初中数学竞赛——分式的恒等变形(三)

分式恒等变形方法一、通分：直接通分；逐步通分；移项通分；分组通分；分母因式分解再通分。

例1. 若22004a m +=，22003b m +=，22002c m +=且24abc =，求111a b c bc ca ab a b c++---的值。

（1/8） 例2. 若0abc ≠，0a b c ++=，求222a b c bc ac ab++的值。

（3）例3. 求证：2220()()()()()()a bcb ac c baa b a c a b b c c b a c ---++=++++++例4. 设正数x ，y ，z 满足不等式2222x y z xy +-+2222y z x yz +-+2222z x y xz+->1,求证x ，y ，z 是某个三角形的三边长【分析与证明】原不等式可变形为z(x^2+y^2-z^2)+x(y^2+z^2-x^2)+y(x^2+z^2-y^2)-2xyz>0 因式分解得(x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)>0所以三个括号内的数全正或者1正2负，因为x ，y ，z 全正，所以不可能1正2负（证明略）所以三个括号内均为正数，所以x ，y ，z 是某个三角形的三边长例5. 求分式248161124816111111a a a a a a +++++-+++++，当2a =时的值． 【解析】 先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式：()()22a b a b a b -=+-，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．原式()()()()248161124816111111a a a a a a a a ++-=++++-+++++22481622481611111a a a a a =++++-++++ ()()()()224816222121481611111a a a a a a a +++=++++++-+44816448161111a a a a =+++-+++1616161611a a =+-+32323232112a ==--例6. 若实数a ，b ，c 满足1111a b c a b c++=++，求证： 7777771111a b c a b c++=++.【证明】：由已知得到()()bc ac ab a b c abc ++++=，有()()()0a b b c a c +++=，则a ，b ，c 中一定有两个数互为相反数。

初中奥数恒等变形知识点整理恒等概念是对两个代数式而言，如果两个代数式里的字母换成任意的数值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等.表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式.如：a+b=b+a;2x+5x=7x都是恒等式.而t2+6=5t，x+7=4都不是恒等式.以前学过的运算律都是恒等式.将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换).以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式，从一种形式变为另一种形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变.如何判断一个等式是否是恒等式，通常有以下两种判断多项式恒等的方法.1.如果两个多项式的同次项的'系数都相等，那么这两个多项式是恒等的.如2x2+3x-4和3x-4+2x2当然恒等，因为这两个多项式就是同一个.反之，如果两个多项式恒等，那么它们的同次项的系数也都相等(两个多项的常数项也看作是同次项).2.通过一系列的恒等变形，证明两个多项式是恒等的.如：如果ax2+bx+c=px2+qx+r是恒等式，那么必有：a=p，b=q，c=r例：求b、c的值，使下面的恒等成立.x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c ①解一：∵①是恒等式，对x的任意数值，等式都成立设x=1，代入①，得12+3×1+2=(1-1)2+b(1-1)+cc=6再设x=2，代入①，由于已得c=6，故有22+3×2+2=(2-1)2+b(2-1)+6b=5∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6解二：将右边展开x2+3x+2=(x-1)2+b(x-1)+c=x2-2x+1+bx-b+c=x2+(b-2)x+(1-b+c)比较两边同次项的系数，得由②得b=5将b=5代入③得1-5+c=2c=6∴x2+3x+2=(x-1)2+5(x-1)+6这个问题为依照x-1的幂展开多项式x2+3x+2，这个解题方法叫做待定系数法，它是先假定一个恒等式，其中含有待定的系数，如上例的b、c，然后根据恒等的意义或性质，列出b、c应适合的条件，然后求出待定系数值.【初中奥数恒等变形知识点汇总整理】。

第6讲 分式的恒等变形（二）典型例题【例1】 化简：222222113111112123x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+--+ ⎪⎛⎫+-+-÷ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪--+--+ ⎪⎝⎭.【例2】 求证：222()()()()()()y z z x x y x y x z y z y x z x z y x y y z z x ---++=++---------.【例3】 若1abcd =，且10abc ab a +++≠.求证：11111a b c d abc ab a bcd bc b cda cd c dab da d +++=++++++++++++.【例4】求证：2220 ()()()()()()a bcb ac c aba b a c b c b a c a c b---++= ++++++.【例5】求证：22()()()()()()a bx a bx a x a x b a b x a b a x b +=+-------.【例6】化简：222111111 ()()()111111()()()a b cb c c a a ba b cb c c a a b-+-+--+-+-.【例7】化简：()()()()()()a b b c c a a b b c c aa b b c c a a b b c c a------+++++++++.【例8】已知y z x z x y x y zpx y z y z x z x y+-+-+-===+++-+-，求23p p p++的值.【例9】已知：0abc≠，0a b c++=，求222a b cbc ca ab++的值.【例10】 已知：0a b c ++=且0abc ≠，求证：2222221222a b c a bc b ca c ab ++=+++.【例11】 已知：1xyz =，2x y z ++=，22216x y z ++=，求代数式111222xy z yz x zx y+++++的值.【例12】 设a b c 、、满足2220a b c bc a ca b ab c ++=---.求222222()()()a b c bc a ca b ab c ++---的值.【例13】已知c b a>>,222222()()()8b c a c a b a b cbc ca ab+-+-+-++=，求证：a b c+=.【例14】已知：y zay z-=+，z xbz x-=+，x ycx y-=+，求证：(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b c a b c---=+++.【例15】已知：2222222221 222b c a c a b a b cbc ca ab+-+-+-++=，求222222222201320132013()()()222b c a c a b a b cbc ca ab+-+-+-++的值.思维飞跃【例16】 设a b c 、、互不相等，证明： 2222()()()()()()()()()()()()a xb xc b x c x a c x a x b x a b a c b c b a c a c b ------++=------.【例17】 已知非零实数a 、b 、c 满足0a b c ++=.（1）求证：3333a b c abc ++=；（2）求()()a b b c c a c a b c a b a b b c c a---++++---的值.【例18】 已知()()()5()()()132a b b c c a a b b c c a ---=+++，求a b c a b b c c a +++++的值.作业1. 求证：11(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1a a b a b c a b c d a ab abc abcd abcd ++++++++++++++=.2. 求证：222()()()()()()x yz y zx xy z x y x z y z y x z x z y ---+=++++++.3. 若a ，b ，c 均不为0，且0a b c ++=，求222222222111b c a c a b a b c +++-+-+-的值.4. 已知x 、y 、z 满足1x y z y z z x x y ++=+++，求222x y z y z z x x y +++++的值.5. 已知实数a b c 、、满足1abc =-，4a b c ++=，22243131319a b c a a b b c c ++=------，求222a b c ++的值.6. 若0a b c ++=，且0b c c a a b a b c ---++=，求证：2222220bc b c ca c a ab a b b c c a a b +-+-+-++=.。

第一讲 分解方法的延拓——换元法与主元法因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．例题求解【例1】分解因式：10)3)(4(2424+++-+x x x x = ．(第12届“五羊杯”竞赛题)思路点拨 视24x x +为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构．【例2】 多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．A ．(y －z)(x+y)(x －z)B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)C ． (y+z)(x 一y)(x+z)D ．(y 十z)(x+y)(x 一z) (上海市竞赛题)思路点拨 原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．【例3】把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2； (天津市竞赛题)(2)1999x 2一(19992一1)x 一1999； (重庆市竞赛题)(3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2； (“希望杯”邀请赛试题)(4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3． (第13届“五羊杯”竞赛题)思路点拔 (1)是形如abcd+e 型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+y ；xy 多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．【例4】把下列各式分解因式：(1)a 2(b 一c)+b 2(c －a)+c 2 (a 一b)； (2)x 2+xy －2y 2－x+7y －6．思路点拨 (1)式字母多次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax 2+bxy+cy 2+dx+ey+f 的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解．【例5】证明：对任何整数 x 和y ，下式的值都不会等于33．x 5+3x 4y －5x 3y 2一15x 2y 3+4xy 4+12y 5．(莫斯科奥林匹克八年级试题)思路点拨 33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可．注：分组分解法是因式分解的量本方法，体现了化整体为局部、又统揽全局的思想．如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：（1）按字母分组；(2)按次数分组； (3)按系数分组．为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多项式分解因式后的结果：（1）))((2233b ab a b a b a +±=± ；(2)))((3222333ac bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++学历训练1．分解因式：(x 2+3x)2-2(x 2+3x)－8＝ ．2．分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)－12= ．3．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y= ．4．已知二次三项式82--mx x 在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m 的可能取值为 ．5．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( )．A ．2727923-+-x x xB ．272723-+-x x xC ．272734-+-x x xD ．279323-+-x x x (第13届“希望杯”邀请赛试题)6．若51-=+b a ，13=+b a ，则53912322+++b ab a 的值为( )． A ．92 B ．32 C ．54 D ．0 7．分解因式:（1）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2； (2)(2x 2－3x+1)2一22x 2+33x －1；(3)x 4+2001x 2+2000x+2001； (4)(6x －1)(2 x －1)(3 x －1)( x －1)+x 2；(5)bc ac ab c b a 54332222+++++； (6)613622-++-+y x y xy x ．8．分解因式：22635y y x xy x ++++= ．9．分解因式：333)()2()2(y x y x -----= ．10．613223+-+x x x 的因式是( )A ．12-xB ．2+xC ．3-xD ．12+xE ．12+x11．已知c b a >>，M=a c c b b a 222++，N=222ca bc ab ++，则M 与N 的大小关系是( )A ．M<NB ．M> NC ．M ＝ND ．不能确定12．把下列各式分解因式：(1)22212)16)(1(a a a a a ++-++； (2)91)72)(9)(52(2---+a a a ； (黄冈市竞赛题)(3)2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy ； (天津市竞赛题)(4)4242410)13)(14(x x x x x ++++-；（第13届“五羊杯”竞赛题）(5)z y xy xyz y x z x x 222232242-++--． (天津市竞赛题)17．已知乘法公式：))((43223455b ab b a b a a b a b a +-+-+=+； ))((43223455b ab b a b a a b a b a ++++-=-． 利用或者不利用上述公式，分解因式：12468++++x x x x (“祖冲之杯”邀请赛试题)18．已知在ΔABC 中，010616222=++--bc ab c b a (a 、b 、c 是三角形三边的长)．求证：b c a 2=+第二讲 分解方法的延拓——配方法与待定系数法在数学课外活动中，配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法。

8分式恒等变形满分晋级代数式10级二次根式的概念及运算代数式11级分式恒等变形代数式12级二次根式的综合化简漫画释义对于分式的混合运算和化简求值来说，最为重要的就是细心运算，不要跳步.个别的题目要注意是否有简便方法.【引例】 计算2233x y x yx y x x y x x ⎡⎤+-⎛⎫---÷⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦ 【解析】 原式()2233x y x yx y x x y x x ⎧⎫+-⎡⎤=--+÷⎨⎬⎢⎥+⎣⎦⎩⎭ ()22233x y x y x y x x y x x y x ⎡⎤+-=-⋅++÷⎢⎥++⎣⎦2x x y=⋅- 2x x y =-【例1】 计算： 例题精讲典题精练思路导航知识互联网题型一：分式的混合运算与化简求值⑴2322()x y x x y xy x y ⎛⎫⎛⎫-÷+⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⑵2212239a aa a a a -+÷---【例2】 将下列式子先化简，再求值⑴已知：2380x x +-=，求代数式21441212x x x x x x -+-⋅--++的值；⑵已知：31=+xx ，求1242++x x x 的值；⑶已知：2410a a ++=，且42321533a ma a ma a++=++，求m 的值；⑷已知113x y -=，求2322x xy yx xy y+---的值．思路导航题型二：分式的恒等变形恒等概念是对两个代数式而言，如果两个代数式里的字母换成任意的数值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等．表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式．将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换)．以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式从一种形式变为另一种形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变．【引例】 已知有理数a 、b 、c 满足1111a b c a b c++=++，求证：a b =-，或b c =-，或c a =-． 【解析】 1111a b c a b c ++=++1111a b a b c c+=-++ ()()()a b a b c a b cab c a b c c a b c -++---==++++ ① 若0a b +≠ 则()11ab c a b c -=++ ∴2ac bc c ab ++=- 20ab ac bc c +++= ∴()()0a b c c b c +++=()()0a c b c ++=∴0a c +=或0b c +=②当0a b +=时，即a b =-综上所述c a =-，或a b =-，或b c =-．【例3】 若n 为自然数，且1111a b c a b c ++=++，求证：2121212121211111n n n n n n a b c a b c ++++++++=++．【例4】 若1abc =，求证：1111a b cab a bc b ca c ++=++++++例题精讲典题精练此类题型常见于解决整除问题，特别常见于一元二次方程整数根问题.【引例】 已知2a x +与2b x -的和等于244xx -，求a 、b 的值． 【解析】 22()2()42244a b a b x a b xx x x x +--+==+--- 所以40a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩【例5】 已知()()237231111x x A Bx x x x -+=++-+-+，其中A 、B 为常数，求42A B -的值．【例6】 ⑴若整数m 使61mm-+为正整数，则m 的值为 ．典题精练例题精讲思路导航题型三：部分分式与分离常数⑵若x 取整数，则使分式6321x x +-的值为整数的x 的值有（ ）． A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．8个【例7】 ⑴已知a b ck b c a c a b===+++，求k 的值；⑵已知()()23a b b c c aa b b c c a +++==---，a 、b 、c 互不相等，求证：8a +9b +5c =0．训练1. ⑴x 为何值时，分式1111x++有意义？ ⑵要使分式241312a a a -++没有意义，求a 的值．⑶当x ____时，(8)(1)1x x x -+-值为零. ⑷化简2212239a aa a a a -+÷---训练2. 已知31=+xx ，求1242++x x x 的值训练3. 已知：xy a x y =+，xz b x z =+，yz c y z =+，且0abc ≠．求证：2abcx bc ac ab =+-．训练4. 已知：0a b c ++=，8abc =．求证：1110a b c++<．思维拓展训练(选讲)题型一 分式的混合运算与化简求值 巩固练习【练习1】 若4x y +=-，3xy =-，则式子1111x y +++的值为 .题型二 分式的恒等变形 巩固练习【练习2】 已知x 、y 、z 为三个不相等的实数，且111x y z y z x+=+=+，求证：2221x y z =.【练习3】 已知1x y z a b c++=，0a b c x y z ++=，求证：2222221x y z a b c ++=．题型三 部分分式与分离常数 巩固练习 复习巩固【练习4】 若28224M N x x x x --=+--恒成立，求M 、N 的值．【练习5】 当x 为何值时，分式22365112x x x x ++++有最小值？最小值是多少？第十五种品格：创新微生物之父列文胡克是是一位没有受到正式高等教育的英国皇家学会成员。

初中的六个恒等变形式好吧，今天我们来聊聊初中数学里的六个恒等变形，嘿，听上去有点儿干，但咱们把它聊得轻松点儿，保证你能乐在其中。

数学这东西啊，很多人都觉得它是个“死板”的存在，殊不知，它其实像个魔法师，能把复杂的问题变得简单明了。

说到恒等变形，它们就像是数学界的小小法宝，帮我们解决了不少难题。

首先啊，咱们得提到“完全平方公式”。

这玩意儿真的是个宝藏，啥时候用都合适。

比如说，(a + b)²= a² + 2ab + b²，听起来是不是有点复杂？但你想啊，平时生活中，咱们买东西，两个朋友一起凑钱，计算总价的时候，这公式就能帮到你。

每次看到这个公式，我脑海里都浮现出两个小伙伴一起购物的场景，算来算去，最后大家开心地一起分摊账单，哈哈，真是有趣。

然后呢，咱们再说说“平方差公式”。

它是(a + b)(a b) = a² b²。

这个可好了，看到这个公式，我总能想到“好事成双，坏事也成双”的道理。

就像你和朋友在公园里踢足球，突然有一个人进了球，结果对方球员气得不轻，两队就像在打“平方差”一样，瞬间变得紧张起来。

哈哈，别担心，大家心里都明白，这只是场比赛，最终大家还是会欢笑着回家。

接下来咱们得提“立方和与立方差公式”。

这个公式有点儿复杂，不过别怕，听我说。

立方和是a³ + b³ = (a + b)(a² ab + b²)，立方差是a³ b³ = (a b)(a² + ab + b²)。

说实话，我一开始看到这公式的时候，简直想把它扔到一边去，真的是让人头疼。

但是当我把它应用到实际问题上，突然感觉自己像个数学侦探，解决问题的快感简直不要太爽。

想象一下，跟朋友一起组队解谜，咱们俩凭着这个公式，一步步找到线索，最后大功告成，那感觉，简直就像打通了游戏里的每一关，爽翻了！再来呢，就是“根式的性质”。

初中数学竞赛专题选讲代数恒等式的证明一、内容提要证明代数恒等式，在整式部分常用因式分解和乘法两种相反的恒等变形，要特别注意运用乘法公式和等式的运算法则、性质。

具体证法一般有如下几种1．从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简。

变形的过程中要不断注意结论的形式。

2．把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式。

3．证明：左边的代数式减去右边代数式的值等于零。

即由左边－右边＝0可得左边＝右边。

4，由己知等式出发，经过恒等变形达到求证的结论。

还可以把己知的条件代入求证的一边证它能达到另一边，二、例题例1求证：3 n+2－2n＋2＋2×5 n+2＋3 n－2 n＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）证明：左边＝2×5×5 n+1＋（3 n+2+3 n）＋（－2 n+2－2 n）＝10×5 n+1＋3 n(32+1)－2 n-1(23＋2)＝10（5 n+1+3 n－2 n-1）=右边又证：左边＝2×5 n+2＋3 n（32＋1）－2 n(22+1)＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n右边＝10×5 n+1+10×3 n－10×2 n-1＝2×5 n+2＋10×3 n－5×2 n∴左边＝右边例2 己知:a+b+c=0 求证：a3+b3+c3=3abc证明：∵a3+b3+c3－3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－ac－bc）(见19例1) ∵:a+b+c=0∴a3+b3+c3－3abc＝0即a3+b3+c3=3abc又证：∵:a+b+c=0∴a=－（b+c）两边立方a3=－（b3+3b2c+3bc2+c3）移项a3＋b3+c3＝－3bc(b+c)＝3abc再证：由己知a=－b－c 代入左边,得（－b－c）3+ b3+c3＝－（b3+3b2c+3bc2+c 3）+b3+c3＝－3bc(b+c)=－3bc(－a)＝3abc例3 己知a+ac c b b 111+=+=,a ≠b ≠c 求证：a 2b 2c 2=1 证明：由己知a-b=bc c b b c -=-11 ∴bc=ba cb -- b-c=ca ac c a -=-11 ∴ca=c b a c -- 同理ab=ac b a -- ∴ab bc ca ＝a c b a --b a c b --c b a c --＝1 即a 2b 2c 2=1 例4 己知:ax 2+bx+c 是一个完全平方式（a,b,c 是常数）求证：b 2－4ac=0 证明：设:ax 2+bx+c ＝（mx+n ）2 ， m,n 是常数那么:ax 2+bx+c ＝m 2x 2+2mnx+n 2根据恒等式的性质 得⎪⎩⎪⎨⎧===222nc mn b m a ∴: b 2－4ac ＝（2mn ）2－4m 2n 2=0三、练习1． 求证： ①(a+b+c)2+(a+b-c)2－(a-b-c)2－(a-b-c)2＝8ab②（x+y ）4+x 4+y 4=2(x 2+xy+y 2)2 ③(x-2y)x 3－(y-2x)y 3=(x+y)(x-y)3 ④3 n+2+5 n+2―3 n ―5 n =24(5 n +3 n-1) ⑤a 5n +a n +1=(a 3 n －a 2 n +1)(a 2 n +a n +1)2.己知：a 2+b 2=2ab 求证：a=b3.己知：a+b+c=0求证：①a 3+a 2c+b 2c+b 3=abc ②a 4+b 4+c 4=2a 2b 2+2b 2c 2+2c 2a 24.己知：a 2=a+1 求证：a 5=5a+35.己知：x ＋y －z=0 求证： x 3+8y 3=z 3－6xyz6.己知：a 2+b 2+c 2=ab+ac+bc 求证：a=b=c7.己知：a ∶b=b ∶c 求证：（a+b+c ）2+a 2+b 2+c 2=2(a+b+c)(a+c)8.己知：abc ≠0，ab+bc=2ac 求证：c b b a 1111-=- 9．己知：ac z c b y b a x -=-=- 求证：x+y+z=0 10.求证：（2x －3）（2x+1）(x 2－1)＋1是一个完全平方式11己知：ax 3+bx 2+cx+d 能被x 2+p 整除 求证：ad=bc练习题参考答案1.④左边＝5 n(5 2-1)+3 n－1(33-3)= 24(5 n+3 n-1)注意右边有3n-12.左边－右边＝（a-b）23.②左边－右边＝（a2+b2-c2）2-4a2b2=……4.∵a5=a2a2a,用a2=a+1代入5.用z=x+2y代入右边6.用已知的（左－右）×27.用b2=ac分别代入左边，右边化为同一个代数式8.在已知的等式两边都除以abc9.设三个比的比值为k,10.(2x2-x-2)211.11. 用待定系数法[文章来源：教师之家/转载请保留出处] [相关优质课视频请访问：教学视频网/]。