《数列》课题：等比数列(一)(1课时)

《等比数列的前n项和公式》说课稿(第一课时)尊敬的各位评委、各位老师，大家好！今天，我说课的内容是人教版普通高级中学教科书(必修)《数学》第一册（上）第三章第五节“等比数列的前n项和公式”第一课时。

一、教材结构与内容分析：学生已学习了数列的定义、等比数列、等比数列的通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用，而本节内容也为后面学习数列求和、数列极限打下基础。

本节课既是本章的重点，同时也是教材的重点。

从高中数学的整体内容来看，《数列》这一章是高中数学的重要内容之一，在整个高中数学领域里占据着重要地位，也起着作用性的作用。

首先：数列有着广泛的实际应用。

例如产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算等。

其次：数列有着承前启后的作用。

数列是函数的延续，它实质上是一种特殊的函数；学习数列又为进一步学习数列的极限等内容打下基础。

再次：数列也是培养提高学生思维能力的好题材。

学习数列要经常观察、分析、猜想,还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有利于学生数学能力的提高。

二、教学目标分析：1、知识目标：理解等比数列前n项和公式的推导方法，掌握等比数列前n项和公式及应用。

2、能力目标：培养学生观察问题、思考问题的能力，并能灵活运用基本概念分析问题解决问题的能力,锻炼数学思维能力。

3、情感目标：培养学生学习数学的积极性，锻炼学生遇到困难不气馁的坚强意志和勇于创新的精神。

三、重点难点分析重点:等比数列前n项和公式及应用。

难点:等比数列前n项和公式的推导。

四、学生情况分析：学生在学习本节内容之前已经学习等差、等比数列的概念和通项公式，等差数列的前Ｎ项和的公式，具备一定的数学思想方法，能够就接下来的内容展开思考，而且在情感上也具备了学习新知识的渴求。

五、教学方法分析：教法：数学是一门培养和发展人的思维的重要，因此在教学中不仅要让学生“知其然”，还要“知其所以然”，为了体现以学生发展为本，遵循学生的认知规律，体现循序渐进和启发式教学原则，我进行这样的教学设计：在教师的引导下，创设情景，通过开放式问题的设置来启发学生进行思考，在思考中体会数学概念形成过程中蕴涵的数学方法和思想，使之获得内心感受。

课题：等比数列的前项和（第一课时）教材：全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第一册（上）各位专家、评委，大家上午好！我是来自成都十八中的数学教师陈华，今天我要说课的题目是等比数列的前项和.我的说课从以下六个环节来进行.一、教材分析●教学内容《等比数列的前项和》是高中数学人教版第一册（上）第三章第五节的内容，本节计划授课课时，今天我的说课为第一课时.●地位与作用，本节是数列这章中的一个重要内容,在现实生活中有着广泛的实际应用，另外公式推导过程中所渗透的数学思想方法,是学生今后学习和工作的必备数学素养．二、学情分析●知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和、等比数列的定义、通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.●认知水平与能力：高一学生初步具有自主探究的能力，能把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导，但不利因素是本节公式的推导与等差数列前项和公式的推导又有所不同，另外，对于这一特殊情况，学生往往容易忽视．●任教班级学生特点：我班学生基础知识较扎实、思维较活跃.依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：.教学目标●知识与技能目标：&理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式.●过程与方法目标:在推导公式的过程中渗透数学思想、方法，优化学生思维品质．●情感、态度与价值目标：通过学生自主探索公式，激发他们的求知欲，体验错位相减法所折射出的数学方法美..教学重点、难点●重点：等比数列的前项和公式的推导和公式的简单应用．突出重点的方法：“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线. …● 难点：：错位相减法的生成和等比数列前n 项和公式的运用突破难点的手段：“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.四、教学模式与教法、学法教学模式 ：本课采用“探究——发现”教学模式．教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．学生的学法：突出探究、发现与交流．五、【教学过程分析】/ 下面，我就重点介绍一下我的教学过程教学过程一．创设情境、提出问题在这个环节，我分两个部分来完成.首先复习旧知,铺垫新知.接着用多媒体向学生演示了一个他们所熟悉的动画<喜羊羊与灰太狼>的故事.通过学生观看动画,教师提出问题,学生发现问题暂不能解决,从而引出课题.这样设计的目的是:复习旧知识可以引导学生发现等比数列各项特点,从而为“错位相减法”推导等比数列前和埋下伏笔．而情景动画的引入让引出课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性．二.类比探索、形成公式在这个环节中，我主要依托以下两个探究来完成235859122222++++++我先引导学生回忆：等差数列求和的重要方法是倒序相加法，剖析倒序相加法的本质即整体设元，构造等式，利用方程的思想化繁为简，把不易求和的问题转化为易于求和的问题．从而得出求和的实质是减少了项.同时又引导学生思考现在用这种方法还行吗若不行，那该怎样简化运算能否类比倒序相加的本质，根据等比数列项之间的特点，也构造一个式子，通过两式运算来解决问题 从而引发学生的思考、讨论.这就是学生在讨论这个问题的一个片段。

等比数列第一课时教学设计一教分材析：1.教材地位与作用等比数列是人教b版高中数学选择性必修三第五章第三节第一课时的内容。

数列这一章是高中数学的重要内容之一，在整个高中数学领域里占据着重要地位，也时高考的重点。

等比数学数列是在学习等差数列之后的又一特殊数列。

数列是一种特殊的函数，是函数知识的延续。

同时学好等比数列的概念和通项公式，更有利于下一步研究等比数列的性质以及前n 项和公式。

数列在储蓄、分期付款的有关计算等方面有着广泛的实际应用。

数列不但在知识上起着承前启后的作用，还具备现实意义。

学习数列不但可以提高学生的观察、分析、猜想的能力，同时还可以培养学生的数学核心素养。

2.设计理念新课标提出在数学教学中，应该培养学生的数学抽象、数学建模、数学运算、逻辑推理、直观想象、数据分析六大核心素养。

所以本节课课前我利用班级优化大师推送微课视频和习题，让学生预习并做简单课前测试，学生发现问题带着困惑走进课堂，更有针对性地进行学习。

课上我借助微视频多媒体技术进行引入，创造问题情境，让学生们在实际问题中抽象出数学模型，培养学生的数学抽象和数学建模能力。

而在猜想过程中培养学生的逻辑推理能力。

学生边做边学，边学边做，理论联系实际，自己查缺补漏。

以学生为主体的教学方式，发挥学生的主观能动性，教师帮助学生构建知识结构，理清知识脉络，从而实现翻转课堂。

二、学情分析：学生在学习本节内容之前已经学习等差数列的概念，通项公式以及等差数列前n项和的公式，具备一定的数学思想方法，有一定的观察、分析、猜想和归纳的能力。

三教学目标1、知识与技能目标：理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式。

2、过程与方法目标:培养学生用归纳类比的方法去分析解决问题。

让学生能在具体的情境中，发现等比关系，培养学生们的数学建模能力。

3、情感与态度目标:让学生充分感受到数列是现实生活中的重要模型，提高学生的学习兴趣。

．四、教学重点:理解等比数列的概念，掌握通项公式的推导．五、教学难点:灵活应用等比数列的通项公式和推广公式，熟练的解决相关的数学问题。

1.3.2等比数列前n项公式(第1课时)安徽临泉一中王峰一、教材分析等差数列的前n项和是数列的基本内容，同时也是数列研究的主要内容。

在现实生活中，等比数列的求和是经常遇到的一类问题，如存款、贷款、购物（房、车）分期付款、资产折旧等问题都可能用到等比数列的求和公式，故可以说等比数列的求和公式为我们为我们研究等差数列问题提供了一个有力武器。

教材首先通过一个具体的事例，探索概括出等比数列的前n项和的两种求法，接着将它们推广到一般情况，进而推导出等比数列的前n项和的公式。

为使学生对公式做到正确理解，灵活运用，教材举了给出了两个例子，值得注意的是，两道例题中就有一个实际应用题，这样安排足以说明等比数列是培养学生数学应用意识的重要载体，应引起学生的重视。

二、教学目标1、通过实际问题的处理办法，并加以提炼推广到一般问题，进而求出等比数列的前n项和的公式，可培养学生的探究能力、创新能力、抽象概括能力及科学的思维方法。

2、掌握等比数列的前n项和的公式，会运用公式解决一些简单的数列求和问题。

3、通过公式的推导及求和过程中对q与1的关系的讨论，可培养学生的思维的严密性。

三、教学重点1、等比数列的前n项和的公式的推导方法。

2、等比数列的前n项和的公式的掌握与应用。

四、教学难点等比数列的前n项和的公式推导思路的形成与领会。

五、教学过程（一）问题提出一天，小林和小明做“贷款”游戏，他们签订了一份合同。

从签订合同之日起，在整整一个月（30天）中，小明第一天贷给小林1万元，第二天贷给小林2万元……以后每天比前一天多贷给小林1万元，而小林按这样的方式还贷：小林第一天只需还1分钱，第二天只需还2分钱，第三天只需还4分钱……以后每天还的钱数是前一天的两倍。

合同生效了，第一天小林支出1分钱，收入1万元；第二天，他支出2分钱，收入2万元；第二天，他支出4分钱，收入3万元……到了第10天，他共得到55万元，付出的总数只有10元2角3分。

到了第20天，他共得到210万元，而小明才得到1048575分，共1万元多一点。

第四届全国高中青年数学教师优秀课大赛教案设计课题: 等比数列前n项和(第一课时)执教人: 谢业建(139********)单位: 安徽无为襄安中学课题：等比数列的前n项和（第一课时）一教学目标:1.知识与技能目标:1)掌握等比数列求和公式,并能用之解决简单的问题。

2)通过对公式的推导,对学生渗透方程思想、分类讨论思想以及等价转化思想。

2过程与方法目标：通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题能力；体会公式探求中从特殊到一般的数学思想，同时渗透如上所说的多种数学思想。

3.情感与态度目标：通过公式的推导与简单应用，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。

二教学重点：等比数列项前n和公式的推导与简单应用。

三教学难点：等比数列n项和公式的推导。

四教学方法：启发引导，探索发现（多媒体辅助教学）。

五教学过程：1．创设情境，导入新课：1）复习旧知，铺垫新知：（1）等比数列定义及通项公式；（2）等比数列的项之间有何特点？说明：如此设计目的是在于引导学生发现等比数列各项特点：从第二项起每一项比前一项多乘以q，从而为“错位相减法”求等比数列前n和埋下伏笔。

2）问题情境，引出课题：从前，一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来，但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元，第二天借给穷人2万元，以后每天所借的钱数都比上一天多一万；但借钱第一天，穷人还1分钱，第二天还2分钱，以后每天所还的钱数都是上一天的两倍，30天后互不相欠。

穷人听后觉得挺划算，但怕上当受骗，所以很为难。

请在座的同学思考一下,帮穷人出个主意.注：师生合作分别给出两个和式：①学生会求，对②学生知道是等比数列项前n和的问题但却感到不会解！问1：能不能用等差数列求和方法去求？（不行）问2：怎么办？（用追问的方式引出课题）2．师生互动，新课探究：如何求和：注：（给学生时间让他们观察、思考）如果学生想不出来，师做必要启发：1）等式右边各项有什么特点？（等比数列30项和）2）公比是多少？（2） 即：从第二项起每一项比前一项多乘以2.3）因此，如果两边……（教师语速放慢，看学生反应状况，再往下提示：把等式两边同乘以公比2）从而有：师：如何求30T ？（此处给学生充分的观察思考的时间，师不忙给出结论，让他们自己得出求解的方法：作差）注：①学生解出30T ，并与30S 比较（到底能不能向富人借钱）。

等比数列的前n 项和公式(第1课时)素养目标学科素养1.掌握等比数列的前n 项和公式及其应用．(重点、难点)2．会用错位相减法求数列的和．(重点、难点) 3．能运用等比数列的前n 项和公式解决一些简单的实际问题.1.数学运算； 2．逻辑推理情境导学请问：国王需准备多少麦粒才能满足这个人的要求？国王能兑现自己的诺言吗？1．等比数列的前n 项和 已知量首项a 1、公比q (q ≠1)与项数n 首项a 1、末项a n 与公比q (q ≠1) 首项a 1、 公比q ＝1 求和公式S n ＝a 1(1－q n )1－qS n ＝a 1－a n 1－qS n ＝na 1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)求等比数列{a n }的前n 项和时，可直接套用公式S n ＝a 1(1－q n )1－q .(×)(2)若首项为a 的数列既是等比数列又是等差数列，则其前n 项和等于na .(√)(3)若a ∈R ，则1＋a ＋a 2＋…＋a n －1＝1－a n 1－a.(×) 2．错位相减法求和推导等比数列前n 项和的方法是错位相减法，一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项乘积的前n 项和．下列数列中，可以用错位相减法求和的是(C) A ．{n 2}B ．{n ＋3n }C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－n ·⎝⎛⎭⎫12n D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n n1．在等比数列{a n }中，其前n 项和为S n ，a 1＝2，S 3＝26，则公比q 等于( ) A ．3 B ．－4 C ．3或－4D ．－3或4C 解析：由题意可知q ≠1，且S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝2(1－q 3)1－q ＝26，∴q 2＋q －12＝0，∴q ＝3或q ＝－4.2．在等比数列{a n }中，其前n 项和为S n ，若q ＝－12，S 5＝11，则a 1＝________.16 解析：S 5＝a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－1251－⎝⎛⎭⎫－12＝23×3332a 1＝11，∴a 1＝16.3．在等比数列{a n }中，已知a 1＝3，a n ＝96，S n ＝189，则n ＝________.6 解析：由S n ＝a 1－a n q 1－q ＝3－96q1－q ＝189，得q ＝2.又a n ＝a 1q n －1＝3×2n －1＝96，所以n ＝6.4．在各项均为正数的等比数列{a n }中，S n 为其前 n 项和，若a 1＝81，a 5＝16，则S 5＝________. 211 解析：由16＝81×q 5－1，q >0，得q ＝23，所以S 5＝81⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫2351－23＝211.5．设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.15 解析：S 4a 4＝a1(1－q4)1－q a 1q 3＝1－q 4(1－q )q 3＝1516116＝15.【例1】在等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，解决下列问题： (1)若a n ＝2n ，求S 6；(2)若a 1＋a 3＝54，a 4＋a 6＝10，求S 5；(3)若S n ＝189，q ＝2，a n ＝96，求a 1和n . 解：设数列{a n }的首项为a 1，公比为q . (1)∵a n ＝2n ＝2×2n －1，∴a 1＝2，q ＝2. ∴S 6＝2×(1－26)1－2＝126.(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 2＝54，a 1q 3＋a 1q 5＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，从而S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝14×(1－25)1－2＝314.(3)(方法一)由S n ＝a 1(1－q n)1－q，a n ＝a 1q n －1及已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧189＝a 1(1－2n)1－2，96＝a 12n －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，n ＝6.(方法二)由公式S n ＝a 1－a n q 1－q 及已知条件，得189＝a 1－96×21－2，解得a 1＝3.又由a n ＝a 1q n －1，得96＝3×2n －1，解得n ＝6.在等比数列{a n }的五个量a 1，q ，a n ，n ，S n 中，a 1与q 是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a 1与q 表示a n 与S n ，从而列方程组求解．在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用．已知等比数列{a n }满足a 3＝12，a 8＝38，记其前n 项和为S n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若S n ＝93，求n .解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝a 1q 2＝12，a 8＝a 1q 7＝38，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝48，q ＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝48×⎝⎛⎭⎫12n －1.(2)S n ＝a 1(1－q n)1－q ＝48⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝96⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n . 由S n ＝93，得96⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n ＝93，解得n ＝5.【例2】小华准备购买一台售价为5 000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款项全部付清．商场提出的付款方式：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，……，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少．解：(方法一)设小华每期付款x 元，第k 个月末付款后的欠款本利为A k ，则 A 2＝5 000×(1＋0.008)2－x ＝5 000×1.0082－x ， A 4＝A 2(1＋0.008)2－x ＝5 000×1.0084－1.0082x －x ， …A 12＝5 000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x ＝0， 解得x ＝ 5 000×1.008121＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810＝5 000×1.008121－(1.0082)61－1.0082≈880.81.故小华每期付款金额约为880.81元．(方法二)设小华每期付款x 元，到第k 个月时已付款及利息为A k 元，则 A 2＝x ，A 4＝A 2(1＋0.008)2＋x ＝x (1＋1.0082)， A 6＝A 4(1＋0.008)2＋x ＝x (1＋1.0082＋1.0084)， …A 12＝x (1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810)． ∵年底付清欠款， ∴A 12＝5 000×1.00812，即5 000×1.00812＝x (1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)． ∴x ＝5 000×1.008121＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810≈880.81.故小华每期付款金额约为880.81元．解决数列应用题时，一是明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列还是等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题；二是明确是求a n ，还是求S n .细胞繁殖、利率、增长率等问题一般为等比数列问题．某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少15，本年度当地旅游业收入估计为400万元．由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长14.求n 年内的总投入与n 年内旅游业的总收入．解：由题意知第1年投入800万元， 第2年投入800×⎝⎛⎭⎫1－15万元， ……第n 年投入800×⎝⎛⎭⎫1－15n －1万元， 所以每年的投入资金数构成首项为800，公比为⎝⎛⎭⎫1－15的等比数列． 所以n 年内的总投入S n ＝800＋800×⎝⎛⎭⎫1－15＋…＋800×⎝⎛⎭⎫1－15n －1＝4 000×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n (万元)．由题意知，第1年旅游业的收入为400万元， 第2年旅游业的收入为400×⎝⎛⎭⎫1＋14万元， ……第n 年旅游业的收入为400×⎝⎛⎭⎫1＋14n －1万元， 所以每年的旅游业收入资金数构成首项为400，公比为⎝⎛⎭⎫1＋14的等比数列． 所以n 年内旅游业的总收入T n ＝400＋400×⎝⎛⎭⎫1＋14＋…＋400×⎝⎛⎭⎫1＋14n －1＝1 600×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫54n －1(万元)．故n 年内的总投入为4 000×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 万元，n 年内旅游业的总收入为1 600×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫54n －1万元．探究题1 求数列12，34，58，…，2n －12n ，…的前n 项和．解：设S n ＝12＋34＋58＋…＋2n －12n ，①则12S n ＝14＋38＋516＋…＋2n －12n ＋1，② ①－②，得12S n ＝12＋24＋28＋216＋…＋22n －2n －12n ＋1，即12S n ＝12＋12＋14＋18＋…＋12n －1－2n －12n ＋1＝12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－2n －12n ＋1＝12＋1－⎝⎛⎭⎫12n －1－2n －12n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1. 所以S n ＝3－12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n . 探究题2 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n . 解：(1)当x ＝0时，S n ＝0. (2)当x ＝1时，S n ＝n (n ＋1)2.(3)当x ≠0且x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋(n －1)x n －1＋nx n ，① xS n ＝x 2＋2x 3＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1，② ①－②得，(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n－nxn ＋1＝x (1－x n )1－x－nx n ＋1，∴S n ＝x (1－x )2[nx n ＋1－(n ＋1)x n＋1]．∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2，x ＝1，0，x ＝0，x (1－x )2[nxn ＋1－(n ＋1)x n ＋1]，x ≠0，x ≠1.探究题3 已知数列{a n }是首项、公比都为5的等比数列，b n ＝a n log 25a n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .解：依题意，得a n ＝5×5n －1＝5n ， 于是b n ＝5n log 255n ＝12·n ·5n .所以S n ＝12×1×5＋12×2×52＋12×3×53＋…＋12×n ×5n ，则5S n ＝12×1×52＋12×2×53＋12×3×54＋…＋12×(n －1)×5n ＋12×n ×5n ＋1，两式相减，得－4S n ＝12×5＋12×52＋12×53＋…＋12×5n －12×n ×5n ＋1，即－4S n ＝12(5＋52＋53＋…＋5n )－12×n ×5n ＋1＝12×5(1－5n)1－5－12×n ×5n ＋1 ＝5n ＋1－58－n ×5n ＋12，故S n ＝5－5n ＋1＋4n ×5n ＋132.探究题4 已知数列{a n }的首项a 1＝23，a n ＋1＝2a na n ＋1，n ＝1,2，….(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1是等比数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n 的前n 项和S n .(1)证明：∵a n ＋1＝2a na n ＋1，∴1a n ＋1＝a n ＋12a n ＝12＋12×1a n ，∴1a n ＋1－1＝12⎝⎛⎭⎫1a n －1.又a 1＝23，∴1a 1－1＝12.∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)解：由(1)知1a n －1＝12×12n －1＝12n ，即1a n ＝12n ＋1，∴n an ＝n2n ＋n . 设T n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，①则12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1.② ①－②得12T n ＝12＋122＋…＋12n －n 2n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1，∴T n ＝2－12n －1－n2n ＝2－n ＋22n .∴S n ＝T n ＋1＋2＋…＋n ＝T n ＋n (n ＋1)2＝2－n ＋22n ＋n (n ＋1)2.如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成，此时可把式子S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 两边同乘公比q ，得到qS n ＝a 1q ＋a 2q ＋…＋a n q ，两式错位相减整理即可求出S n .在计算的过程中要注意第1项与最后一项的处理，有时还要注意对公比q 的讨论．若已知数列为{(2n －1)a n －1}(a ≠0)，求它的前n 项和． 解：当a ＝1时，数列变成1,3,5,7，…，2n －1，…，则S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2.当a ≠1时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)·a n －1，① aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)a n ，② ①－②得S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ， (1－a )S n ＝1－(2n －1)a n＋2(a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋an －1)＝1－(2n －1)a n＋2a (1－a n －1)1－a＝1－(2n－1)a n ＋2(a －a n )1－a.又1－a ≠0，∴S n ＝1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n )(1－a )2，∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，a ＝1，1－(2n －1)a n1－a ＋2(a －a n )(1－a )2，a ≠1.1．等比数列{a n }中，a 1＝1，公比q ＝2，当S n ＝127时，n ＝( ) A ．8 B ．7 C ．6D ．5B 解析：由S n ＝a 1(1－q n )1－q，a 1＝1，q ＝2.当S n ＝127时，则127＝1－2n1－2，解得n ＝7.故选B ．2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋S 3＝0，则公比q ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－2D ．2 A 解析：∵a 2＋S 3＝a 2＋(a 1＋a 2＋a 3)＝0， ∴a 1＋2a 2＋a 3＝a 1(1＋2q ＋q 2)＝a 1(1＋q )2＝0.又a 1≠0，∴q ＝－1.故选A ．3．已知等比数列{a n }的公比为－2，且S n 为其前n 项和，则S 4S 2＝( )A ．－5B ．－3C ．5D ．3C 解析：由题意可得：S 4S 2＝a 1[1－(－2)4]1－(－2)a 1[1－(－2)2]1－(－2)＝1＋(－2)2＝5，故选C ．4．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝3，S 3＝9，则S 4＝( ) A ．12 B ．－15 C ．12或－15D ．12或15 C 解析：因为a 1＝3，S 3＝9，当q ＝1时，满足题意；故可得S 4＝4a 1＝12； 当q ≠1时，S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝9，解得q ＝－2，故S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝3×(1－16)1＋2＝－15.综上所述S 4＝12或－15.故选C ．5．等比数列{a n }中，公比为q ，前n 项和为S n . (1)若a 1＝－8，a 3＝－2，求S 4； (2)若S 6＝315，q ＝2，求a 1. 解：(1)由题意可得q 2＝a 3a 1＝－2－8＝14，所以q ＝－12或q ＝12.当q ＝－12时，S 4＝－8⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－1241－⎝⎛⎭⎫－12＝－5；当q ＝12时，S 4＝－8⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1241－12＝－15.综上所述，S 4＝－15或S 4＝－5.(2)S 6＝a 1(1－26)1－2＝315，解得a 1＝5.1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减的方法．课时分层作业(九)等比数列的前n 项和公式(第1课时)(60分钟 110分) 基础对点练基础考点 分组训练知识点1 等比数列的前n 项和1．(5分)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 10等于( ) A ．10 B ．210 C ．210－2D ．211－2D 解析：∵a n ＝2n ，∴a 1＝2，q ＝2. ∴S 10＝2×(1－210)1－2＝211－2.2．(5分)在等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ) A ．81 B ．120 C ．168D ．192 B 解析：设{a n }的公比为q ， ∵a 2＝9，a 5＝243， ∴q 3＝a 5a 2＝27，∴q ＝3.又∵a 2＝a 1q ，∴a 1＝3.∴S 4＝3×(1－34)1－3＝120.3．(5分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a 2a 6＝8(a 4－2)，则S 2 020＝( )A ．22 019－12B ．1－⎝⎛⎭⎫12 2 019C ．22 020－12D ．1－⎝⎛⎭⎫12 2 020A 解析：设{a n }的公比为q ， ∵a 2a 6＝a 24＝8(a 4－2)， ∴a 24－8a 4＋16＝0. ∴a 4＝4.∴q 3＝a 4a 1＝8.∴q ＝2.∴S 2 020＝12×(1－22 020)1－2＝22 019－12.4．(5分)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A ．13B ．－13C ．19D ．－19C 解析：设公比为q ，∵S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，a 1q 4＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝9a 1，a 1q 4＝9，解得a 1＝19.故选C ．5．(5分)在数列{a n }中，已知对任意正整数n ，有a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( ) A ．(2n －1)2 B ．13(2n －1)2C ．4n －1D ．13(4n －1)D 解析：由a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ＝2n －1， 得a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2n －1－1(n ≥2)． ∴a n ＝2n －1(n ≥2)．又a 1＝1，∴a n ＝2n －1，∴a 2n ＝4n －1，∴{a 2n }是等比数列，首项为1，公比为4.∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1×(1－4n )1－4＝13(4n －1)． 知识点2 等比数列前n 项和的实际应用6．(5分)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座七层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A ．2盏 B ．3盏 C ．5盏D ．6盏B 解析：设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则由题意知S 7＝381，q ＝2，又由S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝a 1(1－27)1－2＝381，解得a 1＝3.故选B ．7．(5分)某人于2017年7月1日去银行存款 a 元，存的是一年定期储蓄，2018年7月1日将到期存款的本息一起取出再加a 元之后还存一年定期储蓄，此后每年的7月1日他都按照同样的方法在银行取款和存款．设银行一年定期储蓄的年利率r 不变，则到2022年7月1日他将所有的本息全部取出时，取出的钱共有( ) A ．a (1＋r )4元 B ．a (1＋r )5元 C ．a (1＋r )6元D ．ar[(1＋r )6－(1＋r )]元D 解析：设2017年存入银行的存款为a 1元，2018年存入银行的存款为a 2元……则2022年存入银行的存款为a 6元，那么2022年从银行取出的钱有(a 6－a )元．所以a 1＝a ，a 2＝a (1＋r )＋a ，a 3＝a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ，…，a 6＝a (1＋r )5＋a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ，所以a 6－a ＝a [(1＋r )＋(1＋r )2＋…＋(1＋r )5]＝ar[(1＋r )6－(1＋r )].8.(5分)为了庆祝元旦，某公司特意制作了一个热气球，在热气球上写着“喜迎新年”四个大字．已知热气球在第一分钟内能上升25 m ，以后每分钟上升的高度都是前一分钟的80%，则该气球________上升到125 m 高空．(填“能”或“不能”)不能 解析：设a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度．根据题意，有a n ＝45a n －1(n ≥2，n ∈N *)．已知a 1＝25，则{a n }为等比数列，且公比q ＝45.热气球上升的总高度S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1(1－q n )1－q ＝125×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n <125，即不能上升到125 m 高空． 知识点3 错位相减法求和9．(5分)数列{a n }的通项a n ＝n ×2n ，数列{a n }的前n 项和S n 为( ) A ．n ×2n ＋1 B ．n ×2n ＋1－2 C ．(n －1)×2n ＋1＋2D ．n ×2n ＋1＋2C 解析：∵S n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，① 2S n ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1，② ①－②得－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1 ＝2×(1－2n )1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1， ∴S n ＝2＋(n －1)×2n ＋1.10.(5分)已知f (x )＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________.2－n ＋22n 解析：∵f ⎝⎛⎭⎫12＝12＋2×122＋3×123＋…＋n ×12n ，① ∴12f ⎝⎛⎭⎫12＝122＋2×123＋3×124＋…＋n ×12n ＋1.② 由①－②得，12f ⎝⎛⎭⎫12＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝2－12n －1－n 2n ＝2－n ＋22n .能力提升练能力考点 拓展提升11.(5分)在等比数列{a n }中，S 3＝3a 3，则其公比q 的值为( ) A ．－12B ．12C ．1或－12D ．－1或12C 解析：∵S 3＝3a 3，∴q ＝1时成立． 当q ≠1时，a 1(1－q 3)1－q ＝3a 1q 2，∴q 2＋q ＋1＝3q 2，解得q ＝－12.综上，q ＝1或q ＝－12.12．(5分)(多选)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则( ) A ．q ＝2 B ．S 9＝29－1C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为3116D ．6S 3＝S 9ABC 解析：设{a n }的公比为q ， ∵9S 3＝S 6，∴9×a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)1－q ，∴9＝1＋q 3，∴q ＝2.∴S 9＝1－291－2＝29－1.故选项A ，B 正确．又6S 3＝6×(23－1)≠S 9，∴选项D 不正确．∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列，首项1a 1＝1，公比1q ＝12，∴S ′5＝1×⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝3116.选项C 正确．13．(5分)在等比数列{a n }中，a 1＋a x ＝82，a 3a x －2＝81，且前x 项和S x ＝121，则此数列的项数x 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7B 解析：设{a n }的公比为q ，∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a x ＝82，a 3a x －2＝a 1a x ＝81，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a x ＝81或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝81，a x＝1. ①当a 1＝1，a x ＝81时，∵S x ＝a 1－a x q 1－q ＝1－81q 1－q ＝121，∴q ＝3.又∵a x ＝1×q x －1＝3x －1＝81，∴x ＝5. ②当a 1＝81，a x ＝1时， ∵S x ＝81－q 1－q＝121，∴q ＝13.又∵a x ＝81×q x －1＝81×⎝⎛⎭⎫13x －1＝1，∴x ＝5. 综上，x ＝5.14.(5分)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________.323(1－4－n ) 解析：设等比数列{a n }的公比为q ， 由a 5＝14＝a 2q 3＝2q 3，解得q ＝12.又数列{a n a n ＋1}仍是等比数列，其首项是a 1a 2＝8，公比为14，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n 1－14＝323(1－4－n ).15.(5分)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 8＝3，则a 5的值为________．－6 解析：∵S 3，S 9，S 6成等差数列， ∴2S 9＝S 3＋S 6. 显然q ≠1，∴2×a 1(1－q 9)1－q ＝a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q .∴2q 9－q 6－q 3＝0.∴q 3＝－12.∴a 5＝a 8q3＝3×(－2)＝－6.16.(10分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N ＋.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2＝n .故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知a n ＝n ， 故b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )． 记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则 A ＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n ， 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.17.(12分)在等比数列{a n }中，a 5＝162，公比q ＝3，前n 项和S n ＝242，求首项a 1和项数n .解：由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1·35－1＝162，①a 1(1－3n)1－3＝242，②由①得81a 1＝162，解得a 1＝2. 将a 1＝2代入②，得2(1－3n )1－3＝242，即3n ＝243，解得n ＝5.所以数列{a n }的首项a 1＝2，项数n ＝5.18.(13分)已知等差数列{a n }的首项为a ，公差为b ，方程ax 2－3x ＋2＝0的解x 1＝1，x 2＝b (b ≠1)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝a n ×2n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由方程ax 2－3x ＋2＝0的两根为x 1＝1，x 2＝b ，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a －3＋2＝0，ab 2－3b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以a n ＝2n －1.(2)由(1)得b n ＝(2n －1)×2n ，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1×2＋3×22＋…＋(2n －1)×2n ，① 2T n ＝1×22＋3×23＋…＋(2n －3)×2n ＋(2n －1)×2n ＋1.②由①－②，得－T n ＝1×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)×2n ＋1＝2(2＋22＋23＋…＋2n )－(2n －1)×2n ＋1－2＝2×2(1－2n )1－2－(2n －1)×2n ＋1－2＝(3－2n )×2n ＋1－6. 所以T n ＝(2n －3)×2n ＋1＋6.。