矩阵的秩的求法

矩阵求秩方法

求矩阵的秩是线性代数中常见的问题，以下是关于矩阵求秩的10条方法及其详细描述：

1. 奇异值分解法：通过对矩阵进行奇异值分解，将矩阵变换为一个对角矩阵，其中非零元素的个数即为矩阵的秩。

2. 初等变换法：利用矩阵的初等行（列）变换，将矩阵化简为行简化阶梯型矩阵，其中非零行的个数即为矩阵的秩。

3. 极大线性无关组法：通过逐步选择矩阵中的列，构建一个极大线性无关组，其中向量的个数即为矩阵的秩。

4. 秩-零空间法：矩阵的秩与其零空间的维数之和为矩阵的列数。可以通过计算矩阵的零空间 (null space) 的维数来求解矩阵的秩。

5. 行列式法：矩阵的行列式非零的最大子阵的阶数就是矩阵的秩。

6. 直接检验法：将矩阵转换为梯形矩阵或行阶梯矩阵，其中非零行的个数即为矩阵的秩。

7. 特征值法：矩阵的秩等于其特征值不为零的个数。

8. 与单位矩阵求秩法：通过将矩阵与单位矩阵进行连接，得到一个增广矩阵，进而将其化简为行简化阶梯型矩阵，其中非零行的个数即为矩阵的秩。

9. Gauss-Jordan消元法：通过高斯消元法和高斯约当消元法将矩阵化简为行简化阶梯型矩阵，其中非零行的个数即为矩阵的秩。

10. 极大线性无关组与生成组比较法：利用极大线性无关组与生成组的关系来求解矩阵的秩，其中生成组的个数等于矩阵的秩。

二、利用零化多项式求解矩阵函数.

利用Jordan标准型求解矩阵函数的方法比较复杂，它需要求J

和P。下面我们介绍根据零化多项式求解矩阵函数的一种方法。

定律：n阶方阵A的最小多项式等于它的特征矩阵的第n个（也就是最后一个）不变因子nd()。（可参见张远达《线性代数原理》P215）

设n阶方阵A的不变因子反向依次为nd(),n11d(),,d()，由它们给出的初等因子分别为

12rmmm12r(),(),,()；sr1mmr1s(),,()；，sii1mn

由于1223n1nd()|d(),d()|d(),,d()|d()，故

1or1s~必定出现在1r~中；

2o若ij(ir)(jr)则ijmm

根据上述定理，A的最小多项式

12rmmm012r()()()()

即 12rmmm12r(IA)(IA)(IA)O

令rii1mm，则可见mA可以由02m1AI,A,A,,A线性表示，从而miA(0)亦可由02m1AI,A,A,,A线性表示。所以，矩阵函数f(A)若存在，也必定可由0m1A~A线性表示。

因此，我们定义一个系数待定的(m-1)次多项式m1iii0g()c，根据以上论述，适当选择系数0m1c~c，就可以使f(A)=g(A) 又，假设J、P分别为A的Jordan标准形及相应变换矩阵：1APJP

则 1f(A)Pf(J)P，1g(A)Pg(J)P f(J)=g(J) iif(J)g(J)

ii(m1)(m1)iiiiiif()g(),f()g(),,f()g() (i1,2,,r)

由于g(A)为待定系数的多项式，上面就成为关于0m1c~c的线性方程组。且方程的个数为rii1mm等于未知数个数，正好可以确定0m1c~c

矩阵秩的计算方法：将矩阵A按初等行数变换为梯形矩阵B，梯形矩阵B的非零行数即为矩阵A的秩。

在线性代数中，矩阵A的列秩是A的线性独立列数的最大值，类似地，行秩是A的线性独立的水平行数的最大值，一般说来，如果将矩阵看作行向量或列向量，则秩是这些行向量或列向量的秩，即包含在最大不相关群中的向量的个数。

矩阵秩的性质；

1. 矩阵的行秩、列秩、秩均相等。

2. 初等变换不改变矩阵的秩。

3. 矩阵Rab<=min{Ra，Rb}乘积的秩。

4. 如果p和q是可逆矩阵，则r(PA)=r(A)=r(AQ)=r(PAQ)。

5. 当r(A)<=n-2时，最高阶非零子公式的阶数<=n-2，n-1阶子公式为零，而伴随矩阵中的每个元素都是n-1阶子公式加一个符号，所以伴随矩阵是零矩阵。

6.当r(A)<=n-1时，最高阶非零子公式的阶数为<=n-1，因此n-1

阶子公式可能不为零，因此伴随矩阵可能为非零(等号成立时伴随矩阵必须为非零)。

求矩阵的秩的步骤

在学习矩阵的秩之前，首先我们要先了解矩阵A的k阶子式：即在m×n矩阵A中，任取k行k列( k≤m，k≤n)，位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式。先在矩阵中的m行中任选k行，得到组合；再在矩阵中的n列任选k列，得到组合。将二者相乘，便是矩阵A的k阶子式计算公式。

现在我们就可以定义矩阵的秩：设在m×n矩阵A中有不为零的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）均为零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，阶数r称为矩阵A的秩，记作R(A)。特别地规定了零矩阵的秩等于0。举个例子，我们先假定一个3阶矩阵。

由定义可得S不可能再有大于三阶的子阵，那么我们知道S的三阶子阵只有一个|S|，若计算出|S|≠0，那么S的秩就为3，记做R(S)=3；若是|S|=0，那就同理再看S的9个二阶子阵……当然，越高阶的矩阵的秩会越难计算，下面的视频来讲解行阶梯形矩阵在求解高阶矩阵的秩中的妙用。

学习矩阵的秩并归纳出矩阵秩的一些最基本的四个性质，具体证明过程详见课本，其中最主要的是第三条性质，它证明了两个等价矩阵的秩是相等的，因此将矩阵通过初等变换化为行阶梯形矩阵能大大简化矩阵秩的运算。

矩阵的子式定义：

在m×n矩阵A中，任取k行k列(k≤m，k≤n)，位于这些行列交叉处的k2个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。

矩阵的秩定义：

设矩阵A中有一个不等于零的r阶子式D，且所有r +1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R(A)。

规定零矩阵的秩为零。

矩阵的秩基本性质：

①若A为m×n矩阵，则

0≤R(A)≤min(m, n)

②R(AT)=R(A)

③若A~B，则R(A)=R(B)

④若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(A)

矩阵的秩常用性质：

max{R(A), R(B)}≤R(A, B)≤R(A)＋R(B)