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矩阵的秩及其求法

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。 1欢迎下载 第五节：矩阵的秩及其求法

一、矩阵秩的概念

1. k 阶子式

定义1 设 在A中任取k 行k 列交叉处元素按原相对位置组成的

阶行列式，称为A的一个k 阶子式。

例如 共有 个二阶子式，有 个三阶子式

矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为 而

为 A 的一个三阶子式。显然， 矩阵 A 共有 个 k 阶子式。

2. 矩阵的秩

定义2 设 有r 阶子式不为0，任何r+1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r为矩阵A的秩，记作R(A)或秩(A)。

规定： 零矩阵的秩为 0 .

注意：(1) 如 R ( A ) = r，则 A 中至少有一个 r 阶子式 所有 r + 1 阶子式为

0，且更高阶子式均为 0，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 .

(2) 有行列式的性质，

(3) R(A) ≤m, R(A) ≤n, 0 ≤R(A) ≤min { m , n } .

(4) 如果 An×n , 且 则 R ( A ) = n .反之，如 R ( A ) = n ,则

因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n .

二、矩阵秩的求法

1、子式判别法(定义)。

例1 设 为阶梯形矩阵，求R(B)。

解

由于 存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则 R(B) = 2.

结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。

例如

一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”—— 非零行的行数。

nmijaA),min1(nmkk110145641321A182423CC43334CC10122D1015643213DnmknkmccnmijaA0,rD()().TRARA0,A0.A000007204321B02021010010100321A001021B100010011C125034000D21235081530007200000E3AR2BR3CR2RD3RE精品文档

。 2欢迎下载 例2 设 如果 求 a .

解

或

例3

则

2、用初等变换法求矩阵的秩

定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。

即 则

注： 只改变子行列式的符号。

是 A 中对应子式的 k 倍。

是行列式运算的性质。

求矩阵A的秩方法：

1）利用初等行变换化矩阵A为阶梯形矩阵B

2）数阶梯形矩阵B非零行的行数即为矩阵A的秩。

例4 求

解

R(A) = 2

aaaA111111,3AR3ARaaaA1111110)1)(2(2aa1a2aKKKKA1111111111113ARK3311111113(1)(3)111111KAKKKKKBA)()(BRARjirr.1irk.2jikrr.3211163124201A.AR122rrA211021104201000021104201精品文档

。 3欢迎下载 例5

三、满秩矩阵

定义3 A 为 n 阶方阵时，

称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵）

称 A 是降秩阵，（奇异矩阵）

可见：

对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E, 又根据初等阵的作用：每对A施行一次初等行变换，相当于用一个对应的初等阵左乘A, 由此得到下面的定理.

定理3 设A是满秩方阵，则存在初等方阵

使得

对于满秩矩阵A，它的行最简形是 n 阶单位阵 E .

例如

A为满秩方阵。

关于矩阵的秩的一些重要结论：

定理5 R(AB) R(A), R(AB) R(B), 即R(AB) min{R(A)，R(B)}

设A是 矩阵，B是 矩阵，

性质1

性质2 如果 A B = 0 则

性质3 如果 R(A)= n, 如果 A B = 0 则 B = 0。

性质4 设A,B均为 矩阵，则

例8 设A为n阶矩阵，证明R（A+E）+R（A-E）≥n

证： ∵ （A+E）+（E-A）=2E

∴ R（A+E）+ R（ E-A ）≥ R（2E）=n

而 R（ E-A ）=R（ A-E ）

∴ R（A+E）+R（A-E）≥n ,2,6352132111，求）（且设ARA6352132111A458044302111015044302111,2)(AR1,501,05,nAR,nAR0AnAR.,,,21sPPPEAPPPPss121,EAnAR~nEAnAR~213212321A320430321320110001E1000100013ARnmtn).()()(ABRnBRAR.)()(nBRARnm).()()(BRARBAR精品文档

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矩阵秩重要知识点总结_考研必看

矩阵秩重要知识点总结_考研必看

一． 矩阵等价

行等价：矩阵A经若干次初等行变换变为矩阵B

列等价：矩阵A经若干次初等列变换变为矩阵B

矩阵等价:矩阵A经若干次初等行变换可以变为矩阵B，矩阵B经若干次初等行变换可以变成矩阵A，则成矩阵A和B等价

矩阵等价的充要条件

1. 存在可逆矩阵P和Q,PAQ=B

2. R(A)=R(B)

二． 向量的线性表示

Case1：向量br能由向量组A线性表示:

充要条件:

1.线性方程组Axr=b有解

2.R(A)=R(A,b)

Case2：向量组B能由向量组A线性表示

充要条件：

R(A)=R(A,B)

推论 ∵R(A)=R(A,B),R(B) ≤R(A,B) ∴R(B) ≤R(A)

Case3：向量组A能由向量组B线性表示

充要条件：

R(B)=R(B,A)

推论 ∵R(B)=R(A,B),R(A) ≤R(A,B) ∴R(A) ≤R(B)

Case4：向量组A和B能相互表示，即向量组A和向量组B等价

充要条件:

R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A)

Case5：n维单位坐标向量组能由矩阵A的列向量组线性表示

充要条件是:

R(A)=R(A,E)

n=R(E)<=R(A),又R(A)>=n，所以R(A)=n=R(A,E)

三． 线性方程组的解

1. 非齐次线性方程组

（1） R(A)=R(A,B),方程有解.

（2） R(A)=R(A,B)=n，解唯一.

（3） R(A)=R(A,B)

（4） R(A) ≠R(A,B)

2．齐次线性方程组

（1） 一定有解

（2） 有非零解的充要条件R(A)

四．向量组线性相关性

向量组线性相关：

存在不全为0的实数、,满足=0

充要条件:

（1） R(A)

（2） 向量组中至少有一个向量能由其余n-1个向量线性表示

（3） n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解．

矩阵的秩的定义

矩阵的秩的定义

矩阵的秩的定义

矩阵在数学中具有重要的地位，秩是矩阵的一个重要性质。矩阵的秩定义是矩阵经过初等行变换化简后，最简行阶梯矩阵中非零行的行数。在这里，我们将会对矩阵的秩进行详细探讨。

一. 初等行变换

要了解矩阵的秩，首先得了解什么是初等行变换。初等行变换是指对矩阵的行进行的操作，包括以下三种：

1. 换行：把一个行换到另外一个位置；

2. 乘行：把某一行乘上一个非零数；

3. 加行：把某一行乘上一个非零数，然后加到其他行。

在进行初等行变换时，要注意的是，只有对行进行操作，列不会发生变化。

二. 简化行阶梯形矩阵

在进行初等行变换后，矩阵会得到一个简化行阶梯形矩阵。简化行阶梯形矩阵的定义是一个矩阵，它满足以下四个条件：

1. 如果一行的元素全为0，则在这一行下面的所有行的元素也都为0。

2. 已经化简好的行不能再次进行初等行变换。 3. 行阶梯形矩阵中，每个阶梯的首元素都为1。

4. 行阶梯形矩阵中，每个阶梯的首元素所在列，其余元素都为0。

简化行阶梯形矩阵就是对矩阵进行初等行变换后得到的最简形式。

三. 矩阵的秩的定义

有了简化行阶梯形矩阵的定义，我们就可以来讲解矩阵的秩的定义了。矩阵的秩是指矩阵经过初等行变换后，得到的最简行阶梯矩阵中，非零行的行数。

例如，下面的矩阵就是一个简化行阶梯形矩阵：

[ 1 3 5 ]

[ 0 1 2 ]

[ 0 0 0 ]

[ 0 0 0 ]

在这个简化行阶梯矩阵中，有两个非零行，因此矩阵的秩为2。

四. 矩阵秩的性质

矩阵的秩具有一些基本性质：

1. 矩阵的秩等于其转置矩阵的秩。 2. 对于矩阵AB，它的秩小于等于A的秩和B的秩的最小值。

3. 如果一个矩阵的行数和列数相等，那么矩阵的秩等于其行列式不为0的子阵的阶数。也就是说，如果一个n阶方阵的行列式不为0，那么它的秩就是n。

4. 一个m×n的矩阵的秩最大为min(m，n)。

最后，我们再来看一个例子：

矩阵求秩方法

矩阵求秩方法

矩阵求秩方法

求矩阵的秩是线性代数中常见的问题，以下是关于矩阵求秩的10条方法及其详细描述：

1. 奇异值分解法：通过对矩阵进行奇异值分解，将矩阵变换为一个对角矩阵，其中非零元素的个数即为矩阵的秩。

2. 初等变换法：利用矩阵的初等行（列）变换，将矩阵化简为行简化阶梯型矩阵，其中非零行的个数即为矩阵的秩。

3. 极大线性无关组法：通过逐步选择矩阵中的列，构建一个极大线性无关组，其中向量的个数即为矩阵的秩。

4. 秩-零空间法：矩阵的秩与其零空间的维数之和为矩阵的列数。可以通过计算矩阵的零空间 (null space) 的维数来求解矩阵的秩。

5. 行列式法：矩阵的行列式非零的最大子阵的阶数就是矩阵的秩。

6. 直接检验法：将矩阵转换为梯形矩阵或行阶梯矩阵，其中非零行的个数即为矩阵的秩。

7. 特征值法：矩阵的秩等于其特征值不为零的个数。

8. 与单位矩阵求秩法：通过将矩阵与单位矩阵进行连接，得到一个增广矩阵，进而将其化简为行简化阶梯型矩阵，其中非零行的个数即为矩阵的秩。

9. Gauss-Jordan消元法：通过高斯消元法和高斯约当消元法将矩阵化简为行简化阶梯型矩阵，其中非零行的个数即为矩阵的秩。

10. 极大线性无关组与生成组比较法：利用极大线性无关组与生成组的关系来求解矩阵的秩，其中生成组的个数等于矩阵的秩。

可逆矩阵的判定及其逆矩阵的求法

可逆矩阵的判定及其逆矩阵的求法

ＡＣＡＤＥＭＩＣ　ＲＥＳＥＡＲＣＨ　学术研究　

可逆矩阵的判定及其逆矩阵的求法　

◆单彩虹陈平张欢刘翠香　

摘要：可逆矩阵在矩阵的理论和应用中都占有很重要的地位，本文总结了可逆矩阵的一些判定方　法，并给出几种常用的求逆矩阵的方法。　关键词：逆矩阵的判定；伴随矩阵；初等变换；分块矩阵　

矩阵理论是线性代数的核心内容，也是处理实际问题的　重要工具。可逆矩阵在矩阵理论中占有非常重要的地位。有　

关可逆矩阵的内容对于初学者来说是一个难点，下面我们将　

教学中有关可逆矩阵的判定方法作一些总结，并给出几种常　

用的求逆矩阵的方法。　

一、可逆矩阵的判定　

线性代数有概念多、联系紧密、关系隐蔽的特点，比如　

一个可逆矩阵的概念就有若干个等价的命题，贯穿了整个教　

材的各章节内容。下面列出一些ｎ阶矩阵　可逆的充分必要　条件：　

ｎ阶矩阵　可逆　§存在ｎ阶矩阵　，使ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ（定义）　§存在ｎ阶矩阵　，使ＡＢ＝Ｅ（或ＢＡ＝Ｅ）　

ｄｅｔＡ≠０（　Ａ为非奇异矩阵）　营Ａ的行阶梯形含有ｎ个非零行　

§Ａ的行最简形是　

营Ａ的标准形是Ｅ　§Ａ可表示为同阶初等矩阵的乘积　

营Ａ的秩尺（　）＝ｎ（§Ａ为满秩矩阵）　

《　Ａ的行（列）向量组线性无关　Ａ的行（列）向量组构成ｎ维向量空间的一组基　营ｎ元齐次线性方程组Ａｘ＝０只有零解　

§ｎ元非齐次线性方程组Ａｘ＝ｂ有唯一解　

Ａ没有零特征值　《　ＡｒＡ必是正定矩阵　由此可见，矩阵可逆的概念可以转化为行列式、矩阵的　

秩、向量组、方程组、特征值等方面的知识来判定，所以我　们要时常梳理、归纳知识前后的联系，弄清楚一个概念在不　

同的场合的具体含义，注重衔接、转换，做到有机联系、融　

会贯通。　

二、求逆矩阵的方法　

１．利用定义求逆矩阵。根据逆矩阵的定义，对于ｎ阶矩　

阵　，如果有一个ｎ阶矩阵　，使　ＡＢ＝ＢＡ＝Ｅ，　

则称矩阵　是可逆的，并称　为　的逆矩阵，简称逆　阵，记作　：　＿。。这里Ｅ为ｎ阶单位矩阵。　由此可知，利用定义可以求抽象矩阵的逆矩阵，当条