2024届北京石景山高三一模数学试题及答案

第1页/共4页 2024北京石景山高三一模

数 学

本试卷共9页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试

结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合

题目要求的一项。

1. 已知集合2230Axxx=−−，1Bxx=，则AB=

A.(1,3)− B.(3,1)− C.(1,1)− D.(1,3)

2. 下列函数中，在区间(1,1)−上为减函数的是

A.()sinfxx= B.()cosfxx= C.()ln(1)fxx=+ D.()2xfx−=

3. 一袋中有大小相同的4个红球和2个白球. 若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到

红球”为事件A，“第二次取到红球”为事件B，则()PBA=

A.4

15 B.2

5 C.3

5 D.4

5

4. 设,,是三个不同平面，且l=，m=，则“//lm”是“//”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5. 等差数列

na的首项为1，公差不为0. 若

236,,aaa成等比数列，则

na的前5项和为

A.15− B.3− C.5 D.25

6. 直线1ykx=+与圆22(1)16xy++=相交于,AB两点，则线段AB的长度可能为

A.5 B.7 C.9 D.14

7. 已知函数()2sin()fxx=+π

(0,||)

2的部分图象如图所示，则(π)f−的值是

A.3

B.1

C.1−

D.3−

8. 设0.32a=，π

sin

12b=，ln2c=，则

A.cba B.bca C.abc D.bac

9. 中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的

五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有

第2页/共4页 A.18种 B.24种 C.36种 D.72种

10. 对于曲线22:1Cxy−−+=，给出下列三个命题：

①关于坐标原点对称；

②曲线C上任意一点到坐标原点的距离不小于2；

③曲线C与曲线||||3xy+=有四个交点.

其中正确的命题个数是

A.0 B.1 C.2 D.3

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11. 复数z在复平面内对应的点为(1,2)−，则5

z=_________.

12. 斜率为1的直线l经过抛物线24yx=的焦点为F，且与该抛物线相交于,AB两点，

则||AB=_________.

13. 已知向量,ab满足||2=b，a与b的夹角为π

6，则当实数变化时，||−ba的最小值为_________.

14. 设函数3

23,1

()

3,1xaxx

fx

xax+

=

+.

①若()fx有两个零点，则实数a的一个取值可以是_________；

②若()fx是R上的增函数，则实数a的取值范围是_________.

15. 黎曼函数在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：[0,1]x时，

*1

,(,,)

()

0,0,1(0,1)pp

xpq

qqqRx

x

=

=

=N为既约真分数

和内的无理数. 若数列1

()

nn

aR

n−

=，*nN，

给出下列四个结论： ①1

na

n=；

②

21nnaa

++； ③

1

11

2n

ii

iaa

+

=； ④

11

ln

2n

i

in

a

=+

.

其中所有正确结论的序号是_________.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16.（本小题13分）

在锐角ABC△中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且2sin30bAa−=. 第3页/共4页 （Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）求coscosAC+的取值范围.

17.（本小题14分）

如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，

2PAADCD===，3BC=，23PC=.

（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAD；

（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，

求平面PBC与平面PAD所成锐二面角的大小. 条件①：5AB=；

条件②：//BC平面PAD.

注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按

第一个解答计分.

18.（本小题13分）

为研究北京西部地区2次生林和油松人工林的森林群落植物多样性问题，某高中研究性学习小组暑假

以妙峰山油松次生林和老山油松人工林为研究对象进行调查，得到两地区林下灌木层，乔木层，草本层的

抽样调查数据. 其中两地区林下灌木层获得数据如表1，表2所示：

表1：老山油松人工林林下灌木层 表2：妙峰山油松次生林林下灌木层 植物名称 植物类型 株数

酸枣 灌木 28

荆条 灌木 41

孩儿拳头 灌木 22

河朔荛花 灌木 4

臭椿 乔木幼苗 1

黑枣 乔木幼苗 1

构树 乔木幼苗 2

元宝槭 乔木幼苗 1

（Ⅰ）从抽取的老山油松人工林林下灌木层的植物样本中任选2

株，求2株植物的类型都是乔木幼苗的概率；

（Ⅱ）以表格中植物类型的频率估计概率，从妙峰山油松次生林林下灌木层的所有植物中随机抽取3株

（假设每次抽取的结果互不影响），记这3株植物的植物类型是灌木的株数为X .求X的分布列和数学期望；

（Ⅲ）从老山油松人工林的林下灌木层所有符合表1中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不

同植物名称的概率估计值为

1P；从妙峰山油松次生林的林下灌木层所有符合表2中植物名称的植物中任选植物名称

植物类型 株数

黄栌 乔木幼苗 6

朴树 乔木幼苗 7

栾树 乔木幼苗 4

鹅耳枥 乔木幼苗 7

葎叶蛇葡萄 木质藤本 8

毛樱桃 灌木 9

三裂绣线菊 灌木 11

胡枝子 灌木 10

大花溲疏 灌木 10

丁香 灌木 8

第4页/共4页 2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为

2P . 请直接写出

1P与

2P大小关系.（结论不要求证明）

19.（本小题15分）

已知函数()eaxfxx=(0)a.

（Ⅰ）求曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程；

（Ⅱ）求()fx在区间[1,1]−上的最大值与最小值；

（Ⅲ）当1a=时，求证：()ln1fxxx++.

20.（本小题15分） 已知椭圆22

22:1 (0)xy

Cab

ab+=

的离心率为3

2，短轴长为22.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设O为坐标原点，过点3

(1,)

2P−−分别作直线

12,ll，直线

1l与椭圆相切于第三象限内

的点G，直线

2l交椭圆C于,MN两点. 若2||||||PGPMPN=，判断直线

2l与直线OG的位置关系，并说明

理由.

21.（本小题15分） 已知集合

12(,,,),0,1,1,2,,

nniSXXxxxxin===(2)n，对于

12(,,,)

nAaaa=，

12(,,,)

nnBbbbS=，定义A与B之间的距离为

1(,)||n

ii

idABab

==−.

（Ⅰ）已知

4(1,1,1,0)AS=，写出所有的

4BS，使得(,)1dAB=；

（Ⅱ）已知(1,1,,1)

nIS=，若,

nABS，并且(,)(,)dIAdIBpn==，求(,)dAB的最大值；

（Ⅲ）设集合

nPS，P中有m(2)m个元素，若P中任意两个元素间的距离的最小值为t，求证：

12nim−+.

高三数学答案第1页（共9页） 石景山区2024年高三统一练习

数学参考答案

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

（1）D （2）D （3）C （4）B （5）A

（6）B （7）A （8）B （9）C （10）C

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

（11）12i−− （12）8

（13） 1 （14）1[0,1][2,)−+

（15）②③④

三、解答题（共6小题，共85分）

（16）（本小题13分）

解：（Ⅰ）在锐角ABC△中，根据正弦定理

sinsinba

BA=，有

2sinsin3sin0BAA−=， 因为π

(0,)

2A，所以sin0A

，所以3

sin

2B=， 因为π

(0,)

2B，即

3B

= 【6分】 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2π

3AC+=．

coscosAC+cos()cosBCC=−−+

2

cos()cos

3CC

=−+

13

cossincos

22CCC=−++

13

cossin

22CC=+

sin()

6C

=+