(完整版)2018北京市中考数学二模分类21题四边形

代几综合题2018昌平二模28.在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A 、B 、C 我们给出如下定义：“横长”a ：三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”b ：三点中纵坐标的最大值与最小值的差，若三点的横长与纵长相等，我们称这三点为正方点.例如：点A (2-,0) ，点 B (1,1) ，点 C (1-, 2-)，则A 、B 、C 三点的 “横长”a =|1(2)--|=3，A 、B 、C 三点的“纵长”b =|1(2)--|=3. 因为a =b ，所以A 、B 、C 三点为正方点. （1）在点R (3，5) ，S (3，2-) ，T (4-，3-)中，与点A 、B 为正方点的是 ； （2）点P (0，t )为y 轴上一动点，若A ，B ，P 三点为正方点，t 的值为 ；（3）已知点D (1，0).①平面直角坐标系中的点E 满足以下条件：点A ，D ，E 三点为正方点，在图中画出所有符合条件的点E 组成的图形； ②若直线l ：12y x m =+上存在点N ，使得A ，D ，N 三点为正方点，直接写出m 的取值范围．y xxy yx2018朝阳二模28. 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和直线m ，给出如下定义：若存在一点P ，使得点P 到直线m 的距离等于，则称P 为直线m 的平行点． （1）当直线m 的表达式为y =x 时， ①在点P 1（1，1），P 2（0，2），P 3（22-，22）中，直线m 的平行点是 ； ②⊙O 的半径为10，点Q 在⊙O 上，若点Q 为直线m 的平行点，求点Q 的坐标. （2）点A 的坐标为（n ，0），⊙A 半径等于1，若⊙A 上存在直线x y 3=的平行点，直接写出n 的取值范围．2018东城二模28. 研究发现，抛物线214y x =上的点到点F (0，1)的距离与到直线l ：1y =-的距离相等.如图1所示，若点P 是抛物线214y x =上任意一点，PH ⊥l 于点H ，则PH PF =.基于上述发现，对于平面直角坐标系x O y 中的点M ，记点M 到点P 的距离与点P 到点F 的距离之和的最小值为d ，称d 为点M 关于抛物线214y x =的关联距离；当24d ≤≤时，称点M 为抛物线214y x =的关联点.（1）在点1(20)M ，，2(12)M ，，3(45)M ，，4(04)M -，中，抛物线214y x =的关联点是______ ；（2）如图2，在矩形ABCD 中，点(1)A t ，，点(13)C t +， ①若t =4，点M 在矩形ABCD 上，求点M 关于抛物线214y x =的关联距离d 的取值范围； ②若矩形ABCD 上的所有点都是抛物线214y x =的关联点，则t 的取值范围是__________.2018房山二模28. 已知点P，Q为平面直角坐标系xOy中不重合的两点，以点P为圆心且经过点Q作⊙P，则称点Q为⊙P的“关联点”，⊙P为点Q的“关联圆”.（1）已知⊙O的半径为1，在点E（1，1），F（－12，32），M（0，－1）中，⊙O的“关联点”为；（2）若点P（2，0），点Q（3，n），⊙Q为点P的“关联圆”，且⊙Q的半径为 5 ，求n的值；（3）已知点D（0，2），点H（m，2），⊙D是点H的“关联圆”，直线443y x=-+与x轴，y轴分别交于点A，B. 若线段AB上存在⊙D的“关联点”，求m的取值范围.2018丰台二模28．在平面直角坐标系xOy 中，将任意两点()11,y x P 与()22y x Q ，之间的“直距”定义为：2121y y x x D PQ -+-=.例如：点M （1，2-），点N （3，5-），则132(5)5MN D =-+---=. 已知点A (1，0)、点B (-1，4).（1）则_______=AO D ，_______=BO D ；（2）如果直线AB 上存在点C ，使得CO D 为2，请你求出点C 的坐标； （3）如果⊙B 的半径为3，点E 为⊙B 上一点，请你直接写出EO D 的取值范围.2018海淀二模28．对某一个函数给出如下定义：若存在实数k ，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点1(,)a b ，2(1,)a b +，21b b k -≥都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的k 中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数2y x =-+，当x 取值a 和1a +时，函数值分别为12b a =-+，21b a =-+，故211b b k -=-≥，因此函数2y x =-+是限减函数，它的限减系数为1-．（1）写出函数21y x =-的限减系数； （2）0m >，已知1y x=（1,0x m x -≤≤≠）是限减函数，且限减系数4k =，求m 的取值范围．（3）已知函数2y x =-的图象上一点P ，过点P 作直线l 垂直于y 轴，将函数2y x =-的图象在点P 右侧的部分关于直线l 翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数1k ≥-，直接写出P 点横坐标n 的取值范围．2018平谷二模28．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙M，给出如下定义：若⊙M上存在两个点A，B，使AB=2PM，则称点P为⊙M的“美好点”．（1）当⊙M半径为2，点M和点O重合时，○1点()120P-，，()211P，，()322P，中，⊙O的“美好点”是；○2点P为直线y=x+b上一动点，点P为⊙O的“美好点”，求b的取值范围；（2）点M为直线y=x上一动点，以2为半径作⊙M，点P为直线y=4上一动点，点P为⊙M的“美好点”，求点M的横坐标m的取值范围．2018石景山二模28．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意点P ，给出如下定义：若⊙P 的半径为1，则称⊙P 为点P 的“伴随圆”． （1）已知，点()1,0P ，①点1,22A ⎛-⎝⎭在点P 的“伴随圆” （填“上”或“内”或“外”）； ②点()1,0B -在点P 的“伴随圆” （填“上”或“内”或“外”）；（2）若点P 在x 轴上，且点P 的“伴随圆”与直线x y 33=相切，求点P 的坐标； （3）已知直线2+=x y 与x 、y 轴分别交于点A ，B ，直线2-=x y 与x 、y 轴分别交于点C ，D ，点P 在四边形ABCD 的边上并沿DA CD BC AB →→→的方向移动，直接写出点P 的“伴随圆”经过的平面区域的面积．2018西城二模28. 对于平面直角坐标系xOy 中的点(,)Q x y （x ≠0），将它的纵坐标y 与横坐标x 的比yx称为点Q 的“理想值”，记作Q L .如(1,2)Q -的“理想值”221Q L ==--. （1）①若点(1,)Q a 在直线4y x =-上，则点Q 的“理想值”Q L 等于_________；②如图，C ，⊙C 的半径为1. 若点Q 在⊙C 上，则点Q 的“理想值”Q L 的取值范围是 .（2）点D 在直线+3y x =上，⊙D 的半径为1，点Q 在⊙D 上运动时都有0≤L Q ，求点D 的横坐标D x 的取值范围；（3）(2,)M m （m ＞0），Q 是以r 为半径的⊙M 上任意一点，当0≤L Q ≤件的最大圆，并直接写出相应的半径r 的值.（要求画图位置准确，但不必尺规作图）2018怀柔二模28. A 为⊙C 上一点，过点A 作弦AB ，取弦AB 上一点P ，若满足131<≤ABAP ，则称P 为点A 关于⊙C 的黄金点．已知⊙C 的半径为3，点A 的坐标为（1，0）． (1)当点C 的坐标为（4，0）时，①在点D （3，0），E （4，1），F （7，0）中，点A 关于⊙C 的黄金点是 ； ②直线3333-=x y 上存在点A 关于⊙C 的黄金点P ，求点P 的横坐标的取值范围； (2)若y 轴上存在．．点A 关于⊙C 的黄金点，直接写出点C 横坐标的取值范围．2018门头沟二模28.在平面直角坐标系xOy中的某圆上，有弦MN，取MN的中点P，我们规定:点P到某点（直”表示.线）的距离叫做“弦中距”，用符号“d中以(3,0)W-为圆心，半径为2的圆上.（1）已知弦MN长度为2.①如图1：当MN∥x轴时，直接写出到原点O的d的长度；中的取值范围.②如果MN在圆上运动时，在图2中画出示意图，并直接写出到点O的d中（2）已知点(5,0)y x=-，求到直线2=-的dy xM-,点N为⊙W上的一动点，有直线2中备用图2018顺义二模28．已知边长为2a 的正方形ABCD ，对角线AC 、BD 交于点Q ，对于平面内的点P 与正方形ABCD ，给出如下定义：如果a ≤PQ，则称点P 为正方形ABCD 的“关联点”．在平面直角坐标系xOy 中，若A (-1，1)，B (-1，-1)，C (1，-1)，D (1，1) ． （1）在11(,0)2-P，21(2P，3P 中，正方形ABCD 的“关联点”有 ； （2）已知点E 的横坐标是m ，若点E在直线=y 上，并且E 是正方形ABCD 的“关联点”，求m 的取值范围；（3）若将正方形ABCD 沿x 轴平移，设该正方形对角线交点Q 的横坐标是n ，直线1=+y 与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点．如果线段MN 上的每一个点都是正方形ABCD 的“关联点”，求n 的取值范围．代数综合题2018昌平二模26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223(0)y ax ax a a =--≠，与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)． （1）求点A 和点B 的坐标；（2）若点P （m ，n ）是抛物线上的一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点D ． ①在0a >的条件下，当22m -≤≤时，n 的取值范围是45n -≤≤，求抛物线的表达式；②若D 点坐标（4，0），当PD AD >时，求a 的取值范围.2018朝阳二模26.已知二次函数)0(222≠--=a ax ax y ．（1）该二次函数图象的对称轴是直线 ； （2）若该二次函数的图象开口向上，当-1≤x ≤5时，函数图象的最高点为M ，最低点为N ，点M 的纵坐标为211，求点M 和点N 的坐标；（3）对于该二次函数图象上的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设t ≤ x 1 ≤ t +1，当x 2≥3时，均有y 1 ≥ y 2，请结合图象，直接写出t 的取值范围．2018东城二模26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()230y ax bx a =+-≠经过点()1,0A -和点()45B ，．（1）求该抛物线的表达式；（2）求直线AB 关于x 轴的对称直线的表达式；（3）点P 是x 轴上的动点，过点P 作垂直于x 轴的直线l ，直线l 与该抛物线交于点M ，与直线AB 交于点N ．当PM PN ＜时，求点P 的横坐标P x 的取值范围．2018房山二模26. 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象经过A （0，4），B （2，0），C （－2，0）三点.（1）求二次函数的表达式；（2）在x 轴上有一点D （－4，0），将二次函数的图象沿射线DA 方向平移，使图象再次经过点B .①求平移后图象顶点E 的坐标；②直接写出此二次函数的图象在A ，B 两点之间（含A ，B 两点）的曲线部分在平移过程中所扫过的面积.2018丰台二模26．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数22y x hx h =-+的图象的顶点为点D ． （1）当1h =-时，求点D 的坐标； （2）当1x -≤≤≤1≤1时，求函数的最小值m ．（用含h 的代数式表示m ）2018海淀二模26．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,1)A -，(1,1)B -，(,)C m n ，其中1n >，以点,,A B C 为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为123,,D D D ，如图所示.（1）若1,3m n =-=，则点123,,D D D 的坐标分别是（ ），（ ），（ ）； （2）是否存在点C ，使得点123,,,,A B D D D 在同一条抛物线上？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由.2018平谷二模26．在平面直角坐标系中，点D是抛物线223y ax ax a =--()0a >的顶点，抛物线与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧）．（1）求点A ，B 的坐标；（2）若M 为对称轴与x 轴交点，且DM =2AM ，求抛物线表达式； （3）当30°<∠ADM <45°时，求a 的取值范围．2018石景山二26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()240y ax x c a =++≠经过点()34,A -和()02,B ．（1）求抛物线的表达式和顶点坐标；（2）将抛物线在A 、B 之间的部分记为图象M （含A 、B 两点）．将图象M 沿直线3x =翻折，得到图象N ．若过点()94,C 的直线y kx b =+与图象M 、图象N 都相交，且只有两个交点，求b 的取值范围．2018西城二模26. 抛物线M ：241y ax ax a =-+- (a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），抛物线的顶点为D .（1）抛物线M 的对称轴是直线____________； （2）当AB =2时，求抛物线M 的函数表达式；（3）在（2）的条件下，直线l ：y kx b =+(k ≠0)经过抛物线的顶点D ，直线y n =与抛物线M 有两个公共点，它们的横坐标分别记为1x ，2x ，直线y n =与直线l 的交点的横坐标记为3x （30x >），若当2-≤n ≤1-时，总有13320x x x x ->->，请结合函数的图象，直接写出k 的取值范围.2018怀柔二模26.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数C 1：()332--+=x m mx y （m ＞0）的图象与x轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C . (1)求点A 和点C 的坐标； (2)当AB =4时，①求二次函数C 1的表达式；②在抛物线的对称轴上是否存在点D ，使△DAC 的周长最小，若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；(3)将(2)中抛物线C 1向上平移n 个单位，得到抛物线C 2，若当0≤x ≤25时，抛物线C 2与x 轴只有一个公共点，结合函数图象，求出n 的取值范围.2018门头沟二模26.在平面直角坐标系xOy 中，有一抛物线其表达式为222y x mx m =-+. （1）当该抛物线过原点时，求m 的值；（2）坐标系内有一矩形OABC ,其中(4,0)A 、(4,2)B . ①直接写出C 点坐标；②如果抛物线222y x mx m =-+与该矩形有2个交点，求m 的取值范围.2018顺义二模26．在平面直角坐标系中，二次函数221y x ax a =+++的图象经过点 M （2，-3）． （1）求二次函数的表达式；（2）若一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与二次函数221y x ax a =+++的图象经过x 轴上同一点，探究实数k ，b 满足的关系式； （3）将二次函数221y x ax a =+++的图象向右平移2个单位，若点P （x 0，m ）和Q （2，n ）在平移后的图象上，且m >n ，结合图象求x 0的取值范围．x反比例综合题2018昌平二模22.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数+(0)y ax b a =≠与反比例函数ky k x=≠（0）的图象交于点A （4，1）和B （1-，n ）． （1）求n 的值和直线+y ax b =的表达式；（2）根据这两个函数的图象，直接写出不等式0kax b x+-<的解集．2018朝阳二模21. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线61+=x k y 与函数)0(2>=x xk y 的图象的两个交点分别为A （1，5），B . （1）求21,k k 的值；（2）过点P （n ，0）作x 轴的垂线，与直线61+=x k y 和函数)0(2>=x xk y 的图象的交点分别为点M ，N ，当点M 在点N 下方时，写出n 的取值范围.x2018东城二模 22. 已知函数1y x=的图象与函数()0y kx k =≠的图象交于点(),P m n . （1）若2m n =，求k 的值和点P 的坐标；（2）当m n ≤时，结合函数图象，直接写出实数k 的取值范围.2018房山二模22. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx m =+与双曲线2y x=-相交于 点A （m ，2）．（1）求直线y kx m =+的表达式； （2）直线y kx m =+与双曲线2y x=-的另一个交点为B ，点P 为x 轴上一点，若AB BP =，直接写出点坐标 ．2018丰台二模22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：21(0)y mx m m =-+≠. （1）判断直线l 是否经过点M （2，1），并说明理由； （2）直线l 与反比例函数ky x=的图象的交点分别为点M ，N ，当OM =ON 时，直接写出点N 的坐标.2018海淀二模22．已知直线l 过点(2,2)P ，且与函数(ky x=的图象相交于,A B 两点，与x 轴、y 点,C D ，如图所示，四边形,ONAE OFBM 均为矩形，且矩形OFBM 的面积为3. （1）求k 的值；（2）当点B 的横坐标为3时，求直线l 的解析式及线段BC 的长；（3）如图是小芳同学对线段,AD BC 的长度关系的思考示意图.记点B 的横坐标为s ，已知当23s <<时，线段BC 的长随s 的增大而减小，请你参考小芳的示意图判断：当3s ≥时，线段BC 的长随s 的增大而 . （填“增大”、“减小”或“不变”）2018平谷二模21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数()0ky k x=≠的图象与直线y =x －2交于 点A （a ，1）． （1）求a ，k 的值；（2）已知点P （m ，0）（1≤m < 4），过点P 作平行于y 轴的直线，交直线y =x －2于点M （x 1，y 1），交函数()0ky k x=≠的图象于点N （x 1，y 2），结合函数的图象，直接写出12y y -的取值范围．2018石景山二模22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1:2l y x b =-+与x 轴，y 轴分别交于点1(,0)2A ，B ，与反比例函数图象的一个交点为(),3M a . （1）求反比例函数的表达式；（2）设直线2:2l y x m =-+与x 轴，y 轴分别交于点C ,D ,且3OCD OAB S S ∆∆=，直接写出m 的值 .2018西城二模23. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数my x=（0x <）的图象经过点(4,)A n -，AB ⊥x 轴于点B ，点C 与点A 关于原点O 对称， CD ⊥x 轴于点D ，△ABD 的面积为8.（1）求m ，n 的值；（2）若直线y kx b =+（k ≠0）经过点C ，且与x 轴，y 轴的交点分别为点E ，F ，当2CF CE =时，求点F 的坐标．2018怀柔二模23.在平面直角坐标系xOy 中，直线y =kx +b （k ≠0）与双曲线)0(≠=m xmy 相交于A ，B 两点，A 点坐标为（-3，2），B 点坐标为（n ，-3）. (1)求一次函数和反比例函数表达式； (2)如果点P 是x 轴上一点，且△ABP 的面积是5，直接写出点P 的坐标.2018门头沟二模20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y x =与反比例函数k y x=（k ≠0）的图象相交于点(2,2)M . （1）求k 的值；（2）点(0,)P a 是y 轴上一点，过点P 且平行于x 轴的直线分别与一次函数y x =、反比例函数k y x=的图象相交于点1(,)A x b 、2(,)B x b ，当12x x <时，画出示意图并直接写出a 的取值范围.2018顺义二模20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数ky x=（x >0）的图象与直线21y x =+交于点A （1，m ）．（1）求k 、m 的值；（2）已知点P （n ，0）（n ≥1），过点P 作平行于y 轴的直线，交直线21y x =+于点B ，交函数ky x=（x >0）的图象于点C ．横、纵坐标都是整数的点叫做整点． ①当3n =时，求线段AB 上的整点个数；②若k y x=（x >0）的图象在点A 、C 之间的部分与线段AB 、BC 所围成的区域内（包括边界）恰有5个整点，直接写出n 的取值范围．函数操作题2018昌平二模25．有这样一个问题：探究函数3126y x x =-的图象与性质.小彤根据学习函数的经验，对函数3126y x x =-的图象与性质进行了探究.下面是小彤探究的过程，请补充完整：（1）求m 的值为 ；（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象； （3）方程31226x x -=-实数根的个数为 ； （4）观察图象，写出该函数的一条性质 ； （5）在第（2）问的平面直角坐标系中画出直线12y x =，根据图象写出方程311262x x x -=的一个正数根约为 （精确到0.1）.2018朝阳二模25. 在数学活动课上，老师提出了一个问题：把一副三角尺如图1摆放，直角三角尺的两条直角边分别垂直或平行，60°角的顶点在另一个三角尺的斜边上移动，在这个运动过程中，有哪些变量，能研究它们之间的关系吗？小林选择了其中一对变量，根据学习函数的经验，对它们之间的关系进行了探究．下面是小林的探究过程，请补充完整：（1）画出几何图形，明确条件和探究对象；如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，D是线段AB上一动点，射线DE⊥BC于点E，∠EDF= °，射线DF与射线AC交于点F．设B，E两点间的距离为x cm，E，F两点间的距离为y cm．图1图2（说明：补全表格时相关数据保留一位小数）（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（4）结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF为等边三角形时，BE的长度约为 cm.2018东城二模25. 小强的妈妈想在自家的院子里用竹篱笆围一个面积为4平方米的矩形小花园，妈妈问九年级的小强至少需要几米长的竹篱笆（不考虑接缝）.小强根据他学习函数的经验做了如下的探究. 下面是小强的探究过程，请补充完整：建立函数模型：设矩形小花园的一边长为x米，篱笆长为y米.则y关于x的函数表达式为 ;列表（相关数据保留一位小数）：根据函数的表达式，得到了x与y的几组值，如下表：描点、画函数图象：如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象；观察分析、得出结论：根据以上信息可得，当x= 时，y有最小值.由此，小强确定篱笆长至少为米.2018房山二模25. 有这样一个问题：探究函数3126y x x =-的图象与性质． 小东根据学习函数的经验，对函数3126y x x =-的图象与性质进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完整： （1）函数3126y x x =-的自变量x 的取值范围是 ; (2) 下表是y 与x 的几组对应值则m 的值为 ；(3) 如下图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）观察图象，写出该函数的两条性质 ．2018丰台二模25．数学活动课上，老师提出问题：如图，有一张长4dm，宽3dm的长方形纸板，在纸板的四个角裁去四个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖的盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的体积最大.下面是探究过程，请补充完整：Array（1）设小正方形的边长为x dm，体积为y dm3，根据长方体的体积公式得到y和x的关系式：；（2）确定自变量x的取值范围是；（3）列出y与x的几组对应值.（说明：表格中相关数值保留一位小数）（4）在下面的平面直角坐标系xOy中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（5）结合画出的函数图象，解决问题：当小正方形的边长约为 dm时，盒子的体积最大，最大值约为 dm3.2018海淀二模25．小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如下：备注：出租车计价段里程精确到500米；出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入。

2018北京市中考数学二模分类28题新定义2018东城二模28. 研究发现，抛物线上的点到点F (0，1)的距离与到直线l ：的距离相等.如图1所示，若214y x =1y =-点P 是抛物线上任意一点，PH ⊥l 于点H ，则PH PF =.214y x =基于上述发现，对于平面直角坐标系x O y 中的点M ，记点到点的距离与点到点的距离之和的M P P F 最小值为d ，称d 为点M 关于抛物线的关联距离；当时，称点M 为抛物线214y x =24d ≤≤214y x =的关联点.（1）在点，，，中，抛物线的关联点是______ ；1(20)M ，2(12)M ，3(45)M ，4(04)M -，214y x =（2）如图2，在矩形ABCD 中，点，点(1)A t ，(13)C t +，①若t =4，点M 在矩形ABCD 上，求点M 关于抛物线的关联距离d 的取值范围；214y x =②若矩形ABCD 上的所有点都是抛物线的关联点，则t 的取值范围是__________.214y x =2018西城二模28. 对于平面直角坐标系xOy 中的点（x ≠0），将它的纵坐标y 与横坐标x 的比称为点Q 的“理(,)Q x y y x 想值”，记作.如的“理想值”.Q L (1,2)Q -221Q L ==--（1）①若点在直线上，则点Q 的“理想值”等于_________；(1,)Q a 4y x =-Q L②如图，，⊙C 的半径为1. 若点Q 在⊙C 上，则点Q 的“理想值”的取值范围C Q L 是 .（2）点D 在直线上，⊙D 的半径为1，点Q 在⊙D 上运动时都有0≤L Q ，求点D 的横+3y x =坐标的取值范围；D x（3）（m ＞0），Q 是以r 为半径的⊙M 上任意一点，当0≤L Q ≤画出满足条件的最大圆，(2,)M m 并直接写出相应的半径r 的值.（要求画图位置准确，但不必尺规作图）2018海淀二模28．对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点，k 1(,)a b，都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的中，其最大值称为这个函2(1,)a b +21b b k -≥k 数的限减系数．例如，函数，当取值和时，函数值分别为，，2y x =-+x a 1a +12b a =-+21b a =-+故，因此函数是限减函数，它的限减系数为．211b b k -=-≥2y x =-+1-（1）写出函数的限减系数；21y x =-（2），已知（）是限减函数，且限减系数，求的取值范围．0m >1y x=1,0x m x -≤≤≠4k =m （3）已知函数的图象上一点，过点作直线垂直于轴，将函数的图象在点右侧2y x =-P P l y 2y x =-P 的部分关于直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限l 减系数，直接写出点横坐标的取值范围．1k ≥-P n2018朝阳二模28. 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和直线m ，给出如下定义：若存在一点P ，使得点P 到直线m 的距离等于，则称P 为直线m 的平行点．1（1）当直线m 的表达式为y =x 时，①在点P 1（1，1），P 2（0，），P 3（，）中，直线m 的平行点是 ；222-22②⊙O 的半径为，点Q 在⊙O 上，若点Q 为直线m 的平行点，求点Q 的坐标.10（2）点A 的坐标为（n ，0），⊙A 半径等于1，若⊙A 上存在直线的平行点，直接写出n 的取值x y 3=范围．2018丰台二模28．在平面直角坐标系xOy 中，将任意两点与之间的“直距”定义为：()11,y x P ()22y x Q ，.2121y y x x D PQ -+-=例如：点M （1，），点N （3，），则.2-5-132(5)5MN D =-+---=已知点A (1，0)、点B (-1，4).（1）则，；_______=AO D _______=BO D （2）如果直线AB 上存在点C ，使得为2，请你求出点C 的坐标；CO D （3）如果⊙B 的半径为3，点E 为⊙B 上一点，请你直接写出的取值范围.EO D2018石景山二模28．在平面直角坐标系中，对于任意点P ，给出如下定义：若⊙P 的半径为1，则称⊙P 为点P 的“伴xOy 随圆”．（1）已知，点，()1,0P①点在点P 的“伴随圆” （填“上”或“内”或“外”）；1,2A ⎛ ⎝②点在点P 的“伴随圆” （填“上”或“内”或“外”）；()1,0B -（2）若点P 在轴上，且点P 的“伴随圆”与直线相切，求点P 的坐标；x x y 33=（3）已知直线与、轴分别交于点A ，B ，直线与、轴分别交于点C ，D ，点P 2+=x y x y 2-=x y x y 在四边形的边上并沿的方向移动，直接写出点P 的“伴随圆”经过的平ABCD DA CD BC AB →→→面区域的面积．2018门头沟二模28.在平面直角坐标系xOy 中的某圆上，有弦MN ，取MN 的中点P ，我们规定:点P 到某点（直线）的距离叫做“弦中距”，用符号“”表示.d 中以为圆心，半径为2的圆上.(3,0)W -（1）已知弦MN 长度为2.①如图1：当MN ∥x 轴时，直接写出到原点O 的的长度；d 中 ②如果MN 在圆上运动时，在图2中画出示意图，并直接写出到点O 的的取值范围.d 中（2）已知点,点N 为⊙W 上的一动点，有直线，求到直线的(5,0)M -2y x =-2y x =-d 中的最大值.图1 图2备用图2018顺义二模28．已知边长为2a 的正方形ABCD ，对角线AC 、BD 交于点Q ，对于平面内的点P 与正方形ABCD ，给出如下定义：如果≤，则称点P 为正方形ABCD 的“关联点”．a PQ 在平面直角坐标系xOy 中，若A (-1，1)，B (-1，-1)，C (1，-1)，D (1，1) ．（1）在，，中，正方形ABCD 的“关联点”有 ；11(,0)2-P 21(2P 3P（2）已知点E 的横坐标是m ，若点E 在直线上，并且E 是正方形ABCD 的“关联点”，求m 的取=y 值范围；（3）若将正方形ABCD 沿x 轴平移，设该正方形对角线交点Q 的横坐标是n ，直线与x 轴、y 1+y 轴分别相交于M 、N 两点．如果线段MN 上的每一个点都是正方形ABCD 的“关联点”，求n 的取值范围．2018房山二模28. 已知点P，Q为平面直角坐标系xOy中不重合的两点，以点P为圆心且经过点Q作⊙P，则称点Q为⊙P的“关联点”，⊙P为点Q的“关联圆”.（1）已知⊙O 的半径为1，在点E （1，1），F （，），M （0，－1）中，⊙O 的“关联点”－1232为 ；（2）若点P （2，0），点Q （3，n ），⊙Q 为点P 的“关联圆”，且⊙Q 的半径为，求n 的值；5（3）已知点D （0，2），点H （m ，2），⊙D 是点H 的“关联圆”，直线与x 轴，y 轴分别交443y x =-+于点A ，B . 若线段AB 上存在⊙D 的“关联点”，求m 的取值范围.2018怀柔二模28. A 为⊙C 上一点，过点A 作弦AB ，取弦AB 上一点P ，若满足，则称P 为点A 关于⊙C 131<≤ABAP 的黄金点．已知⊙C 的半径为3，点A 的坐标为（1，0）．(1)当点C 的坐标为（4，0）时，①在点D （3，0），E （4，1），F （7，0）中，点A 关于⊙C 的黄金点是 ；②直线上存在点A 关于⊙C 的黄金点P ，求点P 的横坐标的取值范围；3333-=x y (2)若y 轴上存在点A 关于⊙C 的黄金点，直接写出点C 横坐标的取值范围．2018平谷二模28．对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙，给出如下定义：若⊙上存在两个点A ，B ，使M M AB =2PM ，则称点P 为⊙的“美好点”．M （1）当⊙半径为2，点M 和点O 重合时，M 点 ，，中，⊙的“美好点”是 ；○1()120P -，()211P ，()322P ，O 点P 为直线y=x+b 上一动点，点P 为⊙的“美好点”，求b 的取值范围；○2O （2）点M 为直线y=x 上一动点，以2为半径作⊙，点P 为直线y =4上一动点，点P 为⊙的“美好M M 点”，求点M 的横坐标m 的取值范围．2018昌平二模28.在平面直角坐标系中，对于任意三点A、B、C我们给出如xOy下定义：“横长”a：三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”b：三点中纵坐标的最大值与最小值的差，若三点的横长与纵长相x y等，我们称这三点为正方点.例如：点 (,0) ，点 (1,1) ，点 (, )，则、、三点的 “横长”=||=3，A 2-B C 1-2-A B C a 1(2)--、、三点的“纵长”=||=3. 因为=，所以、、三点为正方点.A B C b 1(2)--a b A B C （1）在点 (3，5) ，(3，) ， (，)中，与点、为正方点的是 ；R S 2-T 4-3-A B （2）点P (0，t )为轴上一动点，若，，三点为正方点，的值为 ；y A B P t （3）已知点 (1，0).D ①平面直角坐标系中的点满足以下条件：点，，三点为正方点，在图中画出所有符合条件的点E A D E E 组成的图形；②若直线：上存在点，使得，，三点为正方点，直接写出m 的取值范围． l 12y x m =+N A D N yxyx。

第5讲 四边形【2018·西城二模】1. 如图，在矩形ABCD 中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH .若AB=8，AD=6，则四边形EFGH 的周长等于 ．【答案】20【2018·昌平二模】2.如图，已知△ACB中，∠ACB =90°，CE 是△ACB 的中线，分别过点A 、点C 作CE 和AB 的平行线，交于点D ． （1）求证：四边形ADCE 是菱形；（2）若CE=4，且∠DAE =60°，求△ACB 的面积．【答案】(1)证明：∵AD //CE ，CD //AE∴四边形AECD 为平行四边形 ……………………… 1分 ∵∠ACB =90°，CE 是△ACB 的中线∴CE=AE ………………………………… 2分 ∴四边形ADCE 是菱形 （2）解：∵CE=4，AE= CE=EB ∴AB =8，AE=4∵四边形ADCE 是菱形,∠DAE =60°∴∠CAE =30°………………………………… 3分DECBAD ECBA∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB =30°， AB =8cos 2AC CAB AB ∠==142CB AB ==∴AC = 4分∴12ABC S AC BC ∆=⋅= 5分 【2018·朝阳二模】3.如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，延长CD到E ，使DE =CD ，连接AE ．（1）求证：四边形ABDE 是平行四边形；（2）连接OE ，若∠ABC =60°，且AD =DE =4，求OE 的长．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD . ∵DE ＝CD ， ∴AB ＝DE .∴四边形ABDE 是平行四边形. ………………………………2分（2）解：∵AD ＝DE ＝4，∴AD ＝AB ＝4.∴□ABCD 是菱形. ………………………………3分 ∴AB ＝BC ，AC ⊥BD ，BO ＝BD 21，∠ABO ＝ABC ∠21.又∵∠ABC ＝60°， ∴∠ABO ＝30°. 在Rt △ABO 中，2sin =∠⋅=ABO AB AO ，32cos =∠⋅=ABO AB BO .∴BD ＝34.∵四边形ABDE 是平行四边形， ∴AE ∥BD ，34==BD AE . 又∵AC ⊥BD ， ∴AC ⊥AE .在Rt △AOE 中，13222=+=AO AE OE . ……………………………5分【2018·东城二模】4．如图，在菱形ABCD 中，BAD α∠=，点E 在对角线BD 上. 将线段CE 绕点C 顺时针旋转α，得到CF ，连接DF . （1）求证：BE =DF ；（2）连接AC ， 若EB =EC ，求证：AC CF ⊥. 【答案】(1) 证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴=BC DC ，BAD BCD α==∠∠. ∵ECF α=∠， ∴ BCD ECF ∠=∠. ∴=BCE DCF ∠∠.∵线段CF 由线段CE 绕点C 顺时针旋转得到， ∴=CE CF .在BEC △和DFC △中，BC DC BCE DCF CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴BEC △≌()SAS DFC △.∴=.BE DF ----------------------------------------------------------------------2分 (2) 解：∵四边形ABCD 是菱形， ∴ACB ACD ∠=∠，AC BD ⊥.∴+90ACB EBC ∠=︒∠. ∵=EB EC ， ∴=EBC BCE ∠∠. 由（1）可知， ∵=EBC DCF ∠∠，∴+90DCF ACD EBC ACB ∠=∠+∠=︒∠. ∴90ACF =︒∠.∴AC CF ⊥. ---------------------------------------------------------------------5分【2018·房山二模】5. 已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =CD ，E 是对角线BD上一点，且EA =EC ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）如果∠BDC =30°，DE =2，EC =3，求CD 的长．【答案】解：（1）∵AD =CD ,EA =EC ,DE =DE ∴△ADE ≌△CDE ∴∠ADE =∠CDE ∵AD ∥BC ∴∠ADB =∠DBC ∴∠DBC =∠BDC ∴BC =CD ∴AD =BC 又∵AD ∥BC∴四边形ABCD 是平行四边形…………………………………………………2′ ∵AD =CD∴四边形ABCD 是菱形…………………………………………………………3′（2）作EF ⊥CD 于FB∵∠BDC =30°，DE =2∴EF =1,DF = 3 ……………………………………………………………………4′ ∵CE =3 ∴CF =2 2∴CD =2 2 + 3 …………………………………………………………………5′ 【2018·丰台二模】6．如图，BD 是△ABC 的角平分线，过点D 作DE ∥BC 交AB 于点E ，DF ∥AB 交BC 于点F ．（1）求证：四边形BEDF 为菱形； （2）如果∠A = 90°，∠C = 30°，BD = 12，求菱形BEDF 的面积．【答案】（1）证明：∵DE ∥BC ，DF ∥AB ，∴四边形BEDF 为平行四边形………………1分∴∠1=∠3.∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠1=∠2. ∴∠2=∠3. ∴BF =DF .∴四边形BEDF 为菱形.………………………2分（2）解：过点D 作DG ⊥BC 于点G ，则∠BGD =90°.∵∠A =90°，∠C =30°，∴∠ABC =60°. 由（1）知，BF =DF ，∠2=30°，DF ∥AB ，∴∠DFG =∠ABC =60°. ∵BD =12，∴在Rt △BDG 中，DG=6.∴在Rt △FDG 中，DF= ………………………4分 ∴BF =DF=∴S 菱形BEDFBF DG =⋅= ………………………5分 （其他证法相应给分）【2018·海淀二模】7．如图，在四边形ABCD 中，ABCD ， BD 交AC 于G ，E 是BD的中点，连接AE 并延长，交CD 于点F ，F 恰好是CD 的中点. （1）求BGGD的值； （2）若CE EB =，求证：四边形ABCF 是矩形.F DECB A G 321A EDF【答案】（1）解：∵ AB ∥CD ，∴ ∠ABE =∠EDC . ∵ ∠BEA =∠DEF ， ∴ △ABE ∽△FDE . ∴AB BEDF DE=. ∵ E 是BD 的中点， ∴ BE =DE .∴ AB =DF . ∵ F 是CD 的中点， ∴ CF =FD . ∴ CD =2AB .∵ ∠ABE =∠EDC ，∠AGB =∠CGD ， ∴ △ABG ∽△CDG . ∴12BG AB GD CD ==. （2）证明：∵ AB ∥CF ，AB =CF ，∴ 四边形ABCF 是平行四边形. ∵ CE =BE ，BE =DE ， ∴ CE =ED . ∵ CF =FD ，∴ EF 垂直平分CD . ∴ ∠CF A =90°.∴ 四边形ABCF 是矩形.EGFABCDEGF ABCD【2018·石景山二模】8．如图，在四边形ABCD 中，45A ∠=︒，CD BC =， DE 是AB 边的垂直平分线，连接CE ． （1）求证：DEC BEC ∠=∠；（2）若8AB =，BC =CE 的长．【答案】（1）证明：∵DE 是AB 边的垂直平分线， ∴DE AB ⊥，4AE EB ==， ………… 1分 ∵45A ∠=︒， ∴DE AE EB ==， 又∵DC CB =，CE CE =， ∴△EDC ≌△EBC .∴45DEC BEC ∠=∠=︒. ………… 2分 （2）解：过点C 作CH AB ⊥于点H ， 可得，CH EH =，设EH x =，则4BH x =-， 在Rt △CHB 中，222CH BH BC +=， ……… 3分 即22(4)10x x +-=，解之，13x =，21x =（不合题意，舍），………… 4分 即3EH =.∴CE == ………… 5分【2018·西城二模】9. 如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ，BE=CD ，连接CE ，DE ．（1）求证：四边形CDBE 为矩形； （2）若AC =2，1tan 2ACD ∠=，求DE 的长．A【答案】（1）证明：如图2.∵ CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AB 于点B ， ∴ 90CDA DBE ∠=∠=︒．∴ CD ∥BE ．………………………………… 1分 又∵ BE=CD ，∴ 四边形CDBE 为平行四边形．……………2分 又∵90DBE ∠=︒，∴ 四边形CDBE 为矩形． ……………………………………………… 3分 （2）解：DE=BC=4【2018·海淀二模】10．如图，四边形ABCD 中，90C ∠=°，BD 平分ABC ∠，3AD =，E 为AB 上一点， 4AE =，5ED =，求CD 的长．【答案】 证明：∵3AD =，4AE =，5ED =，∴222AD AE ED +=.∴90A ∠=︒. ∴DA AB ⊥. ∵90C ∠=︒.∴DC BC ⊥. ∵BD 平分ABC ∠，∴DC AD =. ∵3AD =，∴3CD =.E DCBA图2。

2018北京各区初中一模分类汇编四边形及答案平谷22．如图，在□ABCD 中，BF 平分∠ABC 交AD 于点F ，AE ⊥BF 于点O ,交BC 于点E ,连接EF ．(1）求证：四边形ABEF 是菱形；(2）连接CF ，若∠ABC=60°， AB= 4，AF =2DF ，求CF 的长．西城19．如图,AD 平分BAC ∠,BD AD ⊥于点D ，AB 的中点为E ,AE AC <． (1)求证：DE AC ∥．（2）点F 在线段AC 上运动，当AF AE =时,图中与ADF △全等的三角形是__________．EDCBA延庆21．如图，Rt △ABC 中，∠ABC =90°,点D ，F 分别是AC ，AB 的中点,CE ∥DB ,BE ∥DC ． （1）求证：四边形DBEC 是菱形；（2）若AD =3， DF =1，求四边形DBEC 面积。

FEDCBA海淀21．如图，□ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ,且AE ∥BD ，BE ∥AC ，OE = CD . (1）求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若AD = 2,则当四边形ABCD 的形状是_______________时，四边形AOBE 的面积取得最大值是_________________。

大兴21. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且DE=O C ,CE=O D ． （1）求证：四边形OCED 是菱形；（2）若∠BAC ＝30°，AC ＝4,求菱形OCED 的面积．怀柔21.直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，D 是斜边BC 上一点，且AB=AD,过点C 作CE ⊥AD ，交AD 的延长线于点E,交AB 延长线于点F 。

（1)求证：∠ACB=∠DCE ；（2)若∠BAD=45°，AF 过点B 作BG ⊥FC 于点G 接DG ．依题意补全图形，并求四边形ABGD 的面积．顺义21．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°，BD =BC ,点E 为CD 的中点，射线BE交AD 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求证：四边形BCFD 是菱形;（2）若AD =1，BC =2，求BF 的长．C B E O AD F EA BCD门头沟21。