当前位置：文档之家 › 小学奥数：2-3-3 列不定方程解应用题.教师版

小学奥数：2-3-3 列不定方程解应用题.教师版

  • 格式：doc
  • 大小：2.82 MB
  • 文档页数：12

小学奥数精品
1、 熟练掌握不定方程的解题技巧
2、 能够根据题意找到等量关系设未知数解方程
3、 学会解不定方程的经典例题

一、知识点说明
历史概述
不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称
不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，
公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的
大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．

考点说明

在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方
法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重
要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具
解题。

二、运用不定方程解应用题步骤

1、根据题目叙述找到等量关系列出方程
2、根据解不定方程方法解方程
3、找到符合条件的解

模块一、不定方程与数论
【例 1】 把2001拆成两个正整数的和，一个是11的倍数（要尽量小），一个是13的倍数（要尽量大），求这
两个数．
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 这是一道整数分拆的常规题．可设拆成的两个数分别为11x和13y，则有：11132001xy，要让
x

取最小值，y取最大值．

可把式子变形为：2001111315312132122153131313xxxxyx，可见12213x是整数，
满足这一条件的x最小为7，且当7x时，148y．
则拆成的两个数分别是71177和148131924．
【答案】则拆成的两个数分别是77和1924．

【巩固】 甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18的倍数，乙搬的砖数是23的倍数，两人共搬了300块砖．问：
甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？

知识精讲
教学目标
列不定方程解应用题
小学奥数精品
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设甲搬的是18x块，乙搬的是23y块．那么1823300xy．观察发现18x和300都是6的倍数，所
以y也是6的倍数．由于3002313y，所以y只能为6或12．
6y
时18162x，得到9x；
12y
时1824x，此时x不是整数，矛盾．
所以甲搬了162块，乙搬了138块，甲比乙搬得多，多24块．
【答案】甲比乙搬得多，多24块

【巩固】 现有足够多的5角和8角的邮票，用来付4.7元的邮资，问8角的邮票需要多少张？
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设5角和8角的邮票分别有x张和y张，那么就有等量关系：5847xy．
尝试y的取值，当y取4时，x能取得整数3，当y再增大，取大于等于6的数时，x没有自然数解．所
以8角的邮票需要4张．
【答案】8角的邮票需要4张

【例 2】 用十进制表示的某些自然数，恰等于它的各位数字之和的16倍，则满足条件的所有自然数之和为
___________________.
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】北大附中，资优博雅杯
【解析】 若是四位数abcd，则161636<1000abcd≤，矛盾，四位以上的自然数也不可能。
若是两位数ab，则1610ababab，也不可能，故只有三位数abc.

1610010abcabc
，化简得2825abc.由于257963bc，

所以1a或2b.1a时，9b，2c，或4b，4c；2a时，8b，8c.
所以所有自然数之和为192144288624.
【答案】所有满足条件的自然数之和为624

模块二、不定方程与应用题
【例 3】 有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8千克油，小的能装5千克油，44千克油恰好装满这些油
桶．问：大、小油桶各几个？
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设有大油桶x个，小油桶y个．由题意得：
8544xy
可知844x，所以012345x、、、、、．由于x、y必须为整数，所以相应的将x的所有可能值代入方程，
可得3x时，4y这一组整数解．
所以大油桶有3个，小油桶有4个．
小结：这道题在解答时，也可联系数论的知识，注意到能被5整除的数的特点，便可轻松求解.
【答案】大油桶有3个，小油桶有4个

【例 4】 在一次活动中，丁丁和冬冬到射击室打靶，回来后见到同学“小博士”，他们让“小博士”猜他们各
命中多少次．“小博士”让丁丁把自己命中的次数乘以5，让冬冬把自己命中的次数乘以4，再把两
个得数加起来告诉他，丁丁和冬冬算了一下是31，“小博士”正确地说出了他们各自命中的次数．你
知道丁丁和冬冬各命中几次吗？
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设丁丁和冬冬分别命中了x次和y次，则：5431xy．可见x除以4的余数为3，而且x不能超过
6，所以3x，4y．即丁丁命中了3次，冬冬命中了4次．
【答案】丁丁命中了3次，冬冬命中了4次

【巩固】 某人打靶，8发共打了53环，全部命中在10环、7环和5环上．问：他命中10环、7环和5环各几
发？
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答
小学奥数精品
【解析】 假设命中10环x发，7环y发，5环z发，则8(1)107553(2)xyzxyz由⑵可知7y除以5的余数为
3，所以4y、9……如果y为9，则76353y，所以y只能为4，代入原方程组可解得1x，3z．所
以他命中10环1发，7环4发，5环3发．
【答案】命中10环1发，7环4发，5环3发

【例 5】 某次聚餐，每一位男宾付130元，每一位女宾付100元，每带一个孩子付60元，现在有13的成人各
带一个孩子，总共收了2160元，问：这个活动共有多少人参加(成人和孩子)？
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 设参加的男宾有x人，女宾有y人，则由题意得方程：11301006021603xyxy，即

1501202160xy，化简得5472xy
．这个方程有四组解：413xy，88xy，123xy和018xy，
但是由于有13的成人带着孩子，所以xy能被3整除，检验可知只有后两组满足．
所以，这个活动共有1123123203人或11818243人参加．
【答案】这个活动共有20人或24人参加

【巩固】 单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有13的职工各带一个孩子参加．男职工
每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子都种6棵树，他们一共种了216棵树，那么其中有
多少名男职工？
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 因为有13的职工各带一个孩子参加，则职工总人数是3的倍数．设男职工有x人，女职工有y人．

则职工总人数是xy人，孩子是3xy人．得到方程：131036216xyxy，化简得：
5472xy．因为男职工与女职工的人数都是整数，所以当3y时，12x；当8y
时，8x；
当13y，4x．其中只有31215是3的倍数，符合题意，所以其中有12名男职工．
【答案】其中有12名男职工

【例 6】 张师傅每天能缝制3件上衣，或者9件裙裤，李师傅每天能缝制2件上衣，或者7件裙裤，两人
20

天共缝制上衣和裙裤134件，那么其中上衣是多少件？
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 如果20天都缝制上衣，共可缝制3220100件，实际上比这多缝制了13410034件，这就要
把上衣换成裙裤，张师傅每天可多换936件，李师傅每天可多换725件，设张师傅缝制裙裤
x
天，李师傅缝制裙裤y天，则：6534xy，整数解只有4x，2y．
因此共缝制裙裤947250件，上衣共1345084件．
【答案】上衣共84件

【巩固】 小花狗和波斯猫是一对好朋友，它们在早晚见面时总要叫上几声表示问候．若是早晨见面，小花狗
叫两声，波斯猫叫一声；若是晚上见面，小花狗叫两声，波斯猫叫三声．细心的小娟对它们的叫声
统计了15天，发现它们并不是每天早晚都见面．在这15天内它们共叫了61声．问：波斯猫至少叫
了多少声？
【考点】列不定方程解应用题 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 早晨见面小花狗和波斯猫共叫3声，晚上见面共叫5声．设在这15天内早晨见面x次，晚上见面
y
次．根据题意有：3561xy(15x≤，15y≤)．
可以凑出，当2x时，11y；当7x时，8y；当12x时，5y．
因为小花狗共叫了2xy 声，那么xy越大，小花狗就叫得越多，从而波斯猫叫得越少，所以
当12x，5y时波斯猫叫得最少，共叫了1123527(声)．

合集下载

3-2-1火车问题_题库教师版

3-2-1火车问题_题库教师版

1、会熟练解决基本的火车过桥问题.2、掌握人和火车、火车与火车的相遇追及问题与火车过桥的区别与联系.3、掌握火车与多人多次相遇与追及问题火车过桥常见题型及解题方法 （一）、行程问题基本公式：路程=速度⨯时间总路程=平均速度⨯总时间；（二）、相遇、追及问题：速度和⨯相遇时间=相遇路程速度差⨯追及时间=追及路程；（三）、火车过桥问题1、火车过桥（隧道）：一个有长度、有速度，一个有长度、但没速度，解法：火车车长＋桥(隧道)长度(总路程) ＝火车速度×通过的时间；2、火车＋树(电线杆)：一个有长度、有速度，一个没长度、没速度，解法：火车车长(总路程)＝火车速度×通过时间；2、火车＋人：一个有长度、有速度，一个没长度、但有速度，（1）、火车＋迎面行走的人：相当于相遇问题，解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度＋人的速度)×迎面错过的时间；（2）火车＋同向行走的人：相当于追及问题，解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度—人的速度) ×追及的时间；（3）火车＋坐在火车上的人：火车与人的相遇和追及问题解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度±人的速度) ×迎面错过的时间（追及的时间）；4、火车＋火车：一个有长度、有速度，一个也有长度、有速度，（1）错车问题：相当于相遇问题，解法：快车车长＋慢车车长(总路程) ＝ (快车速度＋慢车速度) ×错车时间；（2）超车问题：相当于追及问题，解法：快车车长＋慢车车长(总路程) ＝ (快车速度—慢车速度) ×错车时间；老师提醒学生注意：对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行。

模块一、火车过桥（隧道、树）问题知识精讲教学目标火车问题【例1】一列火车长200米，以60米每秒的速度前进，它通过一座220米长的大桥用时多少？【解析】分析：（1）如右图所示，学生们可以发现火车走过的路程为：200+220=420（米），所以用时420÷60=7（秒）.【巩固】一列火车长360米，每秒钟行驶16米，全车通过一条隧道需要90秒钟，求这条隧道长多少米？【解析】已知列车速度是每秒钟行驶16米和全车通过隧道需要90秒钟．根据速度⨯时间=路程的关系，可以求出列车行驶的全路程．全路程正好是列车本身长度与隧道长度之和，即可求出隧道的长度．列车90秒钟行驶：16901440⨯=(米)，隧道长：14403601080-=(米)．【巩固】一列火车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列火车长100米，火车每分钟行400米，这列客车经过长江大桥需要多少分钟？火车行驶路程火车火车桥【解析】建议教师帮助学生画图分析．从火车头上桥，到火车尾离桥，这是火车通过这座大桥的全过程，也就是过桥的路程=桥长+车长．通过“过桥的路程”和“车速”就可以求出火车过桥的时间．所以过桥路程为：67001006800÷=(分钟)．+=(米)，过桥时间为：680040017【巩固】长150米的火车以18米/秒的速度穿越一条300米的隧道．那么火车穿越隧道(进入隧道直至完全离开)要多长时间？【解析】火车穿越隧道经过的路程为300150450+=(米)，已知火车的速度，那么火车穿越隧道所需时间为4501825÷=(秒)．【巩固】一列长240米的火车以每秒30米的速度过一座桥，从车头上桥到车尾离桥用了1分钟，求这座桥长多少米？【解析】火车过桥时间为1分钟60=秒，所走路程为桥长加上火车长为60301800⨯=(米)，即桥长为-=(米)．180********【巩固】一列火车长160米，全车通过一座桥需要30秒钟，这列火车每秒行20米，求这座桥的长度．【解析】建议教师帮助学生画图分析．由图知，全车通过桥是指从火车车头上桥直到火车车尾离桥，即火车行驶的路程是桥的长度与火车的长度之和，已知火车的速度以及过桥时间，所以这列车30秒钟走过:2030600⨯=(米)，桥的长度为：600160440-=(米)．【例2】(2009年第七届“希望杯”六年级一试)四、五、六3个年级各有100名学生去春游，都分成2列(竖排)并列行进．四、五、六年级的学生相邻两行之间的距离分别是1米、2米、3米，年级之间相距5米．他们每分钟都行走90米，整个队伍通过某座桥用4分钟，那么这座桥长米．【解析】 100名学生分成2列，每列50人，应该产生49个间距，所以队伍长为49149249352304⨯+⨯+⨯+⨯=(米)，那么桥长为90430456⨯-=(米)．【巩固】 一个车队以 6米/秒的速度缓缓通过一座长 250 米的大桥，共用152秒．已知每辆车长 6米，两车间隔10米．问：这个车队共有多少辆车？【解析】 由“路程 = 时间 ⨯ 速度”可求出车队 152 秒行的路程为 6 152 912= ⨯ (米 )，故车队长度为912－ 250= 662(米)．再由植树问题可得车队共有车 (662 －6) ÷(6 ＋10) ＋1 =42(辆)．【巩固】 一个车队以4米/秒的速度缓缓通过一座长200米的大桥，共用115秒。

小学高年级奥数教程目录（三年级到六年级）

小学高年级奥数教程目录（三年级到六年级）

小学高年级奥数教程目录（三年级到六年级）小学奥数教程三年级目录第1章智巧趣题第11章植树问题第2章高斯的故事第12章鸡兔同笼问题第3章从图形排列中找规律第13章盈亏问题第4章从数字排列中找规律第14章数线段第5章从数表排列中找规律第15章火柴游戏第6章加减法的巧算第16章有趣的一笔画第7章竖式加减填空格第17章巧求周长第8章竖式乘法填空格第18章图形的分割第9章加减法数字迷第19章图形的切拼第10章奇妙的幻方第20章体育比赛中的数学问题小学奥数教程四年级目录第1章智巧趣题第12章差倍问题第2章乘除法的巧算第13章年龄问题第3章巧添运算符号第14章归一问题第4章 24点游戏第15章平均数问题第5章乘除法数字第16章行程问题第6章竖式除法填空第17章三角形的内角和第7章横式填空格第18章巧算面积第8章有趣的数阵图（一）第19章格点与面积第9章有趣的数阵图（二）第20章合理下料第10章和差问题第21章最短路线第11章和倍问题小学奥数教程五年级目录第1章小数的巧算第12章逻辑推理（一）第2章图形的计数第13章逻辑推理（一）第3章周期性问题第14章数的整除性第4章奇数与偶数第15章质数与合数第5章枚举法第16章约数与倍数第6章乘法原理第17章带余数除法第7章加法原理第18章中国剩余定理第8章图形与面积第19章观察与归纳第9章图形的切拼第20章数列的求和第10章行程问题（一）第21章数列的分组第11章行程问题（二）小学奥数教程六年级目录第1章分数的巧算第11章抽屉原理第2章比较大小第12章比和比例问题第3章估计与估算第13章行程问题第4章定义新运算第14章列方程解应用题第5章工程问题第15章方程组第6章分数应用题第16章不定方程第7章逆推第17章立体图形第8章圆与组合图形第18章变换和操作第9章百分数应用题第19章染色与赋值第10章容斥原理第20章离散最值问题。

小学奥数七大模块详解(超详细结构图)

小学奥数七大模块详解(超详细结构图)

小学奥数七大模块详解(超详细结构图)本文介绍了小学奥数的七大模块，包括计算、数论、几何、行程、应用题、计数和杂题。

模块一：计算模块这个模块包括速算与巧算、分数小数四则混合运算及繁分数运算、循环小数化分数与混合运算、等差及等比数列、计算公式综合、分数计算技巧之裂项、换元、通项归纳、比较与估算、定义新运算和解方程。

模块二：数论模块这个模块包括质数与合数、因数与倍数、数的整除特征及整除性质、位值原理、余数的性质、同余问题、中国剩余定理（逐级满足法）、完全平方数、奇偶分析、不定方程、进制问题和最值问题。

模块三：几何模块这个模块包括直线型和曲线型两部分。

直线型包括长度与角度、格点与割补、三角形等积变换与一半模型、勾股定理与弦图和五大模型。

曲线型包括圆与扇形的周长与面积和图形旋转扫过的面积问题。

此外，还包括立体几何，包括立体图形的面积与体积、平面图形旋转成的立体图形问题、平面展开图和液体浸物问题。

模块四：行程模块这个模块包括简单相遇与追及问题、环形跑道问题、流水行船问题、火车过桥问题、电梯问题、发车间隔问题、接送问题、时钟问题、多人相遇与追及问题、多次相遇追及问题和方程与比例法解行程问题。

模块五：应用题模块这个模块包括列方程解应用题、分数、百分数应用题、比例应用题、工程问题、浓度问题、经济问题和牛吃草问题。

模块六：计数模块这个模块包括枚举法之分类枚举、标数法、树形图法、分类枚举之整体法、对应法、排除法、加乘原理、排列组合和容斥原理。

小学奥数七大模块详解模块一：从简单情况入手在解决问题时，我们可以从简单情况入手，逐步深入，找到规律，从而解决更复杂的问题。

模块二：对应与转化思想对应与转化思想是一种常用的解决问题的方法，通过将问题转化为另一种形式，或者与另一个问题进行对应，从而得出答案。

模块三：从反面与从特殊情况入手思想有时候，我们可以通过考虑问题的反面或特殊情况来解决问题。

这种思想可以帮助我们发现问题的本质，从而找到解决问题的方法。

五年级下册数学教案-3.1 列方程解应用题(三) 沪教版 (2)

五年级下册数学教案-3.1 列方程解应用题(三) 沪教版 (2)

列方程解应用题——相遇问题教学内容：沪教版小学数学五年级第二学期P25教学目标：1.认识"相遇问题"，理解相遇问题的特征。

2.会借助线段图分析题意,根据线段图并找到等量关系。

3.会列方程解决相遇问题。

4.通过学习相遇问题，能解决相关问题，提高学生独立思考、分析解决问题的能力。

教学重点：理解相遇问题的特征；掌握列方程解决相遇问题的一般方法。

教学难点：理解相遇问题中两个物体所用时间相等。

教材分析：由于学生首次接触“相遇问题”，在教学过程中，教师应逐步让学生自己学会如何去画线段图，将繁琐的题目条件清晰地表示在线段图上，以帮助学生对解题思路的思考。

本册教材在处理“列方程解应用题”的过程中，一再强调解题的关键在于寻找未知量与已知量之间的等量关系，因此在这里仍然要求学生自己思考，发现等量关系，从而列出方程得出应用题的解。

值得指出的是，相遇问题的应用远不止于具体的行程问题，同时也广泛地应用于各种生活问题中。

“相遇问题”的等量关系一般为：甲行的路程+乙行的路程=相距的路程。

学情分析：通过前面几节课的学习，学生对倍数关系，比多比少关系的线段图已经很熟练了，本节课是行程问题，这样的线段图是第一次碰到，要考虑方向和相遇点，在理清题意的基础上可让学生自己尝试再交流，集思广益，画出相遇问题的线段图。

而相遇问题的关键还是找到等量关系式，线段图是学习手段。

教学过程：一、创设情境，复习引入1.口答：C同学3分钟行了180米，她每分钟行多少米？这里的3分钟，180米，每分钟行60米各表示什么？路程，速度，时间三者之间有什么关系？2.初步感知“相遇问题”特征。

（1）两位学生在教室里走一走，理解“同时出发、相向而行、相遇”并用手势一起演示。

（2）揭示课题：像这样具有“同时出发”“相向而行”“相遇”特征的行程问题称为相遇问题。

（板贴课题）（3）提相关数学问题。

二、探究新知出示例题：沪宁高速公路全长约270千米,一辆客车和一辆轿车分别从南京和上海两地同时出发,相向而行.客车平均每小时行55千米,轿车平均每小时行80千米,经过几小时两车在途中相遇？1.理解题意（1）读题、审题：从题目中你得到了哪些重要信息？（2）根据题意画线段图（3）集体交流线段图：相遇点的位置、箭头方向、每一段表示什么意思2. 根据线段图找等量关系并列方程解答(1)学生独立尝试练习，师巡视(2)集体交流，师板书方法追问：为什么两车所用时间是一样的？方法一：55x+80x=270追问：55x、80x、 55x+80x各表示什么？方法二：270-55x=80x （口答对应等量关系）方法三：270-80x=55x小结：列方程解应用题时，先要理解题目的意思；然后根据题意画出线段图，找到等量关系；最后根据等量关系，解设x列方程解应用题,并检验解答。