三角函数常见典型考题赏析
- 格式：pdf
- 大小：747.99 KB
- 文档页数：6
高一使用 3031年4月
▼ W bW V- b*e ・▼ ■ r~9
• w* * ■ 一■—
W-^
■张文伟
三角函数是高中数学的重要内容,也是
高考的常考点。同学们要掌握三角函数的有
关概念和性质(单调性、对称性、奇偶性、周期
性、最值)，要理解和掌握三角函数的图像与
性质，掌握三角函数模型的简单应用。
题型1
:角的概念
象限角的两种判断方法:(
1)图像法，在
平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限
角的定义直接判断已知角是第几象限角
;
(2)转化法，先将已知角化为k
X 360° + a
(0°Ca
V360°k
eZ)
的形式，即找出与已知
角终边相同的角a,再由角a终边所在的象
限判断已知角是第几象限角。利用终边相同
的角的集合S
= ,,
= 2k
n + a
, e Z｝
判断
一个角,所在的象限时，只需把这个角写成
[0,2n)范围内的一个角a与
2n的整数倍的
和，然后判断角a所在的象限。
例
1
在一
720°〜
0°范围内所有与
45°终
边相同的角为 。
解：
所有与
45°终边相同的角可表示为
,
= 45° + k
X 360°(k
e Z
)。令一
720°C45° +
k
X360°V0°(k
eZ
)，可得一
765°Ck
X360°V
7(^5° A
50
—
45°(-
ez)
，解得一
76noC- v
—
4°( -
e
360 360
Z
),即一
2.125Ck
V0.125(k
ez
),可知 k
=
—
2或k = —
1,代入可得,
=一
675°或,
=
—
315°。答案为一
675°或一
315°。
跟踪训练 1
若a
= k
X 360° + 3,
= m
X
360°—3-m
e Z
),则角a与角,的终边的
位置关系是
) )O
A.重合
B.关于原点对称
C.
关于x轴对称
D.
关于y轴对称
提示：由题意知角a与角3的终边相同,
角，
与角一3的终边相同。因为角3与角
一3
的终边关于x轴对称，所以角a与角,的终
边关于x轴对称。应选
C。
题型2：
弧度制及应用
弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解 题策略
：1)明确弧度制下弧长及扇形面积公
式，要注意角的单位必须是弧度；
(2)灵活地
运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或利
用圆心角所在的三角形列方程求解。
例
2
一扇形是从一个圆中剪下的一部
2
分，半径等于圆半径的
3，面积等于圆面积的
5
历，则扇形的弧长与圆周长之比为_____。
解：设圆的半径为r ,则扇形的半径为
1 (
2r\
2
2厂
2 aX (
3 )
牙。记扇形的圆心角为a,则------- =
3 nr2
5 5穴
历，所以a
= T，所以扇形的弧长与圆周长之
5nX 2
跟踪训练2：
分别以边长为
1的正方形
ABCD的顶点B ,C为圆心,为半径作圆弧
ACBD
,两弧交于点E,则曲边三角形 ABE
的周长为 。
提示：因为两圆弧所在圆的半径都是
1 ,
正方形边长也是
1，所以
“BCE为正三角形
,
所以
XEBC
= XECB
= n，XEBA
3=6O由此可得弧be
的长为
1FX1=3,
弧ae
的长为
6X1=6,所以曲边三角形
abe 的周长是
1+n + n=1+n。
3 6 2
题型3：
判断三角函数值的符号
三角函数值
(sina
,cosa
,tana)在各象限
的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、
四余弦。
例
3
若
sin at.an a
VO ,且 c°
s a
V0 ,则角
tan a
a是
) )
A.第一象限角
C.第三象限角B.第二象限角
ID第四象限角
28高一使用 2021年4月
解：由
sin a
t.an a
V0 ,可知
sin a
, an a 异
号，则a为第二象限角或第三象限角。由
一
V0 ,可知
cos a
, ana异号，则a为第三
an a
象限角或第四象限角。综上可知a 为第三
象限角。应选
C。
跟踪训练 3：
设 a
= sin 33° b
— cos 55°
c
= t.an 3 5° 则
（ ）。
A.c
>b
>a
B.b
> c
>a
C.a
>b
>c
D.c
>a
>b
提示：由 b
= cos 55° = sin 35°>sin 33° =
a ?c
= t.an 35°>sin 35° = b
,可得 c
>b
>a
。应
选
A。
题型4：
三角函数的定义
三角函数定义的解题策略
：1）已知角a
终边上一点P的坐标，可先求出点P到原点
的距离r,然后利用三角函数的定义求解
；
（2）已知角a的终边所在的直线方程，可先设
出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距
离，然后利用三角函数的定义求解；
（3）已知
角a的某三角函数值，求角a终边上一点P
的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量
列方程求参数的值
；4）已知角a的终边所在
的直线方程，根据三角函数的定义可求角a
终边上某特定点的坐标。
例
4
已知角a的顶点为坐标原点，始
边为x轴的正半轴。若角a的终边经过点
以
cosp(
3，-
A. -4 \
—），则
cos a
an a的值是
（）。
4
54
B5
33
c.-
D.—
55
解:
因为角
a 的终边经过点
p(
3，--4 )
,所以
cos a
= — , an a
=—
5 5- 3，所
a
t.an a4 4
3 丿
=—5应选
A3
x
跟踪训练4：
在平面直角坐标系j^Oy中
，
60°角的终边上一点P的坐标为
（1 ,m
）,则实
数m的值为 。
提示：由
60°角的终边上一点P的坐标
为
(1 , m
)，可得
an 60° =］。又
an 60° = 3 , 所以m=
3。
题型5：
三角函数的求值
解决三角函数求值问题的关键是熟练掌
握三角函数基本关系式的正用、逆用和变形
应用。含有
sin a
, cos a的二次齐次式（如
a
sin
2a
+ b
sin a
cos a
+ ccos
2a
）的问题常采用
"切”弋换法求解。这类问题要注意判断角所
在的象限，不要忽视三角函数的取值符号。
例
5
设函数 f
（x
） —a
sin（ nx
+ a
） +
b
cos（nx+
仔），其中aba
,都是非零实数。
若 f
（2 019） = —1 ,则 f
（2 020）=_____。
解：由 f
（2 019）=a
sin（2 019n + a
） +
b
cos（2 0 1 9n + ,
） = 一 a
sin a 一 b
cos ,
= 一
1 ,
可得 a
sin a
+ b
cos ,
= 1,所以 f
（2 020 ）=
a
sin （2 020n + a
） + b
cos （ 2 020n + ,
） =
a
sin a
+b
cos ,
= 1。
跟踪训练5 ：
已知
sin a
cos a
=：，且
：V
8 4
a
V ，则
cos a
— sin a 的值为
（ ）。
提示：因为
sin a
cos a
= 3，所以
(cos a
—
8
sin a
)
2 = cos
2a 一
2 sin a
cos a
+ sin
2 a
= 1 一
2sin a
cos a
= 1 一
2 X 3 = — o 因为牟
Va
V
8 4 4
cos a
V sin a
,艮卩
cosa 一
sin a
V 0 ,所
2,所以
以
cos a
— sin a
=——。应选
D。
题型6：
三角函数的定义域、值域（最值）
求三角函数的定义域就是构造简单的三
角不等式，借助三角函数线或三角函数的图
像来求解的。三角函数的值域（最值）的四种
求法
：（1）形如y
=a
sinx
+b
cosx
+ k的三角
函数，先化为y
= A
sin （ox
+ p
） + k的形式
，
再确定ox
+p的范围，最后根据正弦函数的
单调性求值域（最值
）；（2）形如y
= a
sin2x
+
b
sinx
+k的三角函数，先设
sin x
=t
,再化为
关于t的二次函数求值域（最值
）（3）形如
y
= a
sin x
cosx
+ b
（sin x 士
cos x
） + c 的三
29
