1988年全国普通高等学校招生统一考试

1988年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案一．（本题满分45分）本题共有15个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确每一个小题选对得3分;不选或选错一律得0分（1）2i 1i 1⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−的值等于 （ ） （A）1 （B）-1 （C）i (D)-i（2）设圆M 的方程为(x-3)2+(y-2)2=2,直线L 的方程为x+y-3=0,点P 的坐标为（2，1），那么 （ ） （A）点P 在直线L 上，但不在圆M 上（B）点P 在圆M 上，但不在直线L 上（C）点P 既在圆M 上，又在直线L 上（D）点P 既不在直线L 上，也不在圆M 上（3）集合{1，2，3}的子集共有 （ ） （A）7个 （B）8个 （C）6个 （D）5个（4）已知双曲线方程15y 20x 22=−，那么它的焦距是 （ ）（A）10 （B）5 （C）15 （D）152（5）在10)3x (−的展开式中，x 6的系数是 （ ）（A）610C 27− （B）410C 27 （C）610C 9− （D）410C 9（6）函数x sin x cos y 44−=的最小正周期是 （ ） （A）π （B）π2 （C）2π（D）π4（7）方程03x cos 34x cos 42=+−的解集是 （ ） （A）}Z k ,6)1(k x |x {k ∈π⋅−+π= （B）}Z k ,3)1(k x |x {k ∈π⋅−+π= （C）}Z k ,6k 2x |x {∈π±π= （D）}Z k ,3k 2x |x {∈π±π= （8）极坐标方程θ−=ρcos 234所表示的曲线是 （ ）（A）圆 （B）双曲线右支 （C）抛物线 （D）椭圆 （9）如图，正四棱台中，D A ′′所在的直线与B B ′所在的直线是 （A）相交直线 （ ） （B）平行直线（C）不互相垂直的异面直线 （D）互相垂直的异面直线（10）)3arctg 51arctg (tg +的值等于 ( ） （A）4 （B）21 （C）81 （D）8 （11）设命题甲：△ABC 的一个内角为600命题乙：△ABC 的三内角的度数成等差数列数列那么（ ）（A）甲是乙的充分条件，但不是必要条件（B）甲是乙的必要条件，但不是充分条件（C）甲是乙的充要条件（D）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件（12）在复平面内，若复数z 满足|i z ||1z |−=+，则z 所对应的点Z 的集合构成的图形是 （ ） （A）圆 （B）直线 （C）椭圆 （D）双曲线′C（13）如果曲线x 2-y 2-2x-2y-1=0经过平移坐标轴后的新方程为1y x 22=′−′，那么新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为 （ ）（A）（1，1） （B）（-1，-1） （C）（-1，1） （D）（1，-1） （14）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有 （ ）（A）319723C C 种 （B）219733319723C C C C +种 （C）51975200C C −种 （D）4197135200C C C −种（15）已知二面角β−−αAB 的平面角是锐角，C 是平面α内一点（它不在棱AB 上），点D 是点C 在面β上的射影，点E 是棱AB 上满足∠CEB 为锐角的任一点，那么 （ ） （A）∠CEB>∠DEB （B）∠CEB=∠DEB （C）∠CEB<∠DEB （D）∠CEB 与∠DEB 的大小关系不能确定二．（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果（1）求复数i 3−的模和辐角的主值（2）解方程.27329x 1x =⋅−−−α C A E D β B（3）已知2tg ,273,53sin θπ<θ<π−=θ求（4）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱SB 垂直于底面，并且SB=3，用α表示∠ASD，求αsin 的值（5）已知等比数列}a {n 的公比q>1，并且a 1=b(b≠0）求.a a a a a a a a limn 876n321n L L ++++++∞→三．（本题满分10分）已知,a tgx =求x3cos x cos 3x3sin x sin 3++的值四．（本题满分10分）如图，正三棱锥S-ABC 的侧面是边长为a 的正三角形，D 是SA 的中点，E 是BC 的中点，求△SDE 绕直线SE 旋转一周所得的旋转体的体积Sα B A C DS D F A C E B五．（本题满分11分）设21t log t log 21,0t ,1a ,0a aa +>≠>与比较的大小，并证明你的结论六．（本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题满分4分， 第（2）小题满分8分.给定实数a1x ,R x (1ax 1x y ,1a ,0a ,a ≠∈−−=≠≠且设函数且 证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x 轴;（2）这个函数的图象关于直线y=x 成轴对称图形七．（本题满分12分）如图，直线L 的方程为2p x −=，其中p＞0;椭圆的中心为 D )0,2p 2(+，焦点在x 轴上，长半轴长为2，短半轴长为1，它的一个顶点为A 0,2p(问p 在哪个范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A 的距离等于该点到直线LY L。

1988年全国高考物理试题1988年全国普通高等学校招生统一考试物理一、(24分)每小题2分．本题中每小题给出的几个说法中,有一个是正确的．把正确的说法选出来,并将正确说法前的字母填写在题后方括号内．填写在方括号外的字母,不作为选出的答案．答错的,不答的,都得0分．(2)一个人站在阳台上,以相同的速度v0分别把三个球竖直向上抛出、竖直向下抛出、水平抛出,不计空气阻力,则三球落地时的速率,A．上抛球最大．B．下抛球最大．C．平抛球最大．D．三球一样大．(3)两物体A和B,质量分别为m1和m2,互相接触放在光滑水平面上,如图所示．对物体A施以水平的推力F,则物体A对物体B的作用力等于(4)单色光从真空射入玻璃时,它的A．波长变长,波速变小．B．波长变短,波速变大．C．波长变长,波速变大．D．波长变短,波速变小．(5)原子的核式结构学说,是卢瑟福根据以下哪个实验或现象提出来的?A．光电效应实验．B．氢原子光谱实验．C．α粒子散射实验．D．天然放射现象．(6)将一物体以某一初速竖直上抛,在下列四幅图中,哪一幅能正确表示物体在整个运动过程中的速率v与时间t的关系(不计空气阻力)?(7)在水平放置的光滑绝缘杆ab上,挂有两个金属环M和N,两环套在一个通电密绕长螺线管的中部,如图所示．螺线管中部区域的管外磁场可以忽略．当变阻器的滑动接头向左移动时,两环将怎样运动?A．两环一起向左移动．B．两环一起向右移动．C．两环互相靠近．D．两环互相离开．(8)把两根同种材料的电阻丝分别连在两个电路中．甲电阻丝长为l,直径为d;乙电阻丝长为2l,直径为2d．要使两电阻丝消耗的功率相等．加在两电阻丝上的电压比应满足(9)要使LC振荡电路的周期增大一倍．可采用的办法是:A．自感系数L和电容C都增大一倍．B．自感系数L和电容C都减小一半．C．自感系数L增大一倍,而电容C减小一半．D．自感系数L减小一半,而电容C增大一倍．(10)在粗糙水平面上有一个三角形木块abc,在它的两个粗糙斜面上分别放两个质量m1和m2的木块,m1>m2,如图所示．已知三角形木块和两物体都是静止的,则粗糙水平面对三角形木块A ．有摩擦力的作用,摩擦力的方向水平向右．B ．有摩擦力的作用,摩擦力的方向水平向左．C ．有摩擦力的作用,但摩擦力的方向不能确定,因为m 1、m 2、θ1、θ2的数值并未给出．D ．以上结论都不对．(11)两个球形行星A 和B 各有一卫星a 和b,卫星的圆轨道接近各自行星的表面．如果两行星质量之比MA/MB=p,两行星半径之比RA/RB=q,则两卫星周期之比Ta/Tb 为(本人注：A 选项应该是p q q ) (12)图中S 为三相交流电源．连在电路中的各电阻丝B1、B2、B3、B4的阻值都相同．变压器都是电压比为2∶1的降压变压器．这些电阻丝,按消耗功率大小的顺序排列(从大到小)应为A ．B 1B 2B 3B 4． B ．B 4B 3B 2B 1．C ．B 4B 2B 3B 1．D ．B 3B 1B 4B 2．二、(24分)每小题3分．本题中每小题给出的几个说法中,有一个或几个是正确的,把正确的说法全选出来,并将正确说法前的字母填写在题后方括号内．每小题,全部选对的,得3分;选对但不全的,得1分;有选错的,得0分;不答的,得0分．填写在方括号外的字母,不作为选出的答案．(1)下列核反应方程中,哪些是平衡的?(2)在有关布朗运动的说法中,正确的是:A．液体的温度越低,布朗运动越显著．B．液体的温度越高,布朗运动越显著．C．悬浮微粒越小,布朗运动越显著．D．悬浮微粒越大,布朗运动越显著．(3)下列哪些现象说明光具有波动性?A．光的干涉．B．光的衍射．C．光的反射．D．光电效应．(4)图表示的是透镜成像实验的装置．A．如透镜是凸透镜,则不论物体放在透镜左方何处,只要把光屏移到适当位置,一定能在屏上得到物体的像．B．如透镜是凸透镜,则不论物体放在透镜左方何处,去掉光屏而用眼睛从右向左沿主轴直接观察,一定看不到物体的像．C．如透镜是凹透镜,则不论物体放在透镜左方何处,只要把光屏移到适当位置,一定能在屏上得到物体的像．D．如透镜是凹透镜,则不论物体放在透镜左方何处,去掉光屏而用眼睛从右向左沿主轴直接观察,一定能看到物体的像．(5)两块平行金属板带等量异号电荷,要使两板间的电压加倍,而板间的电场强度减半,采用的办法有A．两板的电量加倍,而距离变为原来的4倍．B．两板的电量加倍,而距离变为原来的2倍．C．两板的电量减半,而距离变为原来的4倍．D．两板的电量减半,而距离变为原来的2倍．(6)如图所示,闭合矩形线圈abcd从静止开始竖直下落,穿过一个匀强磁场区域,此磁场区域竖直方向的长度远大于矩形线圈bc边的长度．不计空气阻力,则A．从线圈dc边进入磁场到ab边穿出磁场的整个过程,线圈中始终有感生电流．B．从线圈dc边进入磁场到ab边穿出磁场的整个过程中,有一个阶段线圈的加速度等于重力加速度．C．dc边刚进入磁场时线圈内感生电流的方向,与dc边刚穿出磁场时感生电流的方向相反．D．dc边刚进入磁场时线圈内感生电流的大小,与dc边刚穿出磁场时感生电流的大小一定相等．(7)设空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场,如图所示．已知一离子在电场力和洛仑兹力的作用下,从静止开始自A点沿曲线ACB运动,到达B点时速度为零．C 点是运动的最低点．忽略重力,以下说法中正确的是:A．这离子必带正电荷．B．A点和B点位于同一高度．C．离子在C点时速度最大．D．离子到达B点后,将沿原曲线返回A点．(8)一物体放在光滑水平面上,初速为零．先对物体施加一向东的恒力F,历时1秒钟;随即把此力改为向西,大小不变,历时1分钟;接着又把此力改为向东,大小不变,历时1秒钟;如此反复,只改变力的方向,共历时1分钟．在此1分钟内．A．物体时而向东运动,时而向西运动,在1分钟末静止于初始位置之东．B．物体时而向东运动,时而向西运动,在1分钟末静止于初始位置．C．物体时而向东运动,时而向西运动,在1分钟末继续向东运动．D．物体一直向东运动,从不向西运动,在1分钟末静止于初始位置之东．三、(15分)每小题3分．把答案填写在题中横线上空白处,不要求写出演算过程．(1)如图所示电路中,R0是已知的,要使AB间的总电阻恰等于R0,则R1= ．(2)有一真空容器,在室温下容器内的气压为10-3帕．估算该容器内1厘米3气体中的分子数．估算取1位有效数字即可．答: ．1标准大气压=1×105帕．阿伏伽德罗常数N=6×1023摩-1．(3)一均匀木杆,每米重10牛,支点位于离木杆的左端点0．3米处．现将一重量为11牛的物体挂在木杆的左端点上．设在木杆的右端点施一大小为5．0牛的竖直向上的力,恰能使木杆平衡,则木杆的长度L= 米．(4)绳上有一简谐横波向右传播,当绳上某质点A向上运动到最大位移时,在其右方相距0．30米的质点B刚好向下运动到最大位移．已知波长大于0．15米,则该波的波长等于多少米? 答: ．(5)在厚度为d、折射率为n的大玻璃板的下表面,紧贴着一个半径为r的圆形发光面．为了从玻璃板的上方看不见圆形发光面,可在玻璃板的上表面贴一块纸片,所贴纸片的最小面积为．四、(12分)(1)右图是测定电流表内电阻实验的电路图．电流表的内电阻约在100欧左右,满偏电流为500微安．用电池作电源．1．(2分)实验室中配有的可变电阻为:A．电阻箱,阻值范围为0～10欧．B．电阻箱,阻值范围为0～9999欧．C．电位器,阻值范围为0～200欧．D．电位器,阻值范围为0～20千欧．在上述配有的可变电阻中,电路图中的R应选用,R＇应选用．(填写字母代号) 2．(2分)某学生进行的实验步骤如下:①先将R的阻值调到最大,合上K1,调节R的阻值,使电流表的指针偏转到满刻度．②合上K2,调节R′和R的阻值,使电流表的指针偏转到满刻度的一半．③记下R′的阻值．指出上述实验步骤中有什么错误．答: ．3．(2分)如果按正确实验步骤测得的R′值为100欧,已知电流表的满偏电流为500微安,现在要把它改装成量程为2伏特的伏特表,则应串联的分压电阻为欧．4．(3分)由以下四种说法中选出正确说法,并将正确说法前的字母填在题后方括号内．A．上述电流表内电阻的测得值比其真实值小,这一因素使得用上述改装成的伏特表测定电压时,其读数比伏特表两端的实际电压小．B．上述电流表内电阻的测得值比其真实值大,这一因素使得用上述改装成的伏特表测定电压时,其读数比伏特表两端的实际电压小．C．上述电流表内电阻的测得值比其真实值小,这一因素使得用上述改装成的伏特表测定电压时,其读数比伏特表两端的实际电压大．D．上述电流表内电阻的测得值比其真实值大,这一因素使得用上述改装成的伏特表测定电压时,其读数比伏特表两端的实际电压大．(2)(3分)有一架托盘天平,没有游码,最小砝码为100毫克．用这架天平称量一个物体,当右盘中加上36．20克砝码时,天平指针向左偏1．0小格,如图中实箭头所示．如果在右盘中再加上100毫克的砝码,天平指针则向右偏1．5小格,如图中虚箭头所示．这个物体的质量可读为克．五、(7分)用细线悬挂一质量为M的木块,木块静止,如下左图所示．现有一质量为m的子弹自左方水平地射穿此木块,穿透前后子弹的速度分别为v0和v．求木块能摆到的最大高度．(设子弹穿过木块的时间很短,可不计)六、(9分)一圆筒形气缸静置于地面上,如上右图所示．气缸筒的质量M,活塞(连同手柄)的质量为m,气缸内部的横截面积为S．大气压强为p0．平衡时气缸内的容积为V．现用手握住活塞手柄缓慢向上提．设气缸足够长,在整个上提过程中气体温度保持不变,并不计气缸内气体的重量及活塞与气缸壁间的摩擦．求将气缸刚提离地面时活塞上升的距离．七、(9分)N个长度逐个增大的金属圆筒和一个靶,它们沿轴线排列成一串,如图所示(图中只画出了六个圆筒,作为示意)．各筒和靶相间地连接到频率为υ、最大电压值为U的正弦交流电源的两端．整个装置放在高真空容器中．圆筒的两底面中心开有小孔．现有一电量为q、质量为m的正离子沿轴线射入圆筒,并将在圆筒间及圆筒与靶间的缝隙处受到电场力的作用而加速(设圆筒内部没有电场)．缝隙的宽度很小,离子穿过缝隙的时间可以不计．已知离子进入第一个圆筒左端的速度为v1,且此时第一、二两个圆筒间的电势差V1-V2=-U．为使打到靶上的离子获得最大能量,各个圆筒的长度应满足什么条件?并求出在这种情况下打到靶上的离子的能量．1988年全国普通高等学校招生统一考试物理参考答案一、全题24分,每小题2分．答错的,不答的,都给0分．(1)A．(2)D．(3)B．(4)D．(5)C．(6)B．(7)C．(8)C．(9)A．(10)D．(11)A．(12)B．二、全题24分,每小题3分．每小题,全部选对的,得3分;选对但不全的,得1分;有选错的,给0分;不答的,给0分．(1)B,C．(2)B,C．(3)A,B．(4)D．(5)C．(6)B,C．(7)A,B,C．(8)D．三、全题15分,每小题3分．答案正确的,按下列答案后面方括号内的分数给分;答错的,不答的,都给0分．(2)3×106(3分)．答案为2×106也算对,给3分．(3)1．8(3分)．(4)0．6米,0．2米(答出两个正确答案的给3分;只答出一个正确答案的给1分)．四、全题12分,每小题按下列答案后面方括号内的分数给分;答错的,不答的,都给0分．(1) 1．D(1分),B(1分)．2．合上K2后,不应再调节R的阻值(2分)．3．3900(2分)．4．A(3分)．(2)36．24(3分)．(答数不是36．24的都给0分)五、射穿过程中,水平方向动量守恒,可得mv0=MV+mv．(1)射穿后,木块在摆动过程中机械能守恒,可得n=1,2,3……N．打到靶上的离子的能量为:评分标准:本题共9分．列出(1)式给2分;列出(2)式给3分;得出(4)式再给2分;得出(5)式给2分．。

1988年全国统一高考数学试卷（文科）一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）1．（3分）（2008•海淀区一模）的值等于（）A．1B．﹣1 C．i D．﹣i2．（3分）设圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=2，直线L的方程为x+y﹣3=0，点P的坐标为（2，1），那么（）A．点P在直线LB．点P在圆M上，但不在直线L上上，但不在圆M上D．点P既不在直线L上，也不在圆M上C．点P既在圆M上，又在直线L上3．（3分）集合{1，2，3}的子集共有（）A．7个B．8个C．6个D．5个4．（3分）函数y=a x（0＜a＜1）的图象是（）A．B．C．D．5．（3分）已知椭圆方程，那么它的焦距是（）A．6B．3C．D．6．（3分）在复平面内，与复数z=﹣1﹣i的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．（3分）在的展开式中，x6的系数是（）A．﹣27C106B．27C104C．﹣9C106D．9C1048．（3分）（2014•漳州二模）函数的最小正周期是（）A．B．C．2πD．5π9．（3分）（2014•济南二模）的值等于（）A．B．C．D．10．（3分）直线x+ay=2a+2与ax+y=a+1平行（不重合）的充要条件是（ ） A ． B ． C ． a =1 D ． a =﹣ 111．（3分）（2009•湖北）函数的反函数是（ ）A ． B． C ． D ．12．（3分）如图，正四棱台中，A'D'所在的直线与BB'所在的直线是（ ）A ． 相交直线B ． 平行直线C ． 不互相垂直的异面直线D ． 互相垂直的异面直线13．（3分）函数在闭区间（ ）A ．上是增函数 B ．上是增函数 C ． [﹣π，0]上是增函数D ．上是增函数14．（3分）（2007•杭州一模）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（ ） A ． C 32C 1973种 B ． C 32C 1973+C 33C1972种C ． C 2005﹣C 1975种D ． C 2005﹣C 31C 1974种 15．（3分）已知二面角α﹣AB ﹣β的平面角是锐角θ，α内一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB 的距离为4，那么tanθ的值等于（ ） A ． B ． C ．D ．二、解答题（共6小题，满分75分） 16．（20分）（1）求复数的模和辐角的主值．（2）解方程9﹣x ﹣2•31﹣x =27． （3）已知，求的值．（4）一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm 和4cm ，将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周，求所得旋转体的体积．（5）求．17．（10分）证明：cos3α=4cos3α﹣3cosα．18．（10分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱SB垂直于底面，并且SB=，用α表示∠ASD，求sinα的值．19．（11分）在双曲线x2﹣y2=1的右支上求点P（a，b），使该点到直线y=x的距离为．20．（12分）解不等式21．（12分）一个数列{a n}：当n为奇数时，a n=5n+1；当n为偶数时，求这个数列的前2m 项的和（m是正整数）．1988年全国统一高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分） 1．（3分）（2008•海淀区一模）的值等于（ ）A ． 1B ． ﹣1C ．i D ． ﹣i考点： 复数代数形式的混合运算． 专题： 计算题．分析： 根据复数的计算方法，可得的值，进而可得=（﹣i ）2，可得答案．解答：解：根据复数的计算方法，可得==﹣i ，则=（﹣i ）2=﹣1，故选B ．点评： 本题考查复数的混合运算，解本题时，注意先计算括号内，再来计算复数平方．2．（3分）设圆M 的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2=2，直线L 的方程为x+y ﹣3=0，点P 的坐标为（2，1），那么（ ） A ． 点P 在直线L 上，但不在圆M 上 B ． 点P 在圆M上，但不在直线L 上 C ． 点P 既在圆M 上，又在直线L 上 D ． 点P 既不在直线L 上，也不在圆M 上考点： 点与圆的位置关系． 分析： 点P 代入直线方程和圆的方程验证即可． 解答： 解：点P 坐标代入直线方程和圆的方程验证，点P 的坐标为（2，1），适合L 的方程，即2+1﹣3=0；点P 的坐标为（2，1），满足圆M 的方程，即（2﹣3）2+（1﹣2）2=2．显然A 、B 、D 不正确． 选项C 正确． 故选C ．点评： 本题是基础题，考查点的坐标适合方程． 3．（3分）集合{1，2，3}的子集共有（ ） A ． 7个 B ． 8个 C ． 6个 D ． 5个考点： 子集与真子集． 分析： 集合{1，2，3}的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集． 解答： 解：集合{1，2，3}的子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}…{1，2，3}共8个． 故选B ．点评： 本题考查集合的子集个数问题，对于集合M 的子集问题一般来说，若M 中有n 个元素，则集合M 的子集共有2n 个．4．（3分）函数y=a x（0＜a＜1）的图象是（）A．B．C．D．考点：指数函数的图像与性质．专题：数形结合．分析：题目中条件：“0＜a＜1”，对指数函数的图象走向起着决定性的作用，在此条件下，指数函数是减函数．从而解决问题．解答：解：∵函数y=a x是指数函数，且∵0＜a＜1，∴它的图象过点（0，1），且在R上是减函数．故选B．点评：本题考查指数函数的图象，指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质．5．（3分）已知椭圆方程，那么它的焦距是（）A．6B．3C．D．考点：椭圆的简单性质．分析：已知椭圆方程，我们便可以直接从方程中解读出椭圆中基本参量的数值；然后通过椭圆中a、b、c之间的等量关系，即可解出c，进而得到2c，即该椭圆的焦距．解答：解：依题意得，椭圆的长轴与x轴重合，则有a2=20，b2=11，又∵在任意椭圆中有a2=b2+c2，从而c2=a2﹣b2=20﹣11=9（c＞0），解得c=3．则该椭圆的焦距即2c=2×3=6，故选择A．点评：这道题目是椭圆中的基本题目，考查了椭圆中各个参量的意义以及在方程中相应的相关表示，以及椭圆中重要的基本关系a2=b2+c2．同学们要注意掌握椭圆中的基本知识，这也是对进一步研究椭圆做了铺垫．6．（3分）在复平面内，与复数z=﹣1﹣i的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．分析：注意到共轭复数的特征是实部相等，虚部互为相反数，即可解答．解答：解：=﹣1+i，则所对应的点在第二象限，故选B．点评：本题是对基本概念的考查．7．（3分）在的展开式中，x6的系数是（）A．﹣27C106B．27C104C．﹣9C106D．9C104考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为6求出x6的系数．解答：解：展开式的通项为令10﹣r=6得r=4∴展开式中x6的系数是9C104故选项为D点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．8．（3分）（2014•漳州二模）函数的最小正周期是（）A．B．C．2πD．5π考点：三角函数的周期性及其求法．分析：根据T=可得答案．解答：解：T==5π故选D．点评：本题主要考查三角函数的最小正周期的求法．属基础题．9．（3分）（2014•济南二模）的值等于（）A．B．C．D．考点：运用诱导公式化简求值．分析：先根据诱导公式一将角度变为正值，再将角进行缩小．解答：解：∵sin（﹣）=sin（﹣+4π）=sin=sin（）=sin=故选A．点评：本题主要考查运用三角函数的诱导公式化简求值的问题．属基础题．对于三角函数的诱导公式一定要强化记忆．10．（3分）直线x+ay=2a+2与ax+y=a+1平行（不重合）的充要条件是（）A．B．C．a=1 D．a=﹣1考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．分析：直线平行（不重合）有两种情况：先判断直线有无斜率，有斜率时则斜率相等且不过相同点，无斜率时在x轴上的截距不相等．解答：解：直线x+ay=2a+2与ax+y=a+1平行（不重合），易知ax+y=a+1有斜率，斜率k=﹣a，直线x+ay=2a+2的斜率为；所以﹣a=；所以a=±1，当a=﹣1时直线x+ay=2a+2与ax+y=a+1重合，所以a=1故选C点评： 平行的充要条件有斜率和无斜率两种情况，不可漏掉无斜率情况；当然还可用系数之比来解．11．（3分）（2009•湖北）函数的反函数是（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 反函数．专题： 计算题．分析： 按照反函数的定义，直接求出函数的反函数．解答：解：可得2xy ﹣y=x ﹣2， 所以把x ，y 互换，它就是原函数的反函数 故选A ．点评： 解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x 、y 换位，2、解：解出y ，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．12．（3分）如图，正四棱台中，A'D'所在的直线与BB'所在的直线是（ ） A ． 相交直线 B ． 平行直线 C ． 不互相垂直的异面直线 D ． 互相垂直的异面直线考点： 空间中直线与直线之间的位置关系． 分析： 首先由“直线平行于平面，则该直线与平面内任一直线异面”判定A'D'与BB′异面；然后通过A'D'与BB′的夹角是等腰梯形的内角，确定A'D'与BB′不垂直．解答： 解：在正四棱台中，A'D'∥B′C′，又A'D'⊄平面BCC′B′，所以A'D'∥平面BCC′B′，又BB′⊂平面BCC′B′， 所以A'D'与BB′异面；又因为四边形BCC′B′是等腰梯形，所以BB′与B′C′不垂直，即BB′与A'D'不垂直． 故选C ．点评： 本题考查异面直线的定义及其夹角．13．（3分）函数在闭区间（ ）A ．B ．上是增函数上是增函数C．[﹣π，0]上是增函数D．上是增函数考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：先根据正弦函数的单调性求出单调区间，然后对选项进行验证即可得到答案．解答：解：令，解得∴原函数的单调增区间为（k∈Z）同理单调减区间为（k∈Z）当k=0时，为增函数故选B．点评：本题主要考查正弦函数的单调性．属基础题．14．（3分）（2007•杭州一模）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（）A．C32C1973种B．C32C1973+C33C1972种C．C2005﹣C1975种D．C2005﹣C31C1974种考点：组合及组合数公式．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，由组合数公式分别求得两种情况下的抽法数，进而相加可得答案．解答：解：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，“有2件次品”的抽取方法有C32C1973种，“有3件次品”的抽取方法有C33C1972种，则共有C32C1973+C33C1972种不同的抽取方法，故选B．点评：本题考查组合数公式的运用，解题时要注意“至少”“至多”“最少”“最少”等情况的分类讨论．15．（3分）已知二面角α﹣AB﹣β的平面角是锐角θ，α内一点C到β的距离为3，点C到棱AB的距离为4，那么tanθ的值等于（）A．B．C．D．考点：平面与平面之间的位置关系．专题：计算题；压轴题．分析：先作CE⊥AB，CD⊥β，连接ED，得到∠CED是二面角α﹣AB﹣β的平面角，在直角三角形CED中求出∠CED的正切值即可．解答：解：如图，作CE⊥AB，CD⊥β，连接ED，由条件可知，∠CED=θ，CD=3，CE=4∴ED=，tan=，故选C点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．二、解答题（共6小题，满分75分）16．（20分）（1）求复数的模和辐角的主值．（2）解方程9﹣x﹣2•31﹣x=27．（3）已知，求的值．（4）一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm和4cm，将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周，求所得旋转体的体积．（5）求．考点：复数的代数表示法及其几何意义；有理数指数幂的运算性质；极限及其运算；三角形的形状判断；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．分析：本题分别涉及到复数，指数方程，三角函数，立体几何，极限等知识体系．解答：解：（1）由题意，|﹣i|=2，又=∴arg（）=（2）设3﹣x=t，（t＞0）则原方程化为t2﹣6t﹣27=0∴t=9或t=﹣3（舍去）即3﹣x=9∴x=﹣2．（3）∵sinθ=，∴tanθ=∴∴tan=﹣3或又∴．（4）如图，由题意，旋转而形成的是以为半径的圆为底形成的同底的两个圆锥．∴．（5）原式==3．点评：本题考查到的知识点比较多，需要综合的能力解决相关问题．17．（10分）证明：cos3α=4cos3α﹣3cosα．考点：三角函数恒等式的证明．分析：把3α化为2α+α的形式，用两角和的余弦公式分解，两边约分，移项，用同角的三角函数关系整理，原式得证，本题可采用分析法来证．解答：解：要证cos3α=4cos3α﹣3cosα成立，只要证cos2αcosα﹣sin2αsinα=4cos3α﹣3cosα成立，只要证cos2α﹣2sin2α=4cos2α﹣3成立，只要证cos2α=2cos2α﹣1成立，而由余弦的二倍角公式知上式成立，故原等式得证．点评：从一边开始证明它等于另一边，一般由繁到简，这类方法的依据是相等关系的传递性“a=b，b=c，则a=c”．证明左、右两边等于同一个式子．这类方法的依据是“等于同量的两个量相等”，即“a=c，b=c，则a=b”，它可由相等关系的传递性及对称性“a=b则b=a”推出．也可用分析法来证．18．（10分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱SB垂直于底面，并且SB=，用α表示∠ASD，求sinα的值．考点：三垂线定理．专题：作图题；证明题．分析：利用三垂线定理说明DA⊥SA，求出SD，解三角形SAD，即可得到sinα的值．解答：解：因为SB垂直于底面ABCD，所以斜线段SA在底面上的射影为AB，由于DA⊥AB 所以DA⊥SA从而连接BD，易知BD=由于SB⊥BD，所以因此，点评：本题考查三垂线定理，考查学生分析问题解决问题的能力，是基础题．19．（11分）在双曲线x2﹣y2=1的右支上求点P（a，b），使该点到直线y=x的距离为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：由题意，点P（a，b）是方程组的解，并且a＞0．求出这个方程组的解即得到点P．解答：解：由题意，点P（a，b）是下述方程组的解：，并且a＞0．由（1）式得a2=1+b2，因为a＞0，所以，从而a＞b，于是由（2）式得a﹣b=2（3）把（3）式代入得（b+2）2﹣b2=1，解得∴所求的点P的坐标为点评：合理运用双曲线的性质，能够准确求解．20．（12分）解不等式考点：对数函数的单调性与特殊点；其他不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：等式可以转化为根据指数函数的单调性进一步可转化为但为了保证式子有意义，对数式的真数部分必须大于0，即故原不等式可转化为不等式组．解答：解：原不等式等价于当x＞0时，上述不等式组变成解得：当x＜0时，上述不等式组变成解得所以原不等式解集为点评：对数不等式，其解法是将不等号两边化为同底的指数式，然后根据相应的指数函数的性质解答，但在解答过程中要注意，要始终保证真数部分的式子大于0，即让真数式有意义．21．（12分）一个数列{a n}：当n为奇数时，a n=5n+1；当n为偶数时，求这个数列的前2m项的和（m是正整数）．考点：数列的求和．专题：压轴题．分析：由题意分析得出这个数列的奇数项是等差数列，偶数项是等比数列，再利用分组求和法求出S2m解答：解：因为a2k+1﹣a2k=[5（2k+1）+1]﹣[5（2k﹣1）+1]=10，﹣1是公差为10的等差数列所以a1，a3，a5，a2m﹣1因为，所以a2，a4，a6，a2m是公比为2的等比数列从而数列{a n}的前2m项和为：S2m=（a1+a3+a5+…+a2m﹣1）+（a2+a4+a6+…+a2m）=+=5m2+m+2m+1﹣2．点评：本题考查了分段数列及分组求和的相关知识点，属于典型题型，常规方法的考查．。

1988年普通高等学校招生考试（全国卷）理科数学1. (1−ⅈ1+ⅈ)2的值等于(A)1(B)−1(C)ⅈ(D)−ⅈ2. 设圆M 的方程为(x −3)2+(y −2)2=2, 直线L 的方程为x +y −3=0，点P 的坐标为(2,1)，那么(A) 点P 在直线L 上, 但不在圆M 上(B) 点P 在圆 M 上, 但不在直线L 上(C) 点P 既在圆 M 上, 又在直线L 上(D) 点P 既不在直线L 上, 也不在圆M 上3. 集合{1,2,3} 的子集共有(A) 7 个(B) 8 个(C) 6 个(D) 5 个4.函数的图象是5. 已知椭圆方程x 220+y 211=1, 那么它的焦距是(A)6(B)3(C)2√31(D)√316.在复平面内，与复数z =−1−ⅈ的共轭复数对应的点位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限7.在(x −√3)10的展开式中，x 6的系数是(A)−27C 106(B)27C104(C)−9C106(D)9C1048.函数y=3cos⁡(25x−π6)的最小正周期是(A)25π(B)52π(C)2π(D)5π9.⁡sin(−19π6)的值等于(A)⁡12(B)⁡−12(C)⁡√32(D)⁡−√3210.直线x+ay=2a+2与ax+y=a+1平行（不重合）的充要条件是(A)⁡a=12(B)⁡a=−12(C)⁡a=1(D)⁡a=−111.函数y=x−22x−1(x∈R,x≠12)的反函数是(A)y=x−22x−1(x∈R,x≠12)(B)y=2x−1x−2(x∈R,x≠2)(C)⁡y=x+22x−1(x∈R,x≠12)(D)⁡y=2x−1x+2(x∈R,x≠2)12. 如图, 正四棱台中,A′D′所在的直线与BB′所在的直线是(A) 相交直线(B) 平行直线(C) 不互相垂直的异面直线(D) 互相垂直的异面直线13.函数y =sⅈn (x +π4)在闭区间(A)[−π2,π2]上是增函数(B) [−34π,π4]上是增函数(C) [−π,0]上是增函数(D) [−π4,3π4]上是增函数14. 假设在 200 件产品中有 3 件次品, 现在从中任意抽取 5 件, 其中至少有 2 件次品的抽法有(A)C 32C 1973(B)C 32C 1973+C 33C 1972(C)C 2005−C 1975(D) C 2005−C 31C 197415. 已知二面角α−AB −β平面角是锐角θ, α 内一点C 到β的距离为3，点C 到棱AB 的距离为4，那么tan θ的值等于(A)⁡34 (B)⁡35 (C)37√7(D) 13√716. 求复数√3−ⅈ的模和辐角的主值.17. 解方程:9−x −2⋅31−x =27.18. 已知sⅈn θ=−35,3π<θ<7π2, 求tan θ2 的值19.一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm和4cm,将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周，求所得旋转体的体积20.求lⅈmn→∞3n2+2n n2+3n−121.证明：cos3α=4cos3α−3cosα22.如图, 四棱锥S−ABCD的底面是边长为1 的正方形, 侧棱SB垂直于底面，并且SB=√3，用α表示∠ASD，求sⅈnα的值23.在双曲线x2−y2=1的右支上求点P(a,b)，使该点到直线y=x的距离为√224.解不等式：lg(x−1x)<025.一个数列{a n}:当n为奇数时，a n=5n+1，当n为偶数时，a n=2n2，求这个数列的前2m项的和（m是正整数）。