广东省各地2014届高三数学上学期 期末考试试题分类汇编 统计与概率

5π12-π32Oy x广东省各地2014届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编三角函数一、选择、填空题题1、（佛山市2014届高三教学质量检测（一））设函数sin 23cos2y x x =+的最小正周期为T ,最大值为A ,则A ．T π=,2A =B . T π=,2A =C ．2T π=,2A =D ．2T π=,2A = 答案：C2、（广州市2014届高三1月调研测试）．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图1所示，则函数()y f x =对应的解析式为 A ．sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭答案：A3、（增城市2014届高三上学期调研）已知3177cos ,45124x x πππ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，则2sin 22sin 1tan x xx+=-（A ）2875- （B ）2875 （C ）21100- （D ）21100答案：A4、（省华附、省实、广雅、深中四校2014届高三上学期期末）函数()sin()(0,0)f x A x A ωθω=+>>的部分图象如图所示，则()f x = A ．π2sin(2)6x - B. π2sin(2)3x -C. π2sin(4)3x +D. π2sin(4)6x +答案：B5、（江门市2014届高三调研考试）在ABC ∆中，3=c ，045=A ，075=B ，则=a ．答案：26、（汕头市2014届高三上学期期末教学质量监测）已知函数①x x y cos sin +=，②x x y cos sin 22=，则下列结论正确的是（ ）A ．两个函数的图象均关于点(,0)4π-成中心对称B ．两个函数的图象均关于直线4x π=-对称C ．两个函数在区间(,)44ππ-上都是单调递增函数D ．可以将函数②的图像向左平移4π个单位得到函数①的图像答案：C7、（中山市2014届高三上学期期末考试）已知20πα<<,=+)6cos(πα53,则=αcos答案：410+8、（珠海市2014届高三上学期期末）已知1cos 3ϕ=-()0ϕπ<<,则sin 2ϕ=答案：9、（珠海市2014届高三上学期期末）在△ABC 中，A ：B ：C ＝1：2：3，则a ：b ：c 等于（ ） A 、1：2：3 B 、3：2：1C 、1 2D 、2 1 答案：C10、（珠海一中等六校2014届高三第三次联考）如果函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线8x π=-对称，那么a 等于（ C ）A.2B.－2C.1D.－1答案：C 二、解答题 1、（佛山市2014届高三教学质量检测（一））在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且a =,B C =. (Ⅰ) 求cos B 的值；(Ⅱ) 设函数()()sin 2f x x B =+,求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【解析】解法1：(Ⅰ) 因为B C =，所以c b =，……………………………………2分又a =， 所以222cos 2a c b B ac+-=， ……………………………3分23b = ………………………………………………4分=……………………………………………5分 解法2：∵a =，∴sin A B =…………………………………2分∵B C =，且A B C ++=π，所以sin 2B B =………………………3分又2sin cos B B B =……………………4分 ∵sin 0B ≠，∴cos B =.………………………………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得sin B ==，…………………………………………7分 （注：直接得到sin B =） 所以sin 63f B ππ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ……………………………………………8分 sin cos cos sin 33B B ππ=+ ……………………………10分12=………………………………11分=………………………………………12分 2、（广州市2014届高三1月调研测试）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且cos 2A C += （1）求cos B 的值；（2）若3a =，b =c 的值．解：（1）在△ABC 中，A B C π++=．………………………………………1分所以coscos 22A C Bπ+-= …………………………………………………2分sin23B ==．………………………………………………3分 所以2cos 12sin2BB =- …………………………………………………………5分 13=．………………………………………………………………7分（2）因为3a =，b =1cos 3B =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，……………………………………………9分 得2210c c -+=．…………………………………………………………………11分 解得1c =．………………………………………………………………………12分 3、（增城市2014届高三上学期调研） 已知函数()()2sin cos sin .f x x x x =-（1）当0x π<<时，求()f x 的最大值及相应的x 值； （2）利用函数y=sin x 的图象经过怎样的变换得到f(x)的图象.解（1）()()22sin cos sin 2sin cos 2sin f x x x x x x x =-=- 1分sin 2cos 21x x =+- 3分214x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 5分∵0x π<<，∴92444x πππ<+<6分 所以当242x ππ+=时，即8x π=时 7分f(x)1所以f(x)1，相应的x 的值8x π= 8分（2）函数y=sin x 的图象向左平移4π个单位， 9分 把图象上的点横坐标变为原来的12倍， 10分11分最后把图象向下平移1个单位得到y 214x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象 12分方法2：把函数y=sin x 图象上的点横坐标变为原来的12倍 9分 把函数x 的图象向左平移8π个单位， 10分11分最后把图象向下平移1个单位得到y 214x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象 12分4、（省华附、省实、广雅、深中四校2014届高三上学期期末）在ABC 中,三个内角,,A B C 所对的边分别为,a ,.b c222)2b c a bc +-=，2B A =. (1) 求tan A ； (2) 设ππ(2sin(),1),(sin(),1),44m B n B =-=+-求m n ⋅的值. 解： (1)2223()2,b c a bc +-=222cos2b c a A bc +-∴== (2)分0π,A <<sinA ∴==…………………………………………… 4分sintan cos AA A== ………………………………………………………6分(2)(解法一)ππ(2sin(),1),(sin(),1),44m B n B =-=+-ππ2sin()sin()144m n B B ∴⋅=-+- (7)分2(cos sin )(cos sin )122B B B B =⨯-⨯+-22cos sin 1B B =-- (9)分22sin .B =- (10)分2B A =,sin sin 22sin cos 3B A A A ∴===16.9m n ⋅=- (12)分(2)(解法二)ππ(2sin(),1),(sin(),1),44m B n B =-=+-ππ2sin()sin()144m n B B ∴⋅=-+- (7)分πππ2cos ()sin()1244B B ⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦ππ2cos()sin()144B B =++-πsin(2)12B =+-cos 21B =- (9)分22sin .B =- (10)分2B A =,sin sin 22sin cos B A A A ∴===16.9m n ⋅=- (12)分(2)(解法三)2B A =,sin sin 22sin cos B A A A ∴===21cos cos 212sin .3B A A ==-=- (9)分π4(2sin(),1)sin ),1)(,1),43m B B B ∴=-=-=- (10)分π4(sin(),1)(cos ),1)(1).426n B B B =+-=+-=- (11)分4161.39m n +∴⋅=--=- ………………………12分5、（江门市2014届高三调研考试）已知1)2cos 2sin 3(2cos2)(-+=xx x x f ，R x ∈． ⑴ 求)(x f 的最小正周期；⑵ 设α、)2, 0(πβ∈，2)(=αf ，58)(=βf ，求)(βα+f 的值． 解：⑴x x x f cos sin 3)(+=……2分，)6sin(2π+=x ……4分，)(x f 的最小正周期π2=T ……5分⑵因为2)6sin(2=+πα，1)6sin(=+πα，3266ππαπ<+<……6分， 所以26ππα=+，3πα=……7分，58)6sin(2=+πβ，54)6sin(=+πβ，3266ππβπ<+<……8分，因为2354<，所以266ππβπ<+<，53)6cos(=+πβ……9分，所以ββππβαβαcos 2)2sin(2)6sin(2)(=+=++=+f ……10分， 6sin)6sin(26cos)6cos(2]6)6cos[(2ππβππβππβ+++=-+=……11分，5433+=……12分。

广东省各地2014届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编统计与概率一、选择题 1、（惠州市2014届高三第三次调研考）某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为（ ）A . 6万元B ．8万元C ．10万元D ．12万元答案：C 2、（珠海市2014届高三上学期期末）学校为了解学生课外读物方面的支出情况，抽取了n 个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10，50）（单位：元），其中支出在[10，30）（单位：元）的同学有33人，其频率分布直方图如右图所示，则支出在[40，50）（单位：元）的同学人数是（ ） A 、100 B 、120 C 、30 D 、300 答案：C 二、填空题 1、（佛山市2014届高三教学质量检测（一））一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为19,则总体中的个体数为 答案：180 2、（广州市2014届高三1月调研测试）如图3，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数2y x 图象下方的点构成的区域．在D 内随机取一点，则该点落在E 中的概率为 答案：133、（广东省华附、省实、广雅、深中四校2014届高三上学期期末）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生． 答案：154、（揭阳市2014届高三学业水平考试）图（2）是甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图，其中一个数字被污损；则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 答案：455、（中山市2014届高三上学期期末考试）如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为 375 颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为 平方米.（用分数作答） 答案：83三、解答题 1、（佛山市2014届高三教学质量检测（一））佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学,现测得排球队10人的身高(单位:cm )分别是:162、170、171、182、163、158、179、168、183、168,篮球队10人的身高(单位:cm )分别是:170、159、162、173、181、165、176、168、178、179. (Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图4所示的茎叶图中,并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)；(Ⅱ) 利用简单随机抽样的方法,分别在两支球队身高超过170cm 的队员中各抽取一人做代表,设抽取的两人中身高超过178cm 的人数为X ,求X 的分布列和数学期望.【解析】(Ⅰ)茎叶图如图所示,篮球队的身高数据方差较小. ……4分 （注：写对茎叶图2分，方差结论正确2分）(Ⅱ)排球队中超过170cm 的有4人,超过178cm 的有3人, 篮球队中超过170cm 的有5人,超过178cm 的有2人, （注：正确描述人数各2分，共计4分）所以X 的所有可能取值为2,1,0则……………………5分 （注：正确写出X 的值1分）203)0(15141311===C C C C X P , ()1P X ==2011151413131211=+C C C C C C , 排球队 篮球队18 17 16 15 10 3 6 8 92 5 893 2 9 1 0 8 8 3 2 8 排球队 篮球队图4()2P X ==20615141213=C C C C ,…………………………………………………………10分 （注：正确写出概率表达式各1分，概率计算全部正确1分，共计4分，若概率计算错误超过两个，扣1，共计3分）所以X 的分布列为……………………11分 所以X 的数学期望20232062201112030=⨯+⨯+⨯=EX .………………………12分 2、（广州市2014届高三1月调研测试）空气质量指数PM2.5 (单位:3/m μg )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重．PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：从甲城市2013年9月份的30天中随机抽取15天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如图5所示．（1）试估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数；（2）在甲城市这15个监测数据中任取2个，设X 为空气质量类别为优或良 的天数，求X 的分布列及数学期望．ks5u解：（1）由茎叶图可知，甲城市在2013年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或良的天数为5天．……………………………………………………1分所以可估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10天．…2分（2）X 的取值为0，1，2，………………………………………………………3分因为()02510215C C 30C 7P X ===，…………………………………………………5分 ()11510215C C 101C 21P X ===，………………………………………………7分3 2 0 45 56 47 6 9 78 8 0 79 1 8 0 9图5()20510215C C 22C 21P X ===．……………………………………9分所以X 的分布列为：所以数学期望321221170=⨯+⨯+⨯=EX ．3、（增城市2014届高三上学期调研）在一个盒子里装有6枝圆珠笔，其中3枝一等品，2枝二等品，1枝三等品.（1）从盒子里任取3枝恰有1枝三等品的概率多大？；（2）从盒子里任取3枝，设ξ为取出的3枝里一等品的枝数，求ξ的分布列及数学期望.解.（1）2536C P C = 2分541216542321⨯⨯==⨯⨯⨯⨯ 4分 （2）ξ=0,1,2,3, 5分P(ξ=0) 3336120C C ==，P(ξ=1) 123336920C C C ⨯==，P(ξ=0) 213336920C C C ⨯==， P(ξ=0) 3336120C C ==（各1分） 9分所以ξ的分布列是ξ0 1 2 3P120 920 920 12010分 E(ξ)=0×120+1×920+2×920+3×120=3212分 4、（省华附、省实、广雅、深中四校2014届高三上学期期末）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数i,i,2,2,--其中i 是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验…………10分的结果互不影响）．（1）求事件A “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率与事件B “在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率；（2）在两次试验中，记两次得到的数分别为,a b ，求随机变量a b ξ=⋅的分布列与数学期望.E ξ 解：（1）21()42P A ==， ……………………………………………………………2分 04113441111511()1()1()()()()1.22221616P B P B C C ⎡⎤=-=-+=-=⎢⎥⎣⎦………… 5分 （2）,,a b ξ的可能取值如下左表所示：i - i 2- 2 i - 11 2 2 i 1 1 2 2 2- 2 2 4 4 2 2244……………………………………………………………6分由表可知：418141(1),(2),(4).164162164P =P =P =ξξξ====== ………………9分 所以随机变量X 的分布列为（如上右表） …………………………………… 10分 所以1119()124.4244E =ξ⨯+⨯+⨯= ………………………………………………12分 5、（惠州市2014届高三第三次调研考）甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为221,,332，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分． （1）求随机变量ξ的分布列和数学期望；（2）用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求()P AB ．解：（1）解法一：由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且 …………1分30321(0)1327P C ξ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，213222(1)1339P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，…………3分223224(2)1339P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33328(3)327P C ξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭．…………5分 abξ所以ξ的分布列为ξ的数学期望为124801232279927E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．…………7分解法二：根据题设可知，2~33B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，…………3分 因此ξ的分布列为3333222()1333k kkk k P k C C ξ-⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0123k =，，，．……5分 因为2~33B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以2323E ξ=⨯=．…………7分 （2）解法一：用C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D 表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB CD =，且C D ，互斥，又…………8分22322211121111()133332332332P C C ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦4103=，…10分333521114()33323P D C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…………11分由互斥事件的概率公式得4551043434()()()333243P AB P C P D =+=+==．………12分6、（揭阳市2014届高三学业水平考试）根据空气质量指数AQI （为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:某市2013年10月1日—10月30日，对空气质量指数进行监测,获得数据后得到如图（4）的条形图:50 51100 101150 151200 300 一级 二级 三级 四级 五级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染绿色 黄色 橙色 红色 紫色图（4）六级五级四级三级二级一级空气质量级别2天数64810（1）估计该城市本月(按30天计)空气质量类别为中 度污染的概率；（2）在上述30个监测数据中任取2个,设ξ为空气 质量类别颜色为紫色的天数,求ξ的分布列.解：（1）由条形统计图可知,空气质量类别为中度污染的天数为6, -------------1分所以该城市本月空气质量类别为中度污染的概率61305P ==.---------------------4分（2）随机变量ξ的可能取值为0,1,2,-----------------------------------------------5分则()22623065087C P C ξ===,-----------------------------------------------------------7分()114262301041435C C P C ξ===,----------------------------------------------------------9分 ()2423022145C P C ξ===-------------------------------------------------------11分 所以ξ的分布列为:ξ 0 1 2 P6587 104435 2145--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------12分 7、（汕头市2014届高三上学期期末教学质量监测）2013年2月20日,针对房价过高,国务院常务会议确定五条措施(简称“国五条”).为此,记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查,随机抽取了60人,作出了他们的月收入的频率分布直方图(如图),同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表(如下表):(I)试根据频率分布直方图估计这60人的平均月收入;(Ⅱ)若从月收入(单位:百元)在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取3人进行追踪调查,记选中的6人中不赞成“国五条”的人数为X,求随机变量X 的分布列及数学期望.解：（Ⅰ）这60人的月平均收入为：5.4310)01.06002.050025.040015.030015.020(=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（百元）（5分）月收入(百元) 赞成人数 [15,25) 8 [25,35) 7 [35,45) 10 [45,55)6 [55,65)2[65,75) 1（Ⅱ）根据频率分布直方图可知道：………………（7分）……（12分）(每算对一个一分，正确给出x 的取值1分，共5分)………………（14分）（正确写出分布列1分，正确算出期望值1分）8、（肇庆市2014届高三上学期期末质量评估） 一次考试中，5名同学的语文、英语成绩如下表所示：（1） 根据表中数据，求英语分y 对语文分x 的线性回归方程；（2） 要从4名语文成绩在90分（含90分）以上的同学中选出2名参加一项活动，以ξ表示选中的同学的英语成绩高于90分的人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望.E ξ（附:线性回归方程y bx a =+中，121()(),,()niii nii x x y y b a y bx x x ==--==--∑∑其中,x y 为样本平均值，ˆˆ,ba 的值的结果保留二位小数.） 【解析】(1) 879091929591,5x ++++== （1分）868989929490,5y ++++== （2分）2522221()(4)(1)01434,ii x x =-=-+-+++=∑51()()(4)(4)(1)(1)0(1)124435,iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯=∑351.03,34b =≈ ˆ90 1.0391 3.73a yb x =-≈-⨯= 故回归直线方程为 1.03 3.73y x =- (6分) (2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2.22241(0);6C P C ξ=== （7分） 1122242(1);3C C P C ξ===（8分）22241(2).6C P C ξ=== （9分）故X 的分布列为012 1.636E ξ∴=⨯+⨯+⨯= （12分）9、（中山市2014届高三上学期期末考试）某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（I ）估计这次测试数学成绩的平均分；ks5u（II ）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ．解：（I ）利用中值估算抽样学生的平均分：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05 =72.……………（3分） 众数的估计值为75分……………（5分）所以，估计这次考试的平均分是72分． ……………（6分） （注：这里的众数、平均值为估计量，若遗漏估计或大约等词语扣一分）（II ）从95， 96，97，98，99，100中抽2个数的全部可能的基本结果数是2615C =， 有15种结果，学生的成绩在[90，100]段的人数是0.005×10×80=4（人），这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是246C =， 两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率62.155P == ……………（8分） 随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，则有．∴3323()()(),0,1,2,355k k k P k C k ξ-===∴变量ξ的分布列为：…………（10分）E ξ8365454601231251251251255=⨯+⨯+⨯+⨯= …………（12分）解法二. 随机变量ξ满足独立重复试验,所以为二项分布, 即2~(3,)5B ξ………（10分）26355E np ξ==⨯= …………（12分）11、（珠海市2014届高三上学期期末） 答案： 10、（珠海市2014届高三上学期期末）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物。

概率和统计一．基础题组1.【广东省中山市高三级2013-2014学年第一学期期末统一考试】在某次测量中得到的A样本数据如下:82, 84, 84, 86, 86, 86, 88, 88, 88, 88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．众数B．平均数C．中位数D．标准差2.【广东省广州市2014届高三年级调研测试】如图1是2013年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为（）A.85、84B.84、85C.86、84D.84、867 8 9944647 3图1【答案】A【解析】试题分析：由茎叶图可知，去掉一个最高分和一个最低分后，剩下的数为84、84、84、86、87，众数为84，平均数8438687855x⨯++==，故选A.考点：1.茎叶图；2.平均数与众数3.【广东省揭阳市2014届高三学业水平考试】某商场有四类食品,食品类别和种数见下表:现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（）类别粮食类植物油类动物性食品类果蔬类种数40103020A.7B.6C.5D.44.【广东省珠海市2013-2014学年第一学期高三学生学业质量监测】】学校为了解学生课10,50外读物方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[)10,30（单位：元）的同学有33人，其频率分布直方图如下（单位：元），其中支出在[)40,50（单位：元）的同学人数是（）图所示，则支出在[)A.100B.120C.30D.300考点：1.频率分布直方图；2.分层抽样5.【广东省佛山市普通高中2014届高三教学质量检测一】一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知乙层中每个个体被抽到的概率都为19,则总体中的个体数为.6.【广东省揭阳市2014届高三学业水平考试】图（2）是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩的茎叶图，其中一个数字被污损；则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为.二．能力题组1.【广东省广州市2014届高三年级调研测试】在边长为2的正方形ABCD 内部任取一点M ，则满足ο90>∠AMB 的概率为_______.【答案】8π. 【解析】试题分析：以AB 为直径作圆，则圆在正方形ABCD 内的区域为半圆，其面积211122S ππ=⨯⨯=，且满足条件ο90>∠AMB 的点M 在半圆内，故满足ο90>∠AMB 的概率为21228ABCDS P S ππ===. DCBA考点：古典概型三．拔高题组1.【广东省中山市高三级2013-2014学年第一学期期末统一考试】某学校餐厅新推出A ，B ，C ，D 四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下. 为了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：（Ⅰ）若同学甲选择的是A款套餐，求甲的调查问卷被选中的概率；（Ⅱ）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面谈，求这两人中至少有一人选择的是D款套餐的概率.2.【广东省佛山市普通高中2014届高三教学质量检测一】佛山某中学高三(1)班排球队和篮球队各有10名同学,现测得排球队10人的身高(单位:cm)分别是:162、170、171、182、163、158、179、168、183、168,篮球队10人的身高(单位:cm)分别是:170、159、162、173、181、165、176、168、178、179.(Ⅰ) 请把两队身高数据记录在如图4所示的茎叶图中,并指出哪个队的身高数据方差较小(无需计算)；(Ⅱ) 现从两队所有身高超过178cm的同学中随机抽取三名同学,则恰好两人来自排球队一人来自篮球队的概率是多少?3.【广东省华附、省实、广雅、深中2014届高三上学期期末联考】对某电子元件进行寿命追踪调查，所得情况如下频率分布直方图.（1）图中纵坐标0y 处刻度不清，根据图表所提供的数据还原0y ；（2）根据图表的数据按分层抽样，抽取20个元件，寿命为100~300之间的应抽取几个； （3）从（2）中抽出的寿命落在100~300之间的元件中任取2个元件，求事件“恰好有一个寿命为100~200，一个寿命为200~300”的概率.排球队 篮球队图463()105P A ∴==， 答：事件“恰好有一个寿命为100~200，另一个寿命为200~300”的概率为35. 考点：1.数据频率分布直方图；2.随机事件的概率.4.【广东省广州市2014届高三年级调研测试】某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动.他们的年龄在25岁至50岁之间.按年龄分组：第1组[)25,30，第2组[)30,35，第3组[)35,40，第4组[)40,45，第5组[]45,50，得到的频率分布直方图如图5所示.下表是年龄的频率分布表.区间[)25,30 [)30,35 [)35,40 [)40,45 []45,50人数25ab（1）求正整数a 、b 、N 的值；（2）现要从年龄较小的第1、2、3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1、2、3组的人数分别 是多少？（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率.图55.【广东省揭阳市2014届高三学业水平考试】根据空气质量指数AQI （为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:（4）的条形图（1）估计该城市本月（按30天计）空气质量类别为中度污染的概率； （2）在空气质量类别颜色为紫色和褐红色的数据中任取2个，求至少有一个数据反映的空气质量类别颜色为褐红色的概率.图（4）六级五级四级三级二级一级空气质量级别2天数64810【答案】（1）15；（2）35. 【解析】试题分析：（1）从频率分布条形图中找出空气质量类别为中度污染的天数，从而确定该城市本月中度污染的概率；（2）将空气质量类别颜色为紫色和褐红色的数据分别进行编号，利用列举法列举出全部的基本事件，并找出问题涉及的事件所包含的基本事件总数，最后利用古典概型的概率计算公式计算相应事件的概率.AQI （数值）050:51100:101150:151200:201300:300空气质量级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级 空气质量类别优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 空气质量类别颜色绿色黄色橙色红色紫色褐红色6.【广东省珠海市2013-2014学年第一学期期末高三学业质量检测】城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取155（单位：min）：组别候车时间人数0,52一[)5,106二[)10,154三[)15,202四[)20,251五[]（1）求这15名乘客的平均候车时间；（2）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（3）若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率.。

一．基础题组1. 【广东省广州市执信、广雅、六中2014 届高三10 月三校联考( 文）】对某商铺一个月30 天内每日的顾客人数进行了统计，获得样本的茎叶图（以下图）众数、极差分别是（）A．46，45， 56B． 46，45，53C．47，45， 56 ，则该样本的中位数、D． 45，47， 532. 【福建省安溪一中、德化一中2014 届高三摸底联考数学文】如图,把一个单位圆八平分，某人向圆内投镖，则他投中暗影地区的概率为 ( )(A) 1 1 3 1(B) (C)8(D)8 4 3影部分 ( 即构成事件的面积 ) 占了 3 部分，试验的所有结果是8 部分 . 故他投中暗影地区的概率为.38考点：几何概型 .3. 【湖北省武汉市2014 届高三 10 月调研测试数学（文）】某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分红 6 组： [40， 50)， [50， 60)， [60，70)， [70，80)， [80 ， 90)， [90， 100] 加以统计，获得以下图的频次散布直方图．已知高一年级共有学生600 名，据此预计，该模块测试成绩许多于60 分的学生人数为（）A． 588B． 480C． 450D． 1204. 【湖北省武汉市2014 届高三 10 月调研测试数学（文）】如图，在矩形地区ABCD的A，C两点处各有一个通讯基站，假定其信号的覆盖范围分别是扇形地区ADE和扇形地区CBF（该矩形地区内无其余信号根源，基站工作正常）．若在该矩形地区内随机地选一地点，则该地址无信号的概率是（）届高三 10 月调研测试数学（文）】某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3 3 4：：，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50 的样本，则应从高二年级抽取名学生．6.【浙江省温州八校 2014 届高三上学期期初联考数学文试题】设会合P { 0,1,2} ，x P且y P ，则点( x, y)在圆x2 y2 4 内部的概率为.故点(x, y)在圆x2y 24内部的概率为4.故答案为4．99考点：几何概型概率的计算7. 【连云港赣榆清华园双语学校高三年级10 月月考 】若在区间 ( 1,1)内任取实数 a ，在区间(0,1) 内任取实数 b ，则直线 ax by 0与圆(x 1) ( y 2) 1 订交的概率为 ．22二．能力题组1. 【浙江温州市十校结合体2014 届高三上学期期初联考数学（文科） 】 已知函数f (x) 1 x 3ax 2 b 2 x 1 ，若 a 是从 ，， 三个数中任取的一个数，b 是从 ，， 三12 301 23个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（ ） A. 7B. 1C. 5D. 2939 32.【河北省邯郸市2014 届高三 9 月摸底考试数学文科】如图，大正方形靶盘的边长为5，四个全等的直角三角形围成一个小正方形，即暗影部分．较短的直角边长为3，现向大正方形靶盘扔掷飞镖，则飞镖落在暗影地区的概率为（）A. 1B. 4C. 1D. 925 25 5 253.【江苏省阜宁中学2014 届高三年级第一次调研考试】下列图茎叶图是甲、乙两人在 5 次综合测评中成绩，此中一个数字被污损，则甲的均匀成绩超出乙的均匀成绩的概率为.三．拔高题组1.【广东省广州市执信、广雅、六中2014 届高三10 月三校联考 ( 文）】（本小题满分12 分）某市为加强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从切合条件的志愿20,25，第 2 组25,30 ，第 3组30,35 ，第者中随机抽取100 名按年纪分组：第 1 组4组35,40 ，第 5 组[40, 45]，获得的频次散布直方图以下图.（1）若从第3， 4， 5 组顶用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4， 5 组各抽取多少名志愿者？（2）在（ 1）的条件下，该县决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验，求第 4 组起码有一名志愿者被抽中的概率.2.【福建省安溪一中、德化一中2014 届高三摸底联考数学文】（此题满分12分）从一批苹果中，随机抽取50 个作为样本，其重量（单位：克）的频数散布表以下：分组（重量）[80,85) [85,90) [90,95) [95,100)频数（个） 5 10 20 15（Ⅰ）依据频数散布表计算苹果的重量在[90， 95 的频次；（Ⅱ）用分层抽样的方法从重量在[80 ，85 和 [95 ，100 的苹果中共抽取 4 个，此中重量在[80，85 的有几个？(Ⅲ )在（ 2）中抽出的 4 个苹果中，任取 2 个，求重量在 [80，85)和 [95， 100)中各有 1 个的概率。

2014年广东省高考大题训练（二） 统计与概率（附答案及评分标准）1．（本小题满分13分）某校高三年级在5月份进行一次质量考试，考生成绩情况如下表所示：[)0,400[)400,480 [)480,550 [)550,750文科考生 67 35196理科考生53x yz已知用分层抽样方法在不低于550分的考生中随机抽取5名考生进行质量分析，其中文科考生抽取了2名． （1）求z 的值；（2）右图是文科不低于550分的6名学生的语文成绩的茎叶图，计算这6名 考生的语文成绩的方差；（3）已知该校不低于480分的文科理科考生人数之比为1：2，不低于400分 的文科理科考生人数之比为2：5，求y x 、的值．解：（1）依题意2526z-=，∴9z =…………………………………………………………………………3分 （2）1111201251281321341256x +++++== ……………………………………………………5分 ∴这6名考生的语文成绩的方差()()()()()()222222211111251201251251251281251321251341256s ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-+-⎣⎦22222211450379606⎡⎤=⨯+++++=⎣⎦………………………………………………………8分 （3）依题意196192y +=+，35196295x y ++=++ ……………………………………………………………11分 解得41,100==y x ………………………………………………………………………………13分24 0 58113 12 112．（本小题满分12分）某完全中学高中部共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：高一年级 高二年级 高三年级女生 373xy 男生 377370z已知在全校高中学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19．（1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，求在高三年级抽取的人数； （3）已知y ≥245，z ≥245，求高三年级中女生比男生多的概率．解：（1）∵19.02000=x，∴380=x ． ……………………………………………………………………2分 （2）高三年级人数为500)370380377373(2000=+++-=+z y ， ……………………………4分∴应在高三年级抽取的人数为：12500200048=⨯名； …………………………………………6分 （3）高三年级女生男生数记为),(z y ，由（2）知500=+z y ，且N z y ∈,，则所有的基本事件有：（245，255），（246，254），（247，253），（248，252），（249，251），（250，250），（251，249），（252，248），（253，247），（254，246），（255，245）共11个；…………8分设高三年级女生比男生多的事件为A ，则事件A 包含的基本事件有：（251，249）、（252，248）、（253，247）、(254，246)、(255，245) 共5个． …………10分 ∴115)(=A P ，即高三年级中女生比男生多的概率为115．……………………………………12分3．（本小题满分14分）有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得 到如下的列联表．优秀 非优秀总计 甲班 10 乙班 30 合计105已知在全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为27． （1）请完成上面的列联表；（2）根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先 后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到6或10号的概率． 解：（1）表格如下：……………………………………………………………………………………………3分优秀 非优秀 总计 甲班 10 45 55 乙班 20 30 50 合计3075105（2）根据列联表中的数据，得到2105(10302045) 6.109 3.84155503075k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯． ………………5分 因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”． ……………………………………………………7分 （3）设“抽到6或10号”为事件A ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为),(y x ．………8分 所有的基本事件有（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6），共36个．……………………10分 事件A 包含的基本事件有：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）、（4，6）、（5，5）、（6、4），共8个．……12分 82()369P A ∴==，即抽到6或10号的概率为92．……………………………………………14分4．（本小题满分14分）甲、乙两人玩一种游戏；在装有质地、大小完全相同，编号分别为1，2，3，4，5，6六个球的口袋中，甲先模出一个球，记下编号，放回后乙再模一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．（1）求甲赢且编号和为8的事件发生的概率；（2）这种游戏规则公平吗？试说明理由．解：（1）设“两个编号和为8”为事件A，则事件A包含的基本事件为（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）共5个，又甲、乙两人取出的数字共有6×6＝36（个）（列举：略）等可能的结果，故5()36P A=．………………………………………………………………………………………6分（2）这种游戏规则是公平的．……………………………………………………………………………7分设甲胜为事件B，乙胜为事件C，则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件有18个：(1,1),(1,3), (1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)．…11分所以甲胜的概率181()362P B==，乙胜的概率11()122P C=-=＝()P B．…………………13分所以这种游戏规则是公平的．……………………………………………………………………14分5．（本小题满分13分）某学校对学生的考试成绩作抽样调查，得到成绩的频率分布直方图如图所示，其中［70,80）对应的数值被污损，记为x ．（1）求x 的值；（2）记[90,100]为A 组，[80,90)为B 组，[70,80)为C 组，用分层抽样的办法从[90,100]，[80,90)，[70,80) 三个分数段的学生中抽出6人参加比赛，从中任选3人为正选队员，求正选队员中有A 组学生的概率．解：（1）()0.0130.022101x ⨯+⨯+⨯=．0.03x ∴=．…………………………………………………………………………………………5分 （2）设从[]90,100分数段的学生中抽出m 人，依题意：236m m m ++=，1m ∴=．………………………………………………………………………7分 记从[]90,100中抽出的学生为a ，从[]80,90中抽出的学生为,b c ，从[]70,80中抽出的学生为 ,,d e f ，从6人中选出3人共有,,,,,,,,,,,,,bcf bce bcd aef adf ade acf ace acd abf abe abd abc def cef cdf cde bef bdf bde ,,,,,,共20种． ………………………………………………………9分有a 的共10种．……………………………………………………………………………………11分 ∴=P 101202=，即正选队员中有A 组学生的概率为21．………………………………………13分6．（本小题满分12分）对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了100人，其中女性60人，男性40人．女性中有38人主要的休闲方式是看电视，另外22人主要的休闲方式是运动；男性中有15人主要的休闲方式是看电视，另外25人主要的休闲方式是运动．（1）根据以上数据建立一个2×2列联表；（2）判断性别与休闲方式是否有关．参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++．参考数据：60×40×53×47=5978400，620×620=384400，384400÷59784≈6.4298．2()P K k>0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.6357.87910.83解：（1）2×2列联表如下：…………………………………………………………………………………6分休闲方式性别看电视运动总计女382260男152540总计5347100（2）假设“休闲方式与性别无关”．由表中数据计算得，2100(38252215)6.43060405347k⨯-⨯=≈⨯⨯⨯……10分因为k≥5.024，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，即有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”．…………………………………………………12分7．（本小题满分12分）某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：积极参加班级工作不太主动参加班级工作合计 学习积极性高 18 7 25 学习积极性一般6 19 25 合计242650（1）如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？ （2）试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？ 并说明理由．附：独立性检验的随机变量2K 的计算公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++为样本容量．独立性检验的随机变量2K 临界值参考表如下：20()P K k ≥0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k3.8415.0246.6357.87910.828解：（1）由表可知，积极参加班级工作的学生有24人，而总人数为50人，则抽到积极参加班级工作的学生的概率24125025P ==．…………………………………………5分 （2）假设“学生的学习积极性与对待班级工作的态度没有关系”．由公式222()50(181967)11.5()()()()25252426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯10.828>；………10分∵001.0)828.10(2=≥K P ，∴有99.9%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系， 即有99.9%的把握认为学习积极性高的学生积极参加班级工作． ……………………………12分图3625x 0611y 11988967乙甲8．（本小题满分14分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分 是85， 乙班学生成绩的中位数是83． （1）求x 和y 的值；（2）计算甲班7位学生成绩的方差2s ；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率．参考公式：方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦，其中12nx x x x n +++=．解：（1）∵甲班学生的平均分是85，∴92968080857978857x +++++++=．…………………1分∴5x =． …………………………………………………………………………………………… 2分 ∵乙班学生成绩的中位数是83，∴3y =．……………………………………………………… 3分 （2）甲班7位学生成绩的方差为2s ()()()22222221675007117⎡⎤=-+-+-++++⎢⎥⎣⎦40=．………………………… 6分 （3）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为,A B ，………………………………………… 7分 乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为,,C D E ． …………………………………… 5分 从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：()()(),,,,,,A B A C A D()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,A E B C B D B E C D C E D E ．………………………………………10分 其中甲班至少有一名学生共有7种情况：()()(),,,,,,A B A C A D ()()()(),,,,,,,A E B C B D B E ． …………………………………………………………………………………………………12分 记“甲班至少有一名学生”为事件M ，则()710P M =， 即从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为710． … 14分9．（本小题满分12分）为了更好地开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟联合国”，“街舞”， “动漫”，“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表：（单位：人）社团 相关人数 抽取人数模拟联合国 24 a街舞 183 动漫 b4话剧12c（1）求a ，b ，c 的值；（2）若从“动漫”与“话剧”社团已抽取的人中选2人担任指导小组组长，求这2人分别来自这两个社团 的概率．解：（1）由表可知抽取比例为16，故a ＝4，b ＝24，c ＝2．……………………………………………3分（2）设“动漫”4人分别为A 1，A 2，A 3，A 4；“话剧”2人分别为B 1，B 2.则从中任选2人的所有基本事件 为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 3，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共15个． …………………6分记事件A =｛2人分别来自这两个社团｝，则事件A 包括的基本事件为(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2， B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，共8个．…………………………8分 ∴ )(A P 815．………………………………………………………………………………………10分 即这2人分别来自这两个社团的概率为815． ……………………………………………………12分。

3 x2014 届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考理科数学命题学校：深圳中学本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内.2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4. 考生必须保持答题卡的整洁.第一部分选择题（共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 1．若集合 A = {1, m 2 }， B = { 2, 4 } ，则“ m = 2 ”是“ A B = { 4 } ”的 A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件C. 必要不充分条件D. 充分不必要条件2. 若 a = 20.5 ， b = log 3 ， c = log sin 2π，则 π25A. b > c > aB.b > a >c C. a > b > c D. c > a > b3. 函数 f (x ) = A sin(x +)( A > 0,> 0) 的部分图象如图所示，则 f (x ) =y A. 2 sin(2x - π)6 B.2 sin(2x - π)23 C.2 sin(4x + π)3 D. 2 sin(4x + π)6-πO35π x124. 已知圆O : x 2 + y 2 = 1及以下３个函数：① f (x ) = x 3 ；② f (x ) = tan x ；③ f (x ) = x sin x . 其中图像能等分圆C 面积的函数有 出 出A. 3 个B. 2 个C. 1 个D. 0 个5. (x - 1 )12展开式中的常数项为A ． 220B ． -220C ．1320D ． -13206. 执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 A. -2 B. -1 C. 0 D. 17. 已知数列 {a }满足： a = 1 , 对于任意的 n ∈ N * ， a = 7a (1- a ), 则n17n +12 nnT ≥0 出 出 出 出 S 出 出T=0,S =1S=S -TT=T+S3 COAB_2⎨ x 1 a 1413 - a 1314 =A ． - B. 277C. -3D. 37 78.点O 是平面内的定点,点 A ( 与点O 不同)的“对偶点” A '是指：点 A '在射线OA 上且 OA ⋅ OA ' = 1厘米2.若平面内不同四点 P , Q , R , S 在某不过点 O 的直线l 上,则它们相应的“对偶点” P ', Q ', R ', S ' 在A. 一个过点O 的圆上 B ．一个不过点O 的圆上C ．一条过点O 的直线上D ．一条不过点O 的直线上第二部分 非选择题（110 分）二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.9. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3 : 3 : 4 ，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50 的样本，则应从高二年级抽取名学生．10.若向量 BA = (1, 2), C A = (4, x ) ，且 BA 与CA 的夹角为0︒, 则 BC =.11. 某几何体的三视图如图所示,其中正（主）视图与侧（左）视图的边界均为直角三角形，俯视图的边界为直角梯形，则该几何体的体积为 .12. 已知直线 l : x = p 过抛物线 C : y 2 = 4x 的焦点，直线 l 与抛物线 C围成的平面区域的面积为 S , 则 p =， S =.2__正视图13.已 知 函 数⎧x +1, 0 ≤ x < 1 f (x ) = ⎪， 若 2 - , x ≥ 1a >b ≥ 0 ， 且俯_ 视图⎩⎪ 2f (a ) = f (b ) ，则bf (a ) 的取值范围是.选做题（请考生在以下两小题中任选一题做答，若两小题都做，则按第 14 题记分）. 14．（几何证明选讲选做题） 如图，过点C 作 ABC 的外接圆O 的切线交 BA 的延长线 于点 D .若CD = ， AB = AC = 2 ，则 BC =.D15．(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系 O (≥ 0, 0 ≤< 2π) 中，点πA (2, ) 关于直线l : cos = 1的对称点的极坐标为.2三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．(本小题满分 12 分)在 ABC 中,三个内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b ,(1) 求tan A ；c . 已知 3(b 2 + c 2 - a 2 ) = 2bc ， B = 2 A . 2_ 侧_ 2_ 视图HFD G2 n +1 n n n +1 ⎩(2) 设 m = (2 s in( π - B ),1), n = (sin( π + B ), -1), 求 m ⋅ n的值.4417.（本小题满分 12 分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数-i, i,- 2, 2,其中i是虚数单位．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（1） 求事件 A “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率 P ( A ) 与事件 B “在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率 P (B ) ；（2） 在两次试验中，记两次得到的数分别为 a , b ，求随机变量= a ⋅ b 的分布列与数学期望 E .18.（本小题满分 14 分）如图，四边形 ABCD 是正方形， EA ⊥ 平面PABCD ， EA PD ， AD = PD = 2EA ， F ， G ， H 分别为 PB， EB ， PC 的中点．（1） 求证： FG 平面 PED ；EC（2） 求平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小.19. （ 本小题满分 14 分） 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , 记ABf (n ) = 2a S - n (2S + a ),n ∈ N *. （1） 若数列{a n } 是首项与公差均为1的等差数列， 求 f (2014) ； （2） ） 若 a 1 = 1, a 2 = 2, 且数列{a 2n -1},{a 2n } 均是公比为 4 的等比数列， 求证： 对任意正整数 n ，f (n ) ≥ 0.20. （本小题满分 14 分）在平面直角坐标系中，已知点 F ( 2, 2) 及直线l : x + y - = 0 ，曲线C 1 是⎧x > 0⎪满足下列两个条件的动点 P (x , y ) 的轨迹：① PF =(1) 求曲线C 1 的方程;2d , 其中 d 是 P 到直线l 的距离；② ⎨ y > 0. ⎪2x + 2 y < 5 x 2 y 2(2) 若存在直线 m 与曲线C 1 、椭圆C 2 : a 2 + b2 取值范围.= 1(a > b > 0) 均相切于同一点，求椭圆C 2 离心率e 的21. （本小题满分 14 分）已知函数 f n (x ) = x 2 - 2x - aenx，其中 n ∈ N *, a ∈ R , e 是自然对数的底数.（1） 求函数 g (x ) = f 1(x ) - f 2 (x ) 的零点；（2） 若对任意 n ∈ N *, 值范围；f n (x ) 均有两个极值点，一个在区间(1, 4) 内，另一个在区间[1, 4]外，求 a 的取2 2 k m （3） 已知 k , m ∈ N *, k < m , 且函数 f (x ) 在 R 上是单调函数，探究函数 f (x ) 的单调性.2014 届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考参考答案与评分标准理科数学说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCBBBCDA1．【解析】 A B = { 4 } ⇔ m 2 = 4 ⇔ m = ±2.2. 【解析】 20.5 > 20 = 1, 0 = log 1 < log 3 < log π = 1, log sin2π< log 1 = 0.πππ52523. 【解析】由图知 f (x ) 在 x = 12π 时取到最大值 ，且最小正周期T 满足3 T = 5 π+ π .4 12 3故 A = 2, 3 ⨯ 2π = 3π,= 2, 2 sin(2 ⨯ 5π +) = ， sin(5π +) = 1, 4 12 65π += 2k π + π ,= 2k π - π, k ∈ Z .所以 f (x ) = 6 2 32 sin(2x - π).3 或由 f ( 5 12 π) = 逐个检验知 f (x ) = 2 sin(2x - π).34. 【解析】圆O 关于原点O 对称. 函数 y = x 3 与函数 y = tan x 是定义域上的奇函数，其图像关于原点对称,能等分圆O 面积；而 y = x sin x 是 R 上的偶函数，其图像关于 y 轴对称，且当0 < x ≤ 1时 x sin x >0,不能等分圆O 面积23 x3x 3⎭ 5. 【解析】(x - 1 )12展开式中的通项为1 12- 4kT= C k x 12-k (-)k= Ck(-1)k x 3 (k = 0,1, 2, ,12).k +11212T 为常数项的充要条件是 k = 9. 常数项T = -C 9 = -220.k +110126．【解析】T = 0, S = 1 ⇒ T = 1, S = 0 ⇒ T = 1, S = -1⇒ T = 0, S = -1 ⇒ T = -1, S = 0.1 7 1 6 3 7 3 4 6 7 6 1 3 7. 【解析】 a 1 = 7 , a2 = ⨯ ⨯ = , a3 = ⨯ ⨯ = , a4 = ⨯ ⨯ = , .2 7 7 7 2 7 7 7 2 7 7 76 3由数学归纳法可证明:当 n 为大于1的奇数时, a n = 7 ；当 n 为正偶数时, a n = 7.故 a 1413 - a 1314 = 7.8. 【解析】过O 作与直线l 垂直的直线 m , 以O 为原点，直线 m 为 x 轴，单位为1厘米，建立平面直角平面坐标系. 设直线l : x = 1 (a ≠ 0) , P ( 1 , y ) 是直线l 上任意一点,它的“对偶点”为 P '(x , y ) ,则存在> 0,a a 0使 得 =' 1' ' xOP OP ,即 = x , y = y ,又ax 2 + y 2 - ax = 0 .OP ⋅ OP = OP ⋅ O P = + y y = 1, 消 去 , 得 a故 P ', Q ', R ', S ' 在过点O 的圆: x 2 + y 2 - ax = 0 上.二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.9. 15 10. (-3, -6) 11. 8 12. 1, 8 . 13. ⎡ 3 , 2⎫ 14. 2π15.3⎢⎣ 4 ⎪(2 2, ).49. 【解析】根据分层抽样的方法步骤，按照一定比例抽取，样本容量为50 ，那么根据题意得：从高三一3共可以抽取人数为： 50 ⨯ 10= 15 .10. 【解析】由 BA 与CA 的夹角为0︒, 知 x = 8 , BC = BA + AC = BA - CA = (-3, -6). 1. 【解析】由三视图可知该几何体是一个四棱锥,根据“正侧等高，正俯等长，侧俯等宽”的规则，其体积1 1为V = ⨯ 3 2(2 + 4) ⨯ 4 ⨯ 2 = 8.12. 【解析】抛物线C : y 2 = 4x 的焦点为 F (1, 0) ,知 p = 1 .331= 3 S = 2⎰0 (2 x )dx = 4 ⨯ 2 x 2 18 . 3 0313. 【解析】如图, f (x ) 在[0,1) , [1, +∞) 上均单调递增, 由 a > b ≥ 0 及 f (a ) = a ≥ 1 > b ≥ 1. b ⋅ f (a ) = bf (b ) = b (b +1) 的取值范围2f (b ) 知⎡ 1 1 ⎫ ⎡ 3 ⎫ ⎢ ( +1),(1+1) ⎪ = ⎢ , 2 ⎪.⎣ 2 2⎭ ⎣ 4 ⎭14. 【解析】由 CD 2 = DA ⨯ DB = DA ⨯(DA + AB ) 知 DA 2 + 2DA - 3 = 0 ，解得DA = 1, DB = 3. 由 DAC DCB 得AC=CD，即 BC =AC ⨯ BD= 2 3.π BC BDCDπ15. 【解析】如图，在极坐标系O (≥ 0, 0 ≤< 2π) 中，设 A (2, ) 关于直线2l : cos = 1的 对 称 点 为 B (,), 则 OA = AB = 2 ， 且 OA ⊥ AB . 从 而OB = 2 2, ∠AOB = π, 即= 2 2,= π - π = π . 42 4 4三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16．(本小题满分 12 分)在 ABC 中,三个内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .已知 3(b 2 + c 2 - a 2 ) = 2bc ， B = 2 A . (2) 求tan A ；(2) 设 m = (2 s in( π - B ),1), n = (sin( π + B ), -1), 求 m ⋅ n的值.44解 ： (1)∴ 3(b 2 + c 2 - a 2 ) = 2bc ,b 2 +c 2 - a 21cos A = =. 2bc…………………………………………2 分0 < A < π,∴sin A ==2,3…………………………………………… 4 分 tan A = sin A= 2. cos A ………………………………………………………6 分(2)(解法一) m = (2 s in( π - B ),1), n = (sin( π + B ), -1), 4 4∴ m ⋅ n = 2 s in( π - B ) sin( π+ B ) -1 4 4……………………… 7 分A (2, 2)BOy23 2 1f (x )O1 b 1 a x1- cos 2 A= 2 ⨯2 (cos B - sin B ) ⨯ 2(cos B + sin B ) -1 2 2= cos 2 B - sin 2 B -1 ………………………………………… 9 分= -2 sin 2 B .B = 2 A ,……………………………………………… 10 分∴sin B = sin 2 A = 2 s in A c os A =2 2 , m ⋅ n = - 16 .…………12 分 3 (2)(解法二) m = (2 s in( π - B ),1), n = (sin( π+ B ), -1), 4 4∴ m ⋅ n = 2 s in( π - B ) sin( π+ B ) -1 4 4 = 2 cos ⎡ π - ( π - B )⎤ sin( π+ B ) -19……………………… 7 分⎢⎣ 2 4 ⎦⎥ 4 = 2 cos( π + B ) sin( π+ B ) -14 4 = sin( π+ 2B ) -12= cos 2B -1 = -2 s in 2B . B = 2 A ,………………………………………………………9 分……………………………………………………… 10 分∴sin B = sin 2 A = 2 s in A c os A =2 2 , m ⋅ n = - 16 .…………12 分3 9(2)(解法三) B = 2 A ,∴sin B = sin 2 A = 2 s in A cos A = 2 2 , 3 cos B = cos 2 A = 1- 2 sin 2A = - 1 . 3………………………9 分∴ m = (2 s in( π - B ),1) = ( 2(cos B - sin B ),1) = (- 2 + 4 ,1), ……10 分4 3n = (sin( π + B ), -1) = ( 2 (sin B + cos B ), -1) = ( 4 - 2, -1). …11 分4 2 6∴ m ⋅ n = - 4 + 2 ⨯ 4 - 2 -1 = - 16 .………………………12 分17.（本小题满分 12 分）3 6 9盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数-i, i, - 2, 2, 其中i 是虚数单位．称“从H F D G2 1盒中随机抽取一张，记下卡片上的数后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（1） 求事件 A “在一次试验中，得到的数为虚数”的概率与事件 B “在四次试验中，至少有两次得到虚数” 的概率；（2） 在两次试验中，记两次得到的数分别为 a , b ，求随机变量= a ⋅ b 的分布列与数学期望 E .解：（1） P ( A ) == ，....................................................................................................... 2 分 4 2P (B ) = 1- P (B ) = 1- ⎡0 1 0 1 4 + 1 1 1 1 3 ⎤ = 1- 5 = 11 .………… 5 分⎢⎣C 4 ( 2) ( 2) （2） a , b ,的可能取值如下左表所示：C 4 ( 2) ( 2) ⎥⎦ 16 16 -i i -2 2 11 2 2 i 1 1 2 2-2 2 2 4 4 22 244……………………………………………………………6 分41 8 1 4 1由表可知： P (=1) = = , P (=2) = = , P (=4) = = .............................. 9 分16 4 16 2 16 4所以随机变量 X 的分布列为（如上右表） ......................................................................... 10 分1 1 1 9所以 E () = 1⨯ + 2 ⨯ + 4 ⨯ = . 4 2 4 418.（本小题满分 14 分）………………………………………………12 分如图，四边形 ABCD 是正方形， EA ⊥ 平面 ABCD ， EA PD ，PAD = PD = 2EA ， F ， G ， H 分别为 PB ， EB ， PC 的中点．（1） 求证： FG 平面 PED ； E（2） 求平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小.C(1）证明： F , G 分别为 PB ， BE 的中点，AB∴ F G PE ....................................................... 1 分又 FG ⊄ 平面 PED ， PE ⊂ 平面 PED ， ........................................................... 3 分∴ FG 平面 PED ........................................................................................... 5 分（2）解: EA ⊥ 平面 ABCD ， EA PD ，∴ PD ⊥ 平面 ABCD .AD , CD ⊂ 平面 ABCD , ∴ PD ⊥ AD ， PD ⊥ CD . 四边形 ABCD 是正方形，∴ AD ⊥ CD .以 D 为原点,分别以直线 DA , DC , DP 为 x 轴, y 轴, z 轴x建立如图所示的空间直角坐标系，设 EA = 1 ....................................................... 7 分AD = PD = 2EA ,∴ D (0, 0, 0) ， P (0, 0, 2) ， A (2, 0, 0) ， C (0, 2, 0) ， B (2, 2, 0) ， E (2, 0,1) ,zPHFED G C yABab-i 1 2 4 P 1 1 1 424H FD GB 22 2 = - = - PB = 0 ⎩ ⋅ 2PB = (2, 2, -2) , PC = (0, 2, -2) .F ，G ，H 分别为 PB ， EB ， PC 的中点， ∴ F (1,1,1) ， G 1 ， H (0,1,1) , ( 1 , (1 …… ………8 分 (2,1, )2 GF 1, 0, ) 2GH 2, 0, ).2 ⎧⎪n ⋅（解法一)设 n 1 = (x 1 , y 1 , z 1 ) 为平面 FGH 的一个法向量，则⎨ GF = 0 ,⎧-x + 1 z = 0 ⎪⎩n 1 ⋅ G H = 0⎪ 1 2 1即⎨1 ，令 y 1 = 1 ，得 n 1 = (0,1, 0) .......................................................... 10 分 ⎪-2x + z = 0 ⎩⎪ 1 2 1⎧⎪n 2 ⋅设 n 2 = (x 2 , y 2 , z 2 ) 为平面 PBC 的一个法向量,则⎨ ,⎪⎩n 2 ⋅ PC = 0⎧2x 2 + 2 y 2 - 2z 2 = 0 即⎨2 y - 2z = 0 2 2，令 z 2 = 1 ，得 n 2 = (0,1,1) ......................................................... 12 分2 所以 cos n 1 , n 2 == (13)分 2 π所以平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为 （或45︒） ..............................14 分 4（解法二) DH ⋅ BC = (0,1,1) ⋅ (-2, 0, 0) = 0 ，DH ⋅ PC = (0,1,1) ⋅ (0, 2, -2) = 0 ,DH 是平面 PBC 一个法向量 ............................................................................... 10 分1 DC ⋅ FH = (0, 2, 0) ⋅ (-1, 0, 0) = 0 ， DC ⋅ FG = (0, 2, 0) ⋅ (1, 0, - 2) = 0 ,DC 是平面平面 FGH 一个法向量 ....................................................................... 12 分cos DH , DC DH DC 2 = == , DH DC ………13 分 ∴平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为 π（或 45︒4） ............................... 14 分（解法三) 延长 AE 到Q , 使得 AE = EQ , 连 PQ , BQ .QPD = 2EA = AQ ， EA PD ， E C∴四边形 ADPQ 是平行四边形， PQ AD . A四边形 ABCD 是正方形，∴ BC AD , PQ BC .1 ∴ ∴ P n 1 ⋅ n2 n 1 ⋅ n 2n n n +1 n n n +1 2n 2n -1 n F ， H 分别为 PB ， PC 的中点，∴ FH BC , FH PQ .FH ⊄ 平面 PED ， PQ ⊂ 平面 PED ， ∴ FH 平面 PED ............................7 分FH FG = F , FH , FG ⊂ 平面 ADPQ , ∴平面 FGH 平面 ADPQ . ………9 分故平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角与二面角 D - PQ - C 相等.… …10 分PQ ⊥ CD , PQ ⊥ PD , PD CD = D , PD , DC ⊂ 平面 PDC , ∴ PQ ⊥ 平面 PDC . PC ⊂ 平面 PDC ,∴ PQ ⊥ PC , ∠DPC 是二面角 D - PQ - C 的平面角.…12 分AD = PD , AD ⊥ PD ,∴∠DPC = 45︒.… …………13 分∴平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为 π （或45︒） .......................... 14 分419. （本小题满分 14 分）已知数列{a } 的前 n 项和为 S , 记 f (n ) = 2a S - n (2S + a ),n ∈ N *. （1） 若数列{a n } 是首项与公差均为1的等差数列， 求 f (2014) ；（2） 若 a 1 = 1, a 2 = 2, 且数列{a 2n -1},{a 2n } 均是公比为4 的等比数列，求证：对任意正整数 n ， f (n ) ≥ 0.解：（1） 数列{a n } 是首项与公差均为1的等差数列， .................................................... 1 分∴ ∀n ∈ N *, a = n , a = n +1, S = n (n +1) .………………………………3 分n n +1 n2f (n ) = 2a n +1S n - n (2S n + a n +1 )= 2(n +1) ⨯ n (n +1) - n ⎡2 ⨯ n (n +1) + (n +1)⎤2 ⎢⎣ 2 ⎥⎦= n (n +1)2 - n (n +1)2 = 0.……………………………5 分故 f (2014) = 0.………………………………………………………6 分（2）由题意∀n ∈ N *, a =1⨯ 4n -1 = 22n -2 ,a = 2⨯ 4n -1= 22n -1.………………………………………7 分……………………………………8 分故 a = 2n -1. …………………………………………………9 分2 (x - 2)2 + ( y - 2)2 x 2 + y 2 - 2 2(x + y ) + 4 x + y - 22n n ⎩∀ * n1- 2n nn ∈ N , a n +1 = 2 , S n =1- 2= 2-1, f (n ) = 2a n +1S n - n (2S n + a n +1 )= 2n +1(2n -1) - n (2n +1 - 2 + 2n ) = 2n (2n +1 - 3n - 2) + 2n .……………………10 分（证法一）当 n = 1 时， f (1) = 0 ； ..................................................................................... 11 分 当 n ≥ 2 时， 2n +1 = 4 ⨯(1+1)n -1 ≥ 4[1+ (n -1)] = 4n ， ................................................... 12 分f (n ) = 2n (2n +1 - 3n - 2) + 2n ≥ 2n (4n - 3n - 2) + 2n = 2n (n - 2) + 2n ≥ 2n > 0.…………………………………………………………………………………………13 分故对任意正整数 n ， f (n ) > 0.………………………………………………………14 分（证法二） ∀n ∈ N *,f (n +1) - f (n ) = ⎡⎣2n +1(2n +2 - 3n - 5) + 2n + 2⎤⎦ - ⎡⎣2n (2n +1- 3n - 2) + 2n ⎤⎦= 2n ⎡⎣2(2n +2 - 3n - 5) - (2n +1- 3n - 2)⎤⎦ + 2= 2n (6 ⨯ 2n- 3n - 8) + 2.2n = (1+1)n ≥ C 0+ C 1 = 1+ n ，……………………………11 分∴∀n ∈ N *, f (n +1) - f (n ) ≥ 2n (6n + 6 - 3n - 8) + 2 = 2n (3n - 2) + 2 ≥ 2n + 2 > 0 ，数列{ f (n )}是递增数列 ....................................................................................................... 12 分f (1) = 2(22 - 3 - 2) + 2 = 0,……………………… …………………………13 分∴∀n ∈ N *, f (n ) ≥ 0.20. （本小题满分 14 分）……………………………………………………………………14 分在平面直角坐标系中，已知点 F ( 2, 2) 及直线l : x + y - = 0 ，曲线C 1 是满足下列两个条件的⎧x > 0⎪动点 P (x , y ) 的轨迹：① PF =(1) 求曲线C 1 的方程；2d , 其中 d 是 P 到直线l 的距离；② ⎨ y > 0 .⎪2x + 2 y < 5x 2 y 2(2) 若存在直线 m 与曲线C 1 、椭圆C 2 : a 2 + b2 取值范围.= 1(a > b > 0) 均相切于同一点，求椭圆C 2 离心率e 的解 ：（1） PF = = ，d =， ................................................................................................... 2 分1 由 ① PF = 2d , 得：x 2 + y 2 - 2 2(x + y ) + 4 = x 2 + y 2 + 2xy - 2 2(x + y ) + 2 ，即 xy = 1.……………………………………………………………4 分1 1 5 将 xy = 1代入②得： x > 0, > 0, x + < ，解得： 1 < x < 2.21 x x 21所以曲线C 1 的方程为： y = x ( < x < 2). 2………………………………6 分1 （2）(解法一)由题意，直线 m 与曲线C 1 相切，设切点为 M (t , t) ， 1< t < 2.2 则直线 m 的方程为 y - = 1 ' ⨯(x - t ) = - 1(x - t ) ，t ( x )x = t t 21 2即 y = - t 2 x + . t ……………………………………………………7 分将 y = - 1 x + 2代入椭圆C 的方程b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2b 2 ，并整理得：t 2 t 2(b 2t 4 + a 2 )x 2 - 4a 2tx + a 2 (4 - b 2t 2 )t 2 = 0. 1由题意，直线 m 与椭圆C 2 相切于点 M (t , t) ，则∆ = 16a 4t 2 - 4a 2 (b 2t 4 + a 2 )(4 - b 2t 2 )t 2 = 4a 2b 2t 4 (a 2 - 4t 2 + b 2t 4 ) = 0 ，即 a 2 + b 2t 4= 4t 2.……………………………………………………………9 分t 2 12 422 2 222 2 2 又 + = 1, a 2 b 2t 2 即b t + a = a b t . 联解得： b = , a t 2= 2t . ………10 分 由 1< t < 2, 及 a 2 > b 2 得1 < t < 2. 22 a 2 - b2 1 故e = = 1- ， .............................................................................................. 12 分a 2 t 4得0 < e 2 <15, 又0 < e < 1, 故0 < e < 1615 .4 所以椭圆C 2 离心率e 的取值范围是(0,15 ). 4………………………………14 分2 1- x 2 a 2 a 1- 2 x 2 a2+ 1 ⎨ k m x 2+ （2）(解法二)设直线 m 与曲线C 1 : y = 1 ( 1 2 < x < 2) 、椭圆C 2 : 2 y = 1(a > b > 0) 均相切于同一点x 2 a b1 t 2M (t , ), 则 t a 2 + 1 = 1. b 2t 2…………………………………………………7 分由 y = 1 知 y ' = - 1 ;x x 222- 2x 2x y 由 a 2 b 2 = 1( y > 0) 知 y = b y ' = b a 2 = - bx = - b x . a 2 y故- = - t2b 2t a 21 t, a 2 = b 2t 4.…………………………………………………9 分⎧ t 2 联解⎪ a 2 + 1b 2t 2 = 1 ,得b 2 = 2 , a 2 = 2t 2. t 2……………………………………………10 分⎪⎩a 2 = b 2t 4 由 1< t < 2, 及 a 2 > b 2 得1 < t < 2. 22 a 2 - b2 1 故e = = 1- ， .............................................................................................. 12 分a 2 t 4得0 < e 2 <15, 又0 < e < 1, 故0 < e < 1615 .4所以椭圆C 2 离心率e 的取值范围是(0,21. （本小题满分 14 分）x 2 - 2x - a15 ). 4*………………………………14 分已知函数 f n (x ) =enx，其中 n ∈ N , a ∈ R , e 是自然对数的底数.（1） 求函数 g (x ) = f 1(x ) - f 2 (x ) 的零点；（2） 若对任意 n ∈ N *, f (x ) 均有两个极值点，一个在区间(1, 4) 内，n另一个在区间[1, 4]外，求 a 的取值范围；（3） 已知 k , m ∈ N *, k < m , 且函数 f (x ) 在 R 上是单调函数，探究函数 f (x ) 的单调性.x 2 - 2x - a x 2 - 2x - a (x 2 - 2x - a )(e x -1)解：（1） g (x ) = f 1 (x ) - f 2 (x ) = ex - = e 2 x， e 2 x 1- x 2a 2 2n n n k 2 ⎥ m< ∆ = 4 + 4a① 当 a < -1 时， ∆ < 0, 函数 g (x ) 有 1 个零点： x 1 = 0.② 当 a = -1 时， ∆ = 0, 函数 g (x ) 有 2 个零点： x 1 = 0, x 2 = 1.③ 当 a = 0 时， ∆ > 0, 函数 g (x ) 有两个零点： x 1 = 0, x 2 = 2.④ 当 a > -1, a ≠ 0 时， ∆ > 0, 函数 g (x ) 有三个零点：………………………1 分……………………2 分……………………3 分x 1 = 0, x 2 = 1x 3 = 1…………………………………………4 分（2） f '(x ) = (2x - 2)e nx - n (x 2 - 2x - a )e nx e 2nx -nx 2 + 2(n +1)x + a ⋅ n - 2 enx . …………5 分设 g (x ) = -nx 2+ 2(n +1)x + a ⋅ n - 2 ， g (x ) 的图像是开口向下的抛物线.由题意对任意 n ∈ N *, g 且 x 1 ∈(1, 4), x 2 ∉[1, 4].(x ) = 0 有两个不等实数根 x 1, x 2 ，则对任意 n ∈ N *, g (1)g (4) < 0 ,即n ⋅ (a +1) ⋅ n ⋅ ⎡a - (8 - 6 )⎤< 0 , ............................... 7 分nn⎢⎣n ⎥⎦又任意 n ∈ N *, 8 - 6 关于 n 递增, 8 - 6 > -1,故-1 < a < (8 - 6) , -1 < a < 8 - 6 = 2.nnn min所以 a 的取值范围是(-1, 2).' ……………………………………………9 分-kx 2 + 2(k +1)x + a ⋅ k - 2 （3）由(2)知, 存在 x ∈ R , f k (x ) = e kx< 0 ，又函数 f k (x ) 在 R 上是单调函数，故函数 f k (x ) 在 R 上是单调减函数, ............................................................. 10 分从而∆ = 4(k +1)2 + 4k(ka - 2) = 4(k 2a + k 2+1) ≤ 0, 即 a ≤ -(1+ 1).k 2……11 分22⎡ 2 21 ⎤ 4(k2 - m 2 ) 所以∆m = 4(m +1+ m a ) ≤ 4 ⎢⎣m +1- m (1+ ) = . k ⎦ k 2由 k , m ∈ N *, k < m , 知∆ < 0. …………………………………………13 分即对任意 x ∈ R , f k '(x ) = -kx 2 + 2(k +1)x + a ⋅ k - 2ekx故函数 f m (x ) 在 R 上是减函数 .......................................................................................... 14 分= n。

广东省各地2014届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编圆锥曲线一、选择题1、（广州市2014届高三1月调研测试）若点(1,0)A 和点(4,0)B 到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 答案：C2、（惠州市2014届高三第三次调研考）设椭圆22221(0,0)x y m n m n+=>>的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（ ）A ．2211612x y +=B ．2211216x y +=C ．2214864x y +=D ．2216448x y += 答案：A3、（揭阳市2014届高三学业水平考试）若双曲线22221x y a b-=的离心率为3，则其渐近线的斜率为-A.2±B.2±C.12±D. 22± 答案：B4、（增城市2014届高三上学期调研）与圆221x y +=及圆228120x y x +-+=都相外切的圆的圆心在(A)一个椭圆上 (B) 一支双曲线上 (C) 一条抛物线上 (D) 一个圆上 答案：B5、（江门市2014届高三调研考试）已知点)2 , 1(A ，)1 , 2(B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是 A ．03=-+y x B ．01=+-y x C ．0=-y x D ．0=+y x 答案：C6、（江门市2014届高三调研考试）平面直角坐标系中，抛物线x y 212=与函数x y ln =图象的交点个数为A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D 二、填空题1、（佛山市2014届高三教学质量检测（一））设12,F F 是双曲线22124y x -=的两个焦点，P 是双曲线与椭圆2214924x y +=的一个公共点，则12PF F ∆的面积等于_________答案：242、（省华附、省实、广雅、深中四校2014届高三上学期期末）已知直线:l x p =过抛物线2:4C y x =的焦点，直线l 与抛物线C 围成的平面区域的面积为,S 则p =______ ，S = .答案：81,.3三、解答题1、（佛山市2014届高三教学质量检测（一）） 如图7所示,已知椭圆C 的两个焦点分别为()11,0F -、()21,0F ,且2F 到直线390x y --=的距离等于椭圆的短轴长. (Ⅰ) 求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 若圆P 的圆心为()0,P t (0t >),且经过1F 、2F ,Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外,过Q 作圆P 的切线,切点为M ,当QM 的最大值为322时,求t 的值.【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为22221x y a b+=(0a b >>),依题意,19242b -==, …………………………………………1分所以2b = ……………………………………2分 又1c =, ……………………………………3分所以2225a b c =+=, ………………………………………4分所以椭圆C 的方程为22154x y +=. ……………………………………………………5分 (Ⅱ) 设(),Q x y (其中22154x y +=), ……………………………………………6分 圆P 的方程为()2221x y t t +-=+,………………………………………7分因为PM QM ⊥, 所以221QM PQ t =--()2221x y t t =+---…………………………………8分()2214444y t t =-+++ ……………………………9分 当42t -≤-即12t ≥时,当2y =-时,QM 取得最大值, ……………………10分且max 32432QM t =+=,解得3182t =<(舍去). ……………………11分. . xyF1F 2O 图7当42t ->-即102t <<时,当4y t =-时,QM 取最大值, ……………………12分 且2max 32442QM t =+=,解得218t =,又102t <<,所以24t =.………13分综上,当24t =时,QM 的最大值为322. ……………………………………14分2、（广州市2014届高三1月调研测试）如图7，已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，双曲线12222=-by a x 的两条渐近线为21,l l ．过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使1l l ⊥，又l 与2l 交于点P ，设l 与椭圆C 的两个交点由上至下依次为A ，B ．（1）若1l 与2l 的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，求椭圆C 的方程；（2）求||||AP FA 的最大值． 解：（1）因为双曲线方程为12222=-by a x ，所以双曲线的渐近线方程为x aby ±=．………………………………………………1分 因为两渐近线的夹角为60且1<ab，所以30POF ∠= ． 所以a b 3tan 303==．…………………………………………………………2分 所以b a 3=．因为2c =，所以2222=+b a ， 所以3a =，1b =．所以椭圆C 的方程为2213x y +=．…………………………………………4分 （2）因为1l l ⊥，所以直线l 与的方程为()ay x c b=-，其中22c a b =-．………………5分 因为直线2l 的方程为by x a=， 联立直线l 与2l 的方程解得点2,a ab P c c ⎛⎫⎪⎝⎭．……………………………………6分Ox yBAF P l 1l l 2O x yBA F P l 1l l 2图7设||||FA AP λ=，则FA AP λ= ．……………………………………………………7分 因为点(),0F c ，设点()00,A x y ，则有()20000,,a abx c y x y c c λ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．解得()2201c a x c λλ+=+，()01ab y c λλ=+．………………………………………………8分因为点()00,A x y 在椭圆22221x y a b+=上，所以()()()()2222222222111c a ab a c b c λλλλ++=++．即()()222224221c aa a c λλλ++=+．等式两边同除以4a 得22222()(1),(0,1).e e e λλλ++=+∈……………………10分所以24222222322e e e e e λ-⎛⎫==--++ ⎪--⎝⎭………………………………………11分 ()()2222223322212e e ≤--⋅+=-=--．………………………12分所以当22222e e -=-，即22e =-时，λ取得最大值21-．………………13分故||||AP FA 的最大值为21-．………………………………………14分 3、（增城市2014届高三上学期调研）已知点()()1,0,1,0,A B -直线AM,BM 相交于点M ，且2MA MB k k ⨯=-.（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）过定点（0,1）作直线PQ 与曲线C 交于P,Q 两点，且322PQ =，求直线PQ 的方程.（1）解：设M(x,y), 1分 则(),,111MA Mb y y k k x x x ==≠±+- 3分 ∴211y y x x ⨯=-+- 4分∴2212y x +=()1x ≠± 6分（条件1分） （2）当直线PQ 的斜率不存在时，即PQ 是椭圆的长轴，其长为22，显然不合，即直线PQ 的斜率存在， 7分设直线PQ 的方程是y=kx+1,()()1122,,,,P x y Q x y则1212()y y k x x -=-， 8分联立22121y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()222210k x kx ++-= 9分 ∵()()()222442810k k k ∆=++=+>，∴k R ∈, 10分12122221,22k x x x x k k +=-=-++ 11分 ∴()()()()22221212121214PQ x x y y k x x x x ⎡⎤=-+-=++-⎣⎦221222k k +=+， 12分∴322PQ =221222k k +=+，22,2k k ==±， 13分所以直线PQ 的方程是y=2±x+1。

一．基础题组1. 【广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三10月三校联考(理）】已知2~(3,)N ξσ，若(2)0.2P ξ≤=，则ξ≤P(4)等于( )A ．2.0B ．3.0C ．7.0D ．8.02. 【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学理科】已知随机变量ξ服从正态分布2(4,)N σ，若(8)0.4P ξ>=，则(0)P ξ<=( )A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.73. 【湖北省武汉市2014届高三10月调研测试数学（理）】某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5)，[5，10)，…，[30，35)，[35，40]时，所作的频率分布直方图是 ( )4.【广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三10月三校联考(理）】某小学对学生的身高进行抽样调查，如图，是将他们的身高（单位：厘米）数据绘制的频率分布直方图．若要从身高在［120，130），［130，140），［140，150］三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人，则从身高在［140，150］内的学生中选取的人数应为________.5.【江苏省阜宁中学2014届高三年级第一次调研考试】下图茎叶图是甲、乙两人在5次综合测评中成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为.二．能力题组1.【中原名校联盟2013-2014学年高三上期第一次摸底考试理】在圆22＋＝--(2)(2)4x y内任取一点，则该点恰好在区域50303x x y x ⎧⎪⎨⎪⎩＋2y －≥－2＋≥≤内的概率为（ ）A ．18π B ．14π C ．12π D ．1π考点：二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识, 考查学生的基本运算能力．2. .【山西省山大附中2014届高三9月月考数学理】抛一枚均匀硬币，正反每面出现的概率都是12，反复这样投掷，数列{}a n 定义如下：a n n n =-⎧⎨⎪⎩⎪11，第次投掷出现正面，第次投掷出现反面，若S a a a n N n n =+++∈12 ()*，则事件“280,2S S ≠=”的概率是（ ）A ．1256 B.13128 C.12 D.732三．拔高题组1. 【湖北省武汉市2014届高三10月调研测试数学（理）】现有A ，B 两球队进行友谊比赛，设A 队在每局比赛中获胜的概率都是23．（Ⅰ）若比赛6局，求A 队至多获胜4局的概率；（Ⅱ）若采用“五局三胜”制，求比赛局数ξ的分布列和数学期望．（Ⅱ）由题意可知，ξ的可能取值为3，4，5．考点：排列组合，分布列，期望.2.【浙江省温州八校2014届高三10月期初联考数学(理)】一个袋子里装有7个球, 其中有红球4个, 编号分别为1，2，3，4；白球3个, 编号分别为2，3，4. 从袋子中任取4个球(假设取到任何一个球的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4个球中, 含有编号为3的球的概率；(Ⅱ) 在取出的4个球中, 红球编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望.(Ⅱ)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4. ……6分考点：概率，分布列，期望.3. 【浙江省嘉兴一中2014届高三上学期入学摸底数学(理)】一个口袋中有红球3个，白球4个．（Ⅰ）从中不放回地摸球，每次摸2个，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，求摸2次恰好第2次中奖的概率；（Ⅱ）每次同时摸2个，并放回，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，连续摸4次，求中奖次数X 的数学期望E(X)．(Ⅱ) 设“每次同时摸2个,恰好中奖”为事件B ，则75C C )(27141323=+=C C B P随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4. ……6分4314716075175)1(=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅==C X P ， 42224760075175)2(=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ， 43347100075175)3(=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ， 4444762575)4(=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ，……10分所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望240168607625471000376002716014444=⨯+⨯+⨯+⨯=EX . ……14分 考点：组合公式、概率，分布列，期望4. 【广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三10月三校联考(理）】(本题满分12分)在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是:每场投6个球,至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖;否则不获奖.已知教师甲投进每个球的概率都是23. (Ⅰ)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X,求X 的分布列及数学期望；(Ⅱ)求教师甲在一场比赛中获奖的概率.【答案】(Ⅰ)X 的分布列数学期望4EX =；(Ⅱ)81. 【解析】试题分析：(Ⅰ)先定出X 的所有可能取值，易知本题是6个独立重复试验中成功的次数的离散概率分布，即为二项分布.由二项分布公式可得到其分布列以及期望.(Ⅱ)根据比赛获胜的规定，教师甲前四次投球中至少有两次投中，后两次必须投中，即可能的情况有1.前四次投中2次（六投四中）；考点：1.二项分布；2.离散型随机变量的分布列与期望；3.随机事件的概率.5.【2014届广东高三六校第一次联考理】甲乙丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意。

广东省各地2014届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编坐标系与参数方程1、（佛山市2014届高三教学质量检测（一））在极坐标系中,设曲线1:cos 1C ρθ=与2:4cos C ρθ=的交点分别为A 、B ,则AB = .答案：2、（广州市2014届高三1月调研测试）若点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，θ∈R ）上，则y x 的取值范围是答案：33⎡-⎢⎣⎦3、（增城市2014届高三上学期调研）圆的极坐标方程为2cos ρθθ=-，则圆的圆心的极坐标是 ()02θπ≤<. 答案：52,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭4、（省华附、省实、广雅、深中四校2014届高三上学期期末）在极坐标系O ρθ(0,02π)ρθ≥≤<中，点(2,)2A π关于直线:cos 1l ρθ=的对称点的极坐标为答案：).4π 5、（惠州市2014届高三第三次调研考）在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心到直线cos 2ρθ=的距离是___________答案：16、（珠海市2014届高三上学期期末）已知在平面直角坐标系xoy 中圆C 的参数方程为：3cos 13sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，（θ为参数），以ox 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：,0)6cos(=+πθρ则圆C 截直线所得弦长为答案：7、（揭阳市2014届高三学业水平考试）在极坐标中，已知点P 为方程()cos sin 2ρθθ-=所表示的曲线上一动点，4,3Q π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则PQ 的最小值为8、（汕头市2014届高三上学期期末教学质量监测）如图所示的极坐标系中,以)6,4(πM 为圆心,半径1=r 的圆M 的极坐标方程是 .答案：015)6cos(82=+--πθρρ9、（肇庆市2014届高三上学期期末质量评估）在极坐标系中，曲线(0)4πθρ=≥与4cos ρθ=的交点的极坐标为答案：(0,0),,4π⎛ ⎝ 10、（东莞市2014届高三上学期期末调研测试）在极坐标系中，点（1，0）到直线(cos sin )ρθθ+＝2的距离为＿＿＿＿答案：22 11、（汕尾市2014届高中毕业生第二次综合测试）已知直线l 的参数方程为422x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），曲线C 的极坐标方程为1ρ=，点P 是直线l 上的一个动点，过点P 作曲线C 的切线，切点为Q ，则||PQ 的最小值为答案：。

广东省各地2014届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编数列一、选择题1、（惠州市2014届高三第三次调研考）．设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则=24a S （ ）ks5uA .2B .4C .152D .172答案：C 2、（汕头市2014届高三上学期期末教学质量监测）已知等比数列}{n a 的公比为2，且531=+a a ，则42a a +的值为 ( )A ．10B ．15C ．20D ．25答案：A3、（珠海一中等六校2014届高三第三次联考）若一个等差数列前3项和为3，最后3项和为30，且所有项的和为99，则这个数列有（ D ） A.9项 B.12项 C.15项 D.18项 答案：D 二、填空题1、（广州市2014届高三1月调研测试）在等比数列{}n a 中，若1323a a a =⋅，则4a = 答案：32、（江门市2014届高三调研考试）在数列{}n a 中，11=a ，nn n a a a +=+11（*∈N n ），试归纳出这个数列的通项=n a 答案：n1 3、（肇庆市2014届高三上学期期末质量评估）若等比数列{}n a 满足243520,40a a a a +=+=，则3a =答案：84、（中山市2014届高三上学期期末考试）已知数列{}n a 为等差数列，若23a =，1612a a +=， 则789a a a ++= 答案：455、（珠海市2014届高三上学期期末）.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31nn S =+,则n a = 答案：141232n n n -=⎧⎨⋅≥⎩ 三、解答题1、（佛山市2014届高三教学质量检测（一））数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数,18a =,116b =,且n a 、n b 、1n a +成等差数列,n b 、1n a +、1n b +成等比数列,1,2,3,n =.（Ⅰ）求2a 、2b 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅲ）证明:对一切正整数n ,有1231111211117n a a a a ++++<----. 【解析】(Ⅰ)由1122b a a =+，可得211224a b a =-=.…………1分由2212a b b =，可得222136a b b ==. ………………2分（Ⅱ）因为n a 、n b 、1n a +成等差数列，所以12n n n b a a +=+…①. …………3分因为n b 、1n a +、1n b +成等比数列，所以211n n n a b b ++=， ……………4分因为数列{}n a 、{}n b 的每一项都是正数，所以11n n n a b b ++=…②.于是当2n ≥时，1n n n a b b -=…③.…………………………………………………………………4分 将②、③代入①式，可得112n n n b b b -+=+， …………………………………………………………5分因此数列{}nb 是首项为4，公差为2的等差数列，（注：学生不写上述陈述扣1分）所以()1122n b b n d n =+-=+，于是()241n b n =+. ………………………6分 由③式，可得当2n ≥时，()()22144141n n n a b b n n n n -==⋅+=+. ……………7分 当1n =时，18a =，满足该式子，所以对一切正整数n ，都有()41n a n n =+.……………8分 （注：学生从特殊到一般归纳猜想出,n n a b 的解析式各1分，正确证明通项公式各2分） （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所证明的不等式为211112723474417n n ++++<+-L .……………9分 方法一:首先证明2121144171n n n n ⎛⎫<- ⎪+-+⎝⎭（2n ≥）.因为22222121112778824417144177n n n n n n n n n n n n⎛⎫<-⇔<⇔+<+- ⎪+-++-+⎝⎭ ()()220120n n n n ⇔+->⇔-+>, ………………10分所以当2n ≥时，21111211111212723441772317727n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++<+-++-<+⨯= ⎪ ⎪⎢⎥+-+⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L . …12分 当1n =时，1277<.……………………………………………………………………13分综上所述，对一切正整数n ，有1231111211117n a a a a ++++<----………………14分 方法二:()()22111111441443212342123n n n n n n n n ⎛⎫<==- ⎪+-+--+-+⎝⎭.当3n ≥时，2111723441n n ++++-L 1111111111172345971123212123n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 111111112723457714147⎛⎫<+++<++= ⎪⎝⎭.…………………12分 当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=. ……………13分（验证不写扣1分）综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<-++-+-+-n a a a a ……………………………14分 方法三:()()2211111144141212122121n n n n n n n ⎛⎫<==- ⎪+---+-+⎝⎭. ks5u当4n ≥时,2111723441n n ++++-L 1111111111117234727991123212121n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 1111272347147<+++<. ……………………………………………………12分 当1n =时，1277<；当2n =时，11112723777+<+=； 当3n =时，111111272347714147++<++=.……13分（验证不写扣1分）综上所述，对一切正整数n ，有7211...111111321<-++-+-+-n a a a a ………………14分： 2、（广州市2014届高三1月调研测试）已知数列{a n }满足135a =，1321n n n a a a +=+，*n ∈N ．（1）求证：数列1 1 n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （2）是否存在互不相等的正整数m ，s ，t ，使m ，s ，t 成等差数列，且1m a -，1s a -，1t a -成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m ，s ，t ；如果不存在，请说明理由．解：（1）因为1321n n n a a a +=+，所以111233n n a a +=+．……………………………1分 所以1111113n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．……………………………………………………3分 因为135a =，则11213a -=．……………………………………………………4分所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为32，公比为31的等比数列．………………………5分（2）由（1）知，112121333n n n a -⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭，所以332n n na =+．…………………7分 假设存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件，则有()()()22,111.s m t m t s a a a +=⎧⎪⎨-=--⎪⎩…………………………………………………9分 由332n n n a =+与()()()2111s m t a a a -=--，得2333111323232s m t sm t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．………………………………10分 即232323343m tm t s s ++⨯+⨯=+⨯．……………………………………11分因为2m t s +=，所以3323mts+=⨯．…………………………………………12分 因为332323m t m t s ++≥=⨯，当且仅当m t =时等号成立，这与m ，s ，t 互不相等矛盾．…………………………………………13分所以不存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件．…………………………14分 3、（增城市2014届高三上学期调研） 已知数列{}n a 满足111,2 1.2n n a a a +=-= （1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：12...1na a a n+++<.（1）解()11111,2121,221,211,2n n n n n n a a a a a a a +++=-==--=--=- 2分 11112n n a a +-=- 4分1111122a -=-=- 5分 ∴数列{}1n a -是以12-为首项，12为公比的等比数列， 6分∴111122n n a -⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭，∴112nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭。