2.2.2向量减法运算及其几何意义
一．选择题
1. 当|a|=|b|≠0且a、b不共线时，a+b与a－b的关系是（）
A. 平行
B. 垂直
C. 相交但不垂直
D. 相等
2. 在下列各题中,正确的命题个数为
(1)若向量a与b方向相反,且|a|>|b|,则a+ b与a方向相同
(2)若向量a与b方向相反,且|a|>|b|,则方向a- b与a+ b相同
(3)若向量a与b方向相同,且|a|>|b|,则a - b与a方向相反
(4)若向量a与b方向相同,且|a|>|b|,则a- b与a+ b方向相反
A. 1个
B. 2 个
C. 3个
D. 4个
=+，则ABCD是( )
3. 在四边形ABCD中，AC AB AD
A. 矩形
B. 菱形
C. 正方形
D. 平行四边形
4. 任给向量a,b,则恒有（）
A. |a+b|=|a|+|b|
B. |a－b|=|a|－|b|
C .|a－b|≤|a|+|b| D. |a－b|≤|a|－|b|
5. 已知正方形ABCD的边长为1，=a，BC=b，AC=c,则|a+b+c|等于（）
A. 0
B. 3
C. 2
D. 22
6. 已知A、B、C三点不共线，O是△ABC内的一点，若++=0，
则O是△ABC的（）
A. 重心
B. 垂心
C. 内心
D. 外心
7．已知=a，=b,=c,=d,且四边形ABCD为平行四边形，则（）
A. a+b+c+d=0
B. a－b+c－d=0
C. a+b－c－d=0
D. a－b－c+d=0
二．填空题
8. 若向量a，b满足关系a+b=b,则a =,|a+b| =。
9. 化简：（1）（-）－(-)= .
（2）()()PQ MO QO QM -+-= .
10. 当非零向量OA 、OB 满足 ，OA +OB 平分向量OA 、OB 的夹角.
三、解答题
11. 已知向量a 、b ,求作a — b
12.
,5,8==
的取值范围是什么？
13. 已知a OA =，b OB =
5=
12=，且 90=∠AOB
-。
14. 已知任意四边形ABCD ，求证：AB CD AD CB +=+
a b
练习一 选择题： 1．如图，等腰梯形两腰上的向量、是( ) (A)相等的向量(B)模相等的向量(C)方向相反的向量(D)方向相同的向量2．如图，在菱形中，可以用同一条有向线段表示的向量是( ). 第2题 (A)和(B)和(C)和(D)和 3．如图，，－＋等于( ). (A) (B) (C) (D) 4．如图，在中，－＋等于( ) (A) (B) (C) (D) 填空题： 5．如图，正六边形，为中心，图中所示向量中： (1)与相等的向量有__________； (2)与相等的向量有__________； 6．＝_________；
7．化简 (1)＋＋—_____________； (2)____________； (3)＋＋＝_____________； (4)－＋＝_____________； 解答题： 8．已知向量、，求作＋，－. 9．河水自西向东流，流速为3 m/s，轮船垂直水流方向以18.7 km/h的速度向北航行，求轮船的实际航速. 答案、提示和解答： 1．B．2．B．3．C．4．B. 5．(1)，；(2). 6．0. 7．(1)0；(2)；(3)；(4)0.8．略. 9．设＝“向东方向，3 m/s”，＝“向东方向，18.7 km/h”≈“向北方向，5.19 m/s”，如图，适当选取比例尺，作
＝＝“向东3 m/s” ＝＝“向北，5.19 m/s”， ＝＋＝＋. ｜｜＝ 与夹角的余弦值为，则与夹角为60°. 所以轮船的实际航速为东偏北60°，6 m/s. 练习二 选择题： 1．如图，梯形，其中｜｜＝｜｜，相等的向量是( ). (A)与(B)与(C)与(D)与 2．已知如图，、分别是与的中点，、、、、、中,相等的向量共有( ). (A)1组(B)2组(C)3组(D)4组
7.2向量的减法运算（第3课时） 姓名： 班级： 【教学目标】 1.了解相反向量的概念； 2.掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义； 3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想。 【重点与难点】 重点：向量减法的概念和向量减法的作图法 难点：减法运算时方向的确定 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 一、 复习： 向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则；向量加法的运算定律： 二、 提出课题：向量的减法 1.向量的减法是向量加法的逆运算 即：)(b a b a -+=-，求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2.向量的减法的作法 在平面内取一点O ，作a OA =， b OB = 则A B B O A O b a =-=- 注意：向量减法的关键：首同尾连，指向被减 3.探究：若a ∥b ， 如何作出b a - ？ O A c a B’ b -b b B a + (- b ) a b
b a 【例1】已知向量d c b a ,,,，求作向量d c b a --, 【例2】平行四边形ABCD 中，=AB a ，=AD b ， 用b a ,表示向量AC 、DB . 变式一：当b a ,满足什么条件时，b a +与b a -垂直？ 变式二：当b a ,满足什么条件时，|b a +| = |b a -|？ 变式三：b a +与b a -可能是相等向量吗？ 三、 课堂反馈 P45 1,2,3,4 四、 课堂小结 五、 教学反思 【课后练习】 1．化简OP QP PS SP -++= （ ） A.QP B.OQ C. SP D. SQ 2. G 为ABC ?的重心，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 的中点，则GA GB GC +-=（ ） A.0 B.4GE C. 4GD D. 4GF 3.若向量a 与b 方向相同，且b a <，则b a -与a 的方向________。 4. 在正六边形ABCDEF 中，AE =m ,AD =n ,则BA =________。 5．作图：求作b a +，b a - 6．已知菱形ABCD 的边长为2，求向量AB CB CD -+的模的长。 A B D C
向量的加法与减法练习 基础卷（15分钟） 一、选择题 1．下列命题： （1）如果非零向量与的方向相同或相反，那么，的方向必与 ，之一的方向相同。 （2）△ABC中，必有 （3）若，则A，B，C为一个三角形的三个顶点。 （4）若，均为非零向量，则与一定相等。 其中真命题的个数为（） A．0 B．1 C．2 D．3 2．给出下列3个向量等式： （1）（2）（3）。其中正确的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 3．在△ABC中，设（） A． B． C． D． 4．已知ABCD是平行四边形，O为平面上任一点。设，则（） A． B． C． D．
二、填空题 5．。 6．（1）； （2）。 提高卷（30分钟） 一、选择题 1．有下列3个不等式 （1）（2）（3）其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3 2．化简以下各式： （1）；（2）；（3）；（4）。结果为零的向量的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知，，则的取值范围是（） A．[3，17] B．（3，17） C．[3，10] D．（3，10） 4．下列命题中，正确的是（） A．单位向量都共线 B． C．若，则 D．且 5．已知一点O到平行四边形ABCD的3个顶点A，B，C的向量分别为，，，则向量等于（） A． B．
C． D． 6．在平行四边形ABCD中，若，则必有（） A． B．或 C．ABCD是矩形 D．ABCD是正方形 7．若O是△ABC内一点，，则O是△ABC的（） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 二、填空题 8．△ABC中，，则。 9．向量，满足，，则的最大值为： ______，的最小值为：_____。 10．如图5—4，用两根绳子把重10kg的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW=150°，∠BCW=120°，则A和B处所受力的大小（绳子的重量忽略不计）分别是_______。 三、解答题 11．一辆汽车向东行驶30km，然后改变方向向北行驶30km，求汽车行驶的路程及两次位移的和。 12．设表示，“向北走20km，”表示“向南走10km”，表示“向东走20km”， 表示“向西走10km”，说明下列向量的意义： （1）；（2）；（3）；（4）
平面向量的减法运算 高一数学导学案编制人: 审核人: 必修4 第二章第3 课时向量减法及几何意义【学习目标】掌握向量的减法运算并能进行化简、理解几何意义，培养运用数形结合的思 想解决问题的能力。 【重点】会用向量减法的三角形法则作两个向量的差向量. 【难点】三角形不等式 【教材助读】 1. 相反向量的定义:________________________ 规定:零向量的相反向量是____向量, 任一向量与它的相反向量的和是______向量。 ，(,)=0. aa 2、两个减法法则: 已知非零向量和，做出三角形法则: abab, 3. 向量的减法其实是一种图形运算:把两个向量起点重合，把一个向量的为起点，另一个向量的为终点所得到的向量叫做这两个向量的，记为。如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是____，差向量方向指向一般地，对于任意三点O，A，B，=— ABOBOA
ab,4.若，怎样作出,向量可以看成是吗, ab，,()ab//ab, 【预习自测】 ,,,, AB,AD,_____OD,OA,_____1(化简: (1) (2) ,,, AB,AD,DC,____(3) (4)=__________ PM,PN，MN 新疆王新敞奎屯DBABCDa2(平行四边形中，，，用，表示向量、 ABa,ADb,bAC 使用时间: 姓名: 小组: 评价等级: 探究案 例1:已知正方形，，，，求作向量:(1) ABCDABa,BCb,ACc,abc，，(2) abc,，
BD例2:如图，已知平行四边形的对角线，交于点，若， ABCDACOABa, ，，求证( BCb,ODc,cabOB，,, O A B 【能力拓展】 已知向量，的模分别是3，4，求的取值范围 ||ab,ab 【当堂检测】 1. 下列等式中正确的个数是( ). ,,,aaabab，,,,aa，,,0aoa,,baab，,， ?;?;?; ?;? ，，，，，， A.2 B.3 C.4 D.5 AB2. 在?ABC中，，则等于( ). BCaCAb,,, ,，,abab，ab,,，ab A. B. C. D. ，，
2012届高考数学一轮复习教案51向量的概念向量的加法与减 法
第五章平面向量 ●网络体系总览 ?Skip Record If...? ●考点目标定位 1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念. 2.掌握向量的加法与减法的运算律及运算法则. 3.掌握实数与向量的积的运算律及运算法则. 4.了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. ●复习方略指南 向量是数学中的重要概念，它广泛应用于生产实践和科学研究中，其重要性逐渐加强.从近几年高考试题可以看出，主要考查平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量的数量积、图形的平移等基本概念、运算及简单应用.随着新教材的逐步推广、使用，“平面向量”将会成为命题的热点，一般选择题、填空题重在考查平面向量的概念、数量积及其运算律.本单元试题的常见类型有： （1）与“定比分点”有关的试题； （2）平面向量的加减法运算及其几何意义； （3）平面向量的数量积及运算律，平面向量的坐标运算，用向量的知识解决几何问题； （4）正、余弦定理的应用. 复习本章时要注意： （1）向量具有大小和方向两个要素.用线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量. （2）共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础. （3）向量的加、减、数乘积是向量的线性运算，其结果仍是向量.向量的数量积结果是一个实数.向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间距离、两个向量的夹角，判断相应的两条直线是否垂直. （4）向量的运算与实数的运算有异同点，学习时要注意这一点，如数量积不满足结合律. （5）要注意向量在几何、三角、物理学中的应用. （6）平面向量与空间向量的数量积及坐标运算是高考的重点，复习中要注意培养准确的运算能力和灵活运用知识的能力.
练习内容：22.7平面向量 22.8平面向量的加法 22.9平面向量的减法 姓名 学号 成绩 一、选择题 (每小题3分，共18分) 1．在四边形ABCD 中，AB DC =，且||||AB BC =，那么四边形ABCD 为 ( ) A 、平行四边形 B 、菱形 C 、长方形 D 、正方形 2．四边形ABCD 中，若向量AB 与CD 是平行向量，则四边形ABCD ( ) A 、是平行四边形 B 、是梯形 C 、是平行四边形或梯形 D 、不是平行四边形，也不是梯形 3．设b 是a 的相反向量，则下列说法错误的是 ( ) A 、a 与b 的长度必相等 B 、a ∥b C 、a 与b 一定不相等 D 、a 是b 的相反向量 4．下列说法中不正确的是 ( ) A 、零向量是没有方向的向量 B 、零向量的方向是任意的 C 、零向量与任一向量平行 D 、零向量只能与零向量相等 5．下列四式不能化简为AD 的是 ( ) A 、()A B CD B C ++ B 、()()A D MB BC CM +++ C 、A D AD BM +- D 、OC AO CD ++ 6．下列说法中，正确的有 ( ) ① 若a b =±，则a ∥b ② 若a ∥b ，则a b =± ③ 若a b =±，则||||a b = ④ 若||||a b =，则a b =± A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
二、填空题 (每小题4分，共40分) 7．规定了方向的线段叫做 8．向量是既有大小、又有 的量，可以用 线段表示 9．AB BA + = ；a a - = 第10题到15题的图 10．平行四边形ABCD 中，与AB 相等的向量有 11．平行四边形ABCD 中，与AB 相反的向量有 12．平行四边形ABCD 中，与AB 平行的向量有 13．平行四边形ABCD 中，与AO 相等的向量有 14．平行四边形ABCD 中，与AO 相反的向量有 15．平行四边形ABCD 中，与AO 平行的向量有 16．设a 表示“向东走1km ”，b ”，则a b +表示 三、简答题 (每小题6分，共24分) 17．判断下列命题是否为真命题 (1)★ AB BC DC AD +-= ( ) (2)★ 向量b 的长度记作||b ( ) (3)★ 用两个字母表示有向线段，起点字母与终点字母随便哪个写在前面无所谓 ( ) 18．判断命题“若a b =，则a 与b 是平行向量”是否是真命题。若是真命题，请说明理由；若是假命题，请举反例；并写出此命题的逆命题 D
向量的加法与减法 综合训练卷（120分钟，满分150分） 一、选择题（每题 5分，共60分） 1 .下列命题中，正确的是（ ） A. 冃& |=＞方=b B . p|＞|纠=77＞心 A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 3. 若4卜h" '-[1 ，且I -，则匚的值是（） A .必小于5 B .必大于10 C .有可能为0 D .不可能为0 4. 若「，则’ 的取值范围是（） A . [3 , 8] B . （3, 8） C . [3 , 13] D . （3, 13） 5. 在平行四边形 ABCD 中，若 二*九 ,则必有（） A . ABCD 是菱形 B . ABCD 是梯形 C . ABC D 是正方形 D . ABCD 是矩形 6. 把所有单位向量的起点平移到同一点 P ,各向量终点的集合构成什 么图形（） A .点P B .过点P 的一条直线 C .过点P 的一条射线 D .以点P 为圆心，1为半径的圆 7. 下列有关零向量的说法正确的是（ ） A. 零向量是无长度，无方向的向量 B. 零向量是无长度，有方向的向量 C. 零向量是有长度，无方向的向量 D. 零向量是有长度，有方向的向量 &已知二 「，： '」U 工 ；D 的取值范围是（ ） A . [2 , 12] B . （2, 12） C . [2 , 7] D . （2, 7） 2.化简以下各式： （1）磧庇+氏；（2）牺讥+册~€1） ；（ ）A-0D+AD C a = b => a H b D .若—且-「，则「一 （4-"H 。结果为零向量的个数是（ ）
9 . “」 '一 ” 是“ A , B , C 是三角形三个顶点的”的（ ) A 充分不必要条件 B .必要不充分条件 C . 充要条件 D .既不充分又不必要条件 10 .已知两个向量 b ，则下列说法正确的是（ ）
向量加减法练习 一、选择题（5×12=60分） 1．下列说法中错误．．的是（ ） A ．零向量是没有方向的 B .零向量的长度为0 C ．零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的 2．设21,e e 是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ） A ．21e e = B ．21//e e C ．21e e -= D ．12e e =u u r u u r 3．下列判断正确的是 ( ) A.若向量AB u u u r 与CD uuu r 是共线向量，则A,B,C,D 四点共线； B.单位向量都相等； C.共线的向量，若起点不同，则终点一定不同； D.模为0的向量的方向是不确定的。 4．若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）． A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B ． EF OF OE =--u u u r u u u r u u u r C ．EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u r D ．EF OF O E =-u u u r u u u r u u u r 5．已知向量→ a 表示“向东航行1km ”，向量→ b 表示“向南航行1km ”，则向量a b +r r 表示（ ） A ．向东南航行2km B ．向东南航行2km C ．向东北航行2km D ．向东北航行2km 6．如图1，D ，E ，F 分别是?ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则 A ．0AD BE CF ++=u u u r u u u r u u u r r B ．0BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r r C ．0A D C E C F +-=u u u r u u u r u u u r r D ．0BD BE FC --=u u u r u u u r u u u r r 7．化简下列各式结果是AB 的是( ) A. MB MN AM +- B. CF BF AC +- C. CB DC AB +- D. BC FC AB +- 8．设O 是正△ABC 的中心，则向量AO u u u r ，BO uuu r ，CO uuu r 是（ ）
注意：（1）两相向量的和仍是一个向量； （2）当向量a r 与b r 不共线时，a r +b r 的方向不同向，且|a r +b r |<|a r |+|b r |; （3）当a r 与b r 同向时，则a r +b r 、a r 、b r 同向，且|a r +b r |=|a r |+|b r |； 当a r 与b r 反向时，若|a r |>|b r |,则a r +b r 的方向与a r 相同，且|a r +b r |=|a r |-|b r |， 若|a r |<|b r |,则a r +b r 的方向与b r 相同，且|a r +b r |=|b r |-|a r |. 2、向量加法的交换律：a r +b r =b r +a r 3．向量加法的结合律：(a r +b r ) +c r =a r + (b r +c r ) 证： 知识点二 向量的减法 1．用“相反向量”定义向量的减法： “相反向量”的定义： 记作 规定：零向量的相反向量仍是零向量-(-a r ) = a r 任一向量与它的相反向量的和是零向量a r + (-a r ) =0r 如果a r 、b r 互为相反向量，则a r = -b r , b r = -a r , a r + b r = 0r 向量减法的定义： 向量a r 加上的b r 相反向量，叫做a r 与b r 的差，即：a r - b r = a r + (-b r ) 2．用加法的逆运算定义向量的减法：
3．求作差向量：已知向量a r 、b r ，求作向量 ∵(a r -b r ) + b r = a r + (-b r ) + b r = a r +0r = a r 减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ， 作OA u u u r = a r , OB uuu r = b r , 则BA u u u r = a r - b r 即a r - b r 可以表示为从向量b r 的终点指向向量a r 的终 点向量 知识点三 向量的数乘运算 1、定义：实数λ与向量a ρ的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作： ，其长度与方向规定如下：（1）|λa ρ|=|λ||a ρ| （2）λ>0时λa ρ与a ρ方向相同； λ<0时λa ρ与a ρ方向相反；λ=0时λa ρ=0 2、运算定律 结合律：λ(μa ρ)= 第一分配律：(λ+μ)a ρ = 第二分配律：λ(a ρ+b ρ)= 3、向量共线定理
2.2.1 向量的加法运算及其几何意义 教学目标： 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义. 学法： 数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律. 教具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 一、设置情景：
复习：向量的定义以及有关概念 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 情景设置： （1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：=+ （2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C 则两次的位移和：=+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ （4）船速为，水速为，则两速度和：AC BC =+ 二、探索研究： １、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法 . ２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”） 如图，已知向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，则向量叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即 a ＋ｂ=+=，规定： a + 0-= 0 + a A B C A B C A B C A B C a+b a+b a a b b a ｂ ｂ ａa
3、向量的加法 求两个向量的和向量的运算叫做向量的加法． 法则：①三角形法则；②平行四边形法则． 运算律：交换律＋＝＋， 结合律(＋)＋＝＋(＋)． 4、向量的减法 向量的加法和减法互为逆运算．已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法． 差向量：向量加上的相反向量，叫做与的差（向量） 求差向量的方法：向量减法的三角形法则，即减向量的终点指向被减向量的终点． 二、重难点知识剖析 1、的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有二个要素：大小、方向.向量不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘. 向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段 2、已知向量、在平面内任取一点，作，，则向量叫做与的和，记作，即
3、向量减法的三角形法则：两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同(否则无法相减)，这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点. 在平面内任取一点O，作，则向量． 4、多边形法则：一般地，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那么它们的和向量是以第一个向量的起点为起点、最后一个向量的终点为终点的向量． 只要你理解法则内容，那么解起向量加减法的题来就会更加得心应手了，尤其遇到向量的式子运算题时，一般不用画图就可迅速求解，如下面例题： （1）化简－＋－＝（＋）－（＋）＝－＝（2）化简＋＋＋=. 特殊情况：两向量平行
第2课时 向量的加法与减法 1.理解向量加法的含义,掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则,会用向量加法的交换律与结合律进行向量运算. 2.掌握向量的减法运算,并理解其几何意义,会作两个向量的差向量.理解相反向量的概念及向量加法与减法的逆运算关系. 3.经历向量的概念、法则的建构过程,通过观察、实验、类比、归纳等方法培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.向量的运算能反映出一些物理规律,从而加深学科之间的联系,提高应用能力. 长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输,一艘船从长江南岸出发,以大小为v 1的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度向东,且大小为v 2(v 1>v 2),那么船的实际速度的大小和方向怎么求呢 ? 问题1:相反向量及其性质,向量的加、减法运算. 的运算,叫作向量的加法,两个向量的和是向量(简称 ); 长度相同、方向相反的两个向量互为相反向量,a 与 互为相反向量,-(-a )= ; 零向量的相反向量是 ; 任一向量与它的相反向量的和是 ,a+(-a )= ; 如果a 、b 互为相反向量,则a= ,b= ,a+b= ; 向量a 加上b 的相反向量,叫作a 与b 的差,即a-b=a+ ,求两个向量差的运算叫作向量的 . 问题2:向量加法法则. (1)三角形法则 如图,在平面内任取一点A ,作错误！未找到引用源。=a ,错误！未找到引用源。=b ,连接AC ,则错误！未找到引用源。=a+b.这种求向量和的方法,叫向量加法的三角形法则,它的特点是首尾相连,即从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段. (2)平行四边形法则 如图,在平面内任取一点A ,作错误！未找到引用源。=a ,错误！未找到引用源。=b ,以AB 、AD 为边作平行四边形
向量概念加减法2基础练习 一、选择题 1．若是任一非零向量，是单位向量，下列各式①｜｜＞｜｜；②∥； b，其中正确的有（） ③｜a｜＞0；④｜b｜=±1 2．四边形ABCD中，若向量AB与CD是共线向量，则四边形ABCD（） A．是平行四边形B．是梯形 C．是平行四边形或梯形D．不是平行四边形，也不是梯形 3．把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（） A．一条线段B．一个圆面C．圆上的一群弧立点D．一个圆4．若a，b是两个不平行的非零向量，并且a∥c, b∥c，则向量c等于（）A．B．C．D．不存在 5．向量（+）+（+）+化简后等于（） A． B． C． D． 6．a、b为非零向量，且｜a+b｜=｜a｜+｜b｜则（） A．a∥b且a、b方向相同B．a=b C．a=-b D．以上都不对7．化简（-）+（-）的结果是（） A．B． C．D． 8．在四边形ABCD中，=+，则（） A．ABCD是矩形B．ABCD是菱形C．ABCD是正方形D．ABCD是平行四边形9．已知正方形ABCD的边长为1， =,=, =,则｜++｜为（）A．0 B．3 C．2D．22 10．下列四式不能化简为AD的是（） A．（AB+CD）+ BC B．（AD+MB）+（BC+CM） C．+-D．-+
a 11．设b 是a 的相反向量，则下列说法错误的是（ ） A ． 与的长度必相等 B ． ∥ C ．与一定不相等 D ． 是的相反向量 12．如果两非零向量、满足：｜｜＞｜｜,那么与反向,则（ ） A ．｜+｜=｜｜-｜｜ B ．｜-｜=｜｜-｜｜ C ．｜a -b ｜=｜b ｜-｜a ｜ D ．｜a +b ｜=｜a ｜+｜b ｜ 二、判断题 1．向量与是两平行向量．（ ） 2．若是单位向量，也是单位向量，则=．（ ） 3．长度为1且方向向东的向量是单位向量，长度为1而方向为北偏东30°的向量就不 是单位向量．（ ） 4．与任一向量都平行的向量为向量．（ ） 5．若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形．（ ） 7．设O 是正三角形ABC 的中心，则向量AB 的长度是OA 长度的3倍．（ ） 9．在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆．（ ） 10．凡模相等且平行的两向量均相等．（ ） 三、填空题 1．已知四边形ABCD 中，= 21,且｜｜=｜｜,则四边形ABCD 的形状是 ． 2．已知=,=, =,=,=,则+++= ． 3．已知向量a 、b 的模分别为3，4，则｜a -b ｜的取值范围为 ． 4．已知｜OA ｜=4,｜OB ｜=8,∠AOB=60°,则｜AB ｜= ． 5． =“向东走4km ”,=“向南走3km ”,则｜+｜= ． 四、解答题 1.作图。已知 求作（1）b a （利用向量加法的三角形法 则和 四边形法则）
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则. 向量的加法OB+OA=OC. a+b=(x+x',y+y'). a+0=0+a=a. 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0 向量的减法 AB-AC=CB.即“共同起点,指向被 向量的减法减” a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y'). 3、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣. 当λ＞0时,λa与a同方向； 向量的数乘 当λ＜0时,λa与a反方向； 向量的数乘当λ=0时,λa=0,方向任意. 当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0. 注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0. 实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩. 当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍； 当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍. 数与向量的乘法满足下面的运算律 结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb). 向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λ b. 数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ. 4、向量的数量积 定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos 〈a,b〉；若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣. 向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'.向量的数量积的运算律 a·b=b·a（交换律）； (λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)； （a+b)·c=a·c+b·c（分配律）； 向量的数量积的性质 a·a=|a|的平方.
课题：向量的加法与减法（1） 教学目的： ⑴掌握向量加法的定义 ⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量 ⑶掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算 教学重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量. 教学难点：向量的加法和减法的定义的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB； ④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|. 3.零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的 ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向. 4.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行.向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 5.相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. （1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ； （2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关 ．．．．．．．．．．. 6.共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上. （1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； （2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 7.对向量概念的理解 AB的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个要素：起点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有二个要素：大小、方向.向量不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘. 向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，
学习目的： 1.理解向量、零向量、单位向量、向量的模的意义； 2.理解向量的几何表示，会用字母表示向量； 3.了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间平行（共线）、相等的关系； 4.通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生的唯物辩证思想和分析辨别能力. 5．掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量； 6．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算； 7．明确相反向量的意义，掌握向量的减法，会作两个向量的差向量； 8．在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明； 9．通过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算，可以渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化，相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识． 学习内容: 向量这部分知识是新内容，但我们已经接触过了.同学们在物理的课程学习过矢量的概念，它与我们要学的向量是一致的（知识是相通的），即使在数学中，前一段我们学习三角函数线时讲过有向线段，实际上向量就是用有向线段表示的.
学习难点: 向量的加法运算 一、向量的概念 向量:既有大小又有方向的量.通常用有向线段表示，其中A为起点，B为终点，显然 表示不同的向量；有向线段的长度表示向量的大小，用| |表示，显然，既有向线段的起、终点决定向量的方向，有向线段的长度决定向量的大小. 注意:向量的长度| |又称为向量的模；长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量. 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行.平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量. 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量可经过平移的过程重合在一起，既可用一个有向线段表示，而与起点无关. 二、向量的加法 1．向量加法的平行四边形法则 平行四边形ABCD中，向量的和为.记作: . 2．向量加法的三角形法则 根据向量相等的定义有: ，既在ΔADC中，，首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点. 规定:零向量与向量的和等于.
向量概念加减法·基础练习 一、选择题 1．若是任一非零向量，是单位向量，下列各式①｜｜＞｜｜；②∥；③｜｜＞0；④｜｜=±1 ，其中正确的有（） 2．四边形ABCD中，若向量AB与CD是共线向量，则四边形ABCD（） A．是平行四边形B．是梯形 C．是平行四边形或梯形D．不是平行四边形，也不是梯形 3．把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（）A．一条线段B．一个圆面C．圆上的一群弧立点D．一个圆 4．若，是两个不平行的非零向量，并且∥, ∥，则向量等于（） A．B．C．D．不存在 5．向量（AB+MB）+（BO+BC）+OM化简后等于（） A． B． C． D．AM 6．、为非零向量，且｜+｜=｜｜+｜｜则（） A．∥且、方向相同B．=C．=-D．以上都不对 7．化简（-）+（-）的结果是（） A．CA B．0 C．AC D．AE 8．在四边形ABCD中，=+，则（） A．ABCD是矩形B．ABCD是菱形C．ABCD是正方形D．ABCD是平行四边形 9．已知正方形ABCD的边长为1， =,=, =,则｜++｜为（） A．0 B．3 C．2D．22 10．下列四式不能化简为的是（） A．（+）+ B．（+）+（+CM） C．MB+AD-BM D．OC-OA+CD 11．设是的相反向量，则下列说法错误的是（）
a b A ． 与的长度必相等 B ． ∥ C ．与一定不相等 D ． 是的相反向量 12．如果两非零向量、满足：｜｜＞｜｜,那么与反向,则（ ） A ．｜+｜=｜｜-｜｜ B ．｜-｜=｜｜-｜｜ C ．｜-｜=｜｜-｜｜ D ．｜+｜=｜｜+｜｜ 二、判断题 1．向量与是两平行向量．（ ） 2．若是单位向量，也是单位向量，则=．（ ） 3．长度为1且方向向东的向量是单位向量，长度为1而方向为北偏东30°的向量就不是单位向量．（ ） 4．与任一向量都平行的向量为向量．（ ） 5．若AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形．（ ） 7．设O 是正三角形ABC 的中心，则向量AB 的长度是OA 长度的3倍．（ ） 9．在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆．（ ） 10．凡模相等且平行的两向量均相等．（ ） 三、填空题 1．已知四边形ABCD 中，=2 1,且｜｜=｜｜,则四边形ABCD 的形状是 ． 2．已知=,=, =,=,=,则+++= ． 3．已知向量、的模分别为3，4，则｜-｜的取值范围为 ． 4．已知｜｜=4,｜｜=8,∠AOB=60°,则｜｜= ． 5． =“向东走4km ”,=“向南走3km ”,则｜+｜= ． 四、解答题 1.作图。已知 求作（1）b a （利用向量加法的三角形法则和 四边形法则） （2）b a
课题：§2从位移的合成到向量的加法 ---平面向量加法与减法 三维目标： 1.知识与技能 （1）掌握向量加法的概念；能熟练运用三角形法则和平行四边形法则做几个向量的和向量；能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用 它们进行向量计算. （2）了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量 （3）通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义. （4）初步体会数形结合在向量解题中的应用. 2.过程与方法 教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法. 然后用“相反向量”定义向量的减法；最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力. 3.情感态度与价值观 重点与难点: 重点：向量加法的概念和向量加法的法则及运算律. 难点：向量的减法转化为加法的运算. 教学方法： (1)自主性学习+探究式学习法(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情 况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学过程 【创设情境】 一、提出课题：向量是否能进行运算？
1． 某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：?→?AB +?→?BC =?→ ?AC 2． 若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：?→?AB +?→?BC =?→ ?AC 3． 某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：?→?AB +?→?BC =?→ ?AC 4． 船速为，水速为， 则两速度和：?→ ?AB +?→ ?BC =?→ ?AC 提出课题：向量的加法 【探究新知】 1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。 注意：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2．三角形法则： 强调： ① “向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 ②可以推广到n 个向量连加 ③a a a =+=+00 ④不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 例题讲评 例1、已知向量、，求作向量+ 作法：在平面内取一点， A B C A B C A B C A A B B C C O A a a a b b b a + b a +b a a b b b a a b
课题：向量的加法与减法（一） 教案目标： ⑴掌握向量加法的定义 ⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量 ⑶掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算。 教案重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量. 教案难点：向量的加法和减法的定义的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教案过程： 一、复习引入： 1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：； ④向量的大小――长度称为向量的模，记作||. 3.零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作。的方向是任意的。 ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向. 4.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行.向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 5.相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. （1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ； （2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段 来表示，并且与有向线段的起点无关 ．．．．．．．．．．. 6.共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上. （1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； （2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 7.对向量概念的理解
的字母是有顺序的，起点在前终点在后，所以我们说有向线段有三个 要素：起点、方向、长度；既有大小又有方向的量，我们叫做向量，有二个要素：大小、方向.向量不能比较大小；实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘. 向量与有向线段的区别：向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段。 二、讲解新课： 1． 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）。课本中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的。 如图，已知向量 、 。在平面内任取一点 ，作 ， ， 则向量 叫做与的和，记作 ，即 特殊情况： (1) B B A 对于零向量与任一向量，有