中考数学复习指导：动点路径长问题的解法研究

求线段长度问题的一般方法求线段长度问题是初中几何中常见的题型之一，笔者就此类问题作了一些思考与归纳，供大家参考.一、将求线段长的问题转化到直角三角形中求解例1如图1，在Rt ABC ，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，6AC =，8BC =，求CD 的长.简解 由勾股定理，得10AB =再由三角形的面积公式，得11681022ABCSCD =⨯⨯=⨯⨯ 于是得 4.8CD =.例2 如图2，在ABC 中，30A ∠=︒，1tan 3B =，BC =AB 的长. 简析 作CD AB ⊥于点D ，这样就构造了两个Rt .在Rt BCD 中，1tan 3CD B DB ==，3DB CD ∴=由勾股定理，得1CD =，3BD =. 在Rt ACD 中，AD =3AB =.例3 如图3，在平面直角坐标系中，⊙A 与y 轴相切于原点O ，平行于x 轴的直线交⊙A 于两点M ，N .若点M 的坐标是(4,2)--，求点N 的坐标.简析 如图3，作AE MN ⊥于点E ,连AM ，AN ，则构造了两个直角三角形Rt AME ，Rt ANE .不妨设AO AM R ==，易得2222(4)R R =+-2.5R ∴=，4 2.5 1.5EN Em ==-= 2.5 1.51NF ∴=-=从而点N 的坐标为(1,2)--.例 4 如图4，点E 、O 、C 在半径为5的⊙A 上，BE 是⊙A 上的一条弦，4cos 5OBE ∠=，30OEB ∠=︒，求BC 的长 简析 连EC ，由条件可知，图中有四个直角三角形，分别是OEC ，OEF ，EBC ，FBC .∵90COE ∠=︒，∴EC 为⊙A 的直径， ∴90CBE ∠=︒, 又OCE OBE ∠=∠,∴4cos cos 5OCE OBE ∠=∠=,在Rt OEC 中，易知8OC =，6OE =, 在Rt OEF 中，30OEB ∠=︒，6OE =,得OF =8FC OC OF ∴=-=-,又30OEB OCB ∠=∠=︒,故在Rt FBC 中，由边角关系，得3BC =.说明 上述几例是将此线段置于某直角三角形之中，然后利用直角三角形的相关知识加以求解.值得注意的是，构造的直角三角形要与题目中的已知条件相互关联，才能使问题化繁为简，迅速求解.二、将求线段长的问题转化到相似三角形中求解例5 如图5，梯形ABCD 中，//AB CD ，且2AB CD =，E 、F 分别是的AB ，BC 的中点，EF 与BD 相交于点M . (1)求证: EDM FBM ; (2)若9BD =，求BM 的长.简解 (1)由题意，易得四边形BCDE 是平行四边形.于是，有 //BC DE ，∴EDM FBM(2)由EDMFBM ，得BM FBDM DE=1122BF BC DE ∴== 192BM BM ∴=- 3BM ∴=.例6 如图6，矩形ABCD 中，5AD =，7AB =，点E 为DC 上一个动点，把ADE 沿AE 折叠，当点D 的对应点'D 落在ABC ∠的平分线上时，求DE 的长.解 过点'D 作'D M AB ⊥于点M ，并反向延长交DC 于N .由题意，得'45MBD ∠=︒，设'D M BM x == 7AM x ∴=-在'Rt AD M 中，有22(7)25x x +-=, 解得13x =，24x =.'52D N x ∴=-=，或1. 易知''ED N D AM '254ED ∴=，或'153ED =.5'2ED ED ∴==，或53.例7 如图7，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，点D在AB 上，DE BE ⊥于点E ，6AD =，AE =(1)判断直线AC 与DBE 的外接圆的位置关系，并说明理由; (2)求BC 的长.简解 (1)由90,DEB DB ∠=︒为DBE ∆外接圆的直径.设DBE ∆外接圆的圆心为O ，连OE ，易知12OE BD =. ,12OE OB =∴∠=∠.又13,23,//OE BC ∠=∠∴∠=∠∴.,BC AC OE AC ⊥∴⊥,故直线AC 与DBE ∆的外接圆相切. (2)易知453590,∠+∠=∠+∠=︒43∴∠=∠,又因13,41∠=∠∴∠=∠.,A A AED ABE ∠=∠∴∆∆,2AE AD AB ∴=⋅.由6,62AD AE ==，得12AB =, 进而得6,03BD E ==. 由//OE BC ，有AEOACB ∆∆,39,,412EO AO BC BC AB BC ∴=∴=∴=. 说明 上述几例是将该线段作为某三角形的一边，然后想方设法找一个三角形使之与该线段所在的三角形相似，借用“相似三角形对应边成比例”得到简易方程，进而求解. 三、利用条件， 构造方程(组)求线段长 例8 (1)如图8，周长为68的矩形ABCD 被分成7个全等的矩形，求矩形ABCD 的面积.解 设矩形的宽与长分别为,x y则有25334y x x y =⎧⎨+=⎩，解之得410x y =⎧⎨=⎩.故7280ABCD S xy ==矩形.例9 如图9, ⊙O 是ABC ∆的内切圆，与三边,,AB BC CA 分别相切于点,,D E F ，若5,6,7AB BC AC ===，求,,AD BE CF 的长.解 由切线长定理，可设,AD AF x BD BE y ====，CE CF z ==.由题意得567x y y z x z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解之得324x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩.故3,2,4AD BE CF ===.例10 如图10，李明同学在东西走向的滨海大道A 处，测得江中灯塔P 在北偏东60°方向上;他向东走了400米至B 处，测的灯塔P 在北偏东30°方向上.求灯塔P 到滨海路的距离.解 作PD AB ⊥于点D .设,,,,,PAD PBD PD x BD y AD z αβ∠=∠====AB =a .在Rt PAD ∆与Rt PBD ∆中，有,tan tan x x z y αβ==, 于是tan tan x xz y a αβ-=-=, tan tan tan tan x a αββα⋅∴=⋅-.这里30,60,400a αβ=︒=︒=， 代入得2003x = 例11 如图11，在Rt ABO ∆中，90,3,4,AOB OB OA C ∠=︒==是OA 上一点，且1AC =，点P 在BC 上，⊙P 与,AO AB 都相切.求⊙P 的半径.简析 设⊙P 的半径为r ，⊙P 分别与,AO AB 相切于,M N ，连结,PM PN .由条件易知PN PM CM r ===，32,2,1BC PC r AN AM r ====+，5(1)4BN r r =-+=-，322BP r =.在Rt PBN ∆中，有222(4)(322)r r r +-=，解得12r =.说明上述几例是根据题中条件，通过设未知量构造方程(组)加以求解的.通过设未知量构造方程(组)求解，常常会使复杂问题简单化，其思路清晰，易于学生接受.。

动点路径长的解题策略智慧锦囊初中数学中动点轨迹的问题，一般有两种情况：线段或圆弧．在研究此问题时，可以分三步：(1).利用函数描点法大胆猜想:即对目标点描出它的起点、中点、末点时的位置，连接起来，猜想它是什么形状；（2）寻找不变量，严格证实猜想：在运动中寻找不变的量，即不变的数量关系或位置关系．如果动点的轨迹是一条线段，那么其中不变的量便是该动点到某条直线的距离始终保持不变；如果动点的轨迹是一段圆弧，则该动点到某个定点的距离始终保持不变．因此，解决此类动点轨迹问题便可转化为寻找定直线或定点.（3）利用特殊值算出动点路径长动点轨迹往往是直线或者圆的一部分。

①线段。

当动点到某条直线或线段的距离相等时，动点的轨迹很可能是条线段；②当动点是一个固定角的顶点时，轨迹很可能是条弧。

③当动点到某定点的长度一定时，轨迹是一条圆弧.范例点睛例1（2012张家界）如图1，已知线段AB=6，C、D是AB上两点，且AC=DB=1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动路径长度为_______．例2（2011湖州）如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB延长线于点D．设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交予点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H(如图7)．当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动，请直接写出点H所经过的路径长．本王闯关1.∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（）A．直线的一部分B．圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分2.（2013?湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为23的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P 在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是．3. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E是BC边的中点，动点P、Q在正方形的边上运动,且PQ=4.若点P从点A出发,沿ABE的路线向点E运动,相应的,点Q在DA、AB上运动。

第七篇专题复习篇专题36动点综合问题知识点名师点晴动点问题中的特殊图形等腰三角形与直角三角形利用等腰三角形或直角三角形的特殊性质求解动点问题相似问题利用相似三角形的对应边成比例、对应角相等求解动点问题动点问题中的计算问题动点问题的最值与定值问题理解最值或定值问题的求法动点问题的面积问题结合面积的计算方法来解决动点问题动点问题的函数图象问题一次函数或二次函数的图象结合函数的图象解决动点问题归纳1：动点中的特殊图形基础知识归纳：等腰三角形的两腰相等,直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方,平行四边形的对边平行且相等,矩形的对角线相等,菱形的对角线互相垂直基本方法归纳：动点问题常与等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形等特殊图形相结合,解决此类问题要灵活运用这些图形的特殊性质注意问题归纳：注意区分等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形的性质．【例1】（2019吉林省,第25题,10分）如图,在矩形ABCD中,AD=4cm,AB=3cm,E为边BC上一点,BE=AB,连接AE．动点P、Q从点A同时出发,点P以2cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点Q运动的时间为x（s）,在运动过程中,点P,点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y（cm2）．（1）AE= cm,∠EAD= °；（2）求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围；（3）当PQ54cm时,直接写出x的值．归纳2：动点问题中的计算问题基础知识归纳：动点问题的计算常常涉及到线段和的最小值、三角形周长的最小值、面积的最大值、线段或面积的定值等问题．基本方法归纳：线段和的最小值通常利用轴对称的性质来解答,面积采用割补法或面积公式,通常与二次函数、相似等内容．注意问题归纳：在计算动点问题的过程中,要注意与相似、锐角三角函数、对称、二次函数等内容的结合．【例2】（2019内蒙古包头市,第26题,12分）如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1,0）,B（3,0）两点,与y轴交于点C,连接BC．（1）求该抛物线的解析式,并写出它的对称轴；（2）点D为抛物线对称轴上一点,连接CD、BD,若∠DCB=∠CBD,求点D的坐标；（3）已知F（1,1）,若E（x,y）是抛物线上一个动点（其中1＜x＜2）,连接CE、CF、EF,求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标．（4）若点N为抛物线对称轴上一点,抛物线上是否存在点M,使得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在,请说明理由．归纳3：动点问题的图象基础知识归纳：动点问题经常与一次函数、反比例函数和二次函数的图象相结合．基本方法归纳：一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线,二次函数的图象是抛物线．注意问题归纳：动点函数的图象问题可以借助于相似、特殊图形的性质求出函数的图象解析式,同时也可以观察图象的变化趋势．【例3】（2019四川省达州市,第9题,3分）如图,边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置,AB 与EF在一条直线上,点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动,当点F与B 重合时停止．在这个运动过程中,正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（）A．B．C．D．【2019年题组】一、选择题1．（2019内蒙古包头市,第12题,3分）如图,在平面直角坐标系中,已知A（﹣3,﹣2）,B（0,﹣2）,C（﹣3,0）,M 是线段AB上的一个动点,连接CM,过点M作MN⊥MC交y轴于点N,若点M、N在直线y=kx+b上,则b的最大值是（）A．78-B．34-C．﹣1D．02．（2019四川省广元市,第8题,3分）如图,点P是菱形ABCD边上的动点,它从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D,设△P AD的面积为y,P点的运动时间为x,则y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．3．（2019四川省达州市,第10题,3分）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,已知B（3）,点A在x轴上,点C在y轴上,P是对角线OB上一动点（不与原点重合）,连接PC,过点P作PD⊥PC,交x轴于点D．下列结论：①OA=BC=23；②当点D运动到OA的中点处时,PC2+PD2=7；③在运动过程中,∠CDP是一个定值；④当△ODP为等腰三角形时,点D的坐标为（233,0）．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2019山东省泰安市,第12题,4分）如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E为AB的中点,F为EC上一动点,P 为DF中点,连接PB,则PB的最小值是（）A．2B．4C．2D．225．（2019山东省潍坊市,第9题,3分）如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D．设运动的路程为x,△ADP的面积为y,那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．6．（2019聊城,第12题,3分）如图,在Rt△ABO中,∠OBA=90°,A（4,4）,点C在边AB上,且13ACCB,点D为OB的中点,点P为边OA上的动点,当点P在OA上移动时,使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（）A．（2,2）B．（52,52）C．（83,83）D．（3,3）7．（2019山东省菏泽市,第8题,3分）如图,正方形ABCD的边长为2cm,动点P,Q同时从点A出发,在正方形的边上,分别按A→D→C,A→B→C的方向,都以1cm/s的速度运动,到达点C运动终止,连接PQ,设运动时间为xs,△APQ的面积为ycm2,则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．8．（2019广西,第12题,3分）如图,AB为⊙O的直径,BC、CD是⊙O的切线,切点分别为点B、D,点E为线段OB上的一个动点,连接OD,CE,DE,已知AB=25,BC=2,当CE+DE的值最小时,则CEDE的值为（）A．910B．23C．5D．259．（2019江苏省镇江市,第17题,3分）如图,菱形ABCD的顶点B、C在x轴上（B在C的左侧）,顶点A、D在x轴上方,对角线BD的长是2103,点E（﹣2,0）为BC的中点,点P在菱形ABCD的边上运动．当点F（0,6）到EP所在直线的距离取得最大值时,点P恰好落在AB的中点处,则菱形ABCD的边长等于（）A．103B10C．163D．3二、填空题10．（2019内蒙古包头市,第20题,3分）如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BC=3,D为斜边AC的中点,连接BD,点F是BC边上的动点（不与点B、C重合）,过点B作BE⊥BD交DF延长线交于点E,连接CE,下列结论：①若BF=CF,则CE2+AD2=DE2；②若∠BDE=∠BAC,AB=4,则CE158 ；③△ABD和△CBE一定相似；④若∠A=30°,∠BCE=90°,则DE21=．其中正确的是．（填写所有正确结论的序号）11．（2019内蒙古通辽市,第17题,3分）如图,在边长为3的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边上的一点,且AM13=AD,N是AB边上的一动点,将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN,连接A'C．则A'C长度的最小值是．12．（2019内蒙古鄂尔多斯市,第16题,3分）如图,在圆心角为90°的扇形OAB中,OB=2,P为¶AB上任意一点,过点P作PE⊥OB于点E,设M为△OPE的内心,当点P从点A运动到点B时,则内心M所经过的路径长为．13．（2019四川省乐山市,第15题,3分）如图,点P是双曲线C：y4x=（x＞0）上的一点,过点P作x轴的垂线交直线AB：y12=x﹣2于点Q,连结OP,OQ．当点P在曲线C上运动,且点P在Q的上方时,△POQ面积的最大值是．14．（2019四川省乐山市,第16题,3分）如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=30°,直线l⊥AB．当直线l 沿射线BC方向,从点B开始向右平移时,直线l与四边形ABCD的边分别相交于点E、F．设直线l向右平移的距离为x,线段EF的长为y,且y与x的函数关系如图2所示,则四边形ABCD的周长是．15．（2019四川省凉山州,第24题,5分）如图,正方形ABCD中,AB=12,AE14=AB,点P在BC上运动（不与B、C重合）,过点P作PQ⊥EP,交CD于点Q,则CQ的最大值为．16．（2019山东省东营市,第16题,4分）如图,AC是⊙O的弦,AC=5,点B是⊙O上的一个动点,且∠ABC=45°,若点M、N分别是AC、BC的中点,则MN的最大值是．17．（2019山东省威海市,第18题,3分）如图,在平面直角坐标系中,点A,B在反比例函数ykx=（k≠0）的图象上运动,且始终保持线段AB2的长度不变．M为线段AB的中点,连接OM．则线段OM长度的最小值是（用含k的代数式表示）．18．（2019山东省潍坊市,第17题,3分）如图,直线y=x+1与抛物线y=x2﹣4x+5交于A,B两点,点P是y轴上的一个动点,当△P AB的周长最小时,S△P AB= ．19．（2019聊城,第17题,3分）数轴上O,A两点的距离为4,一动点P从点A出发,按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处,第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处,第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处,按照这样的规律继续跳动到点A4,A5,A6,…,A n．（n≥3,n是整数）处,那么线段A n A的长度为（n≥3,n 是整数）．,AD=3,点P是AD边上的一个动点,连20．（2019广西桂林市,第18题,3分）如图,在矩形ABCD中,AB3接BP,作点A关于直线BP的对称点A1,连接A1C,设A1C的中点为Q,当点P从点A出发,沿边AD运动到点D 时停止运动,点Q的运动路径长为．21．（2019江苏省宿迁市,第17题,3分）如图,∠MAN=60°,若△ABC的顶点B在射线AM上,且AB=2,点C 在射线AN上运动,当△ABC是锐角三角形时,BC的取值范围是．22．（2019江苏省连云港市,第16题,3分）如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,以点C为圆心作⊙C与直线BD相切,点P是⊙C上一个动点,连接AP交BD于点T,则APAT的最大值是．三、解答题23．（2019北京,第24题,6分）如图,P是¶AB与弦AB所围成的图形的外部的一定点,C是¶AB上一动点,连接PC交弦AB于点D．小腾根据学习函数的经验,对线段PC,PD,AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程,请补充完整：（1）对于点C在¶AB上的不同位置,画图、测量,得到了线段PC,PD,AD的长度的几组值,如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8 PC/cm 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83PD/cm 3.44 2.69 2.00 1.360.96 1.13 2.00 2.83AD/cm0.000.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00在PC,PD,AD的长度这三个量中,确定的长度是自变量, 的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中,画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象,解决问题：当PC=2PD时,AD的长度约为cm．24．（2019北京,第26题,6分）在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx1a-与y轴交于点A,将点A向右平移2个单位长度,得到点B,点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P（12,1a-）,Q（2,2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围．25．（2019北京,第27题,7分）已知∠AOB=30°,H为射线OA上一定点,OH3=+1,P为射线OB上一点,M 为线段OH上一动点,连接PM,满足∠OMP为钝角,以点P为中心,将线段PM顺时针旋转150°,得到线段PN,连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP=∠OPN；（3）点M关于点H的对称点为Q,连接QP．写出一个OP的值,使得对于任意的点M总有ON=QP,并证明．26．（2019内蒙古包头市,第25题,12分）如图,在正方形ABCD中,AB=6,M是对角线BD上的一个动点（0＜DM12＜BD）,连接AM,过点M作MN⊥AM交BC于点N．（1）如图①,求证：MA=MN；（2）如图②,连接AN,O为AN的中点,MO的延长线交边AB于点P,当1318AMNBCDSSVV时,求AN和PM的长；（3）如图③,过点N作NH⊥BD于H,当AM=25时,求△HMN的面积．27．（2019内蒙古鄂尔多斯市,第24题,12分）如图,抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（﹣3,0）,B（1,0）两点,与y轴交于点C,直线y=﹣x与该抛物线交于E,F两点．（1）求抛物线的解析式．（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点,作PH⊥EF于点H,求PH的最大值．（3）以点C为圆心,1为半径作圆,⊙C上是否存在点M,使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形？若存在,直接写出M点坐标；若不存在,说明理由．28．（2019吉林省长春市,第23题,10分）如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=20,BC=15．点P从点A出发,沿AC向终点C运动,同时点Q从点C出发,沿射线CB运动,它们的速度均为每秒5个单位长度,点P到达终点时,P、Q同时停止运动．当点P不与点A、C重合时,过点P作PN⊥AB于点N,连结PQ,以PN、PQ为邻边作▱PQMN．设▱PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S,点P的运动时间为t秒．（1）①AB的长为；②PN的长用含t的代数式表示为．（2）当▱PQMN为矩形时,求t的值；（3）当▱PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时,求S与t之间的函数关系式；（4）当过点P且平行于BC的直线经过▱PQMN一边中点时,直接写出t的值．29．（2019四川省乐山市,第26题,13分）如图,已知抛物线y=a（x+2）（x﹣6）与x轴相交于A、B两点,与y轴交于C点,且tan∠CAB32．设抛物线的顶点为M,对称轴交x轴于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线的对称轴上一点,Q（n,0）为x轴上一点,且PQ⊥PC．①当点P在线段MN（含端点）上运动时,求n的变化范围；②当n取最大值时,求点P到线段CQ的距离；③当n取最大值时,将线段CQ向上平移t个单位长度,使得线段CQ与抛物线有两个交点,求t的取值范围．30．（2019四川省内江市,第28题,12分）两条抛物线C1：y1=3x2﹣6x﹣1与C2：y2=x2﹣mx+n的顶点相同．（1）求抛物线C2的解析式；（2）点A是抛物线C2在第四象限内图象上的一动点,过点A作AP⊥x轴,P为垂足,求AP+OP的最大值；（3）设抛物线C2的顶点为点C,点B的坐标为（﹣1,﹣4）,问在C2的对称轴上是否存在点Q,使线段QB绕点Q顺时针旋转90°得到线段QB',且点B'恰好落在抛物线C2上？若存在,求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由．31．（2019四川省南充市,第24题,10分）如图,在正方形ABCD中,点E是AB边上一点,以DE为边作正方形DEFG,DF与BC交于点M,延长EM交GF于点H,EF与CB交于点N,连接CG．（1）求证：C D⊥CG；（2）若tan∠MEN13,求MNEM的值；（3）已知正方形ABCD的边长为1,点E在运动过程中,EM的长能否为12？请说明理由．32．（2019四川省南充市,第25题,10分）如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1,0）,点B（﹣3,0）,且OB=OC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上,且∠POB=∠ACB,求点P的坐标；（3）抛物线上两点M,N,点M的横坐标为m,点N的横坐标为m+4．点D是抛物线上M,N之间的动点,过点D作y轴的平行线交MN于点E．①求DE的最大值；②点D关于点E的对称点为F,当m为何值时,四边形MDNF为矩形．【2018年题组】一、选择题1．（2018新疆,第9题,5分）如图,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点,点M,N分别是AB,BC 边上的中点,则MP+PN的最小值是（）A．12B．1C．2D．22．（2018新疆乌鲁木齐市,第10题,4分）如图①,在矩形ABCD中,E是AD上一点,点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止；点Q从点B沿BC运动到点C时停止,速度均为每秒1个单位长度．如果点P、Q同时开始运动,设运动时间为t,△BPQ的面积为y,已知y与t的函数图象如图②所示,以下结论：①BC=10；②cos∠ABE=35；③当0≤t≤10时,y=25t2；④当t=12时,△BPQ是等腰三角形；⑤当14≤t≤20时,y=110﹣5t．其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个3．（2018江苏省无锡市,第9题,3分）如图,已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点,正方形EFGH 的顶点G、H都在边AD上,若AB=3,BC=4,则tan∠AFE的值（）A．等于37B．等于3C．等于34D．随点E位置的变化而变化4．（2018江苏省无锡市,第10题,3分）如图是一个沿3×3正方形方格纸的对角线AB剪下的图形,一质点P由A点出发,沿格点线每次向右或向上运动1个单位长度,则点P由A点运动到B点的不同路径共有（）A．4条B．5条C．6条D．7条5．（2018江苏省泰州市,第6题,3分）如图,平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为（9,6）,AB⊥y轴,垂足为B,点P从原点O出发向x轴正方向运动,同时,点Q从点A出发向点B运动,当点Q到达点B时,点P、Q同时停止运动,若点P与点Q的速度之比为1：2,则下列说法正确的是（）A．线段PQ始终经过点（2,3）B．线段PQ始终经过点（3,2）C．线段PQ始终经过点（2,2）D．线段PQ不可能始终经过某一定点6．（2018河南省,第10题,3分）如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B,图2是点F运动时,△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象,则a的值为（）A ．5B ．2C ．52D ．25 7．（2018浙江省宁波市,第10题,4分）如图,平行于x 轴的直线与函数y =1k x （k 1＞0,x ＞0）,y =2kx（k 2＞0,x ＞0）的图象分别相交于A ,B 两点,点A 在点B 的右侧,C 为x 轴上的一个动点,若△ABC 的面积为4,则k 1﹣k 2的值为（ ）A ．8B ．﹣8C ．4D ．﹣48．（2018湖北省孝感市,第9题,3分）如图,在△ABC 中,∠B =90°,AB =3cm ,BC =6cm ,动点P 从点A 开始沿AB 向点B 以1cm /s 的速度移动,动点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以2cm /s 的速度移动,若P ,Q 两点分别从A ,B 两点同时出发,P 点到达B 点运动停止,则△PBQ 的面积S 随出发时间t 的函数关系图象大致是（ ）A ．B ．C ．D．9．（2018湖北省荆州市,第10题,3分）如图,平面直角坐标系中,⊙P经过三点A（8,0）,O（0,0）,B（0,6）,点D是⊙P上的一动点．当点D到弦OB的距离最大时,tan∠BOD的值是（）A．2B．3C．4D．510．（2018辽宁省本溪市,第10题,3分）如图1,在矩形ABCD中,点E在CD上,∠AEB=90°,点P从点A出发,沿A→E→B的路径匀速运动到点B停止,作PQ⊥CD于点Q,设点P运动的路程为x,PQ长为y,若y与x 之间的函数关系图象如图2所示,当x=6时,PQ的值是（）A．2B．95C．65D．1二、填空题11．（2018新疆乌鲁木齐市,第15题,4分）如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=23,AC=2,点D是BC的中点,点E是边AB上一动点,沿DE所在直线把△BDE翻折到△B'DE的位置,B'D交AB于点F．若△AB'F为直角三角形,则AE的长为．12．（2018江苏省泰州市,第16题,3分）如图,△ABC中,∠ACB=90°,sinA=513,AC=12,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C,P为线段A'B'上的动点,以点P为圆心,P A'长为半径作⊙P,当⊙P与△ABC的边相切时,⊙P的半径为．13．（2018江苏省苏州市,第18题,3分）如图,已知AB=8,P为线段AB上的一个动点,分别以AP,PB为边在AB 的同侧作菱形APCD和菱形PBFE,点P,C,E在一条直线上,∠DAP=60°．M,N分别是对角线AC,BE的中点．当点P在线段AB上移动时,点M,N之间的距离最短为（结果留根号）．14．（2018江西省,第12题,3分）在正方形ABCD中,AB=6,连接AC,BD,P是正方形边上或对角线上一点,若PD=2AP,则AP的长为．三、解答题15．（2018广西贺州市,第26题,12分）如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点（A 在B的左侧）,且OA=3,OB=1,与y轴交于C（0,3）,抛物线的顶点坐标为D（﹣1,4）．（1）求A、B两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）过点D作直线DE∥y轴,交x轴于点E,点P是抛物线上B、D两点间的一个动点（点P不与B、D两点重合）,P A、PB与直线DE分别交于点F、G,当点P运动时,EF+EG是否为定值？若是,试求出该定值；若不是,请说明理由．16．（2018江苏省南通市,第27题,13分）如图,正方形ABCD中,AB=25,O是BC边的中点,点E是正方形内一动点,OE=2,连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF,连接AE,CF．（1）求证：A E=CF；（2）若A,E,O三点共线,连接OF,求线段OF的长．（3）求线段OF长的最小值．17．（2018江苏省扬州市,第25题,10分）如图,在△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于点O,OE⊥AB于点E,以点O为圆心,OE为半径作半圆,交AO于点F．（1）求证：A C是⊙O的切线；（2）若点F是OA的中点,OE=3,求图中阴影部分的面积；（3）在（2）的条件下,点P是BC边上的动点,当PE+PF取最小值时,直接写出BP的长．18．（2018江苏省扬州市,第28题,12分）如图1,四边形OABC是矩形,点A的坐标为（3,0）,点C的坐标为（0,6）,点P从点O出发,沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发,同时点Q从点A出发,沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动,当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．（1）当t=2时,线段PQ的中点坐标为；（2）当△CBQ与△P AQ相似时,求t的值；（3）当t=1时,抛物线y=x2+bx+c经过P,Q两点,与y轴交于点M,抛物线的顶点为K,如图2所示,问该抛物线上是否存在点D,使∠MQD=12∠MKQ？若存在,求出所有满足条件的D的坐标；若不存在,说明理由．19．（2018江苏省淮安市,第27题,12分）如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=﹣23x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动点P从点A出发,在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动,到达点O停止运动,点A关于点P的对称点为点Q,以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒．（1）当t=13秒时,点Q的坐标是；（2）在运动过程中,设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S,求S与t的函数表达式；（3）若正方形PQMN对角线的交点为T,请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值．20．（2018江苏省盐城市,第26题,12分）【发现】如图①,已知等边△ABC,将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上（点D不与点B、C重合）,使两边分别交线段AB、AC于点E、F．（1）若AB=6,AE=4,BD=2,则CF=；（2）求证：△EBD∽△DCF．【思考】（3）若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动,保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在,连接EF,如图②所示,问：点D是否存在某一位置,使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在,求出BDBC的值；若不存在,请说明理由．【探索】（4）如图③,在等腰△ABC中,AB=AC,点O为BC边的中点,将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON=∠B）,使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合）,连接EF．设∠B=α,则△AEF与△ABC的周长之比为（用含α的表达式表示）．21．（2018江苏省盐城市,第27题,14分）如图①,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1,0）、B（3,0）两点,且与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②,用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴,并沿x轴左右平移,直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧）,连接PQ,在线段PQ上方抛物线上有一动点D,连接DP、DQ．（Ⅰ）若点P的横坐标为﹣12,求△DPQ面积的最大值,并求此时点D的坐标；（Ⅱ）直尺在平移过程中,△DPQ面积是否有最大值？若有,求出面积的最大值；若没有,请说明理由．22．（2018江苏省苏州市,第28题,10分）如图①,直线l表示一条东西走向的笔直公路,四边形ABCD是一块边长为100米的正方形草地,点A,D在直线l上,小明从点A出发,沿公路l向西走了若干米后到达点E处,然后转身沿射线EB方向走到点F处,接着又改变方向沿射线FC方向走到公路l上的点G处,最后沿公路l回到点A处．设AE=x米（其中x＞0）,GA=y米,已知y与x之间的函数关系如图②所示．（1）求图②中线段MN所在直线的函数表达式；（2）试问小明从起点A出发直至最后回到点A处,所走过的路径（即△EFG）是否可以是一个等腰三角形？如果可以,求出相应x的值；如果不可以,说明理由．23．（2018江苏省连云港市,第27题,14分）在数学兴趣小组活动中,小亮进行数学探究活动．△ABC是边长为2的等边三角形,E是AC上一点,小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF,连接CF．（1）如图1,当点E在线段AC上时,EF、BC相交于点D,小亮发现有两个三角形全等,请你找出来,并证明．（2）当点E在线段AC上运动时,点F也随着运动,若四边形ABFC的面积为734,求AE的长．（3）如图2,当点E在AC的延长线上运动时,CF、BE相交于点D,请你探求△ECD的面积S1与△DBF的面积S2之间的数量关系．并说明理由．（4）如图2,当△ECD的面积S1=36时,求AE的长．24．（2018江西省,第22题,9分）在菱形ABCD中,∠ABC=60°,点P是射线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边△APE,点E的位置随着点P的位置变化而变化．（1）如图1,当点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE,BP与CE的数量关系是,CE与AD的位置关系是；（2）当点E在菱形ABCD外部时,（1）中的结论是否还成立？若成立,请予以证明；若不成立,请说明理由（选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理）；（3）如图4,当点P 在线段BD 的延长线上时,连接BE ,若AB =23,BE =219,求四边形ADPE 的面积．一、选择题1．（2019成都一模,第10题,3分）如图1,在菱形ABCD 中,∠A =120°,点E 是BC 边的中点,点P 是对角线BD 上一动点,设PD 的长度为x ,PE 与PC 的长度和为y ,图2是y 关于x 的函数图象,其中H 是图象上的最低点,则a +b 的值为（ ）A ．73B ．234C ．1433 D ．22332．（2019安徽二模,第10题,4分）如图,在△ABC 中,∠ABC =60°,∠C =45°,点D ,E 分别为边AB ,AC 上的点,且DE ∥BC ,BD =DE =2,BC =245．动点P 从点B 出发,以每秒1个单位长度的速度沿B →D →E →C 匀速运动,运动到点C 时停止．过点P 作PQ ⊥BC 于点Q ,设△BPQ 的面积为S ,点P 的运动时间为t ,则S 关于t 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2019合肥五十中二模,第10题,4分）如图,在△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC=4,P为AC中点,点D在直线BC上运动,以为边向AD的右侧作正方形ADEF,连接PF,则在点D的运动过程中,线段PF的最小值为（）A．2B．2C．1D．22二、填空题4．（2019成都一模,第15题,3分）如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=1,CD是△ABC的中线,E是AC 上一动点,将△AED沿ED折叠,点A落在点F处,EF线段CD交于点G,若△CEG是直角三角形,则CE=．5．（2019成都石室联中一诊,第24题,4分）如图,△ABC内接于⊙O．AB为⊙O的直径,BC=3,AB=5,D、E分别是边AB、BC上的两个动点（不与端点A、B、C重合）,将△BDE沿DE折叠,点B的对应点B'恰好落在线段AC上（包含端点A、C）,若△ADB'为等腰三角形,则AD的长为．6．（2019安徽二模,第14题,5分）如图,△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,AD=BD=4,AC=5,点E从点B出发沿B →A→C的方向移动到点C停止,连接CE、DE．若△ADE与△CDE的面积相等,则线段DE的长为．7．（2019太原二模,第15题,3分）如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,BC=2,点D是AC边的中点,E 是直线BC上一动点,将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF,连接AF、EF,在点E的运动过程中线段AF的最小值为．三、解答题8．（2019北京人大附中模拟,第20题,7分）如图,直线y=2x+6与反比例数ykx（x＞0）的图象交于点A（1,m）,与x轴交于点B,与y轴交于点D．（1）求m的值和反比例函数的表达式；（2）在y轴上有一动点P（0,n）（n＜6）,过点P作平行于x轴的直线,求反比例函数的图象于点M,交直线AB于点N,连接OM,MN．①当n=4时,判断四边形BOMN的形状,并简要写出证明思路；②若S△BDM＞S△BOD,直接写出点P的纵坐标n的取值范围．9．（2019吉林市二模,第25题,10分）如图,在直角三角形ABC中,∠ABC=90°,AB=6cm,BC=8cm．动点P从点A出发,沿线段AB向终点B以1cm/s的速度运动,同时动点Q从点C出发沿线段CA以2cm/s的速度向终点A运动,以PQ,CQ为邻边作平行四边形PECQ．设平行四边形PECQ与直角三角形ABC重叠部分图形的面积为S（cm2）,点P运动的时间为t（s）（t＞0）．（1）当点E落在线段BC上时,求t的值；（2）求S与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围；（3）当四边形PECQ为矩形时,直接写出t的值．10．（2019长春二模,第23题,10分）如图,BC是△ABD的高线,E为AC边中点,BC=CD=3cm,AB=5cm,动点P 从点A出发,沿折线AB﹣BD向终点D匀速运动,在边AB上的速度为5cm/s,在边BD上的速度为2cm/s．过点P作PQ∥AD交折线DB﹣BA于点Q（点P,Q在BC异侧）,设点P的运动时间为t（s）（t＞0）,以点C,E,P,Q 为顶点的四边形的面积为S（cm2）．（1）当点P在边AB上运动时,用含t的代数式表示PQ的长；（2）当以点C,E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值；（3）求S与t之间的函数关系式；（4）设点M是△ABC边上的点,当点P在AB上运动,直接写出四边形CEPM是轴对称图形时t的值．11．（2019长春二模,第24题,12分）如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y12=-x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1,0）和点B（3,0）．P为该抛物线上一动点,设点P的横坐标为m．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）将该抛物线沿y轴向下平移12AB个单位,点P的对应点为P',若OP=OP',求△OPP'的面积；（3）连结AP,BP,设△APB的面积为S,当﹣2≤m≤2时,求S的取值范围；（4）若二次函数的自变量x的取值范围是m≤x≤m+1,且最大值为32,直接写出m的值．。

中考数学重点难点专题练习-第12讲运动路径长度问题想要对运动路径长度问题掌握得信手拈来，那么建议你对以下知识点进行提前学习会更好：1.《隐圆模型》2.《共顶点模型》-也可称“手拉手模型”3.《主从联动模型》-也可称“瓜豆原理模型”4.《旋转问题》—本系列的第二讲中所阐述的旋转相似模型此外，还需要明白的动点类型还有：5.线段垂直平分线——到线段两端点距离相等的动点一定在这条线段的垂直平分线上6.角平分线——到角两边距离相等的动点一定在这个角的角平分线上7.三角形中位线——动点到某条线的距离恒等于某平行线段的一半8.平行线分线段成比例——动点到某条线的距离与某平行线段成比例9.两平行线的性质——平行线间的距离，处处相等Ps强烈建议：如果您之前没有对上述模型进行过学习，建议您先到学科网搜索下载独家精品出版的：《中考数学几何模型能力提升篇》专题系列资料包，您一定可以大有提升！一、路径为圆弧型解题策略：①作出隐圆，找到圆心②作出半径，求出定长解题关键：通过《隐圆模型》中五种确定隐圆的基本条件作出隐圆，即可轻易得出结论.二、路径为直线型解题策略：①利用平行定距法或者角度固定法确定动点运动路径为直线型②确定动点的起点与终点，计算出路径长度即可解题关键：解题过程中常常出现中位线，平行线分线段成比例，相似证动角恒等于顶角等知识点三、路径为往返型解题策略：①通常为《主从联动模型》的衍生版②确定动点的起点与终点，感知运动过程中的变化③找出动点运动的最远点解题关键：解题过程中常常出现相似转线段长、《主从联动模型》中的滑动模型等【例题1】如图，等腰Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝，⊙O与AB相切，分别交OA、OB于N、M，以PB为直角边作等腰Rt△BPQ，点P在弧MN上由点M运动到点N，则点Q运动的路径长为（）A．B．C．D．【例题2】已知⊙O，AB是直径，AB＝4，弦CD⊥AB且过OB的中点，P是劣弧BC上一动点，DF垂直AP于F，则P从C运动到B的过程中，F运动的路径长度（）A．πB．C．πD．2【例题3】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是．【例题4】如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP 交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）A. B. C. 1 D. 2【例题5】已知：如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），点B在x轴上，且∠BAO＝30°，点D是线段OA上的一点，以BD为边向下作等边△BDE．（1）如图2，当∠ODB＝45°时，求证：OE平分∠BED．（2）如图3，当点E落在y轴上时，求出点E的坐标．（3）利用图1探究并说理：点D在y轴上从点A向点O滑动的过程中，点E也会在一条直线上滑动；并直接写出点E运动路径的长度．【例题6】如图，Rt△ABC中，BC＝4，AC＝8，Rt△ABC的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合，随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动，点B也沿着x轴向点O滑动，直到与点O重合时运动结束．在这个运动过程中，点C运动的路径长是．【例题7】如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，它的对称轴是直线x＝2，动点P从抛物线的顶点A 出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t杪，连结OP并延长交抛物线于点B，连结OA，AB．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△AOB为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，⊙M为△AOB的外接圆，在点P的运动过程中，点M也随之运动变化，请你探究：在1≤t≤5时，求点M经过的路径长度．【例题8】如图，OM⊥ON，A、B分别为射线OM、ON上两个动点，且OA+OB＝5，P为AB的中点．当B由点O向右移动时，点P移动的路径长为（）A．2 B．2C．D．5【例题9】如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0），在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．【例题10】（1）如图1，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作等边△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（2）如图2，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以E为直角顶点的等腰Rt△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（3）如图3，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以D为直角顶点的等腰Rt△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（4）如图4，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以D为直顶点的等腰△BDE，且∠BDE=120°，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；【例题11】如图，已知扇形AOB中，OA=3，∠AOB=120°，C是在上的动点．以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是________．1．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是．2．已知线段AB＝8，C、D是AB上两点，且AC＝2，BD＝4，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等腰三角形APE和等腰三角形PBF，M为线段EF的中点，若∠AEP＝∠BFP，则当点P由点C移动到点D时，点M移动的路径长度为．3．已知线段AB＝10，P是线段AB上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点A移动到点B时，G点移动的路径长度为．4．如图，AB为⊙O的直径，AB＝3，弧AC的度数是60°，P为弧BC上一动点，延长AP到点Q，使AP•AQ ＝AB2．若点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为．5．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在边AD上，且AE:ED＝1:2．动点P 从点A出发，沿AB 运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F．设点M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M的运动路径长为________．6．等边三角形ABC的边长为2，在AC，BC边上各有一个动点E，F，满足AE＝CF，连接AF，BE相交于点P．（1）∠APB的度数；（2）当E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长；（3）连结CP，直接写出CP长度的最小值．7．如图，AB为半圆O的直径，AB=2，C，D为半圆上两个动点（D在C右侧），且满足∠COD=60°，连结AD，BC相交于点P若点C从A出发按顺时针方向运动，当点D与B重合时运动停止，则点P所经过的路径长为________．8．如图，A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣1，4），P，C，M按逆时针顺序排列，动点P在线段AB上，∠C＝90°，∠CPM＝30°，请求出当P点从A运动到B点时，点M运动的路径时什么？并求出M点运动路径长度．9．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝6，动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AD 运动，动点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线段D﹣O﹣C运动，已知P、Q同时开始移动，当动点P到达D点时，P、Q同时停止运动．设运动时间为t秒．（1）当t＝1秒时，求动点P、Q之间的距离；（2）若动点P、Q之间的距离为4个单位长度，求t的值；（3）若线段PQ的中点为M，在整个运动过程中；直接写出点M运动路径的长度为．10．（2019秋•江岸区校级月考）如图，正△ABC中，AB＝2，AD⊥BC于D，P，Q分别是AB，BC上的动点，且PQ＝AD，点M在PQ的右上方且PM＝QM，∠M＝120°，当P从点A运动到点B时，M运动的路径长为．(看成固定三角板滑动处理/或反其道而行之)11．如图，在四边形ABCD中，∠C＝60°，∠A＝30°，CD＝BC．（1）求∠B+∠D的度数．（2）连接AC，探究AD，AB，AC三者之间的数量关系，并说明理由．（3）若BC＝2，点E在四边形ABCD内部运动，且满足DE2＝CE2+BE2，求点E运动路径的长度．12．已知在扇形AOB中，圆心角∠AOB＝120°，半径OA＝OB＝8．（1）如图1，过点O作OE⊥OB，交弧AB于点E，再过点E作EF⊥OA于点F，则FO的长是，∠FEO＝°；（2）如图2，设点P为弧AB上的动点，过点P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，点M，N分别在半径OA，OB上，连接MN，则①求点P运动的路径长是多少？②MN的长度是否是定值？如果是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）在（2）中的条件下，若点D是△PMN的外心，直接写出点D运动的路经长．13．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM、PM．（1）求∠OMP的度数；（2）当点P在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长．14．（2019•兴化市模拟）正方形ABCD的边长为4，P为BC边上的动点，连接AP，作PQ⊥P A交CD边于点Q．当点P从B运动到C时，线段AQ的中点M所经过的路径长（）A．2 B．1 C．4 D．15．（2019•武汉模拟）如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一运动的点P，从点P 向半径OA引垂线PH交OA于点H．设△OPH的内心为I，当点P在弧AB上从点A运动到点B时，内心I所经过的路径长为（）A．πB．πC．πD．π16．如图，BC是⊙O的直径，BC＝4，M、N是半圆上不与B、C重合的两点，且∠MON＝120°，△ABC的内心为E点，当点A在上从点M运动到点N时，点E运动的路径长是（）A．B．C．D．17．（2020•河北模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，P是边BC上的一个动点，由点B开始运动，运动到C停止．连接AP，以AP为直角边向右侧作等腰直角三角形，另一个顶点为Q．则点P从B运动到C的过程中，点Q的运动路径长为（）A．πB．C．D．118．无论a取什么实数，点P（a﹣1，2a﹣3）都在直线l上．Q（m，n）是直线l上的点，则（2m﹣n+3）2的值等于．19．如图，已知点C是以AB为直径的半圆的中点，D为弧AC上任意一点，过点C作CE⊥BD于点E，连接AE，若AB＝4，则AE的最小值为．20．如图，正方形OABC的边长为2，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是．21．如图，在平面直角坐标系中，点A（8，0），点P（0，m），将线段P A绕着点P逆时针旋转90°，得到线段PB，连接AB，OB，则BO+BA的最小值为．22．如图，P为边长为2的正方形ABCD的边BC上一动点，将线段DP绕P逆时针旋转90°得到线段PE （E为D的对应点），M为线段PE的中点，当点P从点C运动到点B的过程中，点M的运动路径长为____________.23．等边△ABC的边长为18，在AC，BC边上各取一点D，E，连接AE，BD相交于点P，若AE＝BD，当D从点A运动到点C时，点P所经过的路径长为．24．（2020•武汉模拟）如图，定直线l经过圆心O，P是半径OA上一动点，AC⊥l于点C，当半径OA绕着点O旋转时，总有OP＝OC，若OA绕点O旋转60°时，P、A两点的运动路径长的比值是．25．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD 于点E，以PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．（1）若AP＝1，则AE＝；（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；（3）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．26．如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发，沿边AB﹣BC向终点C运动，以DE为边作正方形DEFG（点D、E、F、G按顺时针方向排列）．设点E运动速度为每秒1个单位，运动的时间为x秒．（1）如图1，当点E在AB上时，求证：点G在直线BC上；（2）设正方形ABCD与正方形DEFG重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式；（3）直接写出整个运动过程中，点F经过的路径长．想要对运动路径长度问题掌握得信手拈来，那么建议你对以下知识点进行提前学习会更好：10.《隐圆模型》11.《共顶点模型》-也可称“手拉手模型”12.《主从联动模型》-也可称“瓜豆原理模型”13.《旋转问题》—本系列的第二讲中所阐述的旋转相似模型此外，还需要明白的动点类型还有：14.线段垂直平分线——到线段两端点距离相等的动点一定在这条线段的垂直平分线上15.角平分线——到角两边距离相等的动点一定在这个角的角平分线上16.三角形中位线——动点到某条线的距离恒等于某平行线段的一半17.平行线分线段成比例——动点到某条线的距离与某平行线段成比例18.两平行线的性质——平行线间的距离，处处相等Ps强烈建议：如果您之前没有对上述模型进行过学习，建议您先到学科网搜索下载独家精品出版的：《中考数学几何模型能力提升篇》专题系列资料包，您一定可以大有提升！一、路径为圆弧型解题策略：①作出隐圆，找到圆心②作出半径，求出定长解题关键：通过《隐圆模型》中五种确定隐圆的基本条件作出隐圆，即可轻易得出结论.二、路径为直线型解题策略：①利用平行定距法或者角度固定法确定动点运动路径为直线型②确定动点的起点与终点，计算出路径长度即可解题关键：解题过程中常常出现中位线，平行线分线段成比例，相似证动角恒等于顶角等知识点三、路径为往返型解题策略：①通常为《主从联动模型》的衍生版②确定动点的起点与终点，感知运动过程中的变化③找出动点运动的最远点解题关键：解题过程中常常出现相似转线段长、《主从联动模型》中的滑动模型等【例题1】如图，等腰Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝，⊙O与AB相切，分别交OA、OB于N、M，以PB为直角边作等腰Rt△BPQ，点P在弧MN上由点M运动到点N，则点Q运动的路径长为（）A．B．C．D．【分析】解题标签：《共顶点模型》中的旋转相似、《隐圆模型》中的动点定长模型、《主从联动模型》【解析】如图，连接OP，AQ，设⊙O与AB相切于C，连接OC，则OC⊥AB，∵OA＝OB，∠AOB＝90°，OB＝，∴AB＝2，OP＝OC＝AB＝，∵△ABO和△QBP均为等腰直角三角形，∴＝，∠ABO＝∠QBP＝45°，∴＝，∠ABQ＝∠OBP，∴△ABQ∽△OBP，∴∠BAQ＝∠BOP，＝，即＝，∴AQ＝，又∵点P在弧MN上由点M运动到点N，∴0°≤∠BOP≤90°，∴0°≤∠BAQ≤90°，∴点Q的运动轨迹为以A为圆心，AQ长为半径，圆心角为90°的扇形的圆弧，∴点Q运动的路径长为＝，故选：D．[本题用《主从联动模型》来接替会更快得到结果]【例题2】已知⊙O，AB是直径，AB＝4，弦CD⊥AB且过OB的中点，P是劣弧BC上一动点，DF垂直AP于F，则P从C运动到B的过程中，F运动的路径长度（）A．πB．C．πD．2【分析】解题标签：“定边对直角”确定隐圆模型【解析】作DQ⊥AC于Q，如图，当P点在C点时，F点与Q重合；当P点在B点时，F点与E点重合，∵∠AFD＝90°，∴点F在以AD为直径的圆上，∴点F运动的路径为，∵弦CD⊥AB且过OB的中点，∴OE＝OD，CE＝DE＝，AC＝AC＝2，∴∠DOE＝60°，∴∠DAC＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴MQ和ME为中位线，∴MQ＝，∠QME＝60°，∴F运动的路径长度＝＝．故选：A．【例题3】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是．【分析】解题标签：“定边对定角”确定隐圆模型【解析】连结OA、OB，作△ABC的外接圆D，如图1，∵OA＝OB＝1，AB＝1，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠APB＝∠AOB＝30°，∵AC⊥AP，∴∠C＝60°，∵AB＝1，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，∴∠ADB＝120°，如图2，当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝，∴△ABC的最大面积为．故答案为：．【例题4】如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP 交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）A. B. C. 1 D. 2【分析】解题标签：“线段垂直平分线”产生“平行定距型”【解析】连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，∵△ACB为到等腰直角三角形，∴AC=BC= AB= ，∠A=∠B=45°，∵O为AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，在Rt△AOP和△COQ中，∴Rt△AOP≌△COQ，∴AP=CQ，易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形，∴PE=22AP=22CQ，QF=22BQ，∴PE+QF=22（CQ+BQ）=22BC=2×22=1，∵M点为PQ的中点，∴MH为梯形PEFQ的中位线，∴MH=12（PE+QF）=12，即点M到AB的距离为12，而CO=1，∴点M的运动路线为△ABC的中位线，∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=12AB=1，故答案为：C．[或连接OM，CM，点M运动路径为线段OC中垂线]【例题5】已知：如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），点B在x轴上，且∠BAO＝30°，点D是线段OA上的一点，以BD为边向下作等边△BDE．（1）如图2，当∠ODB＝45°时，求证：OE平分∠BED．（2）如图3，当点E落在y轴上时，求出点E的坐标．（3）利用图1探究并说理：点D在y轴上从点A向点O滑动的过程中，点E也会在一条直线上滑动；并直接写出点E运动路径的长度．【分析】解题标签：“共顶点模型”、“全等或相似转固定角度法确定动点的直线运动”【解析】（1）∵∠ODB＝45°，∠AOB＝90°，∴∠OBD＝∠ODB＝45°，∴OD＝OB，∵△BDE是等边三角形，∴DE＝BE，在△DOE和△BOE中，，∴△DOE≌△BOE（SSS），∴∠DEO＝∠BEO，即OE平分∠BED；（2）∵△BOE是等边三角形，∴∠EDB＝60°，∵OB⊥DE，设OD＝x，则OE＝x，∵∠BAO＝30°，∠AOB＝90°，∴∠DBO＝∠ABD＝∠BAO＝30°，∴BD＝2OD＝2x，AD＝BD＝2x，∵OA＝AD+OD＝3x＝6，解得，x＝2，∴E（0，﹣2）；（3）如图1，在x轴上取点C，使BC＝BA，连接CE，∵∠ABD+∠OBD＝∠CBE+∠OBD＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BCE＝∠BAO＝30°，∴当D在OA上滑动时，点E总在与x轴夹角为30°的直线CE上滑动，如图可知，点E运动路径的长度为6．【例题6】如图，Rt△ABC中，BC＝4，AC＝8，Rt△ABC的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合，随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动，点B也沿着x轴向点O滑动，直到与点O重合时运动结束．在这个运动过程中，点C运动的路径长是8﹣12．【分析】解题标签：“运动路径为来回型”【解析】①当A从O到现在的点A处时，如图2，此时C′A⊥y轴，点C运动的路径长是CC′的长，∴AC′＝OC＝8，∵AC′∥OB，∴∠AC′O＝∠COB，∴cos∠AC′O＝cos∠COB＝＝，∴＝，∴OC′＝4，∴CC′＝4﹣8；②当A再继续向上移动，直到点B与O重合时，如图3，此时点C运动的路径是从C′到C，长是CC′，CC′＝OC′﹣BC＝4﹣4，综上所述，点C运动的路径长是：4﹣8+4﹣4＝8﹣12；故答案为：8﹣12．【例题7】如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，它的对称轴是直线x＝2，动点P从抛物线的顶点A 出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t杪，连结OP并延长交抛物线于点B，连结OA，AB．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△AOB为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，⊙M为△AOB的外接圆，在点P的运动过程中，点M也随之运动变化，请你探究：在1≤t≤5时，求点M经过的路径长度．【分析】解题标签：“运动路径为来回型”【解析】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，且对称轴是直线x＝2，∴c＝0，﹣＝2，则b＝﹣4、c＝0，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x；（2）设点B（a，a2﹣4a），∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴点A（2，﹣4），则OA2＝22+42＝20、OB2＝a2+（a2﹣4a）2、AB2＝（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2，①若OB2＝OA2+AB2，则a2+（a2﹣4a）2＝20+（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2，解得a＝2（舍）或a＝，∴B（，﹣），则直线OB解析式为y＝﹣x，当x＝2时，y＝﹣3，即P（2，﹣3），∴t＝（﹣3+4）÷1＝1；②若AB2＝OA2+OB2，则（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2＝20+a2+（a2﹣4a）2，解得a＝0（舍）或a＝，∴B（，），则直线OB解析式为y＝x，当x＝2时，y＝1，即P（2，1），∴t＝[1﹣（﹣4）]÷1＝5；③若OA2＝AB2+OB2，则20＝（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2+a2+（a2﹣4a）2，整理，得：a3﹣8a2+21a﹣18＝0，a3﹣3a2﹣5a2+15a+6a﹣18＝0，a2（a﹣3）﹣5a（a﹣3）+6（a﹣3）＝0，（a﹣3）（a2﹣5a+6）＝0，（a﹣3）2（a﹣2）＝0，则a＝3或a＝2（舍），∴B（3，﹣3），∴直线OB解析式为y＝﹣x，当x＝2时，y＝﹣2，即P（2，﹣2），∴t＝[﹣2﹣（﹣4）]÷1＝2；综上，当△AOB为直角三角形时，t的值为1或2或5．（3）∵⊙M为△AOB的外接圆，∴点M在线段OA的中垂线上，∴当1≤t≤5时，点M的运动路径是在线段OA中垂线上的一条线段，当t＝1时，如图1，由（2）知∠OAB＝90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是OB的中点，∵B（，﹣），∴M（，﹣）；当t＝5时，如图2，由（2）知，∠AOB＝90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是AB的中点，∵B（，）、A（2，﹣4），∴M（，﹣）；当t＝2时，如图3，由（2）知，∠OBA＝90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是OA的中点，∵A（2，﹣4），∴M（1，﹣2）；则点M经过的路径长度为＝．【例题8】如图，OM⊥ON，A、B分别为射线OM、ON上两个动点，且OA+OB＝5，P为AB的中点．当B由点O向右移动时，点P移动的路径长为（）A．2 B．2C．D．5【分析】解题标签：“利用解析法计算几何路径长”【解析】建立如图坐标系．设OB＝t，则OA＝5﹣t，∴B（t，0），A（0，5﹣t），∵AP＝PB，∴P（，），令x＝，y＝，消去t得到，y＝﹣x+（0≤x≤），∴点P的运动轨迹是线段HK，H（0，），K（，0），∴点P的运动路径的长为＝，故选：C．【例题9】如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0），在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．【分析】解题标签：“利用解析法计算几何路径长”【解析】如图2，以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．依题意，可知0≤t≤4，当t=0时，点M1的坐标为（3，0），当t=4时点M2的坐标为（1，4）．设直线M1M2的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线M1M2的解析式为y=-2x+6．∵点Q（0，2t），P（6-t，0）∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标（，t）．把x= 代入y=-2x+6得y=-2×+6=t，∴点M3在直线M1M2上．过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N=4，M1N=2．∴M1M2=2∴线段PQ中点M所经过的路径长为2 单位长度．【例题10】（1）如图1，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作等边△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（2）如图2，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以E为直角顶点的等腰Rt△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（3）如图3，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以D为直角顶点的等腰Rt△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（4）如图4，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以D为直顶点的等腰△BDE，且∠BDE=120°，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；【分析】解题标签：“主从联动模型”【解析】22；2；4；26【例题11】如图，已知扇形AOB中，OA=3，∠AOB=120°，C是在上的动点．以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是________．【分析】解题标签：“定边对定角”确定隐圆模型、主从联动模型【解析】如图所示，易得点D的运动轨迹的长为=2 π．1．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是．【解析】如图，连接OP，OC，取OC的中点K，连接MK．∵AC＝BC＝，∠ACB＝90°，∴AB＝＝2，∴OP＝AB＝1，∵CM＝MP，CK＝OK，∴MK＝OP＝，∴当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径是以K为圆心，长为半径的半圆，∴点M运动的路径长＝•2•π•＝，故答案为．2．已知线段AB＝8，C、D是AB上两点，且AC＝2，BD＝4，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等腰三角形APE和等腰三角形PBF，M为线段EF的中点，若∠AEP＝∠BFP，则当点P由点C移动到点D时，点M移动的路径长度为4﹣3．【解析】如图，分别延长AE、BF交于点H．∵△APE和△PBF都是等腰三角形，且∠AEP＝∠BFP∵∠A＝∠FPB，∴AH∥PF，同理，BH∥PE，∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分．∵M为EF的中点，∴M为PH中点，即在P的运动过程中，M始终为PH的中点，所以M的运行轨迹为三角形HCD的中位线QN．∵CD＝AB﹣AC﹣BD＝8﹣6，∴QN＝CD＝4﹣3，即M的移动路径长为4﹣3．故答案是：4﹣3．3．已知线段AB＝10，P是线段AB上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点A移动到点B时，G点移动的路径长度为5．【解析】如图，分别延长AE、BF交于点H，∵∠A＝∠FPB＝60°，∴AH∥PF，∵∠B＝∠EP A＝60°，∴BH∥PE，∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分．∵G为EF的中点，∴G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN．∴MN＝AB＝5，即G的移动路径长为5．故答案为：54．如图，AB为⊙O的直径，AB＝3，弧AC的度数是60°，P为弧BC上一动点，延长AP到点Q，使AP•AQ＝AB2．若点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为3．【解析】连接BQ，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∵AP•AQ＝AB2．即＝，而∠BAP＝∠QAB，∴△ABP∽△AQB，∴∠ABQ＝∠APB＝90°，∴BQ为⊙O的切线，点Q运动的路径长为切线长，∵弧AC的度数是60°，∴∠AOC＝60°，∴∠OAC＝60°，当点P在C点时，∠BAQ＝60°，∴BQ＝AB＝3，即点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为3．故答案为3．5．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在边AD上，且AE:ED＝1:2．动点P 从点A出发，沿AB 运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F．设点M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M的运动路径长为________．【答案】4【解析】如图所示：过点M作GH⊥AD.∵AD∥CB，GH⊥AD，∴GH⊥BC.在△EGM和△FHM中，∴△EGM≌△FHM.∴MG=MH.∴点M的轨迹是一条平行于BC的线段当点P与A重合时,BF1=AE=2，当点P与点B重合时,∠F2+∠EBF1=90∘,∠BEF1+∠EBF1=90∘，∴∠F2=∠EBF1.∵∠EF1B=∠EF1F2，∴△EF1B∽△∠EF1F2.∴，即∴F1F2=8，∵M1M2是△EF1F2的中位线，∴M1M2= F1F2=4.故答案为：4.6．等边三角形ABC的边长为2，在AC，BC边上各有一个动点E，F，满足AE＝CF，连接AF，BE相交于点P．（1）∠APB的度数；（2）当E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长；（3）连结CP，直接写出CP长度的最小值．【解析】（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠C＝∠CAB＝60°，又∵AE＝CF，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AF＝BE，∠ABE＝∠CAF．又∵∠APE＝∠BPF＝∠ABP+∠BAP，∴∠APE＝∠BAP+∠CAF＝60°．∴∠APB＝180°﹣∠APE＝120°．（2）如图1，∵AE＝CF，∴点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP 为等腰三角形，且∠ABP＝∠BAP＝30°，∴∠AOB＝120°，又∵AB＝2，∴OA＝2，点P的路径是l＝＝＝；（3）如图2，∵AE＝CF，∴点P的路径是一段弧，∴当点E运动到AC的中点时，CP长度的最小，即点P为△ABC的中心，过B作BE′⊥AC于E′，∴PC＝BE′，∵△ABC是等边三角形，∴BE′＝BC＝3，∴PC＝2．∴CP长度的最小值是2．方法二：由图1可知，CP最小值等于CO减OA，OA就是那圆弧的半径，可得PC的最小值为2．7．如图，AB为半圆O的直径，AB=2，C，D为半圆上两个动点（D在C右侧），且满足∠COD=60°，连结AD，BC相交于点P若点C从A出发按顺时针方向运动，当点D与B重合时运动停止，则点P所经过的路径长为________．【答案】【解析】解：点C从点A运动到点D与点B从何时，AD与BC的相点P运动的轨迹是一条弧，C,D两点运动到恰好是半圆的三等分点时，AD与BC的相点P是弧的最高点，作AP,BP的中垂线，两线交于点E，点E是弧APB的圆心；由题意知：AD=BD，∠PAB=∠PBA=30°,连接AE,DE，根据圆的对称性得出A、O、E三点在同一直线上，易证△ADE是一个等边三角形，∠AED=60°,在Rt△ADO中，∠DOA=90°,∠PAB=30°,AO=1,故AD=,∴AE=AD=,弧APB的长度==。