2020届天一大联考海南省高三年级第一次模拟考试数学试题(解析版)

2020届天一大联考皖豫联盟体高三第一次考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}|3xM y y ==，{|N x y ==，则MN =（ ）A ．{|01}x x <<B ．{|01}x x <≤C ．{|1}x x ≤D ．{|0}x x >【答案】B【解析】根据函数的定义域和值域，求得集合,M N ，再结合集合的交集的运算，即可求解． 【详解】由题意，集合{}|3{|0}xM y y y y ===>,{|{|1}N x y x x ===≤，所以{|01}M N x x ⋂=<≤. 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中根据函数的定义域和值域的求法，正确求解集合,M N 是解答的关键，着重考查了计算能力．2．已知复数(1)()z i a i =+-在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞ B ．(,1)-∞-C ．(,1)-∞D ．(1,1)-【答案】D【解析】化简复数(1)()1(1)z i a i a a i =+-=++-，根据复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，列出不等式，即可求解． 【详解】由题意，复数(1)()1(1)z i a i a a i =+-=++-，因为复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，可得10a +>且10a -<，解得11a -<<. 即实数a 的取值范围是(1,1)-． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算和复数的几何意义，其中熟记复数的运算法则，结合复数的几何意义，列出不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．3．“2m ≤-”是“函数2()43f x x mx =--在区间[2,)-+∞上单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据二次函数的性质，求得函数的单调性，再结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解． 【详解】由题意，函数2()43f x x mx =--的对称轴为2x m =，若2m ≤-，则24m ≤-，函数()f x 在[2,)-+∞上递增，充分性成立； 若()f x 在区间[2,)-+∞上递增，则22m ≤-，即1m ≤-，不能推出2m ≤-， 所以必要性不成立， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性和充分条件，必要条件的判定，其中解答中熟练应用二次函数的性质，结合充分、必要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．16B ．20C ．43π+D ．83π+【答案】D【解析】根据三视图可知，该几何体上面是一个长方体，下面是一个圆柱，结合几何体体积公式，即可求解． 【详解】由三视图可知，该几何体上面是一个底面边长为221的长方体，下面是一个底面半径为1，母线长为3的圆柱，其体积为211383V ππ=+⨯⨯=+. 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，以及几何体的体积的计算，其中解答中利用几何体的三视图求得原几何体的形状是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．5．已知等比数列{}n a 中，1232a a a =，4564a a a =，则数列{}n a 的前12项之积为（ ） A ．512 B ．1024C ．2046D ．2048【答案】B【解析】根据等比数列的定义和性质，求得数列{}12n n n a a a ++是公比为2的等比数列，进而求得789101112,a a a a a a 的值，即可求解． 【详解】由题意，数列{}n a 是等比数列，可得数列{}12n n n a a a ++也是等比数列， 其中数列{}12n n n a a a ++的公比为456123422a a a a a a ==，所以78945628a a a a a a ⨯==，2101112456216a a a a a a ⨯==，因此数列{}n a 的前12项之积为12248161024T =⨯⨯⨯=. 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，以及等比数列的应用，其中解答中熟记等比数列的概念和性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．6．设22019a -=，2018log 2020b =，2019log 2020c =，则（ ） A ．a c b << B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】A【解析】现根据指数函数和对数函数的的性质，可得01a <<，1b >，1c >，再结合对数函数的单调性，即可求解． 【详解】根据指数函数和对数函数的的性质，可得01a <<，1b >，1c >， 又因为2001log 2018b =，20201log 2019c =，因为20200log 2018<<2020log 20191<，所以2020202011log 2018log 2019>，即a c b <<. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的性质及其应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．7．若,x y 满足约束条件360,60,1,x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则z x y =-的最小值为（ ）A ．4B ．0C ．2-D ．4-【答案】D【解析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解． 【详解】由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，目标函数z x y =-，可化为直线y x z =-当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值，又由3601x y y -+=⎧⎨=⎩，解得(3,1)A -，所以目标函数的最小值为min 314z =--=-. 故选：D ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．8．已知函数，1()tan ln (1)1axf x x a x+=+≠-为奇函数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0C ．2-D ．3-【答案】A【解析】由函数()f x 为奇函数，根据()f x -()f x =-，得到2221ln 01a xx-=-，即可求解． 【详解】由题意，函数1()tan ln(1)1axf x x a x +=+≠--为奇函数， 所以1()tan()ln 1ax f x x x --=-++1()tan ln 1axf x x x+=-=---， 整理得2221ln 01a x x -=-，所以1a =．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的概念与判定是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．9．已知向量,a b 满足||23a =，||4=b ，且()4a b b +⋅=，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】D【解析】由()4a b b +⋅=，求得12a b ⋅=-，再结合向量的夹角公式，求得3cos ,a b 〈〉=-，即可求得向量a 与b 的夹角． 【详解】由题意，向量,a b 满足||23a =，||4=b ，因为()4a b b +⋅=，可得2164a b b a b ⋅+=⋅+=，解得12a b ⋅=-，所以cos ,2||||23a b a b a b ⋅〈〉===-⨯又因a 与b 的夹角[0,]π∈，所以a 与b 的夹角为56π. 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的数量积的计算公式，以及向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了计算能力．10．函数2ln x y x=图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数()f x 为奇函数，排除A ，B ，再利用导数求得函数的单调性，排除D ，即可求解． 【详解】由题意，函数2ln x y x=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且22ln()ln ()()x x f x f x x x--==-=--，所以函数()f x 为奇函数，排除A ，B ；当0x >时，函数2ln xy x =，则22(1ln )x y x -'=， 当0e x <<时，0y '>，函数单调递增，当x e >时，0y '<，函数单调递减，排除D ． 故选：C . 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的判定方法，以及函数的导数与单调性的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 11．已知函数1()sin (0)62f x x πωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，若函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有两个零点，则ω的取值范围为（ ） A ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．142,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．142,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】设6x πμω=-，化简函数为1()sin 2f x μ=-，得到函数()f x 在,6πμ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭上前三个零点，列出不等式组，即可求解． 【详解】由题意，因为02x π<<，可得6626x ππωππω-<-<-，设6x πμω=-，则函数11()sin sin 622f x x πωμ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭ 则函数1()sin 2f x μ=-在,6πμ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭上，前三个零点分别是513,,666πππ， 所以526613266ωπππωπππ⎧->⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，解得1423ω<.故选：C ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，结合零点的概念得出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．12．设函数lg(1),0,()lg(1),0,x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩则不等式|()|lg3f x <的解集为（ ）A ．{|11}x x -<<B ．{|22}x x -<<C ．{|33}-<<x xD ．{|44}x x -<<【答案】B【解析】根据分段函数的解析式，分0x ≥和0x <讨论，结合对数的运算性质分别求得不等式的解集，即可求得不等式|()|lg3f x <的解集． 【详解】由题意，函数lg(1),0()lg(1),0x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩,当0x ≥时，由|()|lg3f x <，可得lg3lg(1)lg3x -<+<，解得223x -<<， 又因为0x ≥，所以02x ≤<；当0x <时，由|()|lg3f x <，可得lg3lg(1)lg3x -<-<，解得223x -<<， 又因为0x <，所以20x -<<， 所以不等式的解集为{|22}x x -<<．故选：B ． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及对数的函数的运算性质，着重考查了分类讨论思想，以及运算能力．二、填空题13．设函数2,0,()1lg ,0,x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩则110f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______. 【答案】98【解析】根据分段函数的解析式，结合分段条件，代入即可求解． 【详解】依题意，函数2,0()1lg ,0x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，可得得1110100f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以111lg 10021009810100100f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==+=-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：98． 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中准确把握分段函数的分段条件，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．14．已知函数()ln 1f x x x =++的图象上有一点(,2)P m ，则曲线()y f x =在点P 处的切线方程为______. 【答案】2y x =【解析】利用导数求得()f x 为增函数，根据(1)2f =，求得1m =，进而求得(1)2f '=，得出即在点P 处的切线的斜率，再利用直线的点斜式方程，即可求解． 【详解】由题意，点(,2)P m 在曲线()y f x =上，可得()ln 12f m m m =++=， 又由函数()ln 1,0f x x x x =++>，则1()10f x x'=+>， 所以函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)2f =，所以1m =，因为1()1f x x'=+，所以(1)2f '=，即在点P 处的切线的斜率为2， 所以曲线()y f x =在点(1,2)P 的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =． 【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，以及导数的运算公式，结合直线的点斜式方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．15．设函数()f x =D ，在区间[0,8]上随机取一个实数x ，x D ∈的概率为______. 【答案】12【解析】根据函数的解析式满足的条件，求得D ，再结合题意，利用长度比的几何概型的概率计算公式，即可求解． 【详解】由题意，函数()f x =2430x x +-≥，解得14x -≤≤，即函数()f x 的定义域为[1,4]D =-，又由在区间[0,8]上随机取一个实数x ，满足x D ∈，则[0,4]x ∈， 所以概率为401802P -==-. 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量()N A ”，再求出总的基本事件对应的“几何度量N ”，然后根据()N A P N求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．16．若函数2()28ln 14f x x x x m =---有唯一零点，则实数m 的值_______.【答案】16ln224--【解析】由函数2()28ln 14f x x x x m =---有唯一零点，转化为228ln 14x x x m --=有唯一实数解，令2()28ln 14h x x x x =--，利用导数求得函数()h x 的单调性与最值，即可求解．【详解】由题意，函数2()28ln 14f x x x x m =---有唯一零点，即方程228ln 14x x x m --=有唯一实数解， 令2()28ln 14h x x x x =--，则82(4)(21)()414,0x x h x x x x x-+'=--=>， 当4x >时，()0h x '>，当04x <<时，()0h x '<， 所以()h x 在(4,)+∞上单调递增，在(0,4)上单调递减，则函数()h x 在4x =处取得最小值，最小值为(4)16ln 224h =--， 要使得函数2()28ln 14f x x x x m =---有唯一零点，则16ln 224m =--. 故答案为：16ln224--． 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及利用导数研究函数的单调性与最值的应用，着重考查了转化思想，分离参数思想，以及推理与运算能力．三、解答题17．设a 为实数，1212:2220a a a p ++--+，:(0,)q x ∀∈+∞，不等式210x ax -+≥恒成立.（1）若P 为真命题，求实数a 的取值范围； （2）若()p q -∧为真命题，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1,12⎛⎫⎪⎝⎭；（2）1,[1,2]2⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦ 【解析】（1）由命题P 为真命题，得到关于实数a 不等式，结合指数的运算性质，即可求解； （2）由命题q 为真命题，结合基本不等式求最值，得到2a ≤，再由()p q ⌝∧为真命题，得出p 为假命题且q 为真命题，列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）由命题P 为真命题，即()(12122222220a aa a a ++--+=-<，22a <<，可得112a <<，即实数a 的取值范围是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）若命题q 为真命题，由(0,)x ∀∈+∞，不等式210x ax -+≥恒成立， 即21x ax +在(0,)x ∈+∞上恒成立，即1a x x≤+对(0,)x ∈+∞恒成立，当(0,)x ∈+∞时，12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立，所以q 为真命题时，可得2a ≤，又因为()p q ⌝∧为真命题，则p 为假命题且q 为真命题，所以1122a a a ⎧≤≥⎪⎨⎪≤⎩或，解得12a 或12a . 所以实数a 的取值范围是1,[1,2]2⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查了以命题的真假为载体求解参数的取值范围，其中解答中熟记复合命题的真假判定，以及一元二次不等式和不等式的恒成立问题的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．18．已知函数321()33f x x mx nx =+++，其导函数()f x '是偶函数，且(3)0f =. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()2y f x λ=-的图象与x 轴有三个不同的交点，求实数λ的取值范围.【答案】（1）31()433f x x x =-+；（2）725,66⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】（1）由()f x '是偶函数，根据()()f x f x ''-=，求得所以0m =，再由(3)0f =，解得4n =-，即可得到函数的解析式；（2）由（1），求得2()4f x x =-'，进而求得函数的单调性与极值，再根据曲线()y f x =与直线2y λ=有三个不同的交点，得出725233λ-<<，即可求解． 【详解】（1）由题意，函数321()33f x x mx nx =+++，则2()2f x x mx n '=++， 因为()f x '是偶函数，则()()f x f x ''-=，可得2222x mx n x mx n -+=++，所以0m =，又因为(3)0f =，所以127093303n ⨯+⨯++=，解得4n =-，所以函数的解析式为31()433f x x x =-+. （2）由（1）可得函数31()433f x x x =-+，则2()4f x x =-'，令2()40f x x '=-=，解得2x =±.当2x <-或2x >时，()0f x '>，所以()f x 在(,2)-∞-，(2,)+∞上分别单调递增， 当22x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(2,2)-上单调递减， 所以()f x 的极大值为25(2)3f -=，()f x 的极小值为7(2)3f =- 又由曲线()y f x =与直线2y λ=有三个不同的交点， 所以725233λ-<<，即72566λ-<<， 故实数λ的取值范围是725,66⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了函数性质的综合应用，以及利用导数求解函数的零点问题，其中解答中熟练应用导数求得函数的单调性与极值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力．19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知定点(1,0)Q 及动点(2cos ,2sin )(0)P θθθπ<<，以PQ 为斜边作一等腰直角三角形PRQ （原点O 与点R 分别在直线PQ 的两侧）.（1）当3πθ=时，求2||OR ；（2）求四边形OPRQ 面积的最大值. 【答案】（1）532+（2524【解析】（1）当3πθ=时，得到点P 的坐标为3)，在ORQ ∆中，由余弦定理，即可求得2||OR 的值．（2）根据三角形的面积公式，求得四边形OPRQ 的面积为5244S πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解． 【详解】（1）在直角坐标系xOy 中，已知定点(1,0)Q 及动点(2cos ,2sin )P θθ， 当3πθ=时，点P 的坐标为3)，所以2OQP π∠=，且||3PQ =所以34OQR π∠=，||||cos 42RQ PQ π==， 在ORQ ∆中，由余弦定理，可得2223||||||2||||cos4OR OQ RQ OQ RQ π=+-⋅35121222⎛⎫=+-⨯-=+ ⎪ ⎪⎝⎭所以2||OR 52=（2）由题意可得，||2OP =，POQ θ∠=. 四边形OPRQ 的面积211||||sin ||24S OP OQ PQ θ=⋅+ ()221sin 12212cos 4θθ=++-⨯⨯55sin cos 444πθθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为(0,)θπ∈，当34πθ=时，四边形OPRQ 面积S 54. 【点睛】本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及三角函数的性质的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力．20．已知等差数列{}n a 满足54a =，69218a a +=，等比数列{}n b 的各项均为正数，且22b =，3445b b a a +=.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n T 为数列{}n n a b 的前n 项和，求满足2020n T <的最大正整数n . 【答案】（1）1n a n =-，12n nb -=；（2）8【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，且0q >，根据题设条件，列出方程组，求得1,,a d q ，即可得到{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）由（1）得到1(1)2n n n a b n -=-⨯，结合乘公比错位相减法，求得数列的前n 项和n T ，进而求得满足2020n T <的最大正整数n . 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为5694218a a a =⎧⎨+=⎩，可得114431818a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得10,1a d ==，所以1(1)1n a a n d n =+-=-. 设等比数列{}n b 的公比为q ，且0q >，因为234452,b b b a a =+=，可得2342212b b q q +=+=，解得2q 或3q =-（舍去），所以2122n n n b b q--==. （2）由（1）可得1(1)2n n n a b n -=-⨯，当1n =时，10T =.当2n ≥时，12211222(2)2(1)2n n n T n n --=⨯+⨯++-⨯+-⨯，则23121222(2)2(1)2n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯.两式相减，得2312222(1)2n n n T n --=++++--⨯22(1)2(2)2212n n n n n -=--⨯=--⨯--. 所以(2)22nn T n =-⋅+，当1n =时也符合上式，所以(2)22nn T n =-⋅+，又因为8862215382020T =⨯+=<，9972235862020T =⨯+=>，所以满足2000n T <的最大正整数8n =. 【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力.21．已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，12AF F △的面积为1，且椭圆C. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点M 在椭圆上且位于第二象限，过点1F 作直线11l MF ⊥，过点2F 作直线22l MF ⊥，若直线12,l l 的交点N 恰好也在椭圆C 上，求点M 的坐标.【答案】（1）2212x y +=；（2）33⎛- ⎝⎭【解析】（1）根据题设条件，列出,,a b c 的方程组，结合222a c b -=，求得,,a b c 的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）设()00,M x y ，分01x =-和01x ≠-两种情况讨论，当01x ≠-时，联立12,l l 的方程组，取得20001,x N x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，再结合椭圆的对称性，列出方程组，即可求解【详解】（1）由椭圆C 的上顶点为A ，12AF F ∆的面积为1，且椭圆C的离心率为2，可得2221212c a c b bc a b c ⎧=⎪⎪⎪⋅⋅==⎨⎪-=⎪⎪⎩，解得1,1a b c ===，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=.（2）由（1）知，椭圆的方程2212x y +=，可得1(1,0)F -，2(1,0)F ，设()00,M x y ，则00x <，00y >.当01x =-时，2l 与1l 相交于点2F 不符合题意； 当01x ≠-时，直线1MF 的斜率为001y x +，直线2MF 的斜率为001y x -，因为11l MF ⊥，22l MF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y +-，直线2l 的斜率为001x y --，所以直线1l 的方程为001(1)x y x y +=-+，直线2l 的方程为001(1)x y x y -=--，联立1l 和2l 的方程，解得0x x =-，2001x y y -=，所以20001,x N x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为点,M N 在椭圆C 上，由椭圆的对称性，可知20001x y y -=±， 所以22001x y -=或22001x y +=，由方程组22002200112x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，而方程组22002200112x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩无解（舍去）， 所以点M的坐标为⎛ ⎝⎭. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力． 22．已知函数23()ln ()2f x x ax x a =-+-∈R . （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间(0,1)上有唯一的极值点0x ，求a 的取值范围，并证明：()032f x <-. 【答案】（1）递增区间是(0,1)，递减区间是(1,)+∞；（2）()1,+∞，见解析【解析】（1）当1a =时，求出函数()f x 的定义域和导数，结合导数的取值的正负，即可求得函数()f x 的单调区间；（2）求得()f x '，令2()21g x ax x =-++，根据函数()f x 在区间(0,1)上有唯一的极值点0x ，得出()g x 在(0,1)上有唯一的解，根据(1)0g <求得a 的范围，再由由()00g x =，得到20021ax x =+，结合函数()ln 22xx x ϕ=+-的单调性和最值，即可求解． 【详解】（1）由题意，函数23()ln 2f x x ax x =-+-， 当1a =时，函数23()ln 2f x x x x =-+-. 则2121(21)(1)()21,0x x x x f x x x x x x-++-+-'=-+==>，令()0f x '>，即10x -<且0x >，可得01x <<，令()0f x '<，即10x ->，可得1x >.所以当1a =时，函数()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞.（2）由函数23()ln 2f x x ax x =-+-，则2121()21,0ax x f x ax x x x-++'=-+=>，记2()21g x ax x =-++，因为()f x 在区间(0,1)上有唯一的极值点0x ，又(0)1g =，根据二次函数的图象分析可知，只需(1)0g <即可，即(1)2110g a =-++<，解得1a >， 所以实数a 的取值范围是(1,)+∞，又由()00g x =，可得20021ax x =+，所以()2000000000313ln ln ln 22222x x f x x ax x x x x +=-+-=-+-=+-， 又由函数()ln 22xx x ϕ=+-，可得11()02x x ϕ'=+>，可得函数()ln 22x x x ϕ=+-在(0,1)上单调递增，且3(1)2ϕ=-，所以()032f x <-.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。

2023—2024学年海南省高考全真模拟卷（五）数学A.{}2,3,1.本试卷满分150分，测试时间120分钟.2.考查范围：高考全部内容.一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知A ={x∣2 x 4},B ={2,4,6}，则A ⋂B =（）4 B.[]2,4 C.{}2,4 D.{}2,4,62.已知复数z 满足()12i 34i ,z z +=-的共轭复数为z ，则z z ⋅=（）A.6B.5C.4D.33.某饮料厂生产A ，B 两种型号的饮料，每小时可生产两种饮料共1000瓶，质检人员采用分层随机抽样的方法从这1000瓶中抽取了60瓶进行质量检测，其中抽到A 型号饮料15瓶，则每小时B 型号饮料的产量为（）A.600瓶B.750瓶C.800瓶D.900瓶4.已知()3232,0,,0x x x f x ax x x ⎧-≥=⎨+<⎩为奇函数，则()f a =（）A.0B.1C.-1D.25.已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点，()0,,A b B 为C 的右焦点，若AP PB = ，则C 的离心率为（）C.26.已知函数()()2log 41(0,1)a f x ax x a a =-+>≠在()1,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A.[)2,∞+ B.[]2,3 C.[)3,∞+ D.[)4,∞+7.函数()πππsin tan sin 4124f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为（）1-C.2+D.2-8.已知数列{}n a 满足1π(1)cos 3n n n a n a +=-+，若11a =，则2023a =（）A.3374- B.3374 C.33714 D.33714-二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.在正三棱柱111A B C ABC -中，12,3AB AA ==，则下列说法正确的是（）A.正三棱柱111A B C ABC -的体积为B.三棱锥111B A BC -的体积为2C.二面角1A BC A --的大小为60D.点A 到平面1A BC的距离为210.已知随机变量X 的分布列为()464410C C ,0,1,2,3,4C k k P X k k -===，则下列说法正确的是（）A.()327P X ==B.()125E X =C.甲每次射击命中的概率为0.6，甲连续射击10次的命中次数X 满足此分布列D.一批产品共有10件，其中6件正品，4件次品，从10件产品中无放回地随机抽取4件，抽到的正品的件数X 满足此分布列11.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为,F C 的准线与x 轴交于点,2M MF =，过点F 的直线与C 交于,A B 两点，则下列说法正确的是（）A.1p =B.直线MA 和MB 的斜率之和为0C.MAB 内切圆圆心不可能在x 轴上D.当直线AB 的斜率为1时，8AB =12.设12,x x 分别为函数()()21ln 2x f x a x a x =-++的极大值点和极小值点，且11x <，则下列说法正确的是（）A.1x =为()f x 的极小值点B.()()0,11,a ∞∈⋃+C.()231,22f x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ D.()11,02f x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.写出一个圆心在x轴上，且与直线3y x =相切的圆的标准方程：__________.14.已知,a b为平面向量，2b = ，若a 在b 方向上的投影向量为2b，则()a b b -⋅= __________.15.已知圆锥SOAB 为底面圆O 的一条直径，C 为圆O 上的一个动点（不与,A B 重合），则三棱锥S ABC -的外接球表面积为__________.16.已知函数()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，点,A B 在函数()f x 的图象上，P 为曲线()y f x =与y 轴的交点，若PA PB ⊥，则f=__________.四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.（10分）已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，面积为,2S S AC =⋅.（1）求A ；（2）若ABC 的周长为20，面积为，求a .18.（12分）已知数列{}n a 是公比为2的等比数列.（1）若1231a a a =，求数列{}n na 的前n 项和n S ；（2）若12a =，证明：1211151116n a a a +++<+++ .19.（12分）红松树分布在我国东北的小兴安岭到长白山一带，耐荫性强.在一森林公园内种有一大批红松树，为了研究生长了4年的红松树的生长状况，从中随机选取了12棵生长了4年的红松树，并测量了它们的树干直径i x （单位：厘米），如下表：i123456789101112ix 28.727.231.535.824.333.536.326.728.927.425.234.5计算得：1212211360,10992ii i i xx ====∑∑.（1）求这12棵红松树的树干直径的样本均值μ与样本方差2s .（2）假设生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布.记事件A ：在森林公园内再从中随机选取12棵生长了4年的红松树，其树干直径都位于区间[22,38].①用（1）中所求的样本均值与样本方差分别作为正态分布的均值与方差，求()P A ；②护林员在做数据统计时，得出了如下结论：生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布()230,8N .在这个条件下，求()P A ，并判断护林员的结论是否正确，说明理由.参考公式：若()2,Y N μσ~，则()()()0.6827,20.9545,30.9973P Y P Y P Y μσμσμσ-≈-≈-≈ .参考数据：1212120.68270.01,0.95450.57,0.99730.97≈≈≈.20.（12分）已知函数()()121e3ln 1x f x x x ax -=--+-，a ∈R .（1）当1a =时，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）证明：()f x 有唯一极值点.21.（12分）如图，多面体PS ABCD -由正四棱锥P ABCD -和正四面体S PBC -组合而成.（1）证明：PS ∥平面ABCD ；（2）求AS 与平面PAD 所成角的正弦值.22.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上､下顶点分别为,A B ，短轴长为2,P 在C 上（不与,A B 重合），且12PA PB k k ⋅=-.（1）求C 的标准方程；（2）直线,PA PB 分别交直线2y =于,D E 两点，连接DB 交C 于另一点M ，证明：直线ME 过定点.2023—2024学年海南省高考全真模拟卷（五）数学·答案1.C2.B3.B4.A5.D6.C7.A8.D9.AC10.ABD11.BD12.AC13.22(2)1x y -+=（答案不唯一）14.-215.16π316.117.解：（1）由题意可得122sin 2S bc A =⨯=cos A ，所以tan A =，因为()0,πA ∈，所以π3A =.（2）由余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，即222b c bc a +-=.因为1πsin 23S bc ==40bc =.因为20a b c ++=，所以222a b c bc=+-2()3b c bc =+-2(20)120,a =--整理得40280a =，所以7a =.18.解：（1）由1231a a a =，可得33121a ⋅=，故112a =，所以数列{}n a 的通项公式为22n n a -=.则22n n na n -=⨯，故10121222322n n S n --=⨯+⨯+⨯++⨯ ，①()012212122232122n n n S n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ .②由②-①可得，()()110121122222122n n n n S n n ----=⨯-++++=-⨯+.（2）证明：若12a =，则数列{}n a 的通项公式为2nn a =.当1n =时，11113a =+；当2n 时，1111212n n n a =<++.故231211111111111151113222322326nn n a a a +++<++++=<+=+++ .19.解：（1）样本均值12113012i i x μ===∑，样本方差()12221112ii s x μ==-∑12122211121212i i i i x x μμ==⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∑∑()2110992230360123012=⨯-⨯⨯+⨯16=.（2）①由题意可得，树干直径Y （单位：cm)近似服从正态分布()230,4N .在森林公园内再随机选一棵生长了4年的红松树，其树干直径位于区间[]22,38的概率是0.9545，所以()120.95450.57P A =≈.②若树干直径Y 近似服从正态分布()230,8N ，则()120.68270.01P A =≈此时A 发生的概率远小于（1）中根据测量结果得出的概率估计值.A 是一个小概率事件，但是第一次随机选取的12棵生长了4年的红松树，事件A 发生了，所以认为护林员给出的结论是错误的.20.解：（1）当1a =时，()()121e3ln 1,0x f x x x x x -=--+->，()13e 2xf x x x x-=-+'，()10f '=，又()10f =，所以()f x 在1x =处的切线方程为0y =.（2）()11233e 2e 2x x f x x ax x a x x --⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭'，0x >，设()123e2x g x a x -=-+，则()136e 0x g x x-=+>'，所以()g x 在()0,∞+单调递增，又,()x g x →+∞→+∞；0,()x g x →→-∞.所以存在唯一的()00,x ∞∈+，使得()0g x =0，当()00,x x ∈时，()()0,g x f x <单调递减，当()0,x x ∞∈+时，()()0,g x f x >单调递增，当0x x =时，()f x 取得极小值，所以()f x 有唯一极值点.21.解：（1）分别取,,AD BC PS 的中点,,E F G ，连接,,,,PE PF GF SF EF ，由题意可知多面体PS ABCD -的棱长全相等，且四边形ABCD 为正方形，所以,,EF BC PF BC SF BC ⊥⊥⊥，因为,,EF PF F EF PF ⋂=⊂平面PEF ，所以BC ⊥平面PEF ，同理BC ⊥平面PFS .又平面PEF ⋂平面PFS PF =，所以,,,P E F S 四点共面.又因为,EF PS AB PE SF ===，所以四边形PEFS 为平行四边形，所以PS∥EF ，又EF ⊂平面,ABCD PS ⊄平面ABCD ，所以PS∥平面ABCD .（2）以F 为原点，以,,FE FB FG 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设1AB =，则()12112,0,,1,0,0,1,,0,,0,22222P E A S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1131,0,,0,,0,,,222222EP EA AS ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.设平面PAD 的一个法向量为(),,n x y z =，则由0,0,EP n EA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得10,2210,2x z y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令1z =，则x =，所以)n =.设AS 与平面PAD 所成角为θ，则||sin 3||||n AS n AS θ⋅===⋅，即AS 与平面PAD所成角的正弦值为3.22.解：（1）依题意可得，22AB b ==，所以1b =.设()00,P x y ，则000011,PA PB y y k k x x -+==，所以202201112PA PBy k k x a -⋅==-=-，所以22a =，所以C 的标准方程为2212x y +=.（2）由题可知直线,PA PB 的斜率存在且不为0，不妨设直线PA 的斜率为k ，则直线PB 的斜率为12k-，直线:1PA y kx =+，令2y =，解得1x k=，所以1,2D k ⎛⎫⎪⎝⎭，直线1:12PB y x k=--，令2y =，解得6x k =-，所以()6,2E k -.直线:31DB y kx =-，由2231,1,2y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()22181120k x kx +-=，则2Δ(12)0k =>，且212181M B kx x k +=+，解得212181M kx k =+，所以22212181,181181k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，所以直线ME 的方程为()222181218126126181k k y x k kk k --+-=⋅+--+，整理得()1266y x k k-=-+，即660x ky k +-=，即()610x k y +-=，所以直线ME 过定点()0,1.公众号：高中试卷君。

高中毕业班阶段性测试（三）数学（理科）一、选择题1.已知集合{}2230A x x x =--<，{}10B x x =-≥，则A B =I （ ） A. ()1,3-B. [)1,+∞C. [)1,3D. (]1,1-2.复数122t t =-在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.函数2sin(2)2y x π=+是（ ）A. 周期为π的奇函数B. 周期为π的偶函数C. 周期为2π的奇函数D. 周期为2π的偶函数4.函数()()2ln f x x x =-的图象大致是（ ）A.B.C. D.5.已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，实轴端点分别为12,A A ，点P 是双曲线C 上不同于12,A A 的任意一点，12PF F ∆与12PA A ∆的面积比为2:1，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A. 3y x =± B. 2y x =± C. 3y x = D. y x =±6.对任意()2k k Z παπ≠+∈，若2222sin tan sin tan λαμααα+=，则实数λμ-=（ ）A. 2B. 0C. 1-D. 2-7.执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（ ）A.20172018B.20182019C.12018D.120198.()6311x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项等于（ ）A. 65B. 45C. 20D. 25-9.在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是1BC 的中点，则异面直线1A B 与DP 所成角的余弦值为（ ） A. 0B.3 C.36D.33 10.在ABC ∆中，22AB AC ==，,P Q 为线段BC 上的点，且BP PQ QC ==u u u r u u u r u u u r.若59AP AQ ⋅=u u u r u u u r ，则BAC ∠=（ ）A. 150oB. 120oC. 60oD. 30o11.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3cos 3sin 0a B b A +=，7b =，5c =，则ABC ∆的面积为（ ） A.153 B.153C. 153D. 312.若函数()2xe xf x a =-恰有两个零点，则实数a 的值为（ ）A. 416eB. 39eC. 24eD. e二、填空题13.甲、乙两支足球队进行一场比赛，,,A B C 三位球迷赛前在一起聊天.A 说：“甲队一定获胜.”B 说：“甲队不可能输.”C 说：“乙队一定获胜.”比赛结束后，发现三人中只有一人判断是正确的，则比赛的结果不可能是______.（填“甲胜”“乙胜”“平局”中的一个）14.公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究“完全数”的人.完全数是一种特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.若从集合{}1,6,24,28,36中随机抽取两个数，则这两个数中有完全数的概率是______. 15.往一球型容器注入136πcm 3的水，测得水面圆的直径为4cm ，水深为1cm ，若以6πcm 3/s 的速度往该容器继续注水，当再次测得水面圆的直径为4cm 时，则需经过______s .16.已知斜率存在的直线l 交抛物线2:4C y x =于,A B 两点，点()1,0D -，若0AD BD k k +=，则直线l 恒过的定点是______.三、解答题17.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11n n n n S S S S λ--⋅=-()*2,n n N ≥∈，且11a =，22a =.（1）求数列{}n S 的通项公式；（2）求{}n a 的通项公式，并求n a 的最小值.18.如图，在四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD CD ⊥，AD BC ∥，且244BC AD CD ===.点E 是线段BC 上一点，且18CE BC =.（1）求证：平面SAC ⊥平面SED ；（2）若22SD =S ED C --的正弦值.19.甲市有2万名高三学生参加了天一大联考，根据学生数学成绩（满分：150分）大数据分析可知，本次数学成绩X 服从正态分布，即()2~,X N μσ，且()1350.00135P X >≈，()950.15865P X ≤≈.（1）求,μσ的值.（2）现从甲市参加此次联考的高三学生中，随机抽取300名学生进行问卷调查，其中数学成绩高于125分的人数为Y ，求()E Y .（3）与甲市相邻的乙市也有2万名高三学生参加了此次联考，且其数学成绩Z 服从正态分布()108,36N .某高校规定此次联考数学成绩高于120分的学生可参加自主招生考试，则甲和乙哪个城市能够参加自主招生考试的学生更多？ 附：若随机变量()2~,N ξμσ，则()0.6827P μσξμσ-<+≈≤，()220.9545P μσξμσ-<+≈≤，()330.9973P μσξμσ-<≤+≈.20.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>将圆228:5O x y +=的圆周分为四等份，且椭圆C（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ，且MN 的中点为01,4P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，线段MN 的垂直平分线为l '，直线l '与x 轴交于点(),0Q m ，求m 的取值范围. 21.已知函数()ln f x x x ax =+.（1）若()f x 在()1,e 上存在极小值，求a 的取值范围；（2）设()()()g x f x f x '=-（()f x '为()f x 的导函数），()g x 的最小值为()0g x ，且()032g x >-，求0x 的取值范围.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为3cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩，（ϕ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 经过点2,3A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，且与极轴所成的角为α. （1）求曲线C 的普通方程及直线l 的参数方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,D E 两点，若AD AE +=，求直线l 的普通方程. 23.已知存在0x R ∈，使得004x a x b +--≥，,a b R +∈. （1）求+a b 的取值范围； （2）证明：4432a b +≥.。

2020届天津市高三第一次在线大联考（3月）数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合1,0,1,2,3,4{},{|,3}A B x x =-=∈≤R 则下图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{1,0,1,2,3}-B ．{4}C ．{3,4}D ．{1,0,1,2}-【答案】B【解析】由图可知，阴影部分表示的是A 中的元素除去A 与B 的交集中的元素后剩下的元素，得解. 【详解】解：由图可知，阴影部分表示的是A 中的元素除去A 与B 的交集中的元素后剩下的元素．即(){1,0,1,2,3,4}{|3}{4}U A B x x =-∈>=R I I ð， 所以阴影部分所表示的集合是{4}， 故选：B ． 【点睛】本题考查了韦恩图，重点考查了集合交、并、补的运算，属基础题.2．若复数z 满足1iz i =+，则在复平面内，复数z 对应的点的坐标是（ ） A ．(1,1)- B ．(1,1)-C ．(1,1)D ．(1,1)--【答案】A【解析】由复数除法运算可得1z i =-，再确定复数z 对应的点的坐标即可. 【详解】解：由1iz i =+，得2i i(1i)i i i11z +==+=-， 所以复数z 对应的点的坐标为(1,1)-， 故选：A ． 【点睛】本题考查了复数除法运算，重点考查了复平面内复数z 对应的点的坐标，属基础题.3．函数2()ln f x x x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先由函数的定义域可排除B ，D ，再结合导数的应用可排除A ，得解. 【详解】解：由函数2()ln f x x x =-可得，函数()f x 的定义域为{|0}x x >，故排除B ，D ，根据函数2()ln f x x x =-，可得'()f x =21212(0)x x x x x--=>， 由'()f x >0，得22x >，即函数()f x 在2)2+∞上单调递增， 由'()f x <0得202x <<，即函数()f x 在2(0,2上单调递减， 可以排除A ， 故选：C ． 【点睛】本题考查了函数的图像，重点考查了导数的应用，属基础题.4．为了解高三学生居家学习时长，从某校的调查问卷中，随机抽取n 个学生的调查问卷进行分析，得到学生可接受的学习时长频率分布直方图（如图所示），已知学习时长在[9,11)的学生人数为25，则n 的值为（ ）A ．40B ．50C ．60D ．70【答案】B【解析】分析处理频率分布直方图中的数据求解即可. 【详解】解：依题意，得[12(0.050.050.15)]25n -⨯++=， 解得50n =， 故选：B ． 【点睛】本题考查了频率分布直方图，属基础题.5．已知抛物线2:(0)C y ax a =>的焦点F 是双曲线223312y x -=的一个焦点，则a =（ ） A ．2 B ．4 C ．12D ．14【答案】D【解析】先求出双曲线、抛物线的标准方程，再求出双曲线、抛物线的焦点坐标，运算即可得解. 【详解】解：抛物线的方程为2(0)y ax a =>，即其标准方程为2()10x y a a>=，则其焦点坐标为F 1(0,)4a， 又双曲线方程为223312y x -=，即其标准方程为2211233y x -=，则其焦点坐标为（0，1），由题意可得，114a=，解得14a =，故选：D ． 【点睛】本题考查了双曲线、抛物线的标准方程，重点考查了双曲线、抛物线的焦点坐标的求法，属基础题.6．已知定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，则（ ）A ．113212111(())(log )(())233f f f <-<B ．113212111(())(())(log )233f f f <<-C ．113212111(log )(())(())323f f f -<<D ．113212111(())(())(log )323f f f <<-【答案】C【解析】由偶函数性质()()()f x f x f x -==，再结合函数的单调性即可得解. 【详解】解：因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以1122211(log )(log )(log 3)33f f f -==． 又因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，且11133221110()()()1log 3332<<<<<，所以113212111(log )(())(())323f f f -<<．故选：C ． 【点睛】本题考查了偶函数的性质，重点考查了函数单调性的应用，属基础题.7．“辛卜生公式”给出了求几何体体积的一种计算方法：夹在两个平行平面之间的几何体，如果被平行于这两个平面的任何平面所截，截得的截面面积是截面高的（不超过三次）多项式函数，那么这个几何体的体积，就等于其上底面积、下底面积与四倍中截面面积的和乘以高的六分之一．即()046hV S S S '=++，式中h ，S ，S '，0S 依次为几何体的高、上底面积、下底面积、中截面面积．如图，现将曲线21(0)4y x x =≥与直线4y =及y 轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周得到一个几何体，则利用辛卜生公式可求得该几何体的体积为（ ）A ．16πB ．32πC ．8πD ．16【答案】B【解析】根据“辛卜生公式”：()046hV S S S '=++，根据旋转体特点，结合已知即可得解. 【详解】解：由题意，该几何体的高为h y =时，其截面面积为244x y y π=π⋅=π， 故可以利用辛卜生公式求该几何体的体积．由题意可知该几何体中，'0S =，048S π⨯2==π，2416S =π⋅=π，所以所求体积4(16048)326V =⨯++⨯=πππ，故选：B ． 【点睛】本题考查了求旋转体体积，解题关键是能够理解“辛卜生公式”，重点考查了理解能力及运算能力，属基础题.8．已知函数2()2cos 23sin 4f x x x =+，则下列判断错误的是（ ） A ．函数()6y f x π=-的最小正周期为πB ．()f x 的图象关于直线3x π=对称C ．()f x 的值域为[1,3]-D ．()f x 的图象关于点(,1)24-π对称 【答案】A【解析】先利用降幂公式及辅助角公式可得()2sin(4)16f x x π=++，再结合三角函数的性质及值域逐一判断即可得解. 【详解】解：由题意，2()2cos 23sin4cos43sin412sin(4)16f x x x x x x π==++=++，对于选项A ，()6f x -π=2sin[4()]2sin(4)121cos46621x x x πππ-++=-+=-+，其最小正周期为242ππ=，故A 错误；对于选项B ，令4++,62x k k ππ=π∈Z ，得,124k x k ππ=+∈Z ，当1k =时，得3x π=，所以B 正确；对于选项C ，()2sin(4)16f x x π=++，由sin(4)[1,1]6x π+∈-，得()[1,3]f x ∈-，所以C正确；对于选项D ，令4+,6x k k π=π∈Z ，得,244k x k ππ=-+∈Z ，当0k =时，24x π=-，所以D 正确． 故选：A ． 【点睛】本题考查了三角恒等变换，重点考查了三角函数的性质，属中档题.9．已知函数21,0()12,02x e x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩，函数()(1)g x k x =-，若方程()()f x g x =恰有三个实数解，则实数k 的取值范围为（ ） A．[1 B．C．(0,3-D．(0,3-【答案】D【解析】要使方程()()f x g x =恰有三个实数解，则函数(),()f x g x 的图象恰有三个交点，再分别作出函数(),()f x g x 的图象，观察图像的交点个数即可得解. 【详解】解：依题意，画出21,0()12,02x e x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩的图象，如图．直线()(1)g x k x =-过定点(1,0)，由图象可知，函数()g x 的图象与21()2,02f x x x x =+<的图象相切时，函数(),()f xg x 的图象恰有两个交点．下面利用导数法求该切线的斜率． 设切点为00(,)P x y ，由()2,0f 'x x x =+<，得00()2k f 'x x ==+=20001221x x x +-，化简得20024=0x x --，解得01x =01x =+，要使方程()()f x g x =恰有三个实数解，则函数(),()f x g x 的图象恰有三个交点，结合图象可知035k <<-， 所以实数k 的取值范围为(0,35)-， 故选：D ．【点睛】本题考查了方程的解的个数与函数图像交点个数的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.二、填空题10．命题p ：0x R ∃∈，200220x x ++<，写出命题p 的否定：__________．【答案】x R ∀∈，2220x x ++≥【解析】由特称命题的否定是全称命题即可得解. 【详解】解：由命题p 是特称命题，则其否定是全称命题， 所以命题p 的否定为：x R ∀∈，2220x x ++≥． 故答案为：x R ∀∈，2220x x ++≥. 【点睛】本题考查了特称命题与全称命题，属基础题. 11．621()x x的展开式中，2x -的系数为__________． 【答案】15【解析】由621()x x 的展开式通项公式656216621C ()()(1)C rr r r r rr T x x x--+=-=-，令6522r-=-，再求解即可. 【详解】解：根据621)x 的展开式通项公式656216621C ()(1)C rr r r r rr T x x--+=-=-可得：令6522r-=-，解得2r =， 所以2x -的系数为226C (1)15-=． 故答案为：15. 【点睛】本题考查了二项式展开式的通项公式的应用，重点考查了运算能力，属基础题. 12．已知某篮球运动员投篮命中率为34，若在一次投篮训练中连续投篮100次，X 表示投进的次数，则X 的方差()D X =__________． 【答案】18.75（填754也得分） 【解析】由X 满足二项分布，利用方差公式求解即可. 【详解】解：由题意可知，X 满足二项分布，故3375()100(1)=18.75444D X =⨯⨯-=，故答案为：18.75． 【点睛】本题考查了二项分布及方差的求法，属基础题.13．点P 是圆22:(1)(1)1C x y -+-=上的动点，点Q 是直线:2l x y -=上的动点，若线段PQ 与直线l 的夹角始终为45︒，则线段PQ 的最小值是__________．【答案】2【解析】由点到直线的距离公式可得：圆心到直线l 距离为d =性质可得||)PQ d r ≥-，再求解即可. 【详解】解：由题意，圆C 的圆心坐标为(1,1)，则圆心到直线:20l x y --=距离为d ==所以||)1)2PQ d r ≥-=故答案为：2【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，重点考查了数形结合的数学思想方法，属基础题. 14．若正数,x y 满足230x y +-=，则2x yxy+的最小值为 ． 【答案】3 【解析】试题分析：，所以原式变形为：，所以最小值是3．【考点】基本不等式求最值15．如图，在矩形ABCD 中，已知4AB =，2AD =，点E 是AD 的中点，点F 为边CD 上一点，若AF 与BE 相交于点G ，且10AF BE ⋅=-u u u r u u u r，则EF BG ⋅u u u r u u u r =__________．【答案】–8【解析】先建立平面直角坐标系，再结合向量数量积的坐标运算求解即可. 【详解】解：以A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 轴与y 轴，建立平面直角坐标系， 则A (0，0)，B (4，0)，E (0，1)．设(,2)F x ，则(,2)AF x =u u u r ，(4,1)BE =-u u u r，所以4210AF BE x ⋅=-+=-u u u r u u u r，所以3x =， 所以(3,2)F ，所以直线AF 的方程为23y x =，易得直线BE 的方程为114y x =-+， 联立23114y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，得128(,)1111G ，所以328(,)1111BG =-u u u r ， 又因为(3,1)EF =u u u r，所以3283()181111EF BG ⋅=⨯-+⨯=-u u u r u u u r ，故答案为：-8． 【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，重点考查了运算能力，属基础题.三、解答题16．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若sin 8sin a B A =，π4C =，22265a cb ac +-=．（1）求c 的长；（2）求πcos()6A -的值．【答案】（1）（2【解析】（1）先由正弦定理得8b =，再结合余弦定理求出4sin 5B =，然后结合sin sin c b C B=求解即可； （2）由两角和、差的余弦公式求解即可. 【详解】（1）由sin 8sin a B A =，结合正弦定理，得8ab a =，所以8b =，因为22265a c b ac +-=，所以222635cos 225ac a c b B ac ac +-===．因为0πB <<，所以4sin 5B =，由正弦定理sin sin c b C B=，可得8sin 24sin 5b Cc B ⋅===（2）在ABC V 中，πA B C ++=，所以π()A B C =-+，于是πππcos cos()cos()cos cos sin sin 444A B C B B B =-+=-+=-+， 又3cos 5B =，4sin 5B =，故32422cos 55A =-⨯+⨯=， 因为0πA <<，所以272sin 1cos A A =-=． 因此πππ2372172+6cos()cos cos sin sin 6662A A A -=+=⨯+⨯=． 【点睛】本题考查了正弦定理及余弦定理，重点考查了两角和、差的余弦公式，属中档题. 17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，120BAD ∠=︒，2AB =，AC BD O =I ，PO ⊥底面ABCD ，点E 在棱PD 上．（1）求证：平面PBD ⊥平面ACE ；（2）若2OP =，点E 为PD 的中点，求二面角P AC E --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（227． 【解析】（1）由线面垂直的性质可得PO AC ⊥，再由线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面PBD ，即可证明平面PBD ⊥平面ACE ；（2）先由二面角的平面的作法可得POE ∠即为二面角P AC E --的平面角，再求解即可.【详解】证明：（1）因为PO ⊥平面ABCD ，所以PO AC ⊥，因为ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又BD PO O =I ，BD ⊂平面PBD ，PO ⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ，又AC ⊂平面ACE ，故平面PBD ⊥平面ACE ．（2）如图，连接OE ，则OE ⊂平面ACE ，由（1）可得，AC OE ⊥，AC OP ⊥，故POE ∠即为二面角P AC E --的平面角，在菱形ABCD 中，2AB AD ==，120BAD ∠=︒， 所以23BD =，3OD =，又2PO =，所以222(3)7PB PD ==+=，由点E 为PD 的中点，易得172OE PD ==，172PE PD ==， 所以POE △为等腰三角形，在POE △内过点E 作高，垂足为H ，则1HO =， 所以27cos cos 7HO POE HOE OE ∠=∠=== 即二面角P AC E --的余弦值为27．【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理及性质定理，重点考查了二面角的平面角的作法及求法，属中档题.18．已知椭圆C ：2222 1(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =，右焦点到左顶点的距离为1+2（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:l y x m =+与椭圆C 交于A 、B 两点，且以弦AB 为直径的圆过椭圆C 的右焦点F ，求直线l 的方程．【答案】（1）2212x y +=；（2）27y x -=或27y x +=-．【解析】（1）由已知条件可得22212a c c e a a b c ⎧+=+⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，再求解即可；（2）以弦AB 为直径的圆过椭圆C 的右焦点F 等价于0FA FB ⋅=u u u r u u u r ，再联立直线与椭圆方程求解即可.【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2c ，依题意得2221a c c e a a b c ⎧+=+⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得11a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=． （2）联立2212x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，化简得2234220x mx m ++-=，由2221612(22)8240m m m ∆=-⨯-=-+>，得m <<．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1243m x x +=-，212223m x x -⋅=， 因为以弦AB 为直径的圆过椭圆C 的右焦点F ，所以0FA FB ⋅=u u u r u u u r． 由（1）可知F （1，0），所以11(1,)FA x y =-u u u r ，22(1,)FB x y =-uu r ，所以11221212121212(1,)(1,)(1)(1)()1FA FB x y x y x x y y x x x x y y =-⋅=-⋅-=--++++u u u r u u u r ，因为212121212()()()y y x m x m x x m x x m =++=+++，所以22121212121212()1()2(1)()+10FA FB x x x x x x m x x m x x m x x m ⋅=+++++++-+=-+=u u u r u u u r ， 即222242(1)()+1033m m m m -⨯+--+=， 整理得23410m m +-=，解得(m ， 所以直线l的方程为y x =，即y x =y x =． 【点睛】本题考查了椭圆方程的求法，重点考查了直线与圆锥曲线的位置关系，属中档题. 19．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足11a =，11b =，2311a S +=，432b a b -=．（1）求数列{}n a 及{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足21log ,212,2n n n b a n m c n m +=-⎧=⎨=⎩，其中*m N ∈，求*121211()()n i i i n c c =-+∈⋅∑N ． 【答案】（1）12n n a -=，21n b n =-；（2）21n n +． 【解析】（1）由数列{}n a 为等比数列，数列{}n b 为等差数列，结合已知条件求其基本量即可得解；（2）由2121n c n -=-，2121n c n +=+，即212+111111()(21)(21)22121n n c c n n n n -==⨯-⋅-+-+，再累加求和即可得解.【详解】 解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，等差数列{}n b 的公差为d ．由2311a S +=，432b a b -=，得11211133113a q b d b d a q b d ++=⎧⎨+-=+⎩， 将11a =，11b =代入，得23820q d d q +=⎧⎨-=⎩，解得2q =（负值舍去），2d =， 故12n n a -=，21n b n =-．（2）由21log ,212,2n n n b a n m c n m+=-⎧=⎨=⎩，其中*m N ∈， 得2121n c n -=-，2121n c n +=+， 所以212+111111()(21)(21)22121n n c c n n n n -==⨯-⋅-+-+， 所以1212111111111111()(1)(1)233557212122121n i i i n c c n n n n =-+=⨯-+-+-++-=⨯-=⋅-+++∑L ． 【点睛】本题考查了等差数列、等比数列通项公式的求法，重点考查了数列裂项累加求和法，属中档题.20．已知函数()ln 1,f x x x ax a =-+∈R ．（1）若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）当*n N ∈时，求证：21(1)n n n n -+-<+⋅（3）求证：21e 2ln (e 2)x x x x x+≥-++-． 【答案】（1）(,1]-∞；（2）见解析；（3）见解析．【解析】（1）不等式()0f x ≥恒成立等价于1ln a x x ≤+恒成立，即min 1(ln )a x x ≤+，再构造函数1()ln F x x x=+，利用导数求其最小值即可得解； （2）由（1）知当1a =时，有ln 10x x x -+≥恒成立，所以1ln 1x x ≥-，然后令*21,n x n =>∈N ，即1ln2ln212n nn =>-，再不等式左右两边分别累加求和即可得解； （3）由（1）可知，当1a =时， 1ln 10x x+-≥在(0,+)x ∈∞上恒成立，即要证21e 2ln (e 2)x x x x x +≥-++-等价于21e (+ln (e 2)1)01x x x x x--+---≥，即只需证当0x >时，2e (e 2)10x x x ----≥，再构造函数2()e (e 2)1(0)x h x x x x =----≥，利用导数求证即可.【详解】解：（1）由题意，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，由()0f x ≥，得ln 10x x ax -+≥， 所以1ln a x x ≤+恒成立，即min 1(ln )a x x≤+． 令1()ln F x x x =+，则'22111()x F x x x x -=-=， 令'()0F x >，解得1x >，令'()0F x <，解得01x <<，所以函数()F x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． 所以函数1()ln F x x x=+的最小值为(1)1F =，所以1a ≤， 即a 的取值范围是(,1]-∞．（2）由（1）知当1a =时，有ln 10x x x -+≥恒成立，所以1ln 1x x≥-（当且仅当1x =时等号成立）．令*21,n x n =>∈N ，得1ln2ln212n nn =>-， 所以11ln212⨯>-，212ln212⨯>-，313ln212⨯>-，L ，1ln212n n ⨯>-， 以上各式相加，得2111(12)ln2()222n n n +++>-+++L L ， 所以11(1)(1)122ln2112212n n n n n n ⨯-+>-=-+-，即21(1)n n n n -+-<+⋅（3）由（1）可知，当1a =时，()0f x ≥， 即1ln 10x x+-≥在(0,+)x ∈∞上恒成立． 要证21e 2ln (e 2)x x x x x +≥-++-，即证21e (+ln (e 2)1)01x x x x x --+---≥， 只需证当0x >时，2e (e 2)10x x x ----≥．令2()e (e 2)1(0)x h x x x x =----≥，则'()e 2(e 2)x h x x =---．令()e 2(e 2)x u x x =---，则'()e 2x u x =-．由'()0u x =，得ln2x =．当(0,ln2)x ∈时，'()0u x <，()u x 单调递减；当[ln2,)x ∈+∞时，'()0u x >，()u x 单调递增．即'()h x 在(0,ln2)上单调递减，在[ln2,)+∞上单调递增．而'(0)1(e 2)3e 0h =--=->，'(ln 2)(1)0h h'<=，所以0(0,ln2)x ∃∈，使得'0()0h x =．当0(0,)x x ∈时，'()0h x >，()h x 单调递增；当0(,1)x x ∈时，'()0h x <，()h x 单调递减；当(1,)x ∈+∞时，'()0h x >，()h x 单调递增．又(0)110h =-=，(1)e 1(e 2)10h =----=，所以对0x ∀>，()0h x ≥恒成立，即x 2e (e 2)10x x ----≥． 综上所述，21e 2ln (e 2)x x x x x+≥-++-成立.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，重点考查了导数的综合应用，属综合性较强的题型.。

天一大联考海南省高中毕业班阶段性测试（三）数学（理科）一、选择题1.已知集合{}2230A x x x =--<，{}10B x x =-≥，则A B =I （ ） A. ()1,3- B. [)1,+∞C. [)1,3D. (]1,1-【答案】C 【解析】 【分析】求解一元二次不等式得到集合A ，由交集的定义即得解.【详解】由题意可得：{}2230{|(3)(1)0}{|13}A x x x x x x x x =--<=-+<=-<< 由交集的定义，有A B =I [)1,3. 故选：C【点睛】本题考查了集合的交集的运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 2.复数122t t =-在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法可求122t t =-，从而得到其在复平面内所对应的点，由此可得正确的选项.【详解】由题意：()()()2121111i i i i i i i +==-+--+ ， 该复数对应的点()1,1- 位于第二象限. 故选：B.【点睛】在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z 1，z 2互为共轭复数，则z 1·z 2＝|z 1|2＝|z 2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化．3.函数2sin(2)2y x π=+是（ ）A. 周期为π的奇函数B. 周期为π的偶函数C. 周期为2π的奇函数D. 周期为2π的偶函数【答案】B 【解析】试题分析：根据周期公式可得22T ππ==,又2sin(2)222y x cos x π=+=，所以该函数是偶函数．故选B ． 考点：三角函数的周期性和奇偶性．4.函数()()2ln f x x x =-的图象大致是（ ）A.B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】先求解f (x )的定义域排除B ,D ，再求导通过导函数研究f (x )的单调性，即得解. 【详解】由于()()2ln f x x x =-的定义域为：(,0)(1,)-∞⋃+∞，故排除B ，D ；()221'x f x x x-=-，与()21g x x =-同正负， 令1()0,()2g x x f x >>∴在(1,)+∞单调递增；令1()0,()2g x x f x <<∴在(,0)-∞单调递减；故选：A【点睛】本题考查了已知函数解析式研究函数的图像和性质，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合的能力，属于中档题.5.已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，实轴端点分别为12,A A ，点P 是双曲线C 上不同于12,A A 的任意一点，12PF F ∆与12PA A ∆的面积比为2:1，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A. 3y x =± B. 2y x =±C. y =D. y x =±【答案】C 【解析】 【分析】由12121212:||:||A PF F PA S S F F A A ∆∆=得到2c a =，利用a,b,c 的关系即得解. 【详解】由于12121212:||:||2:22:1A PF F PA S S F F A A c a ∆∆=== 故：2c a =由题意双曲线的焦点在x 轴上，因此渐近线方程为：by x a=±b a ===故渐近线方程为：y = 故选：C【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 6.对任意()2k k Z παπ≠+∈，若2222sin tan sin tan λαμααα+=，则实数λμ-=（ ）A. 2B. 0C. 1-D. 2-【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系转化2222sin tan sin tan λαμααα+=为2(1)cos 1λαμ+=-对任意()2k k Z παπ≠+∈成立，即得解.【详解】由于()2k k Z παπ≠+∈，故22sin 1,cos 0αα≠≠，2222sin tan sin tan λαμααα+=Q222sin cos cos μαλαα∴+=222cos sin 1cos λαμαα∴+==- 2(1)cos 1λαμ∴+=-对任意()2k k Z παπ≠+∈成立1,1λμ∴=-= 2λμ∴-=-故选：D【点睛】本题考查了同角三角函数关系的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.7.执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（ ）A.20172018B.20182019C.12018D.12019【答案】D 【解析】 【分析】根据程序框图的循环结构，依次计算，即得解. 【详解】初始值：1,2S i ==满足：1112019,1,1,1322i t S i i i ≤=-==⨯=+= 满足：12122019,1,1,14323i t S i i i ≤=-==⨯⨯=+=满足：131232019,1,1,154234i t S i i i ≤=-==⨯⨯⨯=+=……满足：1201812320182019,1,1...,1202020192342019i t S i i i ≤=-==⨯⨯⨯⨯=+=输出：123201811 (23420192019)S =⨯⨯⨯⨯= 故选：D【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于基础题.8.()6311x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项等于（ ）A. 65B. 45C. 20D. 25-【答案】A 【解析】 【分析】分别将()31x -，61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭用二项式定理展开，再研究对应项乘积得到的常数项即可.【详解】由于()30011223333331()()()()x C x C x C x C x -=-+-+-+-6061524233342451566066666661111111()()()()()()x C x C x C x C x C x C x C x x x x x x x x ⎛⎫+=++++++ ⎪⎝⎭ 故()6311x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为：0033322424363611()()()()2031565C x C x C x C x x x-⋅+-⋅=+⋅=故选：A【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 9.在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是1BC 的中点，则异面直线1A B 与DP 所成角的余弦值为（ ） A .B.C.6D.【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量求解异面直线1A B 与DP 所成角的余弦值. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则111(1,0,1),(1,1,0),(0,0,0),(,1,)22A B D P111 (0,1,1),(,1,)22A B DP=-=u u u r u u u r设异面直线1A B与DP所成角为θ111132cos|cos,|||||||322A B DPA B DPA B DPθ⋅∴=<>===⋅u u u r u u u ru u u r u u u ru u u r u u u r故选：C【点睛】本题考查了向量法求解异面直线夹角，考查了学生综合分析，空间想象，数学运算的能力，属于基础题。

2020届高三全国第一次大联考数学试卷参考公式：三角函数的和差化积公式.2sin 2sin 2cos cos ,2cos 2cos 2cos cos ,2sin2cos2sin sin ,2cos2sin2sin sin ϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕθ-++-=--+=+-+=--+=+第Ⅰ卷 选择题，共60分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1．已知集合A ={x |x 2=a 2,a ∈R +}，集合B ={x |nx =a }，若B ⊂A ，则n 的取值集合是（ ）A ．{1}B ．{0，1}C ．{－1，1}D ．{－1，0，1}2．已知映射f :A →B ，其中A=B=R ，对应法则f :y=－x 2+2x ，对于实数k ∈B ，在集合A 中不存在原象，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＞1B ．k ≥1C ．k ＜1D ．k ≤13．若2θ是第二象限的角，则cos(θπ+23)的取值范围是（ ） A ．（－1，1） B ．)22,22(-C ．)22,0()0,22(Y -D ．)1,22()22,1(Y -- 4．已知函数f (x )=,1)(,1xx x g x x -=-则函数F (x )=f (x )·g (x )的大致图象是（ ）5．已知定义在R 上的函数f (x )是增函数，A （0，－1），B （3，1）是其图象上的两点，那么|f (x +1)|＜1的解集的补集是（ ）A ．),3[+∞B ．),2[+∞C ．],0(-∞),3[+∞YD ．),2[]1,(+∞--∞Y 6．设f (x )=x sin x ，若x 1,x 2∈[－2,2ππ]，且f (x 1)＞f (x 2)，则下列结论中，必成立的是（ ）A ．x 1＞x 2B ．x 1+x 2＞0C ．x 1＜x 2D ．x 12＞x 22 7．已知等差数列{a n }的公差为2，a 1=3，前n 项和为S n ，则无穷数列{nS 1}的各项之和是（ ） AB C DA ．1B ．1611C ．43D ．2411 8．设函数)sin(ϕω+=x A y (A ＞0，ω＞0)，在x =2π时取最大值A ，x =π23时取最小值－A ，则x =π时，函数y 的值（ ）A ．仅与ω有关B ．仅与ϕ有关C ．等于零D ．与ω、ϕ有关 9．设复数z 1=2sin θ+i cos θ(4π＜θ＜2π)在复平面上对应向量1OZ ，将1OZ 按顺时针旋转π43后得到向量2OZ ，2OZ 对应复数z 2,那么tg(arg z 2)的取值范围是（ ）A ．（1，3）B ．（1,31）C ．（0，31） D ．（0，1）10．若关于x 的方程x 2－x +a =0，x 2－x +b =0（a ≠b ）的四个根可以组成首项为41的等差数列，则a +b 等于（ ）A ．7231B ．2413 C ．2411 D ．83 11．某校邀请当年高考前6名同学的父母共12人来校参观，其中请12位家长的4位给在校师生介绍对子女教育的经验，如果这4位中恰有一对是夫妻，那么不同选择方法的种数是（ ）A ．60B ．120C ．240D ．27012．银行计划将某资金给项目M 和N 投资一年，其中40%的资金给项目M ，其余的60%的资金给项目N ，其中项目M 能获得10%的年利润，项目N 能获得35%的年利润.年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户.为了使银行的年纯利润不少于给M ，N 总投资的10%而不大于总投资的15%，则给储户回扣率的最小值是（ ）A ．5%B ．10%C ．15%D ．20%第Ⅱ卷 非选择题，共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．ω是正实数，函数f (x )=2sin ωx 在[－4,3ππ]上递增，ω的取值范围是 .14．设x ∈C(复数集)，（x 2+m ）4=a 0+a 1x 2+a 2x 4+a 3x 6+a 4x 8，且a 1+a 3=16m ，则实数m 的值为 .15．已知数列{a n }同时满足下面两个条件：（1）不是常数列；（2）它的极限就是这个数列中的项.则此数列的一个通项公式a n = .16．已知函数f (x )=x 2－4x +5，下列条件：①x ≥0；②x ≤0；③0≤x ≤1；④－3＜x ≤3；⑤x ≥2；⑥π≤x ≤2π.其中使f (x )具有反函数的条件是 .（把你认为正确的条件序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知：f (x )=lg(1+x )－x 在),0[+∞上是减函数，解关于x 的不等式xx x x 1)11lg(---+＞lg2－1.18．（本小题满分12分）已知f (x )的定义域是R ，满足下列三个条件：①对于任意a 、b ∈R 都有f (a +b )=f (a )+f (b )；②当x ＞0时，f (x )＜0；③f (1)=－2.（1）判断f (x )的奇偶性与增减性； （2）求f (x )在[－3，3]上的最值. 19．（本小题满分12分）已知x ,y ∈R ，复数z 1=2x －(x －y )i ,z 2=2y +(4x +1)i ，且z 1i －)1(22i z +-=（1）求|z 1·z 2|；（2）复数z 满足|z |=|z 1·z 2|，求|z －(z 1－z 2)|的最大值. 20.（本小题满分12分）在△ABC 中，A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，已知b =27，B =60°，a +c =10.（1）求cos2CA -； （2）若D 为△ABC 外接圆劣弧AC ？？上一点，且2AD =DC ，求四边形ABCD 的面积.21．（本小题满分12分）甲、乙两家电公司，2000年的市场占有率均为A，根据市场分析和预测，甲公司从2000年（第1年）起市场占有率a n与n关系呈抛物线，如图一，乙公司自2000年起逐年的市场占有率都有所增加，其规律如图二.（1）根据两图信息，求出两公司第n年市场占有率a n、b n的表达式.（2）根据甲、乙两公司所在地的市场规律，如果某公司市场占有率不足另一公司市场占有率的20%，则该公司将被另一公司兼并，经计算，2019年之前不会出现兼并局面，试问2019年是否会出现兼并局面，并说明理由.22．（本小题满分14分） 已知函数f (x )=mx +41(m ＞0)，x 1,x 2∈R ，当x 1+x 2=1时，f (x 1)+f (x 2)=21.（1）求m 的值；（2）数列{a n }，已知a n =f (0)+f (n1)+f (n2)+…+f (nn 1-)+f (1)，n ∈N ，求a n ；（3）对于任意n ∈N,n n a a ＜11++n n a a 成立，求实数a 的范围.答案一、二、 13、7414、6－215、５ 16、ｍ：ｎ图一 图二三、 17、z=2321±- argz=342ππ或3 18、30a x a x 〉〈〈或 19、（1）43cm 3 （2）335 20、（1）函数f (x)在[-1，1]上是增函数 （2）123〈-≤-x （3）[f (x)]max = f (1)=1；m ≤-2或m=0或m ≥2 21、（1）8000元 （2）a>310022、 a=1 a=2 a=-1 a=-2 k=2 或 k=1 或 k=-2 或 k=-1 m=1 m=2 m=-1 m=-2。

故选： D ．2020 届天一大联考皖豫联盟体高三第一次考试数学试题、单选题答案】求解． 详解】故选： B ． 点睛】求解集合 M,N 是解答的关键，着重考查了计算能力．2．已知复数 z (1i)(a i) 在复平面内对应的点位于第四象限，则实数 a 的取值范围是( )A ． (1,)B ．( , 1) C ． ( ,1)D ． ( 1,1)【答案】D【解析】 化简复数 z(1 i)(a i) a 1 (a 1)i ，根据复数 z 在复平面内对应的点位于第四象限，列出不等式，即可求解． 【详解】由题意，复数 z (1 i)(a i) a 1 (a 1)i ， 因为复数 z 在复平面内对应的点位于第四象限，可得1 a 1.即实数 a 的取值范围是 ( 1,1) ．1．已知集合 M y| y 3x ，N {x|y 1 x} ，则 M I N ( )A ．{ x|0 x 1}B ． {x|0x 1}C ．{x|x 1}D ．{x|x 0}解析】 根据函数的定义域和值域， 求得集合M,N ，再结合集合的交集的运算，即可由题意， 集合 M y|y 3x {y|y 0},N {x|y 1 x} {x|x 1} ，所以 MN {x|0 x 1} .本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中根据函数的定义域和值域的求法， 正确a 1 0且a 1 0，解得本题主要考查了复数的基本运算和复数的几何意义， 其中熟记复数的运算法则， 结合复 数的几何意义，列出不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．3．“m 2 ”是“函数 f(x) x 24mx 3在区间 [ 2, )上单调递增 ”的( )C ．充要条件【答案】 A【解析】 根据二次函数的性质，求得函数的单调性，再结合充分条件、必要条件的判定 方法，即可求解． 【详解】由题意，函数 f(x) x24mx 3 的对称轴为 x 2m ，若 m 2，则 2m 4，函数 f(x) 在[ 2, )上递增，充分性成立；若 f(x)在区间 [ 2, )上递增，则 2m 2，即 m 1，不能推出 m 2， 所以必要性不成立， 故选： A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性和充分条件， 必要条件的判定， 其中解答中熟练应用 二次函数的性质，结合充分、必要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查了推理 与运算能力．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )答案】 D解析】 根据三视图可知，该几何体上面是一个长方体，下面是一个圆柱，结合几何体 体积公式，即可求解．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件C ． 4 3D ． 8 3A ．B ． 20一个底面半径为 1，母线长为 3 的圆柱， 其体积为 V 2 2 2 2 1 12 3 8 3 .故选： D ． 【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用， 以及几何体的体积的计算， 其中解答中利 用几何体的三视图求得原几何体的形状是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．5．已知等比数列 a n 中，a 1a 2a 3 2，a 4a 5a 6 4 ，则数列 a n 的前 12项之积为（ ） A ． 512B ． 1024C ．2046D ．2048【答案】 B【解析】 根据等比数列的定义和性质，求得数列 a n a n 1a n 2 是公比为 2 的等比数列，进而求得 a 7a 8a 9,a 10a 11a 12 的值，即可求解． 【详解】 由题意，数列an 是等比数列，可得数列a n a n 1a n 2 也是等比数列，a 4a 5a 64其中数列 a n a n 1a n 2 的公比为2，a 1a 2a32所以 a 7a 8a 9 a 4a 5a 6 2 8 ，a10 a11a12a 4a 5a62216 ，因此数列 a n 的前 12 项之积为T 12 2 4 8 16 1024 .故选： B ． 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质， 以及等比数列的应用， 其中解答中熟记等比数列的概 念和性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．6．设 a 2019 2，b log 2018 2020 ， c log 2019 2020 ，则（ ）A ．a c bB ． a b cC ．b c aD ．c b a【答案】 A【解析】 现根据指数函数和对数函数的的性质，可得 0 a 1， b 1， c 1，再结合 对数函数的单调性，即可求解． 详解】由三视图可知，该几何体上面是一个底面边长为2 2 ，侧棱长为 1 的长方体，下面是根据指数函数和对数函数的的性质，可得 0 a 1， b 1， c 1，即 a c b. 故选： A ． 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的性质及其应用， 其中解答中熟练应用指数函数与 对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．x 3y 6 0,7．若 x, y 满足约束条件xy6 0, 则 z x y的最小值为()y1,A ． 4BC ．2 D ．【答案】 D【解析】 画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可 求解． 【详解】x 3y 6 0由题意，画出约束条件 x y 6 0 所表示的可行域，如图所示， y1目标函数 z x y ，可化为直线 y x z 当直线 y x z 经过 A 时， z 取得最小值，x 3y 6 0又由 ，解得 A( 3,1) ，y1故选： D ．点睛】又因为 b1 log 200 20181 log 2020 2019因为 0 log 2020 2018log 2020 2019 1，所以1log 2020 2018 1log 2020 2019所以目标函数的最小值为 z min3 1 4.3 2本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题． 其中解答中正确画出不等式组表 示的可行域，利用 “一画、二移、三求 ”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考 查了数形结合思想，及推理与计算能力． 8．已知函数， f (x) tanx ln 1 1 ax (a x 1）为奇函数，则实数 a 的值为（）A ．1B ．0 答案】 解析】 由函数 f （x ） 为奇函数，根据f( x)1 a 2x2 f(x)，得到 ln 11a x2 0，即可求x2 解． 详解】 由题意， 函数 f(x) 所以 f ( x) tan ( 1 axtanx ln 1x1 ax x) ln 1x(a f(x) 1）为奇函数， tanx ln 1 ax ， 1x 1 整理得 ln 1 22ax 2x 0 ，所以 a 1 ． 点睛】 本题主要考查了函数的奇偶性的应用， 其中解答中熟记函数的奇偶性的概念与判定是解 答的关键，着重考查了推理与计算能力． 9．已知向量 a,b 满足 |a| 2 3，|b| 4 ，且 （a b ） b 4 ，则 a 与 b 的夹角为 （ ） A ．6 B ． 3 2 C ． 3 5 D ． 6 r由r r得求412，再结合向量的夹角公式，求得 cos a,b 3，2 即可求得向量 a 与 b 的夹角． 详解】 由题意，向量 a,b 满足 |a| 2 3，|b|4 ， 因为 (a b) rr r r 2b 4 ，可得 a r b r b r2ab164，解得 a b 12，ab 所以 cos a,b|a||b|12 2 3 4又因 a 与b 的夹角 [0,] ，所以 a 与 b 的夹角为故选：D ．点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的数量积的计算公式，向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了计算能力．ln x210 ．函数y 图象大致为(x答案】C即可求解．详解】点睛】111．已知函数f (x) sin x ( 0) ，若函数f(x) 在区间0, 上有且只有两个零点，则的取值范围为(以及解析】由函数 f x 为奇函数，排除A，B，再利用导数求得函数的单调性，排除D，由题意，函数ln x的定义域为( x,0) U(0, )，且f(x) ln( x)2xln x2f(x) ，所以函数f x 为奇函数，排除A，B；当x 0 时，函数y2ln x，则x2(1 ln x)x2当0 x e 时，y 0 ，函数单调递增，当x e时，y 0 ，函数单调递减，排除D．故选：C.本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的判定方法，以及函数的导数与单调性的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．6 2 2lg(x 1),x 0由题意，函数 f(x)lg(1 x),x 01，得到函数 f (x) 在2, 上前三个零点，列出不等式组，即可求解． 65所以26 6，解得 2,1413 ,3266故选： C ．【点睛】象与性质， 结合零点的概念得出相应的不等式组是解答的关键， 能力．lg(x 1),x 0,12．设函数 f(x)则不等式 | f (x)| lg3 的解集为( )lg(1 x),x 0,A ．{x| 1 x 1}B ． {x| 2 x 2}C ．{x| 3 x 3}D ．{x| 4 x 4}【答案】 B【解析】 根据分段函数的解析式，分 x 0和 x 0 讨论，结合对数的运算性质分别求 得不等式的解集，即可求得不等式 |f(x)| lg3 的解集． 【详解】A ．23,2B ．23,2C ．2,134D ．2,134答案】 C解析】 设x ，化简函数为 f (x) sin6【详解】由题意，因为 0 x ，可得设 x ，则函数 f (x)6x 2 6，6611sinxsin622则函数 f (x) sin 1 在2上，前三个零点分别是,5 ,13 6 , 6 , 6本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用， 其中解答中熟练应用三角函数的图着重考查了推理与运算当 x 0时，由 | f(x)| lg3 ，可得lg3 lg(x 1) lg3 ，解得 23x2又因为 x 0 ，所以 0 x 2 ；当x0时，由 | f(x)|lg3 ，可得lg3 lg(1 x)lg3 ，解得2 2 x3又因为 x 0 ，所以 2 x 0 ，所以不等式的解集为 {x| 2 x 2} ． 故选： B ． 【点睛】论思想，以及运算能力．故答案为： 98．点睛】 本题主要考查了分段函数的求值问题， 其中解答中准确把握分段函数的分段条件， 准确 计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．14．已知函数 f (x) ln x x 1的图象上有一点 P(m,2) ，则曲线 y f (x)在点 P 处 的切线方程为 __________________ . 【答案】 y 2x【解析】利用导数求得 f x 为增函数，根据 f(1) 2，求得 m 1，进而求得 f (1) 2， 得出即在点P 处的切线的斜率，再利用直线的点斜式方程，即可求解．详解】本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及对数的函数的运算性质， 着重考查了分类讨二、填空题13．设函数 f (x)2x ,x 0,1 则 f lg x ,x 0,x1 10答案】 98解析】 根据分段函数的解析式，结合分段条件，代入即可求解． 详解】2x ,x 0依题意，函数 f(x) 1 ，可得得 lg x ,x 0x1 110 100所以 f f 1101 100lg 100 1002 100 98.由题意，点P ( m,2) 在曲线y f (x)上，可得f (m) lnm m 1 2，1又由函数f (x) ln x x 1,x 0 ，则f (x) 1 0，x所以函数f x 在(0, )上为增函数，且f(1) 2，所以m 1，1因为f (x) 1，所以f (1) 2，即在点P 处的切线的斜率为2，x所以曲线y f(x)在点P(1,2) 的切线方程为y 2 2(x 1)，即y 2x. 故答案为：y 2x ．【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，以及导数的运算公式，结合直线的点斜式方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．15．设函数f(x) 4 3x x2的定义域为D，在区间[0,8] 上随机取一个实数x，x D 的概率为_______________________ .1【答案】12【解析】根据函数的解析式满足的条件，求得D ，再结合题意，利用长度比的几何概型的概率计算公式，即可求解．【详解】由题意，函数f(x) 4 3x x2，则满足4 3x x2 0，解得1 x 4，即函数f x 的定义域为D [ 1,4] ，又由在区间[0,8] 上随机取一个实数x，满足x D，则x [0, 4]，所以概率为P401802.故答案为：1．．2【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量N (A) ”，再求出总的基本事件对应的“几何度量N ”，然后根据P= N( A)求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．N16．若函数f (x) 2x2 8ln x 14x m 有唯一零点，则实数m的值___________________ .答案】16ln2 24【解析】由函数f (x) 2x2 8ln x 14x m 有唯一零点，转化为2x2 8ln x 14x m有唯一实数解，令h(x) 2x2 8ln x 14x ，利用导数求得函数h x 的单调性与最值，即可求解．【详解】由题意，函数f(x)22x2 8ln x 14x m 有唯一零点，即方程2x28ln x14x m 有唯一实数解，82(x4)(2x 1)2令h(x) 2x2 8ln x 14x ，则h (x) 4x14,x 0，x x当x 4 时，h (x)0 ，当0 x 4时，h (x)0，所以h(x) 在(4,) 上单调递增，在(0,4) 上单调递减，16ln 224，则函数h(x) 在x 4 处取得最小值，最小值为h(4)m16ln 2 24要使得函数f (x)22x2 8ln x 14x m 有唯一零点，则故答案为：16ln2 24 ．【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及利用导数研究函数的单调性与最值的应用，着重考查了转化思想，分离参数思想，以及推理与运算能力．三、解答题117．设 a 为实数，p:22a2a 12 2 2 2 0，q : x (0, ) ，不等式x2ax 1 0 恒成立.( 1)若P 为真命题，求实数a 的取值范围； (2)若( p) q为真命题，求实数a 的取值范围.11【答案】( 1) ,1 ；(2) , [1,2]22【解析】(1)由命题P 为真命题，得到关于实数a不等式，结合指数的运算性质，即可求解；( 2)由命题q为真命题，结合基本不等式求最值，得到a 2，再由( p) q为真命题，得出p 为假命题且q为真命题，列出不等式组，即可求解．详解】1a (1)由命题 P 为真命题，即 22a2a 12a22 22a22a2 0，11 解得 2 2a 2，可得 a 1，即实数 a 的取值范围是 12,1 .( 2)若命题 q 为真命题，由 x (0, ) ，不等式 x 2ax 1 0 恒成立，1即 x 2 1⋯ax 在 x (0, ) 上恒成立，即a x 对 x (0, ) 恒成立，x1 1 1当x (0, )时， x2 x 2 ，当且仅当 x ，即 x 1 时等号成立， x x x所以 q 为真命题时，可得 a 2 ，1所以实数 a 的取值范围是, [1,2] . 2【点睛】本题主要考查了以命题的真假为载体求解参数的取值范围， 其中解答中熟记复合命题的 真假判定， 以及一元二次不等式和不等式的恒成立问题的解法是解答的关键， 着重考查 了推理与运算能力．1 32 18．已知函数 f(x) x 3mx 2nx 3 ，其导函数 f (x) 是偶函数，且 f(3) 0.3( 1)求函数 f (x) 的解析式；( 2)若函数 y f (x) 2 的图象与 x 轴有三个不同的交点，求实数 的取值范围 .( 2)由(1)，求得 f (x) x24 ，进而求得函数的单调性与极值， 再根据曲线 y f (x) 7 25 与直线 y 2 有三个不同的交点，得出 2 ，即可求解．33【详解】又因为 ( p)q 为真命题，则 p 为假命题且 q 为真命题，所以1，解得 a, 1 或1剟a 2.213【答案】( 1) f(x)x 3 4x 3；(2) 3【解析】(1)由 f (x) 是偶函数，根据 f ( x)解得 n 4 ，即可得到函数的解析式；7,25 6, 6f x ，求得所以 m 0 ，再由 f(3) 0 ，a22因为 f ( x)是偶函数，则 f ( x) f x ，可得 x 22mx n x 22mx n ， 所以 m 0 ，1又因为 f (3) 0 ，所以 127 0 9 3n 3 0，解得 n 4 ，313所以函数的解析式为 f (x) 1 x 34x 3.31 3 2(2)由( 1)可得函数 f (x) x 3 4x 3，则 f (x) x 2 4 ，3令 f (x) x 24 0，解得 x 2.熟练应用导数求得函数的单调性与极值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能 力．19．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知定点 Q(1,0)及动点) ，以PQ 为斜边作一等腰直角三角形 PRQ (原点 O 与点R 分别在直线 PQ 的两侧)1)当3时，求 |OR|2；1)由题意，函数 f (x)132mx nx 3 ，则 f (x)2x 2mx n ，当x) 上分别单调递增，当 2 x2 时， f (x)0 ，所以 f (x) 在 ( 2,2) 上单调递减， 所以 f (x) 的极大值为 f (2) 25 ，f (x)的极小值为 f (2) 733又由曲线y f (x) 与直线y 2 有三个不同的交点， 725725所以2 ，即3 366，故实数的取值范围是7,2566【点睛】以及利用导数求解函数的零点问题， 其中解答中P(2cos ,2sin )(02或 x 2 时， f (x) 0 ，所以 f (x) 在 ( 2) ，(2,本题主要考查了函数性质的综合应用，所以 |OR |2 53有关三角形的题目时， 要抓住题设条件和利用某个定理的信息， 合理应用正弦定理和余 弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力．a n 满足 a 5 4， 2a 6 a 9 18 ，等比数列b n 的各项均为正数，1）求 a n 和 b n 的通项公式；2）求四边形 OPRQ 面积的最大值【答案】（ 1） 3 ；（2） 2 5【解析】（ 1）当 时，得到点 P 的坐标为 （1, 3） ，在 ORQ 中，由余弦定理，即3可求得 |OR|2 的值．2）根据三角形的面积公式，求得四边形OPRQ 的面积为 S 2sin5，4结合三角函数的性质，即可求解． 详解】1） 在直角坐标系 xOy 中，已知定点 Q （1,0）及动点 P （2cos ,2sin ） ，时，3 时，点 P 的坐标为 （1, 3） ，所以 OQP ，且 |PQ |23.所以OQR34 ，|RQ| | PQ |cos 46， 2，在 ORQ 中， 由余弦定理，可得|OR|2|OQ |2|RQ|22|OQ || RQ| 3cos 462 2252 3 ，2）由题意可得， |OP | 2，POQ四边形 OPRQ 的面积S 1 |OP | |OQ |sin 2|PQ |2sin12 212 224 2 1 2cos sincos52sin 45，4因为(0, ) ，当3 34 时，四边形OPRQ 面积 S 最大，最大值为 2点睛】本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及三角函数的性质的应用， 其中在解20．已知等差数列 且 b 2 2 ， b 3 b 4a 4a5 .详解】1）设等差数列 a n 的公差为 d ，所以 a n a 1 (n 1)d n 1.设等比数列 b n 的公比为 q ，且 q 0 ，所以 b n b 2qn 22n 1（ 2）由（ 1）可得 a n b n(n 1)2n 1 ，当 n 1 时， T 1 0.当 n 2 时， T n 1 21222L(n 2) 2n 2 (n 1) 2则 2T n 1 222 23L (n 2)2n1(n n1) 2n.两式相减，得 T n2 2223L2n1(n n1) 2n所以 T n (n 2) 2n 2 ， 当 n 1时也符合上式，所以 T n (n 2) 2n2 ，又因为 T 8 6 282 1538 2020 ，T 9 7 292 3586 2020所以满足 T n 2000 的最大正整数 n 8.2）设T n 为数列 a n b n 的前 n 项和，求满足 T n 2020 的最大正整数 n .答案】（ 1） a n n 1，b n 2n 1；（2）8解析】（ 1）设等差数列a n 的公差为 d ，等比数列b n 的公比为 q ，且 q 0 ，根据题设条件，列出方程组，求得a 1,d,q ，即可得到 a n 和b n 的通项公式；2）由（ 1）得到 a n b nn1（n 1） 2n 1 ，结合乘公比错位相减法，求得数列的前 n 项和Tn ，进而求得满足 Tn2020 的最大正整数 n .因为a 5 4 2a 6 a 918可得a 1 4d 4，解得a 1 3a 1 18d 18 10,d 1，因为 b 2 2,b 3 b 4 a 4a 5 ，可得 b 3 b 422q 2q 2 12，解得 q= 2或q3（舍去），2 2n12(n 1) 2n(n 2) 2n 2 .点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及 “错位相减法 ”求和的应用， 此类题目是数列问题中的常见题型， 解答中确定通项公式是基础， 准确计算求和是关键， 易错点是在 “错位 ”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能 力及基本计算能力 .2△ AF1F2的面积为 1，且椭圆 C 的离心率为 .21）求椭圆 C 的标准方程；2）点 M 在椭圆上且位于第二象限，过点F 1作直线 l 1 MF 1，过点 F 2 作直线l 2 MF 2 ，若直线 l 1,l 2的交点 N 恰好也在椭圆 C 上，求点 M 的坐标 .【答案】（1） x2 y 21；（2） 233, 33详解】 （ 1）由椭圆 C 的上顶点为 A ， AF 1F 2的面积为 1，且椭圆 C 的离心率为 ，2c2 a21可得 2c b bc 1，解得 a 2,b 1,c 1 ，2 222abc2 所以椭圆C 的标准方程为 x y 2 1.22（ 2）由（ 1）知，椭圆的方程 x y 21，可得 F 1（ 1,0） ， F 2 （1,0） ，2设 M x 0 ,y 0 ，则 x 0 0 ， y 0 0.2 x21 ．已知椭圆 C : 2ab 21(a 0,b 0） 的左、右焦点分别为 F 1,F 2 ，上顶点为 A ，解析】（ 1）根据题设条件，列出a,b,c 的方程组，结合 a 2 b 2c 2，求得 a,b,c 的值，即可得到椭圆的标准方程；2）设 M x 0,y 0 ，分 x 0 1和 x 0 1两种情况讨论，当 x 0 1时，联立 l 1,l 2 的方程组，取得 Nx 0, x 02y 1y，再结合椭圆的对称性，列出方程组，即可求解当 x 0 1 时， l 2 与 l 1 相交于点 F 2 不符合题意； 当 x 0 1时，直线 MF 1 的斜率为 x 0 y0 01，直线 MF 2的斜率为 y0，x 0 1 ， 因为 l 1 MF 1， l 2 MF 2，所以直线 2，l 1的斜率为 x 0 1 y 0 ，直线 l 2 的斜率为 x 0 1 y 0 所以直线 l 1 的方程为 x0y 1(x y 0 1)，直线 l 2 的方程为 x0y 1(x y 01)， 联立 l 1和 l 2的方程，解得 x 0，yx 021，所以 Nyx 0,，y因为点 M,N 在椭圆 C 上， 由椭圆的对称性，可知 x 02 1yy 0，所以 x 02 y 02 1或 x 022y 01， 由方程组 2 x 0 所以点 M 点睛】 2y 02 y 02的坐标为 x 0 ，解得 y0 本题主要考查椭圆的标准方程的求解、 题目，通常联立直线方程与椭圆方程， 2 3 x 02 3 ，而方程组 x 2 3 ，而方程组x 20 3 2y 02 y 021 无解 1舍去)，及直线与椭圆的位置关系的综合应用 ,解答此类 应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，能 较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力． 22．已知函数 f (x) ln x ax 2 x 3(a R) . f (x) 的单调区间； 1)当 a 1 时，求函数 2)若函数 f (x) 在区间 (0,1)上有唯一的极值点 x 0，求 a 的取值范围，并证明： f x 0 答案】 1)递增区间是 (0,1) ，递减区间是 (1, ) ；(2) 1, ，见解析 解析】 1)当 a 1 时， 求出函数 f x 的定义域和导数，结合导数的取值的正负，即 可求得函数 f x 的单调区间； 2)求得 f (x)，令 g(x) 2ax 2x1 ，根据函数 f x 在区间 (0,1) 上有唯一的极值点x0，得出g( x)在(0,1)上有唯一的解，根据g(1) 0求得a的范围，再由由g x020 ，得到2ax02x0 1，结合函数(x) ln x x2的单调性和最值，即可2求解．详解】x，当a 1 时，函数f (x)ln x x 2 3 x.2则f (x)12x 1 x 2x2 x 1(2x x令f (x)0 ，即x 10且x 0，可得0令f (x)0 ，即x 10 ，可得x1.所以当a 1 时，函数f (x) 的单调递增区间是( 2)由函数f (x) ln2x ax x3，则f2记g(x)22ax x1，由题意，函数f (x)1)x因为f (x)在区间(0,1) 上有唯一的极值点x0 ，x1 ，1)(x 1),xln x ax2(x) 1x 0，(0,1) ，单调递减区间是(1,2ax2 2ax根据二次函数的图象分析可知，只需g(1)所以实数a 的取值范围是(1,)，).x 1,x 0 ，又g(0)0 即可，1，g(1)2a 1 1 0 ，解得20 ，可得2ax02x01，所以f x0ln x02ax0又由函数(x)lnxx2可得函数(x)lnx x2所以f x03.2.【点睛】x 0又由g x0lnx0 2，可得(x)x0 1211x2xln xx20 2，2在(0,1) 上单调递增，且(1)32，本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。

1 绝密★启用前天一大联考“皖豫连盟体”2020届高三年级上学期第一次大联考数学（文）试题考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,毎小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的.1．已知集合{3},{x M y y N x y ==== ,则M N = A.{01}x x << B. {01}x x <≤ C. {1}x x ≤ D. {0}x x >2. 已知复数在复平面内对应的点位于第四象限,则实数a 的取值范围是A.(1,)+∞B. (,1)-∞-C. (,1)-∞D. (1,1)-3. “2m ≤-”是“函数2()43f x x mx =--在区间[2,)-+∞上单调递增”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A. 16B.20C.43π+D.83π+5. 已知等比数列{}n a 中,1234562,4a a a a a a ==,则数列{}n a 的前12项之积为A.512B. 1024C.2046D.20486. 设2201820192019,log 2020,log 2020a b c -===,则A.a c b << B . a b c << C. a b c << D. c b a <<。