复变函数7

1 f (z ) = ϕ (z ) n (z − a)
其中：φ(z)在此邻域内(包括z=a)解析，且φ(a)≠0, 则 ϕ (n −1) (a ) Res f ( z ) = z =a (n − 1)! ∞ 证 φ(z)在a的泰勒展式是： ϕ (z ) = ∑ α k (z − a) k k =1 (n −1) 则 (a ) Res f ( z ) = α n −1 = ϕ z =a (n − 1)!
注意：这里的积分路径的半径并非只能取1/4，只须使半径 小于1即可满足定义的条件． 解法2 因点z=0为f(z)的孤立奇点，所以，在:0<|z|<1/3内有 解法 ∞ ∞ 5 z − 2 (−1) 2 2 n f ( z) = ⋅ = ( − 5) ⋅ ∑ z = − 3∑ z n z 1− z z z n=0 n =0 由此得c-1=2 ，得 同样这里并非只能取 同样这里并非只能取 Res f ( z ) = 2 z =0 1/3,只须小于 即可 只须小于1即可 只须小于
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例(P228例6.1) 设 f (z ) =
5z − 2 2 求 z (z − 1)
z =2
∫ f ( z) d z
解 f(z)在积分曲线:|z|=2内的奇点为： z =0、1 则 Res f z ( )
由留数定理得：
z =2
5z − 2 = lim z ⋅ = −2 z =0 2 z →0 z (z − 1) ′ 5z − 2 Res f ( z ) = (z − 1) 2 ⋅ 2 z =1 z (z − 1)
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补充例) 例(补充例 补充例 设 f ( z) =
5z − 2 z ( z − 1)
求 Res f ( z ) z =0

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1 x , lim 2 2 2 x 0 x (1 k ) 1 k
随 k 值的变化而变化 ,
所以 lim u ( x, y ) 不存在,
x →0 y →0
lim v( x, y ) = 0,
x →0 y →0
根据定理一可知, lim f ( z ) 不存在.
z0
证 (二)
令 z r (cos i sin ),
r cos 则 f (z) cos , r
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当 z 沿不同的射线 arg z 趋于零时, f ( z )趋于不同的值. 例如 z 沿正实轴arg z 0 趋于零时, f ( z ) 1,
π 沿 arg z 趋于零时, f ( z ) 0, 2
故 lim f ( z ) 不存在.
12
4. 反函数的定义:
设w = f ( z )的定义集合为Z 平面上的集合M , 函数值集合为W 平面上的集合M *, 那末M * 中的 每一个点w必将对应着M中的一个(或几个)点.
于是在M *上就确定了一个单值 (或多值)函数 z = ( w ),它称为函数w = f ( z )的反函数, 也称 为映射w = f ( z ) 的逆映射.
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根据反函数的定义,
w M *, w f [ ( w )],
当反函数为单值函数时, z [ f ( z )], z G .
如果函数 (映射) = f ( z )与它的反函数 w (逆映射) z = ( w )都是单值的, 那末称函数 (映 射) = f ( z )是一一对应的. 也可称集合M 与集 w 合M *是一一对应的.
2
2.单(多)值函数的定义:
如果 z 的一个值对应着一个w 的值, 那末 我们称函数 f ( z ) 是单值的. 如果 z 的一个值对应着两个或 两个以上 w 的值, 那末我们称函数 f ( z ) 是多值的.

证：f t 1 F ejt d
2
1
2

2d

0 ejt d
ejt
0
ej0t
.
即ej0t 和2d 0 构成了一个傅氏变换对。
由上面两个函数的变换可得
e jt dt 2d
1
2


f ( )cos(t )d

j

f
(
) sin
(t

)d

d
因 f ( )sin(t )d 是ω的奇函数， f cos t d是 的偶函数,
定义
d
t


lim
0
d

t


0
t 0。 t 0
O


d t dt

lim 0

d t dt
lim 0
1 dt
0
1
（在极限与积分可交换意义下）
工程上将d-函数称为单位脉冲函数。
22
d -函数的筛选性质：
若f(t)为无限次可微的函数,则有
2 3

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3.单位脉冲函数及其傅里叶积分变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要 研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电 流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运 动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位 脉冲函数.
从 f t 1
2



f

a ib
a cos cos(2 ) cos(3 ) cos( n )
sin(n 1/ 2) sin( / 2) 2sin( / 2)
b sin sin(2 ) sin(3 ) sin(n )
WangChengyou © Shandong University, Weihai
(cos isin ) e i
1 i i cos (e e ) 2
(二) 无限远点 N 无限远点 A z S
1 i i sin (e e ) 2i
黎曼(Riemann) 复数球 球面
有限远点
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数学物理方法
第1章 复变函数
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ei /2 (ei( n 1/2) ei /2 ) W i /2 i /2 i /2 e (e e )
cos(n 1/ 2) i sin(n 1/ 2) cos( / 2) i sin( / 2) 2i sin( / 2)
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数学物理方法
第1章 复变函数
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例：计算 W a ib 解：令 z a ib z (cos i sin )
z a 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
1/2
W a ib z (cos i sin )
Argz
x
y
Argz 2kπ
(k 0, 1, 2,)
r
Argz
x
0 arg z 2π