2010年 任汝芬序列之四 最后四套题

2010年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解四1．（14分） 已知f(x)=222+-x a x (x ∈R)在区间[－1，1]上是增函数. （Ⅰ）求实数a 的值组成的集合A ； （Ⅱ）设关于x 的方程f(x)=x 1的两个非零实根为x 1、x 2.试问：是否存在实数m ，使得不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由.解：（Ⅰ）f ＇(x)=222)2(224+-+x x ax = 222)2()2(2+---x ax x ， ∵f(x)在[－1，1]上是增函数， ∴f ＇(x)≥0对x ∈[－1，1]恒成立，即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1，1]恒成立. ①设ϕ(x)=x 2－ax －2， 方法一： ϕ(1)=1－a －2≤0，① ⇔ ⇔－1≤a ≤1，ϕ(－1)=1+a －2≤0.∵对x ∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f ＇(-1)=0以及当a=－1时，f ＇(1)=0 ∴A={a|－1≤a ≤1}. 方法二：2a ≥0， 2a <0， ①⇔ 或ϕ(－1)=1+a －2≤0 ϕ(1)=1－a －2≤0⇔ 0≤a ≤1 或 －1≤a ≤0⇔ －1≤a ≤1.∵对x ∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f ＇(－1)=0以及当a=-1时，f ＇(1)=0 ∴A={a|－1≤a ≤1}.（Ⅱ）由222+-x a x =x1，得x 2－ax －2=0， ∵△=a 2+8>0 ∴x 1，x 2是方程x 2－ax －2=0的两非零实根，x 1+x 2=a ，∴ 从而|x 1－x 2|=212214)(x x x x -+=82+a .x 1x 2=－2，∵－1≤a ≤1，∴|x 1-x 2|=82+a ≤3.要使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，当且仅当m 2+tm+1≥3对任意t ∈[－1，1]恒成立，即m 2+tm －2≥0对任意t ∈[－1，1]恒成立. ②设g(t)=m 2+tm －2=mt+(m 2－2)，方法一： g(－1)=m 2－m －2≥0，② ⇔g(1)=m 2+m －2≥0， ⇔m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m ≥2，或m ≤－2}.方法二：当m=0时，②显然不成立；当m ≠0时，m>0， m<0，②⇔ 或g(－1)=m 2－m －2≥0 g(1)=m 2+m －2≥0 ⇔ m ≥2或m ≤－2.所以，存在实数m ，使不等式m 2+tm+1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m ≥2，或m ≤－2}.2．（12分）如图，P 是抛物线C ：y=21x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求||||||||SQ ST SP ST +的取值范围. 解：（Ⅰ）设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，M(x 0，y 0)，依题意x 1≠0，y 1>0，y 2>0.由y=21x 2， ① 得y ＇=x.∴过点P 的切线的斜率k 切= x 1，∴直线l 的斜率k l =－切k 1=-11x ，∴直线l 的方程为y －21x 12=－11x (x －x 1)， 方法一：联立①②消去y ，得x 2+12x x －x 12－2=0. ∵M 是PQ 的中点 x 0=221x x +=-11x ， ∴y 0=21x 12－11x (x 0－x 1). 消去x 1，得y 0=x 02+2021x +1(x 0≠0)，∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+2021x +1(x ≠0).方法二：由y 1=21x 12，y 2=21x 22，x 0=221x x +， 得y 1－y 2=21x 12－21x 22=21(x 1+x 2)(x 1－x 2)=x 0(x 1－x 2)， 则x 0=2121x x y y --=k l =-11x ， ∴x 1=－01x ， 将上式代入②并整理，得y 0=x 02+2021x +1(x 0≠0)，∴PQ 中点M 的轨迹方程为y=x 2+2021x +1(x ≠0).（Ⅱ）设直线l:y=kx+b ，依题意k ≠0，b ≠0，则T(0，b).分别过P 、Q 作PP ＇⊥x 轴，QQ ＇⊥y 轴，垂足分别为P ＇、Q ＇，则=+||||||||SQ ST SP ST ||||||||||||||||21y b y b Q Q OT P P OT +='+'.y=21x 2 由 消去x ，得y 2－2(k 2+b)y+b 2=0. ③y=kx+by 1+y 2=2(k 2+b)，则y 1y 2=b 2.方法一：∴=+||||||||SQ ST SP ST |b|(2111y y +)≥2|b|211y y =2|b|21b =2. ∵y 1、y 2可取一切不相等的正数，∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）. 方法二：∴||||||||SQ ST SP ST +=|b|2121y y y y +=|b|22)(2bb k +. 当b>0时，||||||||SQ ST SP ST +=b 22)(2b b k +=b b k )(22+=b k 22+2>2； 当b<0时，||||||||SQ ST SP ST +=－b 22)(2bb k +=b b k -+)(22. 又由方程③有两个相异实根，得△=4(k 2+b)2-4b 2=4k 2(k 2+2b)>0，于是k 2+2b>0，即k 2>－2b.所以||||||||SQ ST SP ST +>b b b -+-)2(2=2. ∵当b>0时，bk 22可取一切正数， ∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）. 方法三：由P 、Q 、T 三点共线得k TQ =K TP ，即22x b y -=11x b y -. 则x 1y 2－bx 1=x 2y 1－bx 2，即b(x 2－x 1)=(x 2y 1－x 1y 2).于是b=122212122121x x x x x x -⋅-⋅=－21x 1x 2. ∴||||||||SQ ST SP ST +=||||||||21y b y b +|1|21x x -|1|21x x -=||12x x +||21x x ≥2. ∵||12x x 可取一切不等于1的正数， ∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是（2，+∞）. 3．（12分）某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少. （总费用．．．=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.） 解：①不采取预防措施时，总费用即损失期望为400×0.3=120（万元）；②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1－0.9=0.1，损失期望值为400×0.1=40（万元），所以总费用为45+40=85（万元）③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1－0.85=0.15，损失期望值为400×0.15=60（万元），所以总费用为30+60=90（万元）；④若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为45+30=75（万元），发生突发事件的概率为（1－0.9）（1－0.85）=0.015，损失期望值为400×0.015=6（万元），所以总费用为75+6=81（万元）. 综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少.5．（14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）已知a R ∈，函数2()||f x x x a =-.(Ⅰ)当2a =时，求使()f x x =成立的x 的集合；(Ⅱ)求函数()y f x =在区间[12]，上的最小值. 解：（Ⅰ）由题意，2()2f x x x =-.当2x <时，2()(2)f x x x x =-=，解得0x =或1x =；当2x ≥时，2()(2)f x x x x =-=，解得1x =综上，所求解集为{011+，，. （Ⅱ）设此最小值为m .①当1a ≤时，在区间[12]，上，32()f x x ax =-. 因为 22()323()03f x x ax x x a '=-=->，(12)x ∈，， 则()f x 在区间[12]，上是增函数，所以(1)1m f a ==-. ②当12a <≤时，在区间[12]，上，2()()0f x x x a =-≥，由()0f a =知 ()0m f a ==.③当2a >时，在区间[12]，上，23()f x ax x =-. 22()233()3f x ax x x a x '=-=-. 若3a ≥，在区间(12)，内()0f x '>，从而()f x 为区间[12]，上的增函数， 由此得 (1)1m f a ==-.若23a <<，则2123a <<. 当213x a <<时，()0f x '>，从而()f x 为区间2[1]3a ，上的增函数； 当223a x <<时，()0f x '<，从而()f x 为区间2[2]3a ，上的减函数. 因此，当23a <<时，(1)1m f a ==-或(2)4(2)m f a ==-. 当723a <≤时，4(2)1a a -≤-，故(2)4(2)m f a ==-； 当733a <<时，14(2)a a -<-，故(1)1m f a ==-. 综上所述，所求函数的最小值 111274(2)23713a a a m a a a a -≤⎧⎪<≤⎪⎪=⎨-<≤⎪⎪->⎪⎩，当时；0，当时；，当时；，当时．。

2－1 试求如下序列的傅里叶变换： （1）)()(01n n n x -=δ （2）)1(21)()1(21)(2--++=n n n n x δδδ （3）),2()(3+=n u a n x n10<<a（4）)4()3()(4--+=n u n u n x（5）∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛=05)3(41)(k nk n n x δ（6）()6cos ,14()0,n n x n π⎧-≤≤=⎨⎩其他解： （1） 010()()j n j j nn X e n n ee ωωωδ∞--=-∞=-=∑（2） 2211()()122j j nj j n X e x n e e e ωωωω∞--=-∞==+-∑ωsin 1j +=（3） 2232()(2)1j j nj nn j nj n n a e X e a u n ea eaeωωωωω-∞∞---=-∞=-=+==-∑∑， 10<<a（4） []4()(3)(4)j j nn X e u n u n eωω∞-=-∞=+--∑∑-=-=33n nj e ω∑∑==-+=313n n j n nj e eωωωωωωωj j j j j e e e e e --+--=--111134=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=----ωωωω21sin 27sin 1137j j j e ee（5） 3350011()(3)44n kj jn j k n k k X e n k e e ωωωδ∞∞+∞--=-∞==⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∞+=--⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛=033411141k j kj e e ωω（6） 44336441()cos 32j j j jn jn n n X e nee e e ππωωωπ---=-=-⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∑∑994()()4()()3333001122j j n j j n n n e e e e ππππωωωω--++===+∑∑ ()9()9334()4()33()()3311112211j j j j j j e e e e e e ππωωππωωππωω-+-+-+⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2－2 设信号}1,2,3,2,1{)(---=n x ，它的傅里叶变换为)(ωj e X ，试计算(1)0()j X e （２）()j X ed πωπω-⎰（３）2()j X e d πωπω-⎰。

2010年四校联考第四次高考模拟考试数学试卷（文史类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的某某、某某填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．参考公式：回归直线方程：x b ay ˆˆ+=，其中，x b y axn x yx n yx b n i i ni ii ˆˆ,ˆ1221-=--=∑∑== 第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1. 若复数iia z -+=1（,a R ∈i 是虚数单位）是纯虚数，则a 的值等于 (A) 1- (B) 2- (C) 1 (D) 22. 若函数)sin()(θ+=x x f 在4π=x 时取得最大值，则θsin 等于(A) 1- (B) 22-(C) 1 (D) 22 3. 某班共有学生50人,其中男生30人,为了调查学生的复习情况,采用分层抽样的方法抽取一个容量为10的样本,则样本中女生的人数为(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8 4． 已知幂函数()x f 的图象经过点()27,3,则()2-f 的值为(A) 4 (B) 4- (C) 8 (D) 8- 5. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,4sinπn a n =,则2010S 等于(A)122+ (B) 122-- (C) 12+ (D) 0 6. 已知集合(){}(){}4,,1,22=+=+==y x y x B x y y x A ,B A C =,则集合C 中元素的个数为(A) 1个 (B)2个 (C) 0个 (D) 无数个 7. 用二分法求函数()43--=x x f x的一个零点，其参考数据如下：据此数据，可得方程043=--x x的一个近似解(精确到01.0)为 (A)55.1 (B)56.1 (C)57.1 (D)58.18． 设双曲线12222=-by a x ()0,0>>b a 的一条渐近线方程为x y 3=，则双曲线的离心率e 的值为（A ）2 （B）3 （C ）21（D ）2 9. 假设关于某设备的使用年限x （年）和所支出的维修费用y （万元）有如下统计资料：若由资料知，y 对x 呈线性相关关系，且有下参考数据：5521190,112.3ii i i i xx y ====∑∑，则回归直线方程为(A) 09.028.1+=x y (B) 03.025.1+=x y (C) 1.230.08y x =+ (D) 08.024.1+=x y 10．向量a ,b 的夹角为θ,则称a ◎b 为a ,b 的积,定义a ◎b θtan b a =,若5=a ,1=b ,3-=⋅b a , 则a ◎b 等于(A)320 (B) 320- (C) 4 (D) 4- 11．为调查哈市高中三年级男生的身高情况，选取了5000人作为样本，右图是此次调查中的某一项流程图，其输出的结果是3800，则身高在cm 170以上的频率为（A ）24.0 （B ）38.0 （C ）62.0 （D ）76.012．如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点N M ,分别在BC AD ,1 上移动，且始终保持//MN 平面11D DCC ， 设x BN =，y MN =，则函数()x f y =的大致图象是2010年四校联考第四次高考模拟考试数学试卷（文史类）第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题后的横线上．） 13． 已知总体的各个个体的值由小到大依次为86,53,23,11,,,8,4,3,1c a ，且总体的中位数为10，则c a +等于____________________. 14. 平面内，两个正三角形的边长比为2:1，则其外接圆的面积比为4:1；类似地，空间中，两个正四面体的边长比为2:1，则其外接球的体积比为_____________. 15．设D 是不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤6060y x 表示的平面区域，则D 中的点()y x P ,到直线x y -=的距离小于2的概率为__________________. 16．有一道数学题，因纸X 破损有一个条件模糊不清，具体如下“已知ABC ∆中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，且_________,4,3ππ==B A ,求a .”经推断，破A 1损处条件为三角形一边的长度，且答案提示3=a .在横线上写出一个可能的答案.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等比数列，且公比1>q ，n S 为其前n 项和，43=a ,32=S ． (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 令1+=n n na b ，*∈N n ,{}n b 的前n 项和为n T ，求n T ．18．（本小题满分12分）盒中有6个小球,3个白球,记为321,,a a a ，2个红球, 记为21,b b ，1个黑球, 记为1c ，除了颜色和编号外,球没有任何区别.(Ⅰ) 求从盒中取一球是红球的概率；(Ⅱ) 从盒中取一球，记下颜色后放回，再取一球，记下颜色，若取白球得1分，取红球得2分，取黑球得3分，求两次取球得分之和为5分的概率.19．（本小题满分12分）一个多面体的直观图和三视图如图所示(Ⅰ) 求证：BD PA ⊥； (Ⅱ) 求几何体ABCD P -的表面积．20．（本小题满分12分）已知函数()x x x x f sin cos sin )(+=，R x ∈.(Ⅰ) 求函数()x f 的单调递增区间；(Ⅱ) 对任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0,21πx x ，都有不等式()213x f x f a '≥⎪⎭⎫⎝⎛++π成立，某某数a 的取值X 围.A P D BC正 视 图 侧 视 图2俯 视 图21.（本小题满分12分）已知动点()y x P ,（0≥x ）到定点()0,1F 的距离与到y 轴的距离之差为1. （Ⅰ）求动点P 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）若()2,1A ，C B ,为E 上两动点，且0=⋅AC AB ,求证：直线BC 必过一定 点，并求出其坐标；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点A 作BC AH ⊥于H ，求H 点的轨迹方程.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 在平面四边形ABCD 中，ABC ∆≌BAD ∆． 求证:CD AB //.23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为06sin 2cos 62=+-+θρθρρ，曲线2C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x (θ为参数)．(Ⅰ)将曲线1C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (Ⅱ)曲线1C 和曲线2C 交于A 、B 两点，求AB 长.D A CB24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()122++-=x x x f ．(Ⅰ) 画出()x f 的图象,并写出函数()x f 的值域； (Ⅱ) 若关于x 的不等式21122++>++-a a x x 对于任意R x ∈恒成立,某某数a 的取值X 围．2010年四校联考第四次高考模拟考试（高考资源网）数学试卷（文史类）评分标准一、选择题：二、填空题：13. 20 14. 8:1 15. 18116. 2=b 或226+=c 三、解答题： 17．（本题满分12分）解：（Ⅰ）由已知条件，⎩⎨⎧=+===34112213q a a S q a a 2=⇒q 或32-=q ，又1>q ，所以，2=q12-=n n a -----------------------------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）nn n b 2⋅=n n n T 2...2423222432⋅++⋅+⋅+⋅+=()15432221...24232222+⋅+⋅-++⋅+⋅+⋅+=n n n n n T两式相减，()n n n n n n n T 2212222...22221432⋅--=⋅-+++++=-+()2211+-=+n n n T ---------------------------------------------------------------------12分 18．（本题满分12分）解：（Ⅰ）所有基本事件为：,,,321a a a ,,21b b 1c 共计6个.记“从盒中取一球是红球”为事件A 事件A 包含的基本事件为：21,b b ∴3162)(==A P . ∴从盒中取一球是红球的概率为31.-------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）记“两次取球得分之和为5分”为事件B ， 事件B 包含的基本事件为：()11,a a ，()21,a a ，()31,a a ，()11,b a ，()21,b a ，()11,c a ， ()12,a a ，()22,a a ，()32,a a ，()12,b a ，()22,b a ，()12,c a ， ()13,a a ，()23,a a ，()33,a a ，()13,b a ，()23,b a ，()13,c a ，()11,a b ，()21,a b ，()31,a b ，()11,b b ，()21,b b ，()11,c b ， ()12,a b ，()22,a b ，()32,a b ，()12,b b ，()22,b b ，()12,c b ， ()11,a c ，()21,a c ，()31,a c ，()11,b c ，()21,b c ，()11,c c ，共计36个事件包含的基本事件为：()11,c b ，()12,c b ，()11,b c ，()21,b c 共计4个∴91364)(==B P . ∴“两次取球得分之和为5分”的概率为91.------------------------------------------12分19.（本题满分12分）解：（Ⅰ）证明：Ⅰ）由三视图可知ABCD P -为四棱锥,底面ABCD 为正方形,且PD PC PB PA ===,连接BD AC ,交于点O ,连接PO ,因为PO BD AC BD ⊥⊥,,所以⊥BD 平面PAC , 即PABD ⊥；---------------------------------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）()714+---------------------------------------------------------------------------------12分20.（本题满分12分） （Ⅰ）()2142sin 22+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx x f ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-='42cos 2πx x f当⎪⎭⎫⎝⎛++-∈ππππk k x 83,8，()Z k ∈时，()0>'x f ，函数()x f y =为增函数；所以，函数()x f y =的增区间是⎪⎭⎫⎝⎛++-ππππk k 83,8，()Z k ∈.--------------------6分（Ⅱ）令()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-='=42cos 2πx x f x g当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，43424πππ≤-≤-x ，142cos 22≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-πx ，()21≤≤-x g当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，6533πππ≤+≤x ，21234311+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-πx f ， ()41324312-+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'πx f x f ，所以≥a 41324-+--------------------- 12分 21. （本题满分12分）解：（Ⅰ）由已知题意得()1122+=+-x y x ,则xy 42=；------------------------------------------------------------3分（Ⅱ）设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121,4y y B ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛222,4y y C , 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2,14121y y AB ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2,14222y y AC ,因为0=⋅AC AB ,即()()0221414212221=--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y y y y , 即()02022121=+++y y y y ,2121221244y y y y y y K BC +=--=, 则直线BC 的方程为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-4421211y x y y y y 即2121214y y y y y y x y +++=, 令5=x 时,2-=y ,即直线过定点()2,5-.------------------------------------------------------8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，点()2,5-在直线BC 上，设),(y x H ，则52-+=x y K BC ，12--=x y K AH 由题意可知，1-=⋅AH BC K K ，所以11252-=--⋅-+x y x y ，即01622=++-y x x (A 点除外) -----------------------------------------------------------------------------------------12分22．（本题满分10分）证明：连接BD AC ,交于点E ,因为BAD ABC ∆≅∆,则ACB ADB DBA CAB ∠=∠∠=∠,,所以BE AE =,则DE CE =,所以ACD BDC ∠=∠,则ACD BDC DBA CAB ∠+∠=∠+∠,则DCA CAB ∠=∠,即CD AB //.----------------------------------------------------------------------------------------10分23．（本题满分10分）（Ⅰ）曲线1C 的直角方程为062622=+-++y x y x -------------------------------------4分（Ⅱ）曲线1C 的直角方程为062622=+-++y x y x ①曲线2C 的直角方程为922=+y x ②则直线AB 的方程为①－②,即01526=-+y x ,则263242259=⨯-=AB .------------------------------------------------------------------10分24．（本题满分10分）（Ⅰ）图象略，值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,25；-------------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）21122++>++-a a x x 恒成立, 则2125++>a a ,解得2->a 或38-<a .----------------------------------------------------------10分。

2009—2010年高考模拟试题压轴大题选编（四）2009-12-262.（广东省东华高级中学2010届高三上学期摸底考试）1.已知22()()2x af x x R x -=∈+在区间[1,1]-上是增函数 （I ）求实数a 的取值范围；（II ）记实数a 的取值范围为集合A ，且设关于x 的方程1()f x x=的两个非零实根为12,x x 。

①求12||x x -的最大值；②试问：是否存在实数m ，使得不等式2121||m tm x x ++>-对a A ∀∈及[1,1]t ∈-恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．1.解：（1）2222(2)()(2)x ax f x x ---'=+ ……………………………………………1分 ()f x 在[1,1]-上是增函数()0f x '∴≥即220x ax --≤，在[1,1]x ∈-恒成立 …………① …………3分设 2()2x x ax ϕ=--，则由①得(1)120(1)120a a ϕϕ=--≤⎧⎨-=+-≤⎩解得11a -≤≤所以，a 的取值范围为[1,1].-………………………………………………………6分 （2）由（1）可知{|11}A a a =-≤≤由1()f x x =即2212x a x x-=+得220x ax --=280a ∆=+> 12,x x ∴是方程220x ax --=的两个非零实根12x x a ∴+=，122x x =-，又由(1)11a -≤≤12||3x x ∴-==≤……………………………9分于是要使2121||m tm x x ++≥-对a A ∀∈及[1,1]t ∈-恒成立即213m tm ++>即220m tm +-≥对[1,1]t ∀∈-恒成立 ………②………11分设22()2(2)g t m tm mt m=+-=+-，则由②得22(1)20(1)20g m mg m m⎧-=-->⎪⎨=+->⎪⎩解得2m>或2m<-故存在实数(,2)(2,)m∈-∞-+∞满足题设条件…………………………14分2. 设21081207M a a=++，2P a=+，Q=262a-；若将lg M，lg Q，lg P适当排序后可构成公差为1的等差数列{}na的前三项（I）在使得lg M，lg Q，lg P有意义的条件下，试比较,,M P Q的大小；（II）求a的值及数列{}na的通项；（III）记函数212()2(*)n n nf x a x a x a n N++=++∈的图象在x轴上截得的线段长为nb，设122311()4n n nT b b b b b b-=++⋅⋅⋅+，求nT．2解：（1）由210812070202620M a aP aQ a⎧=++>⎪=+>⎨⎪=->⎩得213a-<<……………2分2110831810(0)M Q a a-=++>∆<………………………3分2210802050(0)M P a a-=++>∆<………………………4分M Q∴>，M P>又当213a-<<时，243P Q a-=-+，当28a-<<时，即P Q<，则P Q M<<………………………5分当8a=时，P Q=，则P Q M=<当813a<<时，P Q>，则Q P M<<（2）依题lg1lglg1lgP QM Q+=⎧⎨=+⎩即1010P QM Q=⎧⎨=⎩∴226210(2)108120710(262)a aa a a-=+⎧⎨++=-⎩解得12a=，从而lg(1)12lg2na P n n=+-⨯=-………………………9分（3）1122n na a a++=+，设()f x与x轴交点为12(,0),(,0)x x∴当()f x =0时有2(1)()0n n x a x a +++=21221,n n n na a x x a a ++∴==-=-………………………………………11分 1222|||1|||n n n n a b x x a a +∴=-=-+= 又2lg 20n a n =->，2n nb a ∴=11122114()n n n n n nb b a a a a ---∴=⨯=- 1223111111114[()()()]4n n nT a a a a a a -∴=⨯-+-++- 11111112l g 22l g 2(12l g 2)(2l g 2)nn a a n n -=-=-=----…………14分 3.（上海市十三校2010届高三第一次联考）1已知函数)0,(1222)(2≠∈--+=x R x a a x f x x ，其中a 为常数，且.0<a （1）若)(x f 是奇函数，求a 的取值集合A ； （2）当a=-1时，设)(x f 的反函数为)(1x f-，且函数)(x g y =的图像与)1(1+=-x fy的图像关于x y =对称，求)1(g 的取值集合B 。

为了备战2016年北大金融硕士项目，整理了目前网上可见各大论坛帖子的经验人士的经验，本文章提取了其中个人认为的要点，去除了很多个人经验感受或者重复部分，重在比较相同处和不同处给同是考研的学子启发，每个经验来源注明了网名或者实名，感谢这些前辈们的分享！1.（by战斗在中亚）A 重视学数学，多学数学让人的思维变得严谨B数学考试中只能用一X纸，不要过多的草纸上演算再把答案标在题目的后面卷面变成问题，不过可以申请C英语强烈推荐考试虫的阅读，本质就是一个阅读理解题的问题，珍惜题目当成考试，知道常用单词D 专业课将除了期权以外的所有指定书认真的读，一定要认真做题，充分利用光华人上面的资料，很多好题，分析历年的试题。

听金融课看老师从哪些角度讲课E 期货期权可以不看varian前辈的经济学是入门读物周老师的书早看过，真正下功夫的是金融学证券投资企业财务。

指定书介绍的是传统金融学，经典理论有：有效市场理论APT模型CAPM模型B-S公式等等它们的基石是有效市场里路面整个金融学最需要记得两个公式是二式项公式和bs公式平老师的微观需要做题但是每一步做的需要经过推敲要有经济学的依据货币银行学F勤做总结，每一个月回头看自己的进度，看了哪些书，把专业课真题翻出来看看哪里有欠缺的地方2.（by how）A 考光华的一个很大的难点就是每年考题涉与的内容的不同，今年的考试内容熟悉不一定明年ok，扩大自己复习X围，不能完全按照上一年考试复习更不能以一两次的考卷就小看考试难度B 一个普遍的雷点：考研是苦差事容易让人烦躁，如果找各种各样理由为自己开脱只要有空就消遣放松复习时候一定要自我经常反思还有很多事情要做C 在抓重点问题上对于前三年的考题的分析和对比自己摸索规律会考的和不会考的D 参考书目：微观经济学：朱善利《微观经济学》平新乔《微观经济十八讲》财务管理学：X力《财务管理学》徐信忠《金融学概论》讲义证券投资学：曹凤岐等《证券投资学》货币银行学：曹凤岐贾春新《金融市场和金融机构》姚长辉《货币银行学》曹凤岐《货币金融管理讲义》金融工程：john huil《期权，期货和其他金融衍生产品》博迪的《金融学》中间关于capm和期权的部分值得看一看最后一轮复习只需要用到上面的书，F 对于数学要确保临考前考纲中没有任何一个概念和公式不记得，甚至不应该有不熟悉3.by AqurA 政治：官方的参考书就是大纲和大纲解析B 英语：阅读是重点，阅读速度提高以后省出来部分时间到作文上面C 数学做题只是为了练手，集中靠前练习解题速度和准确率，题目不会的说明看书有问题自己答案和书上答案不一样并且不同意书的解法的有自己的理论的相信自己的结论4 by luckybullet为什么考研为什么考金融？如果能够想清楚这些理由动机可疑支撑自己走过接下来的一年，一个人能一直坚信自己最初决定的正确性，那么这个决定就是正确的5.by mofeiA 政治：7月《大纲解析》出来多看几遍做了任汝芬的《序列二》《考试解析》no陈先奎12月看真题《考试分析》附赠的B 数学：考研复习从数学开始的，一直坚持做数学找状态陈老师的《指南》出来就买了一边做一边看教材五一时候李永乐的〈线代讲义〉七天狂做三遍做完没有线代难题李永乐的〈全书〉也不错〈400题〉每天一套做了三遍接着〈超越135〉11月做了两遍真题可以向老师申请草稿纸总结数学教材指南3遍线代讲义4遍文登班笔记5遍数一真题3遍数二真题2遍数三真题4遍数四1遍400题3遍超越135 2遍C 英语：做真题背真题D 专业：光华的专业课比较难齐寅锋〈公司财务学〉博迪〈金融学〉师兄推荐了平老师的微观经济学，去听了几节课但是往返时间太长X圣平老师讲〈金融学〉去了两次看书方面sharp〈投资学〉平新乔老师〈十八讲〉高微和〈微观经济理论〉除了指定教材其他书可以以理论为大纲可以参考05级hygiene师姐在初试交流会上的pptF 做题方面金融学的光华人上面有很多八月开始做题北大经济中心的题目也不错/forum做完以后感觉基本的知识点都是差不多的〈十八讲〉〈微观经济理论〉后面的习题做了三四遍九月到十一月又把中心光华历年的习题做了做的比较费劲，一天一题还要和同学们进行讨论G 成功的经验：刻苦三月准备开始到最后一门课的考完没有浪费任何一天，有时候甚至加班加点到晚上1点，心态的平和，不要因为竞争的人所就害怕和谐家庭关系的和谐考研如果有志同道合的人会十分幸运光华专业课比较难一些题目需要讨论6.by xiongzhuang每个人都有适合自己的学习方法别人的只是借鉴参考的意义，从题型的角度考虑，光华金融和经济研究中心的主要都是计算题7.By paoA 做好学习计划，做了七八页的学习计划，第一阶段第二阶段模拟阶段最后冲刺具体到每月每周每天看哪些书，打好基础以后重点看真题最有感触的是英语阅读看了四五遍真题数学的历年真题也要好几次，适当的时候也放松B 政治：二三遍红宝书和无数的选择题20天20题（最后两周）政治理论参考考试丛书（红宝书）政治理论基础过关200题2005年任汝芬序列二2005年陈先奎考研政治考前大串讲启航时政启航20天20题2006考研最后四套题2006考研政治最后冲刺十五套C 数学：一遍复习指南两遍真题和400题自己总结的错题数学复习指南考研重点题型80（经济类）黑博士考研数学历年真题（数学三）数学全镇模拟经典400题D 英语：先开始背单词然后保持预感多读英语类东西反复研究真题考试虫历年真题解析2006年精编英语阅读理解220篇考研英语阅读真题全方位突破F 专业课：指定的数目都要看重要的看三四遍（十八讲公司理财财务管理等）做课后题光华人上面有大部分的答案各种期末考题光华历年真题中心历年考题（微观部分）教材除了指定的看来周惠中的《微观经济学》varian的高数宋逢明的〈金融工程原理〉ross的公司理财夏普的投资学〈会计学原理〉〈公司财务学〉我就贴贴用过的打印资料吧：●十八讲答案（郭洪波版本）●十八讲课堂笔记●金融学概论讲义（徐信忠）●金融学五次作业（徐信忠）●金融学概论03，04年的期末考试题（徐信忠）●货币金融学讲义（曹凤岐）●财务管理学讲义（X力）●光华历年真题与答案（96-04）●中心历年考题与答案（96-01，04）●微观经济学六次作业●平新乔微观经济学复习题●光华微观经济学补充题●经济中心微观经济学六次作业●X力财务管理课堂习题与答案●X力财务管理学教材课后主要章节答案●《公司财务》复习题●周惠中《微观经济学》课后习题答案●《金融学》重要章节答案（13/14章）●金融学概论公式表8.by ghkyA 专业课方面微观看了朱善利/X里安〈现代观点与高微〉（好书）/周惠中的书/微观十八讲（十分重要问题在于没有标准答案用过郭洪波版大南光华人经济学版置顶的大南eating noodles版）X的高微是好书对18讲补充）X维迎的博弈论（只看前面三章）与信息经济学平狄克的微观和常春藤尼科尔森的微观 B 金融方面看了博迪的金融学X力齐寅峰和ross的三本公司理财方面的书（公司财务方面ross和齐的书各有千秋都是好书）曹的证券投资和夏普的投资学上下册hull的期权期货宋逢明的无套利均衡后面题目值得一做（宋逢明是好书最好后期看好吸收）C 金融工程方面期权期或远期互换肯定是重点bs公式证明可以看看D 题目来源一个是个本书后面的题目一个是光华人上面历年的考研真题和其中考试题都打印出来重要的历年真题徐信忠老师五次作业（非常重要）研究生金融概论期末考题杨云红老师给本科生留的证券投资学作业平新乔给双学位讲课留的作业和期末考题反复做F 数学做了文登的复习指南李永乐的复习书400题超越135 后期做了不少模拟题下功夫都ok9.By winterdsgA 数学：从课本看起陈文登的书技巧性太强不适合打基础光华人上面推荐经典数学教材：同济五本屠余马的线代（严重推荐）浙大的概率同济五版课后题木比较简单可以挑着做每看完一门做陈德复习指南相应的题目李永乐的400题推荐大纲解析严重推荐掌握考研题目的思路和难度B 英语：研究真题考试虫的真题认真反复研究文化站那个题材节后出题角度都有记录和总结真题培养出来的感觉是对的C 政治：重视基础考试分析严重推荐D 专业课：朱善利看过一遍X里安的现代观点看过很多遍十八讲非常重要辅助平老师的上课笔记X的高微做了加深对微观经济理解金融部分从博迪金融学看起做了后面题目对金融学的框架有一个大致的了解X力的财务管理重点看夏普的投资学一般般宋逢明的无套利均衡分析看的有启发推荐徐老师的金融学概论讲义内容十分全面考试X围（微观金融部分）重要的就是几个理论和模型A红宝书、序列二、序列三、最后四套题、启航五套题、陈先奎的100题和30题。

52010年下期高二期末考试（含答案）本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分。

第I 卷 第n 卷3至6页。

考试结束后.只将第n 卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题共60 分）注意事项：1 •答第I 卷前，考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题 卡上。

2 •每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

一、选择题：本 大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个 选项中，只有 「项是符合题目要求的。

顶点在原点，且过点（4,4）的抛物线的标准方程是A . y24xB. x 24yC. y 2 4x 或 x 2 4yD .2 2y 4x 或 x4y以下四组向量中,互相平行的有（)组.r r(1) a(1,2,1),b (1, 2,3); r⑵ a (8,4, 6),b (4,2,r3)； （3）a (0,1, 1),b (0, 3,3);(4) a ( 3,2,0) ,b (4,3,3) A. 一B.二C. r三D.四r …c1），则平若平面 的法向量为 m （3,2,1）, 平面的法向量为n 2面与夹角的余弦是■70 A.-B.远C.70470 D.--1410 141051“k,k Z ”是“ sin 2”的122A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件“直线l 与平面 内无数条直线都垂直 ” 是 “直线1与平面垂直”的（）条件A .充要B .充分非必要C.必要非充分D.既非充分又非必要1.2. 1至2页。

6.在正方体ABCD5的余弦值为210B •迈107.已知两定点斤(5,0) , F 2( 5,0)，曲线上的点 P 到 F i 、 F 2的距离之差的绝二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分。

把本大题答案填在第□卷题中横线上。

13•请你任意写出一个全称命题 —r;其否命题为r _____________ .14. 已知向量 a (0, 1,1) , b (4,1, 0) , I a b | 29 且0，贝y = ____________ .15.已知点M (1 , — 1, 2),直线AB 过原点O,且平行于向量(0, 2, 1),则点M 到直线 AB 的距离为 _____________ .16•已知点P 到点F(3,0)的距离比它到直线 x 2的距离大1,则点P 满足 的方程为 .17•命题“至少有一个偶数是素数”的否定为 _____________________2 218. 已知椭圆x 4y 16 ,直线AB 过点P (2, — 1),且与椭圆交于 A 、B 1 两点，若直线 AB 的斜率是一，贝y AB 的值为 _____________________ .2对值是6,则该曲线的方程为x 2B.— 16 2xA.—98.已知直线 2y16l 过点 2y- 192xC.-25 2乂 1 36(2,1,1)，平面2D. 乂25 36过直线l 与点P(1,0,— 1),平行于向量a M(1,2,3)，则平面 的法向量不可能是11B.( , 1<)42 则a c c ,贝U a c ,则a 2y m 2B. 5. A. (1, — 4,2) 9.命题“若A.若a c.若a b , b b 2x 10 .已知椭圆10 mC. 1 1(-,1,-)4 2的逆否命题是 B.若aD. (0,— 1,1)be ，贝U a b be ，则 a b，若其长轴在y 轴上•焦距为4，则m 等于A. 4.11.以下有四种说法，其中正确说法的个数为:(1) (2) (3) (4) C. 7. D.8.“ m 是实数”是 是“ 是“ B ” “a “ x “ AI “ m 是有理数”的充分不必要条件;的充要条件；3 a 2 b 2 ” x 2 2x 是“ A A. 0个B. 1个2笃 1 ( a 0, b 2倾斜角为30°的直线交双曲线右支于的离心率为A .62x 12。

2010年高考备考百所名校模拟精华组卷（一）一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合=U {小于7的正整数},},,0123|{},5,2,1{N x xx B A ∈≤+-==则=⋂)(B C A U ( ) A.{1}B.{2}C.{1,2}D.{1,2,5}2. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+<≤-+=)380(),sin(2)02(,1πϕωx x x kx y 的图象如下图，则（ ）A ．6,21,21πϕω===k B ．3,21,21πϕω===kC ．6,2,21πϕω==-=kD ．3,2,2πϕω==-=k3.设1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+= （ ） A ．1i + B ．1i -+ C ．1i - D ．1i --4.右面的程序框图，如果输入三个实数a 、b 、c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中， 应该填入下面四个选项中的 （ ） A ．c > x B ．x > cC ．c > bD ．b > c5．如图，在平面内两两等距离的一簇平行直线，任意相邻两平行直线间的距离为d (d ＞0)，向平面内任意抛掷一枚长为l (l ＜d )的小针，已知小针与平行线相交的概率P 等于阴影面积与矩形的面积之比，则P 的值为（）A ．2l d πB ．2d l πC ．4l dπ D ．3l d π6.在ABC 中，如果对任意实数t ，都有BA tBC AC -≥则ABC 一定是（ ）O ABC D A 1B 1C 1D 1·A 锐角三角形B 钝角三角形C 直角三角形D 与t 值有关7.把数列一次按第一个括号一个数,按第二个括号两个数,按第三个括号三个数,按第四个括号一个数…,循环分为(1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19,21,23),(23) …,则第50个括号内各数之和为 A.390. B.392 C.394 D.396 8．函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( ) (A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D)(3)f x +是奇函数9. 如图，已知球O 是棱长为1 的正方体1111ABCD A B C D -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为 （ ）A ．6π B ．3πC ．6D ．310．若直线4,mx ny +=和圆224x y +=没有交点，则过点(),m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为 （ ）A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．０个二、填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分． 11．61(2)2x x-的展开式的常数项是（用数字作答）12、已知函数()x f 是定义在R 上的偶函数，且对任意R x ∈，都有()()x f x f =+4，当[]6,4∈x 的时候，()12+=x x f ，()x f 在区间[]0,2-上的反函数为()x f1-，则()=-191f13某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其直观图的三视图如右图示 （单位长度：cm ，图中水平线与竖线垂直），则制作该工件用去的铁皮的面积为2cm ．（制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）14．抛物线x y 42=的顶点为O,点A 的坐标为(5,0),倾斜角为4π的直线l 与线段OA 相交(l 不过点O 和点A)且交抛物线于M 、N 两点,则AMN ∆的最大面积为. 15设曲线1*()n y xn N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令lg n n a x =，则1299a a a +++的值为 .三、解答题：本题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分13分）设函数x x x f 2sin 3cos 2)(2+=（I ）求)(x f 的最小正周期以及单调增区间； （II ）若66,35)(ππ<<-=x x f ，求x 2sin 的值。

2010高考数学萃取精华30套（7）9、对于在区间[m ，n ]上有意义的两个函数f (x )与g (x )，如果对任意x ∈[m ，n ]均有| f (x ) – g (x ) |≤1，则称f (x )与g (x )在[m ，n ]上是接近的，否则称f (x )与g (x )在[m ，n ]上是非接近的，现有两个函数f 1(x ) = log a (x – 3a )与f 2 (x ) = log a ax -1(a > 0，a ≠1)，给定区间[a + 2，a + 3]． （1）若f 1(x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上都有意义，求a 的取值范围； （2）讨论f 1(x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上是否是接近的？ 解：（1）要使f 1 (x )与f 2 (x )有意义，则有a x a a a x a x 31003>⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠>>->-且要使f 1 (x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上有意义， 等价于真数的最小值大于0 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠><<⇒>-+>-+1010032031a a a a a a a 且 （2）f 1 (x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上是接近的⇔| f 1 (x ) – f 2 (x )|≤1⇔ax a x aa ---1log )3(log ≤1 ⇔|log a [(x – 3a )(x – a )]|≤1⇔a ≤(x – 2a )2 – a 2≤a1对于任意x ∈[a + 2，a + 3]恒成立设h (x ) = (x – 2a )2 – a 2，x ∈[a + 2，a + 3]且其对称轴x = 2a < 2在区间[a + 2，a + 3]的左边⎪⎩⎪⎨⎧++⇔⎪⎩⎪⎨⎧⇔)3( 1)2( )( 1)( max min a h a a h a x h a x h a ⎪⎩⎪⎨⎧+-⇔⎪⎩⎪⎨⎧--⇔0 19265469 144 a a a a a aa ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-⇔12579 12579 54 a a a 或 12579 0-<⇔a 当12579 0-<a 时 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≤f 1 (x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上是接近的 当12579 -< a < 1时，f 1 (x )与f 2 (x )在给定区间[a + 2，a + 3]上是非接近的．10、min{1s ，2s ，┅，n s }，max{1s ，2s ，┅，n s }分别表示实数1s ，2s ，┅，n s 中的最小者和最大者．（1）作出函数)(x f ＝｜x ＋3｜＋2｜x －1｜（x ∈R ）的图像；（2）在求函数)(x f ＝｜x ＋3｜＋2｜x －1｜（x ∈R ）的最小值时，有如下结论： min )(x f ＝min{)3(-f ，)1(f }＝4．请说明此结论成立的理由； （3）仿照（2）中的结论，讨论当1a ，2a ，┅，n a 为实数时，函数)(x f ＝||11x x a -＋||22x x a -＋┅＋||n n x x a -(x ∈R ，1x ＜2x ＜┅＜n x ∈R )的最值．解：（1）图略；（2）当x ∈（－∞，－3）时，)(x f 是减函数，当x ∈[－3，1）时，)(x f 是减函数， 当x ∈[1，＋∞）时，)(x f 是增函数， ∴min )(x f ＝min{)3(-f ，)1(f }＝4．（3）当1a ＋2a ＋┅＋n a ＜0时，max )(x f ＝max{)(1x f ，)(2x f ，┅，)(n x f }；当1a ＋2a ＋┅＋n a ＞0时，min )(x f ＝min{)(1x f ，)(2x f ，┅，)(n x f }； 当1a ＋2a ＋┅＋n a ＝0时，min )(x f ＝min{)(1x f ，)(n x f }，max )(x f ＝max{)(1x f ，)(n x f }．11、已知函数y =f (x)满足f (a -tan θ)=cot θ-1，（其中，a 、θ∈R 均为常数）（1）求函数y =f (x)的解析式；（2）利用函数y =f (x )构造一个数列{x n }，方法如下：对于给定的定义域中的x 1，令x 2= f (x 1)，x 3= f (x 2)，…，x n = f (x n-1)，…在上述构造过程中，如果x i (i=1,2,3,…)在定义域中，构造数列的过程继续下去；如果x i 不在定义域中，则构造数列的过程停止.① 如果可以用上述方法构造出一个常数列{x n }，求a 的取值范围；② 如果取定义域中的任一值作为x 1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{x n }，求a 实数的值.解：（1）令tan ,cot 1.x a y θθ=-⎧⎨=-⎩ 则tan ,cot 1.a x y θθ=-⎧⎨=+⎩①×②，并整理，得 y=xa ax --+1，∴y =f (x) =xa ax --+1， （x ≠a ）. ………………………………4分（2）①根据题意，只需当x≠a 时，方程f (x) =x 有解，① ②亦即方程 x 2+(1-a )x+1-a =0 有不等于的解.将x=a 代入方程左边，得左边为1，故方程不可能有解x=a . 由 △=(1-a )2-4(1-a )≥0，得 a ≤-3或a ≥1，即实数a 的取值范围是(,3][1,)-∞-+∞ . …………………………9分 ②根据题意，xa ax --+1=a 在R 中无解，亦即当x≠a 时，方程(1+a )x=a 2+a -1无实数解. 由于x=a 不是方程(1+a )x=a 2+a -1的解，所以对于任意x ∈R ，方程(1+a )x=a 2+a -1无实数解，∴ a = -1即为所求a 的值. ……………………………………14分12、（Ⅰ）已知函数：1()2()(),([0,),)n n n f x x a x a x n N -*=+-+∈+∞∈求函数()f x 的最小值;（Ⅱ）证明:()(0,0,)22n n na b a b a b n N *++≥>>∈； （Ⅲ）定理:若123,,k a a a a 均为正数,则有123123()n n nn nk k a a a a a a a a k k++++++++≥ 成立(其中2,,)k k N k *≥∈为常数．请你构造一个函数()g x ，证明：当1231,,,,,k k a a a a a + 均为正数时，12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++ ． 解：（Ⅰ）令111'()2()0n n n f x nx n a x ---=-+=得11(2)()2n n x a x x a x x a --=+∴=+∴=…2分 当0x a ≤≤时，2x x a <+ '()0f x ∴≤ 故()f x 在[0,]a 上递减．当,'()0x a f x >>故()f x 在(,)a +∞上递增．所以，当x a =时，()f x 的最小值为()0f a = (4)分（Ⅱ）由0b >，有()()0f b f a ≥= 即1()2()()0n n n n f b a b a b -=+-+≥故()(0,0,)22n n na b a b a b n N *++≥>>∈．………………………………………5分 （Ⅲ）证明:要证：12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++ 只要证：112311231(1)()()n n n n n n k k k a a a a a a a a -+++++++≥++++设()g x =1123123(1)()()n n n nn n k a a a x a a a x -+++++-++++ …………………7分 则11112'()(1)()n n n k g x k nx n a a a x ---=+⋅-++++令'()0g x =得12ka a a x k+++=…………………………………………………….8分当0x ≤≤12ka a a k+++ 时，1112'()[(]()n n k g x n kx x n a a a x --=+-++++≤111212()()0n n k k n a a a x n a a a x --++++-++++=故12()[0,]k a a a g x k +++ 在上递减，类似地可证12()(,)ka a a g x k++++∞ 在递增所以12()k a a a x g x k +++= 当时，的最小值为12()ka a a g k+++ ………………10分而11212121212()(1)[()]()n n n n n nk k k k k a a a a a a a a a g k a a a a a a k k k-+++++++++=+++++-++++=1121212(1)[()()(1)()]n n n n nn n k k k nk k a a a a a a k a a a k-++++++++-++++ =11212(1)[()()]n n n n n nk k nk k a a a k a a a k -++++-+++ =1112121(1)[()()]n n n n n n k k n k k a a a a a a k---++++-+++ 由定理知: 11212()()0n n n nn k k k a a a a a a -+++-+++≥ 故12()0k a a a g k+++≥1211[0,)()()0kk k a a a a g a g k+++++∈+∞∴≥≥故112311231(1)()()n n n n n nk k k a a a a a a a a -+++++++≥++++即:12311231()11n n n nn k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++ .…………………………..14分 13、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .(Ⅰ)若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，证明a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列； (Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题，判断它的真伪，并给出证明. 证：(Ⅰ) ∵S m ＋1＝S m ＋a m ＋1，S m ＋2＝S m ＋a m ＋1＋a m ＋2．由已知2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1，∴ 2(S m ＋a m ＋1＋a m ＋2)＝S m ＋(S m ＋a m ＋1)，∴a m ＋2＝－12a m ＋1，即数列{a n }的公比q ＝－12.∴a m ＋1＝－12a m ，a m ＋2＝14a m ，∴2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，∴a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列.(Ⅱ) (Ⅰ)的逆命题是：若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列.设数列{a n }的公比为q ，∵a m ＋1＝a m q ，a m ＋2＝a m q 2．由题设，2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，即2a m q 2＝a m ＋a m q ，即2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或q ＝－12.当q ＝1时，A ≠0，∴S m ， S m ＋2， S m ＋1不成等差数列.逆命题为假.14、已知二次函数()()R x a ax x x f ∈+-=2同时满足：①不等式()0≤x f 的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在210x x <<，使得不等式()()21x f x f >成立。

2010高考数学萃取精华30套（24）1. 德兴二模21．正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝a n +1．(1) 试求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ·a n +1，{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <12．21．（1）∵a n >0，12+=n n a S ，∴2112)1(4,)1(4+=+=--n n n n a S a S ，则当n ≥2时，,2241212----+=n n n n n a a a a a 即0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，而a n >0，∴)2(21≥=--n a a n n又12,1,12111-==∴+=n a a a S n 则 …………………6分(2)21)1211(21),121121(21)12)(12(1<+-=∴+--=+-=n T n n n n b n n (12)分22．已知函数f (x )定义在区间（－1，1）上，f (12)＝－1，且当x ，y ∈(－1，1)时，恒有f (x )－f (y )＝f (x －y 1－xy )，又数列{a n }满足a 1＝12，a n +1＝2a n1+a n2，设b n ＝1f (a 1)＋1f (a 2)＋…＋1f (a n )．⑴证明：f (x )在（－1，1）上为奇函数；⑵求f (a n )的表达式；⑶是否存在正整数m ，使得对任意n ∈N ，都有b n <m －84成立，若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由．22．（1）令x ＝y ＝0，则f (0)＝0，再令x ＝0，得f (0)－f (y )＝f (－y )，∴f (－y )＝－f (y )，y ∈(－1，1)，∴f (x )在（－1，1）上为奇函数．…………………3分 （2）),1()()()1(,1)21()(1xyyx f y f x f f a f ++=+-==知由 )(2)()()1()12()(21n n n n n n n n n n a f a f a f a a a a f a a f a f =+=⋅++=+=∴+，即2)()(1=+n n a f a f ∴{f (a n )}是以－1为首项，2为公比的等比数列，∴f (a n )＝－12n -．……………7分（3）11221221211)2121211(--+-=---=+⋯+++-=n n n n b ． 若48-<m b n 恒成立（n ∈N ＋），则.242421211-->-<+-n n m ，m 即∵n ∈N ＋，∴当n ＝1时，124-n 有最大值4，故m >4．又∵m ∈N ，∴存在m ＝5，使得对任意n ∈N ＋，有48-<m b n ． …………………………………………………14分2. 衢州二模20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意*N n ∈，有,,n n n a S 成等差数列． （Ⅰ）记数列*1(N )n n b a n =+∈，求证：数列{}n b 是等比数列． （Ⅱ）数列{}n a 的前n 项和为n T ，求满足221117227n n T n T n ++<<++的所有n 的值． (20) 本题满分14分（Ⅰ）证明：n a S n n -=2， )1(211+-=++n a S n n 12122111+=⇒--=⇒+++n n n n n a a a a a ，11122211n n n n n n b a a b a a ++++===++ 又由11112 1 1S a a a ==-⇒=所以数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列…………………(7分)（Ⅱ）解：12n n n b a =+=，21n n a =- 122n n T n +=--，22111172227nn n T n T n ++⎛⎫<=< ⎪++⎝⎭所以n 的值为3，4……………………………………………………(14分)21．（本小题满分15分）已知函数3221()231(1)3f x x ax a x a =-+->．（Ⅰ）求函数()y f x =的极小值；（Ⅱ）若对任意x ∈[1,2]-, 恒有2()21f x a ≤-，求a 的取值范围． （21）本题满分15分(Ⅰ) 解:)3)((34)(22'a x a x a ax x x f --=+-=,因为1>a ，所以a a >3，)(x f 的极小值为1)3(-=a f ……………………………………………(6分) (Ⅱ) 解: 若21≤<a 时，当[]a x ,1-∈时)(,0)(/x f x f >在[]a ,1-上递增，当[]2,a x ∈时/()f x ＜0,()f x 在[]2,a 上递减，所以)(x f 的最大值为134)(2-=a a f ，令224121,12,123a a a R a a -≤-⇒∈<≤<≤又所以； 若2>a 时，当[]2,1-∈x 时)(,0)(/x f x f >在[]2,1-上递增，所以)(x f 的最大值为0263123586,3586)2(2222≤+-⇒-≤+-+-=a a a a a a a f 令361361+<<-⇒a ，又2>a ，所以无解。

精心整理图1 图2 图3初一数学规律题应用知识汇总“有比较才有鉴别”。

通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。

找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。

揭示的规律，常常包含着事物的序列号。

所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。

初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，下面就此类题的解题方法进行探索：n 个n 位的例：4＝6n －2例1（1（2例2共有（二）如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅为等差数列）。

如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。

此种数列第n 位的数也有一种通用求法。

基本思路是：1、求出数列的第n-1位到第n 位的增幅；2、求出第1位到第第n 位的总增幅；3、数列的第1位数加上总增幅即是第n 位数。

此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察的方法求出，方法就简单的多了。

例1.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为。

妙题赏析：规律类的中考试题，无论在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都别具一格，令人耳目一新，其目的是继续考察学生的创新意识与实践能力，在往年“数字类”、“计算类”、“图形类”的基础上，今年又推陈出新，增加了“设计类”与“动态类”两种新题型，现将历年来中考规律类中考试题分析如下：1、设计类【例1】(2005年大连市中考题)在数学活动中，小明为了求的值（结果用n表示），设计如图a所示的图形。

（1）请你利用这个几何图形求的值为。

（2）请你利用图b，再设计一个能求的值的几何图形。

【例2】(2005年河北省中考题)观察下面的图形（每一个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：（1）写出第五个等式，并在下边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；（2）猜想并写出与第n个图形相对应的等式。