2019-2020年数学必修第二册课时训练试题：幂函数(人教B版)

2019-2020学年人教新课标A版高中数学必修1第二章2.3幂函数课时练习1B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共6题；共12分)1. （2分）幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为（）A . ﹣1＜m＜0＜n＜1B . ﹣1＜n＜0＜mC . ﹣1＜m＜0＜nD . ﹣1＜n＜0＜m＜12. （2分）已知幂函数f（x）=（m∈Z）在区间（0，+∞）上是单调增函数，且y=f（x）的图象关于y轴对称，则f（﹣2）的值为（）A . 16B . 8C . -16D . -83. （2分） (2016高一上·万全期中) 函数的图象是（）A .B .C .D .4. （2分）设a=,b=,c=，则a，b，c的大小关系是（）A . a＞b＞cB . b＞a＞cC . b＞c＞aD . c＞b＞a5. （2分）已知实数m,n满足,给出下列关系式①②③其中可能成立的有（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个6. （2分）已知点在幂函数f（x）的图象上，则f（x）是（）A . 奇函数B . 偶函数C . 定义域内的减函数D . 定义域内的增函数二、填空题 (共4题；共4分)7. （1分）函数是幂函数，且其图象过原点，则m=________8. （1分） (2016高一上·潮阳期中) 设x∈（0，1），幂函数y=xα的图象在直线y=x的上方，则α的取值范围是________.9. （1分）已知幂函数f（x）满足：对任意x1 ，x2∈R，当且仅当x1=x2时，有f（x1）=f（x2）．则f（﹣1）+f（0）+f（1）的值为________．10. （1分）设幂函数f（x）的图象经过点（8，4），则函数f（x）的奇偶性为________ ．三、解答题 (共4题；共40分)11. （15分）已知f（x﹣1）=x2﹣2x+7，（1）求f（2），f（a）的值．（2）求f（x）和f（x+1）的解析式；（3）求f（x+1）的值域．12. （5分）求函数的值域．13. （10分） (2016高一上·鹤岗江期中) 设幂函数f（x）=（a﹣1）xk（a∈R，k∈Q）的图象过点．（1）求k，a的值；（2）若函数h（x）=﹣f（x）+2b +1﹣b在[0，2]上的最大值为3，求实数b的值．14. （10分）已知函数f（x）= （m∈Z）为偶函数，且f（3）＜f（5）．（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；（2）若g（x）=loga[f（x）﹣2x]（a＞0且a≠1），求g（x）在（2，3]上值域．参考答案一、单选题 (共6题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、二、填空题 (共4题；共4分)7-1、8-1、9-1、10-1、三、解答题 (共4题；共40分)11-1、11-2、11-3、12-1、13-1、13-2、14-1、14-2、。

滚动练习一　指数函数、对数函数与幂函数一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．若a<，则化简的结果是( )A. B．－ C． D．－2．函数 y＝的定义域为( )A.(－∞，] B．[，＋∞) C．(0，] D．(0，8]3．三个数e－，log0.23，ln π的大小关系为( )A.log0.23＜e－＜ln π B．e－＜ln π＜log0.23C.e－＜log0.23＜ln π D．log0.23＜ln π＜e－4．已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中包含f(x)零点的区间是( )A.(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5)5．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )A.{x|－1＜x≤0} B．{x|－1≤x≤1} C．{x|－1＜x≤1} D．{x|－1＜x≤2}6．设函数f(x)＝若f(a)＝1，则a的值为( )A.－1 B．1 C．－1或1 D．－1或1或－27．若关于x的方程|a x－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是( )A.(0，1)∪(1，＋∞) B．(0，1) C．(1，＋∞) D．(0，)8．函数f(x)＝在x∈R内单调递减，则a的取值范围是( )A.(0，] B． C．[，1) D．[，1)二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．设a，b，c是均不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A.log a b·log c a＝log c b B．log a(bc)＝log a b·log a cC.log a(b＋c)＝log a b＋log a c D．log a b＝log ac b c10．下面对函数f(x)＝log x与g(x)＝()x在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法中错误的有( )A.f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快B.f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢C.f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢D.f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快11．已知函数y＝a2x＋2a x－1(a>0，a≠1)，则使函数y在区间[－1，1]上的最大值是14的a的值为( )A. B．4 C．3 D．212．已知函数f(x)＝，g(x)＝，则f(x)，g(x)满足( )A.f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x) B．f(－2)＜f(3)C.f(x)－g(x)＝π－x D．f(2x)＝2f(x)g(x)三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．函数y＝log a(2x－3)＋8的图象恒过定点A，且点A在幂函数f(x)的图象上，则f(3)＝________．14．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如表：x1f(x)1则不等式f(|x|)≤2的解集是________．15．对于下列结论：①函数y＝a x＋2(x∈R)的图象可以由函数y＝a x(a>0且a≠1)的图象平移得到；②函数y＝2x与函数y＝log2x的图象关于y轴对称；③方程log5(2x＋1)＝log5(x2－2)的解集为{－1，3}；④函数y＝ln (1＋x)－ln (1－x)为奇函数．其中正确的结论是________．(把你认为正确的序号都填上)16．已知函数f(x)＝则f(f(3))＝________；若对任意的x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，则实数k的取值范围为________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(10分)已知函数f(x)＝log a(x＋3)－log a(3－x)，a>0且a≠1.(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断并证明函数f(x)的奇偶性．18．(12分)已知函数y＝log4(2x＋3－x2)，(1)求函数的定义域；(2)求y的最大值，并求取得最大值时的x值．19．(12分)设函数f(x)＝k·2x－2－x是定义在R上的奇函数．(1)求k的值；(2)若不等式f(x)>a·2x－1有解，求实数a的取值范围；(3)设g(x)＝4x＋4－x－4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值，并指出取得最小值时的x的值．20．(12分)已知a＞0且满足不等式22a＋1＞25a－2.(1)求不等式log a(3x＋1)＜log a(7－5x)；(2)若函数y＝log a(2x－1)在区间[3，6]上有最小值为－2，求实数a的值．21．(12分)某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据检测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的关系．(1)写出y关于t的函数关系式y＝f(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中的含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效．①求服药一次后治疗疾病有效的时间；②当t＝5时，第二次服药，问t∈时，药效是否连续？22．(12分)已知指数函数y＝g(x)满足g(2)＝4，定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．(1)确定y＝g(x)的解析式；(2)求m，n的值；(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围．滚动练习一　指数函数、对数函数与幂函数1．答案：C解析：∵a<，∴2a－1<0，于是，原式＝＝.2．答案：C解析：要使函数y＝有意义，应满足，即，解得0<x≤，所以函数的定义域为(0，].3．答案：A解析：由y＝e x，y＝log0.2x和y＝ln x可知0＜e－＜1，log0.23＜0，ln π＞1，故选A.4．答案：C解析：因为f(x)在定义域上为减函数，f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(3)＝2－log23>0，f(4)＝－log24＝－<0，f(5)＝－log25<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(3，4).5．答案：C解析：令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)的图象如图，由得结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1<x≤1}．6．答案：C解析：∵f(a)＝1，∴或∴或∴a＝－1或a＝1.7．答案：D解析：设f(x)＝|a x－1|，关于x的方程|a x－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不等实根，转化为函数f(x)＝|a x－1|与函数y＝2a有两个交点，当a>1时，在同一直角坐标系内，函数f(x)＝|a x－1|与函数y＝2a的图象如图所示：显然函数f(x)＝|a x－1|与函数y＝2a的图象只有一个交点，不符合题意；当0<a<1时，在同一直角坐标系内，函数f(x)＝|a x－1|与函数y＝2a的图象如下图所示：函数f(x)＝|a x－1|与函数y＝2a有两个交点，则有0<2a<1⇒0<a<.8．答案：B解析：若函数f(x)＝在x∈R内单调递减，则解得≤a≤，故选B.9．答案：AD解析：由换底公式得log a b·log c a＝·＝＝log c b，log ac b c＝＝＝log a b，∴A，D均恒成立．10．答案：ABD　解析：结合指数函数y＝()x和对数函数y＝log x的图象如图所示，易得C正确，ABD 错误．11．答案：AC解析：令a x＝t，则y＝a2x＋2a x－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，当a>1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈，又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，所以y max＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去)，当0<a<1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈，又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，则y max＝(＋1)2－2＝14，解得a＝(负值舍去)，综上知a＝3或a＝.12．答案：ABD解析：A正确，因为f(－x)＝＝－f(x)，g(－x)＝＝g(x)，所以f(－x)＋g(－x)＝g(x)－f(x)；B正确，因为函数f(x)为增函数，所以f(－2)＜f(3)；C不正确，f(x)－g(x)＝－＝＝－π－x；D正确，f(2x)＝＝2··＝2f(x)g(x).13．答案：27解析：由题意得定点A为(2，8)，设f(x)＝xα，则2α＝8，α＝3，∴f(x)＝x3，∴f(3)＝33＝27.14．答案：{x|－4≤x≤4}解析：由表中数据知＝()n，所以α＝，所以f(x)＝x eq¿(1,2)，所以¿x∨¿eq¿(1,2)¿≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4，所以不等式f(| x|)≤2的解集是{x|－4≤x≤4}．15．答案：①④解析：y＝a x＋2的图象可由y＝a x的图象向左平移2个单位得到，①正确；y＝2x与y ＝log2x的图象关于直线y＝x对称，②错误；由log5(2x＋1)＝log5(x2－2)，得∴∴x＝3，③错误；设f(x)＝ln (1＋x)－ln (1－x)，定义域为(－1，1)，关于原点对称，f(－x)＝ln (1－x)－ln (1＋x)＝－[ln (1＋x)－ln (1－x)]＝－f(x).∴f(x)是奇函数，④正确，故正确的结论是①④.16．答案：－2　(－∞，]∪[，＋∞)解析：f(f(3))＝f(log3)＝f(－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2，对任意x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，即f(x)max≤|k－1|，因为f(x)的草图如图所示，观察f(x)＝的图象可知，当x＝时，函数f(x)max＝，所以|k－1|≥，解得k≤或k≥，∴实数k的取值范围为(－∞，]∪[，＋∞).17．解析：(1)要使式子有意义，则解得－3<x<3，∴函数的定义域为(－3，3).(2)函数f(x)是奇函数．证明：由(1)知定义域为(－3，3)，f(－x)＝log a(－x＋3)－log a[3－(－x)]，所以f(－x)＝log a(3－x)－log a(3＋x)，则f(－x)＝－[log a(3＋x)－log a(3－x)]，即f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)是奇函数．18．解析：(1)由真数2x＋3－x2>0，解得－1<x<3，所以函数的定义域为{x|－1<x<3}．(2)将原函数分解为y＝log4u，u＝2x＋3－x2两个函数，因为u＝2x＋3－x2＝－(x －1)2＋4≤4，所以当x＝1时，u取得最大值4，又y＝log4u为单调增函数，所以y＝log4(2x＋3－x2)≤log44＝1，所以y的最大值为1，此时x＝1.19．解析：(1)因为f(x)＝k·2x－2－x是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，所以k－1＝0，解得k＝1，所以f(x)＝2x－2－x，当k＝1时，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故k＝1.(2)f(x)>a·2x－1有解，所以a<－()2＋()＋1有解，所以只需a<[－()2＋()＋1]max，因为－()2＋()＋1＝－(－)2＋≤(x＝1时，等号成立)，所以a<.(3)因为g(x)＝4x＋4－x－4f(x)，所以g(x)＝4x＋4－x－4(2x－2－x)，可令t＝2x－2－x，可得函数t在[1，＋∞)递增，即t≥，则t2＝4x＋4－x－2，可得函数g(x)＝h(t)＝t2－4t＋2，t≥，由h(t)为开口向上，对称轴为t＝2>的抛物线，所以t＝2时，h(t)取得最小值－2，此时2＝2x－2－x，解得x＝log2(1＋)，所以g(x)在[1，＋∞)上的最小值为－2，此时x＝log2(1＋).20．解析：(1)因为22a＋1＞25a－2，所以2a＋1＞5a－2，即3a＜3，所以a＜1，又因为a＞0，所以0＜a＜1，则不等式log a(3x＋1)＜log a(7－5x)，等价为即所以＜x＜，即不等式log a(3x＋1)＜log a(7－5x)的解集为(，).(2)由(1)得0＜a＜1，所以函数y＝log a(2x－1)在区间[3，6]上为减函数，所以当x＝6时，y有最小值为－2，即log a11＝－2，所以a－2＝＝11，解得a＝.21．解析：(1)将t＝1，y＝4分别代入y＝kt，y＝()t－a，得k＝4，a＝3，从而y＝f(t)＝(2)①当0≤t≤1时，由4t≥0.25，得≤t≤1，当t>1时，由()t－3≥0.25，得1<t≤5，因此，服药一次后治疗疾病有效的时间为5－＝4(小时).②连续．因为当t＝5时，第二次服药，则t∈时，血液中的含药量增加得快，减少得慢，从而每毫升血液中的含药量还是一直不少于0.25微克的，即药效是连续的．22．解析：(1)设指数函数g(x)＝a x(a＞0且a≠1)，由g(2)＝4得a2＝4，得a＝2，所以g(x)＝2x.(2)由(1)知f(x)＝，∵f(x)在R上是奇函数，∴f(0)＝0，即＝0，∴n＝1，∴f(x)＝，又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得m＝2.(3)由(2)知f(x)＝＝－＋，易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，又f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，∴t2－2t>k－2t2，即3t2－2t－k>0，由判别式Δ＝4＋12k<0可得k<－，即实数k的取值范围为(－∞，－).。

4.4幂函数课后篇巩固提升夯实基础1.(多选)有下列函数:①y=√x;②y=1x2;③y=x4+x-2;④y=3x2.其中是幂函数的是()A.①B.②C.③D.④2.设α∈{-1,1,12,3},则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为()A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,3-1=1x的定义域不是R,y=x12的定义域不是R,y=x与y=x3的定义域是R,且它们都是奇函数,故选A.3.已知a=(35)-13,b=(35)-12,c=(43)-12,则a,b,c三个数的大小关系是()A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<cf(x)=(35)x在其定义域上是减函数,又-13>-12,所以a<b.因为幂函数g(x)=x12在其定义域上是增函数,所以c=(43)-12=(34)12<1.又因为a=(35)-13=(53)13>1,所以a>c.因此c<a<b.4.当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2-m-1)x-5m-3为减函数,则实数m的值为()A.m=2B.m=-1C.m=-1或m=2D.m≠1±√52,{-5x -3<0,x 2-x -1=1,解得m=2.5.设函数y=x 3与y=(12)x -2的图像的交点为(x 0,y 0),则x 0所在的区间为( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4),由图像得1<x 0<2.6.已知幂函数y=f (x )的图像过点(2,√2),则这个函数的解析式为 .x 12f (x )=x α(α∈R ),将点(2,√2)代入,得√2=2α,所以α=12.所以f (x )=x 12.7.函数y=(3x-2)12+(2-3x )-13的定义域为 . (23,+∞){3x -2≥0,2-3x ≠0,解得{x ≥23,x ≠23,即x>23.8.设函数f 1(x )=x 12,f 2(x )=x -1,f 3(x )=x 2,则f 1(f 2(f 3(2 020)))= .1{f 2[f 3(2020)]}=f 1[f 2(20202)]=f 1(120202)=12020.9.设幂函数y=x x2-3x在(0,+∞)内是减函数,指数函数y=(a2-1)x在(-∞,+∞)内是增函数,对数函x在(0,+∞)内是减函数,求a的取值范围.数y=lo g(x2-2x+1)幂函数y=x x2-3x在(0,+∞)内是减函数,∴a2-3a<0.①又∵y=(a2-1)x在(-∞,+∞)内是增函数,∴a2-1>1,即a2>2.②x在(0,+∞)内是减函数,又∵y=lo g(x2-2x+1)∴0<a2-2a+1<1,③解①②③,得√2<a<2.即a的取值范围为(√2,2).能力提升1.下面六个幂函数的图像如图所示,试建立函数与图像之间的对应关系:(1)y=x32;(2)y=x13;(3)y=x23;(4)y=x-2;(5)y=x-3;(6)y=x-12.:(1)y=x32=√x3的定义域为[0,+∞),既不是奇函数也不是偶函数,在[0,+∞)内是增函数;(2)y=x13=√x3的定义域为R,是奇函数,在[0,+∞)内是增函数;3的定义域为R,是偶函数,在[0,+∞)内是增函数;(3)y=x23=√x2的定义域为{x|x≠0},是偶函数,在(0,+∞)内是减函数;(4)y=x-2=1x2(5)y=x-3=1的定义域为{x|x≠0},是奇函数,在(0,+∞)内是减函数;x3(6)y=x-12=的定义域为{x|x>0},既不是奇函数也不是偶函数,在(0,+∞)内是减函数.√x通过上面分析,可以得出(1)↔A,(2)↔F,(3)↔E,(4)↔C,(5)↔D,(6)↔B.2.设幂函数f(x)=(a-1)·x k(a∈R,k∈Q)的图像经过点(√2,2).(1)求a,k的值;(2)若函数h(x)=-f(x)+2b√x(x)+1-b在[0,1]上的最大值为2,求实数b的值.由题知a-1=1,(√2)k=2,∴a=2,k=2.(2)f(x)=x2,h(x)=-x2+2bx+1-b=-(x-b)2+b2-b+1,x∈[0,1],①b≥1时,h max=h(1)=b=2;②0<b<1时,h max=h(b)=b2-b+1=2,∴b=1±√5(舍).2③b≤0时,h max(x)=h(0)=1-b=2,∴b=-1.综上,b=2或b=-1.。

课时分层作业(八) 增长速度的比较(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．下表显示了函数值y随自变量x变化的一组数据，由此可判断它最可能符合的函数模型为()A一次函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型C[表中数据体现爆炸式增长，符合的函数模型为指数函数模型．]2．如图给出了某种豆类生长枝数y(枝)与时间t(月)的图像，那么此种豆类生长枝数与时间的关系用下列函数模型近似刻画最好的是()A．y＝2t2B．y＝log2tC．y＝t3D．y＝2tB[因为由图像知模型增长越来越缓慢，所以只有B符合条件．]3．下表是某次测量中两个变量x，y的一组数据，若将y表示为关于x的函数，则最可能的函数模型是()A.C．指数函数模型D．对数函数模型D[对于A，由于x均匀增加1，而y值不是均匀递增，所以不是一次函数模型；对于B，由于该函数单调递增，不是二次函数模型；对于C，y＝a x过点(0,1)，所以不是指数函数模型．]4．某产品进入商场销售，商场第一年免收管理费，因此第一年该产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件，从第二年开始，商场对该产品征收销售额的x%的管理费(即销售100元要征收x元)，于是该产品定价每件比第一年增加了70·x%1－x%元，预计年销售量减少x万件，要使第二年商场在该产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x的最大值是()A．2 B．6C．8.5 D．10D[第二年年销售量为(11.8－x)万件，定价为每件70＋70·x%1－x%＝7 000100－x，第二年商场在该产品经营中收取的管理费(11.8－x)·7 000100－x·x%≥14，解得2≤x≤10，则x的最大值是10.]5．下列函数中，y随x的增大而增大速度最快的是()A．y＝1100ex B．y＝100ln xC．y＝100x D．y＝100·2xA[通过函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝kx(k＞0)的图像，观察可得y＝a x的增长速度要比y＝kx的增长速度快，y＝kx的增长速度又要比y＝log a x的增长速度快，因此可得A，D两项的函数增长速度要快于B，C两项的函数．又因为函数y＝1100ex中，底数e＝2.718 28…，函数y＝100·2x中，底数为2，且e＞2，所以函数y＝1100ex的函数的增长速度要快于函数y＝100·2x的增长速度．]二、填空题6．据报道，某淡水湖的湖水50年内减少了10%，若年平均减少率相等，按此规律，设2017年的湖水水量为m，从2017年起，经过x年后湖水水量y与x 的函数关系式为________．7．甲用1 000元买入一种股票，后将其转卖给乙，获利10%，而后乙又将这些股票卖给甲，乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将股票出售给丙，甲在上述交易中盈利________元．1[由题意，甲卖给乙获利：1 000×10%＝100(元)，乙卖给甲：1 000×(1＋10%)(1－10%)＝990(元)，甲卖给丙：1 000×(1＋10%)(1－10%)×90%＝1 000×1.1×0.9×0.9＝891(元)，甲赔了：990－891＝99(元)，甲的盈亏情况为盈利：100－99＝1(元)．]8．计算机的价格大约每3年下降23，那么今年花8 100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________元．300 [设计算机价格平均每年下降p %，由题意可得13＝(1－p %)3，所以p %＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1313，所以9年后的价格约为y ＝8 100×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1313－19＝8 100×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝300(元)．]三、解答题9．某地发生地震，各地纷纷捐款捐物，甲、乙、丙三个公司分别派代表到慈善总会捐款给灾区．甲公司的代表说：“在10天内，我们公司每天捐款5万元给灾区．”乙公司的代表说：“在10天内，我们公司第1天捐款1万元，以后每天比前一天多捐款1万元．”丙公司的代表说： “在10天内，我们公司第1天捐款0.1万元，以后每天捐款都比前一天翻一番．”你觉得哪个公司在10天内捐款最多？[解] 三个公司在10天内捐款情况如下表所示：10天内捐款最多．10．树林中有一种树木栽植五年后可成材，在栽植后的五年内，年增长率为20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长率为10%，现有两种砍伐方案：甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐．乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次．请计算后回答：十年内哪一种方案可以得到较多的木材？(不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算)[解]设树林中这种树木的最初栽植量为a(a＞0)，甲方案在10年后树木产量为y1＝a(1＋20%)5(1＋10%)5＝a(1.2×1.1)5≈4a.乙方案在10年后树木产量为y2＝2a(1＋20%)5＝2a×1.25≈4.98a.y1－y2＝4a－4.98a＜0，因此，乙方案能获得更多的木材．[等级过关练]1．已知三个变量y1，y2，y3随变量x变化数据如表：则反映y1，y2，y3()A．y1＝x2，y2＝2x，y3＝log2xB．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2xC．y1＝log2x，y2＝x2，y3＝2xD．y1＝2x，y2＝log2x，y3＝x2B[从题表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，呈指数函数变化，变量y3的增长速度最慢，呈对数型函数变化．]2．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是()A．投资3天以内(含3天)，采用方案一B．投资4天，不采用方案三C．投资6天，采用方案一D．投资12天，采用方案二D[由图可知，投资3天以内(含3天)，方案一的回报最高，A正确；投资4天，方案一的回报约为40×4＝160(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＝100(元)，都高于方案三的回报，B正确；投资6天，方案一的回报约为40×6＝240(元)，方案二的回报约为10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，都高于方案三的回报，C正确；投资12天，明显方案三的回报最高，所以此时采用方案三，D错误．]3．某电脑公司2018年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2020年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2018年到2020年，每年经营总收入的年增长率相同，2019年预计经营总收入为________万元．1 300[因为从2018年到2020年，每年经营总收入的年增长率相同，所以可设年增长率为x，则有40040%×(1＋x)2＝1 690,1＋x＝1310，因此2019年预计经营总收入为40040%×1310＝1 300(万元)．]4．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________．y＝x2[y＝x2＝x·x，y＝x ln x，在区间(0，＋∞)上，当x变大时，y＝x比y ＝ln x增长要快．]5．某公司拟投资100万元，有两种投资方案可供选择：一种是年利率为10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率为9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？(结果精确到0.01万元)[解]本金100万元，年利率为10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．本金100万元，年利率为9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86(万元)，由此可见，按年利率为9%每年复利一次计算的投资方式要比按年利率为10%单利计算的投资更有利，5年后多得利息3.86万元．。

课时素养评价一实数指数幂及其运算(20分钟·40分)一、选择题(每小题4分,共16分.多选题全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.(多选题)在下列根式与分数指数幂的互化中,不正确的是 ( )A.(-x)0.5=-(x≠0)B.=C.=(xy≠0)D.=-【解析】选A、B、D.对于A,若x<0,-无意义,故A错误;对于B,当y<0时,≠,故B错误;对于C,由分数指数幂可得xy>0,则==,故C正确;对于D,==,故D错误.所以不正确的是A,B,D.【加练·固】下列各式运算错误的是( )A.(-a2b)2·(-ab2)3=-a7b8B.(-a2b3)3÷(-ab2)3=a3b3C.(-a3)2·(-b2)3=a6b6D.[-(a3)2·(-b2)3]3=-a18b18【解析】选C、D.对于A,(-a2b)2·(-ab2)3=a4b2·(-a3b6)=-a7b8,故A正确;对于B,(-a2b3)3÷(-ab2)3=-a6b9÷(-a3b6)=a6-3b9-6=a3b3,故B正确;对于C,(-a3)2·(-b2)3=a6·(-b6)=-a6b6,错误;对于D,[-(a3)2·(-b2)3]3=(a6b6)3=a18b18,错误.2.(2019·银川高一检测)计算:= ( )A.+2B.-2C.--2D.-+2【解析】选C.原式=[(-2)(+2)]2 019·(+2)=(-1)2 019·(+2)=--2.3.(2019·河东高一检测)化简(其中a>0,b>0)的结果是( )A. B.-C. D.-【解析】选C.===.4.的分数指数幂表示为( )A. B.a3 C. D.都不对【解析】选C.====.二、填空题(每小题4分,共8分)5.(2019·宿迁高一检测)已知a+=7,则a2+a-2=________,a-a-1=________.【解析】因为a+=7,则=a2++2=49,变形可得a2+=a2+a-2=49-2=47,=-4=49-4=45,所以a-a-1=±3.答案:47 ±36.计算4×=________.【解析】原式=×=7-1=.答案:三、解答题7.(16分)化简下列各式(1).(2).【解析】(1)原式=·=-2xy.(2)原式==.(15分钟·30分)1.(4分)计算2××的值为( )A. B. C.6 D.【解析】选C.2××=2×××××=×=2×3=6.2.(4分)若a b+a-b=2,则a b-a-b的值等于( )A. B.±2 C.-2 D.2【解析】选B.因为(a b-a-b)2=(a b+a-b)2-4,所以(a b-a-b)2=8-4=4,所以a b-a-b=±2.3.(4分)计算(-8××【解析】原式=(-2×()2×=4×2×=.答案:4.(4分)=________.【解析】原式=(a3b2÷(ab2)=(÷()=()÷()=.答案:【加练·固】(2019·南开高一检测)已知m=2,n=3,则的值是________.【解析】m=2,n=3,则原式==(·×m-1·)3=m·n-3=2×3-3=.答案:5.(14分)根据已知条件求下列值:(1)已知x=,y=,求-的值.(2)已知a,b是方程x2-6x+4=0的两根,且a>b>0,求的值. 【解析】(1)-=-=.将x=,y=代入上式得:==-24=-8.(2)因为a,b是方程x2-6x+4=0的两根,所以因为a>b>0,所以>.====,所以==.。

课时分层作业(二) 指数函数的性质与图像(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．下列各函数中是指数函数的是( ) A ．y ＝(－3)x B ．y ＝－3x C ．y ＝3x －1D ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD [根据指数函数的定义，y ＝a x (a >0且a ≠1)，可知只有D 项正确．] 2．若a ＞1，－1＜b ＜0，则函数y ＝a x ＋b 的图像一定在( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、三、四象限 C ．第二、三、四象限D ．第一、二、四象限A [因为a ＞1，且－1＜b ＜0，故其图像如图所示．]3．函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则a 的取值范围为( ) A ．a ＞0 B ．a ＜1 C ．0＜a ＜1D ．a ≠0C [由a x －1≥0，得a x ≥a 0.∵函数的定义域为(－∞，0]，∴0＜a ＜1.]4．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >bD ．b >c >aA [由0.2<0.6,0.4<1，并结合指数函数的图像可知0.40.2>0.40.6，即b >c ；因为a ＝20.2>1，b ＝0.40.2<1，所以a >b .综上a >b >c .]5．函数y ＝的值域是( )A ．(－∞，4)B ．(0，＋∞)C ．(0,4]D ．[4，＋∞)C [设t ＝x 2＋2x －1，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t .因为t ＝(x ＋1)2－2≥－2，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t为关于t 的减函数，所以0<y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4，故所求函数的值域为(0,4]．] 二、填空题6．函数f (x )＝3x －3(1＜x ≤5)的值域是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤19，9 [因为1＜x ≤5，所以－2＜x －3≤2.而函数f (x )＝3x 是单调递增的，于是有19＜f (x )≤32＝9，即所求函数的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤19，9.]7．已知函数y ＝f (x )的定义域为(1,2)，则函数y ＝f (2x )的定义域为________． (0,1) [由函数的定义，得1＜2x ＜2⇒0＜x ＜1.所以y ＝f (2x )的定义域为(0,1)．] 8．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)＝________.154 [∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， ∴由f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2，①得f (－x )＋g (－x )＝－f (x )＋g (x )＝a －x －a x ＋2，② ①＋②，得g (x )＝2，①－②，得f (x )＝a x －a －x . 又g (2)＝a ，∴a ＝2，∴f (x )＝2x －2－x ， ∴f (2)＝22－2－2＝154.] 三、解答题9．设f (x )＝3x ，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x .(1)在同一坐标系中作出f (x )，g (x )的图像；(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？[解] (1)函数f (x )，g (x )的图像如图所示：(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，f (π)＝3π，g (－π)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－π＝3π，f (m )＝3m，g (－m )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ＝3m.从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，函数y ＝a x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 的图像关于y 轴对称．10．设函数f (x )＝12－12x ＋1.(1)证明函数f (x )是奇函数；(2)证明函数f (x )在(－∞，＋∞)内是增函数；(3)求函数f (x )在[1,2]上的值域．[解] (1)证明：由题意，得x ∈R ，即函数的定义域关于原点对称， f (－x )＝12－112x ＋1＝12－2x2x ＋1＝1－2x 2(2x ＋1)＝－(1＋2x )＋22(2x ＋1)＝－12＋12x ＋1＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数．(3)∵函数f (x )在(－∞，＋∞)内是增函数， ∴函数f (x )在[1,2]上也是增函数， ∴f (x )min ＝f (1)＝16，f (x )max ＝f (2)＝310. ∴函数f (x )在[1,2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，310.[等级过关练]1．定义一种运算：g ⊙h ＝⎩⎨⎧g (g ≥h )，h (g <h )，已知函数f (x )＝2x ⊙1，那么函数y ＝f (x －1)的大致图像是( )A B C DB [f (x )＝⎩⎨⎧2x (x ≥0)，1(x <0)，∴f (x －1)＝⎩⎨⎧2x －1(x ≥1)，1(x <1)，∴其图像为B ，故选B.] 2．设13<⎝ ⎛⎭⎪⎫13b <⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <1，则( )A ．a a <a b <b aB ．a a <b a <a bC ．a b <a a <b aD ．a b <b a <a aC [由已知条件得0<a <b <1，∴a b <a a ，a a <b a ，∴a b <a a <b a .] 3．方程|2x －1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是________．a ≥1或a ＝0 [作出y ＝|2x －1|的图像，如图，要使直线y ＝a 与图像的交点只有一个，∴a ≥1或a ＝0.]4．若函数f (x )＝⎩⎨⎧a x ，x >1，(2－3a )x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤23，34 [∵f (x )是R 上的减函数， ∴⎩⎨⎧0<a <1，2－3a <0，(2－3a )＋1≥a ，解得23<a ≤34.]5．已知函数f (x )＝3x ，且f (a ＋2)＝18，g (x )＝3ax －4x 的定义域为[－1,1]． (1)求3a 的值及函数g (x )的解析式； (2)试判断函数g (x )的单调性；(3)若方程g (x )＝m 有解，求实数m 的取值范围． [解] (1)f (a ＋2)＝3a ＋2＝32·3a ＝18， 所以3a ＝2，所以g (x )＝(3a )x －4x ＝2x －4x . (2)g (x )＝2x －4x ＝－(2x )2＋2x ， 令2x ＝t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，所以g (x )＝μ(t )＝－t 2＋t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，又t ＝2x 为单调递增函数，所以g (x )在x ∈[－1,1]上单调递减．(3)由(2)知g (x )＝μ(t )＝－t 2＋t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，所以g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，14，即m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，14.。

课时跟踪检测（一）实数指数幂及其运算A级——学考水平达标练1．若x n＝a（x≠0)，则下列说法中正确的个数是（)①当n为奇数时，x的n次方根为a；②当n为奇数时，a的n次方根为x；③当n为偶数时，x的n次方根为±a;④当n为偶数时，a的n次方根为±x。

A．1 B．2C．3 D．4解析:选B 当n为奇数时，a的n次方根只有1个,为x；当n为偶数时，由于（±x）n ＝x n＝a，所以a的n次方根有2个，为±x.所以说法②④是正确的，选B.2．计算: 错误!＝( )A．x错误!B．－x错误!C．－x－x D．x x解析：选 C 由已知,得－x3≥0，所以x≤0，所以－x3＝错误!＝错误!·错误!＝错误!·|x｜＝－x错误!,选C。

3．将错误!化为分数指数幂为（)A．232B．234C．274D．278解析：选D 错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!错误!＝2错误!。

4．已知a＞0,将错误!表示成分数指数幂，其结果是( )A．a 12B．a56C．a 76D．a32解析：选C 错误!＝a2÷错误!12＝a52-6＝a76,故选C.5．(多选题）下列式子中,正确的是( )A．（27a3)13÷0。

3a－1＝10a2B.错误!÷错误!＝a错误!－b错误!C。

错误!12＝－1D。

错误!＝错误!解析：选ABD 对于A，原式＝3a÷0。

3a－1＝错误!＝10a2，A正确；对于B，原式＝错误!＝a 13－b13，B正确；对于C，原式＝[（3＋2错误!）2(3－2错误!）2]12＝(3＋2错误!）(3－2错误!）＝1.这里注意3＞2错误!，a 12(a≥0)是正数,C错误;对于D,原式＝错误!＝错误!＝a 1124＝错误!,D正确．6．化简：（错误!)2＋错误!＋错误!＝________。

解析:由（a－1）2知a－1≥0,a≥1.故原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1。

章末综合检测（一） 指数函数、对数函数与幂函数A 卷——学业水平考试达标练 (时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在区间(0，＋∞)上为减函数的是( ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝x 12C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xD ．y ＝ln x解析：选C y ＝x 2在(0，＋∞)上为增函数，y ＝x 12在(0，＋∞)上为增函数，y ＝⎝⎛⎭⎫12x在(0，＋∞)上为减函数，y ＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数．2．计算2723×7log 72－log 4164＋ln e 2－2lg 2－lg 25＝( )A ．20B ．21C ．9D ．11解析：选B 原式＝(33)23×2＋3＋2－(lg 4＋lg 25)＝21.3．下列函数关系中，可以看作是指数型函数y ＝ka x (k ∈R ，a >0且a ≠1)的模型的是( ) A ．竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)B ．我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的关系C ．如果某人t s 内骑车行进了1 km ，那么此人骑车的平均速度v 与时间t 的函数关系D ．信件的邮资与其重量间的函数关系解析：选B A 中的函数模型是二次函数；B 中的函数模型是指数型函数；C 中的函数模型是反比例函数；D 中的函数模型是一次函数．故选B.4．(2019·全国卷Ⅰ)已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <bD ．b <c <a解析：选B 因为a ＝log 20.2<0，b ＝20.2>1,0<c ＝0.20.3<1，所以b >c >a . 5．已知函数f (x )＝e －x －e xx ，则其图像( )A ．关于x 轴对称B ．关于y ＝x 对称C ．关于原点对称D ．关于y 轴对称解析：选D 函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，f (－x )＝e x －e －x －x ＝e －x －e xx ＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，其图像关于y 轴对称．6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D 当x ≤1时，由21－x ≤2，得1－x ≤1，即x ≥0，∴0≤x ≤1. 当x >1时，由1－log 2x ≤2，得log 2x ≥－1， 即x ≥12，∴x >1.综上，满足f (x )≤2的x 的取值范围是[0，＋∞)． 7．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－1，12 B.⎝⎛⎭⎫－∞，12 C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞D.⎣⎡⎦⎤12，2解析：选C 设u ＝－x 2＋x ＋2， 则u ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋94. 则u ＝－x 2＋x ＋2在⎝⎛⎦⎤－∞，12上递增， 在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上递减， 又y ＝⎝⎛⎭⎫12u是减函数，故y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 8．已知函数y ＝log a (3－ax )在[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1,3) C ．(0,3)D ．(3，＋∞)解析：选B 当0<a <1时，u ＝3－ax 是减函数，y ＝log a u 是减函数，所以y ＝log a (3－ax )在[0,1]上是增函数，不满足题意；当a >1时，u ＝3－ax 是减函数，y ＝log a u 是减函数，所以y ＝log a (3－ax )在[0,1]上是减函数，又3－ax 在[0,1]上大于0，所以3－a >0，故a <3，所以1<a <3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 9．已知f (x 3)＝lg x ，则f (2)＝________.解析：令x 3＝2，则x ＝32，所以f (2)＝lg 32＝13lg 2.答案：13lg 210．函数y ＝log 12(x －4)的定义域是________．解析：由log 12(x －4)≥0得0<x －4≤1，所以4<x ≤5.故函数的定义域为(4,5]．答案：(4,5]11．设0≤x ≤2，则函数y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值是________，最小值是________．解析：y ＝412－x －3·2x ＋5＝12(2x )2－3·2x ＋5.令t ＝2x ，x ∈[0,2]，则1≤t ≤4，于是y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12，1≤t ≤4.当t ＝3时，y min ＝12；当t ＝1时，y max ＝12×(1－3)2＋12＝52.答案：52 1212．定义区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1，已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．解析：作出函数y ＝2|x |的图像(如图所示)当x ＝0时，y ＝20＝1，当x ＝－1时，y ＝2|－1|＝2，当x ＝1时，y＝21＝2，所以当值域为[1,2]时，区间[a ，b ]的长度的最大值为2，最小值为1，它们的差为1.答案：1三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13．(8分)计算：(1)733－3324＋6319＋4333；(2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245. 解：(1)733－3324－6319＋4333＝7×313－3×2413－6×3-23＋313＝8×313－3×2×313－6×3-23＝2×313－2×313＝0.(2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝lg 3249－43lg 232＋lg 245＝lg 3249×245－43×32lg 2＝lg 32×5－2lg 2＝lg32×54＝lg 32×516＝lg 10＝12lg 10＝12. 14．(10分)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12ax，a 为常数，且函数的图像过点(－1,2)． (1)求a 的值．(2)若g (x )＝4－x －2，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值．解：(1)由已知得⎝⎛⎭⎫12－a ＝2，解得a ＝1. (2)由(1)知f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，又g (x )＝f (x )，则4－x －2＝⎝⎛⎭⎫12x ，即⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x －2＝0，即⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x 2－⎝⎛⎭⎫12x －2＝0.令⎝⎛⎭⎫12x ＝t ，则t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0.又t >0，故t ＝2，即⎝⎛⎭⎫12x ＝2，解得x ＝－1.15．(10分)已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，当点(x ，y )是函数f (x )图像上的点时，点⎝⎛⎭⎫x 3，y 2是函数g (x )图像上的点．(1)写出函数g (x )的表达式；(2)当2g (x )－f (x )≥0时，求x 的取值范围． 解：(1)令x ′＝x 3，y ′＝y2，把x ＝3x ′，y ＝2y ′代入y ＝log 2(x ＋1)， 得y ′＝12log 2(3x ′＋1)，∴g (x )＝12log 2(3x ＋1)．(2)2g (x )－f (x )≥0，即log 2(3x ＋1)－log 2(x ＋1)≥0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1>0，x ＋1>0，3x ＋1≥x ＋1，解得x ≥0，故x 的取值范围为[0，＋∞)．16．(12分)已知函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)． (1)若f (3a ＋4)≥f (5a )，求实数a 的取值范围．(2)当a ＝12时，设g (x )＝f (x )－3x ＋4，判断g (x )在(1,2)上零点的个数并证明：对任意λ>0，都存在μ>0，使得g (x )<0在x ∈(λμ，＋∞)上恒成立．解：(1)当a >1时，3a ＋4≥5a ，所以1<a ≤2； 当0<a <1时，3a ＋4≤5a ，所以a ≥2(舍)． 所以a 的取值范围为(1,2]．(2)g (x )＝log 12x －3x ＋4为(0，＋∞)上的减函数，因为g (1)＝1>0，g (2)＝－6<0，所以g (x )在(1,2)上存在唯一的零点x 0，即g (x 0)＝0，x 0∈(1,2)，所以当x ∈(x 0，＋∞)时，g (x )<0，所以对任意λ>0，存在μ＝x 0λ>0，使得g (x )<0在x ∈(λμ，＋∞)上恒成立．B 卷——高考应试能力标准练 (时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数中，随x 的增大，增长速度最快的是( ) A ．y ＝1 B ．y ＝x C ．y ＝3xD ．y ＝log 3x解析：选C 结合函数y ＝1，y ＝x ，y ＝3x 及y ＝log 3x 的图像可知(图略)，随着x 的增大，增长速度最快的是y ＝3x .2．(2019·北京高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝x 12B ．y ＝2－xC ．y ＝log 12xD ．y ＝1x解析：选A y ＝x 12＝x ，y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x ，y ＝log 12x ，y ＝1x 的图像如图所示．由图像知，只有y ＝x 12在(0，＋∞)上单调递增．故选A. 3．函数f (x )＝ln x ＋16－2x 的定义域为( ) A ．(0,1) B ．(1,2] C ．(0,4]D ．(0,2]解析：选C 由题意得⎩⎨⎧x >016－2x≥0，∴0<x ≤4，故选C. 4．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了( )A ．10天B ．15天C ．19天D ．2天解析：选C 荷叶覆盖水面面积y 与生长时间x 天的函数关系式为y ＝2x ，当x ＝20时，长满池塘水面，所以生长19天时，布满水面面积的一半，故选C.5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则f [f (2)]的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C f (2)＝log 3(22－1)＝1，f (1)＝2e 1－1＝2，∴f [f (2)]＝2，故选C.6．某人2019年7月1日到银行存入a 元，若按年利率x 复利计算，则到2022年7月1日可取款( )A ．a (1＋x )2元B ．a (1＋x )4元C ．a ＋(1＋x )3元D ．a (1＋x )3元解析：选D 由题意知，2020年7月1日可取款a (1＋x )元，2021年7月1日可取款a (1＋x )·(1＋x )＝a (1＋x )2元，2022年7月1日可取款a (1＋x )2·(1＋x )＝a (1＋x )3元．7．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝lg x C ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：选D 函数y ＝10lg x 的定义域与值域均为(0，＋∞)． 函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x 的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D. 8．已知函数f (x )＝log 3x 的反函数的值域为⎣⎡⎦⎤13，3，则函数f (x )的值域为( ) A ．[0,1] B ．[－1,1] C ．[0,2]D.⎣⎡⎦⎤13，3解析：选B 函数f (x )＝log 3x 的反函数的值域即为它的定义域，所以函数f (x )＝log 3x 的定义域为⎣⎡⎦⎤13，3.又函数f (x )＝log 3x 在定义域内是单调递增函数，所以函数f (x )的值域为[－1,1]，故选B.9．已知x ，y ∈R ，且2－x ＋3－y >2y ＋3x ，则下列各式中正确的是( )A ．x －y >0B ．x ＋y <0C ．x －y <0D ．x ＋y >0解析：选B 将不等式变形为2－x －3x >2y －3－y ，令F (x )＝2－x －3x ，则F (x )为减函数，又F (x )>F (－y )，∴x <－y ，∴x ＋y <0，故选B.10．已知函数f (x )＝9x －m ·3x ＋1在[0，＋∞)上的图像恒在x 轴上方，则m 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，2]D ．[2，＋∞)解析：选B 由已知得9x －m ·3x＋1>0，∴m <9x＋13x ，即m <3x ＋13x ，设3x ＝t ，∵x ≥0，∴t ≥1，∴y ＝t ＋1t，在[1，＋∞)上递增，有最小值2，∴m <2，故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 11．函数y ＝log a (2x －3)＋8的图像恒过定点A ，且点A 在幂函数f (x )的图像上，则f (3)＝________.解析：由题意得定点A 为(2,8)，设f (x )＝x α，则2α＝8，α＝3，∴f (x )＝x 3，∴f (3)＝33＝27.答案：2712．函数y ＝lg(2x －4)的定义域为________． 解析：由题意，得2x －4>0，∴2x >4，∴x >2. 答案：(2，＋∞)13．如果函数y ＝log a x 在区间[2，＋∞)上恒有y >1，那么实数a 的取值范围是________． 解析：当x ∈[2，＋∞)时，y >1>0，所以a >1，所以函数y ＝log a x 在区间[2，＋∞)上是增函数，最小值为log a 2，所以log a 2>1＝log a a ，所以1<a <2.答案：(1,2)14．(2019·全国卷Ⅱ)已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝－e ax .若f (ln 2)＝8，则a ＝________.解析：设x >0，则－x <0.∵当x <0时，f (x )＝－e ax ，∴f (－x )＝－e －ax . ∵f (x )是奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝e －ax ， ∴f (ln 2)＝e －a ln 2＝(e ln 2)－a ＝2－a . 又∵f (ln 2)＝8，∴2－a ＝8，∴a ＝－3. 答案：－3三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(8分)求下列各式的值：(1)⎝⎛⎭⎫27912－(23－π)0－⎝⎛⎭⎫21027-23＋0.25-32； (2)log 34273＋lg 25＋lg 4＋7log 72. 解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫25912－1－⎝⎛⎭⎫6427-23＋⎝⎛⎭⎫14-32＝53－1－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫433-23＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫122-32＝23－⎝⎛⎭⎫43－2＋⎝⎛⎭⎫12－3＝23－916＋8＝38948.(2)原式＝log 33－14＋lg(25×4)＋2＝－14＋2＋2＝154.16．(10分)已知函数y ＝log a (x ＋3)－89(a ＞0且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图像上，求b 的值．解：当x ＋3＝1，即x ＝－2时，对任意的a ＞0且a ≠1都有y ＝log a 1－89＝0－89＝－89，所以函数y ＝log a (x ＋3)－89的图像恒过定点A ⎝⎛⎭⎫－2，－89， 若点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图像上，则－89＝3－2＋b ，所以b ＝－1.17．(10分)已知函数f (x )＝a x ＋k (a >0且a ≠1)的图像过点(－1,1)，其反函数f －1(x )的图像过点(8,2)．(1)求a ，k 的值；(2)若将f －1(x )的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，就得到函数g (x )的图像，写出g (x )的解析式．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＋k ＝1，a 2＋k ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，k ＝1.(2)由(1)，知f (x )＝2x ＋1，得f －1(x )＝log 2x －1，将f －1(x )的图像向左平移2个单位长度，得到y ＝log 2(x ＋2)－1的图像，再向上平移1个单位长度，得到y ＝log 2(x ＋2)的图像．所以g (x )＝log 2(x ＋2)．18．(10分)声强级L (单位：dB)由公式L ＝10lg ⎝⎛⎭⎫I10－12给出，其中I 为声强(单位：W/m 2)．(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m 2，能听到的最低声强为10－12W/m 2，求人听觉的声强级范围；(2)在一演唱会中，某女高音的声强级高出某男低音的声强级20 dB ，请问该女高音的声强是该男低音声强的多少倍？解：(1)由题知10－12≤I ≤1，∴1≤I 10－12≤1012， ∴0≤lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 10－12≤12，∴0≤L ≤120，∴人听觉的声强级范围是[0,120](单位：dB)．(2)设该女高音的声强级为L 1，声强为I 1，该男低音的声强级为L 2，声强为I 2， 由题知L 1－L 2＝20，则10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 110－12－10lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫I 210－12＝20，∴lg I 1I 2＝2，∴I 1＝100I 2. 故该女高音的声强是该男低音声强的100倍． 19．(12分)已知函数f (x )＝log 9(9x ＋1)＋kx 是偶函数． (1)求k 的值；(2)若方程f (x )＝12x ＋b 有实数根，求b 的取值范围．解：(1)∵f (x )为偶函数，∴∀x ∈R ，有f (－x )＝f (x )，∴log 9(9－x ＋1)－kx ＝log 9(9x ＋1)＋kx 对x ∈R 恒成立．∴2kx ＝log 9(9－x ＋1)－log 9(9x ＋1)＝log 99x ＋19x －log 9(9x ＋1)＝－x 对x ∈R 恒成立， ∴(2k ＋1)x ＝0对x ∈R 恒成立，∴k ＝－12.(2)由题意知，log 9(9x ＋1)－12x ＝12x ＋b 有实数根，即log 9(9x ＋1)－x ＝b 有解．令g (x )＝log 9(9x ＋1)－x ，则函数y ＝g (x )的图像与直线y ＝b 有交点．g (x )＝log 9(9x ＋1)－x ＝log 99x ＋19x ＝log 9⎝⎛⎭⎫1＋19x .∵1＋19x >1，∴g (x )＝log 9⎝⎛⎭⎫1＋19x >0，∴b 的取值范围是(0， ＋∞)．。

4.3 指数函数与对数函数的关系知识点一反函数的概念1．函数y＝e2x(x∈R)的反函数为( )A．y＝2ln x(x>0) B．y＝ln (2x)(x>0)C．y＝12ln x(x>0) D．y＝12ln (2x)(x>0)2．已知函数y＝log3(3－x)(0≤x<3)，则它的反函数是( ) A．y＝3－3x(x≥0) B．y＝3＋3x(x≤1) C．y＝3＋3x(x≥0) D．y＝3－3x(x≤1)3．函数f(x)＝12x2＋1(x>2)的反函数是( )A．y＝2x－2(1≤x<3) B．y＝2x－2(x>3) C．y＝－2x－2(1≤x<3) D．y＝－2x－2(x>3)4．已知函数y＝3x－2a的反函数是y＝bx＋23，则( )A．a＝－6，b＝13B．a＝1，b＝13C．a＝6，b＝－13D．a＝23，b＝－135．已知函数f(x)＝x2，x∈D的值域是{1,4,9}，且函数f(x)存在反函数，这样的f(x)共有________个．6．若函数f(x)＝2x＋1x＋a的反函数是其本身，则实数a＝________.7．已知函数f(x)是以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝lg (x＋1)，令函数g(x)＝f(x)(x∈[1,2])，则g(x)的反函数为________________．8．已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]．(1)当a ＝－12时，判定此函数有没有反函数，并说明理由；(2)当a 为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数f －1(x )． 知识点二 反函数的图像与性质 9．函数y ＝log 212x －1的反函数的定义域为( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)10．已知x >0，f (x )＝log 3x 2的值域是[－1,1]，则它的反函数f －1(x )的值域是( )A ．[－1,1]B ．(0，＋∞)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 11．如图，已知函数f (x )＝3x －1，则它的反函数y ＝f －1(x )的大致图像是( )12．已知函数y ＝f (x )的反函数为y ＝f －1(x )，则函数y ＝f (－x )与y ＝－f －1(x )的图像( )A ．关于y 轴对称B ．关于原点对称C ．关于直线x ＋y ＝0对称D ．关于直线x －y ＝0对称13．给出下列命题：(1)若奇函数存在反函数，则其反函数也是奇函数；(2)函数f (x )在区间[a ，b ]上存在反函数的充要条件是f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数；(3)函数f (x )在定义域D 上的反函数为f －1(x )，则对于任意的x 0∈D 都有f (f－1(x 0))＝f －1(f (x 0))＝x 0成立． 其中正确的命题为( ) A ．(1) B ．(1)(2) C ．(1)(3)D ．(1)(2)(3)14．已知点(3,9)在函数f (x )＝1＋a x 的图像上，则f (x )的反函数f －1(x )＝________.15．若函数y ＝f (x )是函数y ＝g (x )＝a 2x 的反函数(a >0，且a ≠1)，且f (4)＝1，则a ＝________.16．若函数y ＝f (x )的图像过点(0,1)，则函数g (x )＝f (4－x )的反函数的图像过点________．17．已知f (x )＝x －1，其反函数为f －1(x )，若f －1(x )－a ＝f (x ＋a )有实数根，则a 的取值范围为________．知识点三 指数函数与对数函数的综合应用 18．设a ，b ，c 均为正数，且2a＝，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <bD ．b <a <c19．(多选)已知函数f (x )＝log a (a x －1)(a >0，a ≠1)，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )的图像在y 轴的一侧B ．函数f (x )为奇函数C ．函数f (x )为定义域上的增函数D ．函数f (x )在定义域内有最大值 20．已知函数f (x )＝log 2(1－2x )． (1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)求证函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称．易错点一对反函数的定义理解不清而致误已知函数y＝f(x＋1)与函数y＝g(x)的图像关于直线y＝x对称，且g(x)的图像过定点(1,2020)，则y＝f－1(x＋1)的图像过定点________．易错点二不能将问题合理转化致误设α，β分别是关于x的方程log2x＋x－4＝0和2x＋x－4＝0的根，则α＋β＝________.一、单项选择题1．函数y＝2x＋1(x∈R)的反函数是( )A．y＝1＋log2x(x>0)B．y＝log2(x－1)(x>1)C．y＝－1＋log2x(x>0)D．y＝log2(x＋1)(x>－1)2．把函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图像绕原点逆时针旋转90°后，新图像的函数解析式是( )A．y＝－a x B．y＝a－xC．y＝log a(－x) D．y＝－log a x3．已知f(x)＝－4－x2的反函数为f－1(x)＝4－x2，则f(x)的定义域为( )A．(－2,0) B．[－2,2]C．[－2,0] D．[0,2]4．当0<a<1时，方程log a x＝a x的实数解( )A．有且只有一个B．可能无解C ．可能有3个D ．一定有3个5．若函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图像过点(a ，a )，则a 的值为( )A ．2B ．12C ．2或12D ．36．函数y ＝1－xx(x ≠0)的反函数的图像大致是( )7．已知函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，其图像如图所示，则不等式－1≤f－1(x )≤12的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12C ．[－2,0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D ．[－1,0]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，18．已知函数f (x )＝3x ，函数g (x )是f (x )的反函数，若正数x 1，x 2，…，x 2020满足x 1x 2…x 2020＝81，则g (x 21)＋g (x 22)＋…＋g (x 22020)的值等于( )A ．4B ．8C ．16D ．64二、多项选择题9．下列说法中正确的是( )A ．一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)一定存在反函数B ．若函数f (x )在其定义域内不是单调函数，则f (x )不存在反函数C ．若函数y ＝f (x )的图像位于第一、二象限，则它的反函数y ＝f －1(x )的图像位于第一、四象限D ．若函数f (x )存在反函数f －1(x )，则f －1(x )与f (x )图像的公共点必在直线y ＝x 上10.在同一直角坐标系下，函数y ＝a x 与y ＝log a x (a >0，a ≠1)的大致图像如图所示，则实数a 的可能值为( )A.32 B ．43 C.75D ．10711．如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点，那么称这个点为“好点”，在下面的四个点中，是“好点”的有( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(2,2)D ．(2,0.5)12．下列说法正确的是( )A ．函数y ＝a x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 图像关于y 轴对称B ．函数y ＝log a x 与y ＝图像关于x 轴对称C ．函数y ＝a x 与y ＝log a x 图像关于直线y ＝x 对称D ．函数y ＝a x 与y ＝log a x 图像关于y 轴对称 三、填空题13．函数f (x )＝－x 2(x ∈(－∞，－2])的反函数f －1(x )＝________. 14．已知函数f (x )＝a x －k 的图像过点(1,3)，其反函数y ＝f －1(x )的图像过点(2,0)，则f (x )的表达式为________．15．已知函数f (x )与函数g (x )＝的图像关于直线y ＝x 对称，则函数f (x 2＋2x )的单调增区间是________．16．已知函数f (x )＝log a x －bx ＋b (a >0，b ≠0)，则f (x )的值域为____________，f (x )的反函数f －1(x )的解析式为________________．四、解答题17．若不等式4x －log a x ＜0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围．18．已知f (x )＝1－3x 1＋3x ，求f－1⎝ ⎛⎭⎪⎫45的值． 19．已知y ＝f (x )是R 上的增函数，点A (－1,1)，B (1,3)在它的图像上，y ＝f －1(x )是它的反函数，解不等式|f －1(log 2x )|<1.20．已知f (x )＝a ·2x －12x ＋1(a ∈R )，f (0)＝0.(1)求a 的值，并判断f (x )的奇偶性； (2)求f (x )的反函数；(3)对任意的k ∈(0，＋∞)，解不等式f －1(x )＞log 21＋xk.4.3 指数函数与对数函数的关系知识点一 反函数的概念1．函数y＝e2x(x∈R)的反函数为( )A．y＝2ln x(x>0) B．y＝ln (2x)(x>0)C．y＝12ln x(x>0) D．y＝12ln (2x)(x>0)答案 C解析y＝e2x>0,2x＝ln y，x＝12ln y，∴y＝e2x的反函数为y＝12ln x，x>0.2．已知函数y＝log3(3－x)(0≤x<3)，则它的反函数是( ) A．y＝3－3x(x≥0) B．y＝3＋3x(x≤1) C．y＝3＋3x(x≥0) D．y＝3－3x(x≤1)答案 D解析∵0≤x<3，∴y≤1.又3－x＝3y，∴x＝3－3y.∴y＝log3(3－x)的反函数为y＝3－3x，x≤1.3．函数f(x)＝12x2＋1(x>2)的反函数是( )A．y＝2x－2(1≤x<3) B．y＝2x－2(x>3) C．y＝－2x－2(1≤x<3) D．y＝－2x－2(x>3)答案 B解析令y＝12x2＋1.∵x>2，∴y＝12x2＋1>3.对调函数中的x和y得x＝12y2＋1，解得y＝2x－2.∴所求反函数为y＝2x－2(x>3)．4．已知函数y＝3x－2a的反函数是y＝bx＋23，则( )A．a＝－6，b＝13B．a＝1，b＝13C．a＝6，b＝－13D．a＝23，b＝－13答案 B解析∵函数y＝3x－2a，∴x＝y＋2a3，互换x，y，得函数y＝3x－2a的反函数是y ＝13x ＋23a ，x ∈R .∵函数y ＝3x －2a 的反函数是y ＝bx ＋23，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝13，2a 3＝23，解得a ＝1，b ＝13.故选B.5．已知函数f (x )＝x 2，x ∈D 的值域是{1,4,9}，且函数f (x )存在反函数，这样的f (x )共有________个．答案 8解析 当x 2＝1时，x ＝±1；当x 2＝4时，x ＝±2；当x 2＝9时，x ＝±3.若函数f (x )存在反函数，则一个y 只能对应一个x ，列举如下：⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧x ＝1，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝9，x ＝－3，y ＝9，x ＝－2，y ＝4，⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝9，x ＝－3，y ＝9，x ＝－1，y ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝9，x ＝－3，y ＝9，x ＝－2，y ＝4，⎩⎨⎧ x ＝3，y ＝9，x ＝－3，y ＝9.故这样的f (x )共有8个． 6．若函数f (x )＝2x ＋1x ＋a的反函数是其本身，则实数a ＝________. 答案 －2解析 函数y ＝f (x )＝2x ＋1x ＋a 的反函数为x ＝2y ＋1y ＋a ，即y ＝1－axx －2，因为函数f (x )＝2x ＋1x ＋a 的反函数是其本身，所以2x ＋1x ＋a ＝1－axx －2，所以a ＝－2. 7．已知函数f (x )是以2为周期的偶函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝lg (x ＋1)，令函数g (x )＝f (x )(x ∈[1,2])，则g (x )的反函数为________________．答案 g －1(x )＝3－10x (0≤x ≤lg 2)解析 当－1≤x ≤0时，0≤－x ≤1，∴f (x )＝f (－x )＝lg (－x ＋1)；当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0，∴f (x )＝f (x －2)＝lg [－(x －2)＋1]＝lg (－x ＋3)．∴g (x )＝lg (－x ＋3)(1≤x ≤2)，∴－x ＋3＝10g (x )，∴x ＝3－10g (x )．故反函数为g －1(x )＝3－10x (0≤x ≤lg 2)．8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，x ∈[－1,1]．(1)当a ＝－12时，判定此函数有没有反函数，并说明理由；(2)当a 为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数f －1(x )． 解 (1)当a ＝－12时，f (x )＝x 2＋x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74，x ∈[－1，1]，显然函数不单调，所以此时没有反函数．(2)函数存在反函数时必须在[－1,1]上单调，而f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，x ∈[－1,1]，对称轴x ＝a ，所以a ≥1或a ≤－1.当a ≥1时，f －1(x )＝a －x ＋a 2－2，x ∈[3－2a,3＋2a ]；当a ≤－1时，f －1(x )＝a ＋x ＋a 2－2，x ∈[3＋2a,3－2a ]．知识点二 反函数的图像与性质 9．函数y ＝log 212x －1的反函数的定义域为( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)答案 A解析 反函数的定义域即为原函数的值域．由12x －1>0可得log 212x －1∈R ，所以原函数的值域为R ，故它的反函数的定义域为R .故选A.10．已知x >0，f (x )＝log 3x 2的值域是[－1,1]，则它的反函数f －1(x )的值域是( )A ．[－1,1]B ．(0，＋∞)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 答案 D解析 ∵f (x )＝log 3x 2的值域是[－1,1]，∴－1≤log 3x 2≤1，即13≤x 2≤3，而x >0，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.∵反函数的值域为原函数的定义域，∴反函数f －1(x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3. 11．如图，已知函数f (x )＝3x －1，则它的反函数y ＝f －1(x )的大致图像是( )答案 C解析 由f (x )＝3x －1可得f －1(x )＝log 3x ＋1，∴图像为C.12．已知函数y ＝f (x )的反函数为y ＝f －1(x )，则函数y ＝f (－x )与y ＝－f －1(x )的图像( )A ．关于y 轴对称B ．关于原点对称C ．关于直线x ＋y ＝0对称D ．关于直线x －y ＝0对称 答案 D解析 函数y ＝f (－x )与y ＝－f －1(x )互为反函数，图像关于直线x －y ＝0对称．故选D.13．给出下列命题：(1)若奇函数存在反函数，则其反函数也是奇函数；(2)函数f (x )在区间[a ，b ]上存在反函数的充要条件是f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数；(3)函数f (x )在定义域D 上的反函数为f －1(x )，则对于任意的x 0∈D 都有f (f－1(x 0))＝f －1(f (x 0))＝x 0成立． 其中正确的命题为( ) A ．(1) B ．(1)(2) C ．(1)(3) D ．(1)(2)(3)答案 A解析 (1)设奇函数f (x )的反函数为f －1(x )，∵f (x )是奇函数，∴f (x )的值域关于原点对称，即f －1(x )的定义域关于原点对称．假设f (x )＝y ，则f (－x )＝－y .∴f －1(y )＝x ，f －1(－y )＝－x .∴f －1(－y )＝－f －1(y )，即f －1(－x )＝－f －1(x )．∴f －1(x )是奇函数．故(1)正确；(2)函数f (x )在区间[a ，b ]上存在反函数，不一定f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数，比如f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≤1，x ，x >1存在反函数，但f (x )在R 上不单调，故(2)不正确；(3)x 0不一定属于f (x )的值域，即f －1(x 0)不一定存在，故(3)不正确．故选A.14．已知点(3,9)在函数f (x )＝1＋a x 的图像上，则f (x )的反函数f －1(x )＝________.答案 log 2(x －1)(x >1)解析 ∵(3,9)在函数f (x )上，∴1＋a 3＝9，解得a ＝2，∴f (x )＝1＋2x ，又f (x )>1，∴f －1(x )＝log 2(x －1)(x >1)．15．若函数y ＝f (x )是函数y ＝g (x )＝a 2x 的反函数(a >0，且a ≠1)，且f (4)＝1，则a ＝________.答案 2解析 由y ＝f (x )与y ＝g (x )互为反函数，且f (4)＝1，得g (1)＝4，所以a 2＝4，a ＝2.16．若函数y ＝f (x )的图像过点(0,1)，则函数g (x )＝f (4－x )的反函数的图像过点________．答案 (1,4)解析 ∵y ＝f (x )的图像过点(0,1)，∴f (4－x )的图像过点(4,1)，∴g (x )＝f (4－x )的反函数的图像过点(1,4)．17．已知f (x )＝x －1，其反函数为f －1(x )，若f －1(x )－a ＝f (x ＋a )有实数根，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，＋∞解析 因为y ＝f －1(x )－a 与y ＝f (x ＋a )互为反函数，所以二者关于y ＝x 对称．若y ＝f －1(x )－a 与y ＝f (x ＋a )有实数根，则y ＝f (x ＋a )与y ＝x 有交点，所以x ＋a －1＝x ，即a ＝x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34.知识点三 指数函数与对数函数的综合应用 18．设a ，b ，c 均为正数，且2a＝，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <b D ．b <a <c答案 A解析 在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，y ＝log 2x ，y ＝的图像，如图所示，则a ，b ，c 分别为两个图像交点的横坐标，根据图像可知a <b <c .19．(多选)已知函数f (x )＝log a (a x －1)(a >0，a ≠1)，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )的图像在y 轴的一侧B ．函数f (x )为奇函数C ．函数f (x )为定义域上的增函数D ．函数f (x )在定义域内有最大值 答案 AC解析 ∵函数f (x )＝log a (a x －1)(a >0，a ≠1)，当a >1时，由a x －1>0，可得x >0，此时，函数的图像仅在y 轴的右侧；当0<a <1时，由a x －1>0，可得x <0，此时，函数的图像仅在y 轴的左侧，故A 正确．由于f (－x )＝log a (a －x －1)＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1≠－f (x )，故函数不是奇函数，故B 不正确．由于函数y ＝log a t 和函数t ＝a x 的单调性相同，即同是增函数或同是减函数，根据复合函数的单调性可得f (x )＝log a (a x －1)在它的定义域内一定是增函数，故C 正确．由于t ＝a x －1无最值，故y ＝log a t 无最值，故D 不正确．故选AC.20．已知函数f (x )＝log 2(1－2x )． (1)求函数f (x )的定义域和值域；(2)求证函数y ＝f (x )的图像关于直线y ＝x 对称． 解 (1)要使函数f (x )＝log 2(1－2x )有意义， 则1－2x>0，即2x<1. 故x <0，此时0<1－2x <1， ∴f (x )＝log 2(1－2x )<0，故函数f (x )的定义域为(－∞，0)，值域为(－∞，0)．(2)证明：由y ＝f (x )＝log 2(1－2x )可得1－2x ＝2y ，解得x ＝log 2(1－2y )，故原函数的反函数为f －1(x )＝log 2(1－2x )，与原函数相同，所以函数f (x )的图像关于直线y ＝x 对称．易错点一 对反函数的定义理解不清而致误已知函数y ＝f (x ＋1)与函数y ＝g (x )的图像关于直线y ＝x 对称，且g (x )的图像过定点(1,2020)，则y ＝f －1(x ＋1)的图像过定点________．易错分析 本题容易误认为f (x ＋1)与f －1(x ＋1)互为反函数．答案(0,2021)正解∵g(x)的图像过定点(1,2020)，∴f(x＋1)的图像过定点(2020,1)．又f(x)的图像可以看作由f(x＋1)的图像向右平移一个单位长度得到的，∴f(x)过定点(2021,1)．又f(x)与f－1(x)互为反函数，∴f－1(x)的图像过定点(1,2021)．再结合f－1(x)与f－1(x＋1)的关系可知，f－1(x＋1)的图像过定点(0,2021)．易错点二不能将问题合理转化致误设α，β分别是关于x的方程log2x＋x－4＝0和2x＋x－4＝0的根，则α＋β＝________.易错分析本题的易错之处为不能正确将问题转化为函数y＝log2x，y＝2x，y＝4－x三个图像之间的关系进行求解．答案 4正解如图，分别作出函数y＝log2x，y＝2x，y＝4－x的图像，相交于点P，Q.∵log2α＝4－α，2β＝4－β.而y＝log2x(x>0)与y＝2x互为反函数，直线y＝4－x与直线y＝x互相垂直，∴点P与Q关于直线y＝x对称．∴α＝2β＝4－β.∴α＋β＝4.一、单项选择题1．函数y ＝2x ＋1(x ∈R )的反函数是( ) A ．y ＝1＋log 2x (x >0) B ．y ＝log 2(x －1)(x >1) C ．y ＝－1＋log 2x (x >0) D ．y ＝log 2(x ＋1)(x >－1) 答案 C解析 由y ＝2x ＋1⇒x ＋1＝log 2y ⇒x ＝－1＋log 2y ，又因原函数的值域{y |y >0}，故其反函数是y ＝－1＋log 2x (x >0)．2．把函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图像绕原点逆时针旋转90°后，新图像的函数解析式是( )A ．y ＝－a xB ．y ＝a －xC ．y ＝log a (－x )D ．y ＝－log a x答案 B解析 函数的图像绕坐标原点逆时针旋转90°后，得到的函数与原函数的反函数的图像关于y 轴对称．函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的反函数为y ＝a x ，其关于y 轴对称的函数解析式为y ＝a －x .故选B.3．已知f (x )＝－4－x 2的反函数为f －1(x )＝4－x 2，则f (x )的定义域为( )A ．(－2,0)B ．[－2,2]C ．[－2,0]D ．[0,2]答案 D解析 ∵原函数的定义域就是反函数的值域，原函数的值域就是反函数的定义域．∴⎩⎨⎧4－x 2≥0，f－1x ≥0，解得⎩⎨⎧－2≤x ≤2，x ≥0，即0≤x ≤2.故f (x )的定义域为[0,2]．故选D.4．当0<a <1时，方程log a x ＝a x 的实数解( ) A ．有且只有一个 B ．可能无解 C ．可能有3个 D ．一定有3个答案 C解析 考虑函数y ＝log a x 与函数y ＝a x 的图像公共点，易知B ，D 两项不对．又y ＝和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116x 的图像除了在直线y ＝x 上存在一个公共点外，还存在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14和⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12两个公共点．故选C. 5．若函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图像过点(a ，a )，则a 的值为( )A ．2B ．12C ．2或12D ．3答案 B解析 解法一：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数即y ＝log a x ，故y ＝log a x 的图像过点(a ，a )，则a ＝log a a ＝12.解法二：由题意得，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图像过点(a ，a )，则函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图像过点(a ，a )，即a a ＝a ＝，故a ＝12.6．函数y ＝1－xx(x ≠0)的反函数的图像大致是( )答案 B 解析 y ＝1－xx(x ≠0)的反函数为y ＝11＋x (x ≠－1)，其图像为y ＝1x的图像向左平移1个单位长度．7．已知函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，其图像如图所示，则不等式－1≤f－1(x )≤12的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12C ．[－2,0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1D ．[－1,0]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1答案 C解析 由题意，可得－1≤f －1(x )≤12的解集即为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的值域．当－1≤x ＜0时，由题图可知f (x )∈[－2,0)，当0≤x ≤12时，由题图可知f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.故不等式－1≤f －1(x )≤12的解集为[－2,0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.8．已知函数f (x )＝3x ，函数g (x )是f (x )的反函数，若正数x 1，x 2，…，x 2020满足x 1x 2…x 2020＝81，则g (x 21)＋g (x 22)＋…＋g (x 22020)的值等于( )A ．4B ．8C ．16D ．64答案 B解析 由函数f (x )＝3x ，函数g (x )是f (x )的反函数，则g (x )＝log 3x ，所以g (x 21)＋g (x 22)＋…＋g (x 22020)＝log 3(x 1x 2…x 2020)2＝2log 3(x 1x 2…x 2020)＝2log 381＝8.故选B.二、多项选择题9．下列说法中正确的是( )A ．一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)一定存在反函数B ．若函数f (x )在其定义域内不是单调函数，则f (x )不存在反函数C ．若函数y ＝f (x )的图像位于第一、二象限，则它的反函数y ＝f －1(x )的图像位于第一、四象限D ．若函数f (x )存在反函数f －1(x )，则f －1(x )与f (x )图像的公共点必在直线y ＝x 上答案 AC解析 对于A ，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)为单调函数，一定存在反函数，故正确；对于B ，因为函数f (x )＝1x在定义域上不单调，但函数f (x )存在反函数，故错误；对于C ，因为原函数与它的反函数的图像关于y ＝x 对称，所以将y ＝f (x )的图像沿y ＝x 翻折后，会落在第一、四象限，故正确；对于D ，比如函数y ＝－x ＋1与其反函数y ＝x 2－1(x ≤0)的交点坐标有(－1,0)，(0，－1)，显然交点不在直线y ＝x 上，故错误．故选AC.10.在同一直角坐标系下，函数y ＝a x 与y ＝log a x (a >0，a ≠1)的大致图像如图所示，则实数a 的可能值为( )A.32 B ．43 C.75 D ．107答案 BC解析 由图像可知a >1且a 2<log a 2.⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝94>2＝94>2，故A 错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝169<2＝169<2，故B 正确；⎝ ⎛⎭⎪⎫752＝4925<2＝4925<2，故C 正确；⎝ ⎛⎭⎪⎫1072＝10049>2＝10049>2，故D 错误．综上，选BC.11．如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点，那么称这个点为“好点”，在下面的四个点中，是“好点”的有( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(2,2)D ．(2,0.5)答案 CD解析 当x ＝1时，对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)恒过(1,0)点，故(1,2)一定不是好点；当y ＝1时，指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)恒过(0,1)点，故(2,1)也一定不是好点；而(2,2)是函数y ＝(2)x 与的交点；(2,0.5)是函数y ＝⎝⎛⎭⎪⎫12x与y ＝log 4x 的交点；故选CD. 12．下列说法正确的是( )A ．函数y ＝a x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 图像关于y 轴对称B ．函数y ＝log a x 与y ＝图像关于x 轴对称C ．函数y ＝a x 与y ＝log a x 图像关于直线y ＝x 对称D ．函数y ＝a x 与y ＝log a x 图像关于y 轴对称 答案 ABC解析 令a ＝2，分别作出对应的图像，由图像可知，对于A ，∵函数y ＝a x与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x图像关于y 轴对称，故A 正确；对于B ，∵函数y ＝log a x 与y ＝图像关于x 轴对称，故B 正确；对于C ，D ，∵函数y ＝a x 与y ＝log a x 图像关于直线y ＝x 对称，故C 正确，D 不正确．故选ABC.三、填空题13．函数f (x )＝－x 2(x ∈(－∞，－2])的反函数f －1(x )＝________. 答案 －－x ，x ∈(－∞，－4]解析 由y ＝－x 2，x ∈(－∞，－2]，得y ∈(－∞，－4]，∴x ＝－－y ，即f －1(x )＝－－x ，x ∈(－∞，－4]．14．已知函数f (x )＝a x －k 的图像过点(1,3)，其反函数y ＝f －1(x )的图像过点(2,0)，则f (x )的表达式为________．答案 f (x )＝2x ＋1解析 ∵y ＝f －1(x )的图像过点(2,0)，∴f (x )的图像过点(0,2)，∴2＝a 0－k ，∴k ＝－1，∴f (x )＝a x ＋1.又f (x )的图像过点(1,3)，∴3＝a 1＋1，∴a ＝2，∴f (x )＝2x ＋1.15．已知函数f (x )与函数g (x )＝的图像关于直线y ＝x 对称，则函数f (x 2＋2x )的单调增区间是________．答案 (－∞，－1]解析 由题意得f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，∴f (x 2＋2x )＝，∵f (x )在R 上是减函数，∴由同增异减的原则可知，所求函数的单调增区间即为t ＝x 2＋2x 的单调减区间，即(－∞，－1]．16．已知函数f (x )＝log a x －b x ＋b(a >0，b ≠0)，则f (x )的值域为____________，f (x )的反函数f －1(x )的解析式为________________．答案 (－∞，0)∪(0，＋∞) f －1(x )＝b ·1＋a x1－a x 解析 ∵b ≠0，∴x －b x ＋b ≠1，∴f (x )＝log a x －b x ＋b ≠0.由y ＝log a x －b x ＋b ，化为x －b x ＋b ＝a y ，解得x ＝b ·1＋a y 1－a y .把x 与y 互换可得y ＝b ·1＋a x 1－ax ，∴f (x )的反函数f －1(x )＝b ·1＋a x1－a x. 四、解答题17．若不等式4x －log a x ＜0，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围．解 要使不等式4x ＜log a x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时恒成立，即函数y ＝log a x 的图像在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒在函数y ＝4x 图像的上方，而y ＝4x 的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2. 由图可知，log a 12≥2，显然这里0＜a ＜1，∴函数y ＝log a x 递减．又log a 12≥2＝log a a 2，∴a 2≥12， 又0<a <1，∴a ≥22. ∴所求的a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1. 18．已知f (x )＝1－3x1＋3x ，求f －1⎝ ⎛⎭⎪⎫45的值． 解 令y ＝1－3x 1＋3x ，∴y ＋y ·3x ＝1－3x ，∴3x ＝1－y 1＋y ， ∴x ＝log 31－y 1＋y ，∴f －1(x )＝log 31－x 1＋x. ∴f －1⎝ ⎛⎭⎪⎫45＝log 31－451＋45＝log 319＝－2. 19．已知y ＝f (x )是R 上的增函数，点A (－1,1)，B (1,3)在它的图像上，y ＝f －1(x )是它的反函数，解不等式|f －1(log 2x )|<1.解 ∵y ＝f (x )是R 上的增函数，∴y ＝f －1(x )在R 上也是增函数．∵f (－1)＝1，f (1)＝3，∴f －1(1)＝－1，f －1(3)＝1.由|f －1(log 2x )|<1，得－1<f －1(log 2x )<1，∴f －1(1)<f －1(log 2x )<f －1(3)，∴1<log 2x <3，∴2<x <8，即所求不等式的解集为{x |2<x <8}．20．已知f (x )＝a ·2x －12x ＋1(a ∈R )，f (0)＝0.(1)求a 的值，并判断f (x )的奇偶性；(2)求f (x )的反函数；(3)对任意的k ∈(0，＋∞)，解不等式f －1(x )＞log 21＋x k .解 (1)由f (0)＝0，得a ＝1，所以f (x )＝2x －12x ＋1(x ∈R )． 因为f (x )＋f (－x )＝2x －12x ＋1＋2－x －12－x ＋1＝2x －12x ＋1＋1－2x1＋2x ＝0， 所以f (－x )＝－f (x )，即f (x )为奇函数．(2)因为f (x )＝y ＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1， 所以2x ＝1＋y 1－y(－1＜y ＜1)， 所以f －1(x )＝log 21＋x 1－x(－1＜x ＜1)． (3)因为f －1(x )＞log 21＋x k ，即log 21＋x 1－x ＞log 21＋x k ，所以⎩⎨⎧ 1＋x 1－x ＞1＋x k ，－1＜x ＜1，所以⎩⎨⎧ x ＞1－k ，－1＜x ＜1，当0＜k ＜2时，原不等式的解集为{x |1－k ＜x ＜1}； 当k ≥2时，原不等式的解集为{x |－1＜x ＜1}．。