最新人教版高中数学必修3第三章《随机事件的概率》名师导航

随机事件的概率随机事件的概率【教学目标】1．正确理解随机事件的概率的概念；2．掌握互斥事件与对立事件的概率；3．会求互斥事件与对立事件的概率。

【教学重点难点】正确理解随机事件的概率的概念；掌握互斥事件与对立事件的概率；会求互斥事件与对立事件的概率。

【学前准备】：多媒体，预习例题①必然事件的概率：事件的概率：概率的基本性质【教学目标】1．正确理解事件的包含，并，交，相等事件，以及互斥事件，对立事件的概念；2．理解并掌握概率的三个基本性质；3．正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系。

【教学重难点】1．正确理解事件的包含，并，交，相等事件，以及互斥事件，对立事件的概念；2．理解并掌握概率的三个基本性质；3．正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系。

【学前准备】：多媒体，预习例题之间，从而任何事件①必然事件的概率：。

概率的意义【教学目标】1．理解概率的统计定义。

2．能用概率知识解释日常生活中的一些实例。

【教学重难点】重点：对概率统计定义的理解；难点：用概率知识解释实际问题【学前准备】：多媒体，预习例题两条平行直线间的距离【教学目标】1.理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；2.会用点到直线距离公式求解两平行线距离；能推导两平行线间的距离公式并能灵活运用。

【教学重难点】1.理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；2.会用点到直线距离公式求解两平行线距离；能推导两平行线间的距离公式并能灵活运用。

【学前准备】：多媒体，预习例题。

第三章 3.1 随机事件的概率3.1.3概率的基本性质1.了解事件间的相互关系.2.理解互斥事件、对立事件的概念.3.会用概率的加法公式求某些事件的概率．知识梳理自主学习题型探究重点突破当堂检测自查自纠知识梳理自主学习知识点一事件的关系与运算1.事件的包含关系定义一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)符号B⊇A(或A⊆B)图示注意事项①不可能事件记作∅，显然C⊇∅(C为任一事件)；②事件A也包含于事件A，即A⊆A；③事件B包含事件A，其含义就是事件A发生，事件B一定发生，而事件B发生，事件A不一定发生一定发生2.事件的相等关系定义一般地，若B⊇A，且A⊇B，那么称事件A与事件B相等符号A＝B图示注意事项①两个相等事件总是同时发生或同时不发生；②所谓A＝B，就是A，B是同一事件；③在验证两个事件是否相等时，常用到事件相等的定义3.事件的并(或和)定义若某事件发生当且仅当事件A发生事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)符号A∪B(或A＋B)图示注意事项①A∪B＝B∪A；②例如，在掷骰子试验中，事件C2，C4分别表示出现2点，4点这两个事件，则C2∪C4＝{出现2点或4点}或4.事件的交(或积)定义若某事件发生当且仅当事件A发生事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)符号A∩B(或AB)图示注意事项①A∩B＝B∩A；②例如，掷一枚骰子，事件{出现的点数为奇数}∩事件{出现的点数为偶数}＝∅且互斥事件定义若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥符号A∩B＝∅图示注意事项例如，在掷骰子试验中，记C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，则C1与C2互斥5.互斥事件和对立事件对立事件定义若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件符号A∩B＝∅，A∪B＝Ω图示注意事项A的对立事件一般记作思考(1)在掷骰子的试验中，事件A＝{出现的点数为1}，事件B＝{出现的点数为奇数}，事件A与事件B应有怎样的关系？答因为1为奇数，所以A⊆B.(2)判断两个事件是对立事件的条件是什么？答①看是不是互斥事件；②看两个事件是否必有一个发生.若满足这两个条件，则是对立事件；否则不是.知识点二 概率的几个基本性质 1.概率的取值范围(1)由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0～1之间，从而任何事件的概率在0～1之间，即 . (2) 的概率为1.(3) 的概率为0. 2.互斥事件的概率加法公式当事件A 与事件B 互斥时，A ∪B 发生的频数等于A 发生的频数与B 发生的频数之和，从而A ∪B 的频率f n (A ∪B )＝f n (A )＋f n (B )，则概率的加法公式为P (A ∪B )＝. 0≤P (A )≤1 必然事件 不可能事件 P (A )＋P (B )3.对立事件的概率公式若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝1.再由互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，得P(A)＝ .1－P(B)题型探究重点突破题型一事件关系的判断例1从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张.(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.跟踪训练1从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是()A.至少有一个红球与都是红球B.至少有一个红球与都是白球C.至少有一个红球与至少有一个白球D.恰有一个红球与恰有两个红球题型二事件的运算例2在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；解 因为事件C 1，C 2，C 3，C 4发生，则事件D 3必发生， 所以C 1⊆D 3，C 2⊆D 3，C 3⊆D 3，C 4⊆D 3.同理可得，事件E 包含事件C 1，C 2，C 3，C 4，C 5，C 6； 事件D 2包含事件C 4，C 5，C 6；事件F 包含事件C 2，C 4，C 6； 事件G 包含事件C 1，C 3，C 5.且易知事件C 1与事件D 1相等，即C 1＝D 1.(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件. 解 因为事件D 2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}， 所以D 2＝C 4∪C 5∪C 6(或D 2＝C 4＋C 5＋C 6).同理可得，D 3＝C 1＋C 2＋C 3＋C 4，E ＝C 1＋C 2＋C 3＋C 4＋C 5＋C 6， F ＝C 2＋C 4＋C 6，G ＝C 1＋C 3＋C 5.跟踪训练2盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A ＝{3个球中有一个红球，两个白球}，事件B＝{3个球中有两个红球，一个白球}，事件C＝{3个球中至少有一个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.则：(1)事件D与事件A、B是什么样的运算关系？解对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.(2)事件C与事件A的交事件是什么事件？解对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球或3个红球，故C∩A＝A.题型三对立事件、互斥事件的概率例3同时抛掷两枚骰子，求至少有一个5点或6点的概率.跟踪训练3某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手一次射击中射中的环数低于7环的概率.解设“低于7环”为事件E，则事件为“射中7环或8环或9环或10环”，E而事件“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”彼此互斥，故P( )＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，E从而P(E)＝1－P( )＝1－0.97＝0.03.E所以射中的环数低于7环的概率为0.03.求复杂事件的概率一题多解例4玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个，从中任取1球，设事件A为“取出1个红球”，事件B为“取出1个黑球”，事件C为“取出1个白球”，事件D为“取出1个绿球”.已知P(A)＝512，P(B)＝1 3，P(C)＝16，P(D)＝112.(1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率；(2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率.分析事件A，B，C，D为互斥事件，A∪B与C∪D为对立事件，A∪B∪C与D为对立事件，因此可用两种方法求解.当堂检测 1 2 3 4 51.给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率；⑤事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B).其中正确命题的个数为()CA.0B.1C.2D.3解析对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③正确，①错；又当A∪B＝A时，P(A∪B)＝P(A)，∴④错；只有事件A与B为对立事件时，才有P(A)＝1－P(B)，∴⑤错.2.对同一事件来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是()CA.互斥不对立B.对立不互斥C.互斥且对立D.不互斥、不对立解析必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A与事件B的关系是互斥且对立.3.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是()D A.A⊆D B.B∩D＝∅C.A∪C＝DD.A∪B＝B∪D解析“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，∴A∪B≠B∪D.4.从集合{a ，b ，c ，d ，e }的所有子集中任取一个，若这个子集不是集合{a ，b ，c }的子集的概率是 ，则该子集恰是集合{a ，b ，c }的子集的概率是( ) 34A.35B.25C.14D.18解析 该子集恰是{a ，b ，c }的子集的概率为P ＝1－34＝14.C5.从几个数中任取实数x，若x∈(－∞，－1]的概率是0.3，x是负数的概率是0.5，则x∈(－1,0)的概率是________.0.2解析设“x∈(－∞，－1]”为事件A，“x是负数”为事件B，“x∈(－1,0)”为事件C，由题意知，A，C为互斥事件，B＝A∪C，∴P(B)＝P(A)＋P(C)，P(C)＝P(B)－P(A)＝0.5－0.3＝0.2.课堂小结1.互斥事件和对立事件既有区别又有联系.互斥，未必对立；对立，一定互斥.2.互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B).3.求复杂事件的概率通常有两种方法：(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.本课结束。

3.3 几何概型 名师导航三点剖析一、初步体会几何概型的意义，会计算简单的几何概率 1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型，简称几何概型． 2．几何概型的概率计算公式在几何概型中，事件A 的概率的计算公式如下： P(A)=的区域长度试验的全部结果所构成和区域长度构成事件A ．3．几何概型的特点（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个； （2）每个基本事件出现的可能性相等．注意：基本事件的“等可能性”的判断是很容易被忽略的． 4．古典概型与几何概型的区别古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个．二、随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率 1．［0，1］上均匀随机数的产生 利用计算器的 RNAD 函数可以产生［0，1］上的均匀随机数，试验的结果是区间［0，1］内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的，因此，可以用计算器产生的0到1之间的均匀随机数进行随机模拟． 2．［a,b ］上均匀随机数的产生利用计算器或计算机产生［0，1］上的均匀数x=RAND ，然后利用伸缩和平移变换，x=x 1*(b-a)+a 就可以得到［a ，b ］内的均匀随机数，试验的结果是［a ，b ］上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能的． 3．随机模拟试验随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法，用计算器或计算机模拟试验，首先需要把实际问题转化为可以用随机模拟试验结果的概率模型，也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量．我们可以从以下几个方面考虑：（1）由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数组数．如长度型、角度型（一维）只用一组，面积型（二维）需要用两组．（2）由所有基本事件总体（基本事件空间）对应区域确定产生随机数的范围． （3）由事件A 发生的条件确定随机数所应满足的关系式．问题探究问题1：在随机模拟试验中，随机模拟的准确性直接影响着试验结果的准确性，如何保证试验结果更准确呢？你认为在模拟中在哪些地方应该值得注意？探究：随机模拟试验是研究随机事件概率的重要方法，用计算机或计算器模拟试验，首先把实际问题转化为可以用随机数来模拟试验结果的概率模型，也就是怎样用随机数刻画影响随机事件结果的量，我们可以从以下几个方面考虑：(1)由影响随机事件结果的量的个数确定需要产生的随机数组数，如长度型、角度型只用一组，面积型需要两组；(2)由所有基本事件总体对应区域确定产生随机数的范围； (3)由事件A 发生的条件确定随机数所应满足的关系式． 问题2：利用几何概型求概率应注意哪些问题？ 探究：应该注意到：（1）几何型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率类型； （2）几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目； （3）公式为P(A))()(体积面积的区域长度试验的全部结果所构成体积面积和区域长度构成事件、、A ；（4）计算几何概率要先计算基本事件总体与事件A 包含的基本事件对应的长度（角度、面积、体积）.精题精讲1．与长度有关的几何概率的求法例1 根长为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不少于1m 的概率有多大？ 思路解析从每一个位置剪断绳子，都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3m 的绳子上的任意一点，基本事件有无限多个，显然不能用古典概型计算，可考虑运用几何概型计算．图3-3-1解：如图3-3-1记A={剪得两段绳子长都不小于1m}，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．由于中间一段的长度为3×31=1m ， 故事件A 发生的概率P(A)= 31．答：剪得两段长度都不少于1m 的概率为31. 绿色通道分清古典概型与几何概型的关键，就是看：（1）各基本事件发生的可能性是不是相等的；（2）基本事件的个数是有限个还是无限个．2．与角度有关的几何概率的求法例2 如图3-3-2，在直角坐标系内，射线OT 落在60°角的终边上，任作一条射线OA ，求射线OA 落在∠xOT 内的概率．图3-3-2思路解析以O 为起点作射线OA 是随机的，因而射线OA 落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT 内的概率只与∠xOT 的大小有关，符合几何概型的条件． 解：记B={射线OA 落在∠xOT 内}， ∵∠xOT=60°，∴P(B)=︒︒36060=61． 绿色通道该题关键是弄清过O 作OA 可以在平面内任意作，而且是均匀的，因而基本事件的发生是等可能的．3．与面积有关的几何概型的求法例3 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架贮藏石油，假设在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是多少？ 思路解析石油在1万平方千米的海域大陆架中的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作事件的区域面积，由几何概型公式可求得概率． 解：记C ＝｛钻到油层面｝，则 P(C)=所有海域大陆架的面积贮藏石油的大陆架面积=100040=0.004．绿色通道把实际问题抽象成数学模型，要搞清本模型是与长度有关还是与面积有关，这需要同学们注意积累与总结．4．与体积有关的几何概型的方法例4 在1升高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？ 思路解析病种子在这一升种子中的分布可以看作是随机的，取得的10毫升种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率． 解：记D ＝｛取出10毫升麦种含有麦锈病种子｝，则P(D)=所有种子的体积取出的种子体积=100010=0.01．绿色通道要注意使用“几何概型”的条件：等可能性与基本事件的无限性．例5 甲、乙两人相约10天之内在某地会面，约定先到的人等候另一人3天以后方可离开，若他们在期限内到达目的地是等可能的，则此两人会面的概率为____________．图3-3-3思路解析将问题转化为几何概型求解．设甲、乙两人分别在第x 、y 天到达某地，则0≤x ≤10,0≤y ≤10，两人会面的条件是|x-y|≤3．如图3-3-3所示，区域Ω是边长为10的正方形，图中介于两直线x-y=±3之间的阴影表示事件A ：“此两人会面”，问题可以理解为求出现在图中阴影部分的概率． 于是Ωμ=10×10=100，μa =102-(10-3)2=51．故所求概率为P(A)=ΩμμA =10051． 答案：10051 绿色通道把两个时间分别用x 、y 两个坐标表示，构成平面内的点(x,y)，从而把时间这个一维长度问题转化为平面图形的二维面积问题，转化成面积型几何概率．5．用随机模拟法估算几何概率例6 取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？ 思路解析在任意位置剪断绳子，则剪断位置到一端点的距离取遍［0，3］内的任意数，并且每一个实数被取到都是等可能的，因此在任意位置剪断绳子的所有结果（基本事件）对应［0，3］上的均匀随机数，其中取得的［1，2］内的随机数就表示剪断位置与端点距离在［1，2］内，也就是剪得两段长都不小于1m ，这样取得的［1，2］内的随机数个数与［0，3］内个数之比就是事件A 发生的频率． 解法一：（1）利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数，a 1=RAND ； （2）经过伸缩变换，a=a 1*3；（3）统计出［1，2］内随机数个数N 1和［0，3］内随机数个数N ； （4）计算频率f n (A)=NN 1，即为概率P(A)的近似值．解法二：做一个带有指针的圆盘，把圆周三等分，标上刻度［0，3］（这里3和0重合），转动圆盘记下指针指在［1，2］（表示剪断绳子位置在［1，2］范围内）的次数N 1及试验总次数，则f n (A)=NN 1，即为概率P(A)的近似值． 绿色通道用随机数模拟的关键是把实际问题中事件A 及基本事件总体对应的区域转化为随机数的范围，解法二用转盘产生随机数，这种方法可以亲自动手操作，但费时费力，试验次数不可能很大，解法一用计算机产生随机数，可以产生大量的随机数，又可以自动统计试验的结果，同时可以在短时间内多次重复试验，可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识． 6．用随机模拟法近似计算不规则图形的面积例7 利用随机模拟法计算图3-3-4中阴影部分（曲线y=2x与x 轴，x=±1围成的部分）的面积．图3-3-4思路解析在坐标系中画出正方形，用随机模拟的方法可以求出阴影部分与正方形面积之比，从而求得阴影部分面积的近似值． 解：（1）利用计算机产生两组［0，1］上的均匀随机数，a 1=RAND ，b 1=RAND ；（2）进行平移和伸缩变换，a=(a 1-0.5)*2,b=b 1*2，得到一组［－1，1］上的均匀随机数和一组［0，2］上的均匀随机数；（3）统计试验总次数N 和落在阴影内的点数N 1〔满足条件b<2a的点(a,b)的个数〕； （4）计算频率NN 1，即为点落在阴影部分的概率的近似值； （5）用几何概率公式求得点落在阴影部分的概率为P=4S ，∴N N 1=4S .∴S=NN 14，即为阴影部分的面积的近似值．绿色通道解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式分别求得几何概率，然后通过解方程求得阴影部分面积的近似值．例8 某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，则任意一人在该车站等车时间少于3分钟的概率为 （ ） A ．53 B ．21 C ．52 D ．41 思路解析利用几何概型，把问题转化为几何概率问题.此题是关于t 的一维函数，所以是与长度相关的几何概型．图3-3-5设A ＝“候车时间不超过3min ”，X 表示乘客来到车站的时刻，那么每一个试验结果可表示为x ，假定乘客到达车站后来到的一辆公共汽车时刻为t ，据题意，乘客必然在(t-5,t ］内来到车站，故Ω={x|t-5<x ≤t}，欲乘客候车时间不超过3min ，必有t-3≤x ≤t ，所以A={x|t-3≤x ≤t}. 所以P(A)=的度量的度量U A = 53=0.6.答案：A例9 如果在一个5万平方千米的海域里有表面积达40平方千米的大陆架贮藏着石油，假如在这个海域里随意选定一点钻探，问钻到石油的概率为_________． 思路解析此题是与面积相关的几何概型，满足几何概型的特点，可用面积比求解．图3-3-6如图3-3-6，设Ω为海域，A 为贮藏着石油的大陆架，表示由于选点的随机性，可以认为该海域中各点被选中的可能性是一样的，因而所求概率自然认为等于贮油海域的面积与整个海域面积之比，即等于500040=0．0008． P=S S A =500040=0.0008． 答案：0．0008例10 在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条弦，则其长超过圆内接等边三角形的边长的概率是多少？ 思路解析在圆上随机取两点，可以看成先取定一点后，再随机地取另一点，如图337，可取定B 点，当另一点E 取在劣弧CD 上时，|BE|>|BC|．图3-3-7解：记事件A={弦长超过圆内接等边三角形的边长}，取圆内接等边△BCD 的顶点B 为弦的一个端点，当另一点在劣弧CD 上时，|BE|>|BC|，而劣弧CD 的弧长是圆周长的31，所以由几何概率公式得P(A)=31． 答：弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是31． 变式1 在半径为1的圆内一条直径上任意过一点作垂直于直径的弦，求弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率．图3-3-8解：记事件A={弦长超过圆内接等边三角形的边长}，如图3-3-8，不妨在过等边△BCD 的顶点B 的直径BE 上任取一点作垂直于直径的弦，显然当弦为CD 时就是边长，弦长大于|CD|长的条件是圆心O 到弦的距离小于|OF|，由几何概率公式得P(A)=2221=21 答：弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是21．变式2 以半径为1的圆内任一点为中点作弦，求弦长超过圆内接等边三角形边长的概率．图3-3-9解：记事件A={弦长超过圆内接等边三角形的边长}，如图3-3-9，作△BCD 的内切圆，当以小圆上任一点作弦时，弦长等于等边三角形的边长，所以弦长超过内接三角形边长的充要条件是弦的中点在小圆内，小圆半径为21，所以由几何概率公式得 P(A)=221)21(⨯ππ=41． 答：弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是41． 绿色通道例题10及变式1、变式2都是在圆内任意作弦使得弦长超过圆内接等边三角形的边长，但三个题目中由于“等可能”的含义不同，得到的概率不同，因而在解决几何概率问题时，必须找准观察角度，明确随机选取的含义，判断好基本事件的等可能性．。