高中数学 第一章 集合 1.2.2 集合的运算练习 新人教B版必修1

完整版)人教版高一数学必修一集合知识点以及习题高一数学必修第一章集合1.集合的概念集合是指一定范围内、确定的、可区别的事物，将其作为一个整体来看待，就叫做集合，简称集。

其中的各事物叫作集合的元素或简称元。

集合的元素具有三个特性：确定性、互异性和无序性。

确定性指元素是明确的，如世界上最高的山。

互异性指元素是不同的，如由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}。

无序性指元素的排列顺序不影响集合的本质，如{a,b,c}和{a,c,b}是同一个集合。

集合可以用大括号{…}表示，如{我校的篮球队员}、{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}。

集合也可以用拉丁字母表示，如A={我校的篮球队员}，B={1,2,3,4,5}。

集合的表示方法有列举法和描述法。

常用的数集及其记法有：非负整数集（即自然数集）记作N，正整数集记作N*或N+，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R。

2.集合间的关系集合间有包含关系和相等关系。

包含关系又称为“子集”，表示一个集合的所有元素都属于另一个集合。

如果集合A的所有元素都属于集合B，则称A是B的子集，记作A⊆B。

如果A和B是同一集合，则称A是B的子集，记作A⊆B。

反之，如果集合A不包含于集合B，或集合B不包含于集合A，则记作A⊈B或B⊈A。

相等关系表示两个集合的元素完全相同，记作A=B。

真子集是指如果A⊆B，且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作A⊂B（或B⊃A）。

如果XXX且B⊆C，则A⊆C。

如果XXX且B⊆A，则A=B。

空集是不含任何元素的集合，记为Φ。

规定空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

3.集合的运算集合的运算包括交集、并集和补集。

交集是由所有属于A 且属于B的元素所组成的集合，记作A∩B。

并集是由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作A∪B。

补集是由S中所有不属于A的元素所组成的集合，记作A的补集。

如果S是一个集合，A是S的一个子集，则A的补集为由S中所有不属于A的元素组成的集合。

1.2.2交集与并集 （第1课时）一、教学目标：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）能用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

重点：集合的交集与并集的概念；难点：集合的交集与并集。

二、知识梳理1、（1）交集：一般地，对于两个给定的集合A,B, 由属于集合A 又属于集合B 的所有元素构成的集合，叫做集合A 与B 的________记作：_______ ,读作：“A 交B ”即： A ∩B=_____________________交集的Venn 图表示说明：○1两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合。

○2当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集（2）交集的性质：○1_____________○2______________○3_______________○4___________________拓展：求下列各图中集合A 与B 的交集(用彩笔图出)2、 （1）并集：一般地，对于两个给定的集合A,B, 由两个集合的所有元素构成的集合，叫做集合A 与B 的_____记作：_______,读作：“A 并B ”即： A ∪B=_______________________ 并集的Venn 图表示：说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。

（2）并集的性质：○1_____________○2______________○3_______________○4___________________拓展：求下列各图中集合A 与B 的并集 (用彩笔图出)3、 集合基本运算的一些结论：A ∩B ⊆A ，A ∩B⊆B ，A ∩A=A ，A ∩∅=∅,A∩B=B ∩AA ⊆A ∪B ，B ⊆A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪∅=A,A ∪B=B ∪A若A ∩B=A ，则A ⊆B ，反之也成立若A ∪B=B ，则A ⊆B ，反之也成立若x ∈（A ∩B ），则x ∈A 且x ∈BA A若x ∈（A ∪B ），则x ∈A 或x ∈B三 例题解析题型一 集合交集的运算例1 求下列每对集合的交集：（1）A={x|x 2+2x －3=0}, B= {x|x 2+4x+3=0}(2) C={1，3，5，7}， D={2，4，6，8}例2 设A={x|x 是奇数}，B={x|x 是偶数}，求A Z, B Z, A B例3 已知A={（x, y ）|4x+y=6}, B={(x, y)|3x+2y=7},求A B例4 已知A={x|x 是等腰三角形} ， B={x|x 是直角三角形}，求A B题型二 集合并集的运算例5 已知Q={x|x 是有理数}，Z={x|x 是整数}，求Q Z 。

1.2 集合之间的关系与运算1．2.1 集合之间的关系知识点一：子集1．下列关系式正确的个数是①{a，b}{a，b}②∅＝{0}③∅∈(0}④0∈{0}⑤0∈∅⑥{1,2}{1,2,4}A．2 B．3 C．4 D．52．设A＝{正方形}，B＝{矩形}，C＝{平行四边形}，D＝{梯形}，则下列包含关系中不．正确．．的是A．A B B．B C C．C D D．A C3．设集合A＝{x|－3≤x<2}，B＝{x|2k－1≤x≤2k＋1}，且B A，则实数k的取值范围是__________．知识点二：真子集4．下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若∅A，则A≠∅．其中正确的有A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．集合{x|0≤x<2，x∈N}的真子集个数为A．1 B．2 C．3 D．46．设A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x－a<0}，若A B，则实数a的取值范围是__________．知识点三：集合相等7．已知A＝{1,2}，B＝{x|x2－3x＋2＝0}，则A．A B B．B A C．A＝B D．B＝∅8．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，求a，b的值．9．已知A＝{x|x＝4n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝4n－3，n∈Z}，C＝{x|x＝8n＋1，n∈Z}，试确定A、B、C的关系．能力点一：集合间关系的判断10．设集合P＝{x|y＝x2}，集合Q＝{(x，y)|y＝x2}，则P、Q的关系是A．P⊆Q B．P⊇QC．P＝Q D．以上都不对11．与集合{x∈N|x>1，且x≤3}相等的集合是A．{2} B．{1,2,3} C．{x|x＝3或x＝2} D．{x|x＝3且x ＝2}12．下列各式：①1∈{0,1,2}，②∅{0,1,2}；③{1}∈{0,1,2 009}；④{0,1,2}{0,1,2}；⑤{0,1,2}＝{2,0,1}，其中错误的个数是A ．1B ．2C ．3D ．413．设x ，y∈R ，A ＝{(x ，y)|y ＝x}，B ＝{(x ，y)|yx＝1}，则A 与B 的关系是__________．14．已知集合A ＝{x|－3≤x≤4}，B ＝{x|2m －1≤x≤m＋1}，且BA ，求实数m 的取值范围．能力点二：集合的子集、真子集的求解15．集合A {0,1,2,3}，且A 中的元素至少有一个奇数，这样的集合有A ．11个B ．12个C ．15个D ．16个16．集合A ＝{y|y ＝a 2＋1，a∈N *}，B ＝{y|y ＝b 2－2b ＋2，b∈N *}，则集合A 、B 之间的关系为__________．17．已知集合M 满足{1,2}⊆M ⊆{1,2,3,4,5}，求所有满足条件的集合M.18．已知集合A ＝{x|x 2－x －2＝0}，B ＝{x|mx ＋1＝0}，且B ⊆A ，求实数m 所有可能的值构成的集合．能力点三：集合的相等及应用19．已知集合A ＝{x ，xy ，x －y}，B ＝{0，|x|，y}，且A ＝B ，求实数x 与y 的值． 20.集合X ＝{x|x ＝2n ＋1，n∈Z }，Y ＝{y|y ＝4k±1，k∈Z }，试证明X ＝Y.能力点四：根据集合的关系，求字母系数的范围21．已知a∈R ，x∈R ，A ＝{2,4，x 2－5x ＋9}，B ＝{3，x 2＋ax ＋a}，C ＝{x 2＋(a ＋1)x －3,1}．求：(1)使A ＝{2,3,4}的x 值；(2)使2∈B，BA 的a ，x 的值；(3)使B ＝C 的a ，x 的值．22．已知集合A ＝{x|0<x －a≤5}，B ＝{x|－a2<x≤6}．(1)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围； (2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围；(3)A 与B 能否相等？若能，求出a 的值，若不能，请说明理由．23．已知A ＝{x||x －a|＝4}，B ＝{1,2，b}．(1)是否存在实数a ，使得对于任意实数b(b≠1，b≠2)，都有A B ？若存在，求出对应的a 值，若不存在，请说明理由．(2)若A B 成立，求出对应的实数对(a ，b)．答案与解析基础巩固1．B 2.C3．－1≤k<12∵B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k －1≥－3，2k ＋1<2，解得－1≤k<12.4．B 只有④正确．5．C 集合{x|0≤x<2，x∈N }，即{0,1}，它的真子集有∅，{0}，{1}． 6．a≥2 7.C8．解：由M ＝N 知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a ，b ＝b2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a.解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝14，b ＝12.根据集合中元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.9．解：B ＝{x|x ＝4n －3，n∈Z } ＝{x|x ＝4(n －1)＋1，n∈Z }， ∴A＝B.又∵A＝{x|x ＝4n ＋1，n∈Z }＝{x|x ＝8n ＋1或x ＝8n ＋5，n∈Z }， ∴CA.由上可知，C A ＝B.能力提升10．D 11.C12．A 只有③错误． 13．BA14．解：对于集合B 应分两种情况考虑：B ＝∅或B≠∅．当B ＝∅时，应有2m －1>m ＋1，得m>2；当B≠∅时，如下图所示，由数轴上各点的位置可得⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥－3，m ＋1≤4，2m －1≤m＋1，且2m －1≥－3与m ＋1≤4不能同时取等号，解得－1≤m≤2.综上所述，m 的取值范围是m≥－1.15．B 符合条件的集合共有{1}，{3}，{0,1}，{1,2}，{0,3}，{2,3}，{1,3}，{0,1,2}，{0,1,3}，{0,2,3}，{1,2,3}，{0,1,2,3}共12个．16．AB17．解：①当M 中含有两个元素时，M 为{1,2}；②当M 中含有三个元素时，M 为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；③当M 中含有四个元素时，M 为{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}； ④当M 中含有五个元素时，M 为{1,2,3,4,5}．故满足条件的集合M 为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．18．解：A ＝{x|(x －2)(x ＋1)＝0}＝{－1,2}． ∵B ⊆A ，∴B＝∅，或B ＝{－1}，或B ＝{2}． 当m ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A. 当m ≠0时，B ＝{x|x ＝－1m }．若B ＝{－1}，则－1m ＝－1，∴m＝1.若B ＝{2}，则－1m ＝2，∴m＝－12.∴m 所有可能的取值构成集合C ＝{－12，0,1}．19．解：由已知A ＝B ＝{0，|x|，y}， ∴0∈A.若x ＝0，则A ＝{0,0，－y}，不满足元素的互异性．若y ＝0，则B ＝{0，|x|,0}，也不满足元素的互异性． ∴只有x －y ＝0，即y ＝x.∴A＝{x ，xy,0}＝{x ，x 2,0}． ∴B＝{0，|x|，x}． ∴x 2＝|x|.∴x＝0(舍去)或x ＝1或x ＝－1.当x ＝1时，A ＝B ＝{1,1,0}，而元素具有互异性．故x≠1. 当x ＝－1时，A ＝B ＝{－1,1,0}满足题意． 20．证明：(1)任取x 0∈X， 则x 0＝2n 0＋1，n 0∈Z .若n 0是偶数，可设n 0＝2m ，m∈Z . 则x 0＝4m ＋1.∴x 0∈Y，则X ⊆Y. 若n 0为奇数，可设n 0＝2m －1，m∈Z . 则x 0＝2(2m －1)＋1＝4m －1. ∴x 0∈Y，即X ⊆Y.(2)任取y 0∈Y，则y 0＝4k 0＋1或y 0＝4k 0－1，k 0∈Z . ∵y 0＝4k 0＋1＝2(2k 0)＋1，y 0＝4k 0－1＝2(2k 0－1)＋1， ∴k 0∈Z,2k 0∈Z,2k 0－1∈Z . ∴y 0∈X，即Y ⊆X.由(1)(2)得X ＝Y.21．解：(1)由题意，知{2,3,4}＝{2,4，x 2－5x ＋9}， ∴x 2－5x ＋9＝3， 解得x ＝2或x ＝3. (2)∵2∈B，B A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋9＝3，x 2＋ax ＋a ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23，x ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－74，x ＝3.(3)∵B＝C ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋a ＋1x －3＝3，x 2＋ax ＋a ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，x ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，x ＝－1.22．解：A ＝{x|a<x≤a＋5}，B ＝{x|－a2<x≤6}．(1)若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧a≥－a 2a ＋5≤6⎩⎪⎨⎪⎧a≥0a≤10≤a≤1，即所求a 的范围是{a|0≤a≤1}． (2)若B ⊆A ，则－a 2≥6，或⎩⎪⎨⎪⎧a≤－a 2，a ＋5≥6，解得a≤－12，或⎩⎪⎨⎪⎧a≤0，a≥1，故a≤－12，即B ⊆A 时，a 的取值范围是{a|a≤－12}． (3)若A ＝B ，即{x|a<x≤a＋5}＝{x|－a2<x≤6}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－a 2，a ＋5＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，a ＝1.这不可能同时成立．∴A≠B.拓展探究23．解：(1)由题意可得，当且仅当1,2是A 中的元素时，对任意的实数b 都有A ⊆B. ∵A＝{a －4，a ＋4}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝1，a ＋4＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋4＝1，a －4＝2均无解，即这样的实数不存在．(2)由(1)知若AB ，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝1，a ＋4＝b或⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝2，a ＋4＝b或⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝b ，a ＋4＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a －4＝b ，a ＋4＝2.解之，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－7或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－6.故A ⊆B 时，实数对(a ，b)为(5,9)，(6,10)，(－3，－7)，(－2，－6)．。

人教B 版高中数学必修1课后习题答案第一章 集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页） 1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）设A 为所有亚洲国家组成的集合，则：中国_______A ，美国_______A ，印度_______A ，英国_______A ；（2）若2{|}A x x x ==，则1-_______A ；（3）若2{|60}B x x x =+-=，则3_______B ；（4）若{|110}C x N x =∈≤≤，则8_______C ，9.1_______C ．1．（1）中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．（2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===．（3）3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-．（4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉． 2．试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程290x -=的所有实数根组成的集合； （2）由小于8的所有素数组成的集合；（3）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合；（4）不等式453x -<的解集．2．解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，所以由方程290x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-；（2）因为小于8的素数为2,3,5,7， 所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}；（3）由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得14x y =⎧⎨=⎩，即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（4）由453x -<，得2x <，所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <．1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．写出集合{,,}a b c 的所有子集．1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得∅；取一个元素，得{},{},{}a b c ；取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ；取三个元素，得{,,}a b c ，即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅．2．用适当的符号填空：（1）a ______{,,}a b c ； （2）0______2{|0}x x =；（3）∅______2{|10}x R x ∈+=； （4）{0,1}______N ；（5）{0}______2{|}x x x =； （6）{2,1}______2{|320}x x x -+=．2．（1）{,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素；（2）20{|0}x x ∈= 2{|0}{0}x x ==；（3）2{|10}x R x ∅=∈+= 方程210x +=无实数根，2{|10}x R x ∈+==∅；（4）{0,1}N （或{0,1}N ⊆） {0,1}是自然数集合N 的子集，也是真子集；（5）{0}2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ⊆=） 2{|}{0,1}x x x ==；（6）2{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2320x x -+=两根为121,2x x ==．3．判断下列两个集合之间的关系：（1）{1,2,4}A =，{|8}B x x =是的约数；（2）{|3,}A x x k k N ==∈，{|6,}B x x z z N ==∈； （3）{|410}A x x x N +=∈是与的公倍数,，{|20,}B x x m m N +==∈．3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以A B ；（2）当2k z =时，36k z =；当21k z =+时，363k z =+，即B 是A 的真子集，BA ；（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =．1．1．3集合的基本运算练习（第11页）1．设{3,5,6,8},{4,5,7,8}A B ==，求,A B A B ．1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B ==，{3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}A B ==．2．设22{|450},{|1}A x x x B x x =--===，求,AB A B ．2．解：方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=，方程210x -=的两根为121,1x x =-=，得{1,5},{1,1}A B =-=-，即{1},{1,1,5}A B A B =-=-．3．已知{|}A x x =是等腰三角形，{|}B x x =是直角三角形，求,A B A B ．3．解：{|}A B x x =是等腰直角三角形，{|}AB x x =是等腰三角形或直角三角形．4．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5},{1,3,5,7}A B ==，求(),()()U U U A B A B ． 4．解：显然{2,4,6}UB =，{1,3,6,7}UA =，则(){2,4}U A B =，()(){6}U U A B =．1．1集合习题1．1 （第11页） A 组 1．用符号“∈”或“∉”填空：（1）237_______Q ； （2）23______N ； （3）π_______Q ；（4_______R ； （5Z ； （6）2_______N ．1．（1）237Q ∈ 237是有理数； （2）23N ∈ 239=是个自然数；（3）Q π∉ π是个无理数，不是有理数； （4R 是实数；（5Z3=是个整数； （6）2N ∈ 25=是个自然数．2．已知{|31,}A x x k k Z ==-∈，用 “∈”或“∉” 符号填空：（1）5_______A ； （2）7_______A ； （3）10-_______A ．2．（1）5A ∈； （2）7A ∉； （3）10A -∈． 当2k =时，315k -=；当3k =-时，3110k -=-；3．用列举法表示下列给定的集合：（1）大于1且小于6的整数；（2）{|(1)(2)0}A x x x =-+=；（3）{|3213}B x Z x =∈-<-≤．3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；（2）方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=，即{2,1}-为所求；（3）由不等式3213x -<-≤，得12x -<≤，且x Z ∈，即{0,1,2}为所求．4．试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （2）反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合；（3）不等式342x x ≥-的解集．4．解：（1）显然有20x ≥，得244x -≥-，即4y ≥-，得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-；（2）显然有0x ≠，得反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠； （3）由不等式342x x ≥-，得45x ≥，即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5x x ≥．5．选用适当的符号填空：（1）已知集合{|233},{|2}A x x x B x x =-<=≥，则有：4-_______B ； 3-_______A ； {2}_______B ； B _______A ；（2）已知集合2{|10}A x x =-=，则有：1_______A ； {1}-_______A ； ∅_______A ； {1,1}-_______A ；（3）{|}x x 是菱形_______{|}x x 是平行四边形；{|}x x 是等腰三角形_______{|}x x 是等边三角形．5．（1）4B -∉； 3A -∉； {2}B ； B A ；2333x x x -<⇒>-，即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥；（2）1A ∈； {1}-A ； ∅A ； {1,1}-=A ；2{|10}{1,1}A x x =-==-；（3）{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形；菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形．等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．6．设集合{|24},{|3782}A x x B x x x =≤<=-≥-，求,AB A B ．6．解：3782x x -≥-，即3x ≥，得{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥，则{|2}A B x x =≥，{|34}A B x x =≤<．7．设集合{|9}A x x =是小于的正整数，{1,2,3},{3,4,5,6}B C ==，求AB ，AC ，()A B C ，()A B C ． 7．解：{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数，则{1,2,3}A B =，{3,4,5,6}A C =，而{1,2,3,4,5,6}B C =，{3}B C =，则(){1,2,3,4,5,6}AB C =，(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C =．8．学校里开运动会，设{|}A x x =是参加一百米跑的同学，{|}B x x =是参加二百米跑的同学，{|}C x x =是参加四百米跑的同学，学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，请你用集合的语言说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：（1）A B ；（2）A C ．8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项，即为()AB C =∅．（1）{|}A B x x =是参加一百米跑或参加二百米跑的同学；（2）{|}AC x x =是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学．9．设{|}S x x =是平行四边形或梯形，{|}A x x =是平行四边形，{|}B x x =是菱形，{|}C x x =是矩形，求BC ，A B ，S A ．9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即{|}B C x x =是正方形，平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形，即{|}AB x x =是邻边不相等的平行四边形，{|}SA x x =是梯形．10．已知集合{|37},{|210}A x x B x x =≤<=<<，求()RA B ，()RA B ，()R A B，()R A B ．10．解：{|210}A B x x =<<，{|37}A B x x =≤<，{|3,7}RA x x x =<≥或，{|2,10}RB x x x =≤≥或，得(){|2,10}R A B x x x =≤≥或，(){|3,7}RA B x x x =<≥或，(){|23,710}R A B x x x =<<≤<或，(){|2,3710}R A B x x x x =≤≤<≥或或．B 组1．已知集合{1,2}A =，集合B 满足{1,2}A B =，则集合B 有 个．1．4 集合B 满足AB A =，则B A ⊆，即集合B 是集合A 的子集，得4个子集．2．在平面直角坐标系中，集合{(,)|}C x y y x ==表示直线y x =，从这个角度看，集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示什么？集合,C D 之间有什么关系？2．解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合，即21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，点(1,1)D 显然在直线y x =上，得D C ．3．设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求,A B A B ．3．解：显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==，当3a =时，集合{3}A =，则{1,3,4},A B A B ==∅；当1a =时，集合{1,3}A =，则{1,3,4},{1}AB A B ==；当4a =时，集合{3,4}A =，则{1,3,4},{4}AB A B ==；当1a ≠，且3a ≠，且4a ≠时，集合{3,}A a =，则{1,3,4,},AB a A B ==∅．4．已知全集{|010}U AB x N x ==∈≤≤，(){1,3,5,7}U A B =，试求集合B ．4．解：显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =，由U AB =，得UB A ⊆，即()U UA B B =，而(){1,3,5,7}U A B =，得{1,3,5,7}UB =，而()UU B B =，即{0,2,4,6,8.9,10}B =．第一章 集合与函数概念1．2函数及其表示1．2．1函数的概念练习（第19页）1．求下列函数的定义域：（1）1()47f x x =+； （2）()1f x =．1．解：（1）要使原式有意义，则470x +≠，即74x ≠-，得该函数的定义域为7{|}4x x ≠-；（2）要使原式有意义，则1030x x -≥⎧⎨+≥⎩，即31x -≤≤，得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤．2．已知函数2()32f x x x =+，（1）求(2),(2),(2)(2)f f f f -+-的值；（2）求(),(),()()f a f a f a f a -+-的值．2．解：（1）由2()32f x x x =+，得2(2)322218f =⨯+⨯=，同理得2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=，则(2)(2)18826f f +-=+=，即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=；（2）由2()32f x x x =+，得22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+，同理得22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-，则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=，即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=．3．判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：（1）表示炮弹飞行高度h 与时间t 关系的函数21305h t t =-和二次函数21305y x x =-；（2）()1f x =和0()g x x =．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间0t >；（2）不相等，因为定义域不同，0()(0)g x x x =≠．1．2．2函数的表示法练习（第23页）1．如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为xcm ，面积为2ycm ，把y 表示为x 的函数．1．解：显然矩形的另一边长为2250x cm -，222502500y x x x x =-=-，且050x <<，即22500(050)y x x x =-<<．2．下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事． （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．2．解：图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化；O离开家的距离 时间（A ） O离开家的距离 时间（B ） O离开家的距离 时间（C ） O离开家的距离时间（D ）图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速；图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．3．画出函数|2|y x =-的图象．3．解：2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，图象如下所示．{|},{0,1}A x x B ==是锐角，从A 到B 的映射是“求正弦”，与A 中元素604．设相对应B 中的元素是什么？与B 中的元素22相对应的A 中元素是什么？的4．解：因为3sin 602=，所以与A 中元素60相对应的B 中的元素是32；因为2sin 452=，所以与B 中的元素22相对应的A 中元素是45．1．2函数及其表示习题1．2（第23页）1．求下列函数的定义域：（1）3()4xf x x =-； （2）2()f x x =；（3）26()32f x x x =-+； （4）4()1x f x x -=-．1．解：（1）要使原式有意义，则40x -≠，即4x ≠，得该函数的定义域为{|4}x x ≠；（2）x R ∈，2()f x x =都有意义，即该函数的定义域为R ；（3）要使原式有意义，则2320x x -+≠，即1x ≠且2x ≠，得该函数的定义域为{|12}x x x ≠≠且；（4）要使原式有意义，则4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≤且1x ≠，得该函数的定义域为{|41}x x x ≤≠且．2．下列哪一组中的函数()f x 与()g x 相等？（1）2()1,()1x f x x g x x=-=-； （2）24(),()()f x x g x x ==；（3）326(),()f x x g x x ==．2．解：（1）()1f x x =-的定义域为R ，而2()1x g x x=-的定义域为{|0}x x ≠，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（2）2()f x x =的定义域为R ，而4()()g x x =的定义域为{|0}x x ≥，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（3）对于任何实数，都有362x x =，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，得函数()f x 与()g x 相等．3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域．（1）3y x =； （2）8y x=； （3）45y x =-+； （4）267y x x =-+．3．解：（1）义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；定 （2）定义域是(,0)(0,)-∞+∞，值域是(,0)(0,)-∞+∞；（3）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；（4）定义域是(,)-∞+∞，值域是[2,)-+∞．4．已知函数2()352f x x x =-+，求(2)f -，()f a -，(3)f a +，()(3)f a f +．4．解：因为2()352f x x x =-+，所以2(2)3(2)5(2)2852f -=⨯--⨯-+=+，即(2)852f -=+；同理，22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++，即2()352f a a a -=++；22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++，即2(3)31314f a a a +=++；22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+，即2()(3)3516f a f a a +=-+．5．已知函数2()6x f x x +=-，（1）点(3,14)在()f x 的图象上吗？（2）当4x =时，求()f x 的值； （3）当()2f x =时，求x 的值．5．解：（1）当3x =时，325(3)14363f +==-≠-，即点(3,14)不在()f x 的图象上； （2）当4x =时，42(4)346f +==--， 即当4x =时，求()f x 的值为3-；（3）2()26x f x x +==-，得22(6)x x +=-，即14x =．6．若2()f x x bx c =++，且(1)0,(3)0f f ==，求(1)f -的值．6．解：由(1)0,(3)0f f ==，得1,3是方程20x bx c ++=的两个实数根，即13,13b c +=-⨯=，得4,3b c =-=，即2()43f x x x =-+，得2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=，即(1)f -的值为8．7．画出下列函数的图象：（1）0,0()1,0x F x x ≤⎧=⎨>⎩； （2）()31,{1,2,3}G n n n =+∈．7．图象如下：8．如图，矩形的面积为10，如果矩形的长为x ，宽为y ，对角线为d ，周长为l ，那么你能获得关于这些量的哪些函数？8．解：由矩形的面积为10，即10xy =，得10(0)y x x=>，10(0)x y y =>，由对角线为d ，即22d x y =+，得22100(0)d x x x =+>，由周长为l ，即22l x y =+，得202(0)l x x x=+>，另外2()l x y =+，而22210,xy d x y ==+，得22222()22220(0)l x y x y xy d d =+=++=+>，即2220(0)l d d =+>．9．一个圆柱形容器的底部直径是dcm ，高是hcm ，现在以3/vcm s 的速度向容器内注入某种溶液．求溶液内溶液的高度xcm 关于注入溶液的时间ts 的函数解析式，并写出函数的定义域和值域．9．解：依题意，有2()2d x vt π=，即24v x t dπ=，显然0x h ≤≤，即240vt h d π≤≤，得204h d t v π≤≤，得函数的定义域为2[0,]4h d vπ和值域为[0,]h ．10．设集合{,,},{0,1}A a b c B ==，试问：从A 到B 的映射共有几个？并将它们分别表示出来．10．解：从A 到B 的映射共有8个．分别是()0()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．Ｂ组1．函数()r f p =的图象如图所示．（1）函数()r f p =的定义域是什么？（2）函数()r f p =的值域是什么？（3）r 取何值时，只有唯一的p 值与之对应？1．解：（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)-；（2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3）当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应．2．画出定义域为{|38,5}x x x -≤≤≠且，值域为{|12,0}y y y -≤≤≠的一个函数的图象．（1）如果平面直角坐标系中点(,)P x y 的坐标满足38x -≤≤，12y -≤≤，那么其中哪些点不能在图象上？（2）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？2．解：图象如下，（1）点(,0)x 和点(5,)y 不能在图象上；（2）省略．3．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如，[ 3.5]4-=-，[2.1]2=．当( 2.5,3]x ∈-时，写出函数()f x 的解析式，并作出函数的图象．3．解：3, 2.522,211,10()[]0,011,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如下4．如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P 的距离是2km ，从点P 沿海岸正东12km 处有一个城镇．（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度是5/km h ，t （单位：h ）表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处距P 点的距离．请将t 表示为x 的函数．（2）如果将船停在距点P 4km 处，那么从小岛到城镇要多长时间（精确到1h ）？4．解：（1）驾驶小船的路程为222x +，步行的路程为12x -，得2221235x xt +-=+，(012)x ≤≤，即241235x xt +-=+，(012)x ≤≤．（2）当4x =时，2441242583()3535t h +-=+=+≈．第一章 集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3．1单调性与最大（小）值练习（第32页）1．请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系．1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．2．整个上午(8:0012:00)天气越来越暖，中午时分(12:0013:00)一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山(18:00)才又开始转凉.画出这一天8:0020:00期间气温作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间.2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间．3．根据下图说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数．4．证明函数()21f x x =-+在R 上是减函数.4．证明：设12,x x R ∈，且12x x <，因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->，即12()()f x f x >，所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.5．设()f x 是定义在区间[6,11]-上的函数.如果()f x 在区间[6,2]--上递减，在区间[2,11]-上递增，画出()f x 的一个大致的图象，从图象上可以发现(2)f -是函数()f x 的一个 .5．最小值．1．3．2单调性与最大（小）值练习（第36页）1．判断下列函数的奇偶性：（1）42()23f x x x =+； （2）3()2f x x x =-（3）21()x f x x+=； （4）2()1f x x =+.1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-，所以函数3()2f x x x =-为奇函数；（3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x -++-==-=--，所以函数21()x f x x+=为奇函数；（4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=，所以函数2()1f x x =+为偶函数.2.已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，试将下图补充完整.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的；()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．习题1.3A 组1.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数()y f x =的单调区间，以及在各单调区间上函数()y f x =是增函数还是减函数.（1）256y x x =--； （2）29y x =-.1．解：（1）5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增；函数在（2）函数在(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减.2.证明：（1）函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数.2．证明：（1）设120x x <<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-，由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=，由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数.3.探究一次函数()y mx b x R =+∈的单调性，并证明你的结论.3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数； 当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数，令()f x mx b =+，设12x x <，而1212()()()f x f x m x x -=-，当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数.4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）.4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为5.某汽车租赁公司的月收益y 元与每辆车的月租金x 元间的关系为21622100050x y x =-+-，那么，每辆车的月租金多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？5．解：对于函数21622100050x y x =-+-，当162405012()50x =-=⨯-时，max 307050y =（元），即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元．6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =+.画出函数()f x的图象，并求出函数的解析式.6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-，得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-，所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.B 组1.已知函数2()2f x x x =-，2()2([2,4])g x x x x =-∈.（1）求()f x ，()g x 的单调区间； （2）求()f x ，()g x 的最小值.1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =，则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数，函数()g x 的单调区间为[2,4]，且函数()g x 在[2,4]上为增函数；（2）当1x =时，min ()1f x =-，因为函数()g x 在[2,4]上为增函数，所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2.如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是30m ，那么宽x （单位：m ）为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？2．解：由矩形的宽为x m ，得矩形的长为3032xm -，设矩形的面积为S ，则23033(10)22x x x S x --==-，当5x =时，2max 37.5S m =，即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ．3.已知函数()f x 是偶函数，而且在(0,)+∞上是减函数，判断()f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数，并证明你的判断.3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下：设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-，又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．复习参考题A 组1．用列举法表示下列集合：（1）2{|9}A x x ==；（2）{|12}B x N x =∈≤≤；（3）2{|320}C x x x =-+=.1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-；（2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320x x -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =．2．设P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？（1）{|}P PA PB =(,)A B 是两个定点；（2）{|3}P PO cm =()O 是定点.2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等，即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）{|3}P PO cm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆．3.设平面内有ABC ∆，且P 表示这个平面内的动点，指出属于集合{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是什么.3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线，集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4.已知集合2{|1}A x x ==，{|1}B x ax ==.若B A ⊆，求实数a 的值.4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==，当0a =时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =；当0a ≠时，集合1{}B a =，而B A ⊆，则11a =-，或11a=，得1a =-，或1a =，综上得：实数a 的值为1,0-，或1．5.已知集合{(,)|20}A x y x y =-=，{(,)|30}B x y x y =+=，{(,)|23}C x y x y =-=，求AB ，AC ，()()A B B C .5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y A B x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，即{(0,0)}A B =；集合20(,)|23x y AC x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭，即A C =∅；集合3039(,)|{(,)}2355x y B C x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭；则39()(){(0,0),(,)}55AB BC =-.6.求下列函数的定义域：（1）y =（2）||5y x =-.6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数的定义域为[2,)+∞；（2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞．7.已知函数1()1xf x x-=+，求：（1）()1(1)f a a +≠-； （2）(1)(2)f a a +≠-.7．解：（1）因为1()1xf x x -=+， 所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a -+=+=++，即2()11f a a +=+；（2）因为1()1xf x x-=+，所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++，即(1)2af a a +=-+．8.设221()1x f x x+=-，求证：（1）()()f x f x -=； （2）1()()f f x x=-.8．证明：（1）因为221()1x f x x +=-，所以22221()1()()1()1x x f x f x x x +-+-===---，即()()f x f x -=；（2）因为221()1x f x x +=-，所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---，即1()()f f x x=-.9.已知函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，求实数k 的取值范围.9．解：该二次函数的对称轴为8k x =，函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，则208k ≥，或58k≤，得160k ≥，或40k ≤，即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤．10．已知函数2y x -=，（1）它是奇函数还是偶函数？（2）它的图象具有怎样的对称性？（3）它在(0,)+∞上是增函数还是减函数？ （4）它在(,0)-∞上是增函数还是减函数？10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==，即函数2y x -=是偶函数；（2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称；（3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数； （4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1.学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？ 1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人， 则158143328x ++---=，得3x =， 只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人．2.已知非空集合2{|}A x R x a =∈=，试求实数a 的取值范围.2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥．3.设全集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，(){1,3}UA B =，(){2,4}U A B =，求集合B .3．解：由(){1,3}UA B =，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =，集合AB 里除去()U A B ，得集合B ，所以集合{5,6,7,8,9}B =.4.已知函数(4),0()(4),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.求(1)f ，(3)f -，(1)f a +的值.4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=；当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=；(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩．5.证明：（1）若()f x ax b =+，则1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）若2()g x x ax b =++，则1212()()()22x x g x g x g ++≤. 5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222x x x x af a b x x b ++=+=++，121212()()()222f x f x ax b ax b ax x b ++++==++，所以1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）因为2()g x x ax b =++，得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++，22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++2212121()()22x x x x a b +=+++，因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤，即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+， 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6.（1）已知奇函数()f x 在[,]a b 上是减函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数？（2）已知偶函数()g x 在[,]a b 上是增函数，试问：它在[,]b a --上是增函数还是减函数？6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >，所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数；（2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-，又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >，所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7.《中华人民共和国个人所得税》规定，公民全月工资、薪金所得不超过2000元的部分不必纳税，超过2000元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累计计算：某人一月份应交纳此项税款为26.78元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得由25004000x <≤，25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =，所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．。

第一章 集 合 1.2 集合之间的关系与运算1.2.2 集合的运算 第一课时 交集与并集课时跟踪检测[A 组 基础过关]1．已知集合M ＝{x |－1≤x ＜3，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( ) A ．{－1,0,2,3} B ．{－1,0,1,2} C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,3}解析：M ∩N ＝{－1,0,1,2}，故选B ． 答案：B 2．设集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜0或x ＞12，则下列结论正确的是( )A ．N ⊆MB ．N ∩M ＝∅C ．M ⊆ND ．M ∪N ＝R解析：∵M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜0或x ＞12，∴M ⊆N ，故选C ．答案：C3．设集合A ＝{4,5,6}，B ＝{2,3,4}，则A ∪B 中有________个元素( ) A ．1 B ．4 C ．5D ．6解析：A ∪B ＝{2,3,4,5,6}，有5个元素，故选C ． 答案：C4．(2018·天津卷)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R |－1≤x <2}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{－1,1}B ．{0,1}C．{－1,0,1} D．{2,3,4}解析：由并集的定义可得，A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}，结合交集的定义可知，(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．故选C．答案：C5．如图，表示图形中的阴影部分是()A．(A∪C)∩(B∪C)B．(A∪B)∩(A∪C)C．(A∪B)∩(B∪C)D．(A∪B)∩C解析：图中的阴影部分为集合A，B的交集并上集合C，可表示为(A∩B)∪C.分析可知(A∩B)∪C＝(A∪C)∩(B∪C)，故选A．答案：A6．设集合A＝{x|x＋2＞0}，B＝{x|x－1＞0}，C＝{x|x＋2＜0}，D＝{x|x－1＜0}，E＝{x|－2＜x＜1}，则下列结论正确的是()A．E＝A∩B B．E＝A∩DC．E＝B∩C D．E＝B∪C解析：A∩D＝{x|－2＜x＜1}＝E.故选B．答案：B7．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．解析：由A∪B＝R，∴a≤1.答案：a≤18．设A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．(1)当x∈N＋时，求A的子集的个数；(2)当x∈R且A∩B＝∅时，求m的取值范围．解：(1)由题意知A 中元素为{1,2,3,4,5}， ∴A 的子集的个数为25＝32.(2)∵x ∈R 且A ∩B ＝∅，∴B 可分为两个情况． ①当B ＝∅时，即m －1>2m ＋1⇒m <－2；②当B ≠∅时，可得⎩⎨⎧ 2m ＋1<－2，m －1≤2m ＋1或⎩⎨⎧m －1>5，m －1≤2m ＋1.解得－2≤m <－32或m >6. 综上，m <－32或m >6.[B 组 技能提升]1．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{1,2}D ．{0,1,2}解析：由x －1≥0得x ≥1，故A ＝{x |x ≥1}， 所以A ∩B ＝{1,2}． 答案：C2．(2018·北京卷)已知集合A ＝{x ||x |<2}，B ＝{－2,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{－2,0,1,2}D ．{－1,0,1,2}解析：∵|x |<2，∴－2<x <2，因此A ∩B ＝{－2,0,1,2}∩(－2,2)＝{0,1}，故选A ． 答案：A3．(2018·北京卷，改编)设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y >4，x －ay ≤2}，若(2,1)∈A ，则a 的取值范围为________．解析：若(2,1)∈A ，则2a ＋1＞4且2－a ≤2，解得a >32且a ≥0.∴a >32.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫aa >32 4．对于集合A ，B ，定义A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，A ⊕B ＝(A －B )∪(B －A )．设M ＝{1,2,3,4,5,6}，N ＝{4,5,6,7,8,9,10}，则M ⊕N 中元素个数为________．解析：M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M ) ＝{1,2,3}∪{7,8,9,10} ＝{1,2,3,7,8,9,10}． ∴M ⊕N 中有7个元素． 答案：7个5．设A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，其中x ∈R ，如果A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：A ＝{0，－4}，∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A . 由x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0， 得Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝8(a ＋1)． (1)当a <－1时，Δ<0，B ＝∅⊆A ； (2)当a ＝－1时，Δ＝0，B ＝{0}⊆A ； (3)当a >－1时，Δ>0，要使B ⊆A ，则A ＝B . ∴0，－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两根， ∴⎩⎨⎧－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0， 解之得a ＝1，综上可得a ≤－1或a ＝1.6．设A ，B 是两个非空集合，定义A 与B 的差集A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }． (1)已知A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，求A －B ；(2)差集A －B 和B －A 是否一定相等？说明你的理由；(3)已知A ＝{x |x ＞4}，B ＝{x |－6＜x ＜6}，求A －(A －B )及B －(B －A )，由此你可以得到什么结论？(不必证明)解：(1)A －B ＝{1}．(2)不一定相等，由(1)知B －A ＝{4}，∴B －A ≠A －B ，再如A ＝{1,2,3}，B ＝{1,2,3}， A －B ＝∅，B －A ＝∅，此时A －B ＝B －A ，∴A－B与B－A不一定相等．(3)∵A－B＝{x|x≥6}，B－A＝{x|－6＜x≤4}，∴A－(A－B)＝{x|4＜x＜6}，B－(B－A)＝{x|4＜x＜6}．由此猜测一般对于两个集合有A－(A－B)＝B－(B－A)．。

《高中数学·函数》配套练习册目录第1节集合与集合的表示方法 ................................. - 3 - 第2节简单不等式........................................... - 5 - 第3节集合之间的关系和运算 ................................. - 6 - 复习一....................................................... - 8 - 第4节函数的定义.......................................... - 12 - 第5节函数的定义域和值域 .................................. - 13 - 第6节函数的表示方法...................................... - 16 - 第7节函数的性质1 ......................................... - 19 - 阶段测试卷.................................................. - 22 - 第8节函数的性质2 ......................................... - 25 - 第9节函数的性质3 ......................................... - 29 - 第10节一次、二次函数..................................... - 31 - 第11节函数的零点及应用................................... - 38 -复习二 ...................................................... - 41 - 第12节 指数与指数函数 ..................................... - 47 - 第13节 反函数 ............................................. - 51 - 第14节 对数与对数函数 ..................................... - 52 - 第15节 幂函数 ............................................. - 56 - 复习三 ...................................................... - 58 - 综合测试卷 .................................................. - 61 -第1节 集合与集合的表示方法1、下列各组对象中不能构成集合的是（ ）。

第二课时全集与补集课时跟踪检测[A组基础过关]1．已知集合M＝{x∈Z|－1≤x≤3}，N＝{1,2}，则∁M N等于( )A．{1,2} B．{－1,0,3}C．{0,3} D．{－1,0,1}解析：M＝{x∈Z|－1≤x≤3}＝{－1,0,1,2,3}，∴∁M N＝{－1,0,3}，故选B．答案：B2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁R A＝( )A．{x|－1<x<2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解析：因为解不等式x2－x－2>0，得x<－1或x>2，所以A＝{x|x<－1或x>2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}，故选B．答案：B3．已知集合U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x∈Z|x2＋x≤0}关系的韦恩(Venn)图是( )解析：N＝{x∈Z|x2＋x≤0}＝{－1,0}．∴N⊆M，故选B．答案：B4．已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|x＞2}，则A∪(∁R B)＝( )A．{x|x≤2} B．{x|2＜x＜3}C．{x|x＜3} D．{x|1＜x≤2}解析：∁R B＝{x|x≤2}，A∪(∁R B)＝{x|x＜3}，故选C．答案：C5．已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，A∩(∁U B)＝{9}，则A ＝( )A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}解析：如图示：可知A＝{3,9}，故选D．答案：D6．集合A＝{x|ax＋b≠0}，B＝{x|cx＋d≠0}，U＝R，则{x|(ax＋b)(cx＋d)＝0}等于( )A．(∁R A)∩(∁R B) B．(∁R A)∪BC．A∪(∁R B) D．(∁R A)∪(∁R B)答案：D7．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若∁U A＝{1}，则实数a的值是________．解析：由题可知a2－a－1＝1，∴a2－a－2＝0，解得a＝2或a＝－1.答案：2或－18．设全集为R，A＝{x|3<x<10}，B＝{x|2≤x<7}，求∁R(A∪B)及(∁R A)∩B.解：由A＝{x|3<x<10}，B＝{x|2≤x<7}，得A∪B＝{x|2≤x<10}，∁R(A∪B)＝{x|x<2或x≥10}；由∁R A＝{x|x≤3或x≥10}得(∁R A)∩B＝{x|2≤x≤3}．[B组技能提升]1．(2018·某某卷)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B) ＝( )A．{x|0<x≤1} B．{x|0<x<1}C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<2}解析：由题意可得，∁R B＝{x|x<1}，结合交集的定义可得，A∩(∁R B)＝{x|0<x<1}．答案：B2．如图所示的韦恩图中A ，B 是非空集合，定义集合A *B 为阴影部分表示的集合，则A *B 为( )A ．∁U (A ∪B ) B ．A ∪(∁U B )C ．(∁U A )∪(∁U B )D ．(A ∪B )∩[∁U (A ∩B )]解析：图中阴影部分表示属于集合A 或集合B ，且不同时属于A 又属于B 的元素组成的集合，即表示属于集合(A ∪B )，且不属于集合(A ∩B )的元素组成的集合，故选D ．答案：D3．设全集U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,3}，则∁U A 的所有非空子集的个数为________． 解析：∁U A ＝{4,5}，含有2个元素，所以∁U A 的非空子集有{4}，{5}，{4,5}，共3个． 答案：3个4．设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝________. 解析：依题意得A ＝{0,3}，因此有0＋3＝－m ，m ＝－3. 答案：－35．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＜－4或x ＞1}，B ＝{x |－3≤x －1≤2}． (1)求A ∩B ，(∁U A )∪(∁U B )；(2)已知集合M ＝{x |2k －2≤x ≤2k ＋5}，且M ∩B ＝B ，某某数k 的取值X 围． 解：(1)B ＝{x |－2≤x ≤3}， ∴A ∩B ＝{x |1＜x ≤3}，∁U A ＝{x |－4≤x ≤1}，∁U B ＝{x |x ＜－2或x ＞3}， ∴(∁U A )∪(∁U B )＝{x ≤1或x ＞3}． (2)∵M ∩B ＝B ，∴B ⊆M ，则⎩⎪⎨⎪⎧2k －2≤－2，2k ＋5≥3.∴－1≤k ≤0.实数k 的取值X 围为－1≤k ≤0.6．已知集合A ＝{1,3，－x 3}，B ＝{1，x ＋2}，是否存在实数x ，使得B ∪(∁A B )＝A ？若实数x 存在，求出集合A 和B ；若不存在，说明理由．解：存在．∵B ∪(∁A B )＝A ，∴BA .若x＋2＝3，解得x＝1，符合题意；若x＋2＝－x3，则得x＝－1，不符合题意，∴当x＝1时，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}．。

1.2 集合之间的关系与运算1.2.1 集合之间的关系1.集合{x∈N|x=5-2n,n∈N}的子集的个数是( )A.9B.8C.7D.6解析:∵x∈N,n∈N,∴集合{x∈N|x=5-2n,n∈N}={1,3,5}.∴其子集的个数是23=8.答案:B2.已知P={0,1},M={x|x⊆P},则P与M的关系为( )A.P⫋MB.P∉MC.M⫋PD.P∈M解析:M={x|x⊆P}={⌀,{0},{1},{0,1}},故P∈M.答案:D3.设集合A={x∈Z|x<-1},则( )A.⌀=AB.∈AC.0∈AD.{-2}⫋A解析:A中⌀与集合A的关系应为⌀⊆A或⌀⫋A,B中∉A,C中0∉A,D正确.答案:D4.已知集合A=,集合B={m2,m+n,0},若A=B,则( )A.m=1,n=0B.m=-1,n=1C.m=-1,n=0D.m=1,n=-1解析:由A=B,得m2=1,且=0,且m=m+n,解得m=±1,n=0.又m≠1,∴m=-1,n=0.答案:C5.设集合M=,集合N=,则(A.M=NB.M⫋NC.N⫋MD.M不是N的子集,N也不是M的子集解析:集合M中的元素x=(k∈Z),集合N中的元素x=(k∈Z),当k∈Z时,2k+1代表奇数,k+2代表所有整数,故有M⫋N.答案:B6.若非空数集A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},则能使A⊆B成立的所有a的集合是( )A.{a|1≤a≤9}B.{a|6≤a≤9}C.{a|a≤9}D.⌀解析:∵A为非空数集,∴2a+1≤3a-5,即a≥6.又∵A⊆B,∴∴1≤a≤9.综上可知,6≤a≤9答案:B7.已知A={y|y=x2-2x-6,x∈R},B={x|4x-7>5},那么集合A与B的关系为.解析:对于二次函数y=x2-2x-6,x∈R,y最小==-7,所以A={y|y≥-7}.又B={x|x>3},由图知B⫋A.答案:B⫋A9.已知集合A={x|x=1+a2,a∈R},B={y|y=a2-4a+5,a∈R},试判断这两个集合之间的关系.解:因为x=1+a2,a∈R,所以x≥1.因为y=a2-4a+5=(a-2)2+1,a∈R,所以y≥1,故A={x|x≥1},B={y|y≥1},所以A=B.10.已知集合A={x||x-a|=4},集合B={1,2,b}.(1)是否存在实数a,使得对于任意实数b都有A⊆B?若存在,求出相应的a值;若不存在,试说明理由;(2)若A⊆B成立,求出相应的实数对(a,b).解:(1)不存在.理由如下:若对任意的实数b都有A⊆B,则当且仅当1和2也是A中的元素时才有可能.因为A={a-4,a+4},所以这都不可能,所以这样的实数a不存在.(2)由(1)易知,当且仅当时A⊆B.解得所以所求的实数对为(5,9),(6,10),(-3,-7),(-2,-6).。