个负数，故选：B.7．若函数()y f x =的值域是1,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（）A ．1[,4]3B ．17[2,]4C ．1017[,34D ．17[4,]4【答案】B【分析】根据对勾函数的单调性求值域.【详解】令()1,43f x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则11()()y f x t f x t =+=+，由对勾函数的性质可知：1y t t =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]1,4上单调递增，故当1t =时，1y t t =+取得最小值，最小值为112+=，又当13t =时，110333y =+=，当4t =时，117444y =+=，故1()()()F x f x f x =+的值域为172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B8．解析数论的创始人狄利克雷在数学领域成就显著，对函数论、位势论和三角级数论都有重要贡献．以他名字命名的狄利克雷函数()1,,0,,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数以下结论错误的是（）A ．()1D D <B ．函数()y D x =不是周期函数C ．()()1D D x =D ．函数()y D x =在(),-∞+∞上不是单调函数【答案】B【分析】根据狄利克雷函数的定义逐个分析判断即可【详解】对于A ，因为0,(1)1D D ==，所以()1D D <，所以A 正确，对于B ，对于任意非零有理数T ，若x 为任意有理数，则x T +也为有理数，所以()()1D x T D x +==，若x 为任意无理数，则x T +也为无理数，所以()()0D x T D x +==，所以任意非零有理数T ，x 为实数，都有()()D x T D x +=，所以有理数T 为函数的周期，所以B 错误，对于C ，当x 为有理数时，()()(1)1D D x D ==，当x 为无理数时，()()(0)1D D x D ==，所以()()1D D x =，所以C 正确，对于D ，对于任意12,R x x ∈，且12x x <，若12,x x 都为有理数或都为无理数，则12()()D x D x =，若1x 为有理数，2x 为无理数，则12()1()0D x D x =>=，若1x 为无理数，2x 为有理数，则12()0()1D x D x =<=，所以函数()y D x =在(),-∞+∞上不是单调函数，所以D 正确，故选：B 二、多选题9．下图是函数y =sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)=（）A ．πsin(3x +）B ．πsin(2)3x -C ．πcos(26x +）D ．5πcos(2)6x -【答案】BC【分析】首先利用周期确定ω的值，然后确定ϕ的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【详解】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A,不妨令2ω=,当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：()223k k ϕππ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭故选：BC.【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.10．对于实数a ，b ，m ，下列说法正确的是（）A ．若22am bm >，则a b >；B ．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是“01x ∃≤，2000x x -≤；C ．若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+；D ．若0a b >>，且ln ln a b =，则2a b +的最小值为【答案】AC【解析】根据不等式的性质，可判断A 的正误；根据含一个量词的命题否定的定义，可判断B 的正误；利用作差法可比较a mb m++和a b 的大小，可判断C 的正误；根据对数的性质，结合基本不等式，可判断D 的正误，即可得答案.【详解】对于A ：因为22am bm >，所以20m >，左右同除2m ，可得a b >，故A 正确；对于B ：命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是“01x ∃>，2000x x -≤，故B 错误；对于C ：因为0b a >>，0m >，所以()()()0()()a m a a m b a b m m b a b m b b m b b m b ++-+--==>+++，所以a m ab m b+>+，故C 正确；对于D ：因为0a b >>，且ln ln a b =，所以ln ln a b =-，即ln ln 0a b +=，所以ln 0ab =，解得1ab =，所以2a b +≥=当且仅当2a b =，即2a b =时等号成立，与0a b >>矛盾，所以2a b +>无最小值，故D 错误.故选：AC【点睛】解题的关键是熟练掌握不等式的性质，并灵活应用，易错点为：在应用基本不等式时，需注意取等条件，即当且仅当“a b =”时等号成立，若不满足a b =，则基本不等式不能取等号，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.11．若函数2()cos 2sin f x x x =+在区间π[,]3θ-的最大值为2，则θ的可能取值为（）A ．0B ．π3C ．2π3D ．π【答案】CD【分析】由题意可得2()2(sin 1)f x x =--，从而可得所以当sin 1x =时，()2max f x =，又因为π[,]3x θ∈-，所以必有ππ[,]23θ∈-成立，结合选项，即可得答案.【详解】解：因为222()cos 2sin sin 2sin 12(sin 1)f x x x x x x =+=-++=--，所以当sin 1x =时，即π2π+,Z 2x k k =∈，()2max f x =，又因为π[,]3x θ∈-，所以ππ[,]23θ∈-，所以θ的可能取值为2π,π3.故选：CD.12．已知函数()()f x x ∈R 满足()(4)9(2)f x f x f =-+，又(9)f x +的图象关于点(9,0)-对称，且(1)2022f =，则（）A ．()f x 关于=2x 对称B ．(43)(44)(45)2022f f f ++=-C ．1(1)+33f x -关于点(3,3)对称D ．1(1)+33f x -关于点(1,3)对称【答案】AC【分析】对于A ，将2x =代入()(4)9(2)f x f x f =-+中可求得(2)0f =，然后进行判断，对于B ，由(9)f x +的图象关于点(9,0)-对称和选项A ，可得()f x 的周期，从而可求得结果，对于CD ，由函数图象变换结合对称判断.【详解】对于A ，将2x =代入()(4)9(2)f x f x f =-+，得(2)(2)9(2)f f f =+，解得(2)0f =，所以()(4)f x f x =-，所以()f x 的图象关于=2x 对称，所以A 正确，对于B ，因为(9)f x +的图象关于点(9,0)-对称，所以()f x 的图象关于点(0,0)对称，所以()()f x f x =--，(0)0f =，因为()(4)f x f x =-，所以()(4)(4)f x f x f x =-=--，所以(4)(44)(8)f x f x f x -=---=--，所以()(8)f x f x =-，所以()f x 的周期为8，所以(44)(485)(4)(0)0f f f f =+⨯===，(45)(386)(3)(3)(1)2022f f f f f =-+⨯=-=-=-=-，(43)(385)(3)(1)2022f f f f =+⨯===，所以(43)(44)(45)0f f f ++=，所以B 错误，对于CD ，因为1(1)3f x -的图象是由()f x 的图象向右平移1个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍得到，再将其向上平移3个单位可得1(1)33f x -+的图象，所以1(1)33f x -+的图象关于点(3,3)对称，所以C 正确，D 错误，故选：AC 三、填空题13．14281log 8(3()16-+-++__________.【答案】5π3+【分析】根据对数的运算、指数的运算求解即可.【详解】11404412813log 8(3()3321()153π4π31ππ23632---⎡⎤++=++⎢⎥⎣⎛⎫+-=++-=++=+ ⎪⎝⎭⎦.故答案为：5π3+.14．函数9sin 2y x =-的单调递增区间是__________.【答案】π3ππ,π,Z44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【分析】整体法求解()sin 2f x x =的单调递减区间即可.【详解】9sin 2y x =-的单调递增区间，即()sin 2f x x =的单调递减区间，令π3π22π,2π,Z 22x k k k ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦，解得：π3ππ,π,Z 44x k k k ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦，故9sin 2y x =-的单调递增区间为π3ππ,π,Z 44x k k k ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦.故答案为：π3ππ,π,Z 44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦15．在一段时间内，某地的某种动物快速繁殖，此动物总只数的倍增期为18个月，那么100只野兔增长到10万只野兔大概需要__________年.(lg20.3010,lg30.4771)==【答案】15【分析】根据题意列出指数方程，利用对数运算计算出结果.【详解】由题意得：设100只野兔增长到10万只野兔大概需要x 年，则12181002100000x⨯=，解得：2321000x=，两边取对数，2lg 2lg100033x==，因为lg 20.3010≈，所以15x ≈.故答案为：1516．已知函数22,1()2ln(1),1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪->⎩，若22()()()3F x f x af x =-+的零点个数为4，则实数a 取值范围为__________.【答案】57,333∞⎛⎤⎛⎫⋃+ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦【分析】画出()f x 的图象，利用换元法，结合二次函数零点分布列不等式，由此求得a 的取值范围.【详解】12221,1,1()2ln(1),1ln(1),1x x x x f x x x x x -⎧+⎧+≤≤⎪⎪==⎨⎨->⎪⎩⎪->⎩()12f =，由()ln 12x -=解得2e 1x =+.画出()f x 的图象如下图所示，令()f x t =，由图象可知()y f x =与y t =有两个公共点时，01t <≤或2t >；()y f x =与y t =有一个公共点时，0=t ；()y f x =与y t =有三个公共点时，12t <≤.依题意，22()()()3F x f x af x =-+的零点个数为4，对于函数()223h t t at =-+，由于()2003h =≠，()h t 的两个零点12,t t ，全都在区间(]0,1或区间()2,+∞，或一个在区间(]0,1一个在区间()2,+∞，所以()()2228Δ4033012200321103a a a h h a ⎧=-⨯=->⎪⎪⎪<<⎪⎨⎪=>⎪⎪⎪=-+≥⎩或()2228Δ403322224203a a a h a ⎧=-⨯=->⎪⎪⎪>⎨⎪⎪=-+>⎪⎩或()()()2228Δ4033200321103224203a a h h a h a ⎧=-⨯=->⎪⎪⎪=>⎪⎨⎪=-+≤⎪⎪⎪=-+<⎩，解得26533a <≤或∅或73a >，所以a 的取值范围是2657,,333∞⎛⎤⎛⎫⋃+ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.故答案为：2657,,333∞⎛⎤⎛⎫⋃+ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦【点睛】研究二次型复合函数的零点问题，关键点有两个，一个是内部函数的图象与性质，如本题中的函数()f x 的图象与性质.另一个是二次函数零点分布的知识，需要考虑判别式、对称轴以及零点存在性定理.四、解答题17．已知幂函数22+1()=(2+2)m f x m m x -在(0,)+∞上是减函数(1)求()f x 的解析式(2)若(2(1)f a f a -<-，求a 的取值范围.【答案】(1)2()f x x -=(2)31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据幂函数的定义与单调性列式运算求解；（2）根据幂函数的单调性列式运算求解，注意幂函数的定义域.【详解】（1）由题意可得22+21210m m m ⎧-=⎨+<⎩，解得32m =-，故2()f x x -=.（2）由（1）可知：221()f x x x -==的定义域为{}|0x x ≠，由(2(1)f a f a -<-，则2010a a ->->，解得12a <<，∵幂函数()f x 在(0,)+∞21a a ->-312a <<，∴a 的取值范围为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.18．已知5sin (5)cos ()cos ()2().37sin ()cos ()sin ()222f ππααπααπππααα+-+=-++(1)化简();αf (2)若1()3f α=，求223sin 4sin cos 5cos αααα-+的值.【答案】(1)()tan f αα=-(2)6【分析】（1）利用诱导公式进行化简即可；（2）根据已知求得tan α，利用同角三角函数关系，齐次化，弦化切，化简即可求得原式的值.【详解】（1）由已知5sin(5)cos()cos()2()37sin()cos()sin()222f ππααπααπππααα+-+=-++，所以()()()()()sin sin cos ()tan cos sin cos f αααααααα-⋅⋅-==--⋅-⋅-.（2）由（1）知()tan f αα=-，所以1tan 3α=-，所以2222223sin 4sin cos 5cos 3sin 4sin cos 5cos sin cos αααααααααα-+-+=+223tan 4tan 56tan 1ααα-+==+.19．设函数21y mx mx =--．(1)若函数21y mx mx =--有两个零点，求m 的取值范围；(2)若命题：∃x ∈R ，y ≥0是假命题，求m 的取值范围；(3)若对于[]1,3x ∈，2(1)3y m x >++恒成立，求m 的取值范围．【答案】(1)0m >或4m <-(2)(]4,0-(3)5m <-【分析】（1）根据函数21y mx mx =--有两个零点，得到方程210mx mx --=有两个不同的实数根，然后得到2Δ40m m m ≠⎧⎨=+>⎩，解方程即可；（2）根据命题：R x ∃∈，0y ≥是假命题，得到R x ∀∈，0y <是真命题，然后分类讨论0m =和0m ≠两种情况，列方程求解即可；（3）利用分离参数的方法，把对于[]1,3x ∈，()213y m x >++恒成立转化为min 4m x x ⎡⎤⎛⎫<-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用函数单调性求最小值即可.【详解】（1）因为函数21y mx mx =--有两个零点，所以方程210mx mx --=有两个不同的实数根，所以2Δ40m m m ≠⎧⎨=+>⎩，解得0m >或4m <-.（2）若命题：R x ∃∈，0y ≥是假命题，则R x ∀∈，0y <是真命题，即210y mx mx =--<在R 上恒成立，当0m =时，10-<，成立；当0m ≠时，2Δ40m m m <⎧⎨=+<⎩，解得40m -<<；综上所述，m 的取值范围为(]4,0-.（3）若对于[]1,3x ∈，()213y m x >++恒成立，即240x mx ++<在[]1,3x ∈上恒成立，则4m x x ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭在[]1,3x ∈上恒成立，故只需min4m x x ⎡⎤⎛⎫<-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即可，因为函数()4f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在[)1,2上递增，[]2,4上递减，()15f =-，()1333f =-，()()13f f <，所以()()min 15f x f ==-，故5m <-.20．已知实数0x >，0y >，且222()(R).xy x y a x y a =+++∈(1)当0a =时，求24x y +的最小值，并指出取最小值时,x y 的值；(2)当12a =时，求x y +的最小值，并指出取最小值时,x y 的值.【答案】(1)最小值为3+，此时1224x y ==(2)最小值为4，此时2x y ==.。

2023-2024学年福建省龙岩市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.请把答案填涂在答题卡上.1．已知集合M ＝{x |x （x ﹣2）＞0}，N ＝{x |y ＝lg （1﹣x ）}，则M ∩N ＝（ ） A ．（﹣∞，0） B ．（1，+∞）C ．（2，+∞）D ．（﹣∞，1）∪（2，+∞）2．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（ ） A ．4 cm 2B ．6 cm 2C ．8 cm 2D ．16 cm 23．已知a ，b ，c ∈R ，则下列结论正确的是（ ） A ．若b ＞a 且ab ＞0，则1a ＜1bB ．若a ＞b ＞c ，则c a ＜cbC ．若c ＞a ＞b ＞0，则a c−a ＜bc−bD ．若a ＞b ＞c ＞0，则a b ＞a+cb+c4．若幂函数f （x ）的图象过点（4，2），则y =f(2−|x|)f(x)的定义域是（ ） A ．（﹣2，0）B ．（0，2]C ．[0，2]D ．（﹣2，2）5．美国生物学家和人口统计学家雷蒙德•皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为f(x)=P1+a kx+b(P ＞0，a ＞1，k ＜0)的形式．已知f(x)=31+2kx+b (x ∈N)描述的是一种植物的高度随着时间x （单位：年）变化的规律．若刚栽种时该植物的高为1米，经过一年，该植物的高为1.5米，要让该植物的高度超过2.8米，至少需要（ ）年． A ．3B ．4C ．5D ．66．将函数f(x)=3cos(2x +φ)(|φ|＜π2)的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g （x ）的图象，若g （x ）的图象关于直线x =π3对称，则下列结论正确的是（ ）A ．φ=π6B ．g （x ）是奇函数C ．g （x ）在(−π6，π4)上单调递增D ．g(0)=−3√327．已知x ＞1，y ＞1，且x +y −xy =12，则2x +y 的最小值是（ ）A ．2√2B ．4C ．4√2D ．58．已知函数f(x)={−1x +2，x ＜cx 2−2x +3，c ≤x ≤3，若f （x ）的值域为[2，6]，则实数c 的取值范围是（ ）A．[−1，−14]B．[−14，0)C．[﹣1，0）D．[−1，−12]二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.请把答案填涂在答题卡上.9．已知函数y＝f（x）的图象由如图所示的两段线段组成，则（）A．f（f（3））＝1B．不等式f（x）≤1的解集为[2，103]C．函数f（x）在区间[2，3]上的最大值为2D．f（x）的解析式可表示为：f（x）＝x﹣3+2|x﹣3|（x∈[0，4]）10．下列命题正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得x2+2x+1≥0的否定是“∀x∈R，都有x2+2x+1＜0”B．若x2+y2+z2﹣xy﹣yz﹣xz＝0，则x＝y＝zC．在△ABC中，“tan A＞tan B”是“A＞B”的充要条件D．若ln（x﹣1）+ln（y﹣1）＞0，则1x+1y＜111．已知sin(α+β)=√2+√64，tanα−√3tanβ=0，则（）A．sinαcosβ=√64B．tan(α+β)=2+√3C．sin2αsin2β=√32D．cos(α−β)=±√2+√6412．已知f(x)=sin(ωx+φ)+2(ω＞0，|φ|＜π2)在(π6，5π12)上是单调函数，对任意x∈R满足f(x+π6)=4−f(π6−x)且f(x)≤f(5π12)．设函数g(x)=f(x+π6)−2，ℎ(x)=12|g(x)|tanx+cosx|cosx|，则（）A．函数g（x）是偶函数B．若函数f（x）在[π2，a]上存在最大值，则实数a的取值范围为[17π12，+∞)C．函数h（x）的最大值为1D．函数h（x）的图象关于直线x=π2对称三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f （x ）＝sin （x +φ）且f(π3)=−12，写出满足条件的φ的一个值 ．14．已知正数a ，b 满足log 2a ＝log 3b ＝log 65，则ab ＝ ．15．已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点P （2，m ），Q （3，n ），其中m ＜n ，若sin2θ=1213，则m ﹣n ＝ ． 16．已知f （x ）是定义在R 上且不恒为零的函数，对于任意实数a ，b 满足f （ab ）＝af （b ）+bf （a ），若f （2）＝2，则f(−1)+f(−14)= ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）在①角α的终边与单位圆的交点为M(17，y)；②2sin α＝7sin2α；③4sin 2α﹣45cos 2α＝3这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题． 已知cos(α−β)=1314，且0＜β＜α＜π2，_____． （1）求7sin(π+α)+tan(−α)sin(π2+α)−cos(π−α)的值； （2）求β的值．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）18．（12分）已知二次函数f （x ）＝x 2﹣bx +c ，对任意x ∈R 都有f （﹣2﹣x ）＝f （﹣2+x ），且f （0）＝6． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）若对于∀m ∈[﹣1，2]，不等式mf （x ）﹣6＜0恒成立，求x 的取值范围．19．（12分）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg /l ）与时间t （单位：h ）间的关系为P =P 0(12)kt ，其中P 0，k 是正的常数．如果在前5h 消除了10%的污染物，那么：（1）10h 后还剩百分之几的污染物；（2）污染物减少50%需要花多少时间（精确到1h ）． 参考数据：ln 0.5≈0.693，ln 0.9≈0.105． 20．（12分）已知函数f(x)=4x+m 2x 是偶函数． （1）求实数m 的值；（2）设函数g （x ）＝2x +1﹣f （x ），h （x ）＝4x +b ，若对任意x 1∈[1，2]，总存在x 2∈[1，2]使得g （x 1）＝h （x 2），求实数b 的取值范围．21．（12分）已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)cosωx +12(ω＞0，|φ|＜π2)的图象关于直线x =π6对称，其最小正周期与函数y ＝|tan2x |相同． （1）求f （x ）的单调递减区间；（2）设函数g（x）＝e x﹣e﹣x，ℎ(x)=lnx+f(π16x+π24)，证明：h（x）有且只有一个零点x0，且g(sinπ4x0)＜e 2−1 e．22．（12分）已知函数f(x)=3x+k⋅13x ，g(x)=log3x+1x−1．（1）若函数f（x）在[0，+∞）为增函数，求实数k的取值范围；（2）当k＝0时，∃x1，x2∈（0，+∞），函数y＝g（f（x））在区间[x1，x2]上的值域为{y|1﹣log3[a（2f（x2）﹣1）]≤y≤1﹣log3[a（2f（x1）﹣1）]}，求实数a的取值范围．2023-2024学年福建省龙岩市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.请把答案填涂在答题卡上.1．已知集合M ＝{x |x （x ﹣2）＞0}，N ＝{x |y ＝lg （1﹣x ）}，则M ∩N ＝（ ） A ．（﹣∞，0） B ．（1，+∞）C ．（2，+∞）D ．（﹣∞，1）∪（2，+∞）解：集合M ＝{x |x （x ﹣2）＞0}＝{x |x ＜0或x ＞2}， N ＝{x |y ＝lg （1﹣x ）}＝{x |1﹣x ＞0}＝{x |x ＜1}， 所以M ∩N ＝{x |x ＜0}＝（﹣∞，0）． 故选：A ．2．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（ ） A ．4 cm 2B ．6 cm 2C ．8 cm 2D ．16 cm 2解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，则扇形的周长为l +2r ＝8， ∴弧长为：αr ＝2r ，∴r ＝2cm ，根据扇形的面积公式，得S =12αr 2＝4cm 2，故选：A ．3．已知a ，b ，c ∈R ，则下列结论正确的是（ ） A ．若b ＞a 且ab ＞0，则1a ＜1bB ．若a ＞b ＞c ，则c a ＜cbC ．若c ＞a ＞b ＞0，则a c−a ＜bc−bD ．若a ＞b ＞c ＞0，则a b ＞a+cb+c解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，当a ＝2，b ＝3时，1a =12＞1b=13，A 错误； 对于B ，当a ＝3，b ＝1，c ＝0时，ca=cb，B 错误； 对于C ，当c ＝3，a ＝2，b ＝1时，ac−a=2＞b c−b =12，C 错误；对于D ，由于a ＞b ＞c ＞0，则有a b −a+c b+c =c(a−b)b(b+c)＞0，即a b ＞a+cb+c，D 正确．故选：D ．4．若幂函数f （x ）的图象过点（4，2），则y =f(2−|x|)f(x)的定义域是（ ） A ．（﹣2，0）B ．（0，2]C ．[0，2]D ．（﹣2，2）解：设幂函数f （x ）＝x α，幂函数f （x ）的图象过点（4，2），则4α＝2，解得α=12，故f （x ）=√x ，{2−|x|≥0x ＞0，解得0＜x ≤2，故所求函数的定义域为（0，2]．故选：B ．5．美国生物学家和人口统计学家雷蒙德•皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为f(x)=P1+a kx+b(P ＞0，a ＞1，k ＜0)的形式．已知f(x)=31+2kx+b (x ∈N)描述的是一种植物的高度随着时间x （单位：年）变化的规律．若刚栽种时该植物的高为1米，经过一年，该植物的高为1.5米，要让该植物的高度超过2.8米，至少需要（ ）年． A ．3B ．4C ．5D ．6解：由题意可知，{f(0)=1f(1)=1.5，即{31+2b =131+2k+b =1.5，解得{k =−1b =1，∴f （x ）=31+2−x+1， 令f （x ）＞2.8得，31+2−x+1＞2.8，又∵x ∈N *，∴x ≥5，即至少需要5年． 故选：C ．6．将函数f(x)=3cos(2x +φ)(|φ|＜π2)的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g （x ）的图象，若g （x ）的图象关于直线x =π3对称，则下列结论正确的是（ ）A ．φ=π6B ．g （x ）是奇函数C ．g （x ）在(−π6，π4)上单调递增D ．g(0)=−3√32解：将函数f(x)=3cos(2x +φ)(|φ|＜π2)的图象向右平移π4个单位长度后，得到函数g （x ）＝3cos （2x −π2+φ）＝3sin （2x +φ）的图象．若g （x ）的图象关于直线x =π3对称，则2×π3+φ＝k π+π2，k ∈Z ，求得φ=−π6，故g （x ）＝3sin （2x −π6），故A 、B 错误． 在(−π6，π4)上，2x −π6∈（−π2，π3），函数g （x ）单调递增，故C 正确．由于g （0）＝3sin （−π6）=−32，故D 错误．故选：C ．7．已知x ＞1，y ＞1，且x +y −xy =12，则2x +y 的最小值是（ ）A ．2√2B ．4C ．4√2D ．5解：因为x ＞1，y ＞1，且x +y −xy =12，所以（x ﹣1）（y ﹣1）=12，则2x +y ＝2（x ﹣1）+（y ﹣1）+3≥2√2(x −1)(y −1)+3＝5，当且仅当2（x ﹣1）＝y ﹣1，即x =32，y＝2时取等号． 故选：D ．8．已知函数f(x)={−1x +2，x ＜cx 2−2x +3，c ≤x ≤3，若f （x ）的值域为[2，6]，则实数c 的取值范围是（ ）A ．[−1，−14]B ．[−14，0)C ．[﹣1，0）D ．[−1，−12]解：因为当x ＜c 时，y =−1x +2，在定义域内单调递增，且有2≤−1x +2≤6，解得x ≤−14，即c ≤−14；又因为当c ≤x ≤3时，f （x ）＝x 2﹣2x +3， 当x ＝3时，y ＝6； 当x ＝1时，y ＝2； 当x ＝﹣1时，y ＝6； 又因为函数的值域为[2，6]，又因为当x ＜0时，−1x +2＞2，所以﹣1≤c ≤−14．故选：A ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.请把答案填涂在答题卡上.9．已知函数y ＝f （x ）的图象由如图所示的两段线段组成，则（ ）A ．f （f （3））＝1B ．不等式f （x ）≤1的解集为[2，103]C ．函数f （x ）在区间[2，3]上的最大值为2D ．f （x ）的解析式可表示为：f （x ）＝x ﹣3+2|x ﹣3|（x ∈[0，4]）解：根据题意，由图象可得，在区间[0，3]上，函数图象为线段，经过点（0，3）和（3，0）， 则其方程为f （x ）＝3﹣x （0≤x ≤3），在区间[3，4]上，函数图象为线段，经过点（3，0）和（4，3）， 则其方程为f （x ）＝3（x ﹣3）（3≤x ≤4）， 综合可得：f （x ）={3−x ，0≤x ≤33(x −3)，3＜x ≤4，由此分析选项：对于A ，f （f （3））＝f （0）＝3，A 错误；对于B ，若f （x ）≤1，则有{3−x ≤10≤x ≤3或{3(x −3)≤13＜x ≤4，解可得2≤x ≤103，即不等式的解集为[2，103]，B 正确； 对于C ，在区间[2，3]上，f （x ）＝3﹣x ，为减函数，其最大值为f （2）＝1，C 错误；对于D ，由于f （x ）={3−x ，0≤x ≤33(x −3)，3＜x ≤4，变形可得f （x ）＝x ﹣3+2|x ﹣3|（x ∈[0，4]），D 正确．故选：BD ．10．下列命题正确的是（ ）A ．命题“∃x ∈R ，使得x 2+2x +1≥0的否定是“∀x ∈R ，都有x 2+2x +1＜0”B ．若x 2+y 2+z 2﹣xy ﹣yz ﹣xz ＝0，则x ＝y ＝zC ．在△ABC 中，“tan A ＞tan B ”是“A ＞B ”的充要条件D ．若ln （x ﹣1）+ln （y ﹣1）＞0，则1x +1y＜1解：根据含有量词的命题的否定可知，∃x ∈R ，使得x 2+2x +1≥0的否定是∀x ∈R ，都有x 2+2x +1＜0，A 正确；若x 2+y 2+z 2﹣xy ﹣yz ﹣xz ＝0，则（x ﹣y ）2+（y ﹣z ）2+（x ﹣z ）2＝0，所以x ＝y ＝z ，B 正确； △ABC 中，当tan A ＞tan B 时，如A ＝30°，B ＝120°，显然不满足A ＞B ，C 错误； 若ln （x ﹣1）+ln （y ﹣1）＞0，则x ＞1，y ＞1，所以ln （x ﹣1）（y ﹣1）＞0， 即（x ﹣1）（y ﹣1）＞1，整理得xy ＞x +y ，所以1x +1y＜1，D 正确．故选：ABD ． 11．已知sin(α+β)=√2+√64，tanα−√3tanβ=0，则（ ）A ．sinαcosβ=√64B ．tan(α+β)=2+√3C ．sin2αsin2β=√32D ．cos(α−β)=±√2+√64解：A 选项中，sin （α+β）＝sin αcos β+cos αsin β=√6+√24，所以cos （α+β）＝±√1−sin 2(α+β)=±√6−√24， tan α=√3tan β，即sinαcosα=√3sinβcosβ，所以√33sin αcos β＝cos αsin β，所以（1+√33）sin αcos β=√6+√24，解得sin αcos β=√64，所以A 正确；B 选项中，由A 选项可知cos （α+β）＝±√6−√24，所以tan （α+β）=sin(β+α)cos(α+β)=±（2+√3），所以B不正确；C 选项中，由A 选项可知cos αsin β=√33sin αcos β=√24， 所以sin2αsin2β＝2sin αcos β•2cos αsin β＝2×√24×2×√64=√32，所以C 正确；D 选项中，由B 选项知，cos （α+β）＝±√6−√24，cos 2（α﹣β）﹣cos 2（α+β）＝（cos αcos β+sin αsin β）2﹣（cos αcos β﹣sin αsin β）2＝4cos αcos βsin αsin β＝sin2αsin2β=√32，所以cos 2（α﹣β）=√32+cos 2（α+β）=√32+8−4√316=8+4√316=(√6+√24)2，可得cos(α−β)=±√2+√64，故D 正确． 故选：ACD ．12．已知f(x)=sin(ωx +φ)+2(ω＞0，|φ|＜π2)在(π6，5π12)上是单调函数，对任意x ∈R 满足f(x +π6)=4−f(π6−x)且f(x)≤f(5π12)．设函数g(x)=f(x +π6)−2，ℎ(x)=12|g(x)|tanx +cosx|cosx|，则（ ）A ．函数g （x ）是偶函数B ．若函数f （x ）在[π2，a]上存在最大值，则实数a 的取值范围为[17π12，+∞)C ．函数h （x ）的最大值为1D ．函数h （x ）的图象关于直线x =π2对称解：因为f(x +π6)+f(x −π6)=4，所以f （x ）的图象关于点(π6，2)对称，又对任意x ∈R ，都有f(x)≤f(5π12)，所以当x =5π12时，f （x ）取得最大值， 因为f （x ）在 (π6，5π12) 是单调函数，所以T 4=5π12−π6，得T ＝π，所以ω=2πT =2，又因为函数f （x ）在x =5π12时取得最大值， 所以sin(2×5π12+φ)+2=3，5π6+φ=π2+2kπ，k ∈Z ， 因为|φ|＜π2，所以φ=−π3，则f(x)=sin(2x −π3)+2，因为函数g(x)=f(x +π6)−2，所以g （x ）＝sin2x ，A ．g （x ）为奇函数，故A 错误；B ．函数f （x ）在x =5π12时取得最大值，又因为5π12＜π2，周期T ＝π， 所以x ＞5π12时，函数f （x ）在x =17π12取得最大值，则实数a 的取值范围为[17π12，+∞)，故B 正确； C .ℎ(x)≤|12tanxsin2x|+|cosx|⋅|cosx|=sin 2x +cos 2x =1，且h （0）＝1，故C 正确；D ．若h （x ）的图象关于直线x =π2对称，只要证h （π﹣x ）＝h （x ）对定义域内的x 都成立，取x ＝0，h （0）＝1， 但h （π﹣0）＝h （π）＝﹣1，所以h （π﹣0）≠h （0），矛盾， 所以h （x ）的图象不关于直线x =π2对称．故D 错误．故选：BC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f （x ）＝sin （x +φ）且f(π3)=−12，写出满足条件的φ的一个值 5π6（答案不唯一） ．解：根据题意，函数f （x ）＝sin （x +φ）且f(π3)=−12，则有sin （π3+φ）=−12，即π3+φ＝2k π+7π6或2k π−π6，（k ∈Z ），变形可得φ＝2k π+5π6或φ＝2k π−π2，（k ∈Z ），φ=5π6是一个符合条件的值．故答案为：5π6（答案不唯一）．14．已知正数a ，b 满足log 2a ＝log 3b ＝log 65，则ab ＝ 5 ．解：设log 2a ＝log 3b ＝log 65＝k ，则a ＝2k ，b ＝3k ，5＝6k ；所以ab ＝2k •3k ＝（2×3）k ＝6k ＝5． 故答案为：5．15．已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点P （2，m ），Q （3，n ），其中m ＜n ，若sin2θ=1213，则m ﹣n ＝ −23或−32． 解：已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点P （2，m ），Q （3，n ），其中m ＜n ，则tanθ=n−m3−2=n −m ， 又sin2θ=1213，则2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=1213，即2tanθ1+tan 2θ=1213，则6tan 2α﹣13tan α+6＝0， 则tanα=23或tanα=32，则m ﹣n 等于−23或−32．故答案为：−23或−32．16．已知f （x ）是定义在R 上且不恒为零的函数，对于任意实数a ，b 满足f （ab ）＝af （b ）+bf （a ），若f （2）＝2，则f(−1)+f(−14)= 12．解：当a ＝b ＝0时，f （0）＝0，当a ＝b ＝1时，f （1）＝2f （1），解得f （1）＝0，故f （0）＝f （1）＝0， 当a ＝b ＝﹣1时，f （1）＝﹣2f （﹣1）＝0，解得f （﹣1）＝0， 函数f （x ）的定义域为R ，令a ＝﹣1，b ＝x ，则f （﹣x ）＝﹣f （x ）+xf （﹣1），即f （﹣x ）＝﹣f （x ），故f （x ）为奇函数， 令a ＝2，b =12，则f （1）=f(2×12)=2f(12)+12f(2)=0，解得f(12)=−12，同理可得，f(14)=f(12)=−12，函数f （x ）是奇函数，则f(−14)=12，故f(−1)+f(−14)=12．故答案为：12．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）在①角α的终边与单位圆的交点为M(17，y)；②2sin α＝7sin2α；③4sin 2α﹣45cos 2α＝3这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题． 已知cos(α−β)=1314，且0＜β＜α＜π2，_____． （1）求7sin(π+α)+tan(−α)sin(π2+α)−cos(π−α)的值； （2）求β的值．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 选①：解：（1）已知角α的终边与单位圆的交点为M(17，y)，则cosα=17，又0＜α＜π2，则sinα=√1−cos 2α=4√37，tanα=sinαcosα=4√3，则7sin(π+α)+tan(−α)sin(π2+α)−cos(π−α)=−7sinα−tanαcosα+cosα=(−7)×4√37−4√327=−28√3；（2）已知cos(α−β)=1314，且0＜β＜α＜π2， 则sin(α−β)=√1−cos 2(α−β)=3√314， 则sin β＝sin[α﹣（α﹣β）]＝sin αcos （α﹣β）﹣cos αsin （α﹣β）=4√37×1314−17×3√314=√32， 则β=π3．选②：解：（1）已知2sin α＝7sin2α，则sin α＝7sin αcos α， 又0＜α＜π2，则cosα=17，则sinα=√1−cos 2α=4√37，tanα=sinαcosα=4√3， 则7sin(π+α)+tan(−α)sin(π2+α)−cos(π−α)=−7sinα−tanαcosα+cosα=(−7)×4√37−4√327=−28√3；（2）已知cos(α−β)=1314，且0＜β＜α＜π2， 则sin(α−β)=√1−cos 2(α−β)=3√314， 则sin β＝sin[α﹣（α﹣β）]＝sin αcos （α﹣β）﹣cos αsin （α﹣β）=4√37×1314−17×3√314=√32， 则β=π3．选③：解：（1）已知4sin 2α﹣45cos 2α＝3，则cos 2α=149，又0＜α＜π2，则cosα=17，则sinα=√1−cos2α=4√37，tanα=sinαcosα=4√3，则7sin(π+α)+tan(−α)sin(π2+α)−cos(π−α)=−7sinα−tanαcosα+cosα=(−7)×4√37−4√327=−28√3；（2）已知cos(α−β)=1314，且0＜β＜α＜π2，则sin(α−β)=√1−cos2(α−β)=3√3 14，则sinβ＝sin[α﹣（α﹣β）]＝sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）=4√37×1314−17×3√314=√32，则β=π3．18．（12分）已知二次函数f（x）＝x2﹣bx+c，对任意x∈R都有f（﹣2﹣x）＝f（﹣2+x），且f（0）＝6．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对于∀m∈[﹣1，2]，不等式mf（x）﹣6＜0恒成立，求x的取值范围．解：（1）因为对任意x∈R都有f（﹣2﹣x）＝f（﹣2+x），且f（0）＝6．所以二次函数f（x）＝x2﹣bx+c的对称轴为x＝﹣2，所以{−−b2=−2f(0)=c=6，解得b＝﹣4，c＝6，所以f（x）＝x2+4x+6；（2）因为对于∀m∈[﹣1，2]，不等式mf（x）﹣6＜0恒成立，即对于∀m∈[﹣1，2]，不等式m（x2+4x+6）﹣6＜0恒成立，令g（m）＝m（x2+4x+6）﹣6，因为x2+4x+6＝（x+2）2+2＞0，所以g（m）＝m（x2+4x+6）﹣6在m∈[﹣1，2]上单调递增，所以g（2）＝2x2+8x+6＜0，解得﹣3＜x＜﹣1，所以x的取值范围为（﹣3，﹣1）．19．（12分）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/l）与时间t（单位：h）间的关系为P=P0(12)kt，其中P0，k是正的常数．如果在前5h消除了10%的污染物，那么：（1）10h后还剩百分之几的污染物；（2）污染物减少50%需要花多少时间（精确到1h）．参考数据：ln0.5≈0.693，ln0.9≈0.105．解：（1）∵P =P 0(12)kt ，依题意，当t ＝5时，P ＝（1﹣10%）P 0，∴0.9P 0=P 0(12)5k ，即（12）5k ＝0.9，∴（12）10k ＝0.92＝0.81，∴10h 后的污染物含量为P 0（12）10t＝0.81P 0，即10h 后还剩81%的污染物；（2）令（12）kt ＝0.5，得kt ＝1，又∵（12）5k ＝0.9，∴5k =log 120.9，∴t =1k=1log 120.95=5log 120.9=5ln0.9ln 12=5ln0.5ln0.9≈33， 即污染物减少50%需要花33小时． 20．（12分）已知函数f(x)=4x+m2x 是偶函数． （1）求实数m 的值；（2）设函数g （x ）＝2x +1﹣f （x ），h （x ）＝4x +b ，若对任意x 1∈[1，2]，总存在x 2∈[1，2]使得g （x 1）＝h （x 2），求实数b 的取值范围．解：（1）因为f(x)=4x+m 2x ，是偶函数，所以对于任意的实数x ，有f （x ）＝f （﹣x ）， 所以4x +m 2x=4−x +m 2−x对任意的实数x 恒成立，即（1﹣m ）（2x ﹣2﹣x ）＝0恒成立， 所以1﹣m ＝0， 即m ＝1．（2）因为g(x)=2x+1−f(x)=2x+1−(2x +12x )=2x−12x 在R 上单调递增， 所以x ∈[1，2]时，32≤g(x)≤154，x ∈[1，2]时，4+b ≤h （x ）≤8+b ，又因为对任意x 1∈[1，2]，总存在x 2∈[1，2]使得g （x 1）＝h （x 2），所以g （x ）的值域是h （x ）值域的子集，即{4+b ≤328+b ≥154，解得−174≤b ≤−52， 所以实数b 的取值范围为[−174，−52]． 21．（12分）已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)cosωx +12(ω＞0，|φ|＜π2)的图象关于直线x =π6对称，其最小正周期与函数y ＝|tan2x |相同． （1）求f （x ）的单调递减区间；（2）设函数g （x ）＝e x ﹣e ﹣x ，ℎ(x)=lnx +f(π16x +π24)，证明：h （x ）有且只有一个零点x 0，且g(sin π4x 0)＜e 2−1e ．解：（1）∵f （x ）＝2sin （ωx +φ）cos ωx +12= 2（sin ωx cos φ+cos ωx sin φ）cos ωx +12=2sin ωx cos ωx cos φ+2cos 2ωx sin φ+12=sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φ+sin φ+12＝sin （2ωx +φ）+sin φ+12的最小正周期与函数y ＝|tan2x |相同，∴2π2ω=π2⇒ω＝2．又因为函数f （x ）的图象关于直线x =π6对称，∴4×π6+φ=kπ+π2⇒φ＝k π−π6（k ∈Z ），又|φ|＜π2，∴φ=−π6， ∴f(x)=sin(4x −π6)+sin(−π6)+12=sin(4x −π6)，由2k π+π2≤4x −π6≤2kπ+3π2，得kπ2+π6≤x ≤kπ2+5π12， ∴f （x ）的单调递减区间是[kπ2+π6，kπ2+5π12](k ∈Z)．证明：（2）①当x ∈（0，2]时， ∵ℎ(x)=lnx +f(π16x +π24)=lnx +sin π4x 在（0，2]上单调递增， ℎ(1e )=ln 1e +sin π4e =−1+sin π4e ＜0，ℎ(1)=sin π4=√22＞0， ∴根据零点存在定理，∃x 0∈(1e，1)，使得h （x 0）＝0，故h （x ）在（0，2]上有且只有一个零点x 0； ②当x ∈（2，e ]时，∵lnx ＞ln 2＞0，sin π4x ＞sin π4e ＞sin π＝0，∴h （x ）＞0，h （x ）在（2，e ]上不存在零点； ③当x ∈（e ，+∞）时， ∵lnx ＞lne ＞1，sin π4x ≥﹣1，∴h （x ）＞1﹣1＝0，h （x ）在（e ，+∞）上不存在零点． 综上：h （x ）有且只有一个零点x 0，且x 0∈(1e，1)．∵h （x 0）＝lnx 0+sin π4x 0＝0⇒sin π4x 0＝﹣lnx 0，∴g(sin π4x 0)=g(−lnx 0)=e −lnx 0−e lnx 0=1x 0−x 0．又y =1x −x 在(1e ，1)上单调递减⇒1x 0−x 0＜e 2−1e ，∴g(sin π4x 0)＜e 2−1e．22．（12分）已知函数f(x)=3x +k ⋅13x ，g(x)=log 3x+1x−1． （1）若函数f （x ）在[0，+∞）为增函数，求实数k 的取值范围；（2）当k ＝0时，∃x 1，x 2∈（0，+∞），函数y ＝g （f （x ））在区间[x 1，x 2]上的值域为{y |1﹣log 3[a （2f （x 2）﹣1）]≤y ≤1﹣log 3[a （2f （x 1）﹣1）]}，求实数a 的取值范围． 解：（1）任取x 1＞x 2≥0， 则f （x 1）﹣f （x 2）=(3x 1+13x 1)−(3x 2+13x 2)=(3x 1−3x 2)+k(3x 2−3x2)3x 1+x 2=(3x 1−3x 2)(1−k3x 1+x 2)， 因为函数f （x ）在[0，+∞）上为增函数，且x 1＞x 2≥0时，3x 2−3x 2＞0， 所以由f （x 1）﹣f （x 2）＞0，可得1−k3x 1+x 2＞0，即k ＜3x 1+x 2，由x 1+x 2＞0得3x 1+x 2＞1，可知k ≤1，因此实数k 的取值范围是（﹣∞，1]；（2）当k ＝0时，f （x ）＝3x，令ℎ(x)=g(f(x))=g(3x)=log 33x+13x −1=log 3(1+23x −1)，因为y =1+23x−1在（0，+∞）上单调递减，且y ＝log 3x 在（0，+∞）上单调递增， 所以h （x ）是（0，+∞）上的单调递减函数，因为h （x ）在区间[x 1，x 2]上的值域为{y |1﹣log 3[a （2f （x 2）﹣1）]≤y ≤1﹣log 3[a （2f （x 1）﹣1）]，所以{log 33x1+13x 1−1=1−log 3[a(2f(x 1)−1)]=log 33a(2f(x 1)−1)log 33x 2+13x 2−1=1−log 3[a(2f(x 2)−1)]=log 33a(2f(x 2−1))，即{3x1+13x 1−1=32a⋅3x 1−a 3x2+13x 2−1=32a⋅3x 2−a， 令t ＝3x （因为x ＞0，所以t ＞1），可知关于t 的方程t+1t−1=32at−a在（1，+∞）上有两个不等实数根，等价于关于t 的方程2at 2+（a ﹣3）t ﹣a +3＝0在（1，+∞）上有两个不等实数根t 1、t 2， 由x ＞0时，3x ＞1，结合a （2f （x ）﹣1）＞0，可知a ＞0，令φ（t ）＝2at 2+（a ﹣3）t ﹣a +3，则{−a−34a ＞1Δ=(a −3)2−8a(3−a)＞0φ(1)=2a ＞0，解得0＜a ＜13，所以实数a 的取值范围是(0，13)．。