高考数学(文科)考试大纲
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2020年普通高等学校招生全国统一考试大纲——数学(文)(必修+选修Ⅰ)Ⅰ.考试性质普通高等学校招生全国统一考试是由合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试,高等学校根据考生的成绩,按已确定的招生计划,德、智、体、全面衡量,择优录取,因此,高考应有较高的信度、效度,必要的区分度和适当的难度.Ⅱ.考试要求《普通高等学校招生全国统一考试大纲(文科·2020年版)》中的数学科部分,根据普通高等学校对新生文化素质的要求,依据国家教育部2002年颁布的《全日制普通高级中学课程计划》和《全日制普通高级中学数学教学大纲》的必修课与选修I的教学内容,作为文史类高考数学科试题的命题范围.数学科的考试,按照“考查基础知识的同时,注重考查能力”的原则,确立以能力立意命题的指导思想,将知识、能力与素质考查融为一体,全面检测考生的数学素养.数学科考试要发挥数学作为基础学科的作用,既考查中学数学知识和方法,又考查考生进入高校继续学习的潜能.一、考试内容的知识要求、能力要求和个性品质要求1.知识要求知识是指《全日制普通高级中学数学教学大纲》所规定的教学内容中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及其中的数学思想和方法.对知识的要求,依此为了解、理解和掌握、灵活和综合运用三个层次.(1)了解:要求对所列知识的含义及其相关背景有初步的、感性的认识,知道这一知识内容是什么,并能(或会)在有关的问题中识别它.(2)理解和掌握:要求对所列知识内容有较深刻的理论认识,能够解释、举例或变形、推断,并能利用知识解决有关问题.(3)灵活和综合运用:要求系统地掌握知识的内在联系,能运用所列知识分析和解决较为复杂的或综合性的问题.2.能力要求能力是指思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识.(1)思维能力:会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括;会用类比、归纳和演绎进行推理;能合乎逻辑地、准确地进行表述.数学是一门思维的科学,思维能力是数学学科能力的核心.数学思维能力是以数学知识为素材,通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和模式构建等诸方面,对客观事物中的空间形式、数量关系和数学模式进行思考和判断,形成和发展理性思维,构成数学能力的主体.(2)运算能力:会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理;能根据问题的条件和目标,寻找与设计合理、简捷的运算途径;能根据要求对数据进行估计和近似计算.运算能力是思维能力和运算技能的结合.运算包括对数字的计算、估值和近似计算,对式子的组合变形与分解变形,对几何图形各几何量的计算求解等.运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力,也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力以及实施运算和计算的技能。
题号16年全国I卷17年全国I卷18年全国I卷19年全国I卷1集合交运算集合运算、解一次不等式集合交集复数2复数四则运算样本的数字特征复数运算及模集合运算3古典概型复数四则运算及概念统计饼图信息指对数比较大小4解三角形几何概型、对称椭圆的离心率数学审美文化5椭圆的离心率双曲线、面积计算圆柱截面表面积函数图像6三角函数性质线面平行的判断函数切线方程统计(系统抽样)7三视图球表面积线性规划平面向量的线性运算三角函数8指对数比较大小函数图像三角函数性质平面向量9函数图像函数的单调性、对称三视图最短距离等差数列10程序框图程序框图立几线面角、体积双曲线11立几异面直线的夹角解三角形三角函数定义应用解三角形12导数已知单调性求参数范围椭圆、参数的取值范围分段函数解不等式直线与椭圆13平面向量的运算平面向量坐标运算函数求参数问题曲线的切线方程14三角函数求值求曲线的切线方程线性规划等比数列15直线与圆的位置关系三角恒等变换直线与圆求弦长三角函数16线性规划三棱锥的外接球,球表面积解三角形求面积立体几何(点面距离)17等差数列通项,等比数列证明并求和等比数列、等差数列等比数列、通项概率与统计18垂直等价证明,作正投影,求体积立几面面垂直、体积与侧面积立几翻折、面面垂直、体积等差数列19函数解析式、概率统计相关系数、均值与标准差概率统计分布直方图立体几何(线面平行、点面距离)20直线与抛物线直线与抛物线综合问题直线与抛物线、证角导数、零点21函数与导数的应用函数与导数的应用单调性、由不等式成立求参数范围函数与导数极值、单调区间、证明不等式直线与圆2016-2020年高考全国I卷数学试题考点细目表20年全国I卷集合交集复数运算求模四棱锥排列组合对数函数图像直线与圆的相交弦长三角函数图像指对数运算程序框图等比数列双曲线三棱锥外接球问题线性规划平面向量坐标运算曲线的切线方程数列频率、平均值的计算解三角形面面垂直、三棱锥的体积函数与导数的应用单调性、利用零点求参数范围椭圆的方程、直线与椭圆综合问题。
四川高考文科数学考试大纲一、考试时间与方式
本次考试时间为120分钟,采用闭卷形式。
二、考试内容与重点难点
1.函数与方程
(1)函数的初步概念与性质;
(2)一元二次函数的图像、性质及基本应用;(3)一元二次方程的基本概念、解法及其应用。
2.数列与数学归纳法
(1)数列的初步概念、通项公式及其应用;
(2)等差数列与等比数列的性质及其应用;
(3)数学归纳法的理解及应用。
3.三角函数
(1)角度的概念及其表示方法;
(2)三角函数的基本概念、定义及其图像;
(3)三角函数的性质及其应用。
4.导数与微分
(1)导数的概念、基本性质及其计算方法;
(2)微分的概念及其应用;
(3)函数的单调性、最值及其应用。
三、考试要求
1.掌握函数与方程、数列与数学归纳法、三角函数、导数与微
分等基本概念、性质及其应用。
2.熟练掌握一元二次函数、一元二次方程、等差数列、等比数列、三角函数的图像及其基本性质。
3.熟练掌握导数的定义、求导法则、微分的定义及其应用。
4.掌握函数的单调性、最值等基本性质及其应用。
5.掌握数学归纳法的理解及其应用。
6.具备良好的解题能力,能够根据所给条件,选取合适的方法,解决实际问题。
7.注意题目中的单位,答案应给出正确的单位,保证计算准确。
2021 年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)一、选择题:本大题共12 小题,每小题5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2013•大纲版)设集合U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},则∁U A=()A.{1,2} B.{3,4,5} C.{1,2,3,4,5} D.∅2.(5分)(2013•大纲版)若α为第二象限角,sinα=,则cosα=()A. B. C.D.3.(5分)(2013•大纲版)已知向量=(λ+1,1),=(λ+2,2),若(+)⊥(﹣),则λ=()A.﹣4 B.﹣3 C.﹣2 D.﹣14.(5分)(2013•大纲版)不等式|x2﹣2|<2的解集是()A.(﹣1,1)B.(﹣2,2)C.(﹣1,0)∪(0,1)D.(﹣2,0)∪(0,2)5.(5分)(2013•大纲版)(x+2)8的展开式中x6的系数是()A.28 B.56 C.112 D.2246.(5分)(2013•大纲版)函数f(x)=log2(1+)(x>0)的反函数f﹣1(x)=()A.B.C.2x﹣1(x∈R)D.2x﹣1(x>0)7.(5分)(2013•大纲版)已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0,a2=﹣,则{a n}的前10项和等于()A.﹣6(1﹣3﹣10)B.C.3(1﹣3﹣10)D.3(1+3﹣10)8.(5分)(2013•大纲版)已知F1(﹣1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x 轴的直线交椭圆于A、B 两点,且|AB|=3,则C 的方程为()A.B.C.D.9.(5分)(2013•大纲版)若函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图,则ω=()A.5 B.4 C.3 D.210.(5分)(2013•大纲版)已知曲线y=x4+ax2+1在点(﹣1,a+2)处切线的斜率为8,a =()A.9 B.6 C.﹣9 D.﹣611.(5分)(2013•大纲版)已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1 所成角的正弦值等于()A. B. C.D.12.(5分)(2013•大纲版)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M(﹣2,2),过点F且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点,,则k=()A. C.D.2二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.13.(5分)(2013•大纲版)设f(x)是以2为周期的函数,且当x∈[1,3)时,f(x)=x ﹣2,则f(﹣1)=.14.(5分)(2013•大纲版)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖,2名二等奖,3名三等奖,则可能的决赛结果共有种.(用数字作答)15.(5分)(2013•大纲版)若x、y满足约束条件,则z=﹣x+y的最小值为.16.(5分)(2013•大纲版)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O 的半径,,则球O 的表面积等于.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2013•大纲版)等差数列{a n}中,a7=4,a19=2a9,(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)设,求数列{b n}的前n 项和S n.18.(12分)(2013•大纲版)设△ABC的内角A,B,C的内角对边分别为a,b,c,满足(a+b+c)(a﹣b+c)=ac.(Ⅰ)求B.(Ⅱ)若,求C.19.(12分)(2013•大纲版)如图,四棱锥P﹣ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB 与△PAD 都是边长为2 的等边三角形.(Ⅰ)证明:PB⊥CD;(Ⅱ)求点A 到平面PCD 的距离.20.(12分)(2013•大纲版)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均,各局比赛的结果都相互独立,第1 局甲当裁判.(Ⅰ)求第4 局甲当裁判的概率;(Ⅱ)求前4 局中乙恰好当1 次裁判概率.21.(12分)(2013•大纲版)已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1.(Ⅰ)求时,讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若x∈[2,+∞)时,f(x)≥0,求a 的取值范围.22.(12分)(2013•大纲版)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y=2 与C 的两个交点间的距离.(I)求a,b;(II)设过F2 的直线l 与C 的左、右两支分别相交于A、B 两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列.2013 年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12 小题,每小题5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2013•大纲版)设集合U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},则∁U A=()A.{1,2} B.{3,4,5} C.{1,2,3,4,5} D.∅【分析】由题意,直接根据补集的定义求出∁U A,即可选出正确选项【解答】解:因为U={1,2,3,4,5,},集合A={1,2}所以∁U A={3,4,5}故选:B.【点评】本题考查补集的运算,理解补集的定义是解题的关键2.(5分)(2013•大纲版)若α为第二象限角,sinα=,则cosα=()A. B. C.D.【分析】由α为第二象限角,得到cosα小于0,根据sinα的值,利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα的值.【解答】解:∵α为第二象限角,且,∴cosα=﹣.故选:A.【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系,熟练掌握基本关系是解本题的关键.3.(5分)(2013•大纲版)已知向量=(λ+1,1),=(λ+2,2),若(+)⊥(﹣),则λ=()A.﹣4 B.﹣3 C.﹣2 D.﹣1【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出.【解答】解,.∴=(2λ+3,3),.∵,∴=0,∴﹣(2λ+3)﹣3=0,解得λ=﹣3.故选:B.【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键.4.(5分)(2013•大纲版)不等式|x2﹣2|<2的解集是()A.(﹣1,1)B.(﹣2,2)C.(﹣1,0)∪(0,1)D.(﹣2,0)∪(0,2)【分析】直接利用绝对值不等式的解法,去掉绝对值后,解二次不等式即可.【解答】解:不等式|x2﹣2|<2 的解集等价于,不等式﹣2<x2﹣2<2 的解集,即0<x2<4,解得x∈(﹣2,0)∪(0,2).故选:D.【点评】本题考查绝对值不等式的解法,考查转化思想与计算能力.5.(5分)(2013•大纲版)(x+2)8的展开式中x6的系数是()A.28 B.56 C.112 D.224【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1 项,令x 的指数为6 求出x6的系数.【解答】解:(x+2)8展开式的通项为T r+1=x8﹣r2r令8﹣r=6 得r=2,∴展开式中x6的系数是2 2C82=112.故选:C.【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具.6.(5分)(2013•大纲版)函数f(x)=log2(1+)(x>0)的反函数f﹣1(x)=()A.B.C.2x﹣1(x∈R)D.2x﹣1(x>0)【分析】把y 看作常数,求出,x,y 互换,得到)的反函数.注意反函数的定义域.【解答】解:设y=log2(1+),把y 看作常数,求出x:1+=2y,x=,其中y>0,x,y 互换,得到)的反函数,故选:A.【点评】本题考查对数函数的反函数的求法,解题时要认真审题,注意对数式和指数式的相互转化.7.(5分)(2013•大纲版)已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0,a2=﹣,则{a n}的前10项和等于()A.﹣6(1﹣3﹣10)B.C.3(1﹣3﹣10)D.3(1+3﹣10)【分析】由已知可知,数列{a n}是以为公比的等比数列,结合已可求a1,然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解:∵3a n+1+a n=0∴∴数列{a n}是以为公比的等比数列∵∴a1=4由等比数列的求和公式可得,S10==3(1﹣3﹣10)故选:C.【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用,属于基础试题8.(5分)(2013•大纲版)已知F1(﹣1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x 轴的直线交椭圆于A、B 两点,且|AB|=3,则C 的方程为()A.B.C.D.【分析】设椭圆的方程为,根据题意可=1.再由AB 经过右焦点F2 且垂直于x 轴且|AB|=3 算出A、B 的坐标,代入椭圆方程,两式联解即可算出a2=4,b2=3,从而得到椭圆C 的方程.【解答】解:设椭圆的方程为,可得=1,所以a2﹣b2=1…①∵AB 经过右焦点F2 且垂直于x 轴,且|AB|=3∴可得A(1,),B(1,﹣),代入椭圆方程得,…②联解①②,可得a2=4,b2=3∴椭圆C 的方程为故选:C.【点评】本题给出椭圆的焦距和通径长,求椭圆的方程.着重考查了椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质等知识,属于基础题.9.(5分)(2013•大纲版)若函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图,则ω=()A.5 B.4 C.3 D.2【分析】利用函数图象已知的两点的横坐标的差值,求出函数的周期,然后求解ω.【解答】解:由函数的图象可知,(x0,y0),纵坐标相反,而且不是相邻的对称点,所以函数的周期)=,所以=,所以ω==4.故选:B.【点评】本题考查三角函数解析式以及函数的周期的求法,考查学生的视图用图能力.10.(5分)(2013•大纲版)已知曲线y=x4+ax2+1在点(﹣1,a+2)处切线的斜率为8,a =()A.9 B.6 C.﹣9 D.﹣6【分析】先求导函数,再利用导数的几何意义,建立方程,即可求得 a 的值.【解答】解:∵y=x4+ax2+1,∴y′=4x3+2ax,∵曲线y=x4+ax2+1 在点(﹣1,a+2)处切线的斜率为8,∴﹣4﹣2a=8∴a=﹣6故选:D.【点评】本题考查导数的几何意义,考查学生的计算能力,属于基础题.11.(5分)(2013•大纲版)已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1 所成角的正弦值等于()A. B. C.D.【分析】设AB=1,则AA1=2,分别的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,=(x,y,z)为平面BDC1 的一个法向量,CD 与平面BDC1 所成角为θ,则|,在空间坐标系下求出向量坐标,代入计算即可.【解答】解:设AB=1,则AA1=2,分别的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,如下图所示:则D(0,0,2),C1(1,0,0),B(1,1,2),C(1,0,2),=(1,1,0),=(1,0,﹣2),=(1,0,0),设=(x,y,z)为平面BDC1 的一个法向量,则,,取=(2,﹣2,1),设CD 与平面BDC1 所成角为θ,则|=,故选:A.【点评】本题考查直线与平面所成的角,考查空间向量的运算及应用,准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键.12.(5分)(2013•大纲版)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M(﹣2,2),过点F且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点,,则k=()A. C.D.2【分析】斜率k存在,设直线AB为y=k(x﹣2),代入抛物线方程,利用=(x1+2,y1﹣2)•(x2+2,y2﹣2)=0,即可求出k 的值.【解答】解:由抛物线C:y2=8x得焦点(2,0),由题意可知:斜率k存在,设直线AB为y=k(x﹣2),代入抛物线方程,得到k2x2﹣(4k2+8)x+4k2=0,△>0,设A(x1,y1),B(x2,y2).∴x1+x2=4+ ,x1x2=4.∴y1+y2=,y1y2=﹣16,又=0,∴=0∴k=2.故选:D.【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查向量的数量积公式,考查学生的计算能力,属于中档题.二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.13.(5分)(2013•大纲版)设f(x)是以2为周期的函数,且当x∈[1,3)时,f(x)=x ﹣2,则f(﹣1)=﹣1 .【分析】利用函数的周期,求出f(﹣1)=f(1),代入函数的解析式求解即可.【解答】解:因设f(x)是以2 为周期的函数,且当x∈[1,3)时,f(x)=x﹣2,则f(﹣1)=f(1)=1﹣2=﹣1.故答案为:﹣1.【点评】本题考查函数的周期的应用,函数值的求法,函数的定义域是解题的关键,考查计算能力.14.(5分)(2013•大纲版)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖,2名二等奖,3名三等奖,则可能的决赛结果共有60种.(用数字作答)【分析】6 名选手中决出1 名一等奖种方法,2 名二等奖种方法,利用分步计数原理即可得答案.【解答】解:依题意,可分三步,第一步从6 名选手中决出1 名一等奖种方法,第二步,再决出2 名二等奖,种方法,第三步,剩余三人为三等奖,根据分步乘法计数原理得:共•=60 种方法.故答案为:60.【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题,掌握分步计数原理是解决问题的关键,属于中档题.15.(5分)(2013•大纲版)若x、y满足约束条件,则z=﹣x+y的最小值为0 .【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABC 及其内部,再将目标函数z=﹣x+y 对应的直线进行平移,可得当x=y=1 时,目标函数z 取得最小值,从而得到本题答案.【解答】解:作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,其中A(1,1),B(0,),C(0,4)设z=F(x,y)═﹣x+y,将直线l:z=﹣x+y 进行平移,当l 经过点A 时,目标函数z 达到最小值∴z 最小值=F(1,1)=﹣1+1=0故答案为:0【点评】题给出二元一次不等式组,求目标函数z=﹣x+y 的最小值,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题.16.(5分)(2013•大纲版)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O 的半径,,则球O 的表面积等于16π.【分析】正确作出图形,利用勾股定理,建立方程,即可求得结论.【解答】解:如图所示,设球O 的半径为r,AB 是公共弦,∠OCK 是面面角根据题意得,CK=在△OCK 中,OC2=OK2+CK2,∴r2=4∴球O 的表面积等于4πr2=16π故答案为16π【点评】本题考查球的表面积,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)(2013•大纲版)等差数列{a n }中,a 7=4,a 19=2a 9, (Ⅰ)求{a n }的通项公式; (Ⅱ)设,求数列{b n }的前 n 项和 S n .【分析】(I )由 a 7=4,a 19=2a 9,结合等差数列的通项公式可求 a 1,d ,进而可求 a n (II )由=,利用裂项求和即可求解【解答】解:(I )设等差数列{a n }的公差为 d ∵a 7=4,a 19=2a 9,∴解得,a 1=1,d ===【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用,试题比较容易18.(12 分)(2013•大纲版)设△ABC 的内角 A ,B ,C 的内角对边分别为 a ,b ,c ,满足(a +b +c )(a ﹣b +c )=ac .(Ⅰ)求 B .∴(II )∵ =∴s n = ==(Ⅱ)若sin A sin C=,求C.【分析】(I)已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算,整理后得到关系式,利用余弦定理表示出cos B,将关系式代入求出cos B 的值,由B 为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出B 的度数;(II)由(I)得到A+C的度数,利用两角和与差的余弦函数公式化简cos(A﹣C),变形后将cos(A+C)及2sin A sin C 的值代入求出cos(A﹣C)的值,利用特殊角的三角函数值求出A﹣C 的值,与A+C 的值联立即可求出C 的度数.【解答】解:(I)∵(a+b+c)(a﹣b+c)=(a+c)2﹣b2=ac,∴a2+c2﹣b2=﹣ac,∴cos B==﹣,又B 为三角形的内角,则B=120°;(II)由(I)得,cos(A+C)=,∴cos (A ﹣C )=cos A cos C+sin A sin C =cos A cos C ﹣sin A sin C+2sin A sin C =cos (A+C )+2sin A sin C=+2×=,∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°,则C=15°或C=45°.【点评】此题考查了余弦定理,两角和与差的余弦函数公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.19.(12分)(2013•大纲版)如图,四棱锥P﹣ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB 与△PAD 都是边长为2 的等边三角形.(Ⅰ)证明:PB⊥CD;(Ⅱ)求点A 到平面PCD 的距离.【分析】(I)取BC 的中点E,连接DE,则ABED 为正方形,过P 作PO⊥平面ABCD,垂足为O,连接OA,OB,OD,OE,证明PB⊥OE,OE∥CD,即可证明PB⊥CD;(II)取PD 的中点F,连接OF,证明O 到平面PCD 的距离OF 就是A 到平面PCD 的距离,即可求得点A 到平面PCD 的距离.【解答】(I)证明:取BC 的中点E,连接DE,则ABED 为正方形,过P 作PO⊥平面ABCD,垂足为O,连接OA,OB,OD,OE由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知PA=PB=PD∴OA=OB=OD,即O 为正方形ABED 对角线的交点∴OE⊥BD,∴PB⊥OE∵O 是BD 的中点,E 是BC 的中点,∴OE∥CD∴PB⊥CD;(II)取PD 的中点F,连接OF,则OF∥PB由(I)知PB⊥CD,∴OF⊥CD,∵,=∴△POD 为等腰三角形,∴OF⊥PD∵PD∩CD=D,∴OF⊥平面PCD∵AE∥CD,CD⊂平面PCD,AE⊈平面PCD,∴AE∥平面PCD∴O 到平面PCD 的距离OF 就是A 到平面PCD 的距离∵OF=∴点A 到平面PCD 的距离为1.【点评】本题考查线线垂直,考查点到面的距离的计算,考查学生转化的能力,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.20.(12分)(2013•大纲版)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均,各局比赛的结果都相互独立,第1 局甲当裁判.(Ⅰ)求第4 局甲当裁判的概率;(Ⅱ)求前4 局中乙恰好当1 次裁判概率.【分析】(I)设A1表示事件“第二局结果为甲胜”,A2表示事件“第三局甲参加比赛结果为甲负”,A表示事件“第四局甲当裁判”,可得A=A1•A2.利用相互独立事件的概率计算公式即可得出;(II)设B1表示事件“第一局比赛结果为乙胜”,B2表示事件“第二局乙参加比赛结果为乙胜”,B3表示事件“第三局乙参加比赛结果为乙胜”,B表示事件“前4局中乙恰好当1 次裁判”.可得,利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可得出.【解答】解:(I)设A1表示事件“第二局结果为甲胜”,A2表示事件“第三局甲参加比赛结果为甲负”,A表示事件“第四局甲当裁判”.则A=A1•A2.P(A)=P(A1•A2)=.(II)设B1表示事件“第一局比赛结果为乙胜”,B2表示事件“第二局乙参加比赛结果为乙胜”,B3表示事件“第三局乙参加比赛结果为乙胜”,B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”.则,则)=+=+=.【点评】正确理解题意和熟练掌握相互独立事件和互斥事件的概率计算公式是解题的关键.21.(12分)(2013•大纲版)已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1.(Ⅰ)求时,讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若x∈[2,+∞)时,f(x)≥0,求a 的取值范围.【分析】(I)把代入可得函数f(x)的解析式,求导数令其为0 可得,或,判断函数在区间),(﹣,﹣),(﹣,+∞)的正负可得单调性;(II)由f(2)≥0,可得a≥,当a≥,x∈(2,+∞)时,由不等式的证明方法可得f′(x)>0,可得单调性,进而可得当x∈[2,+∞)时,有f(x)≥f(2)≥0 成立,进而可得a 的范围.【解答】解:(I)当a=时,f(x)=x3+3x2+3x+1,f′(x)=3x2+6x+3,令f′(x)=0,可得,或,当)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当,﹣)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;(II)由f(2)≥0,可解得,当,x∈(2,+∞)时,f′(x)=3(x2+2ax+1)≥3()=3(x﹣)(x﹣2)>0,所以函数f(x)在(2,+∞)单调递增,于是当x∈[2,+∞)时,f(x)≥f(2)≥0,综上可得,a 的取值范围是,+∞)【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性,涉及函数的最值问题,属中档题.22.(12分)(2013•大纲版)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y=2 与C 的两个交点间的距离.(I)求a,b;(II)设过F2 的直线l 与C 的左、右两支分别相交于A、B 两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列.【分析】(I)由题设,可由离心率为3 得到参数a,b 的关系,将双曲线的方程用参数a 表示出来,再由直建立方程求出参数a 即可得到双曲线的方程;(II)由(I)的方程求出两焦点坐标,设出直线l的方程设A(x1,y1),B(x2,y2),将其与双曲线C 的方程联立,得出x1+x2=,,再利用|AF1|=|BF1|建立关于A,B 坐标的方程,得出两点横坐标的关,由此方程求出k 的值,得出直线的方程,从而可求得:|AF2|、|AB|、|BF2|,再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论.【解答】解:(I)由题设知=3,即=9,故b2=8a2所以C 的方程为8x2﹣y2=8a2将y=2 代入上式,并求得,由题设知=,解得a2=1所以(II)由(I)知,F1(﹣3,0),F2(3,0),C的方程为8x2﹣y2=8①由题意,可设l 的方程为代入①并化简得(k2﹣8)x2﹣6k2x+9k2+8=0设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≤﹣1,x2≥1,x1+x2=,,于是|AF1|==﹣(3x1+1),|BF1|==3x2+1,|AF1|=|BF1|得﹣(3x1+1)=3x2+1,故,解,从而由于=1﹣3x1,|BF2|==3x2﹣1,故|AB|=|AF2|﹣|BF2|=2﹣3(x1+x2)=4,|AF2||BF2|=3(x1+x2)﹣9x1x2﹣1=16因而|AF2||BF2|=|AB|2,所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系,考查了运算能力,题设条件的转化能力,方程的思想运用,此类题综合性强,但解答过程有其固有规律,一般需要把直线与曲线联立利用根系关系,解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性,给以后解答此类题提供借鉴.。
2023年成人高考高起专(文/理科)数学考试大纲总要求:数学科考试旨在测试中学数学基础知识、基本技能、基本方法,考查数学思维能力,包括;空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明、体系构建等,以及运用所学数学知识和方法分析问题和解决问题的能力。
考试分为理工农医和文史财经两类.理工农医类复习考试范围包括代数、三角、平面解析几何、立体几何和概率与统计初步五部分.文史财经类复习考试范围包括代数、三角、平面解析几何和概率与统计初步四部分。
考试中可以使用计算器。
考试内容的知识要求和能力要求作如下说明:l.知识要求本大纲对所列知识提出了三个层次的不同要求,三个层次由低到高顺序排列,且高一级层次要求包含低一级层次要求,三个层次分别为:了解;要求考生对所列知识的含义有初步的认识,识记有关内容,并能进行直接运用。
理解、掌握、会:要求考生对所列知识的含义有较深的认识,能够解释、举例或变形、推断,并能运用知识解决有关问题。
灵活运用:要求考生对所列知识能够综合运用,并能解决较为复杂的数学问题。
2.能力要求逻辑思维能力:会对问题进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括;会用演绎、归纳和类比进行摧理;能准确、清晰、有条理地进行表述。
运算能力:理解算理,会根据法则、公式、概念进行数、式、方程的正确运算和变形;能分析条件,寻求与设计合理、简捷的运算途径;能裉据要求对数据进行估计,能运用计算器进行数值计算。
空间想象能力:能根据条件画出正确图形,根据图形想象出直观形象;能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系;能对图形进行分解、组合、变形。
分析问题和解决问题的能力:能阅读理解对问题进行陈述的材料;能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题,包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题,并能用数学语言正确地加以表述。
一、复习考试内容理工农医类(理科)第一部分代数(一)集合和简易逻辑1.了解集合的意义及其表示方法.了解空集、全集、子集、交集、并集、补集的概念及其表示方法,了解符号(见图)的含义,并能运用这些符号表示集合与集合、元素与集合的关系。
2024年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(甲卷)一、选择题本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、集合 A 1,2,3,4,5,9 , B |1x x A ,则A B =()A. 1,3,4B. 2,3,4C.1,2,3,4 D.0,1,2,3,4,92、设z ,则z z ()A.-2C. D.23、若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y,则5z x y 的最小值为()A.12B.0C.52D.724、等差数列 n a 的前n项和为S n ,若9S 1 ,则37a a =()A.-2B.73 C.1 D.295、甲、乙、丙、丁四人排成一列,丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是()A.14B.13C.12D.236、已知双曲线 2222C:10,0x y a b a b的左、右焦点分别为 1F 0,4、 2F 0,4 且经过点 P 6,4 ,则双曲线C 的离心率是()A.135B.137C.2D.37、曲线 631f x x x 在 01 ,处的切线与坐标轴围成的面积为()A.16B.2C.12D.28、函数2sin x x y x e e x 在区间 -2.82.8,的图像大致为()AB CD9、已知coscos sin a a a ,则tan 4a()A.1B.1C.2D.1 10、已知直线20ax y a 与圆22C 410x y y :交于A ,B 两点,则AB的最小值为()A.2B.3C.4D.611、设 , 为两个平面,m ,n 为两条直线,且m ,下述四个命题:①若//m n ,则//n 或//n ②若m n ,则n 或n ③若//n ,且//n ,则//m n ④若n 与 ,所成的角相等,则m n其中所有真命题的编号是()A.①③B.②④C.①②③D.①③④12、在△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a ,b ,c,已知B 3,294b ac,则sin sinA C ()A.13 B.13C.2D.13二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2010年高考数学(文科)考试大纲Ⅰ.考试性质普通高等学校招生全国统一考试是由合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试,高等学校根据考生的成绩,按已确定的招生计划,德、智、体、全面衡量,择优录取,因此,高考应有较高的信度、效度,必要的区分度和适当的难度.Ⅱ.考试要求《普通高等学校招生全国统一考试大纲(文科·2010年版)》中的数学科部分,根据普通高等学校对新生文化素质的要求,依据国家教育部2002年颁布的《全日制普通高级中学课程计划》和《全日制普通高级中学数学教学大纲》的必修课与选修I的教学内容,作为文史类高考数学科试题的命题范围.数学科的考试,按照"考查基础知识的同时,注重考查能力"的原则,确立以能力立意命题的指导思想,将知识、能力与素质考查融为一体,全面检测考生的数学素养.数学科考试要发挥数学作为基础学科的作用,既考查中学数学知识和方法,又考查考生进入高校继续学习的潜能.一、考试内容的知识要求、能力要求和个性品质要求1.知识要求知识是指《全日制普通高级中学数学教学大纲》所规定的教学内容中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及其中的数学思想和方法.对知识的要求,依此为了解、理解和掌握、灵活和综合运用三个层次.(1)了解:要求对所列知识的含义及其相关背景有初步的、感性的认识,知道这一知识内容是什么,并能(或会)在有关的问题中识别它.(2)理解和掌握:要求对所列知识内容有较深刻的理论认识,能够解释、举例或变形、推断,并能利用知识解决有关问题.(3)灵活和综合运用:要求系统地掌握知识的内在联系,能运用所列知识分析和解决较为复杂的或综合性的问题.2.能力要求能力是指思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识.(1)思维能力:会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括;会用类比、归纳和演绎进行推理;能合乎逻辑地、准确地进行表述.数学是一门思维的科学,思维能力是数学学科能力的核心.数学思维能力是以数学知识为素材,通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和模式构建等诸方面,对客观事物中的空间形式、数量关系和数学模式进行思考和判断,形成和发展理性思维,构成数学能力的主体.(2)运算能力:会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理;能根据问题的条件和目标,寻找与设计合理、简捷的运算途径;能根据要求对数据进行估计和近似计算.运算能力是思维能力和运算技能的结合.运算包括对数字的计算、估值和近似计算,对式子的组合变形与分解变形,对几何图形各几何量的计算求解等.运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力,也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力以及实施运算和计算的技能。
2024年高考数学考试大纲详解随着社会的不断发展,高考作为选拔人才的重要手段,对于学生们来说具有极大的意义。
数学作为高考的一门重要科目,也备受关注。
为了帮助考生更好地应对2024年高考数学考试,下面将对数学考试大纲进行详细解析。
一、考试内容概述2024年高考数学考试涵盖了基础数学和选修数学两个部分。
其中,基础数学包括数与代数、函数与方程、几何与变换等内容;选修数学则提供了数理方法与建模、统计与概率等多个选修模块。
二、基础数学1. 数与代数数与代数是数学学科的基础,也是高考数学的核心内容之一。
考生需要熟练掌握数的四则运算、数的性质以及各种数的表示方法。
代数部分包括代数式的化简、方程的解法、不等式的求解等。
2. 函数与方程函数与方程是高中数学中的重要内容,对于考生来说至关重要。
考生需要掌握函数的性质、图像与性质以及各种类型的方程解法。
特别需要强调的是,对于常用函数如一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等,考生要了解其基本特点和图像变化规律。
3. 几何与变换几何与变换是高考数学中的另一个重点。
考生需要了解几何元素的定义、性质以及各种几何定理的应用。
此外,对于平面图形的变换,考生需要熟悉平移、旋转、翻折和对称等几何变换的基本概念与特点。
三、选修数学1. 数理方法与建模数理方法与建模是2024年高考数学的新选修模块。
这一模块旨在培养学生的数学建模能力和解决实际问题的能力。
考生需要掌握建模过程中的数学方法和技巧,能够将实际问题转化为数学问题,并运用相应的数学方法进行求解。
2. 统计与概率统计与概率是高中数学中的常见内容,也是选修数学中的一项重要内容。
考生需要熟悉统计学的基本概念和方法,能够对数据进行整理和分析。
概率部分主要涉及事件的概率计算和概率模型的应用,考生需要了解基本概率规律及其应用。
四、备考建议1. 熟悉考试大纲考生需要仔细阅读和理解2024年高考数学考试大纲,了解各个模块的要求和重点。
只有全面掌握考试大纲,才能有针对性地进行复习和备考。
新课标高考数学考纲一)命题指导思想1。
命题应依据教育部《普通高中数学课程标准(实验)》和《2007年普通高等学校招生全国统一考试新课程标准数学科考试大纲》(待发),并结合我省普通高中数学教学实际,体现数学学科的性质和特点.2。
命题注重考查考生的数学基础知识、基本技能和数学思想、数学方法、数学能力,体现知识与能力、过程与方法、情感态度与价值观等目标要求。
3.命题既要实现平稳过渡,又要体现新课程理念.4。
注重试题的创新性、多样性和选择性,具有一定的探究性和开放性。
5。
命题要坚持公正、公平原则。
试题要切合我省中学数学教学实际,数学问题的难度、问题的情景等要符合考生的实际水平。
应用题要“贴近生活,背景公平,控制难度”。
6。
命题要注意必修内容和选修内容的有机联系与适当差异,注重数学学科知识的内在联系。
7.试卷要有较高的信度、效度和必要的区分度以及适当的难度,难度系数控制在0.55—0.65之内。
(二)知识和能力要求1.知识要求对知识的要求由低到高分为三个层次,依次是感知和了解、理解和掌握、灵活和综合运用,且高一级的层次要求包括低一级的层次要求。
(1)感知和了解:要求对所学知识的含义有初步的了解和感性的认识,知道这一知识内容是什么,并能在有关的问题中识别、模仿、描述它。
(2)理解和掌握:要求对所学知识内容有较为深刻的理论认识,能够准确地刻画或解释、举例说明、简单变形、推导或证明、抽象归纳,并能利用相关知识解决有关问题.(3)灵活和综合运用:要求系统地掌握知识的内在联系,能灵活运用所学知识分析和解决较为复杂的或综合性的数学现象与数学问题。
2.能力要求能力主要指运算求解能力、数据处理能力、空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力以及实践能力和创新意识.(1)运算求解能力:会根据法则、公式进行正确运算、变形;能根据问题的条件,寻找与设计合理、简捷的运算途径.(2)数据处理能力:会收集、整理、分析数据,能抽取对研究问题有用的信息,并作出正确的判断;能根据要求对数据进行估计和近似计算.(3)空间想象能力:会画简单的几何图形;能准确地分析图形中有关量的相互关系;会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。
高考数学考试大纲
高考数学考试大纲要求学生掌握以下内容:
1. 函数与方程
a. 一次函数与二次函数的性质和图像表示
b. 一元二次方程的解法及应用
c. 一次不等式与二次不等式的解法及应用
2. 平面向量与立体几何
a. 平面向量的基本性质和运算法则
b. 直线和平面的方程及其相互位置关系
c. 空间中点、距离和角的计算方法
3. 三角函数与解三角形
a. 任意角的概念和弧度制
b. 三角函数的基本性质和图像表示
c. 解直角三角形和一般三角形的方法
4. 数列与数列问题
a. 等差数列和等差数列的性质和公式
b. 等比数列和等比数列的性质和公式
c. 求和公式和数列问题的解法
5. 概率与统计
a. 事件的概率和基本概率公式
b. 随机变量、概率分布和期望值
c. 统计指标、样本调查与推断
6. 导数与微分
a. 函数的极限和连续性的概念
b. 导数的定义和计算法则
c. 求函数极值和函数图像的性质
7. 积分与积分应用
a. 不定积分和定积分的定义和计算法则
b. 定积分的几何与物理意义
c. 利用积分计算平均值和面积
备注:以上各大纲部分可能根据具体学校或地区的差异而有所调整,具体以当地相关政策和指导意见为准。
2024年高考四川数学考纲摘要:1.2024年四川高考数学考纲概述2.数学试卷结构与题型分布3.考试要求与难度等级4.备考策略与建议正文:一、2024年四川高考数学考纲概述根据教育部颁布的《2024年普通高等学校招生全国统一考试大纲》,四川高考数学试卷分为理科数学和文科数学两个类别。
本文将对2024年四川高考数学考纲进行详细解析,以帮助广大考生更好地备战高考。
二、数学试卷结构与题型分布1.理科数学:(1)选择题:12题,每题6分,共计72分。
(2)填空题:10题,每题6分,共计60分。
(3)解答题:8题,每题20分,共计160分。
2.文科数学:(1)选择题:10题,每题6分,共计60分。
(2)填空题:8题,每题6分,共计48分。
(3)解答题:6题,每题20分,共计120分。
三、考试要求与难度等级1.理科数学:(1)基础知识:掌握数学基础知识,包括代数、几何、三角、概率与统计等内容。
(2)解题能力:能运用数学公式、定理、性质解决题目,具备一定的数学思维能力。
(3)计算能力:熟练掌握各类计算方法,保证计算准确率。
2.文科数学:(1)基础知识:掌握数学基础知识,包括代数、几何、三角、概率与统计等内容。
(2)解题能力:能运用数学公式、定理、性质解决简单题目,具备一定的数学思维能力。
(3)计算能力:熟练掌握基本计算方法,保证计算准确率。
四、备考策略与建议1.制定合理的学习计划,确保复习进度。
2.立足教材,打牢基础知识。
3.针对性地进行题型训练,提高解题速度和准确率。
4.定期进行模拟考试,检验复习成果,调整学习方法。
5.保持良好的心态,积极面对高考挑战。
总之,了解2024年四川高考数学考纲对于考生至关重要。
通过掌握考纲要求,合理制定备考策略,相信广大考生定能取得优异的成绩。
2023年普通高等学校招生全国统一考试(四川)数 学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3到8页。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项:1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己地姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.每小题选出解析后,用铅笔把答题卡上对应题目地解析标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它解析标号。
不能答在试卷卷上。
3.本卷共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地。
参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么 球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24RS π=如果事件A 、B 相互独立,那么 其中R 表示球地半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球地体积公式如果事件A 在一次试验中发生地概率是P,那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次地概率 其中R 表示球地半径kn k kn n P P C k P --=)1()(一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地。
1、设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,3,4} ,则C U (A ∩B )=(A ){2,3} (B ) {1,4,5} (C ){4,5} (D ){1,5}2、函数1ln(21),()2y x x =+>-地反函数是(A )11()2x y e x R =- ∈ (B )21()x y e x R =- ∈ (C ) 1(1()2xy e x R =- ) ∈ (D )21()xy e x R =- ∈3、 设平面向量(3,5(2,1)a b = ) ,=- ,则2a b -=(A )(7,3) (B )(7,7) (C )(1,7) (D )(1,3)4、(tanx+cotx)cos 2x=(A )tanx (B )sinx (C )cosx (D )cotx 5、不等式2||2x x -<地解集为(A )(-1,2) (B )(-1,1) (C )(-2,1) (D )(-2,2)6、将直线3y x =绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位,所得到地直线为(A )1133y x =-+ (B )113y x =-+ (C )33y x =- (D )31y x =+7、△ABC 地三个内角A 、B 、C 地对边边长分别是a b c 、、 ,若a =,A=2B,则cosB=(A ) (B (C (D学校 班级 姓名 考号/密///////////封/////////////线/////////////内/////////////不/////////////要/////////////答/////////////题///////8、设M 是球O 地半径OP 地中点,分别过M 、O 作垂直于OP 地平面,截球面得到两个圆,则这两个圆地面积比值为(A )14(B )12(C )23(D )349、定义在R 上地函数()f x 满足:()(2)13,(1)2,f x f x f ∙+==则(99)f =(A )13 (B ) 2 (C )132(D )21310、设直线l α⊂平面,过平面α外一点A 且与l 、α都成30°角地直线有且只有(A )1条 (B )2条 (C )3条 (D )4条11、已知双曲线22:1916x y C -=地左右焦点分别为F 1、F 2 ,P 为C 地右支上一点,且||||212PF F F =,则△PF 1F 2 地面积等于(A )24 (B )36 (C )48 (D )9612、若三棱柱地一个侧面是边长为2地正方形,另外两个侧面都是有一个内角为60°地菱形,则该棱柱地体积为(A(B) (C)(D)第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。
2014 年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)一、选择题(本大题共12 小题,每小题5 分)1.(5 分)设集合M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},则M∩N 中元素的个数为()A.2 B.3 C.5 D.72.(5分)已知角α 的终边经过点(﹣4,3),则cosα=()A.B.C.﹣D.﹣3.(5 分)不等式组的解集为()A.{x|﹣2<x<﹣1} B.{x|﹣1<x<0}C.{x|0<x<1} D.{x|x>1}4.(5分)已知正四面体ABCD 中,E 是AB 的中点,则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为()A.B.C.D.5.(5分)函数y=ln(+1)(x>﹣1)的反函数是()A.y=(1﹣e x)3(x>﹣1)B.y=(e x﹣1)3(x>﹣1)C.y=(1﹣e x)3(x∈R)D.y=(e x﹣1)3(x∈R)6.(5 分)已知,为单位向量,其夹角为60°,则(2﹣)•=()A.﹣1 B.0 C.1 D.27.(5 分)有6 名男医生、5 名女医生,从中选出2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有()A.60 种B.70 种C.75 种D.150 种8.(5 分)设等比数列{a n}的前n 项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=()A.31 B.32 C.63 D.649.(5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l 交C 于A、B 两点,若△AF1B 的周长为4,则C 的方程为()A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=110.(5 分)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()A.B.16πC.9πD.11.(5 分)双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则C 的焦距等于()A.2 B.2C.4 D.412.(5 分)奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=()A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1二、填空题(本大题共4 小题,每小题5 分)13.(5 分)(x﹣2)6的展开式中x3的系数是.(用数字作答)14.(5 分)函数y=cos2x+2sinx 的最大值是.15.(5 分)设x,y 满足约束条件,则z=x+4y 的最大值为.16.(5 分)直线l1 和l2 是圆x2+y2=2 的两条切线,若l1 与l2 的交点为(1,3),则l1 与l2 的夹角的正切值等于.三、解答题17.(10 分)数列{a n}满足a1=1,a2=2,a n+2=2a n+1﹣a n+2.(I)设b n=a n+1﹣a n,证明{b n}是等差数列;(II)求{a n}的通项公式.18.(12 分)△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c,已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B.19.(12 分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1 中,点A1 在平面ABC 内的射影D 在AC 上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2.(I)证明:AC1⊥A1B;(II)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1﹣AB﹣C 的大小.20.(12 分)设每个工作日甲,乙,丙,丁4 人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.(I)求同一工作日至少3 人需使用设备的概率;(II)实验室计划购买k 台设备供甲,乙,丙,丁使用,若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1,求k 的最小值.21.(12 分)函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).(I)讨论f(x)的单调性;(II)若f(x)在区间(1,2)是增函数,求a 的取值范围.22.(12 分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4 与y 轴的交点为P,与C 的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(I)求C 的方程;(II)过F 的直线l 与C 相交于A、B 两点,若AB 的垂直平分线l′与C 相交于M、N 两点,且A、M、B、N 四点在同一圆上,求l 的方程.2014 年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12 小题,每小题5 分)1.(5 分)设集合M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},则M∩N 中元素的个数为()A.2 B.3 C.5 D.7【考点】1A:集合中元素个数的最值;1E:交集及其运算.【专题】5J:集合.【分析】根据M 与N,找出两集合的交集,找出交集中的元素即可.【解答】解:∵M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},∴M∩N={1,2,6},即M∩N 中元素的个数为3.故选:B.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.(5 分)已知角α的终边经过点(﹣4,3),则cosα=()A.B.C.﹣D.﹣【考点】G9:任意角的三角函数的定义.【专题】56:三角函数的求值.【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值.【解答】解:∵角α的终边经过点(﹣4,3),∴x=﹣4,y=3,r==5.∴cosα===﹣,故选:D.【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用,属于基础题.3.(5 分)不等式组的解集为()A.{x|﹣2<x<﹣1} B.{x|﹣1<x<0} C.{x|0<x<1}D.{x|x>1}【考点】7E:其他不等式的解法.【专题】59:不等式的解法及应用.【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式,分别求出不等式组中每个不等式的解集,再取交集,即得所求.【解答】解:由不等式组可得,解得0<x<1,故选:C.【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法,属于基础题.4.(5分)已知正四面体ABCD 中,E 是AB 的中点,则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为()A.B.C.D.【考点】LM:异面直线及其所成的角.【专题】5G:空间角.【分析】由E 为AB 的中点,可取AD 中点F,连接EF,则∠CEF 为异面直线CE 与BD 所成角,设出正四面体的棱长,求出△CEF 的三边长,然后利用余弦定理求解异面直线CE 与BD 所成角的余弦值.【解答】解:如图,取AD 中点F,连接EF,CF,∵E 为AB 的中点,∴EF∥DB,则∠CEF 为异面直线BD 与CE 所成的角,∵ABCD 为正四面体,E,F 分别为AB,AD 的中点,∴CE=CF.设正四面体的棱长为2a,则EF=a,CE=CF=.在△CEF 中,由余弦定理得:=.故选:B.【点评】本题考查异面直线及其所成的角,关键是找角,考查了余弦定理的应用,是中档题.5.(5分)函数y=ln(+1)(x>﹣1)的反函数是()A.y=(1﹣e x)3(x>﹣1)B.y=(e x﹣1)3(x>﹣1)C.y=(1﹣e x)3(x∈R)D.y=(e x﹣1)3(x∈R)【考点】4R:反函数.【专题】51:函数的性质及应用.【分析】由已知式子解出x,然后互换x、y 的位置即可得到反函数.【解答】解:∵y=ln(+1),∴+1=e y,即=e y﹣1,∴x=(e y﹣1)3,∴所求反函数为y=(e x﹣1)3,、 故选:D .【点评】本题考查反函数解析式的求解,属基础题.6.(5 分)已知,为单位向量,其夹角为 60°,则(2﹣)•=( )A .﹣1B .0C .1D .2【考点】9O :平面向量数量积的性质及其运算. 【专题】5A :平面向量及应用.【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义,求得的值,可得(2﹣)•的值.【解答】解:由题意可得, =1×1×cos60°=, =1,∴(2﹣)•=2﹣=0,故选:B .【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义,属于基础题.7.(5 分)有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( ) A .60 种B .70 种C .75 种D .150 种【考点】D9:排列、组合及简单计数问题. 【专题】5O :排列组合.【分析】根据题意,分 2 步分析,先从 6 名男医生中选 2 人,再从 5 名女医生中 选出 1 人,由组合数公式依次求出每一步的情况数目,由分步计数原理计算可得答案.【解答】解:根据题意,先从 6 名男医生中选 2 人,有 C 62=15 种选法,再从 5 名女医生中选出 1 人,有 C 51=5 种选法, 则不同的选法共有 15×5=75 种;故选:C .【点评】本题考查分步计数原理的应用,注意区分排列、组合的不同.8.(5 分)设等比数列{a n}的前n 项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=()A.31 B.32 C.63 D.64【考点】89:等比数列的前n 项和.【专题】54:等差数列与等比数列.【分析】由等比数列的性质可得S2,S4﹣S2,S6﹣S4 成等比数列,代入数据计算可得.【解答】解:S2=a1+a2,S4﹣S2=a3+a4=(a1+a2)q2,S6﹣S4=a5+a6=(a1+a2)q4,所以S2,S4﹣S2,S6﹣S4 成等比数列,即3,12,S6﹣15 成等比数列,可得122=3(S6﹣15),解得S6=63故选:C.【点评】本题考查等比数列的性质,得出S2,S4﹣S2,S6﹣S4 成等比数列是解决问题的关键,属基础题.9.(5 分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2 的直线l 交C 于A、B 两点,若△AF1B 的周长为4 ,则C 的方程为()A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1【考点】K4:椭圆的性质.【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】利用△AF1B 的周长为4 ,求出a= ,根据离心率为,可得c=1,求出b,即可得出椭圆的方程.【解答】解:∵△AF1B 的周长为4,∵△AF1B 的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a,∴4a=4,∴a=,∵离心率为,∴,c=1,∴b==,∴椭圆C 的方程为+=1.故选:A.【点评】本题考查椭圆的定义与方程,考查椭圆的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题.10.(5 分)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()A.B.16πC.9πD.【考点】LG:球的体积和表面积;LR:球内接多面体.【专题】11:计算题;5F:空间位置关系与距离.【分析】正四棱锥P﹣ABCD 的外接球的球心在它的高PO1 上,记为O,求出PO1,OO1,解出球的半径,求出球的表面积.【解答】解:设球的半径为R,则∵棱锥的高为4,底面边长为2,∴R2=(4﹣R)2+()2,∴R=,∴球的表面积为4π•()2=.故选:A.【点评】本题考查球的表面积,球的内接几何体问题,考查计算能力,是基础题.11.(5 分)双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则C 的焦距等于()A.2 B.2C.4 D.4【考点】KC:双曲线的性质.【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式,建立方程组即可得到结论.【解答】解:∵:﹣=1(a>0,b>0)的离心率为2,∴e=,双曲线的渐近线方程为y= ,不妨取y=,即bx﹣ay=0,则c=2a,b=,∵焦点F(c,0)到渐近线bx﹣ay=0 的距离为,∴d=,即,解得c=2,则焦距为2c=4,故选:C.【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算,利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式,建立方程组是解决本题的关键,比较基础.12.(5 分)奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=()A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1【考点】3K:函数奇偶性的性质与判断.【专题】51:函数的性质及应用.【分析】根据函数的奇偶性的性质,得到f(x+8)=f(x),即可得到结论.【解答】解:∵f(x+2)为偶函数,f(x)是奇函数,∴设g(x)=f(x+2),则g(﹣x)=g(x),即f(﹣x+2)=f(x+2),∵f(x)是奇函数,∴f(﹣x+2)=f(x+2)=﹣f(x﹣2),即f(x+4)=﹣f(x),f(x+8)=f(x+4+4)=﹣f(x+4)=f(x),则f(8)=f(0)=0,f(9)=f(1)=1,∴f(8)+f(9)=0+1=1,故选:D.【点评】本题主要考查函数值的计算,利用函数奇偶性的性质,得到函数的对称轴是解决本题的关键.二、填空题(本大题共4 小题,每小题5 分)13.(5 分)(x﹣2)6的展开式中x3的系数是﹣160 .(用数字作答)【考点】DA:二项式定理.【专题】11:计算题.【分析】根据题意,由二项式定理可得(x﹣2)6的展开式的通项,令x 的系数为3,可得r=3,将r=3 代入通项,计算可得T4=﹣160x3,即可得答案.66 r+1 6【解答】解:根据题意,(x﹣2)6的展开式的通项为T =C r x6﹣r(﹣2)r=(﹣1)r•2r•C r x6﹣r,令6﹣r=3 可得r=3,此时T4=(﹣1)3•23•C3x3=﹣160x3,即x3的系数是﹣160;故答案为﹣160.【点评】本题考查二项式定理的应用,关键要得到(x﹣2)6的展开式的通项.14.(5 分)函数y=cos2x+2sinx 的最大值是.【考点】HW:三角函数的最值.【专题】11:计算题.【分析】利用二倍角公式对函数化简可得y=cos2x+2sinx=1 ﹣2sin2x+2sinx= ,结合﹣1≤sinx≤1 及二次函数的性质可求函数有最大值【解答】解:∵y=cos2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx=又∵﹣1≤sinx≤1当sinx=时,函数有最大值故答案为:【点评】本题主要考查了利用二倍角度公式对三角函数进行化简,二次函数在闭区间上的最值的求解,解题中要注意﹣1≤sinx≤1 的条件.15.(5 分)设x,y 满足约束条件,则z=x+4y 的最大值为 5 .【考点】7C:简单线性规划.【专题】31:数形结合.【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,由图得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.【解答】解:由约束条件作出可行域如图,联立,解得C(1,1).化目标函数z=x+4y 为直线方程的斜截式,得.由图可知,当直线过C 点时,直线在y 轴上的截距最大,z 最大.此时z max=1+4×1=5.故答案为:5.【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.16.(5 分)直线l1 和l2 是圆x2+y2=2 的两条切线,若l1 与l2 的交点为(1,3),则l1 与l2 的夹角的正切值等于.【考点】IV:两直线的夹角与到角问题.【专题】5B:直线与圆.【分析】设l1 与l2 的夹角为2θ,由于l1 与l2 的交点A(1,3)在圆的外部,由直角三角形中的边角关系求得sinθ=的值,可得cosθ、tanθ的值,再根据tan2θ=,计算求得结果.【解答】解:设l1 与l2 的夹角为2θ,由于l1 与l2 的交点A(1,3)在圆的外部,且点A 与圆心O 之间的距离为OA==,圆的半径为r=,∴sinθ== ,∴cosθ=,tanθ==,∴tan2θ== =,故答案为:.【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质,直角三角形中的变角关系,同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用,属于中档题.三、解答题17.(10 分)数列{a n}满足a1=1,a2=2,a n+2=2a n+1﹣a n+2.(I)设b n=a n+1﹣a n,证明{b n}是等差数列;(II)求{a n}的通项公式.【考点】83:等差数列的性质;84:等差数列的通项公式;8H:数列递推式.【专题】54:等差数列与等比数列.【分析】(Ⅰ)将a n=2a n+1﹣a n+2 变形为:a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n+2,再由条件得+2b n+1=b n+2,根据条件求出b1,由等差数列的定义证明{b n}是等差数列;(Ⅱ)由(Ⅰ)和等差数列的通项公式求出b n,代入b n=a n+1﹣a n 并令n 从1 开始取值,依次得(n﹣1)个式子,然后相加,利用等差数列的前n 项和公式求出{a n}的通项公式a n.=2a n+1﹣a n+2 得,【解答】解:(Ⅰ)由a n+2a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n+2,由b n=a n+1﹣a n 得,b n+1=b n+2,即b n﹣b n=2,+1又b1=a2﹣a1=1,所以{b n}是首项为1,公差为2 的等差数列.(Ⅱ)由(Ⅰ)得,b n=1+2(n﹣1)=2n﹣1,由b n=a n+1﹣a n 得,a n+1﹣a n=2n﹣1,则a2﹣a1=1,a3﹣a2=3,a4﹣a3=5,…,a n﹣a n﹣1=2(n﹣1)﹣1,所以,a n﹣a1=1+3+5+…+2(n﹣1)﹣1==(n﹣1)2,又a1=1,所以{a n}的通项公式a n=(n﹣1)2+1=n2﹣2n+2.【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n 项和公式,及累加法求数列的通项公式和转化思想,属于中档题.18.(12 分)△ABC 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c,已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B.【考点】GL:三角函数中的恒等变换应用;HP:正弦定理.【专题】58:解三角形.【分析】由3acosC=2ccosA,利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA,再利用同角的三角函数基本关系式可得tanC,利用tanB=tan[π﹣(A+C)]=﹣tan(A+C)即可得出.【解答】解:∵3acosC=2ccosA,由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA,∴3tanA=2tanC,∵tanA=,∴2tanC=3×=1,解得tanC=.∴tanB=tan[π﹣(A+C)]=﹣tan(A+C)=﹣=﹣=﹣1,∵B∈(0,π),∴B=【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.19.(12 分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1 中,点A1 在平面ABC 内的射影D 在AC 上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2.(I)证明:AC1⊥A1B;(II)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1﹣AB﹣C 的大小.【考点】LW:直线与平面垂直;MJ:二面角的平面角及求法.【专题】5F:空间位置关系与距离.【分析】(Ⅰ)由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得;(Ⅱ)作辅助线可证∠A1FD 为二面角A1﹣AB﹣C 的平面角,解三角形由反三角函数可得.【解答】解:(Ⅰ)∵A1D⊥平面ABC,A1D⊂平面AA1C1C,∴平面AA1C1C⊥平面ABC,又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C,连结A1C,由侧面AA1C1C 为菱形可得AC1⊥A1C,又AC1⊥BC,A1C∩BC=C,∴AC1⊥平面A1BC,AB1⊂平面A1BC,∴AC1⊥A1B;(Ⅱ)∵BC⊥平面AA1C1C,BC⊂平面BCC1B1,∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1,作A1E⊥CC1,E 为垂足,可得A1E⊥平面BCC1B1,又直线AA1∥平面BCC1B1,∴A1E 为直线AA1与平面BCC1B1的距离,即A1E=,∵A1C 为∠ACC1的平分线,∴A1D=A1E=,作DF⊥AB,F 为垂足,连结A1F,又可得AB⊥A1D,A1F∩A1D=A1,∴AB⊥平面A1DF,∵A1F⊂平面A1DF∴A1F⊥AB,∴∠A1FD 为二面角A1﹣AB﹣C 的平面角,由AD==1 可知D 为AC 中点,∴DF==,∴tan∠A1FD== ,∴二面角A1﹣AB﹣C 的大小为arctan【点评】本题考查二面角的求解,作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键,属中档题.20.(12 分)设每个工作日甲,乙,丙,丁4 人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.(I)求同一工作日至少3 人需使用设备的概率;(II)实验室计划购买k 台设备供甲,乙,丙,丁使用,若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1,求k 的最小值.【考点】C8:相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式.【专题】5I:概率与统计.【分析】(Ⅰ)把4 个人都需使用设备的概率、4 个人中有3 个人使用设备的概率相加,即得所求.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得若k=2,不满足条件.若k=3,求得“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为0.06<0.1,满足条件,从而得出结论.【解答】解:(Ⅰ)由题意可得“同一工作日至少3 人需使用设备”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4+(1﹣0.6)×0.5×0.5×0.4+0.6×(1﹣0.5)×0.5×0.4+0.6×0.5×(1﹣0.5)×0.4+0.6×0.5×0.5×(1﹣0.4)=0.31.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得若k=2,则“同一工作日需使用设备的人数大于2”的概率为0.31>0.1,不满足条件.若k=3,则“同一工作日需使用设备的人数大于3”的概率为0.6×0.5×0.5×0.4=0.06<0.1,满足条件.故k 的最小值为3.【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.21.(12 分)函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).(I)讨论f(x)的单调性;(II)若f(x)在区间(1,2)是增函数,求a 的取值范围.【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6D:利用导数研究函数的极值.【专题】53:导数的综合应用.【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,通过导数为0,利用二次函数的根,通过a 的范围讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)当a>0,x>0 时,f(x)在区间(1,2)是增函数,当a<0 时,f(x)在区间(1,2)是增函数,推出f′(1)≥0 且f′(2)≥0,即可求a 的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)=ax3+3x2+3x,∴f′(x)=3ax2+6x+3,令f′(x)=0,即3ax2+6x+3=0,则△=36(1﹣a),①若a≥1 时,则△≤0,f′(x)≥0,∴f(x)在R 上是增函数;②因为a≠0,∴a≤1 且a≠0 时,△>0,f′(x)=0 方程有两个根,x1=,x2=,当0<a<1 时,则当x∈(﹣∞,x2)或(x1,+∞)时,f′(x)>0,故函数在(﹣∞,x2)或(x1,+∞)是增函数;在(x2,x1)是减函数;当a<0 时,则当x∈(﹣∞,x1)或(x2,+∞),f′(x)<0,故函数在(﹣∞,x1)或(x2,+∞)是减函数;在(x1,x2)是增函数;(Ⅱ)当a>0,x>0 时,f′(x)=3ax2+6x+3>0 故a>0 时,f(x)在区间(1,2)是增函数,当a<0 时,f(x)在区间(1,2)是增函数,当且仅当:f′(1)≥0 且f′(2)≥0,解得﹣,a 的取值范围[ )∪(0,+∞).【点评】本题考查函数的导数的应用,判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围,考查分类讨论思想的应用.22.(12 分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4 与y 轴的交点为P,与C 的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(I)求C 的方程;(II)过F 的直线l 与C 相交于A、B 两点,若AB 的垂直平分线l′与C 相交于M、N 两点,且A、M、B、N 四点在同一圆上,求l 的方程.【考点】KH:直线与圆锥曲线的综合.【专题】5E:圆锥曲线中的最值与范围问题.【分析】(Ⅰ)设点Q 的坐标为(x0,4),把点Q 的坐标代入抛物线C 的方程,求得x0=,根据|QF|=|PQ|求得p 的值,可得C 的方程.(Ⅱ)设l 的方程为x=my+1 (m≠0),代入抛物线方程化简,利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|.把直线l′的方程代入抛物线方程化简,利用韦达定理、弦长公式求得|MN|.由于MN 垂直平分线段AB,故AMBN 四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|,由此求得m 的值,可得直线l 的方程.【解答】解:(Ⅰ)设点Q 的坐标为(x0,4),把点Q 的坐标代入抛物线C:y2=2px (p>0),可得x0=,∵点P(0,4),∴|PQ|=.又|QF|=x0+=+,|QF|=|PQ|,∴+=×,求得p=2,或p=﹣2(舍去).故C 的方程为y2=4x.(Ⅱ)由题意可得,直线l 和坐标轴不垂直,y2=4x 的焦点F(1,0),设l 的方程为x=my+1(m≠0),代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0,显然判别式△=16m2+16>0,y1+y2=4m,y1•y2=﹣4.∴AB 的中点坐标为 D (2m2+1 ,2m ),弦长|AB|= |y1 ﹣y2|= =4(m2+1).又直线l′的斜率为﹣m,∴直线l′的方程为x=﹣y+2m2+3.过F 的直线l 与C 相交于A、B 两点,若AB 的垂直平分线l′与C 相交于M、N 两点,把线l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4(2m2+3)=0,∴y3+y4=,y3•y4=﹣4(2m2+3).故线段MN 的中点 E 的坐标为(+2m2+3,),∴|MN|=|y3 ﹣y4|=,∵MN 垂直平分线段AB,故AMBN 四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|,∴+DE2= MN2,∴4(m2+1)2+ + =×,化简可得m2﹣1=0,∴m=±1,∴直线l 的方程为x﹣y﹣1=0,或x+y﹣1=0.【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理、弦长公式的应用,体现了转化的数学思想,属于难题.。
2024年新高考数学考纲一、数学基础知识数学基础知识是高考数学考试的重要内容,涵盖了代数、几何、概率与统计等多个方面。
考生需要掌握以下内容:1. 代数部分:(1)函数:包括函数的定义、函数的性质(单调性、奇偶性、周期性等)、函数的应用等。
(2)数列:包括等差数列、等比数列的通项公式、求和公式等。
(3)不等式:包括不等式的性质、不等式的解法、不等式的证明等。
(4)解析几何:包括直线、圆、椭圆、双曲线的方程和性质等。
2. 几何部分:(1)平面几何:包括三角形、四边形、圆等图形的性质和判定等。
(2)立体几何:包括空间点、线、面的关系,空间几何体的性质和判定等。
3. 概率与统计部分:(1)概率:包括事件的概率、独立事件的概率、条件概率等。
(2)统计:包括数据的收集、整理、分析、描述等。
二、几何与空间几何与空间部分主要考察考生的空间想象能力和逻辑推理能力,考生需要掌握以下内容:1. 平面几何:包括三角形的重心坐标、四边形的对角线长度相等、圆的半径相等等基本性质。
2. 立体几何:包括空间点、线、面的关系,空间几何体的性质和判定等。
在解题过程中,考生需要能够将几何问题转化为代数问题,运用方程的思想解决几何问题。
3. 解析几何:包括直线与圆的位置关系,椭圆、双曲线和抛物线的方程和性质等。
在解题过程中,考生需要能够将几何问题转化为代数问题,运用方程的思想解决几何问题。
4. 空间向量:包括空间向量的加减运算、数乘运算、数量积运算等基本运算规则。
在解题过程中,考生需要能够运用空间向量的运算规则解决空间位置关系问题。
5. 图形变换:包括平移变换、旋转变换等基本变换规则。
在解题过程中,考生需要能够运用图形变换的规则解决几何作图和判断问题。
6. 圆的性质:包括圆的标准方程、一般方程和参数方程的求法,直线与圆的位置关系等。
在解题过程中,考生需要能够运用圆的性质解决直线与圆的位置关系问题。
高考数学(文科)考试大纲
以下是高考数学(文科)考试大纲:
一、考试内容
本科目考试内容分为数与式、函数与方程、三角函数与解三角形、解析几何、数列与数学归纳法、概率与统计和数学思想方法等七个部分。
二、考试形式
本科目考试采取笔试形式。
三、考试时间
考试时间为 120 分钟。
四、知识点
1.数与式
1.1 数的基本概念
1.2 数的运算与性质
1.3 数的应用
1.4 算式的基本概念
1.5 算式的运算
1.6 算式的应用
2.函数与方程
2.1 函数的基本概念
2.2 常用函数的性质
2.3 函数的图像与性质
2.4 函数的应用
2.5 方程的基本概念
2.6 一元一次方程及应用2.7 一元二次方程及应用2.8 二元一次方程组及图像
2.9 其他代数方程及应用
3.三角函数与解三角形3.1 角的基本概念
3.2 三角函数的定义与性质
3.3 三角函数的图像与性质
3.4 解三角形
4.解析几何
4.1 解析几何基本概念
4.2 二维坐标系与图形
4.3 三维坐标系与图形
4.4 平面解析几何
4.5 空间解析几何
5.数列与数学归纳法
5.1 数列的基本概念
5.2 数列的通项公式和递推公式5.3 数列的分类
5.4 数学归纳法
6.概率与统计
6.1 概率的基本概念
6.2 概率的计算方法
6.3 统计的基本概念
6.4 统计的数据处理方法
7.数学思想方法
7.1 数学证明的基本方法
7.2 数学建模的基本方法
7.3 数学探究的基本方法
7.4 数学推理的基本方法
以上是高考数学(文科)考试大纲的全文。