2012年数学一轮复习精品试题第42讲 抛物线

8.3 抛物线定义到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹方程1.y 2=2px （p ≠0），焦点是F （2p，0） 2.x 2=2py （p ≠0），焦点是F （0，2p）性质 S ：y 2=2px （p ＞0） 1.范围：x ≥02.对称性：关于x 轴对称3.顶点：原点O4.离心率：e =15.准线：x =－2p6.焦半径P （x ，y ）∈S ，|PF |=x +2p 对于抛物线x 2=2py （p ＞0），其性质如何？焦半径公式如何推导？●点击双基1.（2004年春季北京）在抛物线y 2=2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为A.21B.1C.2D.4 解析：抛物线的准线方程为x =－2p ，由抛物线的定义知4+2p=5，解得P =2.答案：C2.设a ≠0，a ∈R ，则抛物线y =4ax 2的焦点坐标为 A.（a ，0） B.（0，a ）C.（0，a161） D.随a 符号而定解析：化为标准方程. 答案：C3.以抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦半径｜PF ｜为直径的圆与y 轴位置关系为 A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定 解析：利用抛物线的定义. 答案：C4.以椭圆252x +162y =1的中心为顶点，以椭圆的左准线为准线的抛物线与椭圆右准线交于A 、B 两点，则|AB |的值为___________.解析：中心为（0，0），左准线为x =－325，所求抛物线方程为y 2=3100 x .又椭圆右准线方程为x =325，联立解得A （325，350）、B （325，－350）.∴|AB |=3100.答案：31005.（2002年全国）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.能使这抛物线方程为y 2=10x 的条件是____________.（要求填写合适条件的序号） 解析：由抛物线方程y 2=10x 可知②⑤满足条件. 答案：②⑤ ●典例剖析【例1】 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： （1）过点（－3，2）；（2）焦点在直线x －2y －4=0上.剖析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p ；从实际分析，一般需确定p 和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论.解：（1）设所求的抛物线方程为y 2=－2px 或x 2=2py （p ＞0）， ∵过点（－3，2），∴4=－2p （－3）或9=2p ·2.∴p =32或p =49.∴所求的抛物线方程为y 2=－34x 或x 2=29y ，前者的准线方程是x =31，后者的准线方程是y =－89.（2）令x =0得y =－2，令y =0得x =4， ∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，－2）.当焦点为（4，0）时，2p=4，∴p =8，此时抛物线方程y 2=16x ；焦点为（0，－2）时，2p=2，∴p =4，此时抛物线方程为x 2=－8y .∴所求的抛物线的方程为y 2=16x 或x 2=－8y ，对应的准线方程分别是x =－4，y =2. 评述：这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，先入为主，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解.【例2】如下图所示，直线l 1和l 2相交于点M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1，以A 、B 为端点的曲线段C 上任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等.若△AMN 为锐角三角形，|AM |=17，|AN |=3，且|NB |=6，建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程.ABNM l l 12剖析：由题意所求曲线段是抛物线的一部分，求曲线方程需建立适当的直角坐标系，设出抛物线方程，由条件求出待定系数即可，求出曲线方程后要标注x 、y 的取值范围.解：以直线l 1为x 轴，线段MN 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C 是以点N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一段.其中A 、B 分别为曲线段C 的端点.设曲线段C 的方程为y 2=2px （p >0）（x A ≤x ≤x B ，y >0），其中x A 、x B 为A 、B 的横坐标，p =|MN |，所以M （－2p ，0） 、N （2p，0）. 由|AM |=17，|AN |=3，得 （x A +2p ）2+2px A =17，①（x A －2p ）2+2px A =9.②①②联立解得x A =p4，代入①式，并由p >0， p =4， p =2， x A =1 x A =2. 因为△AMN 为锐角三角形，所以2p>x A . P =2， P =4， x A =2. x A =1.由点B 在曲线段C 上，得x B =|BN |－2p =4. 综上，曲线段C 的方程为y 2=8x （1≤x ≤4，y >0）.评述：本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法、待定系数法求曲线方程的步骤，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力.【例3】 设抛物线y 2=2px （p >0）的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴.证明直线AC 经过原点O .剖析：证直线AC 经过原点O ，即证O 、A 、C 三点共线，为此只需证k OC =k OA .本题也可结合图形特点，由抛物线的几何性质和平面几何知识去解决.证法一：设AB ：x =my +2p，代入y 2=2px ，得y 2－2pmy －P 2=0.由韦达定理，得y A y B =－p 2，即y B =－Ay p 2.解得 或 故舍去 所以∵BC ∥x 轴，且C 在准线x =－2p上， ∴C （－2p，y B ）. 则k OC =2p y B -=A y p 2=A Ax y =k OA .故直线AC 经过原点O .证法二：如下图，记准线l 与x 轴的交点为E ，过A 作AD ⊥l ，垂足为D .xy O ABC DE NF l则AD ∥EF ∥BC .连结AC 交EF 于点N ，则||||AD EN =||||AC CN =||||AB BF ，BC NF ||=||||AB AF .∵|AF |=|AD |，|BF |=|BC |，∴|EN |=||||||AB BF AD ⋅=||||||AB BC AF ⋅=|NF |，即N 是EF 的中点.从而点N 与点O 重合，故直线AC 经过原点O .评述：本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力.在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到y A ·y B =－p 2这个重要结论.还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目.思考讨论本题也可用平面向量来证明，读者不妨一试.●闯关训练 夯实基础1.（2003年高考·新课程）设a >0，f （x ）=ax 2+bx +c ，曲线y =f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处切线的倾斜角的取值范围为［0，4π］，则P 到曲线y =f （x ）对称轴距离的取值范围为 A.［0，a 1］ B.［0，a 21］C.［0，|a b 2|］D.［0，|ab 21-|］解析：tan α=k =f ′（x ）=2ax +b ， ∴0≤2ax 0+b ≤1.∴0≤x 0+a b 2≤a21.答案：B2.（2004年全国Ⅰ，8）设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是A.［－21，21］ B.［－2，2］C.［－1，1］D.［－4，4］ 解析：∵y 2=8x ，∴Q （－2，0）（Q 为准线与x 轴的交点），设过Q 点的直线l 方程为y = k （x +2）.∵l 与抛物线有公共点， y 2=8x ， y =k （x +8）即k 2x 2+（4k 2－8）+4k 2=0有解.∴Δ=（4k 2－8）2－16k 4≥0，即k 2≤1. ∴－1≤k ≤1. 答案：C 3.（2003年春季上海）直线y =x －1被抛物线y 2=4x 截得线段的中点坐标是___________. 解析：将y =x －1代入抛物线y 2=4x ，经整理得x 2－6x +1=0.由韦达定理得x 1+x 2=6，221x x +=3， 221y y +=2221-+x x =226-=2.∴所求点的坐标为（3，2）. 答案：（3，2）4.在抛物线y =4x 2上求一点，使该点到直线y =4x －5的距离最短，该点的坐标是____________.解法一：设与y =4x －5平行的直线y =4x +b 与y =4x 2相切，则y =4x +b 代入y =4x 2，得 4x 2－4x －b =0. ①Δ=16+16b =0时b =－1，代入①得x =21，∴所求点为（21，1）.解法二：设该点坐标为A （x 0，y 0），那么有y 0=4x 02.设点A 到直线y =4x －5的距离为d ，则d =14|54|200+--y x =171|－4x 02+4x 0－5|=171|4x 02－4x 0+5|=171|4（x 0－21）2+1|. 当且仅当x 0=21时，d 有最小值， 将x 0=21代入y =4x 2解得y 0=1. 故A 点坐标为（21，1）.答案：（21，1）5.下图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A （0，9），其轨迹方程是y =ax 2+c （a ＜0），D =（6，7）为x 轴上的给定区间.∴方程组 有解，（1）为使物体落在D 内，求a 的取值范围；（2）若物体运动时又经过点P （2，8.1），问它能否落在D 内？并说明理由. 解：（1）把点A 的坐标（0，9）代入y =ax 2+c 得c =9，即运动物体的轨迹方程为y =ax 2+9. 令y =0，得ax 2+9=0，即x 2=－a 9. 若物体落在D 内，应有6＜a9-＜7， 解得－41＜a ＜－499. （2）若运动物体又经过点P （2，8.1），则8.1=4a +9，解得a =－409，∴－41＜－409＜－499，∴运动物体能落在D 内.6.正方形ABCD 中，一条边AB 在直线y =x +4上，另外两顶点C 、D 在抛物线y 2＝x 上，求正方形的面积.解：设CD 所在直线的方程为y =x +t ， y =x +t ， y 2=x ，x 2+（2t －1）x +t 2=0，∴｜CD ｜＝]4)21[(222t t -- ＝)41(2t -.又直线AB 与CD 间距离为｜AD ｜＝2|4|-t ，∵｜AD ｜＝｜CD ｜， ∴t =－2或－6.从而边长为32或52.面积S 1＝（32）2＝18，S 2=（52）2=50.培养能力7.给定抛物线y 2=2x ，设A （a ，0），a ＞0，P 是抛物线上的一点，且｜P A ｜=d ，试求d 的最小值.解：设P （x 0，y 0）（x 0≥0），则y 02=2x 0，∵ 消去y 得∴d =｜P A ｜=2020)(y a x +-=0202)(x a x +-=12)]1([20-+-+a a x . ∵a ＞0，x 0≥0，∴（1）当0＜a ＜1时，1－a ＞0， 此时有x 0=0时， d min =12)1(2-+-a a =a . （2）当a ≥1时，1－a ≤0， 此时有x 0=a －1时， d min =12-a .8.过抛物线y 2=2px （p ＞0）焦点F 的弦AB ，点A 、B 在抛物线准线上的射影为A 1、B 1，求∠A 1FB 1.解：由抛物线定义及平行线性质知∠A 1FB 1=180°－（∠AF A 1+∠BFB 1） =180°－21（180°－∠A 1AF ）－21（180°－∠B 1BF ） =21（∠A 1AF +∠B 1BF ）=90°. 探究创新9.（2003年春季北京）已知动圆过定点P （1，0），且与定直线l ：x =－1相切，点C 在l 上.（1）求动圆圆心的轨迹M 的方程；（2）设过点P ，且斜率为－3的直线与曲线M 相交于A 、B 两点.①问△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由. ②当△ABC 为钝角三角形时，求这时点C 的纵坐标的取值范围. 解：（1）依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为y 2=4x ，如下图.（2）①由题意得，直线AB 的方程为 y =－3（x －1）.=－3（x －1），y 2=4x ，解得A （31，332），B （3，－23），若△ABC 能为正三角形， 设C （－1，y ），则|AC |=|AB |=|BC |，（31+1）2+（332－y ）2=（3－31）2+（23+332）2， ①（3+1）2+（23+y ）2=（3－31）2+（23+332）2. ②解得y =－9314.但y =－9314不符合（1），所以①②组成的方程组无解.因此直线l 上不存在点C 使△ABC 是正三角形.②设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形，由y =－3（x －1），x =－1， 即当点C 的坐标为（－1，23）时，A 、B 、C 三点共线，故y ≠23.又|AC |2=（－1－31）2+（y －332）2=928－334y +y 2，|BC |2=（3+1）2+（y +23）2=28+43y +y 2，|AB |2=（316）2=9256.当|BC |2＞|AC |2+|AB |2，即28+43y +y 2＞928－334y +y 2+9256，即y ＞923时，∠CAB 为钝角. 当|AC |2＞|BC |2+|AB |2，即928－334y +y 2＞28+43y +y 2+9256，即y ＜－3103时，∠CBA 为钝角. 又|AB |2＞|AC |2+|BC |2，即9256＞928－334y +y 2+28+43y +y 2，即y 2+343y +34＜0，（y +32）2＜0. 该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是由 消去y ，得3x 2－10x +3=0. ∴得y =23，y ＜－3310或y ＞932（y ≠23）. ●思悟小结本节主要内容是抛物线的定义、方程及几何性质.解决本节问题时应注意以下几点： 1.求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线，一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法.2.凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算.3.解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质. ●教师下载中心 教学点睛本节重点是抛物线的定义、四种方程及几何性质.难点是四种方程的运用及对应性质的比较、辨别和应用，关键是定义的运用.建议在教学中注意以下几点：1.圆锥曲线统一定义：平面内与一定点F 和定直线l 的距离之比为常数e 的点的轨迹，当0＜e ＜1时，表示椭圆；当e =1时，表示抛物线；当e ＞1时，表示双曲线.2.由于抛物线的离心率e =1，所以与椭圆及双曲线相比，它有许多特殊的性质，而且许多性质是可以借助于平面几何的知识来解决的.3.抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离.牢记它对解题非常有益.4.求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程.5.在解题中，抛物线上的点、焦点、准线三者通常与抛物线的定义相联系，所以要注意相互转化.拓展题例【例题】 （2003年北京东城区模拟题）已知抛物线C 1：y 2=4ax （a ＞0），椭圆C 以原点为中心，以抛物线C 1的焦点为右焦点，且长轴与短轴之比为2，过抛物线C 1的焦点F作倾斜角为4π的直线l ，交椭圆C 于一点P （点P 在x 轴上方），交抛物线C 1于一点Q （点Q 在x 轴下方）.（1）求点P 和Q 的坐标；（2）将点Q 沿直线l 向上移动到点Q ′，使|QQ ′|=4a ，求过P 和Q ′且中心在原点，对称轴是坐标轴的双曲线的方程.解：（1）由题意可知F （a ，0），设椭圆方程为22mx +22n y =1（m ＞n ＞0）.n m=2， m 2=2a 2，m 2－n 2=a 2， n 2=a 2，∴椭圆方程为222ax +22a y =1，直线l ：y =x －a .由 解得y =x －a ， 222ax +22a y =1， y =x －a ，y 2=4ax ， （2）将Q 点沿直线l 向上移动到Q ′点，使|QQ ′|=4a ，则可求出Q ′点的坐标为（3a ，2a ）.设双曲线方程为s x 2－ry 2=1（s ·r ＞0）.由于P 、Q ′在双曲线上，则有 s a 2)3(－r a 2)2(=1， s a 2)34(－ra 2)31(=1. s 1=2117a ，r 1=21113a . ∴双曲线方程为2117a x 2－21113ay 2=1.由可求出P （34a ，31a ）. 由 可求出Q （（3－22）a ，（2－22）a ）. 解得。

2012届高考数学一轮精品：12.3抛物线（考点疏理+典型例题+练习题和解析）12.3抛物线【知识网络】1．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．2．了解抛物线简单应用．3．进一步体会数形结合思想．【典型例题】[例1]（1）设R a a ∈≠,0，则抛物线24ax y =的焦点坐标为（ ）Ａ、 (a,0) Ｂ、 (0,a) Ｃ、 (0,a161) Ｄ、 随a 的符号而定 （2）顶点在原点，准线为y=2的抛物线方程为（Ｄ）A ．y 2=8xB ．y 2=－8xC ．x 2=8yD ．x 2=－8y（3）已知：Ｐ为抛物线ｙ＝241x 上的任意一点，Ｆ为抛物线的焦点，点Ａ坐标为(1,1)，则｜PF ｜＋｜PA ｜的最小值为 （ ）A ．1617 B ．2 C ．12+ D ．12-（4）已知抛物线y 2=4x 过点P （4，0）的直线与抛物线相交于A （x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12＋y 22的最小值是 ．（5）已知抛物线C 1：y=2x 2与抛物线C 2关于直线y=-x 对称，则C 2的准线方程是 .[例2] 抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－３与抛物线相交于点Ａ，5=AF ，求抛物线的标准方程．[例3]如图，抛物线px y 22=的弦21P P 交x 轴于点Q ，过1P 、2P 分别作x 轴的垂线，垂足为M 、N ，求证：OQ 是OM 和ON 的比例中项．[例4] 如图，M （a ，0）（a ＞0)是抛物线y 2=4x 对称轴上一点，过M 作抛物线的弦AMB ，交抛物线与A ，B ．（1）若a =2，求弦AB 中点的轨迹方程；（2）过M 作抛物线的另一条割线CMD （如图），与抛物线交于CD ，若AD 与y 轴交与点E ，连ME ，BC ，求证：ME ∥BC ．【课内练习】1．以抛物线)0(22>=p px y 的焦半径PF 为直径的圆与y 轴位置关系为（ ）Ａ、 相交 Ｂ、 相离 Ｃ、 相切 Ｄ、 不确定2．抛物线方程为7x ＋8y 2=0，则焦点坐标为（ ）A ．(716 ,0)B ．(－732 ,0)C ．(0,－ 732 )D ．(0,－ 716) 3．抛物线y=－x 2上的点到直线4x ＋3y －8=0距离的最小值是 （ ）A ．43B ．75C ．85D ．3 4．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA → ·AF → =－4，则A 点坐标为 （ ）A ．（2，±2 2 ）B ．（1，±2）C ．（1，2）D ．（2，2 2 ）5．抛物线y 2=－2px(p ＞0)上一点横坐标为-9，它到焦点的距离为10，这点的坐标为 ．6．过抛物线x y =2的焦点F 的直线m 的倾斜角m ,4πθ≥交抛物线于A 、B 两点，且A 点在x 轴上方，则|FA|的取值范围是 ．7．一动圆Ｍ和直线:4l x =-相切，并且经过点(4,0)F ，则圆心Ｍ的轨迹方程是 ．8．直线l 过抛物线)0(22>=p px y 的焦点且与x 轴垂直，若l 被抛物线截得的线段长为6，求p 的值．9．已知直线l ：y= 3 x ＋4被抛物线x 2=2p y(p ＞0)截得的弦长为4 3 ．（1）求抛物线的方程；（2）在该抛物线上位于直线l 下方的部分中，求一点M ，使M 到l 的距离最远．10．已知抛物线y 2=4ax(a ＞0)的焦点为A ，以B （a+4，0）为圆心，|AB|长为半径画圆，在x 轴上方交抛物线于M 、N 不同的两点，若P 为MN 的中点．（1）求a 的取值范围；（2）求|AM|+|AN|的值；（3）问是否存在这样的a 值，使|AM|、|AP|、|AN|成等差数列？12.3抛物线【典型例题】例1 （1）C ．提示：注意抛物线的开口方向．（2）D ．提示：逆用准线方程公式．（3）B ．提示：用抛物线定义结合三角形的性质．（4）32．提示：设出过点P 的直线方程与抛物线方程联列，用韦达定理及配方法．（5）x=18．提示：在抛物线方程中，先用－x 换y ，同时用－y 换x ．得到对称抛物线的标准方程．例2. 设所求焦点在x 轴上的抛物线的标准方程为：)0(22≠=p px y ，)3,(-m A 则由抛物线的定义得25p m AF +==，又pm 2)3(2=- 所以9,1±=±=p p故所要求抛物线的方程为：x y x y 18,222±=±=例3、设点1P 、2P 的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则直线21P P 的方程为 121121x x x x y y y y --=-- ① 由于点Ｑ是直线21P P 和x 轴的交点，令y ＝０得点Ｑ的横坐标为212112y y y x y x x --=． 点1P 和2P 分别在x 轴的上方和下方，不妨设点1P 在x 轴的上方，点2P 在x 轴的下方，则112px y =，222px y -=． 代入①，得2121122222px px px x px x x ++=＝21x x ， 所以ON OM OQ =2即证得OQ 是OM 和ON 的比例中项．例4、（1）当AB 斜率存在时，由a=2,设其方程为y=k (x －2)，弦AB 中点为（x 0,y 0)由24(2)y x y k x ⎧=⎨=-⎩得22224(1)40k x k x k -++=△=16（k 2＋1)2－16k 4=32k 2＋16＞0212022120122222212(22)22x x k x k k y y y kx k kx k k ⎧++===+⎪⎪⎨+⎪==-+-=⎪⎩消去k 得y 02=2x 0－4(x 0＞2)当AB 斜率不存在时，其方程为x=2，与抛物线相交，中点为（2，0），满足y 02=2x 0－4． 综上所述，弦AB 中点的轨迹方程y 2=2x －4．（2）证明：设A （t 12,－2t ),B （t 22, 2t 2),C （t 32,－2t 3),D （t 42,－2t 4),其中t 1，t 2，t 3，t 4均为正数，用两点式求得AB 的方程为 y(t 2－t 1)＋2t 1t 2=2xCD 的方程为y (t 4－t 3)＋2t 3t 4=2x AB ,CD 都经过点M ，故t 1t 2= t 3t 4=a ， AD 的方程为y(t 4－t 1)＋2t 1t 4=2xAD 与y 轴交点为E （0，14142t t t t -） k ME =14412()t t a t t - 而k BC =23222323222t t t t t t +=--=142a a t t -=14412()t t a t t - ∴k ME =k BC ，ME ∥BC ．【课内练习】1．C ．提示：利用抛物线的定义．2．B ．提示：先将方程化成标准形式．3．A ．提示：设出与已知直线平行且与抛物线相切的直线方程，用△法求出直线方程，再求两平行线间的距离．4．B ．提示：依据对称性排除C ，D ，再用坐标法排除A ．5．(－9,±6)．提示：利用抛物线的定义先求出p ．6．]221,41(+．提示：联想抛物线定义． 7．y 2=16x ．提示：运用抛物线定义．8．p=3．提示：运用通径的性质．9．（1）抛物线的方程为x 2= 23 y ；（2）所求点M，12 ）10．(1) 设M (x 1，y 1 )，N (x 2，y 2)，P (x 0，y 0 )则[ x —（a +4）]2 + y 2 = 16 ( y≥0)用y 2 = 4ax (a>0) 代入得x 2 + 2 (a —4)x + 8a + a 2 = 0由4△= ( a —4)2 — (8a + a 2) > 0得：0 < a < 1 (2) ∵A 为焦点 ∴ |AM| + |AN| = (x 1 + a ) + (x 2 + a) = x 1 + x 2 + 2a = 8—2a + 2a = 8.(3) 若存在a 使使|AM|、|AP|、|AN|成等差数列即 2|AP| = |AM| + |AN| = 8 ∴ |AP| = 4则 (x 0—a )2 + y 02 = 16，x 0 =221x x + = 4—a ，y 0 =21（y 1 + y 2）( 4—2a )2 + a [ 8— ∴ a = 1 与 0 < a < 1 矛盾故a 不存在.。

2012届高考数学第一轮基础知识点抛物线复习教案§8.3抛物线班级姓名学号例1：一抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上载有一宽4米，高6米的大木箱，问能否安全通过？例2：已知A（4，2），在焦点F的抛物线y2=4x上求一点M，使|MA|+|MF|为最小，并加以证明。

例3：经过抛物线y2=2px的焦点F作倾角为θ的直线，若该直线与抛物线交于P1、P2两点，（1）求|P1P2|，（2）当θ变化时，求|P1P2|的最小值。

例4：抛物线以y轴为准线，且过点M（a,b）(a≠0)，证明不论M点位置如何变化，抛物线顶点的轨迹的离心率是定值。

【备用题】如图，直线L1和L2相交于点M，L1⊥L2，若N∈L1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到L2的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，|AM|=,|AN|=3,且|BN|=6，建立适当的坐标系，求曲线的方程。

【基础训练】1、抛物线y=ax2(aA、B、C、D、2、探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知灯口直径60cm，灯深40cm，则光源到反射镜顶点的距离是：（）A、11.25cmB、5.625cmC、20cmD、10cm3、动点P到直线x+4=0的距离减去它到M（2，0）的距离之差等于2，则点P的轨迹是：A、直线B、椭圆C、双曲线D、抛物线（）4、过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于：（）A、2aB、C、4aD、5、抛物线y=的准线方程是。

6、经过P（－2，4）的抛物线的标准方程是。

【拓展练习】1、过抛物线y2=4x的焦占作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，如果x1+x2=6，那么|AB|的长是：（）A、10B、8C、6D、42、过抛物线y2=2px的焦点F作弦PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是：A、相离B、相切C、相交D、不确定（）3、过抛物线y2=2px(p>0)的焦点且垂直于x轴的弦为AB，O为抛物线顶点，则∠AOB大小：A、小于90°B、等于90°C、大于90°D、不能确定4、已知直线L：y=－1及圆C：x2+(y－2)2=1，若动圆M与L相切且与圆C外切，则动圆圆心M的轨迹方程为。

2012届高考数学第一轮复习精品试题：函数§2.1.1 函数的概念和图象经典例题：设函数f （x ）的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域： （1）H （x ）=f （x2+1）；（2）G （x ）=f （x+m ）+f （x －m ）（m ＞0）.当堂练习：1． 下列四组函数中,表示同一函数的是（ ） A．(),()f x x g x ==B．2(),()f x x g x ==C ．21(),()11x f x g x x x -==+- D．()()f x g x ==2函数()y f x =的图象与直线x a =交点的个数为（ ）A ．必有一个B ．1个或2个C ．至多一个D ．可能2个以上3．已知函数1()1f x x =+，则函数[()]f f x 的定义域是（ ）A ．{}1x x ≠ B ．{}2x x ≠- C ．{}1,2xx ≠-- D ．{}1,2x x ≠-4．函数1()1(1)f x x x =--的值域是（ ）A ．5[,)4+∞B ．5(,]4-∞C ． 4[,)3+∞D ．4(,3-∞ 5．对某种产品市场产销量情况如图所示，其中：1l 表示产品各年年产量的变化规律；2l 表示产品各年的销售情况．下列叙述： （ ）（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；（2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；（4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增．你认为较合理的是( ) A ．（1），（2），（3） B ．（1），（3），（4） C ．（2），（4） D ．（2），（3）6．在对应法则,,,x y y x b x R y R→=+∈∈中,若25→,则2-→ ， →6．7．函数()f x 对任何x R +∈恒有1212()()()f x x f x f x ⋅=+，已知(8)3f =，则f = ．8．规定记号“∆”表示一种运算，即a b a b a b R+∆++∈，、. 若13k ∆=，则函数()fx k x=∆的值域是___________．9．已知二次函数f(x)同时满足条件： (1) 对称轴是x=1； (2) f(x)的最大值为15；(3) f(x)的两根立方和等于17．则f(x)的解析式是 ．10．函数2522y x x =-+的值域是 ．11． 求下列函数的定义域 ： (1)()121x f x x =-- (2)(1)()x f x x x+=-12．求函数y x =13．已知f(x)=x2+4x+3，求f(x)在区间[t,t+1]上的最小值g(t)和最大值h(t)．14．在边长为2的正方形ABCD 的边上有动点M ，从点B 开始，沿折线BCDA 向A 点运动，设M 点运动的距离为x ，△ABM 的面积为S ． （1）求函数S=的解析式、定义域和值域； （2）求f[f(3)]的值．§2.1.2 函数的简单性质经典例题：定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数f （x ）为增函数，偶函数g （x ）在［0，＋∞ )上图象与f （x ）的图象重合.设a ＞b ＞0，给出下列不等式，其中成立的是 f （b ）－f （－a ）＞g （a ）－g （－b ） ②f （b ）－f （－a ）＜g （a ）－g （－b ）③f （a ）－f （－b ）＞g （b ）－g （－a ） ④f （a ）－f （－b ）＜g （b ）－g （－a ） A ．①④ B ．②③ C ．①③ D ．②④ 当堂练习：1．已知函数f(x)=2x2-mx+3，当()2,x ∈-+∞时是增函数，当(),2x ∈-∞-时是减函数，则f(1)等于 （ ）A ．-3B ．13C ．7D ．含有m 的变量2．函数1()x f x -=是（ ）A ． 非奇非偶函数B ．既不是奇函数,又不是偶函数奇函数C ． 偶函数D ． 奇函数3．已知函数(1)()11f x x x =++-,(2)()f x =2()33f x x x =+(4)0()()1()R x Q f x x C Q ∈=∈⎧⎨⎩,其中是偶函数的有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．奇函数y=f （x ）（x ≠0），当x ∈（0，+∞）时，f （x ）=x －1，则函数f （x －1）的图象为（ ）5．已知映射f:A →B,其中集合A={-3,-2,-1,1,2,3,4},集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象,且对任意的A a ∈,在B 中和它对应的元素是a,则集合B 中元素的个数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．76．函数2()24f x x tx t =-++在区间[0, 1]上的最大值g(t)是 ．7． 已知函数f(x)在区间(0,)+∞上是减函数,则2(1)f x x ++与()34f 的大小关系是 ．8．已知f(x)是定义域为R 的偶函数,当x<0时, f(x)是增函数,若x1<0,x2>0,且12x x <,则1()f x 和2()f x 的大小关系是 ．9．如果函数y=f(x+1)是偶函数，那么函数y=f(x)的图象关于_________对称．10．点(x,y)在映射f作用下的对应点是(,)22y x +-,若点A 在f 作用下的对应点是B(2,0),则点A 坐标是 ．13. 已知函数2122()x x f x x++=,其中[1,)x ∈+∞，(1)试判断它的单调性；(2)试求它的最小值．14．已知函数2211()a f x aa x+=-，常数0>a 。

高考数学（理科）一轮复习抛物线学案附解答学案53 抛物线导学目标： 1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想．自主梳理 1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)距离______的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的__________，直线l叫做抛物线的________． 2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点 O(0,0) 对称轴 y＝0 x＝0 焦点 F(p2，0) F(－p2，0) F(0，p2) F(0，－p2)离心率 e＝1 准线方程 x＝－p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向向右向左向上向下自我检测 1．(2010•四川)抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是( ) A．1 B．2 C．4 D．8 2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆x26＋y22＝1的右焦点重合，则p的值为( ) A．－2 B．2 C．－4 D．4 3．(2011•陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是( ) A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x 4．已知抛物线y2＝2px (p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有( ) A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3| B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2 C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3| D．|FP2|2＝|FP1|•|FP3| 5．(2011•佛山模拟)已知抛物线方程为y2＝2px (p>0)，过该抛物线焦点F且不与x轴垂直的直线AB交抛物线于A、B两点，过点A、点B分别作AM、BN垂直于抛物线的准线，分别交准线于M、N两点，那么∠MFN必是( ) A．锐角 B．直角 C．钝角 D．以上皆有可能探究点一抛物线的定义及应用例1 已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．变式迁移1 已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为( ) A.14，－1 B.14，1 C．(1,2) D．(1，－2) 探究点二求抛物线的标准方程例2 (2011•芜湖调研)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．变式迁移2 根据下列条件求抛物线的标准方程： (1)抛物线的焦点F是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点； (2)过点P(2，－4)．探究点三抛物线的几何性质例3 过抛物线y2＝2px的焦点F的直线和抛物线相交于A，B两点，如图所示． (1)若A，B的纵坐标分别为y1，y2，求证：y1y2＝－p2； (2)若直线AO与抛物线的准线相交于点C，求证：BC∥x轴．变式迁移3 已知AB是抛物线y2＝2px (p>0)的焦点弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)．求证： (1)x1x2＝p24； (2)1|AF|＋1|BF|为定值．分类讨论思想的应用例(12分)过抛物线y2＝2px (p>0)焦点F的直线交抛物线于A、B两点，过B点作其准线的垂线，垂足为D，设O 为坐标原点，问：是否存在实数λ，使AO→＝λOD→？多角度审题这是一道探索存在性问题，应先假设存在，设出A、B两点坐标，从而得到D点坐标，再设出直线AB的方程，利用方程组和向量条件求出λ. 【答题模板】解假设存在实数λ，使AO→＝λOD→. 抛物线方程为y2＝2px (p>0)，则Fp2，0，准线l：x＝－p2， (1)当直线AB的斜率不存在，即AB⊥x轴时，交点A、B坐标不妨设为：Ap2，p，Bp2，－p. ∵BD⊥l，∴D－p2，－p，∴AO→＝－p2，－p，OD→＝－p2，－p，∴存在λ＝1使AO→＝λOD→.[4分] (2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx－p2 (k≠0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D－p2，y2，x1＝y212p，x2＝y222p，由y＝kx －p2y2＝2px 得ky2－2py－kp2＝0，∴y1y2＝－p2，∴y2＝－p2y1，[8分] AO→＝(－x1，－y1)＝－y212p，－y1，OD→＝－p2，y2＝－p2，－p2y1，假设存在实数λ，使AO→＝λOD→，则－y212p＝－p2λ－y1＝－p2y1λ，解得λ＝y21p2，∴存在实数λ＝y21p2，使AO→＝λOD→. 综上所述，存在实数λ，使AO→＝λOD→.[12分] 【突破思维障碍】由抛物线方程得其焦点坐标和准线方程，按斜率存在和不存在讨论，由直线方程和抛物线方程组成方程组，研究A、D两点坐标关系，求出AO→和OD→的坐标，判断λ是否存在．【易错点剖析】解答本题易漏掉讨论直线AB的斜率不存在的情况，出现错误的原因是对直线的点斜式方程认识不足． 1．关于抛物线的定义要注意点F不在定直线l上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线． 2．关于抛物线的标准方程抛物线的标准方程有四种不同的形式，这四种标准方程的联系与区别在于： (1)p的几何意义：参数p 是焦点到准线的距离，所以p恒为正数． (2)方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向． 3．关于抛物线的几何性质抛物线的几何性质，只要与椭圆、双曲线加以对照，很容易把握，但由于抛物线的离心率等于1，所以抛物线的焦点弦具有很多重要性质，而且应用广泛．例如：已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有下列性质：|AB|＝x1＋x2＋p或|AB|＝2psin2α(α为AB的倾斜角)，y1y2＝－p2，x1x2＝p24等． (满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2011•大纲全国)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB 等于( ) A.45 B.35 C．－35 D．－45 2．(2011•湖北)将两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则( ) A．n＝0 B．n＝1 C．n＝2 D．n≥3 3．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( ) A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 4．(2011•泉州月考)已知点A(－2,1)，y2＝－4x的焦点是F，P是y2＝－4x上的点，为使|PA|＋|PF|取得最小值，则P点的坐标是( ) A.－14，1 B．(－2,22) C.－14，－1 D．(－2，－22) 5．设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上一点，若OA→•AF→＝－4，则点A 的坐标为( ) A．(2，±2) B．(1，±2) C．(1,2) D．(2，2) 二、填空题(每小题4分，共12分) 6．(2011•重庆)设圆C位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为________． 7．(2011•济宁期末)已知A、B是抛物线x2＝4y上的两点，线段AB的中点为M(2,2)，则|AB|＝________. 8．(2010•浙江)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0，2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．三、解答题(共38分) 9．(12分)已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x＋1所得的弦长为15，求抛物线方程．10．(12分)(2011•韶关模拟)已知抛物线C：x2＝8y.AB是抛物线C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ.11．(14分)(2011•济南模拟)已知定点F(0,1)和直线l1：y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C. (1)求动点C的轨迹方程；(2)过点F的直线l2交轨迹C于两点P、Q，交直线l1于点R，求RP→•RQ→的最小值．学案53 抛物线自主梳理 1．相等焦点准线自我检测 1．C 2．B [因为抛物线的准线方程为x＝－2，所以p2＝2，所以p＝4，所以抛物线的方程是y2＝8x.所以选B.] 3．B 4.C 5.B 课堂活动区例1 解题导引重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化，是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．解将x＝3代入抛物线方程 y2＝2x，得y＝±6. ∵6>2，∴A在抛物线内部．设抛物线上点P到准线l： x＝－12的距离为d，由定义知 |PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为72，即|PA|＋|PF|的最小值为72，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P坐标为(2,2)．变式迁移1 A [ 点P到抛物线焦点的距离等于点P到抛物线准线的距离，如图，|PF|＋|PQ|＝|PS|＋|PQ|，故最小值在S，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是－1，点P的坐标为14，－1.] 例2 解题导引(1)求抛物线方程时，若由已知条件可知所求曲线是抛物线，一般用待定系数法．若由已知条件可知所求曲线的动点的轨迹，一般用轨迹法；(2)待定系数法求抛物线方程时既要定位(即确定抛物线开口方向)，又要定量(即确定参数p的值)．解题关键是定位，最好结合图形确定方程适合哪种形式，避免漏解； (3)解决抛物线相关问题时，要善于用定义解题，即把|PF|转化为点P到准线的距离，这种“化斜为直”的转化方法非常有效，要注意领会和运用．解方法一设抛物线方程为 x2＝－2py (p>0)，则焦点为F0，－p2，准线方程为y＝p2. ∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，∴m2＝6p， m2＋－3＋p22＝5，解得p＝4，m＝±26. ∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±26，准线方程为y＝2. 方法二如图所示，设抛物线方程为x2＝－2py (p>0)，则焦点F0，－p2，准线l：y＝p2，作MN⊥l，垂足为N. 则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋p2，∴3＋p2＝5，∴p＝4.∴抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2.由m2＝(－8)×(－3)，得m＝±26. 变式迁移2 解(1)双曲线方程化为x29－y216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y2＝－2px (p>0)且－p2＝－3，∴p＝6.∴方程为y2＝－12x. (2)由于P(2，－4)在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为y2＝mx (m>0)或x2＝ny (n<0)，代入P点坐标求得m＝8，n＝－1，∴所求抛物线方程为y2＝8x或x2＝－y. 例3 解题导引解决焦点弦问题时，抛物线的定义有着广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．焦点弦有以下重要性质(AB为焦点弦，以y2＝2px (p>0)为例)：①y1y2＝－p2，x1x2＝p24；②|AB|＝x1＋x2＋p. 证明(1)方法一由抛物线的方程可得焦点坐标为Fp2，0.设过焦点F的直线交抛物线于A，B两点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．①当斜率存在时，过焦点的直线方程可设为 y＝kx－p2，由y ＝kx－p2，y2＝2px，消去x，得ky2－2py－kp2＝0.(*) 当k＝0时，方程(*)只有一解，∴k≠0，由韦达定理，得y1y2＝－p2；②当斜率不存在时，得两交点坐标为 p2，p，p2，－p，∴y1y2＝－p2. 综合两种情况，总有y1y2＝－p2. 方法二由抛物线方程可得焦点Fp2，0，设直线AB的方程为x＝ky＋p2，并设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B坐标满足x＝ky＋p2，y2＝2px，消去x，可得y2＝2pky＋p2，整理，得y2－2pky－p2＝0，∴y1y2＝－p2. (2)直线AC的方程为y＝y1x1x，∴点C坐标为－p2，－py12x1，yC＝－py12x1＝－p2y12px1. ∵点A(x1，y1)在抛物线上，∴y21＝2px1. 又由(1)知，y1y2＝－p2，∴yC＝y1y2•y1y21＝y2，∴BC∥x轴．变式迁移3 证明(1)∵y2＝2px (p>0)的焦点Fp2，0，设直线方程为y＝kx－p2 (k≠0)，由y＝kx－p2y2＝2px，消去x，得ky2－2py－kp2＝0. ∴y1y2＝－p2，x1x2＝＝p24，当k不存在时，直线方程为x＝p2，这时x1x2＝p24. 因此，x1x2＝p24恒成立． (2)1|AF|＋1|BF|＝1x1＋p2＋1x2＋p2 ＝x1＋x2＋px1x2＋＋＋p24. 又∵x1x2＝p24，代入上式得1|AF|＋1|BF|＝2p＝常数，所以1|AF|＋1|BF|为定值．课后练习区 1．D [方法一由y＝2x－4，y2＝4x，得x＝1，y＝－2或x＝4，y＝4. 令B(1，－2)，A(4,4)，又F(1,0)，∴由两点间距离公式得|BF|＝2，|AF|＝5，|AB|＝35. ∴cos∠AFB＝|BF|2＋|AF|2－|AB|22|BF|•|AF|＝4＋25－452×2×5 ＝－45. 方法二由方法一得A(4,4)，B(1，－2)，F(1,0)，∴FA→＝(3,4)，FB→＝(0，－2)，∴|FA→|＝32＋42＝5，|FB→|＝2. ∴cos∠AFB＝FA→•FB→|FA→|•|FB→|＝3×0＋－＝－45.] 2．C [ 如图所示，A，B两点关于x轴对称，F点坐标为(p2，0)，设A(m，2pm)(m>0)，则由抛物线定义， |AF|＝|AA1|，即m＋p2＝|AF|. 又|AF|＝|AB|＝22pm，∴m＋p2＝22pm，整理，得m2－7pm＋p24＝0，① ∴Δ＝(－7p)2－4×p24＝48p2>0，∴方程①有两相异实根，记为m1，m2，且m1＋m2＝7p>0，m1•m2＝p24>0，∴m1>0，m2>0，∴n＝2.] 3．C 4．A [过P作PK⊥l (l为抛物线的准线)于K，则|PF|＝|PK|，∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PK|. ∴当P点的纵坐标与A点的纵坐标相同时，|PA|＋|PK|最小，此时P点的纵坐标为1，把y＝1代入y2＝－4x，得x＝－14，即当P点的坐标为－14，1时，|PA|＋|PF|最小．] 5．B 6.6－1 解析如图所示，若圆C的半径取到最大值，需圆与抛物线及直线x＝3同时相切，设圆心的坐标为(a,0)(a<3)，则圆的方程为(x－a)2＋y2＝(3－a)2，与抛物线方程y2＝2x联立得x2＋(2－2a)x＋6a－9＝0，由判别式Δ＝(2－2a)2－4(6a－9)＝0，得a＝4－6，故此时半径为3－(4－6)＝6－1. 7．42 解析由题意可设AB的方程为y＝kx＋m，与抛物线方程联立得x2－4kx－4m＝0，线段AB中点坐标为(2,2)，x1＋x2＝4k＝4，得k＝1. 又∵y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝4，∴m＝0.从而直线AB：y＝x，|AB|＝2|OM|＝42.8.324 解析抛物线的焦点F的坐标为p2，0，线段FA的中点B的坐标为p4，1，代入抛物线方程得1＝2p×p4，解得p＝2，故点B的坐标为24，1，故点B到该抛物线准线的距离为24＋22＝324. 9．解设直线和抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)， (1)当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y2＝2px (p>0)，则y2＝2pxy＝2x＋1，消去y得， 4x2－(2p－4)x＋1＝0，∴x1＋x2＝p－22，x1x2＝14，(4分) ∴|AB|＝1＋k2|x1－x2| ＝＋－4x1x2 ＝5•p－222－4×14＝15，(7分) 则 p24－p＝3，p2－4p－12＝0，解得p＝6(p ＝－2舍去)，抛物线方程为y2＝12x.(9分) (2)当抛物线开口向左时，设抛物线方程为y2＝－2px (p>0)，仿(1)不难求出p＝2，此时抛物线方程为y2＝－4x.(11分) 综上可得，所求的抛物线方程为y2＝－4x或y2＝12x.(12分) 10．证明因为直线AB与x轴不垂直，设直线AB的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由y＝kx ＋2，y＝18x2，可得x2－8kx－16＝0，x1＋x2＝8k，x1x2＝－16.(4分) 抛物线方程为y＝18x2，求导得y′＝14x.(7分) 所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是 k1＝14x1，k2＝14x2，k1k2＝14x1•14x2 ＝116x1•x2＝－1.(10分) 所以AQ⊥BQ.(12分) 11．解(1)由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离，所以点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，∴所求轨迹的方程为x2＝4y.(5分) (2)由题意直线l2的方程为y＝kx＋1，与抛物线方程联立消去y 得x2－4kx－4＝0. 记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.(8分) 因为直线PQ的斜率k≠0，易得点R的坐标为－2k，－1.(9分) RP→•RQ→＝x1＋2k，y1＋1•x2＋2k，y2＋1 ＝x1＋2kx2＋2k＋(kx1＋2)(kx2＋2) ＝(1＋k2)x1x2＋2k＋2k(x1＋x2)＋4k2＋4 ＝－4(1＋k2)＋4k2k＋2k＋4k2＋4 ＝4k2＋1k2＋8，(11分) ∵k2＋1k2≥2，当且仅当k2＝1时取到等号．RP→•RQ→≥4×2＋8＝16，即RP→•RQ→的最小值为16. (14分)优品课件，意犹未尽，知识共享，共创未来！！！。