高中数学选修2-3回归分析 同步练习

【成才之路】2014-2015学年高中数学 2-3 3.2回归分析同步测试 新人教B 版选修2-3一、选择题1．炼钢时钢水的含碳量与冶炼时间有( ) A ．确定性关系 B ．相关关系 C ．函数关系 D ．无任何关系[答案] B2．对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程的截距为( )A.a ^＝y ＋b ^x B ．a ^＝y ＋b ^x C.a ^＝y －b ^x D ．a ^＝y －b ^x [答案] D[解析] 回归直线方程中截距为a ^， 由公式y ＝b ^ x ＋a ^得 a ^＝y －b ^x .故选D.3．为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l 1和l 2.已知两个人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均数都为s ，对变量y 的观测数据的平均数都是t ，则下列说法正确的是( )A ．l 1与l 2有交点(s ，t )B ．l 1与l 2相交，但交点不一定是(s ，t )C ．l 1与l 2必定平行D ．l 1与l 2必定重合 [答案] A[解析] 回归直线y ^＝a ^＋bx 中的系数a ^＝y －b ^ x ，所以，方程又可以写成：y ^＝y －b ^x ＋b ^x .显然，当x ＝x 时，y ＝y ，所以，回归直线一定通过定点(x ，y )．这里的x＝s ，y ＝t ，也即是说，所得回归直线方程恒过点(s ，t )，所以l 1与l 2有交点(s ，t )，但是考虑到一般数据之间是有误差的，所以，不一定重合．故选A.4．下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．①②④[答案] B[解析] 由图可知，①④两个图反映了两个变量具有较强的线性相关关系，故选B. 5．设有一个回归方程y ＝3－5x ，变量x 增加一个单位时( ) A ．y 平均增加3个单位 B ．y 平均减少5个单位 C ．y 平均增加5个单位 D ．y 平均减少3个单位 [答案] B[解析] ∵－5是斜率的估计值，说明x 每增加一个单位时，y 平均减少5个单位． 故选B.6．(2014·淄博市、临淄区学分认定考试)观测两个相关变量，得到如下数据：x －1 －2 －3 －4 －5 5 4 3 2 1y －0.9 －2 －3.1 －3.9 －5.1 5 4.1 2.9 2.1 0.9A.y ^＝0.5x －1 B ．y ^＝x C.y ^＝2x ＋0.3 D ．y ^＝x ＋1[答案] B[解析] 因为x －＝0，y －＝－0.9－2－3.1－3.9－5.1＋5＋4.1＋2.9＋2.1＋0.910＝0，根据回归直线方程必经过样本中心点(x －，y －)可知，回归直线方程过点(0,0)，所以选B.7．已知回归直线斜率的估计值是 1.23，样本平均数x ＝4，y ＝5，则回归直线方程为( )A.y ^＝1.23x ＋4 B ．y ^＝1.23x ＋5 C.y ^＝1.23x ＋0.08 D ．y ^＝0.08x ＋1.23 [答案] C二、填空题8．已知回归直线方程为y ^＝0.50x －0.81，则x ＝25时，y 的估计值为____________． [答案] 11.69[解析] y 的估计值就是当x ＝25时的函数值，即0.50x －0.81＝11.69. 9．下列五个命题，正确命题的序号为____________． ①任何两个变量都具有相关关系； ②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系； ④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．[答案] ③④⑤[解析] 变量的相关关系是变量之间的一种近似关系，并不是所有的变量都有相关关系，而有些变量之间是确定的函数关系．例如，②中圆的周长与该圆的半径就是一种确定的函数关系；另外，线性回归直线是描述这种关系的有效方法；如果两个变量对应的数据点与所求出的直线偏离较大，那么，这条回归直线的方程就是毫无意义的．三、解答题10．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (t)与相应的生产能耗y (t 标准煤)的几组对照数据.x 3 4 5 6 y2.5344.5(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝bx ＋a ； (3)已知该厂技改前100 t 甲产品的生产能耗为90 t 标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程预测生产100 t 甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) [解析] (1)由题设所给数据，可得散点图如下图．(2)由对照数据，计算得：∑i ＝14x 2i ＝86， x ＝3＋4＋5＋64＝4.5， y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，已知∑i ＝14x i y i ＝66.5，所以由最小二乘法确定的回归方程的系数为b ＝∑i ＝14x i y i －4x y∑i ＝14x 2i －4x2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7， a ＝y －b x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35.因此，所求的线性回归方程为y ＝0.7x ＋0.35.(3)由(2)的回归方程及技改前生产100 t 甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(t 标准煤).一、选择题1．(2014·枣阳一中、襄州一中、宣城一中、曾都一中高三期中联考)由变量x 与y 相对应的一组数据(1，y 1)、(5，y 2)、(7，y 3)、(13，y 4)、(19，y 5)得到的线性回归方程为y ^＝2x ＋45，则y －＝( )A ．135B ．90C ．67D ．63[答案] D[解析] ∵x －＝15(1＋5＋7＋13＋19)＝9，y －＝2x －＋45，∴y －＝2×9＋45＝63，故选D. 2．两个相关变量满足如下关系：x 10 15 20 25 30 y10031005101010111014A.y ^＝0.56x ＋997.4 B ．y ^＝0.63x －231.2 C.y ^＝50.2x ＋501.4 D ．y ^＝60.4x ＋400.7[答案] A[解析] 利用公式b ＝∑i －1nx i y i －n xy∑i －1nx 2i －n x 2≈0.56.a ＝y －b x ≈997.4.∴回归直线方程为y ^＝0.56x ＋997.4. 故选A.3．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确．．．的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x －，y －)C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg [答案] D[解析] 本题考查线性回归方程．D 项中身高为170cm 时，体重“约为”58.79kg，而不是“确定”，回归方程只能作出“估计”，而非确定“线性”关系．二、填空题4．若预报体重y (kg)和身高x (cm)之间的线性回归方程为y ^＝0.849x －85.712，如果要找到体重为41.638kg 的人，____________是在身高为150cm 的人群中．(填“一定”或“不一定”)[答案] 不一定[解析] 体重不仅受身高的影响，还受其他因素影响． 5．已知两个变量x 和y 线性相关，5次试验的观测数据如下：那么变量y 关于x[答案] y ^＝0.575x －14.9 三、解答题6．针对某工厂某产品产量与单位成本的资料进行线性回归分析：月份 产量(千件)x 单位成本(元/件)y x 2xy1 2 73 4 146 2 3 72 92163 4 71 16 284 4 3 73 92195 4 69 16 276 6 5 68 25 340 合计2142679 1481求回归直线方程．[解析] 设回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，x ＝216，y ＝4266＝71，∑i ＝16x 2i ＝79，∑i ＝16x i y i ＝1 481，所以代入公式，b ^＝1 481－6×216×7179－6×2162＝－105.5≈－1.818 2，a ^＝71－(－1.818 2)×216≈77.36，故回归直线方程为y ^＝77.36－1.82x ；由回归系数b 的意义可知：产量每增加1 000件，产品的单位成本就降低1.82元． 7．在一段时间内，某种商品价格x (万元)和需求量Y (t)之间的一组数据为价格x 1.4 1.6 1.8 2 2.2 需求量Y1210753(1)(2)求出Y 对x 的回归直线方程，并在(1)的散点图中画出它的图象； (3)如价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确到0.01t) [解析] (1)由题设所给数据，可得散点图如下：(2)采用列表的方法计算a 与与回归系数b .序号 xyx 2xy1 1.4 12 1.96 16.8 2 1.6 10 2.56 163 1.8 7 3.24 12.6 4 25 4 10 5 2.2 3 4.84 6.6 ∑93716.662x ＝15×9＝1.8，y ＝5×37＝7.4，b ^＝62－5×1.8×7.416.6－5×1.82≈－11.5，a ^＝7.4＋11.5×1.8＝28.1，则Y 对x 的回归直线方程为y ^＝a ^＋b ^x ＝28.1－11.5x . (3)当x ＝1.9时，Y ＝28.1－11.5×1.9＝6.25， 所以价格定为1.9万元，需求量大约是6.25(t)．8．已知某地每单位面积菜地年平均使用氮肥量x (kg)与每单位面积蔬菜年平均产量y (t)之间的关系有如下数据：年份1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 x (kg) 70 74 80 78 85 92 90 95 y (t) 5.1 6.0 6.8 7.8 9.0 10.2 10.0 12.0年份1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 x (kg) 92 108 115 123 130 138 145 y (t)11.511.011.812.212.512.813.0(2)若线性相关，求蔬菜产量y 与使用氮肥量x 之间的回归直线方程，并估计每单位面积施氮肥150kg 时，每单位面积蔬菜的年平均产量．[解析](1)列出下表，并用科学计算器进行相关计算：i 1 2 3 4 5 6 7 8 x i 70 74 80 78 85 92 90 95 y i 5.1 6.0 6.8 7.8 9.0 10.2 10.0 12.0 x i y i 357 444 544 608.4 765 938.4 900 1140 i 9 10 11 12 13 14 15 x i 92 108 115 123 130 138 145 y i 11.5 11.0 11.8 12.2 12.5 12.8 13.0 x i y i 1058118813571500.616251766.41885x ＝15＝101，y ＝15≈10.11， ∑i ＝115x 2i ＝161125，∑i ＝115y 2i ＝1628.55，∑i ＝115x i y i ＝16076.8.故蔬菜产量与施用氮肥量的相关系数r ＝16076.8－15×101×10.11161125－15×10121628.55－15×10.112≈0.8643.由小概率0.05与n －2在附表中查得相关系数临界值r 0.05＝0.514，则r >r 0.05，说明有95%的把握认为蔬菜产量与施用氮肥量之间存在着线性相关关系．(2)设所求的回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则b ^＝∑i ＝115x i y i －15x y∑i ＝115x 2i －15x 2＝16076.8－15×101×10.11161125－15×1012≈0.0937， a ^＝y －b ^x ≈10.11－0.0937×101＝0.6463，∴回归直线方程为y ^＝0.0937x ＋0.6463.∴当每单位面积施氮肥150kg 时，每单位面积蔬菜年平均产量为0.0937×150＋0.6463≈14.701(t)．[说明] 本题主要考查对两个变量的相关性检验和回归分析．(1)使用样本相关系数计算公式来完成；(2)先作统计假设，由小概率0.05与n －2在附表中查得相关系数临界值r 0.05，若r >r 0.05则线性相关，否则不线性相关．。

1．设有一个回归直线方程y＝2－2.5x，则变量x增加一个单位时()．A．y平均增加2.5个单位B．y平均增加2个单位C．y平均减少2.5个单位D．y平均减少2个单位2．y与x之间的线性回归方程y＝bx＋a必定过()．A．(0,0)B．(，0)C．(0，y)D．(，y)3．工人月工资y(单位：元)关于劳动生产率x(单位：千元)的回归方程为y＝650＋80x，下列说法中正确的个数是()．①劳动生产率为1000元时，工资为730元；②劳动生产率提高1000元，则工资提高80元；③劳动生产率提高1000元，则工资提高730元；④当月工资为810元时，劳动生产率约为2000元．A．1B．2C．3D．44．已知某车间加工零件的个数x与所花费时间y(h)之间的线性回归方程为y＝0.01x＋0.5，则加工600个零件大约需要()．A．6.5hB．5.5hC．3.5hD．0.5h5．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有()．A．b与r的符号相同B．a与r的符号相同C．b与r的符号相反D．a与r的符号相反6．已知一个回归直线方程为y＝1.5x＋45，x∈{1,7,5,13,19}，则y＝______.7．对于n个复数z1，z2，…，z n，如果存在n个不全为零的实数k1，k2，…，k n，使得k1z1＋k2z2＋…＋k z n＝0，就称z1，z2，…，z n线性相关．若要说明z1＝1＋2i，z2＝1－i，z3＝－2线性相关，那么可取{k1，k2 n，k3}＝______.(只要写出一组即可)8．已知x与y之间的一组数据：x 012 3y 1357则y与x的线性回归方程为y＝bx＋a必过点__________．9．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验．测得的数据如下.零件数x(个)102030405060708090100加工时间y(分)626875818995102108115122(1)求y对x的回归直线方程．(2)据此估计加工200个零件所用的时间是多少？10．某农场对单位面积化肥用量x(kg)和水稻相应产量y(kg)的关系作了统计，得到数据如下：如果x 与y之间具有线性相关关系，求出回归直线方程，并预测当单位面积化肥用量为32kg时水稻的产量大约是多少？(精确到0.01kg)x 15202530354045y 330345365405445450455参考答案1.答案：C解析：∵y ＝2－2.5x ，a ＝2，b ＝－2.5，∴变量x 增加一个单位时，y 平均减少2.5个单位． 2.答案：D解析：线性回归方程一定过样本中心(，y )． 3.答案：C解析：代入方程计算可判断①②④正确． 4.答案：A解析：当x ＝600，y ＝600×0.01＋0.5＝6.5(h)． 5.答案：A解析：因为b ＞0时，两变量正相关，此时，r ＞0；b ＜0时，两变量负相关，此时r ＜0. 6.答案：58.5 解析：因为＝15×(1＋7＋5＋13＋19)＝9，且y ＝1.5＋45，所以y ＝1.5×9＋45＝58.5. 7.答案：{2,4,3}解析：由k 1(1＋2i)＋k 2(1－i)－2k 3＝0， 即(k 1＋k 2－2k 3)＋(2k 1－k 2)i ＝0， ∴1231220,20,k k k k k +-=⎧⎨-=⎩即k 1∶k 2∶k 3＝1∶2∶32.8.答案：(1.5,4)解析：回归直线方程必过点(，y )，又＝01234+++＝1.5，13574y +++=＝4，故y 与x 的线性回归方程必过点(1.5,4)．9.解：(1)列出下表，并用科学计算器进行计算．i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 y i 62 68 75 81 89 95 102 108 115122x i y i 62013602250324044505700 7140864010350 12200＝55，y ＝91.7，1021ii x=∑＝38500，101i ii x y =∑＝55950设所求的回归直线方程为y ＝bx ＋A ．同时，利用上表可得b ＝10110222110 y55 950-105591.738 500-105510i ii ii x y x xx ==-⨯⨯=⨯-∑∑≈0.668， a ＝y －b ＝91.7－0.668×55＝54.96，即所求的回归直线方程为y ＝0.668x ＋54.96.(2)这个回归直线方程的意义是当x 增大1时，y 的值约增加0.668，而54.96是y 不随x 增大而变化的部分．因此当x ＝200时，y 的估计值为 y ＝54.96＋0.668×200＝188.56≈189. 故加工200个零件时所用的时间约为189分． 10.解：列表如下：序号 x y x 2 xy 1 15 330 225 4950 2 20 345 400 6900 3 25 365 625 9125 4 30 405 900 12150 5 35 445 1225 15575 6 40 450 1600 18000 7 45 455 2025 20475 合计2102795700087175＝17×210＝30，17y =×2795≈399.3， b ＝287 175-730399.37 000-730⨯⨯⨯≈4.746， a ＝399.3－4.746×30＝256.92，∴y 对x 的回归直线方程为y ＝256.92＋4.746x . ∴当x ＝32时，y ＝256.92＋4.746×32≈408.79(kg)．答：回归直线方程为y ＝256.92＋4.746x ，当单位面积化肥用量为32kg 时，水稻的产量约为408.79kg.。

第三章 3.1一、选择题(每小题5分，共20分) 1．有下列说法：①残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适； ②用相关指数R 2来刻画回归的效果，R 2值越大，说明模型的拟合效果越好；③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析： 对于①，正确，并且带状区域宽度越窄，说明拟合的精度越高，回归方程的预报精度越高．对于②③，R 2越大，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，故②③正确．答案： D2．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：广告费用x (万元) 4 2 3 5 销售额y (万元)49263954根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元解析： 由表可计算x ＝4＋2＋3＋54＝72，y ＝49＋26＋39＋544＝42，因为点⎝⎛⎭⎫72，42在回归直线y ∧＝b ∧x ＋a ∧上，且b ∧为9.4，所以42＝9.4×72＋a ∧，解得a ∧＝9.1，故回归方程为y ∧＝9.4x ＋9.1，令x ＝6得y ∧＝65.5，故选B. 答案： B3．工人月工资y (单位：元)关于劳动生产率x (单位：千元)的回归方程y ∧＝650＋80x ，下列说法中正确的个数是( )①劳动生产率为1 000元时，工资为730元； ②劳动生产率提高1 000元，则工资提高80元； ③劳动生产率提高1 000元，则工资提高730元；④当月工资为810元时，劳动生产率约为 2 000元． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析： 代入方程计算可判断①②④正确． 答案： C4．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A ，B 两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和∑i ＝1n(y i －y ∧i )2如下表：甲乙丙丁散点图残差平方和115106124103A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析： 根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持残差平方和越小(对于已经获取的样本数据，R 2表达式中∑i ＝1n(y i －y )2为确定的数，则残差平方和越小，R 2越大)，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好，由试验结果知丁要好些．故选D.答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得相关指数R 2≈0.85，则表明气温解释了________的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余的________，所以气温对热茶销售杯数的效应比随机误差的效应大得多．解析： 由相关指数R 2的意义可知，R 2≈0.85表明气温解释了85%，而随机误差贡献了剩余的15%.答案： 85% 15%6．若施肥量x (kg)与小麦产量y (kg)之间的回归直线方程为y ∧＝250＋4x ，当施肥量为50 kg 时，预计小麦产量为________．解析： 把x ＝50代入y ∧＝250＋4x ，可求得y ∧＝450.答案： 450 kg三、解答题(每小题10分，共20分)7．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x (元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y (件)908483807568(1)求回归直线方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧，其中b ∧＝－20，a ∧＝y －b ∧x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解析： (1)因为x ＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y ＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，从而a ∧＝y ＋20x ＝80＋20×8.5＝250，故y ∧＝－20x ＋250.(2)由题意知，工厂获得利润z ＝(x －4)y ＝－20x 2＋330x －1 000＝－20⎝⎛⎭⎫x －3342＋361.25， 所以当x ＝334＝8.25时，z max ＝361.25(元)．即当该产品的单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．8．某种产品的广告费用支出x 与销售额y (单位：百万元)之间有如下的对应数据关系：x /百万元 2 4 5 6 8 y /百万元3040605070(1)画出散点图； (2)求线性回归方程；(3)试预测广告费用支出为10百万元时，销售额多大？ 解析： (1)散点图如图所示：(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算：i12345合计x i 2 45 6 8 25 y i 30 40 60 50 70 250 x i y i 60 160 300 300 560 1 380 x 2i416253664145所以，x ＝255＝5，y ＝2505＝50，∑i ＝15x 2i ＝145，∑i ＝15x i y i ＝1 380.于是可得b ∧＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2＝1 380－5×5×50145－52×5＝6.5，a ∧＝y －b ∧x ＝50－6.5×5＝17.5.所以所求的线性回归方程为y ∧＝6.5x ＋17.5.(3)根据上面求得的线性回归方程，当广告费用支出为10百万元时，y ∧＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)，即广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元．(10分)假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有如下的统计资料：使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y2.23.85.56.57.0若由资料知，y 对试求：(1)线性回归方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧中的a ∧，b ∧的值； (2)求残差平方和； (3)求相关指数R 2；(4)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？解析： y 对x 呈线性相关关系，转化为一元线性相关的方法，根据公式分别计算． (1)由已知数据制成下表：i 1 2 3 4 5 合计 x i 2 3 4 5 6 20 y i 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25 x i y i 4.4 11.4 22 32.5 42 112.3 x 2i4916253690x ＝4；y ＝5；∑i ＝15x 2i ＝90；∑i ＝15x i y i ＝112.3于是有b ∧＝112.3－5×4×590－5×4×4＝1.23，a ∧＝y －b ∧x ＝5－1.23×4＝0.08，∴y ∧＝1.23x ＋0.08.(2)求公式y ∧1＝1.23×2＋0.08＝2.54y ∧2＝1.23×3＋0.08＝3.77，y ∧3＝1.23×4＋0.08＝5，y ∧4＝1.23×5＋0.08＝6.23，y ∧5＝1.23×6＋0.08＝7.46，e ∧1＝2.2－2.54＝－0.34，e ∧2＝3.8－3.77＝0.03，e ∧3＝5.5－5＝0.5，e ∧4＝6.5－6.23＝0.27，e ∧5＝7.0－7.46＝－0.46. ∴残差平方和为：(－0.34)2＋0.032＋0.52＋0.272＋(－0.46)2＝0.651. (3)R 2＝1－0.651(－2.8)2＋(－1.2)2＋0.52＋1.52＋22≈0.958 7.(4)回归方程y ∧＝1.23x ＋0.08，当x ＝10年时，y ∧＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即估计使用10年时，维修费用是12.38万元.。

⼈教A版⾼中数学选修2-3全册同步练习及单元检测含答案⼈教版⾼中数学选修2～3 全册章节同步检测试题⽬录第1章《计数原理》同步练习 1.1测试1第1章《计数原理》同步练习 1.1测试2第1章《计数原理》同步练习 1.1测试3第1章《计数原理》同步练习 1.2排列与组合第1章《计数原理》同步练习 1.3⼆项式定理第1章《计数原理》测试（1）第1章《计数原理》测试（2）第2章同步练习 2.1离散型随机变量及其分布列第2章同步练习 2.2⼆项分布及其应⽤第2章测试（1）第2章测试（2）第2章测试（3）第3章练习 3.1回归分析的基本思想及其初步应⽤第3章练习 3.2独⽴性检验的基本思想及其初步应⽤第3章《统计案例》测试（1）第3章《统计案例》测试（2）第3章《统计案例》测试（3）1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题1．⼀件⼯作可以⽤2种⽅法完成，有3⼈会⽤第1种⽅法完成，另外5⼈会⽤第2种⽅法完成，从中选出1⼈来完成这件⼯作，不同选法的种数是（）Ａ．8 Ｂ．15Ｃ．16 Ｄ．30答案：Ａ2．从甲地去⼄地有3班⽕车，从⼄地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅⾏⽅式有（）Ａ．5种Ｂ．6种Ｃ．7种Ｄ．8种答案：Ｂ3．如图所⽰为⼀电路图，从A 到B 共有（）条不同的线路可通电（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4答案：Ｄ4．由数字0，1，2，3，4可组成⽆重复数字的两位数的个数是（）Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．12答案：Ｃ5．李芳有4件不同颜⾊的衬⾐，3件不同花样的裙⼦，另有两套不同样式的连⾐裙．“五⼀”节需选择⼀套服装参加歌舞演出，则李芳有（）种不同的选择⽅式（）Ａ．24 Ｂ．14 Ｃ．10 Ｄ．9答案：Ｂ 6．设A ，B 是两个⾮空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==，，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（）Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．16答案：Ｃ⼆、填空题7．商店⾥有15种上⾐，18种裤⼦，某⼈要买⼀件上⾐或⼀条裤⼦，共有种不同的选法；要买上⾐，裤⼦各⼀件，共有种不同的选法．答案：33，2708．⼗字路⼝来往的车辆，如果不允许回头，共有种⾏车路线．答案：129．已知{}{}0341278a b ∈∈，，，，，，，则⽅程22()()25x a y b -+-=表⽰不同的圆的个数是．答案：1210．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有项．答案：1011．如图，从A →C ，有种不同⾛法．答案：612．将三封信投⼊4个邮箱，不同的投法有种．答案：34三、解答题 13．⼀个⼝袋内装有5个⼩球，另⼀个⼝袋内装有4个⼩球，所有这些⼩球的颜⾊互不相同．（1）从两个⼝袋内任取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？（2）从两个⼝袋内各取⼀个⼩球，有多少种不同的取法？解：（1）549N =+=种；（2）5420N =?=种．14．某校学⽣会由⾼⼀年级5⼈，⾼⼆年级6⼈，⾼三年级4⼈组成．（1）选其中1⼈为学⽣会主席，有多少种不同的选法？（2）若每年级选1⼈为校学⽣会常委，有多少种不同的选法？（3）若要选出不同年级的两⼈参加市⾥组织的活动，有多少种不同的选法？解：（1）56415N =++=种；（2）564120N =??=种；（3）56644574N =?+?+?=种15．已知集合{}321012()M P a b =---，，，，，，，是平⾯上的点，a b M ∈，．（1）()P a b ，可表⽰平⾯上多少个不同的点？（2）()P a b ，可表⽰多少个坐标轴上的点？解：（1）完成这件事分为两个步骤：a 的取法有6种，b 的取法也有6种，∴P 点个数为N =6×6=36(个)；（2）根据分类加法计数原理，分为三类：①x 轴上（不含原点）有5个点；②y 轴上（不含原点）有5个点；③既在x 轴，⼜在y 轴上的点，即原点也适合，∴共有N =5+5+1=11（个）．1. 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理测试题⼀、选择题 1．从集合{ 0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a ，b 组成复数a bi +，其中虚数有（） A ．30个 B ．42个 C ．36个 D ．35个答案：Ｃ2．把10个苹果分成三堆，要求每堆⾄少1个，⾄多5个，则不同的分法共有（） A ．4种 B ．5种 C ．6种 D ．7种答案：Ａ3．如图，⽤4种不同的颜⾊涂⼊图中的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂⾊不同，则不同的涂法有（） A ．72种 B ．48种 C ．24种 D ．12种答案：Ａ4．教学⼤楼共有五层，每层均有两个楼梯，由⼀层到五层的⾛法有（） A ．10种 B ．52种Ｃ．25种Ｄ．42种答案：Ｄ5．已知集合{}{}023A B x x ab a b A ===∈，，，，，|，则B 的⼦集的个数是（）Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．15答案：Ｃ6．三边长均为正整数，且最⼤边长为11的三⾓形的个数为（）Ａ．25 Ｂ．26 Ｃ．36 Ｄ．37答案：Ｃ⼆、填空题7．平⾯内有7个点，其中有5个点在⼀条直线上，此外⽆三点共线，经过这7个点可连成不同直线的条数是．答案：128．圆周上有2n 个等分点（1n >），以其中三个点为顶点的直⾓三⾓形的个数为．答案：2(1)n n -9．电⼦计算机的输⼊纸带每排有8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排可产⽣种不同的信息．答案：25610．椭圆221x y m n+=的焦点在y 轴上，且{}{}123451234567m n ∈∈，，，，，，，，，，，，则这样的椭圆的个数为．答案：20 11．已知集合{}123A ，，ü，且A 中⾄少有⼀个奇数，则满⾜条件的集合A 分别是．答案：{}{}{}{}{}13122313，，，，，，，12．整数630的正约数（包括1和630）共有个．答案：24三、解答题 13．⽤0，1，2，3，4，5六个数字组成⽆重复数字的四位数，⽐3410⼤的四位数有多少个？解：本题可以从⾼位到低位进⾏分类．（1）千位数字⽐3⼤．（2）千位数字为3：①百位数字⽐4⼤；②百位数字为4： 1°⼗位数字⽐1⼤；2°⼗位数字为1→个位数字⽐0⼤．所以⽐3410⼤的四位数共有2×5×4×3+4×3+2×3+2=140（个）．14．有红、黄、蓝三种颜⾊旗⼦各(3)n n >⾯，任取其中三⾯，升上旗杆组成纵列信号，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦中不允许有三⾯相同颜⾊的旗⼦，可以有多少种不同的信号？若所升旗⼦颜⾊各不相同，有多少种不同的信号？解： 1N =3×3×3=27种； 227324N =-=种； 33216N =??= 种．15．某出版社的7名⼯⼈中，有3⼈只会排版，2⼈只会印刷，还有2⼈既会排版⼜会印刷，现从7⼈中安排2⼈排版，2⼈印刷，有⼏种不同的安排⽅法．解：⾸先分类的标准要正确，可以选择“只会排版”、“只会印刷”、“既会排版⼜会印刷”中的⼀个作为分类的标准．下⾯选择“既会排版⼜会印刷”作为分类的标准，按照被选出的⼈数，可将问题分为三类：第⼀类：2⼈全不被选出，即从只会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法；只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有3×1=3种选法．第⼆类：2⼈中被选出⼀⼈，有2种选法．若此⼈去排版，则再从会排版的3⼈中选1⼈，有3种选法，只会印刷的2⼈全被选出，有1种选法，由分步计数原理知共有2×3×1=6种选法；若此⼈去印刷，则再从会印刷的2⼈中选1⼈，有2种选法，从会排版的3⼈中选2⼈，有3种选法，由分步计数原理知共有2×3×2=12种选法；再由分类计数原理知共有6+12=18种选法．第三类：2⼈全被选出，同理共有16种选法．所以共有3+18+16=37种选法．1． 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合卷⼀．选择题：1．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种2．⼀个三层书架，分别放置语⽂书12本，数学书14本，英语书11本，从中取出语⽂、数学、英语各⼀本，则不同的取法共有（）（A ） 37种（B ） 1848种（C ） 3种（D ） 6种3．某商业⼤厦有东南西3个⼤门，楼内东西两侧各有2个楼梯，从楼外到⼆楼的不同⾛法种数是（）（A ） 5 （B ）7 （C ）10 （D ）124．⽤1、2、3、4四个数字可以排成不含重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个5．⽤1、2、3、4四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有（）（A ）265个（B ）232个（C ）128个（D ）24个6．3科⽼师都布置了作业，在同⼀时刻4名学⽣都做作业的可能情况有（）（A ）43种（B ）34种（C ）4×3×2种（D ） 1×2×3种7．把4张同样的参观券分给5个代表，每⼈最多分⼀张，参观券全部分完，则不同的分法共有（）（A ）120种（B ）1024种（C ）625种（D ）5种8．已知集合M={l ，－2，3}，N={－4，5，6，7}，从两个集合中各取⼀个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直⾓坐标系中可表⽰第⼀、⼆象限内不同的点的个数是（）（A ）18 （B ）17 （C ）16 （D ）109．三边长均为整数，且最⼤边为11的三⾓形的个数为（）（A ）25 （B ）36 （C ）26 （D ）3710．如图，某城市中，M 、N 两地有整齐的道路⽹，若规定只能向东或向北两个⽅向沿途中路线前进，则从M 到N 不同的⾛法共有（）（A ）25 （B ）15 （C）13 （D ）10 ⼆．填空题：11．某书店有不同年级的语⽂、数学、英语练习册各10本，买其中⼀种有种⽅法；买其中两种有种⽅法．12．⼤⼩不等的两个正⽅形玩具，分别在各⾯上标有数字1，2，3，4，5，6，则向上的⾯标着的两个数字之积不少于20的情形有种．13．从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两个数，分别作为对数的底数和真数，可得到个不同的对数值．14．在连结正⼋边形的三个顶点组成的三⾓形中，与正⼋边形有公共边的有个．15．某班宣传⼩组要出⼀期向英雄学习的专刊，现有红、黄、⽩、绿、蓝五种颜⾊的粉笔供选⽤，要求在⿊板中A 、B 、C 、D 每⼀部分只写⼀种颜⾊，如图所⽰，相邻两块颜⾊不同，则不同颜⾊的书写⽅法共有种．三．解答题：16．现由某校⾼⼀年级四个班学⽣34⼈，其中⼀、⼆、三、四班分别为7⼈、8⼈、9⼈、10⼈，他们⾃愿组成数学课外⼩组．（1）选其中⼀⼈为负责⼈，有多少种不同的选法？（2）每班选⼀名组长，有多少种不同的选法？（3）推选⼆⼈做中⼼发⾔，这⼆⼈需来⾃不同的班级，有多少种不同的选法？17．4名同学分别报名参加⾜球队，蓝球队、乒乓球队，每⼈限报其中⼀个运动队，不同的报名⽅法有⼏种？［探究与提⾼］1．甲、⼄两个正整数的最⼤公约数为60，求甲、⼄两数的公约数共有多个？2．从{－3，－2，－1，0，l，2，3}中，任取3个不同的数作为抛物线⽅程y=ax2＋bx＋c（a≠0）的系数，如果抛物线过原点，且顶点在第⼀象限，这样的抛物线共有多少条？3．电视台在“欢乐今宵”节⽬中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的群众来信，甲信箱中有30封，⼄信箱中有20封．现由主持⼈抽奖确定幸运观众，若先确定⼀名幸运之星，再从两信箱中各确定⼀名幸运伙伴，有多少种不同的结果？综合卷1．A 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．D 8．B 9．B 10．B11．30；300 12．513．17 14．40 15．1801． 2排列与组合1、排列综合卷1．90×9l ×92×……×100=（）（A ）10100A （B ）11100A （C ）12100A （D ）11101A 2．下列各式中与排列数mn A 相等的是（）（A ）!(1)!-+n n m （B ）n(n －1)(n －2)……(n －m) （C ）11m n nA n m --+ （D ）111m n n A A --3．若 n ∈N 且 n<20，则(27－n )(28－n)……(34－n)等于（）（A ）827n A - （B ）2734nn A -- （C ）734n A - （D ）834n A -4．若S=123100123100A A A A ++++，则S 的个位数字是（）（A ）0 （B ）3 （C ）5 （D ）85．⽤1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）（A ）24个（B ）30个（C ）40个（D ）60个6．从0，l ，3，5，7，9中任取两个数做除法，可得到不同的商共有（）（A ）20个（B ）19个（C ）25个（D ）30个7．甲、⼄、丙、丁四种不同的种⼦，在三块不同⼟地上试种，其中种⼦甲必须试种，那么不同的试种⽅法共有（）（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）96种8．某天上午要排语⽂、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第⼀节，那么这天上午课程表的不同排法共有（）（A ）6种（B ）9种（C ）18种（D ）24种9．有四位司机、四个售票员组成四个⼩组，每组有⼀位司机和⼀位售票员，则不同的分组⽅案共有（）（A ）88A 种（B ）48A 种（C ）44A ·44A 种（D ）44A 种10．有4位学⽣和3位⽼师站在⼀排拍照，任何两位⽼师不站在⼀起的不同排法共有（）（A ）(4!)2种（B ）4!·3!种（C ）34A ·4!种（D ）3 5A ·4!种11．把5件不同的商品在货架上排成⼀排，其中a ，b 两种必须排在⼀起，⽽c ，d 两种不能排在⼀起，则不同排法共有（）（A ）12种（B ）20种（C ）24种（D ）48种⼆．填空题:：12．6个⼈站⼀排，甲不在排头，共有种不同排法．13．6个⼈站⼀排，甲不在排头，⼄不在排尾，共有种不同排法．14．五男⼆⼥排成⼀排，若男⽣甲必须排在排头或排尾，⼆⼥必须排在⼀起，不同的排法共有种．15．将红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼩球，分别放⼊红、黄、蓝、⽩、⿊5种颜⾊的⼝袋中，但红⼝袋不能装⼊红球，则有种不同的放法．16．（1）有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法；（2）有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每⼈各⼀本，共有种不同的送法．三、解答题：17．⼀场晚会有5个唱歌节⽬和3个舞蹈节⽬，要求排出⼀个节⽬单（1）前4个节⽬中要有舞蹈，有多少种排法？（2）3个舞蹈节⽬要排在⼀起，有多少种排法？（3）3个舞蹈节⽬彼此要隔开，有多少种排法？18．三个⼥⽣和五个男⽣排成⼀排．（1）如果⼥⽣必须全排在⼀起，有多少种不同的排法？（2）如果⼥⽣必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排⼥⽣，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排⼥⽣，有多少种不同的排法？（5）如果三个⼥⽣站在前排，五个男⽣站在后排，有多少种不同的排法？综合卷1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．B 7．B 8．C 9．D 10．D 11．C12．600 13．504 14．480 15．9616．(1) 60；(2) 12517．(1) 37440；(2) 4320；(3) 1440018．(1) 4320；(2) 14400；(3) 14400；(4) 36000；(5) 7202、组合综合卷⼀、选择题：1．下列等式不正确的是（）（A ）!!()!mn n C m n m =- （B ）11mm n n m C C n m++=- （C ）1111m m n n m C C n +++=+ （D ）11m m n n C C ++= 2．下列等式不正确的是（）（A ）m n m n n C C -= （B ）11m m mm m m C C C -++=（C ）123455555552C C C C C ++++= （D ）11 111m m m m n n n n C C C C --+--=++3．⽅程2551616x x x C C --=的解共有（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个4．若372345n n n C A ---=，则n 的值是（）（A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）145．已知7781n n n C C C +-=，那么n 的值是（）（A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 6．从5名男⽣中挑选3⼈，4名⼥⽣中挑选2⼈，组成⼀个⼩组，不同的挑选⽅法共有（）（A ）3254C C 种（B ） 3254C C 55A 种（C ） 3254A A 种（D ） 3254A A 55A 种7．从4个男⽣，3个⼥⽣中挑选4⼈参加智⼒竞赛，要求⾄少有⼀个⼥⽣参加的选法共有（）（A ）12种（B ）34种（C ）35种（D ）340种8．平⾯上有7个点，除某三点在⼀直线上外，再⽆其它三点共线，若过其中两点作⼀直线，则可作成不同的直线（）（A ）18条（B ）19条（C ）20条（D ）21条9．在9件产品中，有⼀级品4件，⼆级品3件，三级品2件，现抽取4个检查，⾄少有两件⼀级品的抽法共有（）（A ）60种（B ）81种（C ）100种（D ）126种10．某电⼦元件电路有⼀个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某⼀焊点脱落，电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（）（A ）5种（B ）6种（C ）63种（D ）64种⼆．填空题：11．若11m m n n C xC --=，则x= ．12．三名教师教六个班的课，每⼈教两个班，分配⽅案共有种。

第三章 统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．工人月工资y (单位：元)关于劳动生产率x (单位：千元)的回归方程y ∧＝650＋80x ，下列说法中正确的个数是( )①劳动生产率为1 000元时，工资为730元； ②劳动生产率提高1 000元，则工资提高80元； ③劳动生产率提高1 000元，则工资提高730元；④当月工资为810元时，劳动生产率约为2 000元． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：代入方程计算可判断①②④正确． 答案：C2．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归方程为y ∧＝7.19x ＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( )A ．身高在145.83 cm 左右B ．身高在145.83 cm 以上C ．身高在145.83 cm 以下D ．身高一定是145.83 cm解析：回归方程得到的预报值是预报变量的估计值，它是预报变量可能取值的平均值． 答案：A3．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A 、B 两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和()21ˆni i i y y=-∑如下表：A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持残差平方和越小(对于已经获取的样本数据，R 2表达式中()21ni i y y =-∑为确定的数，则残差平方和越小，R 2越大)，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好，由试验结果知丁要好些．故选D.答案：D4．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧中的b ∧为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元解析：由表可计算x ＝4＋2＋3＋54＝72，y ＝49＋26＋39＋544＝42，因为点7,422⎛⎫⎪⎝⎭在回归直线y ∧＝b ∧＋a ∧上，且b ∧为9.4，所以42＝9.4×72＋a ∧，解得a ∧＝9.1，故回归方程为y ∧＝9.4x ＋9.1，令x ＝6得y ∧＝65.5，故选B. 答案：B二、填空题(每小题5分，共10分)5．下表是x 和y 之间的一组数据，则y 关于x 的线性回归方程必过点________.解析：线性回归方程必过样本点的中心(,x y ，即(2.5,4)． 答案：(2.5,4)6．已知回归直线的斜率的估计值为 1.23.样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是________________．解析：由斜率的估计值为 1.23，且回归直线一定经过样本点的中心(4,5)，可得y ∧－5＝1.23(x －4)，即y ∧＝1.23x ＋0.08.答案：y ∧＝1.23x ＋0.08三、解答题(每小题10分，共30分)7．假定小麦基本苗数x 与成熟期有效穗y 之间存在线性相关关系，今测得5组数据如下：(1)求y 与x 之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗；(2)计算各组残差，并计算残差平方和．解析：(1)设回归方程为y ∧＝b ∧x ＋a ∧，x ＝30.36，y ＝43.5，521ii x=∑＝5 101.56，521i i y =∑＝9 511.43，x y ＝1 320.66，y 2＝1 892.25，x 2＝921.729 6，51i i i x y =∑＝6 746.76.则b ∧≈0. 291，a ∧＝y －b ∧x ＝34.67.故所求的回归直线方程为y ∧＝34.67＋0. 291x .当x ＝56.7时，y ∧＝34.67＋0. 291×56.7＝51.169 7，估计成熟期有效穗51.169 7.(2)由于y ＝bx ＋a ＋e ，可以算得e i ＝y i －y ∧i 分别为e 1＝0.365，e 2＝0.722 2，e 3＝－0.5，e 4＝－2.220 6，e 5＝1.609 6.残差平方和：521i i e =∑≈8.426 7.8．假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有如下的统计资料：若由资料知，y 对x 呈线性相关关系．试求：(1)线性回归方程y ∧＝b ∧x ＋a ∧中的a ∧、b ∧的值； (2)求残差平方和； (3)求相关指数R 2；(4)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？解析：y 对x 呈线性相关关系，转化为一元线性相关的方法，根据公式分别计算． (1)由已知数据制成下表：x ＝4；y ＝5；52190ii x ==∑；51i i i x y =∑＝112.3于是有b ∧＝112.3－5×4×590－5×4×4＝1.23，a ∧＝y －b ∧x ＝5－1.23×4＝0.08，∴y ∧＝1.23x ＋0.08.(2)求公式y ∧1＝1.23×2＋0.08＝2.54y ∧2＝1.23×3＋0.08＝3.77，y ∧3＝1.23×4＋0.08＝5，y ∧4＝1.23×5＋0.08＝6.23，y ∧5＝1.23×6＋0.08＝7.46，e ∧1＝2.2－2.54＝－0.34，e ∧2＝3.8－3.77＝0.03，e ∧3＝5.5－5＝0.5，e ∧4＝6.5－6.23＝0.27，e ∧5＝7.0－7.46＝－0.46. ∴残差平方和为：(－0.34)2＋0.032＋0.52＋0.272＋(－0.46)2＝0.651. (3)R 2＝1－0.651(－2.8)2＋(－1.2)2＋0.52＋1.52＋22≈0.958 7. (4)回归方程y ∧＝1.23x ＋0.08，当x ＝10年时，y ∧＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即估计使用10年时，维修费用是12.38万元．9．(10分)为了对2012年某市高二期末考试成绩进行分析，所有成绩均按百分制进行了折算，在60分以上的全体同学中随机抽出8位．若这8位同学的数学、物理、化学成绩对应如下表：求y 型的拟合效果．参考数据：x ＝77.5，y ＝84.875，z ＝81，()821i i x x =-∑＝1 050，()821i i y y =-∑＝456.875，()821i i z z=-∑＝550，()()81i i i x x y y =--∑＝687.5，()()81i i i x x z z =--∑＝755，()821ˆi i y y=-∑＝6.75，()821ˆi i z z=-∑＝7.12， 1 050≈32.4，456.875≈21.4，550≈23.5.解析： 设y 与x 的线性回归方程是y ∧＝b ∧x ＋a ∧，根据已知数据得b ∧＝687.51 050≈0.65， a ∧＝y －b x ＝84.875－0.65×77.5＝34.5. ∴y 与x 的线性回归方程是y ∧＝0.65x ＋34.5.同理，设z 与x 的线性回归方程是z ∧＝b ∧′x ＋a ∧′，则b ∧′＝7551 050≈0.72，a ∧′＝81－0.72×77.5＝25.20， ∴z 与x 的线性回归方程是z ∧＝0.72x ＋25.20. y 与x 的相关指数 R 2＝1－ 6.75456.875≈0.985.同理，z 与x 的相关指数 R ′2＝1－7.12550≈0.987，∵0.985和0.987都比较接近于1，∴两个回归模型的拟合效果都比较好，但相比较而言，回归模型y ∧＝0.65x ＋34.5不及回归模型z ∧＝0.72x ＋25.20的拟合效果好.。

第2课时回归分析的初步应用基础达标(水平一)1.若一函数模型为y=ax2+bx+c(a≠0),为将y转化为t的线性回归方程,则需要做变换,令t=().A.x2B.(x+a)2C. D.ax+b【解析】由题意知y=+-.令t=,则y=at+-,满足题意,故选C.【答案】C2.已知x与y之间的一组数据如下:已求得关于y与x的线性回归方程为＾=2.1x+0.85,则m的值为().A.1B.0.85C.0.7D.0.5【解析】由题中数据,得=(0+1+2+3)=1.5,=(m+3+5.5+7)=,故样本点的中心为.由样本点的中心必在回归直线上可知,=2.1×1.5+0.85,解得m=0.5.【答案】D3.在以下四个散点图(如图)中,适用于进行线性回归的散点图为().A.①②B.①③C.②③D.③④【解析】①表示正相关,③表示负相关.【答案】B4.对于指数曲线y=a e bx,令u=ln y,c=ln a,经过非线性回归分析之后,可以转化成的形式为().A .u=c+bxB .u=b+cxC .y=b+cxD .y=c+bx【解析】对指数曲线y=a e bx 方程两边同时取对数,然后将u=ln y ,c=ln a 代入,可以得出u=c+bx. 【答案】A5.下列说法正确的有 .①回归方程适用于一切样本和总体;②回归方程一般都有时间性;③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围;④回归方程得到的预报值是预报变量的精确值.【答案】②③6.调查了某地若干户家庭的年收入x (单位:万元)和年饮食支出y (单位:万元),调查显示年收入x 与年饮食支出y具有线性相关关系,并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程: ＾=0.254x+0.321.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加1万元,年饮食支出平均增加 万元.【解析】以x+1代替x ,得 ＾=0.254×(x+1)+0.321,与 ＾=0.254x+0.321相减可知,年饮食支出平均增加0.254万元.【答案】0.2547.某电脑公司有6名产品推销员,:(1)求每月平均推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程;(2)若第6名推销员的工作年限为11年,试估计他的每月平均推销金额.【解析】(1)设所求的线性回归方程为 ＾= ＾x+ ＾,由表中数据,得=6, =,所以＾=- --==0.5, ＾= - ＾ =0.4. 所以每月平均推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为 ＾=0.5x+0.4. (2)当x=11时, ＾=0.5x+0.4=0.5×11+0.4=5.9(万元). 所以估计第6名推销员的每月平均推销金额为5.9万元.拓展提升(水平二)8.废品率x %和每吨生铁成本y (元)之间的回归直线方程为 ＾=256+2x ,表明( ).A .废品率每增加1%,生铁成本约增加258元B .废品率每增加1%,生铁成本约增加0.02元C .废品率每增加1%,生铁成本约增加2元D .废品率不变,生铁成本为256元【解析】当废品率为1%时,y=256+2=258,当废品率为2%时,y=256+2×2=260,所以成本约增加2元. 【答案】C9.,收集数据如下:参考数据:=45,=85,x i y i =33400,=20400,8 =16200,8=30600.设回归直线方程为 ＾= ＾x+ ＾,则点( ＾, ＾)在直线x-45y-20=0的( ).A .右上方B .右下方C .左上方D .左下方【解析】可得 ＾= - -= , ＾=85- ×45=55.因为55-45× -20=5>0,所以 在直线x-45y-20=0的右下方. 【答案】B10.某化工厂为预测某产品的回收率y ,需要研究它和原料有效成分含量x 之间的线性相关关系,现取8组观测值,计算得x i =52,y i =228,=478,x i y i =1849,则y 与x 的回归直线方程是 .(精确到小数点后两位数)【解析】根据给出的数据可先求 =x i =6.5, =y i =28.5,然后代入公式＾=--=- -≈2.62,从而 ＾= -=28.5-2.62×6.5=11.47,所以所求的回归直线方程为＾=11.47+2.62x.【答案】 ＾=11.47+2.62x11.(1)画散点图,观察图形呈什么函数模型? (2)求该模型回归方程.(3)估计使用10年时,年均价格为多少?【解析】(1)散点图如下,由散点图可看出y 与x 呈指数关系.(2)设y=a e bx ,令u=ln y ,c=ln a ,则u=c+bx , 变换后得数据由上表中的数据可求得线性回归方程为 ＾=8.204-0.309x.因此旧电视机的平均价格对使用年数的非线性回归方程为 ＾=e 8.204-0.309x . (3)当x=10时, ＾=e 8.204-0.309×10≈166.334. 即估计使用10年时,年均价格为166.334元.。

线性回归分析 同步练习一.选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 1. 对于数组{}n x x x ,,,21Λ来说,算式∑=-ni ix x12)(表示 ( C )A.2)(x x n -B.222221x x x x n -+++Λ C.222221x n x x x n -+++Λ D.2221)(x n x x x n -+++Λ 2. 下列说法正确的是 ( C ) A.对于相关系数r 来说,1≤r ,r 越接近0,相关程度越大;r 越接近1,相关程度越小 B.对于相关系数r 来说,1≥r ,r 越接近1,相关程度越大;r 越大,相关程度越小 C.对于相关系数r 来说,1≤r ,r 越接近1,相关程度越大;r 越接近0,相关程度越小 D.对于相关系数r 来说,1≥r ,r 越接近1,相关程度越小;r 越大,相关程度越大. 3. 下列说法正确的是 ( C ) A.一块农田的水稻产量与施肥量之间一定存在着正比例关系 B.产品成本与产品数量一定存在着一次函数关系C.若两个变量之间存在着线性相关关系,则可用某个一次函数来估计它的变化趋势D.如果两个变量之间不存在着线性相关关系,那么一定能用某个二次函数来估计它的变化趋势4. 为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立的做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分布为1l 和2l ，已知在两人的试验中发现对变量x 的观察数据的平均值恰好相等都为s ，对变量y 的观察数据的平均值恰好相等都为t,那么下列说法正确的是（ A ） A.直线1l 和2l 有交点（s,t ） B. 直线1l 和2l 相交，但是交点未必是（s,t ） C. 直线1l 和2l 平行 D. 直线1l 和2l 必定重合5. 已知18组数据的相关系数是0.54689,则下列说法正确的是 ( C ) A.两个变量之间一定存在线性相关关系 B.两个变量之间一定不存在线性相关关系C.若显著性水平为0.05,则两个变量之间存在线性相关关系D.若显著性水平为0.01,则两个变量之间存在线性相关关系二.填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）6. 某人对一个地区人均工资x 与该地区人均消费y 进行统计调查得y 与x 具有相关关系，且回归直线方程为^0.66 1.562y x =+（单位：千元），若该地区人均消费水平为7.675，估计该地区人均消费额占人均工资收入的百分比约为______ _____．(精确到0.1%)7. 相应与显著性水平0.05,观测值为10组的相关系数临界值为 .8. 一个工厂在某年里每月产品的总成本y （单位：万元）与月产量x （单位：万件）之间有如下一组数据：则月总成本ˆy与月产量x之间的线性回归方程为 .9.某中学高一期中考试后，对成绩进行分析，从13班中选出5名学生的总成绩和外语成绩如下表:学生1 2 3 4 5学科总成绩(x) 482 383 421 364 362外语成绩78 65 71 64 61(y)则外语成绩对总成绩的回归直线方程是_______________________.三.解答题：本大题共5小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.10. (本小题10分) 在国民经济中，社会生产与货运之间有着密切关系，下面列出1991—2000年中某地区货运量与工业总产值的统计资料：年份1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 20002.8 2.93.2 3.2 3.4 3.2 3.3 3.7 3.94.2工业总产值x(10亿元)货运量y(亿t) 25 27 29 32 34 36 35 39 42 45利用上述资料：(1)画出散点图；(2)计算这两组变量的相关系数；(3)在显著水平0.05的条件下，对变量x与y进行相关性检验；(4)如果变量x与y之间具有线性相关关系，求出回归直线方程.11.(本小题10分) 随机选取15家销售公司，由营业报告中查出其上年度的广告费x(占总费用的百分比)及盈利额y(占销售总额的百分比)列表如下：广告费x 1.5 0.8 2.6 1.0 0.6 2.8 1.20.9 0.4 1.3 1.2 2.0 1.6 1.8 2.2 盈利额y 3.1 1.9 4.2 2.3 1.6 4.9 2.8 2.1 1.4 2.4 2.4 3.8 3.0 3.4 4.0试根据上述资料：(1)画出散点图；(2)计算出这两组变量的相关系数；(3)在显著水平O.01的条件下，对变量x与y进行相关性检验；(4)如果变量x与y之间具有线性相关关系，求出回归直线方程；(5)已知某销售公司的广告费占其总费用的1.7％，试估计其盈利净额占销售总额的百分比.12. (本小题11分) 商品零售商要了解每周的广告费x及消费额y(单位：万元)之间的关系，记录如下：广告费x 40 18 33 36 25 43 38 30 50 20 42 46消费额y 400 395 420 475 385 525 480 400 560 365 510 540利用上述资料：(1)画出散点图;(2)求销售额y对广告费x的一元线性回归方程；(3)求出两个变量的相关系数.13. (本小题12分) 某城区为研究城镇居民月家庭人均生活费支出和月收入的相关关系，随机抽取10户进行调查,其结果如下:月人均收入x元300 390 420 540 570 700 760 800 850 1080月人均生活费y元255 324 330 345 450 520 580 650 700 750利用上述资料：(1)画出散点图；(2)计算这两组变量的相关系数；(3)在显著水平0.05的条件下，对变量x与y进行相关性检验；(4)如果变量x与y之间具有线性相关关系，求出回归直线方程；(5)测算人均收入为280元时，人均生活费支出应为多少元?14. (本小题12分) 要分析学生初中升学的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响，在高一年级学生中随机抽选10名学生，分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩(如下表)：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10入学成绩x 63 67 45 88 81 71 52 99 58 76高一期末成绩y 65 78 52 82 92 89 73 98 56 75(1)画出散点图；(2)计算入学成绩x与高一期末考试成绩y的相关关系；(3)对变量x与y进行相关性检验，如果x与y之间具有线性相关关系，求出一元线性回归方程；(4)若某学生入学数学成绩为80分，试估计他高一期末数学考试成绩．参考答案一、选择题：1. C【提示】2. C【提示】3. C【提示】4. A【提示】5. C【提示】二、填空题：6. 【答案】 83.8%7. 【答案】 0.6328. 【答案】ˆy=1.216x+0.97289. 【答案】y=14.5+0.132【提示】三、解答题：10. 【 解】 (1) 散点图(2)相关系数r=0.95652; (3)相关系数临界值632.005.0=r ,因05.0r r >,这说明两变量之间存在着线性相关关系; (4)^y =14.0909x-13.2273 11. 【 解析】 (1) 散点图(2)相关系数r=0.98831; (3)相关系数临界值641.001.0=r ,因01.0r r >,这说 明两变量之间存在着线性相关关系; (4)^y =1.41468x+0.82123; (5)当x=1.7时,y=3.23,其盈利净额占销售总额的百分比为3.23%. 12. 【 解析】 (1) 散点图010*********12345012345600.511.522.53(2)回归方程^y =7.28601x+200.39416;(3)相关系数r=0.98353. 13. 【 解】 (1) 散点图(2)相关系数r=0.9793;(3)相关系数临界值632.005.0=r ,因05.0r r >,这说明两变量之间存在着线性相关关系; (4) 回归方程^y =0.70761x+39.37103;(5)人均生活 费支出应为237.5元.14. 【 解】 (1) 散点图(2)相关系数r=0.839786;(3)相关系数临界值632.005.0=r ,因05.0r r >,这说明02040608010012002040608010012010020030040050060070080002004006008001000120001002003004005006000102030405060^y=0.76556x+22.41067;(4)成绩体积为84分.两变量之间存在着线性相关关系;回归方程。

课堂练习(十七) 回归分析的基本思想及其初步应用(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．如图所示的是四张残差图，其中回归模型的拟合效果最好的是( )B[四张残差图中，只有选项A，B中的残差图是水平带状区域分布，且选项B中的残差点散点分布集中在更狭窄的范围内，所以选项B中回归模型的拟合效果最好．] 2．在回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和( )A．越大B．越小C．可能大也可能小D．以上均错B[∵R2＝1－∑i＝1n(y i－y^i)2∑i＝1n(y i－y)2，∴当R2越大时，∑i＝1n(y i－y^i)2越小，即残差平方和越小，故选B.]3．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位：万盒)的数据如下表所示：x/月份1234 5y/万盒55668若x，y线性相关，线性回归方程为y＝0.7x＋a，估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量为( )A．8.0万盒B．8.1万盒C ．8.9万盒D ．8.6万盒B [回归直线一定过样本点的中心．由已知数据可得x ＝3，y ＝6，代入线性回归方程，可得a ^＝y －0.7x ＝3.9，即线性回归方程为y ^＝0.7x ＋3.9.把x ＝6代入，可近似得y ^＝8.1，故选B.]4．某化工厂为预测某产品的回收率y ，而要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，现取了8对观测值，计算得∑i ＝18x i ＝52，∑i ＝18y i ＝228，∑i ＝18x 2i ＝478，∑i ＝18x i y i ＝1 849，则y 与x 的线性回归方程是( )A.y ^＝11.47＋2.62x B.y ^＝－11.47＋2.62x C.y ^＝2.62＋11.47x D.y ^＝11.47－2.62xA [由题中数据得x ＝6.5，y ＝28.5，∴b ^＝∑i ＝18x i y i －8x － y－∑i ＝18x 2i －8x 2＝1 849－8×6.5×28.5478－8×6.52＝367140≈2.62， a ^＝y －b ^x ≈28.5－2.62×6.5＝11.47，∴y 与x 的线性回归方程是y ^＝2.62x ＋11.47，故选A.]5．若某地财政收入x 与支出y 满足回归方程y ^＝b ^x ＋a ^＋e i (单位：亿元)(i ＝1,2，…)，其中b ^＝0.8，a ^＝2，|e i |<0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过( )A ．10亿元B ．9亿元C ．10.5亿元D ．9.5亿元C [y ^＝0.8×10＋2＋e i ＝10＋e i ， ∵|e i |<0.5，∴9.5<y ^<10.5.] 二、填空题6．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．1 [根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1.] 7．对具有线性相关关系的变量x 和y ，由测得的一组数据求得回归直线的斜率为6.5，且恒过(2,3)点，则这条回归直线的方程为________．y ^＝－10＋6.5x [由题意知x ＝2，y ＝3，b ^＝6.5，所以a ^＝y －b ^x ＝3－6.5×2＝－10，即回归直线的方程为y ^＝－10＋6.5x .]8．已知方程y ^＝0.85x －82.71是根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，其中x 的单位是cm ，y ^的单位是kg ，那么针对某个体(160,53)的残差是________．－0.29 [把x ＝160代入y ^＝0.85x －82.71， 得y ^＝0.85×160－82.71＝53.29， 所以残差e ^＝y －y ^＝53－53.29＝－0.29.] 三、解答题9．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：零件的个数x /个 2 3 4 5 加工的时间y /小时2.5344.5(1)(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)试预测加工10个零件需要多少时间？(注：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x )[解] (1)散点图如图．(2)由表中数据得∑i ＝14x i y i ＝52.5，x ＝3.5，y ＝3.5，∑i ＝14x 2i ＝54，所以b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2＝0.7，所以a ^＝y －b ^x ＝1.05. 所以y ^＝0.7x ＋1.05.(3)将x ＝10代入线性回归方程，得y ^＝0.7×10＋1.05＝8.05，所以预测加工10个零件需要8.05小时．10．关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)，有如下的统计资料：x 2 3 4 5 6 y2.23.85.56.57.0若由资料可知y 对x (1)线性回归方程；(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？附：a ^＝y －b ^x －，b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x 2[解] (1)x ＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y ＝2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.05＝5，∑i ＝15x 2i ＝90，∑i ＝15x i y i ＝112.3，b ^＝∑i ＝15x i y i －5x －y－∑i ＝15x 2i －5x 2＝112.3－5×4×590－5×42＝1.23. 于是a ^＝y －b ^x ＝5－1.23×4＝0.08. 所以线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^＝1.23x ＋0.08. (2)当x ＝10时，y ^＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)， 即估计使用10年时维修费用是12.38万元．[能力提升练]1．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A ，B 两变量进行回归分析，分别得到散点图与残差平方和∑i ＝1n (y i －y ^i )2如下表：甲 乙 丙 丁散点图残差平方和115106124103A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁D [根据线性相关的知识，散点图中各样本点条状分布越均匀，同时保持残差平方和越小(对于已经获取的样本数据，R 2的表达式中∑i ＝1n(y i －y )2为确定的数，则残差平方和越小，R 2越大)，由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果越好，由试验结果知丁要好些，故进D.]2．为研究女大学生体重和身高的关系，从某大学随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表：利用最小二乘法求得身高预报体重的回归方程为y ＝0.848x －85.632，据此可求得R 2≈0.64.下列说法正确的是( )A ．两组变量的相关系数为0.64B ．R 2越趋近于1，表示两纽变量的相关关系越强 C ．女大学生的身高解释了64%的体重变化 D ．女大学生的身高差异有64%是由体重引起的C [用最小二乘法求得身高预报体重的回归方程为y ^＝0.848x －85.632，据此可求得R 2≈0.64，即女大学生的身高解释了64%的体重变化，而随机误差贡献了剩余的36%，故选C.]3．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y ＝ebx＋a的周围，令z ^＝ln y ，求得回归直线方程为z ^＝0.25x －2.58，则该模型的回归方程为________．y ＝e 0.25x －2.58 [因为z ^＝0.25x －2.58，z ^＝ln y ，所以y ＝e 0.25x －2.58.]4．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量x (单位：千箱)与单位成本y (单位：元)的资料进行线性回归分析，结果如下：x ＝72，y ＝71，∑i ＝16x 2i ＝79，∑i ＝16x i y i ＝1 481.则销量每增加1 000箱，单位成本下降________元．1．818 2 [由题意知b ^＝1 481－6×72×7179－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫722≈－1.818 2，a ^＝71－(－1.818 2)×72≈77.36，y ^＝－1.818 2x ＋77.36，销量每增加1千箱，则单位成本下降1.818 2元．]5．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)[解] (1)由于x ＝16×(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y ＝16×(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.所以a ^＝y －b ^x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x 2＋330x －1 000＝－20⎝⎛⎭⎪⎫x －3342＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．。