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三角函数总结经典例题

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教师1对1 中小学课外辅导 Long Wen Huan Qiu Education

第三章 三角函数

3.1任意角三角函数

一、知识导学

1．角：角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形.角的三要素是：顶点、始边、终边.角可以任意大小，按旋转的方向分类有正角、负角、零角.

2．弧度制：任一已知角的弧度数的绝对值rl，其中l是以作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆的半径.规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.

3．弧度与角度的换算：rad2360；rad1745.01801；130.57180rad.用弧度为单位表示角的大小时，弧度（rad）可以省略不写.度不可省略.

4．弧长公式、扇形面积公式：,rl2||2121rlrS＝扇形,其中l为弧长，r为圆的半径.圆的周长、面积公式是弧长公式和扇形面积公式中当2时的情形.

5．任意角的三角函数定义：设是一个任意大小的角，角终边上任意一点P的坐标是yx,，它与原点的距离是)0(rr，那么角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是yrxryxxyrxrycsc,sec,cot,tan,cos,sin.这六个函数统称为三角函数.

6．三角函数的定义域

三角函数 定义域

xysin R

xycos R

xytan

Zkkxx,2

xycot Zkkxx,

xysec

Zkkxx,2

xycsc Zkkxx,

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7．三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如图所示（各象限注明的函数为正，其余为负值）

可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正.

二、疑难知识导析

1．在直角坐标系内讨论角

（1）角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角（或说这个角属于第几象限）.它的前提是“角的顶点为原点，角的始边为x轴的非负半轴.否则不能如此判断某角为第几象限.若角的终边落在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限.

（2）与角终边相同的角的集合表示.

Zkk,360，其中为任意角.终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360整数倍.

2．值得注意的几种范围角的表示法

“0～90间的角”指900；“第一象限角”可表示为Zkkk,90360360；“小于90的角”可表示为90.

3．在弧度的定义中rl与所取圆的半径无关，仅与角的大小有关.

4．确定三角函数的定义域时，主要应抓住分母为零时比值无意义这一关键.当终边在坐标轴上时点P坐标中必有一个为0.

5．根据三角函数的定义可知：（1）一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，即角与)(360Zkk的同名三角函数值相等；（2）ryrx,，故有1sin,1cos，这是三角函数中最基本的一组不等关系.

6．在计算或化简三角函数关系式时，常常需要对角的范围以及相应三角函数值的正负情况进行讨论.因此，在解答此类问题时要注意：（1）角的范围是什么？（2）对应角的三角函数值是正还是负？（3）与此相关的定义、性质或公式有哪些？

三、经典例题导讲

[例1] 若A、B、C是ABC的三个内角，且)2(CCBA，则下列结论中正确的个数是（ ）

①.CAsinsin ②.CAcotcot ③.CAtantan ④.CAcoscos

A．1 B.2 C.3 D.4

错解：CA ∴ CAsinsin，CAtantan故选B

错因：三角形中大角对大边定理不熟悉，对函数单调性理解不到位导致应用错误

正解：法1CA在ABC中，在大角对大边，ACacsinsin,

法2 考虑特殊情形，A为锐角，C为钝角，故排除B、C、D，所以选A .

[例2]已知,角的终边关于y轴对称，则与的关系为 .

错解：∵,角的终边关于y轴对称，∴22+k2，（)zk

错因：把关于y轴对称片认为关于y轴的正半轴对称. 龙文环球教育

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正解：∵,角的终边关于y轴对称

∴ )(,22Zkk即)(,2zkk

说明：（1）若,角的终边关于x轴对称，则与的关系为)(,2Zkk

（2）若,角的终边关于原点轴对称，则与的关系为)(,)12(Zkk

（3）若,角的终边在同一条直线上，则与的关系为)(,Zkk

[例3] 已知542cos,532sin ，试确定的象限.

错解：∵0542cos,0532sin，∴2是第二象限角，即

.,222zkkk

从而.,244zkkk

故是第三象限角或第四象限角或是终边在y轴负半轴上的角.

错因：导出2是第二象限角是正确的，由0542cos,0532sin即可确定，

而题中542cos,532sin不仅给出了符号，而且给出了具体的函数值，通过其值可进一步确定2的大小，即可进一步缩小2所在区间.

正解：∵0542cos,0532sin，∴2是第二象限角，

又由43sin22532sin知zkkk,22432

zkkk,24234，故是第四象限角.

[例4]已知角的终边经过)0)(3,4(aaaP，求cot,tan,cos,sin的值.

错解：ayxrayax5,3,422

3434cot,4343tan,5454cos,5353sinaaaaaaaa

错因：在求得r的过程中误认为a0

正解：若0a，则ar5，且角在第二象限

3434cot,4343tan,5454cos,5353sinaaaaaaaa 龙文环球教育

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若0a，则ar5，且角在第四象限

3434cot,4343tan,5454cos,5353sinaaaaaaaa

说明：（1）给出角的终边上一点的坐标，求角的某个三解函数值常用定义求解；

（2）本题由于所给字母a的符号不确定，故要对a的正负进行讨论.

[例5] （1）已知为第三象限角，则2是第

象限角，2是第

象限角；

（2）若4，则是第

象限角.

解：（1）是第三象限角，即Zkkk,2322

Zkkk,4322，Zkkk,34224

当k为偶数时，2为第二象限角

当k为奇数时，2为第四象限角

而2的终边落在第一、二象限或y轴的非负半轴上.

（2）因为423，所以为第二象限角.

点评：为第一、二象限角时，2为第一、三象限角，为第三、四象限角时，2为第二、四象限角，但是它们在以象限角平分线为界的不同区域.

[例6]一扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？

解：设扇形的半径为rcm，则扇形的弧长cmrl)220(

扇形的面积25)5()220(212rrrS

所以当cmr5时，即2,10rlcml时2max25cmS.

点评：涉及到最大（小）值问题时，通常先建立函数关系，再应用函数求最值的方法确定最值的条件及相应的最值.

[例7]已知是第三象限角，化简sin1sin1sin1sin1。

解：原式＝2222sin1)sin1(sin1)sin1(＝cossin2cossin1sin1

又是第三象限角，0cos

所以，原式＝tan2cossin2。

点评：三角函数化简一般要求是：（1）尽可能不含分母；（2）尽可能不含根式；（3）尽可能

使三角函数名称最少；（4）尽可能求出三角函数式的值.本题的关健是如何应用基本关系式脱去根式，进行化简.

[例8] 若角满足条件0sincos,02sin，则在第（ ）象限

A.一 B.二 C.三 D.四 龙文环球教育

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解：0cos0sinsincos0cossin0sincos02sin角在第二象限.故选B.

[例9] 已知coscos，且0tan.

（1）试判断)cos(sin)sin(cos的符号；

（2）试判断)coslg(sin的符号.

解：（1）由题意，0cos1，0sin1

0)cos(sin,0)sin(cos，所以0)cos(sin)sin(cos.

（2）由题意知为第二象限角，1cossin，所以0)coslg(sin.

四、典型习题导练

1．已知钝角的终边经过点4sin,2sinP，且5.0cos，则的值为 ）

A．21arctan B．1arctan C．21arctan D．43

2．角α的终边与角β的终边关于y轴对称，则β为（ ）

A.-α B.л-α C.（2kл+1）л-α(k∈Z) D.kл-α（k∈Z）

3.若sinαtgα≥0,k∈Z，则角α的集合为（ ）

A．[2k－2，2k +2] B.( 2k－2,2k+2)

C.( 2k－2，2k+2)∪k2 D.以上都不对

4．当0＜x＜时,则方程cos (cosx)=0的解集为( )

A.

65,6 B.32,3 C.3 D.32

5．下列四个值:sin3,cos3,tg3,ctg3的大小关系是( )

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集合经典例题总结

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1 集合经典例题讲解

集合元素的“三性”及其应用

集合的特征是学好集合的基础，是解集合题的关键，它主要指集合元素的确定性、互异性和无序性，这些性质为我们提供了解题的依据，特别是元素的互异性，稍有不慎，就易出错．

例1 已知集合Ａ＝｛a，a＋b，a＋2b｝，Ｂ＝｛a，aq，a2q｝，其中a0，Ａ＝Ｂ，求q的值．

例2 设Ａ＝｛ｘ∣2x＋（ｂ＋2）ｘ＋ｂ＋1＝０，ｂR｝，求Ａ中所有元素之和．

例3 已知集合 A{2，3,2a+4a+2}， B＝{0,7, 2a+4a-2,2-a}，且AB={3,7},求a值．

分析：

集合易错题分析

1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.

2．你会用补集的思想解决有关问题吗？

3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？

1、忽略的存在：

例题1、已知A={x|121mxm}，B={x|25x}，若AB，求实数m的取值范围．

2、分不清四种集合：()xyfx、()yyfx、,)()xyyfx（、()()xgxfx的区别.

例题2、已知函数xfy，bax,，那么集合2,,,,xyxbaxxfyyx中元素的个数为…………………………………………………………………………（ ）

（A） 1 （B）0 （C）1或0 （D） 1或2

2 3、搞不清楚是否能取得边界值：

例题3、A={x|x<－2或x>10}，B={x|x<1－m或x>1＋m}且BA，求m的范围.

例4、已知集合RxxyyP,22，RxxyxQ,2，那么QP等于 （ ）

A.（0,2）,(1,1) B.{(0,2),(1,1)} C. {1,2} D.2yy

九年级三角函数》知识点、经典例题

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ng at a time and All things in their being are good for somethin 九年级《三角函数》知识点、例题、中考真题1、勾股定理：直角三角形两直角边、的平方和等于斜边的平方。 abc222cba2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：定 义表达式取值范围关 系正弦(∠A为锐角)余弦(∠A为锐角)正切(∠A为锐角)余切(∠A为锐角)(倒数)AAcot1tan3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0°30°45°60°90°011001--10 6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。 7、正切、余切的增减性：对边邻边斜边ACB

ng at a time and All things in their being are good for somethin 当0°<<90°时，tan随的增大而增大，cot随的增大而减小。8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。依据：①边的关系：；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中222cba间数据和除法)9、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。(2)坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般写成的形式，如hlihil1:m等。1:5i把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。tanhil10、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。11、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。12、解斜三角形所根据的定理 (在△ABC中)①正弦定理：　=2R. (R是△ABC外接圆半径).SinCcSinBbSinAa②　余弦定理：　c2=a2+b2－2abCosC； b2=c2+a2－2ca CosB； a2=c2+b2－2cbCosA.③　互补的两个角的三角函数的关系：Sin(180－A)= sinA， Cos(180－A)= － cosA ， tan(180－A)=－cotA， cotA(180－A)=－tanA.④　S△ABC＝absinC=bcsinA=casinB.212121三角函数中考试题分类例题解说一、三角函数的定义例1：（滨州市） 如图1，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，关于的三角函数值与梯子的倾斜程度之AA∠间，叙述正确的是（ ）A．的值越大，梯子越陡B．的值越大，梯子越陡sinAcosAC．的值越小，梯子越陡D．陡缓程度与的函数值无关tanAA∠图1

初三锐角三角函数知识点总结、典型例题、练习(精选)

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2

3

4

5

南偏西45°（西南方向）， 北偏西45°（西北方向）。

6

类型一：直角三角形求值

例1．已知Rt△ABC中，,12,43tan,90BCAC求AC、AB和cosB．

例2．已知：如图，⊙O的半径OA＝16cm，OC⊥AB于C点，43sinAOC

求：AB及OC的长．

例3.已知A是锐角，178sinA，求Acos，Atan的值

对应训练：

7

1．在Rt△ABC中，∠ C＝90°，若BC＝1，AB=5，则tanA的值为

A．55 B．255 C．12

D．2

2．在△ABC中，∠C=90°，sinA=53，那么tanA的值等于（ ）.

A．35 B. 45 C. 34 D. 43

类型二. 利用角度转化求值：

例1．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC边上一点，DE⊥AB于E点．

DE∶AE＝1∶2．

求：sinB、cosB、tanB．

例2． 如图，直径为10的⊙A经过点(05)C，和点(00)O，，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为（ ）

A．12 B．32 C．35

D．45 DCBAOyx第8题图

8

对应训练:

3.如图，O⊙是ABC△的外接圆，AD是O⊙的直径，若O⊙的半径为32，2AC，则sinB的值是（ ）

A．23 B．32 C．34

D．43

4. 如图4，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知8AB，10BC，AB=8,则tanEFC∠的值为 ( )

初中地理重要知识点总结及经典例题

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第一节东亚，东南亚，南亚，中亚

一、东亚

1、概述：

⑴位置范围

纬度位置：绝大部分在北温带

海陆位置：亚洲东部，太平洋西岸

临海国：中国(首都北京)

内陆国：蒙古(首都乌兰巴托)--第二大内陆国(第一为哈萨克斯坦)

半岛国：朝鲜(首都平壤)，韩国(首都首尔)

岛国：日本(首都东京)

⑵地形、河流

地势西高东低(许多大河自西向东注入太平洋)：西部多高原山地，东部多平原丘陵

海岸线曲折，多半岛(朝鲜半岛、山东半岛、辽东半岛)和岛屿(日本四岛、台湾岛等)

⑶气候：

①东部沿海地区季风气候显著

东亚季风典型的原因、成因及气候特点(夏季高温多雨、冬季寒冷干燥，高温期与多雨期一致)

温带季风气候与亚热带季风气候的比较：

最冷月均温>0℃、年降水量800mm分布上;分布界线：秦岭-准河一线

为什么东亚季风气候显著?主要是海陆位置引起的：背靠最大大陆，面临最大海洋→冬夏海陆温差大→冬季西伯利亚为高压、海洋为低压;夏季亚洲为低压、海洋为高压→冬季风从陆地吹向海洋、夏季风从海洋吹向陆地。

②西北内陆地区的温带大陆性气候

距海远，地形闭塞，地势高，不受或很少受来自海洋的夏季风的影响，降水少，气候干燥，气温的年较差和日较差都很大，大陆性强烈，属于典型的温带大陆性气候。主要分布于我国西北地区、蒙古等地。

⑷人口和经济

人口分布：主要分布在东部沿海平原，人口稠密人种：黄色人种

民族：汉族、蒙古族、大和族、朝鲜族等

⑸沿海与内陆的差异：自然环境方面、人口方面、经济方面

东部沿海地区：自然条件优越，平原多，耕地比重大，气候温暖湿润，利于农业发展，沿海港口多，交通便利，人口众多，劳动力充足，历史悠久，科技文化水平高，为经济发展提供了极其有利的条件，现已出现很多工农业发达的地区，是世界上主要的水稻、蚕丝、茶叶的产地。日本是世界的工业大国、现代工业发达的国家，此外韩国、中国的东部沿海地区、台湾省、香港地区等经济发达区和新兴工业区不断形成。