第三节 分式的化简求值与恒等变形-学而思培优

1初二秋季·第15讲·提高班·教师版整式乘法部分：一、幂的运算：整数指数幂运算性质1. n m m n a a a +⋅=(m 、n 是正整数)2. ()m n mn a a =(m 、n 是正整数)3. ()nn nab a b =(n 是正整数)4. m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 是正整数，m >n )5. 01a =，1p pa a -=（0a ≠，p 是正整数） 二、乘法公式1. 完全平方公式：()2222a b a ab b ±=±+ 2．平法差公式：()()22a b a b a b +-=- 三、主要题型思路导航15名校期末试题点拨——代数部分题型一：整式乘除与因式分解2初二秋季·第15讲·提高班·教师版1. 基本运算2. 化简求值3. 整体法4. 消元法5. 降次法因式分解部分： 一、知识结构因式分解提公因式法乘法分配律的逆用 公式法完全平方公式()2222+=a ab b a b ±±平方差公式()()22a b a b a b -=+-十字相乘法分解某些二次三项式 分组分解法分组后能提公因式分组后能运用公式二、注意事项：1. 分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

例如()()422111x x x -=+-，就不符合因式分解的要求，因为()21x -还能分解成()()11x x +-； 2. 在没有特别规定的情况下，因式分解是在有理数范围内进行的。

三、因式分解的一般步骤：可归纳为一“提”、二“套”、三“分”、四“查”。

1. 一“提”：先看多项式的各项是否有公因式，若有必须先提出来；3初二秋季·第15讲·提高班·教师版2. 二“套”：若多项式的各项无公因式（或已提出公因式），第二步则看能不能用公式法或十字相乘法分解；3. 三“分”：若以上两步都不行，则应考虑分组分解法，将能用上述方法进行分解的项分到一组，使之分组后能“提”或能“套”；4. 四“查”：可以用整式乘法查因式分解的结果是否正确。

第三部分分式的简化计算与等价变形-学而思培优在数学研究中，分式是一个常见而重要的概念。

研究如何简化分式的计算以及进行等价变形，可以帮助我们更好地理解和应用分式。

1.分式的简化计算要简化一个分式，我们需要找到分子和分母的公因式，并将其约简为最简形式。

简化分式有以下几个步骤：1.找到分子和分母的公因式。

2.将公因式约简掉，得到最简形式。

例如，对于分式 $\frac{6x}{12}$，我们可以将分子和分母都除以 6，得到最简形式为 $\frac{x}{2}$。

2.分式的等价变形分式的等价变形指的是在分子和分母中进行代数运算的过程，使得分式的值保持不变。

常见的等价变形方法有以下几种：1.因式分解：分解分子或分母中的因式，并进行约简。

2.分子分母的乘除法：将分子或分母分别进行乘法或除法的操作，并进行约简。

3.分子分母的加减法：将分子或分母分别进行加法或减法的操作，并进行约简。

例如，对于分式 $\frac{2x+4}{3x}$，我们可以将分子进行因式分解，得到 $\frac{2(x+2)}{3x}$。

又如，对于分式$\frac{2x+4}{3x}$，我们可以将分子和分母都除以 2，得到等价的分式 $\frac{x+2}{\frac{3}{2}x}$。

通过简化计算和等价变形，我们能够更清晰地理解和处理分式的运算。

同时也可以帮助我们在解决数学问题时更灵活地运用分式的相关知识。

以上是关于分式的简化计算与等价变形的研究内容，希望能对你的数学研究有所帮助。

注意：以上所述内容仅供参考，具体操作和题目情境可能会有变化，请根据实际情况进行分式的简化计算与等价变形。

第三节 分式的化简求值与恒等变形分式的求值给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．注：①分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解有条件的分式求值的基本策略，②解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要根据目标变换条件，又要依据条件来调整目标．1.分式的化简求值先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．注：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、 分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 2．分式的化简求值注意事项(1)化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值，化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=…”． (2)代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法，解题时可根据题目 的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未 知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 3.分式化简求值需要用到下面的一些技巧 (1)适当引入参数； (2)取倒数或利用倒数关系； (3)拆项变形或拆分变形； (4)整体代入；(5)利用比例的性质．例1．已知,432z y x ==则=++-+2222z y x xzyz xy检测1.（甘肃兰州中考）如果),0(=/++===f d b k fed c b a 且),(3f d be c a ++=++那么=k 例2．（青海西宁中考）化简：,1221421222+-+÷-+-+x x x x x x x 然后在不等式2≤x 的非负整数解中选择一个适当的数代入求值．检测2.（河南中考）先化简，再求值：,121)1(222++-÷-+x x x x x x 其中x 的值从不等式组⎩⎨⎧<-≤-4121x x 的整数 解中选取，例3．（黑龙江齐齐哈尔中考）先化简，再求值：,24444)21(22++--+-÷-x x x x x x 其中-+x x 22.015=检测3． 已知x 是方程0132=-+x x 的根，则代数式)252(6332--+÷--x x x x x 的值为例4．（安徽合肥校级自主招生）设c b a ,,满足,0=/abc 且,c b a =+则+-+bc a c b 2222+-+ca b a c 2222abC b a 2222-+ 的值为( )1.-A 1.B2.C3.D检测4．（四川青羊区校级模拟）设有理数c b a ,,都不为零，且,0=++c b a 则+-+2221a c b22222211cb a b ac -++-+的值是( ) A ．正数 B ．负数 C ．零 D ．不能确定第三节 分式的化简求值与恒等变形(建议用时35分钟)实战演练1．（广西桂林）当3,6==y x 时，代数式yx xyy x y y x x 23).2(++++的值是( ) 2.A 3.B 6.C 9.D2．如果,300=x 则x x x x x x 13632+-+--的值为( )0.A 990101.B 110111.C 100101.D 3．（辽宁和平三模）已知,03=-y x 且,0=/y 则xyx y x y --+).1(222的值等于( ) 2.A 23.B 43.C 3.D4．已知,5.0:3:2:z y x ==则zy x zy x +--+23的值是( )71.A 7.B 3.C 31.D5．（江苏苏州一模）已知,0132=+-x x 则12+-x x x 的值是( )21.A2.B 31.C3.D6．若,544z y x ==则=+-+z y x yx 32 7．（山东郯城模拟）当2017=a 时，式子)]222(444[1222-+-÷-++÷a aa a a a a 的结果是 8．若),0(0222=/=-+xy y xy x 则=+++22223y x y xy x9．（湖南长沙自主招生）已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧<-≥-0m x n x 的整数解仅为1，2，3，若m ．n 为整，数，则代数式22224421nmn m n m n m m n +--÷--+的值是10．（湖南慈利期末）已知,1=ab 则11+++b ba a 的值是 11．若分式672114422222+-+÷-+-+++x x x x x x x x x 的值为正整数，则整数=x12.如果c b a ,,是正数，且满足,9=++c b a ,910111=+++++a c c b b a 那么++++a c b c b a b a c+的值为13.（江西中考）先化简，再求值：,9)3132(2-÷-++x x x x 其中.6=x 14.（河北清苑一模）已知代数式：⋅+-+-÷+-=+=2562432,232x x x x x B x A (1)试证明：若A ，B 均有意义，则它们的值互为相反数；(2)若代数式A ，B 中的z 是满足不等式x x 26)3(3-<-的正整数解，求B A -的值．15.（山东乐陵一模）先化简：),3231(21.943322-+-÷+x x x x 若其结果等于,34试确定x 的值．16.（云南曲靖中考）先化简：,133963222--++++÷+x x x x x x x x 再求当1+x 与6+x 互为相反数时代数式的值． 17.（黑龙江齐齐哈尔中考）先化简，再求值：,24444)21(22++--+-÷-x x x x x x 其中.01522=-+x x 18.（河北南皮模拟）先化简代数式,4412122++-÷+-x x x x x 再判断它与代数式23+x 的大小关系． 19.（江苏涟水一模）已知三个数z y x ,,满足,3-=+y x xy ,34=+z y yz ⋅-=+34x z zx求zx yz xy xyz ++的值． 20.（甘肃期末）已知,0=++c b a 求abc c ac b b bc a a +++++222222222的值．拓展创新21.（天津南开模拟）已知).0(0)2)((=/=--xv y x y x 则xyy x +的值是( ) 2.A 212.-B 2.-C 或212-2.D 或212拓展1．已知),0,0(04322=/=/=-+b a b ab a 则代数式ba ab +的值为拓展2．已知),0,0(0522=/=/=++y x y xy x 则代数式yxx y +的值等于 拓展3．已知,111nm n m +=+则n m m n +的值是极限挑战22.（浙江自主招生）设c b a ,,均为正数，若,ac bc b a b a c +<+<+则c b a ,,三个数的大小关系是( ) b a c A <<. a c b B <<. c b a C <<. a b c D <<.答案。

第三篇分数的化简计算与恒等变形-学而
思培优
本文旨在介绍分数的化简计算和恒等变形的知识点，帮助学生提升数学能力。

以下是本文的主要内容：
1.分数的化简计算
分数的化简计算是指将一个分数表示为最简形式的过程。

具体步骤如下：
1.找到分子和分母的最大公约数（GCD）；
2.将分子和分母都除以最大公约数，得到最简分数。

例如，对于分数 $\frac{12}{20}$，我们可以找到最大公约数为4，因此化简后的分数为 $\frac{12}{20}$ = $\frac{3}{5}$。

2.分数的恒等变形
分数的恒等变形是指在保持等值的前提下，改变分数的表达形式。

这在解题过程中经常需要运用。

以下是一些常见的恒等变形规则：
1.分子乘以同一个数，分母也乘以同一个数，分数的值保持不变；
2.分子除以同一个数，分母也除以同一个数，分数的值保持不变；
3.分子分母同除以相同的数，分数的值保持不变；
4.分数能够化为更小的单位，例如 $\frac{2}{4}$ =
$\frac{1}{2}$。

通过灵活运用分数的恒等变形，可以简化计算过程，解决数学问题。

结束语
本文介绍了分数的化简计算和恒等变形的知识点，希望能对学生提升数学能力有所帮助。

学好这些基础知识，对于掌握更复杂的数学概念和解题技巧非常重要。

8分式恒等变形满分晋级代数式10级二次根式的概念及运算代数式11级分式恒等变形代数式12级二次根式的综合化简漫画释义对于分式的混合运算和化简求值来说，最为重要的就是细心运算，不要跳步.个别的题目要注意是否有简便方法.【引例】 计算2233x y x yx y x x y x x ⎡⎤+-⎛⎫---÷⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦ 【解析】 原式()2233x y x yx y x x y xx ⎧⎫+-⎡⎤=--+÷⎨⎬⎢⎥+⎣⎦⎩⎭ ()22233x y x y x y x x y x x y x ⎡⎤+-=-⋅++÷⎢⎥++⎣⎦ 2x x y=⋅-2x x y =-【点评】 此题还可以先将小括号里的式子通分，再打开括号，但是运算量会加大，所以在运算的 时候需要思考一下简单方法.例题精讲思路导航知识互联网题型一：分式的混合运算与化简求值【例1】 计算：⑴2322()x y x x y xy x y ⎛⎫⎛⎫-÷+⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⑵2212239a a a a a a -+÷--- 【解析】 ⑴2()()x x y y x y +-；⑵原式()()()331232a a a a a a a+-=+⋅--- 1322a a a +=+--1322a a a --=+-- 2222a a a a --+==---【探究对象】条件分式求值的方法与技巧 【探究一】将条件式变形后代入求值【变式一】已知234x y z==，求22x y z x y z +--+的值． 【解析】 设234x y zk ===，则x =2k ，y =3k ，z =4k ∴原式＝223444223455k k k k k k k k +⨯-==⨯-+．【备注】已知连比，常设比值k 为参数，这种解题方法叫见比设参法．【变式二】已知2260a ab b +-=，求a ba b-+的值． 【解析】 由2260a ab b +-=，有()()320a b a b +-=，∴30a b +=或20a b -=， 解得3a b =-或2a b =．当3a b =-时，原式＝323b bb b --=-+；当2a b =时，原式＝2123b b b b -=-+．典题精练【探究二】将所求式变形代入求值．【变式三】已知0a b c ++=，求111111()()()c b a a b c a b c+++++的值．【解析】 原式111111111()1()1()1c b a a b c c a b b c a=++-+++-+++-111()()3c b a a b c=++++- ∵0a b c ++=， ∴原式3=-．【变式四】已知0abc ≠，且0a b c ++=，求代数式222a b c bc ca ab++的值．【解析】 原式()333333b c b ca b c abc abc--++++==()3322333333b c b c bc b c abcbc b c abc ----++=-+==【探究三】将条件式和求值式分别变形后代入求值．【变式五】已知2210a a +-=，求分式22214()2442a a a a a a a a ----÷++++的值． 【解析】 原式2212[](2)(2)4a a a a a a a --+=-⋅++- 2(2)(2)(1)2(2)4a a a a a a a a -+--+=⋅+- 242(2)4a a a a a -+=⋅+- 211(2)2a a a a==++ ∵2210a a +-=， ∴221a a +=， ∴原式＝1．【备注】本例是将条件式化为“221a a +=”代入化简后的求值式再求值，这种代入的技巧叫做整体代入．【变式六】若4360x y z --=，()2700x y z xyz +-=≠，求222222522310x y z x y z +---的值．【解析】 由于0xyz ≠，∴4()3()60x y z z --=，2()70x y z z +-=，解得x z =3，yz=2∴222222522310x y z x y z +---=22222222(52)(2310)x y z z x y z z +-÷--÷ =22225()2()12()3()10x yz z x y z z+---=222253221233210⨯+⨯-⨯-⨯- =524-=13-．【例2】 将下列式子先化简，再求值⑴已知：2380x x +-=，求代数式21441212x x x x x x -+-⋅--++的值； ⑵已知：31=+xx ，求1242++x x x 的值； ⑶已知：2410a a ++=，且42321533a ma a ma a++=++，求m 的值；⑷已知113x y -=，求2322x xy yx xy y+---的值．【解析】 ⑴原式2332x x -=++ 当2380x x +-=时，238x x += 原式382-=+310=-⑵22224111x x x x x ++=++21()218x x =+-+=，故811242=++x x x ⑶∵2410a a ++=，∴14a a +=-，22114a a+=又∵24223211145333123a m a ma m a a ma a ma m a+++++===++-+++ ∴372m =⑷解法一：将分子、分母同除以xy ，得：原式11222332333113251122x y y xy x x y ⎛⎫--++-⎪-⨯+⎝⎭====⎛⎫------- ⎪⎝⎭．解法二：由113x y -=，得3y x xy-=，即3y x xy -=，代入所求分式得： ()232326333223255x y xy x xy y xy xy xy x xy y x y xy xy xy xy -++--+-====-------．恒等概念是对两个代数式而言，如果两个代数式里的字母换成任意的数值，这两个代数式的值都相等，就说这两个代数式恒等．表示两个代数式恒等的等式叫做恒等式．将一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做恒等变形(或恒等变换)． 以恒等变形的意义来看，它不过是将一个代数式从一种形式变为另一种形式，但有一个条件，要求变形前和变形后的两个代数式是恒等的，就是“形”变“值”不变．【引例】 已知有理数a 、b 、c 满足1111a b c a b c++=++，求证：a b =-，或b c =-，或c a =-．【解析】 1111a b c a b c ++=++1111a b a b c c+=-++ ()()()a b a b c a b cab c a b c c a b c -++---==++++ ① 若0a b +≠ 则()11ab c a b c -=++ ∴2ac bc c ab ++=- 20ab ac bc c +++= ∴()()0a b c c b c +++=()()0a c b c ++=∴0a c +=或0b c +=②当0a b +=时，即a b =-综上所述c a =-，或a b =-，或b c =-．【点评】 此结论十分有用，利用它，一些题可以迎刃而解．例题精讲思路导航题型二：分式的恒等变形【例3】 若n 为自然数，且1111a b c a b c ++=++，求证：2121212121211111n n n n n n a b c a b c++++++++=++． 【分析】 若1111a b c a b c++=++，则a b =-或b c =-或c a =-，用以解决本题就容易多了．【解析】 证明：由1111a b c a b c ++=++得a b =-或b c =-或c a =-，不妨设a b =-，代入左边左边()212121111n n n b c b +++=++- 212121111n n n bbc+++=-++211n c +=，而右边()21212121212111n n n n n n b b cb bc ++++++==-++-++ 211n c +=，∴左边=右边，原式成立．【例4】 若1abc =，求证：1111a b cab a bc b ca c ++=++++++【解析】 证法1：∵1abc =，∴1c ab=代入到等式左边左边1111111a b ab ab a b b a ab ab ab=++++⨯++⨯++ 1111a ab ab a ab a ab a =++++++++ 1==右边证法2：左边1a ab abcab a abc ab a ab ca abc ab=++++++⨯++ 1111a ab ab a ab a ab a =++++++++ 1==右边典题精练题型三：部分分式与分离常数此类题型常见于解决整除问题，特别常见于一元二次方程整数根问题.【引例】 已知2a x +与2b x -的和等于244xx -，求a 、b 的值． 【解析】 22()2()42244a b a b x a b xx x x x +--+==+--- 所以40a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩【例5】 已知()()237231111x x A Bx x x x -+=++-+-+，其中A 、B 为常数，求42A B -的值．【解析】 1A =-，6B =-，原式8=【例6】 ⑴若整数m 使61mm-+为正整数，则m 的值为 ．⑵若x 取整数，则使分式6321x x +-的值为整数的x 的值有（ ）．A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个【解析】 ⑴ 0m =；⑵ B ，∵63632121x x x +=+--，又()21|6x -，216x -=±，3±，2±，1± ∴x 的整数值有4个.【例7】 已知a b ck b c a c a b===+++，求k 的值． 典题精练例题精讲思路导航【解析】因为a b ck b c a c a b ===+++． 所以()a k b c =+，① ()b k a c =+，② ()c k a b =+，③由①+②+③得()()()a b c k b c k a c k a b ++=+++++， 即2()a b c k a b c ++=++．当0a b c ++≠时，21k =，所以12k =．当0a b c ++=时，b c a +=-，所以1a a k b c a ===-+-，所以k 的值是12或1-．训练1. ⑴若不论x 为何值，分式212x x c++总有意义，则c ．⑵已知分式22153x x x +--的值为零，那么x 的值是 .⑶当x 时，分式215x x -+的值为正数.⑷当x 满足 时，102x x +<-.【解析】 ⑴1c >；⑵5- ；⑶1x > ；⑷12x -<<;训练2. ⑴2322()x y x x y xy x y ⎛⎫⎛⎫-÷-⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⑵2225241244a a a a a a ⎛⎫-+-+÷ ⎪+++⎝⎭，其中23a =+【解析】 ⑴()()222x x y y x y +-⑵2225224424a a a a a a a ⎛⎫-+++++=⋅ ⎪+-⎝⎭()()()()22222222a a a a a a -+=⋅=-++- 当23a =+时，原式2323=+-=训练3. 已知13x x -=，求1242++x x x 的值.【解析】 22224111x x x x x ++=++21()2112x x =-++=，故2421112x x x =++.训练4. 已知()22221111x x A B Cx x x x x +-=++--，其中A 、B 、C 为常数，求A B C ++的值．【解析】 原式右边()()()()()()()22222211211111Ax x B x Cx A C x B A x B x x x x x x x x -+-+++--+-===---，得2A C +=，1B A -=，11B -=-，解得10A =，11B =，8C =-，从而13A B C ++=．思维拓展训练(选讲)题型一 分式的混合运算与化简求值 巩固练习【练习1】 计算： 22222112326246x x x x x x x x ⎛⎫++⎛⎫-÷- ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭ 【解析】 原式=1x x+-【练习2】 若4x y +=-，3xy =-，则式子1111x y +++的值为 . 【解析】 13题型二 分式的恒等变形 巩固练习【练习3】 已知x 、y 、z 为三个不相等的实数，且111x y z y z x+=+=+，求证：2221x y z =. 【解析】 由11x y y z +=+，得11y z x y z y yz --=-=，故y z yz x y -=-，同理可得z x zx y z -=-，x y xy z x-=-， 故2221y z z x x y x y z x y y z z x ---=⋅⋅=---.题型三 部分分式与分离常数 巩固练习【练习4】 若28224M N x x x x --=+--恒成立，求M 、N 的值． 【解析】 ∵28224M N x x x x --=+--， ∴822(2)(2)M N x x x x x --=+-+- ∴ (2)(2)8M x N x x --+=-则228Mx M Nx N x ---=-，即228Mx Nx N M x ---=-故()2()8M N x N M x --+=-， ∴14M N N M -=⎧⎨+=⎩ 解得：5232M N ⎧⎪⎨⎪=⎩＝ 复习巩固【练习5】 当x 为何值时，分式22365112x x x x ++++有最小值？最小值是多少？ 【解析】 22223652266122(1)112x x x x x x x ++=-=-++++++ ∴当1x =-时，原分式有最小值4．测试1. ⑴计算：22266(3)443x x x x x x x -+-÷+⋅-+- ⑵先化简，再求值：22121124x x x x ++⎛⎫-÷ ⎪+-⎝⎭，其中3x =-． 【解析】 ⑴22266(3)443x x x x x x x-+-÷+⋅-+-22(3)1(3)(2)2(2)3(3)2x x x x x x x -+-=⋅=--+---． ⑵原式()()()2121222x x x x x ++-=÷++- ()()()222121x x x x x +-+=⋅++21x x -=+． 当3x =-时，原式325312--==-+测试2. ⑴已知：2232a b ab -=，求2a b a b+-的值. ⑵已知113a b+=，则32a ab b a ab b -+++的值是 ． 【解析】 ⑴变形可得：()(3)0a b a b +-=，所以a b =-或3a b =，所以212a b a b +=--或52. ⑵∵113a b+=，∴0a ≠，0b ≠，0ab ≠ 1133(3)330112(2)322a ab b a ab b ab b a a ab b a ab b ab b a -+-+-+÷-====++++÷+++课后测第十五种品格：创新微生物之父列文胡克是是一位没有受到正式高等教育的英国皇家学会成员。

1初二秋季·第6讲·提高班·教师版小人物与大人物满分晋级漫画释义6因式分解的高端 方法及恒等变形代数式11级因式分解的高端方法及恒等变形代数式10级因式分解的常用方法及应用 代数式7级 因式分解的 概念和基本方法2初二秋季·第6讲·提高班·教师版换元法作为一种因式分解的常用方法，其实质是整体思想，当看作整体的多项式比较复杂时，应用换元法能够起到简化计算的作用．【引例】 分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++ 【解析】 令248x x u ++=，原式2232()(2)u xu x u x u x =++=++ 又∵248u x x =++∴原式22(48)(482)x x x x x x =++++++22(58)(68)x x x x =++++ 2(2)(4)(58)x x x x =++++典题精练思路导航例题精讲知识互联网题型一：换元法3初二秋季·第6讲·提高班·教师版【例1】 分解因式：⑴()()22353x x x x -----；⑵()()221212xx x x ++++-；⑶()()()()135715x x x x +++++．【解析】 ⑴解法一：令24x x y --=，则原式()()113y y =-+-()()22y y =-+()()2262x x x x =----()()()()1223x x x x =+-+- 解法二：令23x x y --=，则 原式()23y y =--223y y =-- ()()13y y =+-()()223133x x x x =--+--- ()()2226x x x x =----()()()()1223x x x x =+-+-；⑵令21x x y ++=，则原式()112y y =+-212y y =+- ()()34y y =-+()()2225x x x x =+-++ ()()()2125x x x x =-+++．备注：观察题中的形式，可以选择中间值作为整体替换的量，这样能应用平方差公式进行计算，会节省计算量．下面很多题也都可以有多种换元的办法，不一一给出了． ⑶原式()()()()173515x x x x =+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()228781515x x x x =+++++，设287x x y ++=，则原式()815y y =++()()281535y y y y =++=++()()22810812x x x x =++++ ()()()226810x x x x =++++．【例2】 分解因式：⑴()()()()461413119x x x x x ----+4初二秋季·第6讲·提高班·教师版⑵()()()()166********x x x x --+-+【解析】⑴原式()()22467112719x x x x x =-+-++，设2671x x t -+=， 原式()()()222422693971t x t x t x x x =++=+=-+⑵原式()()()()()()226142624425241622416825x x x x x x x x =--+-+=-+--+ 设224162x x t -+=，原式()()()2221025524163t t t x x =-+=-=--基本方法示例剖析拆项添项法：为了分组分解，常常采用拆项添项的方法，使得分成的每一组都有公因式可提或者可以应用公式.常用思路：1、对于按某一字母降幂排列的三项式，拆开中项是最常见的.2、配方法是一种特殊的添项法，配完全平方的时候，往往需要添上一个适当的项或者讲某一项适当改变，然后在用提取公因式或公式法解决.例如：因式分解：4231x x -+()()()4222222221111x x x x x x x x x =-+-=--=---+例题精讲思路导航题型二：拆、添项及配方法5初二秋季·第6讲·提高班·教师版【引例】 分解因式：32332a a a +++【解析】 解法一：原式()323311a a a =++++()3311a =++()()()211111a a a ⎡⎤=+++-++⎣⎦()()221a a a =+++．解法二：原式()()()322222a a a a a =+++++()()()2222a a a a a =+++++()()221a a a =+++．解法三：原式()()322222a a a a a =+++++()()22121a a a a a =+++++ ()()221a a a =+++．解法四：原式()()321333a a a =-+++()()()221131a a a a a =-+++++ ()()221a a a =+++．【点评】分组方法不唯一，此题解法一、四是将常数2拆项后再分组；解法二、三是将二次项、一次项都拆项后再分解．【例3】 ⑴因式分解：若1x y +=-，则43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++的值等于( )A 0B 1-C 1D 3⑵若点P 的坐标()a b ，满足22221016=0a b a b ab ++++，求点P 的坐标．【解析】 ⑴43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++()()()()()()()()()()()()()()()()()43322222233432233222232222244444433321x x y x y x y x y xy x y xy xy y x x y x y x y xy x y xy x y y x y x x y x y xy xy y xy x x y xy x y y x y xy x xy y x y =+++++++++=+++++++++⎡⎤=-++++++⎣⎦⎡⎤=-++++++⎣⎦=++=+=故选C ．⑵原式2222=8162=0a b ab a b ab +++++典题精练6初二秋季·第6讲·提高班·教师版()()22=4=0ab a b +++=4=0ab a b ∴-+，=2=2a b ∴-，或=2=2a b -，点P 的坐标为()22-，或()22-，【例4】 分解因式：⑴4224x x y y ++⑵224443x x y y --+- ⑶4322321x x x x ++++【解析】 ⑴ 原式4224222x x y y x y =++-()()2222x y xy =+-()()2222x y xy x y xy =+++-⑵ 原式22(441)(44)x x y y =-+--+22(21)(2)x y =---(212)(212)x y x y =-+---+ (23)(21)x y x y =+--+⑶法一4322321x x x x ++++43222221x x x x x =+++++ 2[(1)]2(1)1x x x x =++++ 2[(1)1]x x =++22(1)x x =++法二4324323222321=1x x x x x x x x x x x x ++++++++++++()()()()222222=111=1x x x x x x x x x x ++++++++++【例5】 分解因式：⑴343115x x -+ ⑵32256x x x +-- ⑶32374x x +-⑷432433x x x x ++++【解析】 ⑴ 原式343015x x x =--+()()()()()()()()2212115212121521253x x x x x x x x x x =+---=-+-=--+⑵ 原式()()32256x x x x =++--7初二秋季·第6讲·提高班·教师版()()()()()()()()2216116132x x x x x x x x x x =++-+=++-=++-⑶ 法一：原式()()322364x x x =++-()()()()()()()()2232222321232x x x x x x x x x x =++-+=++-=++-法二：原式()()3223344x x x =++-()()()()()()()()223141113441232x x x x x x x x x x =++-+=++-=++-法三：原式()()3223294x x x =-+-()()()()()()()()2232323232321232x x x x x x x x x x =-++-=-++=++-⑷法一：原式4322()(333)x x x x x =+++++22222(1)3(1)(3)(1)x x x x x x x x =+++++=+++法二：原式4232(3)(3)(3)x x x x x =+++++22(3)(1)x x x =+++【探究对象】 对拆项、添项法的探究【探究目的】 熟练运用拆项、添项法进行因式分解. 【探究1】因式分解：()2231b a x abx +-- 【解析】 原式=()()211ax ax bx -++．点评：对于三项式的因式分解，如果用拆项、添项法来分解的话，拆开中项是首选的方法，如果式子中的括号不利于我们拆添项，或不利于分组分解，可以通过去括号来整理式 子，整理完后在继续分解.【探究2】因式分解：323233332a a a b b b ++++++ 【解析】 原式=()()2221a b a ab b a b ++-++++．8初二秋季·第6讲·提高班·教师版点评：此题前三项比完全立方公式少了1，四五六项比完全立方公式少1，所以想办法通过拆项或添项凑成完全立方公式就可以进行因式分解.此类题要求学生对常用乘法公式及其变形掌握熟练.【探究3】因式分解：462x +【解析】 原式=()()228484x x x x +++-点评：遇到类似的题目，只有两项，项数很少，不能拆开中项，可以采取“无中生有”的方法，添上需要的式子，最后在减去相同的式子，目的还是凑成公式，完成因式分解.例题中有类似的题目，难度相对比较大，学生不容易想到.【备选例题】326116x x x +++【解析】先拆项，后分组，再提取公因式，最后再十字相乘.原式()()()()()()()()()3222556615161123x x x x x x x x x x x x x =+++++=+++++=+++ 点评：此题对于学生来说，分解到最后的结果为()()2156x x x +++，因为没有学十字相乘法分解因式，所以学生分解到此阶段就分解不下去了，教师可以在此铺垫一下下节课学 习的十字相乘法，强调因式分解一定要分解到不能在分解为止.【引例】 矩形的周长28cm ，两边长为cm x 、cm y ，且32230x x y xy y +--=，求矩形的面积． 【解析】 由题得2()28x y +=，则14x y +=∵32230x x y xy y +--= ∴22()()0x x y y x y +-+= ∴22()()0x y x y +-=∴()()()0x y x y x y ++-= ∵14x y += ∴0x y -= ∴77x y ==， ∴49S xy ==矩例题精讲题型三：恒等变形9初二秋季·第6讲·提高班·教师版【例6】 ⑴设2=3x z y +，试判断222944x y z xz -++的值是不是定值，如果是定值，求出它的值；否则，请说明理由；⑵证明：对于任意自然数n ，223232n n n n ++-+-一定是10的倍数；⑶已知：2x bx c ++（b 、c 为整数）是42625x x ++及4234285x x x +++的公因式，求b 、c 的值．【解析】 ⑴把222944x y z xz -++进行因式分解得：()()()2229=2323x z y x z y x z y +-+++-把2=3x z y +代入式子得原式是定值为0； ⑵ 原式()()223322n n n n ++=+-+()()22133122110352103102n n n nn n -=+-+=⨯-⨯=⨯-⨯∴223232n n n n ++-+-一定是10的倍数；⑶4242262510254x x x x x ++=++-()()()()22222522525x x x x x x =+-=++-+∵42625x x ++及4234285x x x +++有公因式 ∴()()422234285531x x x x mx x nx +++=++++ ∴30528n m m n +=⎧⎨+=⎩即26m n =-⎧⎨=⎩即()()42223428525361x x x x x x x +++=-+++∴42625x x ++及4234285x x x +++的公因式为225x x -+ 即2a =-，5b =．【备注】例7之后可以让同学们尝试大除法．【探究对象】 整式恒等变形用到的公式主要有平方差公式、完全平方公式、立方和和立方差公式外，还用到下面的公式及变形：()3322333a b a a b ab b ±=±+±222333()()3a b c a b c ab bc ca a b c abc ++++---=++-【探究目的】熟练运用基本乘法公式及变形后，以此为基础对更复杂的整式恒等变形进行探究. 典题精练10 初二秋季·第6讲·提高班·教师版【探究1】若0a b c ++=，3330a b c ++=，求证：2011201120110a b c ++=. 【解析】 由0a b c ++=可知33()a b c +=-，故有322333223333330a a b ab b c a a b ab b c +++=-⇒++++=． 又3330a b c ++=，故22330a b ab +=，即()0ab a b +=． 若0a =，则b c =-，2011201120110a b c ++=； 若0b =，同理有2011201120110a b c ++=；若0a b +=，则0c =，同理也有2011201120110a b c ++=．【探究2】已知3x y z ++=，且333(1)(1)(1)0x y z -+-+-=，求证,,x y z 中至少有一个为1. 【解析】 设1,1,1x a y b z c -=-=-=，则3330,0a b c a b c ++=++=.由3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---可知，0abc = 故,,a b c 中至少有一个为0，即1,1,1x y z ---中至少有一个为0故,,x y z 中至少有一个为1.【备选例题】 设3x y z m ++=，求证：333()()()3()()()0m x m y m z m x m y m z -+-+-----=. 【解析】 原式中的式子太多，不妨采用换元法. 设,,m x a m y b m x c -=-=-=，则要证明的结论变为33330a b c abc ++-=，已知条件变为0a b c ++=. 等式左边的这个式子我们非常熟悉，可变形为222()()a b c a b c ab bc ca ++++---，而0a b c ++=，故原式得证.【探究3】若1a b c ++=，2222a b c ++=，33383a b c ++=，求：①abc 的值；②444a b c ++的值.【解析】 ①由1a b c ++=可知，2222221a b c ab bc ca +++++=又2222a b c ++=，故12ab bc ca ++=-而222333()()3a b c a b c ab bc ca a b c abc ++++---=++-，故333532a b c abc ++-=． 又33383a b c ++=，故118abc =．②4442222222222222222()22242()a b c a b c a b b c c a a b b c c a ++=++---=-++， a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2=(ab +bc +ca )2-2ab 2c -2abc 2-2a 2bc =14-2abc (a +b +c ) 1152141836=-⨯⨯=， 从而可知，4445567424361818a b c ++=-⨯=-=．【例7】 阅读：把多项式2310x x --分解因式得()()231052x x x x --=-+，由此对于方程23100x x --=可以变形为()()520x x -+=，解得5x =或2x =-．观察多项式2310x x --的因式()5x -、()2x +，与方程23100x x --=的解5x =或2x =-之间的关系．可以发现，如果5x =、2x =-是方程23100x x --=的解，那么()5x -、()2x +是多项式2310x x --的因式．这样，若要把一个多项式分解因式，可以通过其对应方程的解来确定其中的因式．例如：对于多项式332x x -+．观察可知，当1x =时，332x x -+0=，则332x x -+()1x A =-，其中A 为整式，即()1x -是多项式332x x -+的一个因式，若要确定整式A ，则可用竖式除法．23232222103232222x x x x x x x x x x x x x x +--+⋅-+----+-+∴()()()()()()()232321211212x x x x x x x x x x -+=-+-=--+=-+． 填空：⑴ 分解因式22x x --=___________⑵ 观察可知，当x = 时，32530x x x +-+=，可得 是多项式3253x x x +-+的一个因式．分解因式：3253x x x +-+= ；⑶ 已知：()321x mx x B +-=+，其中B 为整式，则分解因式：32x mx +-= ． （海淀期末）【解析】 ⑴ ()()12x x +-⑵ 1；()1x -；()()213x x -+ ⑶ ()()212x x +-【点评】 此题是因式分解方法中“因式定理或余数定理”的运用，虽然不会直接考到，但与一元二次方程密切相关，可以了解一下，这种方法不必深入拓展，到此为止即可.训练1. ⑴若a ，b 为有理数，且2222440a ab b a -+++=，则22a b ab += ．⑵求224243a b a b +--+的最值． （北大附中测试题）【解析】 ⑴ 222244a ab b a -+++22222244()(2)0a ab b a a a b a =-++++=-++=，所以2a b ==-，则2216a b ab +=-．⑵ 22224243(1)(21)11a b a b a b +--+=-+-+≥，所以有最小值1．训练2. 计算9999991999n n n ⨯+个个个分析：可将1999n 个用100999n n +个个表示．【解析】 解法一：原式9999999991000n n n n =⨯++个个个个999(9991)10n n n =++个个10(9991)n n =+个210n =解法二：原式299929991n n =+⨯+个个2(9991)n =+个()210n =210n =备注：999101n n =-个是一种常用的变形．又如()13331013nn =-个．训练3. 因式分解42231x x -+【解析】42422222222312125(1)(5)(15)(15)x x x x x x x x x x x -+=++-=+-=+++-训练4. 小学生王琼和他的妹妹王倩的年龄分别是a 岁和b 岁，并且2117a ab +=，试求王琼和王倩的年龄． 【解析】 ∵2117a ab +=∴()1173313a a b +==⨯⨯∵a 为王琼的年龄∴有实际情况得913a a b =+=， ∴94a b ==， ∴王琼9岁，王倩4岁．思维拓展训练(选讲)1099910n nn =⋅+个题型一 换元法 巩固练习【练习1】 分解因式：()()223248390x x x x ++++- 【解析】 原式()()()()12212390x x x x =++++-()()()()12322190x x x x =++++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2225325290x x x x =++++-，令2253x x y ++=，则 原式()190y y =--290y y =-- ()()910y y =+-()()222512257x x x x =+++- ()()()22512271x x x x =+++-．题型二 拆、添项及配方法 巩固练习【练习2】 分解因式：22268x y x y -++-【解析】22222226821(69)(1)(3)x y x y x x y y x y -++-=++--+=+--(13)(13)(4)(2)x y x y x y x y =+-+++-=-++-【练习3】 分解因式： 841x x ++【解析】848444242121(1)(1)x x x x x x x x x ++=++-=+++- 422422242(12)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x =++-+-=++-+-+题型三 恒等变形 巩固练习【练习4】 已知35a b b c -=-=，2221a b c ++=，求ab bc ca ++的值. 【解析】 由35a b b c -=-=可知，65a c -=，故2222221()()()()2ab bc ca a b c a b b c c a ⎡⎤++=++--+-+-⎣⎦1993621()225252525=-⨯++=-.复习巩固【练习5】 已知2a b +=，8a b ⋅=-，求()()()22a a b ab a b b a b +-+++的值． 【解析】 ∵2a b +=，8a b ⋅=-∴()222220a b a b ab +=+-=原式=()()()()222356a b a b ab a b a b ab ⎡⎤++-=++-=⎣⎦测1. 已知2246130a b a b +--+=，求a b +的值．【解析】 ∵2246130a b a b +--+=，∴2244690a a b b -++-+=∴()()22230a b -+-=，∴2030a b -=⎧⎨-=⎩，∴23a b =⎧⎨=⎩，∴5a b +=测2. 因式分解： 22268x y x y -++-【解析】22222226821(69)(1)(3)x y x y x x y y x y -++-=++--+=+-- (13)(13)(4)(2)x y x y x y x y =+-+++-=-++-测3. 因式分解22(1)(2)12x x x x ++++- 【解析】 原式=2(1)(2)(5)x x x x -+++课后测第十五种品格：创新因地制宜日本有一支探险队，历尽千辛万苦来到南极。

第三节二次根式的化简求值-学而思培优第三节二次根式的化简求值二、核心纲要如果二次根式的被开方数（式）中含有二次根式，这样的式子叫做双重二次根式，例如3-2.8+7.2.化简双重二次根式对于双重二次根式a±2b，设法找到两个正数x、y(x>y)，使得x+y=a，xy=b，则a±2b=(x±y)²=x²±2xy+y²。

3.二次根式化简求值的方法1) 直接代入：将已知条件代入所求代数式即可。

2) 变形代入：将条件或结论进行适当的变形，再代入求值。

4.共轭根式形如a+b和a-b（其中a，b是有理数）的两个最简二次根式称为共轭根式。

5.解无理方程解无理方程的方法就是转化为有理方程进行求解，然后检验。

本节重点讲解二次根式的化简和求值。

三、全能突破基础训练1.若x=m-n，y=m+n，则xy的值是( )。

A。

2m B。

2n C。

m+n D。

m-n2.已知若2x-1+y-3=√2，则4x×xy÷2y等于( )。

A。

2 B。

2√2 C。

2 D。

13.已知a=5+2，b=5-2，则a+b+7的值为( )。

A。

3 B。

4 C。

5 D。

64.代数式a+2a-2-2-a+3的值等于a-b=5.若a+b=5，ab=4，则：5.先化简，再求值：1) 2a³ab³-131/27a³b³+2abab，其中a=964，b=3.2) 3(a+3)(a-3)-a(a-6)-(a+2)²+13，其中a=2-1.a²-a-23) xy+(x+y)²/3-2，其中a=2-1.a²-4a+47.已知x=值，y=，求代数式xy-(x+y)²/3+2的值。

8.已知x=2+3，y=2-3，求下列代数式的值：1) x²-xy+y²2) x+y9.星期天，XXX的妈妈和XXX做了一个小游戏，XXX的妈妈说：“你现在研究了二次根式，若x表示10的整数部分，y代表它的小数部分，我这个纸包里的钱是(10+x)y元，你猜一猜这个纸包里的钱数是多少？10.某同学作业本上有这样一道题：“当a=□时，试求a+a-2a+1的值”。

第三节分数的简化求值与等价变形-学而思培优一、分数的简化求值分有简分和混分两种情况。

简分指分子比分母小，例如1/2，3/4等；混分指分子大于等于分母，例如4/3，5/2等。

1. 简单的简分求值：- 若分子是奇数，可以将分数进行简化。

例如，8/10可以简化为4/5。

- 若分子和分母都是偶数，可以将分子和分母同时除以2，直到不能再约分为止。

例如，10/12可以简化为5/6。

- 若分子和分母都是奇数，无法再进行简化。

2. 简单的混分求值：- 根据分数的定义，混分可以转化为带分数形式。

例如，4/3可以转化为1又1/3。

- 若分子大于等于分母，可以进行带分数的简化。

例如，5/2可以简化为2又1/2。

3. 更复杂的分数简化求值：- 对于复杂的分式，可以先约分，再进行带分数的简化。

例如，16/20可以先约分为4/5，再简化为4/5。

二、等价变形分数的等价变形是指将一个分数变成与之相等的另一个分数，而分数的值保持不变。

等价变形可以通过以下方法实现：1. 分子和分母同乘一个非零数：- 将分子和分母同乘一个非零数，可以得到与原分数相等的另一个分数。

例如，2/3可以变形为4/6，乘以2就得到了等价的分数。

2. 分子和分母同除一个非零数：- 将分子和分母同除一个非零数，可以得到与原分数相等的另一个分数。

例如，4/6可以变形为2/3，除以2就得到了等价的分数。

3. 分子和分母同时乘以一个含有变量的代数式：- 分子和分母同时乘以一个含有变量的代数式，可以得到与原分数相等的另一个分数。

例如，5/7可以变形为(2x)/(3x)，将分子和分母都乘以x就得到了等价的分数。

以上是关于分数的简化求值与等价变形的内容，希望对学而思培优有所帮助。

第三章分式的简化求值与等价变换-学而
思培优
1. 分式的简化求值
分式是数学中的一种表达形式，由分子和分母组成，可以表示两个数的除法关系。

在求解分式的过程中，我们可以使用简化求值的方法，将分子和分母进行约分，使得分式的表达更简洁。

简化求值的步骤如下：
1. 将分子和分母的公因数约去；
2. 如果分子和分母都可以被一个整数除尽，则除去公约数后，得到的分子和分母之间的比值就是分式的值。

举例来说，对于分式 $\frac{12}{20}$，我们可以先找到分母和分子的公因数，发现它们都可以被4整除，因此我们可以将分式简化为 $\frac{3}{5}$。

2. 分式的等价变换
分式的等价变换是指将一个分式转化为与之等值的分式，但表达形式更简洁或更易处理的过程。

通过等价变换，我们可以得到更方便计算的分式。

常见的等价变换方法包括以下几种：
1. 通分变换：将分母都化为相同的数，以便进行加减运算；
2. 因式分解与合并：将分式进行因式分解，并合并相同因式，以简化分式的形式；
3. 分子分母的倍数变换：将分子或分母同时乘以一个数，以得到与之等值的分式。

举例来说，对于分式 $\frac{3}{6}$，我们可以进行等价变换，使得分子和分母都变为1的倍数，得到等价分式 $\frac{1}{2}$。

在学而思培优的教学中，我们将分式的简化求值和等价变换作为重要的数学知识点进行讲解和训练，帮助学生更好地理解和运用分式的概念。

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